期末卷01 备战2021年高三数学期末全真模拟题（八省新高考地区专版）（解析版）

2021年高三数学期末全真模拟卷01
（新高考地区专用）
姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________
注意事项：
本试卷满分150分，考试时间120分钟，试题共23题．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．
一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共60分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1.已知集合A＝{y|y＝1+}，B＝{x|x﹣3≤0}，则A∩B＝（　　）
A．{1，2} B．[1，3] C．（2，3） D．（2，+∞）

【解答】解：∵集合A＝{y|y＝1+}＝{y|y≥1}，
B＝{x|x﹣3≤0}＝{x|x≤3}，
∴A∩B＝{x|1≤x≤3}＝[1，3]．
故选：B．
【知识点】交集及其运算

2.已知m＞0，函数f（x）＝x2+x﹣m，实数x1，x2满足x1＞0，x2＞0，若，则（　　）
A．x1+x2＜m
B．x1+x2＝m
C．x1+x2＞m
D．x1+x2与m的大小关系不能确定

【解答】解：∵m＞0，函数f（x）＝x2+x﹣m，
故函数在（0，+∞）上单调递增，
∵实数x1，x2满足x1＞0，x2＞0，且，
∴x12+x1﹣m＝0，
∴x1＝⇒x12＝x2，
∴x1+x2＝x12+x1，
∴x1+x2＝m成立，
故选：B．
【知识点】函数的零点与方程根的关系

3.已知函数f（x）＝+x+sinx﹣1，若f（a﹣1）+f（2a2）≤﹣2，则实数a的取值范围是（　　）
A．[﹣1，] B．（﹣∞，﹣1]∪[，+∞）
C．[﹣，1] D．（﹣∞，﹣]∪[1，+∞）

【解答】解：由题意可知函数f（x）＝+x+sinx﹣1的定义域为R，
令g（x）＝f（x）+1＝+x+sinx，
则g（﹣x）＝+（﹣x）+sin（﹣x）＝﹣（+x+sinx）＝﹣g（x），
所以g（x）为奇函数，
g′（x）＝+1+cosx＞0在R上恒成立，
所以g（x）在R上单调递增，
不等式f（a﹣1）+f（2a2）≤﹣2，则f（a﹣1）+1≤﹣（f（2a2）+1），
即g（a﹣1）≤﹣g（2a2），即g（a﹣1）≤g（﹣2a2），
所以a﹣1≤﹣2a2，解得﹣1≤a≤．
故选：A．
【知识点】函数单调性的性质与判断、奇偶性与单调性的综合

4.已知e为自然对数的底数，a，b为实数，且不等式lnx+（2e﹣a﹣1）x+b+1≤0对任意的x∈（0，+∞）恒成立．则当取最大值时，a的值为（　　）
A．2e B．2e﹣1 C．3e D．3e﹣1

【解答】解：由于lnx+（2e﹣a﹣1）x+b+1≤0⇔lnx+2ex﹣1≤（a+1）x﹣（b+2）．
此不等式对任意x∈（0，+∞）恒成立，
则需要保证a+1＞0．
令，则
从而，从而．
另一方面，当a＝3e﹣1，b＝1时，lnx+（2e﹣a﹣1）x+b+1≤0即为lnx﹣ex+2≤0，
设f（x）＝lnx﹣ex+2（x＞0），则得，
故f（x）在上单调递增，在上单调递减，
从而，
即a＝3e﹣1，b＝1可使不等式恒成立，
从而可取．
综合上述，当取最大值时，a＝3e﹣1．
故选：D．
【知识点】利用导数研究函数的最值、函数的最值及其几何意义

5.若等比数列{an}的各项均为正数，且a10a11+a9a12＝2e3，则lna1+lna2+…+lna20的值为（　　）
A．30 B．60 C．ln30+1 D．3+ln10

【解答】解：∵a10a11+a9a12＝2e3，∴由等比数列的性质可得：a1a20＝a2a19＝…＝a9a12＝a10a11＝e3，
∴lna1+lna2+…+lna20＝ln（a1a2…a19a20）＝ln[（a1a20）]10＝10lne3＝30，
故选：A．
【知识点】等比数列的通项公式、等比数列的性质

6.己知i为虚数单位，若是纯虚数，则实数m的值为（　　）
A． B．﹣ C．2 D．﹣2

【解答】解：＝＝＝（m﹣2）+（m+2）i，
令，解得m＝2，
所以实数m的值为2．
故选：C．
【知识点】虚数单位i、复数、复数的运算

7.将函数y＝sinx的图象向右平移个单位长度，再将横坐标缩短为原来的（ω＞0）得到函数y＝f（x）的图象，若y＝f（x）在[0，]上的最大值为，则ω的取值个数为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4

【解答】解：将函数y＝sinx的图象向右平移个单位长度，可得y＝sin（x﹣）的图象．
再将横坐标缩短为原来的（ω＞0）得到函数y＝f（x）＝sin（ωx﹣）的图象，
∵x∈[0，]上，∴ωx﹣∈[﹣，π]，
当π≥，即ω≥4时，则＝1，求得ω＝5．
当π＜，即0＜ω＜4时，由题意可得 sinπ＝，
作出函数y＝sin[（x﹣1）]与y＝的图象如图：

由图可知，此时函数y＝sin[（x﹣1）]与y＝的图象有唯一交点，则sinπ＝有唯一解．
综上，ω的取值个数为2．
故选：B．
【知识点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换

8.设双曲线﹣＝1（a＞0，b＞0）的右焦点为F，右顶点为A，过F作AF的垂线与双曲线交于B，C两点，过B，C分别作AC，AB的垂线交于点P．若P到直线BC的距离小于a+c，则该双曲线的离心率的取值范围是（　　）
A．（1，） B．（﹣∞，） C．（1，] D．（1，）

【解答】解：由题意，A（a，0），B（c，），C（c，﹣），
由双曲线的对称性知P在x轴上，设P（x，0），
则由BP⊥AC，得，∴c﹣x＝，
∵P到直线BC的距离小于a+c，∴|c﹣x|＝||＜a+c，
∴＜c2﹣a2＝b2，即b2＜a2，得c2﹣a2＜a2，
∴c2＜2a2，又e＞1，解得1＜e＜．
∴双曲线的离心率的取值范围是（1，）．
故选：A．

【知识点】双曲线的性质
二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）选错不得分，选对部分得3分，全对得5分
9.下列函数中既是定义域上的偶函数，又是 （0，+∞）上的增函数为（　　）
A． B． C．y＝|lnx| D．y＝e|x||

【解答】解：y＝在（0，+∞）上为减函数，不符合题意，
y＝|lnx|为非奇非偶函数，不符合题意，
y＝和y＝e|x|为偶函数，且在在（0，+∞）上为增函数，
故选：BD．
【知识点】奇偶性与单调性的综合

10.下列各小题中，最大值是的是（　　）
A． B．
C． D．

【解答】解：A．y没有最大值；
B．y2＝x2（1﹣x2）≤＝，y≥0，∴y≤，当且仅当x＝时取等号．
C．x＝0时，y＝0．x≠0时，y＝≤，当且仅当x＝±1时取等号．
D．y＝x+2+﹣2≥2﹣2＝2，x＞﹣2，当且仅当x＝0时取等号．
故选：BC．
【知识点】基本不等式及其应用

11.若随机变量X服从两点分布，其中，E（X）、D（X）分别为随机变量X均值与方差，则下列结论正确的是（　　）
A．P（X＝1）＝E（X） B．E（3X+2）＝4
C．D（3X+2）＝4 D．

【解答】解：随机变量X服从两点分布，其中，
∴P（X＝1）＝，
E（X）＝，
D（X）＝（0﹣）2×+（1﹣）2×＝，
在A中，P（X＝1）＝E（X），故A正确；
在B中，E（3X+2）＝3E（X）+2＝3×＝4，故B正确；
在C中，D（3X+2）＝9D（X）＝9×＝2，故C错误；
在D中，D（X）＝，故D错误．
故选：AB．
【知识点】离散型随机变量的期望与方差

12.已知双曲线﹣＝1（n∈N*），不与x轴垂直的直线l与双曲线右支交于点B，C（B在x轴上方，C在x轴下方），与双曲线渐近线交于点A，D（A在x轴上方），O为坐标原点，下列选项中正确的为（　　）
A．|AC|＝|BD|恒成立
B．若S△BOC＝S△AOD，则|AB|＝|BC|＝|CD|
C．△AOD面积的最小值为1
D．对每一个确定的n，若|AB|＝|BC|＝|CD|，则△AOD的面积为定值

【解答】解：设l：y＝kx+b，代入x2﹣y2＝n，得（1﹣k2）x2﹣2kbx﹣b2﹣n＝0，①
显然k≠±1，△＝4b2k2+4（1﹣k2）（b2+n）＞0，即b2+n（1﹣k2）＞0，
设B（x1，y1），C（x2，y2），则x1，x2是方程①的两个根，
有，，
设A（x3，y3），D（x4，y4），
由，得；
由，得；
∴，即AD和BC的中点重合，则|AC|＝|BD|恒成立，故A正确．
∵AD和BC的中点重合为P，∴|AB|＝|CD|，
又S△BOC＝S△AOD，∴|BC|＝|AD|，则|AB|＝|BC|＝|CD|，故B正确．
当BC过点（1，0）且BC垂直于x轴时，△AOD的面积最小值为1，
则当n无限小时，存在不垂直与x轴的直线与双曲线右支交于点B，C，与双曲线渐近线交于点A，D，
使得△AOD的面积大于1，故C错误．
∵|AB|＝|BC|＝|CD|，∴|BC|＝|AD|，得＝|x3﹣x4|，即＞0，
∴n＞0，k2＞1，|OA|＝，|OD|＝，∠AOD＝90°，
∴是定值，故D正确．
故选：ABD．

【知识点】双曲线的性质
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）
13.已知二项式的展开式中含x3项的系数是160，则实数a的值是　　．

【解答】解：二项式的展开式的通项公式为 Tr+1＝•ar•x12﹣3r，
令12﹣3r＝3，求得r＝3，可得展开式中含x3项的系数是 •a3＝160，
解得实数a＝2，
故答案为：2．
【知识点】二项式定理

14.已知f（x）是定义在R上的偶函数，且在区间（﹣∞，0）上单调递增，若实数a满足f（2|a﹣1|）＞f（﹣），则a的取值范围是　　　　　　　　　　　　　．

【解答】解：∵f（x）是定义在R上的偶函数，且在区间（﹣∞，0）上单调递增，
∴f（x）在区间[0，+∞）上单调递减，
则f（2|a﹣1|）＞f（﹣），等价为f（2|a﹣1|）＞f（），
即﹣＜2|a﹣1|＜，
则|a﹣1|＜，即＜a＜，
故答案为：（，）
【知识点】奇偶性与单调性的综合

15.已知数列{an}中，a1＝1，an﹣an﹣1＝n（n≥2，n∈N），设bn＝+++…+，若对任意的正整数n，当m∈[1，2]时，不等式m2﹣mt+＞bn恒成立，则实数t的取值范围是　　﹣∞　　　．

【解答】解：∵a1＝1，an﹣an﹣1＝n（n≥2，n∈N），
当n≥2时，an﹣an﹣1＝n，an﹣1﹣an﹣2＝n﹣1，…，a2﹣a1＝2，
并项相加，得：an﹣a1＝n+（n﹣1）+…+3+2，
∴an＝1+2+3+…+n＝n（n+1），
又∵当n＝1时，a1＝×1×（1+1）＝1也满足上式，
∴数列{an}的通项公式为an＝n（n+1），
∴bn＝+++…+
＝++…+
＝2（﹣+﹣+…+﹣）
＝2（﹣）＝＝，
令f（x）＝2x+（x≥1），则f′（x）＝2﹣，
∵当x≥1时，f'（x）＞0恒成立，
∴f（x）在x∈[1，+∞）上是增函数，
故当x＝1时，f（x）min＝f（1）＝3，即当n＝1时，（bn）max＝，
对任意的正整数n，当m∈[1，2]时，不等式m2﹣mt+＞bn恒成立，
则须使m2﹣mt+＞（bn）max＝，
即m2﹣mt＞0对∀m∈[1，2]恒成立，即t＜m的最小值，
可得得t＜1，
∴实数t的取值范围为（﹣∞，1），
故答案为：（﹣∞，1）．
【知识点】数列与函数的综合、数列递推式

16.古希腊数学家希波克拉底曾研究过如图的几何图形，此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形ABC的斜边BC，直角边AB，AC．若以AB，AC为直径的两个半圆的弧长总长度为2π，则以斜边BC为直径的半圆面积的最小值为　　．


【解答】解：设AB＝a，AC＝b，∵以AB，AC为直径的两个半圆的弧长总长度为2π，
则aπ+bπ＝2π，化为：a+b＝4．
∵∠BAC＝，∴BC＝．
∴以斜边BC为直径的半圆面积S＝π＝×（a2+b2）≥×＝×＝π，当且仅当a＝b＝2时取等号．
∴以斜边BC为直径的半圆面积的最小值为π．
故答案为：π．
【知识点】扇形面积公式
四、解答题（本大题共7小题，共70分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17.在△ABC中，已知内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，（1）c＝2b，A＝．
（1）求C；
（2）若•＝1，求c．

【解答】解：（1）∵（1）c＝2b，A＝；
结合正弦定理得：（1）sinC＝2sinB＝2sin（﹣C）＝2（cosC+sinC），
∴sinC＝cosC；
∵C∈（0，π）；
∴C＝；
（2）由（1）得：sinB＝sin（A+C）＝sinAcosC+sinCcosA＝×+×＝；
∵＝⇒a＝；b＝；
∴•＝abcosC＝××cosC＝c2×××＝1；
∴c2＝4；
∴c＝2 （负值舍）．
即c＝2．
【知识点】平面向量数量积的性质及其运算

18.如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为正方形，PA⊥底面ABCD，PA＝AB，E为线段PB的中点．
（1）证明：点F在线段BC上移动时，△AEF为直角三角形；
（2）若F为线段BC的中点，求二面角A﹣EF﹣D的余弦值．


【解答】（1）证明：因为PA＝AB，E为线段PB的中点，所以AE⊥PB，
因为PA⊥底面ABCD，BC⊂平面ABCD，所以PA⊥BC，
又因为底面ABCD为正方形，所以BC⊥AB，
又PA∩AB＝A，所以BC⊥平面PAB，
∵AE⊂平面PAB，∴BC⊥AE，
因为PB∩BC＝B，所以AE⊥平面PBC，
因为FE⊂平面PBC，所以AE⊥EF，
所以点F在线段BC上移动时，△AEF为直角三角形．
（2）解：由题意，以AB，AD，AP所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，令PA＝2，
则A（0，0，0），B（2，0，0），E（1，0，1），F（2，1，0），
易知平面DAF的一个法向量为＝（0，0，1）；
设平面AEF的法向量为＝（x，y，z），则•＝•＝0，可得：2x+y＝0，x+z＝0，
取＝（1，﹣2，﹣1），
所以cos＜，＞＝＝﹣，
由图可知：二面角A﹣EF﹣D的平面角为钝角，因此余弦值为﹣．

【知识点】二面角的平面角及求法

19.已知函数（a为常数），其中f（x）＜0的解集为（﹣4，0）．
（1）求实数a的值；
（2）设g（x）＝x+f（x），当x（x＞0）为何值时，g（x）取得最小值，并求出其最小值．

【解答】解：（1）已知f（x）＜0的解集为（﹣4，0），
故f（x）＝0一个根为﹣4，
所以﹣a＝﹣4，
得a＝4．
（2）．
因为x＞0，所以，
当且仅当，即x＝2时取等号；
所以当x＝2时，g（x）取得最小值为5．
【知识点】函数的最值及其几何意义、其他不等式的解法

20.已知函数f（x）＝ex﹣1+alnx．（e为自然对数的底数），λ＝min{a+2，5}．（min{a，b}表示a，b中较小的数．）
（1）当a＝0时，设g（x）＝f（x）﹣x，求函数g（x）在[，]上的最值；
（2）当x≥1时，证明：f（x）+x2≥λ（x﹣1）+2．

【解答】解：（1）当a＝0时，，
则g'（x）＝ex﹣1﹣1，令g'（x）＝0，得x＝1，
当x＜1时，g'（x）＜0；当x＞1时，g'（x）＞0，
所以函数g（x）在区间上单调递减，在区间上单调递增，
从而g（x）在上的最小值为g（1）＝0，
因为，，
所以，
从而g（x）在上的最大值为．
（2）①当a+2≤5即a≤3时，λ＝a+2．f（x）+x2≥λ（x﹣1）+2⇔ex﹣1+alnx+x2﹣（a+2）x+a≥0，
设k（x）＝ex﹣1+alnx+x2﹣（a+2）x+a，则，
令，则，
因为x≥1，所以x2ex﹣1+2x2＝x2（ex﹣1+2）≥3，
因为a≤3，所以φ'（x）≥0，当且仅当x＝1且a＝3时，等号成立．
从而k'（x）在[1，+∞）上单调递增．
注意到k'（1）＝1，所以k'（x）＞0，从而k（x）在[1，+∞）上单调递增，
注意到k（1）＝0，所以k（x）≥0，原不等式成立．
②当a+2＞5即a＞3时，λ＝5f（x）+x2≥λ（x﹣1）+2⇔ex﹣1+alnx+x2﹣5x+3≥0，
由（1）知ex﹣1≥x，及x≥1，a＞3，
所以ex﹣1+alnx+x2﹣5x+3＞3lnx+x2﹣4x+3．
设h（x）＝3lnx+x2﹣4x+3，x≥1，
则，所以h（x）在[1，+∞）上单调递增，
注意到h（1）＝0，所以h（x）≥0，原不等式成立．
综上，当x≥1时，不等式f（x）+x2≥λ（x﹣1）+2成立．
【知识点】利用导数研究函数的单调性、利用导数研究函数的最值

21.现有甲，乙两种不透明充气包装的袋装零食，每袋零食甲随机附赠玩具M1，M2，M3中的一个，每袋零食乙从玩具N1，N2中随机附赠一个．记事件An：一次性购买n袋零食甲后集齐玩具M1，M2，M3；事件Bn：一次性购买n袋零食乙后集齐玩具N1，N2．
（1）求概率P（A4），P（A5）及P（B4）；
（2）已知，其中a，b为常数，求P（An）．

【解答】解：（1）一次性购买4袋零食甲获得玩具的情况共有34＝81种不同的可能，
其中能够集齐三种玩具的充要条件是M1，M2，M3三个玩具中，某个玩具出现两次，其余玩具各出现一次，对应的可能性为，
故，
一次性购买5袋零食甲获得玩具的情况共有35＝243不同的可能，
其中能够集齐三种玩具的充要条件是M1，M2，M3三个玩具中，某个玩具出现三次，其余玩具各出现一次或某两个玩具各出现两次，另一个玩具出现一次，对应的可能性分别为，，
故．
一次性购买4袋零食乙获得玩具的情况共有24＝16种不同的可能，
其中不能集齐两种玩具的情况只有2种，即全是N1，全是N2，
故．
（2）记an＝P（An），bn＝P（Bn），根据题意及（1）的计算，不难整理得下表：
由于Bn的对立事件总是2种情形（即全是N1，全是N2），容易得到．
为解出待定系数a，b，
令即
解得或（舍去，因为）．
故，
即，
同理，
……，
累加可得（n≥2）．
当n＝1时，a1＝0适合上式，
∴（n∈N*）．
【知识点】概率的应用

22.在数列{an}中，a1＝1，an+1＝1﹣，bn＝，其中n∈N*．
（1）证明：数列{bn}为等差数列，并求出{bn}通项公式；
（2）设cn＝，数列{cn}的前n项和为Tn，求Tn；
（3）已知当n∈N*且n≥6时，（1﹣）n＜（）m，其中m＝1，2，……，n，求满足等式3n+4n+……+（n+2）n＝（bn+3）的所有n的值之和．

【解答】（1）证明：数列{an}中，a1＝1，an+1＝1﹣，bn＝，
所以＝．
∴数列{bn}为等差数列，
又，
所以bn＝1+（n﹣1）＝n．
（2）因为，
所以①，
则：②，
①﹣②，得．
故＝＝．
（3）由（2）得等式
可化为3n+4n+…+（n+2）n＝（n+3）n，
即，
所以：．
∵当n≥6时，，
∴，，…，．
∴＝1﹣．
∴当n≥6时，3n+4n+…+（n+2）n＜（n+3）n
当n＝1，2，3，4，5时，经验算n＝2，3时等号成立
∴满足等式的所有n＝2，3
其和为5．
【知识点】数列递推式、数列的求和

23.已知椭圆过点P（2，1），F1，F2分别为椭圆C的左、右焦点且
（1）求椭圆C的方程；
（2）过P点的直线l1与椭圆C有且只有一个公共点，直线l2平行于OP（O为原点），且与椭圆C交于两点A、B，与直线x＝2交于点M（M介于A、B两点之间）．
（i）当△PAB面积最大时，求l2的方程；
（ii）求证：|PA||MB|＝|PB||MA|，并判断l1，l2，PA，PB的斜率是否可以按某种顺序构成等比数列？


【解答】解：（1）设F1（﹣c，0），F2（c，0），
所以＝（﹣c﹣2，﹣1）（c﹣2，﹣1）＝4﹣c2+1＝5﹣c2，
由题意可得5﹣c2＝﹣1，所以c2＝6，
由于椭圆过点（2，1），所以+＝1，c2＝a2﹣b2＝6，解得：b2＝2，a2＝8，
所以椭圆的方程为：+＝1；
（2）（i）设过P的切线方程为：y＝k（x﹣2）+1，与椭圆联立可得（1+4k2）x2+8k（1﹣2k）x+4（1﹣2k）2﹣8＝0，
由题意可得△＝64k2（1﹣2k）2﹣4（1+4k2）[4（1﹣2k）2﹣8]＝0，解得k＝﹣，
kOP＝
由题意直线l2的方程，y＝x+t，设A（x1，y1），B（x2，y2），
联立直线l2与椭圆的方程，整理可得2x2+4tx+4t2﹣8＝0，
△＝16t2﹣4•2•（4t2﹣8）＞0，即t2＜4，
x1+x2＝﹣2t，x1x2＝2t2﹣4，
所以弦长|AB|＝＝，
P到直线AB的距离为：d＝＝，
所以S△PAB＝•d＝＝≤2，
当且仅当t2＝2取等号，M介于A、B之间可得t＝﹣
这时直线l2的方程为y＝x﹣；
（ii）由（i）可得kPA+kPB＝+＝＝，
将x1+x2＝﹣2t，x1x2＝2t2﹣4，代入可得kPA+kPB＝0，
所以直线PA，PB关于直线x＝2对称，即PM为∠APB的角平分线，
由角平分线的性质可得＝，
即证得：|PA||MB|＝|PB||MA|．
由（i）kPA+kPB＝0，因为l1，l2的斜率互为相反数，直线PA，PB的斜率互为相反数，
所以存在l1，l2，PA，PB的斜率的顺序l1PA，l2，PB的斜率成等比数列，公比为﹣2k，或PA，l1，PB，l2的斜率成等比数列，且公比为﹣．

【知识点】椭圆的标准方程、直线与椭圆的综合