2021届高三数学新高考“8+4+4”小题狂练（20）（原卷+解析）

2021届新高考“8+4+4”小题狂练（20）

一. 选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的）

1. 设集合，集合 ，则 等于（    ）

A. (1,2) B. (1,2] C. [1,2) D. [1,2]

【答案】B

【解析】

【分析】

由指数函数、对数函数的性质可得、，再由交集的运算即可得解.

【详解】因为，，

所以.

故选：B.

【点睛】本题考查了指数不等式的求解及对数函数性质的应用，考查了集合交集的运算，属于基础题.

2. 复数的共轭复数为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】

先将复数化简，再利用共轭复数的定义即可求得正确答案.

【详解】,

所以共轭复数为，

故选：B

【点睛】本题主要考查了复数的除法运算以及共轭复数的概念，属于基础题.

3. 已知，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】

利用同角三角函数的基本关系可得，即可求得的值，再利用二倍角公式即可求得的值.

【详解】因为，且，所以，

即，或（舍）

所以，

故选：D

【点睛】本题主要考查了余弦的二倍角公式以及同角三角函数基本关系，属于基础题.

4. 已知等比数列中，，，则（  ）

A. 12 B. 10 C.  D.

【答案】A

【解析】

由已知，∴，∴，故选A.

5. 在中，，．若点满足，则（ ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【详解】试题分析：，故选A．

6. 已知函数满足：①对任意、且，都有；②对定义域内任意，都有，则符合上述条件的函数是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】

由题意得：是偶函数，在单调递增. 对于，是偶函数， 在递增，符合题意；对于，函数是奇函数，不合题意；对于，函数不是偶函数，不合题意；对于，函数在无单调性，不合题意.

【详解】由题意得：是偶函数，在单调递增，

对于，，是偶函数，

且时，，对称轴为，

故在递增，符合题意；

对于，函数是奇函数，不合题意；

对于，由，解得：，

定义域不关于原点对称，故函数不是偶函数，不合题意；

对于，函数在无单调性，不合题意；

故选：A

【点睛】本题考查了函数的单调性和奇偶性问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平．

7. 已知为等差数列，为其前项和，若，则（  ）

A. 49 B. 91 C. 98 D. 182

【答案】B

【解析】

∵，∴，即，∴，故选B．

8. “中国剩余定理”又称“孙子定理”．1852年，英国来华传教士伟烈亚力将《孙子算经》中“物不知数”问题的解法传至欧洲．1874年，英国数学家马西森指出此法符合1801年由高斯得到的关于同余式解法的一般性定理，因而西方称之为“中国剩余定理”．“中国剩余定理”讲的是一个关于整除的问题，现有这样一个整除问题：将1到2019这2019个数中，能被3除余2且被5整除余2的数按从小到大的顺序排成一列，构成数列，则此数列所有项中，中间项的值为（　　）

A. 992 B. 1022 C. 1007 D. 1037

【答案】C

【解析】

【分析】

首先将题目转化为即是3的倍数，也是5的倍数，也即是15的倍数.再写出的通项公式，算其中间项即可.

【详解】将题目转化为即是3的倍数，也是5的倍数，也即是15的倍数.

即，

当，，

当，，

故……，数列共有项．

因此数列中间项为第项，.

故答案为：C．

【点睛】本题主要考查数列模型在实际问题中的应用，同时考查了学生的计算能力，属于中档题.

二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的，全部选对得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分.

9.下列命题中假命题是（    ）

A. 若随机变量服从正态分布，，则；

B. 已知直线平面，直线平面，则“”是“”的必要不充分条件；

C. 若，则在方向上的正射影的数量为

D. 命题的否定

【答案】BCD

【解析】

【分析】

对于A，根据正态分布概率的性质，计算即可；对于B，判断充分性与必要性是否成立即可；对于B，根据向量数量积的几何意义即可判断；对于D，利用特称命题的否定变换原则即可判断D.

【详解】对于A，随机变量服从正态分布，

所以图像关于对称，根据，

可得，

所以，故A正确；

对于B，直线平面，直线平面，

若，则是真命题；若，则是假命题，

所以“”是“”的充分不必要条件，故B错误；

对于C，若，则在方向上的正射影的数量为或，故C错误；

对于D，命题的否定，故D错误；

故选：BCD

【点睛】本题主要考查了正态分布概率的性质、充分性与必要性的定义、向量数量积的几何意义、特称命题的否定变换原则，属于基础题.

10.已知向量，，，则下列结论正确的有（    ）

A.  B. 若∥，则

C. 的最大值为2 D. 的最大值为3

【答案】AC

【解析】

分析】

根据模长公式判断A；根据向量平行的坐标表示判断B；根据数量积公式以及正弦函数的性质判断C；利用模长公式以及正弦函数的性质判断D.

【详解】对于，，正确；

对于，若，则，，错误；

对于，，最大值为2，正确；

对于，

因为，所以，则，即，错误.

故选：AC

【点睛】本题考查平面向量的基本运算和三角函数的性质，属于中等题.

11.如图，四棱锥中，平面底面，是等边三角形，底面是菱形，且，为棱的中点，为菱形的中心，下列结论正确的有（    ）

A. 直线与平面平行 B. 直线与直线垂直

C. 线段与线段长度相等 D. 与所成角的余弦值为

【答案】ABD

【解析】

【分析】

连接，利用线面平行的判定定理判断A；设的中点为，连接，，利用线面垂直的判定定理以及性质判断B；根据面面垂直的性质得出为直角三角形，求出的长度，利用余弦定理得出与所成角的余弦值，证明不是直角，从而得出不是等腰三角形，从而判断CD.

【详解】如图，连接，易知，由线面平行的判定定理得面，正确.

在菱形中，，为等边三角形.设的中点为，连接，，则，，由线面垂直的判定定理得出平面，，B正确.

平面平面，由面面垂直的性质可得为直角三角形

设，则，，.

在中，，，可得

故异面直线与所成角的余弦值为

在中，则不是直角，则不是等腰三角形，即与长度不等，故C错误，D正确

故选：ABD

【点睛】本题考查空间线面位置关系的判断，属于中档题.

12.已知函数，其中，，则下列选项中的条件使得仅有一个零点的有（    ）

A. 为奇函数 B.

C. ， D. ，

【答案】BD

【解析】

【分析】

利用导数得出函数的极值点结合奇函数的性质，即可得出有三个零点，错误；

由，得出，从而得出函数单调递增，则B正确；

取，利用导数得出的极大值为，极小值为，从而得出有两个零点，错误；

得出函数的极大值和极小值，并判断其正负，即可得出仅有一个零点，正确.

【详解】由题知.

对于，由是奇函数，知，因为，所以存在两个极值点，由知，有三个零点，错误；

对于，因为，所以，，所以单调递增，则仅有一个零点，正确；

对于，若取，，则的极大值为，极小值为，此时有两个零点，错误；

对于，，

易得的极大值为，极小值为.

可知仅有一个零点，正确.

故选：BD

【点睛】本题考查利用导数研究函数性质，属于中等题.

三、填空题:本大题共4小题，每小题5分，共20分.

13.设常数，如果的二项展开式中项的系数为-80，那么______.

【答案】

【解析】

【分析】

利用二项式定理的通项公式即可得出.

【详解】的二项展开式的通项公式：，

令，解得.

∴，

解得.

故答案为：-2.

【点睛】本小题主要考查根据二项式展开式的系数求参数，属于基础题.

14.已知函数，若对任意的实数，都存在唯一的实数，使，则实数的最大值是____.

【答案】

【解析】

【分析】

利用任意性与存在性原命题可转化为有且仅有一个解，然后根据三角函数的性质和图像求解即可.

详解】

由，，

则，存在唯一的实数，使，

即有且仅有一个解，

作函数图像与直线，

当两个图像只有一个交点时，由图可知，，

故实数的最大值是.

故答案为：

【点睛】本题主要考查了三角函数的图像与性质，属于较为基础题.

15.“学习强国”学习平台是由中宣部主管，以深入学习宣传习近平新时代中国特色社会主义思想为主要内容，立足全体党员、面向全社会的优质平台，现日益成为老百姓了解国家动态、紧跟时代脉搏的热门APP，该款软件主要设有“阅读文章”“视听学习”两个学习板块和“每日答题”“每周答题”“专项答题”“挑战答题”四个答题板块，某人在学习过程中，“阅读文章”与“视听学习”两大学习板块之间最多间隔一个答题板块的学习方法有______种.

【答案】432

【解析】

【分析】

根据分类计数原理，结合排列数和组合数的计算公式进行求解即可.

【详解】根据题意学习方法有二类：

一类是：在“阅读文章”与“视听学习”两大学习板块之间间隔一个答题板块，

这样的学习方法数为：；

另一类是：在“阅读文章”与“视听学习”两大学习板块之间不间隔一个答题板块，

这样的学习方法数为：，

因此某人在学习过程中，“阅读文章”与“视听学习”两大学习板块之间最多间隔一个答题板块的学习方法数为：.

故答案为：432

【点睛】本题考查了分类计算原理的应用，考查了排列数与组合数的计算，考查了数学运算能力和数学阅读能力.

16.三棱锥中，，且平面平面，则__________；若球与该三棱锥除以外的5条棱均相切，则球的半径为__________.

【答案】    (1).     (2).

【解析】

【分析】

设为的中点，利用面面垂直的性质定理以及线面垂直的性质得出，再由勾股定理得出，从而得出；设，分别为对应面的内心，分别过，作，的平行线，交于点，即为所求的球心，根据题意得出是正方形，得出内切圆的半径，即可得出球的半径.

【详解】如图，设为的中点，因为，所以，又因为平面平面，所以由面面垂直的性质定理得平面，所以

因为，所以

从而可得，.

设，分别为对应面的内心，分别过，作，的平行线，交于点

即为所求的球心，易知是正方形

设内切圆的半径为，球的半径为，由图可知，而，所以.

故答案为：；

【点睛】本题主要考查了面面垂直性质的应用以及几何体的切接问题，属于中档题.