2021届高三数学新高考“8+4+4”小题狂练（25）（原卷+解析）

2021届新高考“8+4+4”小题狂练（25）

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 设全集，集合，，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】

根据交集和补集的运算即可求出．

【详解】由题意可得，，所以．

故选：A．

【点睛】本题主要考查交集和补集的运算，属于容易题．

2. 已知（其中为虚数单位），则复数（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】

根据复数代数形式的除法法则计算可得；

【详解】解：因为，所以

故选：B

【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，属于基础题.

3. 已知平面内三点，，，则向量在的方向上的投影为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】

先求得，，得到，，再结合投影的概念，即可求解.

【详解】由题意，平面内三点，，，

可得，，则，，

所以向量在的方向上的投影为.

故选：C.

【点睛】本题主要考查了向量的数量积的运算，以及向量的投影的定义及应用，其中解答中熟记向量的数量积的运算公式和投影的概念是解答的关键，着重考查推理与运算能力.

4. 正方体的棱长为2，是棱的中点，则平面截该正方体所得的截面面积为（    ）

A.  B.  C.  D. 5

【答案】B

【解析】

【分析】

作出示意图，设为的中点，连接，易得平面截该正方体所得的截面为，再计算其面积.

【详解】如图所示，设为的中点，连接，设为的中点，连接，

由且，得是平行四边形，则且，

又且，得且，则共面，

故平面截该正方体所得的截面为.

又，，，，

故的面积为.

故选：B.

【点睛】本题考查了正方体中线面位置关系，截面问题，属于中档题

5. 地铁某换乘站设有编号为，，，的四个安全出口，若同时开放其中的两个安全出口，疏散1000名乘客所需的时间如下：

则疏散乘客最快一个安全出口的编号是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】

先求出比快，再求出比快，然后求出比快，即可得是疏散乘客最快的一个安全出口.

【详解】同时开放，两个安全出口，疏散1000名乘客需要时间为120（），同时开放，两个安全出口，疏散1000名乘客需要时间为140（），得比快；

同时开放，两个安全出口，疏1000名乘客需要时间为190（），同时开放，两个安全出口，疏散1000名乘客需要时间为160（），得比快，

同时开放，两个安全出口，疏1000名乘客需要时间为140（），同时开放，两个安全出口，疏散1000名乘客需要时间为160（），得比快，

综上所述：疏散乘客最快的一个安全出口的编号是，

故选：B

【点睛】本题主要考查了简单的合情推理，考查推理论证能力，属于基础题.

6. 已知为任意角，则“”是“”的（    ）

A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件

C. 充要条件 D. 既不充分也不必要

【答案】B

【解析】

【分析】

说明命题和是否为真即可．

【详解】，则，因此“”是“”的必要不充分条件．

故选：B．

【点睛】本题考查充分必要条件的判断，只要命题为真，则是的充分条件，是的必要条件．

7. 一种药在病人血液中的量保持以上才有效，而低于病人就有危险．现给某病人注射了这种药，如果药在血液中以每小时的比例衰减，为了充分发挥药物的利用价值，那么从现在起经过（    ）小时向病人的血液补充这种药，才能保持疗效．（附：，，答案采取四舍五入精确到）

A. 2.3小时 B. 3.5小时 C. 5.6小时 D. 8.8小时

【答案】A

【解析】

分析】

根据指数函数模型列出方程，解之可得．

【详解】设从现在起经过小时向病人的血液补充这种药，才能保持疗效．

则，，，，

．

故选：A．

【点睛】本题考查指数函数模型的应用，考查对数的运算，根据已知模型列出方程是解题关键．

8. 若为偶函数，满足，，则的值为（    ）

A. 0 B. 1 C. 1010 D. 2020

【答案】D

【解析】

【分析】

根据已知式变形，得出周期性，然后计算函数值．

【详解】函数为偶函数，∴，又，

∴，∴同周期函数，且周期为6，

又，

∴．

故选：D．

【点睛】本题考查函数的周期性，一般地函数满足，，是常数，则是函数的一个周期．

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.

9.将函数的图象向右平移个单位长度得到函数的图象，若函数在区间上是单调增函数，则实数可能的取值为（    ）

A.  B. 1 C.  D. 2

【答案】ABC

【解析】

【分析】

根据图象平移求得函数的解析式，再利用函数的单调性列出不等式求得的取值范围，即可求解.

【详解】由题意，将函数的图象向右平移个单位长度，

得到函数的图象，

若函数在区间上是单调增函数，

则满足，解得，

所以实数的可能的取值为.

故选：ABC.

【点睛】本题主要考查了三角函数的图象变换求函数的解析式，以及三角函数的图象与性质的综合应用，着重考查推理与运算能力，属于基础题.

10.在悠久灿烂的中国古代文化中，数学文化是其中的一朵绚丽的奇葩．《张丘建算经》是我国古代有标志性的内容丰富的众多数学名著之一，大约创作于公元五世纪．书中有如下问题：“今有女善织，日益功疾，初日织五尺，今一月织九匹三丈，问日益几何？”．其大意为：“有一女子擅长织布，织布的速度一天比一天快，从第二天起，每天比前一天多织相同数量的布，第一天织尺，一个月共织了九匹三丈，问从第二天起，每天比前一天多织多少尺布？”．已知匹丈，丈尺，若这一个月有天，记该女子这一个月中的第天所织布的尺数为，，对于数列、，下列选项中正确的为（    ）

A.  B. 是等比数列 C.  D.

【答案】BD

【解析】

【分析】

由题意可知，数列为等差数列，求出数列的公差，可得出数列的通项公式，利用等比数列的定义判断出数列是等比数列，然后利用数列的通项公式即可判断出各选项的正误.

【详解】由题意可知，数列为等差数列，设数列的公差为，，

由题意可得，解得，，

，（非零常数），则数列等比数列，B选项正确；

，，，A选项错误；

，，C选项错误；

，，

所以，，D选项正确.

故选：BD.

【点睛】本题考查等差数列和等比数列的综合问题，解答的关键就是求出数列的通项公式，考查计算能力，属于中等题.

11.已知曲线上存在两条斜率为3的不同切线，且切点的横坐标都大于零，则实数可能的取值（    ）

A.  B. 3 C.  D.

【答案】AC

【解析】

【分析】

根据题意，得出的导数，可令切点的横坐标为，求得切线的斜率，由题意可得关于的方程有两个不等的正根，考虑判别式大于0，且两根之和大于0，两根之积大于0，计算可得的范围，即可得答案.

【详解】解：由题可知，，

则，

可令切点的横坐标为，且，

可得切线斜率，

由题意，可得关于的方程有两个不等的正根，

且可知，

则，即，

解得：，

的取值可能为，.

故选：AC.

【点睛】本题考查导数的几何意义的应用，以及根据一元二次方程根的分布求参数范围，考查转化思想和运算能力.

12.在如图所示的棱长为1的正方体中，点P在侧面所在的平面上运动，则下列命题中正确的为（    ）

A. 若点P总满足，则动点P的轨迹是一条直线

B. 若点P到点A的距离为，则动点P的轨迹是一个周长为的圆

C. 若点P到直线的距离与到点C的距离之和为1，则动点P的轨迹是椭圆

D. 若点P到直线与直线的距离相等，则动点P的轨迹是双曲线

【答案】ABD

【解析】

【分析】

A.根据平面，判断点的轨迹；B.根据平面与球相交的性质，判断选项；C.由条件可转化为，根据椭圆的定义判断；D.由条件建立坐标系，求点的轨迹方程，判断轨迹是否是双曲线.

【详解】A.在正方体中，平面，

所以，所以平面，

平面，所以，

同理，所以平面，

而点P在侧面所在的平面上运动，且，

所以点的轨迹就是直线，故A正确；

B.点的轨迹是以为球心，半径为的球面与平面的交线，

即点的轨迹为小圆，设小圆的半径为，

球心到平面的距离为1，则，

所以小圆周长，故B正确；

C. 点P到直线AB的距离就是点到点的距离，

即平面内的点满足，

即满足条件的点的轨迹就是线段，不是椭圆，故C不正确；

D.如图，过分别做于点，于点，

则平面，所以，过做，连结，

，所以平面，所以，

如图建立平面直角坐标系，设，

，则，，

即，整理为：，

则动点的轨迹是双曲线，故D正确.

故选：ABD

【点睛】本题考查立体几何中动点轨迹问题，截面的形状判断，重点考查空间想象能力，逻辑推理，计算能力，属于中档题型.

三、填空题：本题共4个小题，每小题5分，共20分.

13.若方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围为________．

【答案】

【解析】

【分析】

根据题意，由椭圆的标准方程的特点，结合已知条件列出不等式，求解即可得出实数的取值范围.

【详解】解：由题可知，方程表示焦点在轴上的椭圆，

可得，解得：，

所以实数的取值范围为：.

故答案为：.

【点睛】本题考查椭圆的标准方程的特点，是基础知识的考查，属于基础题.

14.已知定义在的偶函数在单调递减，，若，则x的取值范围________．

【答案】

【解析】

【分析】

由题意结合偶函数的性质可得，再由函数的单调性即可得，即可得解.

【详解】因为为偶函数，，所以，

又在单调递减，，

所以，解得.

所以x的取值范围为.

故答案为：.

【点睛】本题考查了函数奇偶性与单调性的综合应用，考查了运算求解能力与逻辑推理能力，属于基础题.

15.若，则

（1）________；

（2）________．

【答案】    (1).     (2).

【解析】

【分析】

（1）化简二项式为，利用通项，求得，再令，求得，即可求解；

（2）令，求得，根据和（1）中，即可求解.

【详解】（1）由题意，可化为，

由，可得，

令，即时，可得，

所以.

（2）令，

则，

则，

由（1）可得，

所以.

【点睛】本题主要考查了二项展开式的应用，以及导数四则运算的应用，其中解答中准确赋值，以及利用导数的运算合理构造是解答的关键，着重考查分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.

16.已知，是平面上不共线的两个向量，向量与，共面，若，，与的夹角为，且，，则________．

【答案】

【解析】

分析】

设，由已知，可得，，从而可求出，则，即可求出模长.

【详解】解：设，因为与的夹角为， 所以 ，

则，

，解得，

则，

故答案为: .

【点睛】本题考查了向量的数量积运算，考查了平面向量基本定理，考查了向量模的求解.本题的难点是用已知表示.