2021届高三数学新高考“8+4+4”小题狂练（9）（原卷+解析）

2021届新高考“8+4+4”小题狂练（9）

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1.设集合，，则(   )

A.  B.  C. 或 D.

【答案】C

【解析】

【分析】

首先求得集合M，然后进行交集运算即可.

【详解】求解二次不等式可得，

结合交集的定义可得：或.

本题选择C选项.

【点睛】本题主要考查集合的表示方法，交集的运算法则等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.

2.已知为虚数单位，则复数的虚部为（   ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】

先化简复数z，然后由虚部定义可求．

【详解】﹣1﹣2i，

∴复数的虚部是﹣2，

故选A．

【点睛】该题考查复数代数形式的运算、复数的基本概念，属基础题．

3.设，则“”是“直线与直线平行”的（  ）

A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件

C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件

【答案】A

【解析】

【详解】

分析】

试题分析：若，则直线与直线平行，充分性成立；若直线与直线平行，则或，必要性不成立．

考点：充分必要性．

4.设向量，满足，，则(   )

A. 2 B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】

由题意结合向量的运算法则求解其模即可.

【详解】由题意结合向量的运算法则可知：

.

本题选择B选项.

【点睛】本题主要考查向量的运算法则，向量的模的求解等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.

5.在二项展开式中，的系数为（   ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【详解】因为,可得时，的系数为，C正确.

6.已知函数，则不等式的解集为（   ）

A.  B.

C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】

判断出的奇偶性与单调性，然后将不等式转化为，通过单调性变成自变量的比较，从而得到关于的不等式，求得最终结果.

【详解】   

为奇函数

当时，，可知在上单调递增

在上也单调递增，即为上的增函数

，解得：或

本题正确选项：

【点睛】本题考查利用函数单调性与奇偶性求解函数不等式的问题，解题关键在于将不等式转化为符合单调性定义的形式，利用单调性转变为自变量的比较.

7.如图，双曲线的左，右焦点分别为，，过作直线与C及其渐近线分别交于Q，P两点，且Q为的中点．若等腰三角形的底边的长等于C的半焦距．则C的离心率为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】

先根据等腰三角形的性质得，再根据双曲线定义以及勾股定理列方程，解得离心率.

【详解】

连接，由为等腰三角形且Q为的中点，得，由知．由双曲线的定义知，在中，， （负值舍去）．

故选：C

【点睛】本题考查双曲线的定义、双曲线的离心率，考查基本分析求解能力，属基础题.

8.将函数的图象向右平移（）个单位长度得到的图象．若函数在区间上单调递增，且的最大负零点在区间上，则的取值范围是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】

利用函数的图象变换规律，求得的解析式，再利用正弦函数的性质求得的取值范围．

【详解】将函数图象向右平移（）个单位长度得到的图象．

若函数在区间上单调递增，则，且，

求得①．

令，求得，，故函数的零点为，．

∵的最大负零点在区间上，

∴，

∴②．

由①②令，可得，

故选：C．

【点睛】本题主要考查函数的图象变换规律，正弦函数的性质综合应用，属于中档题．

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．

9.下列命题错误的是（    ）．

A. ， B. ，

C. ， D. ，

【答案】AC

【解析】

【分析】

根据指数函数和对数函数性质对各个选项进行判断．

【详解】由指数函数的性质可知，当时，，恒成立，A错误；

由对数函数的性质可知，当时，，，恒成立，B正确；

对于C，当时，，，则，C错误；

对于D，当时，，由对数函数与指数函数的性质可知，当时，恒成立，D正确．

故选：AC．

【点睛】本题考查全称命题和特称命题的的真假判断，掌握指数函数和对数函数的性质是解题关键．

10.已知偶函数满足，则下列说法正确的是（    ）．

A. 函数是以2为周期的周期函数 B. 函数是以4为周期的周期函数

C. 函数为奇函数 D. 函数为偶函数

【答案】BC

【解析】

【分析】

对于选项，分析得到函数是周期为4的周期函数，由此可知选项A错误，选项B正确；对于选项,证明函数为奇函数，所以选项C正确；对于选项,由题意不妨取满足条件的函数，则为奇函数，所以选项D错误．

【详解】对于选项,∵函数为偶函数，∴．

∵，

∴，

则，即，

∴，

故函数是周期为4的周期函数，由此可知选项A错误，选项B正确；

对于选项,令，则．

在中，将换为，得，

∴，∴，

则函数为奇函数，所以选项C正确．

对于选项,由题意不妨取满足条件的函数，

则为奇函数，

所以选项D错误．

故选：BC.

【点睛】本题主要考查函数的周期的判定，考查函数的奇偶性的判断，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.

11.已知正项数列满足：，是的前n项和，则下列四个命题中错误的是（      ）

A.  B.

C.  D. 是递增数列

【答案】D

【解析】

【分析】

由条件逐一分析选项，A,;利用不等式迭代得到选项；B.由条件可知 ，，……，得到，再证明；C. 由条件对不等式进行放缩得到，再求和证明；D.设数列是公比为4的等比数列，说明结论.

【详解】A.，根据已知可知，

，故A正确；

B.，

，

由A可知 ，，……,

，

，故B正确；

C.由A可知……,，

，

由A可知 ，

，

，故C成立；

D.若数列是正项等比数列，并且公比，则，此时是常数列，不是递增数列，故D不正确.

故选：D

【点睛】本题考查数列，不等式，证明的综合问题，意在考查推理证明，数列的综合应用，属于难题，本题的关键是根据条件进行迭代，从而根据不等式进行证明.

12.设，是抛物线上的两个不同的点，是坐标原点．若直线与的斜率之积为，则（    ）．

A.  B. 以为直径的圆的面积大于

C. 直线过定点 D. 点到直线的距离不大于2

【答案】CD

【解析】

【分析】

通过轴时的特殊情况，判断A、B选项不正确；当直线与轴不垂直时，设直线方程，通过推理论证，得出直线过定点，进而得出点到直线的距离最大值即为O、Q两点间的距离，进而得出CD正确.

【详解】不妨设为第一象限内的点，

①当直线轴时，，由，

得，，

所以直线，的方程分别为：和．

与抛物线方程联立，得，，

所以直线的方程为，此时，

以为直径的圆的面积，故A、B不正确．

②当直线与轴不垂直时，设直线方程为，

与抛物线方程联立消去，得，则．

设，，则．

因为，所以，

则，则，

所以，即，

所以直线的方程为，即．

综上可知，直线为恒过定点的动直线，故C正确；

易知当时，原点到直线的距离最大，最大距离为2，

即原点到直线的距离不大于2．故D正确．

故选：CD

【点睛】本题考查了直线与抛物线的关系，考查了运算求解能力，逻辑推理能力，分类讨论和数形结合思想，属于难题.

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13.在一次200千米的汽车拉力赛中，50名参赛选手的成绩全部频率组距介于13分钟到18分钟之间．现将比赛成绩分为五组：第一组，第二组，…，第五组，其频率分布直方图如图所示，若成绩在之间的选手可获奖，则这50名参赛选手中获奖的人数为________．

【答案】11

【解析】

【分析】

由频率分布直方图的性质，求得成绩在之间的频率，进而求得这50名参赛选手中获奖的人数，得到答案.

【详解】由频率分布直方图的性质，可得成绩在之间的频率为

，

所以这50名参赛选手中获奖的人数为．

故答案为：.

【点睛】本题主要考查了频率分布直方图的性质及其应用，其中解答中根据频率分布直方图的性质求得相应的概率是解答的关键，着重考查运算与求解能力.

14.在中，，，，为边上的高．若，则________．

【答案】

【解析】

【分析】

根据题意画出图象，根据条件求出，从而可得出，根据向量加法的几何意义并进行向量的数乘运算得出，从而根据平面向量基本定理求出，的值，即可求得答案．

【详解】根据题意画出图象，如图

为边上的高

，

，，

则，

，

．

又，

，，

故．

故答案为：．

【点睛】本题解题关键是掌握向量的线性表示，根据系数相等求参数的方法，考查了分析能力和计算能力，属于基础题．

15.在实数集中定义一种运算“*”，具有性质：

（1）对任意，，；

（2）对任意，；

（3）对任意，，.

则函数的最小值为_______.

【答案】3

【解析】

【分析】

根据题中给出的对应法则,可得,利用基本不等式求最值可得

,当且仅当时等号成立,由此可得函数的最小值为.

【详解】解:对任意,,,

令.代入得,

由可得,

由可得,

所以,因为,

由均值不等式可得（当且仅当,即时,等号成立）.

所以（）的最小值为3.

故答案为:3

【点睛】本题给出新定义,求函数的最小值.着重考查了利用基本不等式求最值、函数的解析式求法和简单的合情推理等知识属于中档题.

16.在三棱锥中，平面，，，，是上的一动点，且直线与平面所成角的最大值为，则________，三棱锥的外接球的表面积为________．

【答案】    (1). 6    (2).

【解析】

【分析】

（1）设直线与平面所成的角为，先求出的最小值为，的最小值是，即点到的距离为，再利用余弦定理求出的值；

（2）取的外接圆的圆心为，则圆的半径，连接，作于点，即得，即得解.

【详解】设直线与平面所成的角为，三棱锥外接球的球心为，半径为，

如图所示，则，

所以，则的最小值为，的最小值是，即点到的距离为，所以．

因为，

所以，

所以，

所以，

所以．

取的外接圆的圆心为，则圆的半径．

连接，作于点，

则点为的中点，所以，

故三棱锥的外接球的表面积．

故答案为：6；.

【点睛】本题主要考查空间角的计算，考查几何体外接球的问题的处理，考查球的表面积的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.