单科标准练(一)

单科标准练(一)
(满分：150分　时间：120分钟)
第Ⅰ卷
一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．已知集合U＝{x|4x2－4x＋1≥0}，B＝{x|x－2≥0}，则∁UB＝(　　)
A．(－∞，2)　 B．(－∞，2]
C. D.∪
A　[由4x2－4x＋1≥0，得x∈R，所以U＝R.又B＝{x|x－2≥0}＝{x|x≥2}，所以∁UB＝(－∞，2)．故选A.]
2．已知复数z＝，则|z|＝(　　)
A. B.
C. D.
C　[z＝＝＝，所以|z|＝，故选C.]
3．已知向量a＝(1,2－λ)，b＝(－2,3)，a∥b，则实数λ＝(　　)
A．3 B.
C．4 D.
B　[由a∥b得，1×3＝(2－λ)×(－2)，解得λ＝，故选B.]
4．已知函数f(x)＝则f＝(　　)
A. B．e
C．1 D．－1
C　[由题意可知f＝f(e)＝ln e＝1，故选C.]
5．“割圆术”是刘徽最突出的数学成就之一，他在《九章算术注》中提出割圆术，作为求圆周率的一种方法．刘徽把圆内接正多边形的面积一直算到了3 072边形，并由此而求得了圆周率为3.141 5和3.141 6这两个近似值．我国南北朝时期的数学家祖冲之继承并发展了刘徽的“割圆术”，求得π的范围为(3.141 592 6,3.141 592 7)．如果按π＝3.142计算，那么当分割到圆内接正六边形时，如图，向圆内随机投掷一点，那么落在图中阴影部分的概率为(≈1.732，精确到小数点后两位)(　　)
A．0.16 B．0.17
C．0.18 D．0.19
B　[设圆的半径为r，则圆的面积为πr2，正六边形的面积为6××r×r＝r2，故所求概率为1－＝1－≈0.17，故选B.]
6．执行如图所示的程序框图，则输出的结果为(　　)

A．－2 B．2
C. D．－1
D　[执行程序框图，n＝1，a＝f(2)＝1－＝，n＝2，a＝f＝1－＝－1，n＝3，a＝f(－1)＝1－＝2，n＝4，a＝f(2)＝，…，易知a的取值以3为周期，所以当n＝8时，a＝－1，当n＝9时，退出循环．输出的a＝－1，故选D.]
7．已知x，y满足则目标函数z＝－2x＋y的取值范围为(　　)
A. B．[1,4]
C. D.
D　[作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，其中A，B(－1,2)，作出直线y＝2x，平移该直线，当直线经过点A时，目标函数取得最小值，zmin＝－2×＋＝－，当直线经过点B(－1,2)时，目标函数取得最大值，zmax＝－2×(－1)＋2＝4，所以目标函数的取值范围是，故选D.]
8．在我国古代数学名著《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑，如图，在鳖臑ABCD中，AB⊥平面BCD，且AB＝BC＝CD，则异面直线AC与BD所成角的余弦值为(　　)
A. B．－
C. D．－
A　[如图，分别取AB，AD，BC，BD的中点E，F，G，O，连接EF，EG，OG，FO，FG，则EF∥BD，EG∥AC，所以∠FEG为异面直线AC与BD所成的角．易知FO∥AB，因为AB⊥平面BCD，所以FO⊥OG，设AB＝2a，则EG＝EF＝a，FG＝＝a，所以∠FEG＝60°，所以异面直线AC与BD所成角的余弦值为，故选A.]
9．先将函数f(x)的图象向右平移个单位长度，再将所得函数图象上的所有点的横坐标缩短到原来的，得到函数g(x)＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，|φ|＜)的图象．已知函数g(x)的部分图象如图所示，则函数f(x)的图象的对称轴方程是(　　)
A．x＝4kπ＋，k∈Z
B．x＝4kπ＋，k∈Z
C．x＝2kπ＋，k∈Z
D．x＝2kπ＋，k∈Z
D　[法一：设g(x)的最小正周期为T，由题意和题图可知A＝2，＝－＝，∴T＝π，∴ω＝2，∴g(x)＝2sin(2x＋φ)，∵g(x)的图象过点，∴＋φ＝2kπ＋，k∈Z，∴φ＝2kπ－，k∈Z.又|φ|＜，∴φ＝－，∴g(x)＝2sin.将函数g(x)＝2sin的图象上的所有点的横坐标伸长到原来的4倍，得到y＝2sin的图象，再将y＝2sin的图象向左平移个单位长度，得到f(x)＝2sin＝2sin的图象．令x－＝kπ＋，k∈Z，则x＝2kπ＋，k∈Z.∴函数f(x)的图象的对称轴方程为x＝2kπ＋，k∈Z.故选D.
法二：由题图可知，函数g(x)的图象的对称轴方程为x＝＋(k∈Z)，将函数g(x)的图象上的所有点的横坐标伸长到原来的4倍，再向左平移个单位长度后得到f(x)的图象，故f(x)的图象的对称轴方程为x＝×4－＝＋2kπ，k∈Z.]
10．设函数f(x)＝ln x＋，其中x∈，若函数f(x)的极小值不大于a，则实数a的取值范围为(　　)
A. B.
C. D.
B　[易知函数f(x)的定义域为{x|x＞0}，则＞a＞0，得0＜a＜1.由f′(x)＝－＝0，得x＝1，当x∈(a,1)时，f′(x)＜0，f(x)单调递减；当x∈时，f′(x)＞0，f(x)单调递增．所以f(x)的极小值为f(1)＝1－a，由题可知1－a≤a，所以a≥，又0＜a＜1，所以≤a＜1，故选B.]
11．已知经过原点O的直线与椭圆＋＝1(a＞b＞0)相交于M，N两点(M在第二象限)，A，F分别是该椭圆的右顶点和右焦点，若直线MF平分线段AN，且|AF|＝4，则该椭圆的方程为(　　)
A.＋＝1 B.＋＝1
C.＋＝1 D.＋＝1
C　[法一：由|AF|＝4得a－c＝4，设M(m，n)，则N(－m，－n)，又A(a,0)，所以线段AN的中点为P，F(a－4,0)．因为点M，F，P在一条直线上，所以kMF＝kFP，即＝，化简得a＝6，所以c＝2，b2＝62－22＝32，故该椭圆的方程为＋＝1.

法二：如图，取AN的中点P，连接MA，OP，因为O是MN的中点，P是AN的中点，所以OP∥MA，且|OP|＝|MA|，因此△OFP∽△AFM，所以＝＝，即＝，因此c＝2，从而a＝c＋|AF|＝2＋4＝6，故b2＝62－22＝32，故该椭圆的方程为＋＝1.]
12．已知△ABC中，内角A，B，C对应的边分别为a，b，c，已知a2＋b2＝c2＋2accos C，acos C＋3ccos A＝0，则角A为(　　)
A．30° B．60°
C．90° D．120°
D　[由余弦定理c2＝a2＋b2－2abcos C，可得a2＋b2＝a2＋b2－2abcos C＋2accos C，可得b＝c或cos C＝0.易知cos C≠0，从而B＝C.由正弦定理得，sin Acos C＋3sin Ccos A＝0，则sin(A＋C)＋2sin Ccos A＝0，从而sin(π－B)＋2sin Bcos A＝0，所以cos A＝－，所以在△ABC中，A＝120°，故选D.]
第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分．第13～21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22～23题为选考题，考生根据要求作答．
二、填空题(本大题共4小题，每题5分，共20分，将答案填在横线上)
13．设函数f(x)＝(a∈R，a≠0)，若f(－2 018)＝2，则f(2 018)＝________.
－2　[易知函数f(x)＝的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，因为f(－x)＝＝－＝－f(x)，所以函数f(x)是定义域上的奇函数，所以f(2 018)＝－f(－2 018)＝－2.]
14．如图是某几何体的三视图，则该几何体的体积为________．


　[在正方体中作出该几何体的直观图如图所示，不妨将其记为棱台ABC­A1B1C1，易知AC＝BC＝1，A1C1＝B1C1＝CC1＝2.因为CC1⊥平面ABC，CC1⊥平面A1B1C1，AC⊥BC，A1C1⊥B1C1，所以V棱台ABC­A1B1C1＝CC1·(S△ABC＋S△A1B1C1＋)＝×2×＝.]
15．桌上共有8个球，甲、乙两人轮流取球，取到最后一球者胜利．规则：第一次取球至少1个，至多不超过总数的一半，每次取球的个数不超过前面一次取球的个数，且不少于前面一次取球个数的一半．如第一次甲取3个球，接着乙取球的个数为2或3.若甲先取球，为了有必胜的把握，第一次取球的个数应为________．
3　[若甲取1个球，则乙取1个球，易知最终是乙胜．若甲取2个球，则乙可取2个球，然后，甲只能取2个球或1个球，无论如何都是乙胜．若甲取3个球，则乙只能取2个球或3个球，当乙取2个球时，接下来甲取1个球，乙取1个球，甲再取1个球，甲胜；当乙取3个球时，甲取完剩下的球，甲胜．若甲取4个球，则乙可取完剩下的球，乙胜．综上可知，甲第一次取3个球时有必胜的把握．]
16．已知直线l：x＋2y－5＝0与定点A(1,2)，动点P到点A距离与到直线l的距离相等，双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的一个焦点为F，Q是动点P轨迹上的一点，|FQ|的最小值恰为双曲线C的虚半轴长，则双曲线C的离心率为________．
　[由题可知点A在直线l上，因而动点P的轨迹为过点A与直线l垂直的直线，则点P的轨迹方程为y－2＝2(x－1)，即y＝2x，|FQ|的最小值即点F到直线y＝2x的距离，由题知|FQ|的最小值恰为b，那么直线y＝2x为双曲线的一条渐近线，从而＝2，则e＝＝.]
三、解答题(解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分12分)已知递增数列{an}的前n项和为Sn，a1＝，21(a1－a2)＋22(a2－a3)＋…＋2n(an－an＋1)＝－a，n∈N*.
(1)求a2，并证明n≥2时，an＋an＋1＝2n；
(2)求S2 019.
[解]　(1)令n＝1，则2(a1－a2)＝－a，即a－2a2＋＝0，解得a2＝或a2＝，均符合题意．
由21(a1－a2)＋22(a2－a3)＋…＋2n(an－an＋1)＝－a，得21(a1－a2)＋22(a2－a3)＋…＋2n－1(an－1－an)＝－a，n≥2.
两式相减得2n(an－an＋1)＝a－a，
∵an－an＋1≠0，∴an＋an＋1＝2n，n≥2.
(2)由(1)得S2 019＝a1＋(a2＋a3)＋(a4＋a5)＋…＋(a2 018＋a2 019)＝＋22＋24＋…＋22 018＝＋4×＝－.
18．(本小题满分12分)2018年世界女排锦标赛于9月29日至10月20日在日本举行，为了解同学们观看现场直播的情况，对高一、高二年级各10个班级的同学进行问卷调查，各班观看人数统计结果如茎叶图所示．

(1)①根据图中的数据，估计哪个年级平均观看人数较多？
②计算高一年级观看人数的样本方差．
(2)从高一年级观看人数不足20人的班级中随机抽取2个班，求这2个班分别是观看人数在10人以下与10人以上的概率．
[解]　(1)①设高一年级、高二年级观看人数的平均数分别为，，
那么＝＝20.2，
＝＝20.9，
所以高二年级平均观看人数较多．
②由①知＝20.2，则高一年级观看人数的样本方差
s2＝×[(20.2－8)2＋(20.2－6)2＋(20.2－12)2＋(20.2－14)2＋(20.2－16)2＋(20.2－23)2＋(20.2－25)2＋(20.2－33)2＋(20.2－33)2＋(20.2－32)2]＝97.16.
(2)由茎叶图可知，高一年级观看人数不足20人的班级有5个，其中观看人数在10人以下的班级有2个，分别记为a，b，观看人数在10人以上且不足20人的班级有3个，分别记为C，D，E.从高一年级观看人数不足20人的班级中抽取2个班，抽取的结果有(a，b)，(a，C)，(a，D)，(a，E)，(b，C)，(b，D)，(b，E)，(C，D)，(C，E)，(D，E)，共10种，
设所求事件为事件A，
则事件A包含(a，C)，(a，D)，(a，E)，(b，C)，(b，D)，(b，E)，共6种不同的结果，
由古典概型概率计算公式得，P(A)＝＝.

19．(本小题满分12分)如图所示的几何体B­ACDE中，△ABC为等腰直角三角形，AB⊥AC，AB＝AC＝2，DC⊥平面ABC，DC＝1，EA⊥平面ABC，EA＝.
(1)若在EB上存在点F，使得BE⊥平面AFC，试探究点F的位置；
(2)在(1)的条件下，求三棱锥F­BCD的体积．
[解]　(1)由AB⊥AC，EA⊥平面ABC，得AC⊥平面EAB，所以AC⊥BE，
若BE⊥平面AFC，只需BE⊥AF，
在直角△ABE中，
EB＝＝，由射影定理AB2＝BF·BE，
可知BF＝＝＝BE，
所以点F在BE上靠近E的三等分点处．
(2)由题可知S四边形AEDC＝×(1＋)×2＝1＋，
则VB­AEDC＝×S四边形AEDC×AB＝，
由(1)知，F在BE上靠近E的三等分点处，
因而VF­AEDC＝VB­AEDC＝，又S△ABC＝×2×2＝2，
所以VF­ABC＝×S△ABC×EA＝×2×＝，
所以VF­BCD＝VB­AEDC－VF­AEDC－VF­ABC＝.
20．(本小题满分12分)已知定点N(6,8)与圆O：x2＋y2＝4，动点M在圆O上，MN的中点为P.
(1)若点P的轨迹为圆C，求圆C的方程；
(2)在(1)的条件下，线段OC的垂直平分线上，是否存在点Q，过点Q分别作圆O与圆C的切线(切点分别为A，B)，使得|QA|＝|QB|，若存在，求出点Q的坐标，若不存在，请说明理由．
[解]　(1)由已知，设P(x，y)，则M(2x－6,2y－8)，因为点M在圆O：x2＋y2＝4上，
所以(2x－6)2＋(2y－8)2＝4，从而可得圆C的方程为(x－3)2＋(y－4)2＝1.
(2)假设存在，设Q(x，y)，
若|QA|＝|QB|，则QC2－1＝QO2－4，即QO2－QC2＝3，
从而x2＋y2－(x－3)2－(y－4)2＝3，
整理得，3x＋4y－14＝0，故点Q在直线3x＋4y－14＝0上，
而OC的中点坐标为，kOC＝，因而OC的垂直平分线的方程为y－2＝－，整理得，6x＋8y－25＝0，
易知直线3x＋4y－14＝0与直线6x＋8y－25＝0平行，
因此不存在满足题意的点Q.
21．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝ex－ax2＋b(a＞0)，函数f(x)的图象在x＝0处的切线方程为y＝x＋1.
(1)当a＝1时，求函数f(x)在[0,2]上的最小值与最大值；
(2)若函数f(x)有两个零点，求a的值．
[解]　(1)由题可知f(0)＝1＋b，f′(x)＝ex－ax，f′(0)＝1，则函数f(x)的图象在x＝0处的切线方程为y－1－b＝x，即y＝x＋1＋b，由已知条件可得b＝0，
当a＝1时，在[0,2]上，f′(x)＝ex－x＞0，函数f(x)在[0,2]上单调递增，
从而函数f(x)在[0,2]上的最小值为f(0)＝1，最大值为f(2)＝e2－2.
(2)法一：由(1)知f(x)＝ex－ax2，
设g(x)＝f′(x)＝ex－ax，则g′(x)＝ex－a，令g′(x)＝0，可得x＝ln a，
当x∈(－∞，ln a)时，g′(x)＜0，g(x)单调递减；当x∈(ln a，＋∞)时，g′(x)＞0，g(x)单调递增．
因而g(x)的最小值为g(ln a)＝a－aln a，
若a－aln a≥0，则f′(x)≥0，f(x)单调递增，f(x)不会有两个零点，不合题意，因而a－aln a＜0，即a＞e.
因为g(0)＝1＞0，g(1)＝e－a＜0，所以f′(x)＝0在(0,1)内有解，即存在x1∈(0,1)使f′(x1)＝0，同时存在x2∈(1，＋∞)，使得f′(x2)＝0，
即0＜x1＜1＜x2，ex1＝ax1，ex2＝ax2，
当x∈(－∞，x1)时f(x)单调递增，当x∈(x1，x2)时f(x)单调递减，当x∈(x2，＋∞)时f(x)单调递增，f(x)的大致图象如图所示．

由于f(x1)＝ex1－ax＝ax1－ax＝ax1(2－x1)＞0，
所以，若函数f(x)有两个零点，则函数f(x)的极小值f(x2)＝0，
f(x2)＝ex2－ax＝ax2－ax＝ax2(2－x2)＝0，得x2＝2.
由ex2－ax＝0，即e2－a×22＝0，得a＝.
法二：由(1)知，b＝0，则函数f(x)＝ex－ax2，显然x＝0不是零点，
令f(x)＝0，分离参数，则a＝，
设h(x)＝(x≠0)，则h′(x)＝，令h′(x)＝0，则x＝2.
易知当x∈(0,2)时h(x)单调递减，当x∈(－∞，0)及x∈(2，＋∞)时h(x)单调递增，
则h(x)的极小值为h(2)＝，
而当x∈(－∞，0)时，h(x)＝＞0，数形结合可知，当a＝时函数f(x)有两个零点．
请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．
22．(本小题满分10分)[选修4－4：坐标系与参数方程]
在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为(α为参数)，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为2ρsin＝.
(1)写出曲线C的普通方程以及直线l的直线坐标方程；
(2)已知直线l与曲线C交于A，B两点，求△OAB的面积．
[解]　(1)消去参数α，得曲线C的普通方程为＋＝1，
2ρsin＝可化为ρcos θ－ρsin θ＝，
由极坐标与直角坐标的互化公式得，直线l的直角坐标方程为x－y－＝0.
(2)易知原点O到直线l的距离d＝，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由整理得，5x2－8x＝0，解得x＝0或，不妨令x1＝0，x2＝，
从而得A(0，－)，B，由两点间距离公式得|AB|＝，
所以S△OAB＝×|AB|×d＝××＝.
23．(本小题满分10分)[选修4－5：不等式选讲]
已知函数f(x)＝|2x－1|.
(1)解不等式f(x)≤|x|＋1；
(2)若存在实数m，使得f(x)－f＜m有解，求m的取值范围．
[解]　(1)由已知得，f(x)≤|x|＋1，即|2x－1|≤|x|＋1，
所以当x＜0时，1－2x≤－x＋1，得x≥0，此时无解；
当0≤x＜时，1－2x≤x＋1，得x≥0，此时0≤x＜；
当x≥时，2x－1≤x＋1，得x≤2，此时≤x≤2.
从而不等式的解集为{x|0≤x≤2}．
(2)设g(x)＝f(x)－f，则g(x)＝|2x－1|－|x－1|＝

作出函数g(x)的大致图象(图略)，数形结合可知，g(x)的最小值为－，从而m＞－.
所以m的取值范围是.