2021届高三数学新高考“8+4+4”小题狂练（19）（原卷+解析）

2021届新高考“8+4+4”小题狂练（19） 一、单项选择题.本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，则（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】B【解析】【分析】解出集合、中的不等式即可.【详解】因为，所以故选：B【点睛】本题考查的是一元二次不等式的解法、指数不等式的解法和集合的运算，较简单.2.已知复数满足，其中为复数的共轭复数，则实数（    ）A.  B.  C.  D. 或【答案】C【解析】【分析】根据条件得到，，代入已知等式，即可求得实数的值．【详解】由题意得，所以，所以由，得，得．故选：C.【点睛】本题主要考查复数的四则运算及共轭复数等，考查考生对复数四则运算的掌握情况及运算求解能力，属于基础题.3.若，则A.  B.  C.  D. 【答案】B【解析】【详解】分析：由公式可得结果.详解：故选B.点睛：本题主要考查二倍角公式，属于基础题.4.函数的大致图象为（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】B【解析】【分析】当时，，可排除AD；当时，，可排除C，得到答案.【详解】当时，，可排除AD；当时，，可排除C.故选：B.【点睛】本题考查函数图象的运用，考查数形结合思想，属于基础题.5.已知，则“”是“”的（    ）A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】通过对数函数的单调性和举反例，并借助充分条件和必要条件的定义判断即可.【详解】因为，所以由，得，所以，，所以，则充分性成立；当时，，但是无意义，故必要性不成立.综上，已知，则“”是“”的充分不必要条件.故选：A.【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，考查学生的逻辑推理能力，属于基础题.若想说明一个式子不成立，可以采用举反例法，给出一个反例即可.6.已知双曲线与抛物线的一个交点为为抛物线的焦点，若，则双曲线的渐近线方程为（   ）A.  B.  C.  D. 【答案】C【解析】由抛物线定义得，因此双曲线的渐近线方程为，选C.点睛：1.凡涉及抛物线上的点到焦点距离时，一般运用定义转化为到准线距离处理． 2．若为抛物线上一点，由定义易得；若过焦点的弦 AB的端点坐标为，则弦长为可由根与系数的关系整体求出；若遇到其他标准方程，则焦半径或焦点弦长公式可由数形结合的方法类似地得到．7.我国古代数学名著《数书九章》中有“天池盆测雨”题，大概意思如下：在下雨时，用一个圆台形的天池盆接雨水，天池盆盆口直径为2尺8寸，盆底直径为1尺2寸，盆深1尺8寸.若盆中积水深9寸，则平均降雨量是（注：①平均降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积；②1尺等于10寸；③台体的体积）（    ）A. 3寸 B. 4寸 C. 5寸 D. 6寸【答案】A【解析】【分析】作出圆台的轴截面,根据已知条件,利用圆台体积公式可求得盆中积水体积,再求出盆口面积,根据平均降水量的定义可求得结果.【详解】作出圆台的轴截面如图所示:由题意知,寸,寸,寸,寸,即是的中点,为梯形的中位线,寸,即积水的上底面半径为寸,盆中积水的体积为（立方寸）,又盆口的面积为（平方寸）,平均降雨量是寸,即平均降雨量是3寸,故选:A【点睛】本题考查圆台体积的有关计算,关键是能够根据轴截面得到所求圆台的上下底面半径和高,考查运算能力.8.如图，正方体的棱长为2，点为底面的中心，点在侧面的边界及其内部运动．若，则面积的最大值为（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】C【解析】【分析】取的中点，由题意结合正方体的几何特征及平面几何的知识可得，，由线面垂直的判定与性质可得，进而可得点的轨迹为线段，找到的最大值即可得解.【详解】取的中点，连接、、、，连接、、、、，如图：因为正方体的棱长为2，所以,，，平面，平面，平面，所以，，，所以，，所以，，由可得平面，所以，所以点的轨迹为线段，又,所以面积的最大值.故选：C.【点睛】本题考查了正方体几何特征的应用，考查了线面垂直的判定与性质，关键是找到点的轨迹，属于中档题.二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的，全选对得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分.）9.随着2022年北京冬奥会的临近，中国冰雪产业快速发展，冰雪运动人数快速上升，冰雪运动市场需求得到释放.如图是2012-2018年中国雪场滑雪人数（单位：万人）与同比增长情况统计图则下面结论中正确的是（    ）.A. 2012-2018年，中国雪场滑雪人数逐年增加；B. 2013-2015年，中国雪场滑雪人数和同比增长率均逐年增加；C. 中国雪场2015年比2014年增加的滑雪人数和2018年比2017年增加的滑雪人数均为220万人，因此这两年的同比增长率均有提高；D. 2016-2018年，中国雪场滑雪人数的增长率约为23.4%.【答案】AB【解析】【分析】根据条形图判断人数增减性，即可判断A；根据折线图判断同比增长率增减性，即可判断B； 根据折线图判断同比增长率,即可判断C；计算2016-2018年滑雪人数的增长率可判断D.【详解】根据条形图知，2012-2018年，中国雪场滑雪人数逐年增加，所以A正确；根据条形图知，2013-2015年，中国雪场滑雪人数逐年增加，根据折线图知，2013-2015年，中国雪场滑雪人数同比增长率逐年增加，所以B正确；根据条形图知，中国雪场2015年比2014年增加的滑雪人数为万人，2018年比2017年增加的滑雪人数为万人，根据折线图知，2015年比2014年同比增长率上升，但2018年比2017年同比增长率有下降，故C错误；2016-2018年，中国雪场滑雪人数的增长率约为，故D错误；故选：AB【点睛】本题考查条形图与折线图、增长率，考查数据分析能力，属基础题.10.将函数的图象向右平移个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到的图象，若，且，则的可能取值为（    ）A.  B.  C. 1 D. 0【答案】BC【解析】【分析】由三角函数图象变换得出的解析式，然后由正弦函数性质求出的可能值，再判断各选项．【详解】由题意，的最大值为3，最小值为－1，因此，则，由得，，，又，所以，设，，则，则当偶数（例如）时，＝1，当奇数（例如）时，＝－1，故选：BC．【点睛】本题考查三角函数的图象变换，考查正弦函数的性质．解题关键是利用正弦函数性质得出的所有可能取值．11.设双曲线的左，右焦点分别为，过的直线l分别与双曲线左右两支交于两点，以为直径的圆过，且，则以下结论正确的是（    ）A. ； B. 双曲线C的离心率为；C. 双曲线C的渐近线方程为； D. 直线l的斜率为1.【答案】BC【解析】【分析】由推导出，然后根据双曲线的定义推理判断各选项．【详解】如图，作于，则，所以，所以是中点，从而，根据双曲线定义，所以，又以为直径的圆过，所以，，于是，A错；又得，，由余弦定理得，化简得，所以，B正确；由得，即，所以渐近线方程为，C正确；易知，所以，D错．故选：BC．【点睛】本题考查直线与双曲线相交问题，考查双曲线的离心率、渐近线方程，考查平面向量的数量积，解题关键是由数量积的关系得出等腰三角形，由双曲线的定义得出各线段长（用表示）．本题属于中档题．12.如图，在边长为4的正三角形中，E为边的中点，过E作于D.把沿翻折至的位置，连结.翻折过程中，其中正确的结论是（    ） A. ；B. 存在某个位置，使；C. 若，则的长是定值；D. 若，则四面体的体积最大值为【答案】ACD【解析】【分析】根据线面垂直的性质判断A，B；取中点，可证明，从而可计算出，判断C；折叠过程中，不动，当到平面的距离最大时，四面体的体积最大，从而计算出最大体积后判断D．【详解】由，，得平面，又平面，所以，A正确；若存在某个位置，使，如图，连接，因为，所以，连接，正中，，，所以平面，而平面，所以，由选项A的判断有，且，平面，平面，所以平面，又平面，所以，则，这是不可能的，事实上，B错； 设是中点，连接，则，所以，从而，是中点，所以，若，即，所以，所以，且由得，所以，边长为4，则，，，为定值，C正确；折叠过程中，不变，不动，当到平面距离最大时，四面体的体积最大，由选项的判断知当平面时，到平面的距离最大且为，又，所以此最大值为，D正确．故选：ACD．【点睛】本题考查折叠过程中的线面间的位置关系，考查线面垂直的判定与性质，考查棱锥的体积计算，本题考查学生的分析问题解决问题的能力，考查空间想象能力，属于中档题．三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.已知随机变量服从正态分布，且，则           .【答案】【解析】试题分析：正态分布均值为，，故.考点：正态分布．14.若多项式，则______.【答案】【解析】【分析】由二项式定理及其展开式通项公式得展开式的通项为，令，解得，则，得解．【详解】由展开式的通项为，令，解得，则，故答案为：．【点睛】本题考查了二项式定理及其展开式通项公式，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平．15.的内角的对边分别为，若，则_______，的最大值是________．【答案】    (1).     (2). 【解析】【分析】（1）由可得与的关系，即可求得的值；（2）利用诱导公式将用、表示，再利用基本不等式，即可得答案；【详解】，，；由于求的最大值，只需考虑的情况，所以，等号成立当且仅当.故答案为： ；.【点睛】本题考查正弦定理、诱导公式、基本不等式求最值，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力，求解时注意利用基本不等式求最值，要考虑等号成立的条件.16.已知函数的导函数为，且对任意的实数都有(是自然对数的底数)，且，若关于的不等式的解集中恰有两个整数，则实数的取值范围是_________．【答案】【解析】【分析】由得，即.设，由得，从而.判断函数的单调性，数形结合求实数的取值范围.【详解】，即.设.,.由，得；由，得或，函数在上单调递增，在和上单调递减，如图所示 当时，.又，且时，，由图象可知，要使不等式的解集中恰有两个整数，需满足，即.所以实数的取值范围为.故答案为：.【点睛】本题考查利用导数求参数的取值范围，考查数形结合的数学思想方法，属于难题.