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    期末卷05 备战2021年高三数学期末全真模拟卷(八省新高考地区专版)(解析版)

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    2021年高三数学期末全真模拟卷05

    (新高考地区专用)

    姓名:__________________     班级:______________   得分:_________________

    注意事项:

    本试卷满分150分,考试时间120分钟,试题共23题答卷前,考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置

    一、选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分)在每小题所给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.

    1都是实数,且,则的值是

    A-1 B0 C1 D2

    【答案】C

    【分析】

    对条件中的式子进行化简,根据复数相等,得到相应的的值,得到答案.

    【详解】

    所以,解得,所以

    故选C.

    【点睛】

    本题考查复数的四则运算,属于简单题.

    2集合,下列命题中不正确的是(   

    A B

    C,则在复平面上所对应的点一定不在第四象限 D,则不一定是纯虚数

    【答案】A

    【分析】

    A:根据复数的分类结合集合的交集运算定义进行判断即可;

    B:根据复数的分类结合元素与集合的关系进行判断即可;

    C:根据复数在平面对应点的特征结合不等式组的解集进行判断即可;

    D:根据复数模的定义结合复数的分类进行判断即可.

    【详解】

    A:当时,,因此,故本命题是假命题;

    B:当时,,此时,因此,故本命题是真命题;

    C:当在复平面上所对应的点在第四象限时,则有成立,而该不等式组的解集为空集,故本命题是真命题;

    D:当时,有,即,故本命题是真命题.

    故选:A

    【点睛】

    本题考查了复数的分类、模的计算公式,考查了集合的交集运算,考查了元素与集合的关系,考查了命题的真假判断,属于基础题.

    3当生物死亡后,其体内原有的碳的含量大约每经过年衰减为原来的一半,这个时间称为“半衰期”.在一次考古挖掘中,考古学家发现一批鱼化石,经检测其碳14含量约为原始含量的,则该生物生存的年代距今约()

    A万年 B万年 C万年 D万年

    【答案】C

    【分析】

    根据实际问题,可抽象出,按对数运算求解.

    【详解】

    设该生物生存的年代距今是第5730年,

    到今天需满足

    解得:

    万年.

    故选C.

    【点睛】

    本题考查了指数和对数运算的实际问题,考查了转化与化归和计算能力.

    4已知,若关于的不等式的解集中的整数恰有3个,则的取值范围为(  

    A B C D

    【答案】C

    【分析】

    要使关于的不等式的解集中的整数恰有3个, 不等式的解集一定是在两个实数之间,这样得到不等式的解集,结合,求出的取值范围.

    【详解】

    ,可得,由题意可知不等式的解应在两根之间,即有,结合,所以,不等式的解集为

    舍去,不等式的解集为,又因为,所以,故当时,不等式的解集为,这样符合题意,故,而,当满足时,就能符合题意,即,而,所以的取值范围为,故本题选C.

    【点睛】

    本题考查了一元二次不等式的解法,一元二次不等式整数解问题,利用二次函数的性质是解题的关键.

    5若四边形ABCD是正方形,EDC边的中点,且,则等于(   )

    Aba Bba Cab Dab

    【答案】B

    【解析】

    ∵四边形ABCD为正方形,ECD边的中点,

    .

    又因为.

    所以.

    故选B.

    6已知点在幂函数的图象上,则   

    A是奇函数 B是偶函数 C是非奇非偶函数 D既是奇函数又是偶函数

    【答案】A

    【解析】

    ∵点在幂函数f(x)的图象上,

    解得a=−1,

    f(x)为奇函数。

    故选:A.

    7fg都是由AA的映射,其对应法则如下表所示(从上到下),则与相同的是(   

    A B C D

    【答案】D

    【分析】

    根据映射的定义先查表求得的值,再结合每个选项和表格对应关系判断即可

    【详解】

    结合表格可知:

    A

    B

    C

    D

    故选D

    【点睛】

    本题考查映射的对应关系,表格的分析能力,属于基础题

    8已知圆,直线.若直线上存在点,以为圆心且半径为1的圆与圆有公共点,则的取值范围(   

    A B

    C D

    【答案】C

    【分析】

    由已知可得直线上存在点,使得,转化为圆心到直线的距离,求解即可.

    【详解】

    直线上存在点,以为圆心且半径为1的圆与圆有公共点,

    ,只需

    即圆的圆心到直线的距离

    .

    故选:C.

    【点睛】

    本题考查圆与圆的位置关系、直线与圆的位置关系,考查计算求解能力,属于基础题.

    二、多项选择题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)选错不得分,选对部分得3分,全对得5分

    9下列命题正确的有(   

    A B

    C D

    【答案】CD

    【分析】

    利用集合的交、并、补运算法则直接求解.

    【详解】

    A,因为,故错误;

    B,因为,故B错误;

    C,故正确;

    D,故正确.

    故选:CD

    【点睛】

    本题考查命题真假的判断,考查集合的交、并、补运算法则等基础知识,考查运算求解能力,属于基础题.

    10下列函数中,是偶函数,且在区间上为增函数的是(   

    A By=1-x2 C D

    【答案】AD

    【分析】

    根据题意,依次分析选项中函数的奇偶性与单调性,综合即可得答案.

    【详解】

    根据题意,依次分析选项:

    对于Ay|x|,是偶函数,且在区间(0+∞)上为增函数,符合题意;

    对于By1x2,是二次函数,在区间(01)上为减函数,不符合题意;

    对于Cy,是反比例函数,是奇函数,不符合题意;

    对于Dy2x2+4,为二次函数,是偶函数且在区间(0+∞)上为增函数,符合题意;

    故选:AD

    【点睛】

    本题考查函数的奇偶性与单调性的判断,关键是掌握常见函数的奇偶性与单调性,属于基础题.

    11已知抛物线上一点到准线的距离为,到直线的距离为,则的取值可以为(   )

    A3 B4 C D

    【答案】ABD

    【分析】

    利用抛物线的定义,的取值转化为求点到直线的距离即可求得结论.

    【详解】

    解:抛物线上的点到准线的距离等于到焦点的距离,

    所以过焦点作直线的垂线,

    到直线的距离为的最小值,如图所示:

    所以,选项ABD均大于或等于3.

    故选:ABD

    【点睛】

    本题考查抛物线的定义,抛物线上的点到准线的距离等于到焦点的距离.利用点到直线的距离公式即可求解.

    12已知点是抛物线的焦点,是经过点的弦且的斜率为,且两点在轴上方.则下列结论中一定成立的是()

    A B,则

    C D四边形面积最小值为

    【答案】AC

    【分析】

    先由的斜率为,得到,设的方程为,联立直线与抛物线方程,根据韦达定理得到

    再由抛物线的焦点弦公式求出,最后根据题意,逐项判断,即可得出结果.

    【详解】

    因为的斜率为,所以

    的方程为

    可得,

    所以

    同理可得

    则有,所以A正确;

    无关,同理,故C正确;

    ,由

    ,解得,故B错;

    因为,所以四边形面积当且仅当,即时,等号成立;故D错;

    故选AC

    【点睛】

    本题主要考查直线与抛物线位置关系,熟记抛物线的简单性质,以及直线与抛物线的位置关系即可,解决此类题型,通常需要联立直线与抛物线方程,结合韦达定理,弦长公式等求解,属于常考题型.

     

    三、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.不需写出解答过程,请把答案直接填写在横线上)

    13,则__________

    【答案】

    【分析】

    ,结合,可解得,即可求解

    【详解】

    ,化简得(舍去),故

    故答案为1

    【点睛】

    本题考查同角三角函数的基本关系,解题易错点为忽略应舍去的情况,属于基础题

    14.设是定义在同一区间上的两个函数,若函数上有两个不同的零点,则称上是关联函数,区间称为关联区间.若[0,3]上是关联函数,则的取值范围是         

    【答案】

    【解析】

    试题分析:由题意得,函数

    则函数在上有两个不同的零点,

    ,则,即,故选C

    考点:1、新定义;2、函数的零点.

    15的各位数字之和,如,则;记,…,,则________

    【答案】8

    【分析】

    根据题意,逐步计算出,归纳得到为周期,进而可求出结果.

    【详解】

    由题意,,因为,所以

    ,因为,所以

    ,因为,所以

    ……

    所以为周期,因此.

    故答案为:

    【点睛】

    本题主要考查归纳推理,根据题中所给条件,总结出规律即可,属于常考题型.

    16下列命题中所有正确的序号是____. 

    1,对应是映射;

    2)函数都是既奇又偶函数;

    3)已知对任意的非零实数都有,则

    4)函数的定义域是,则函数的定义域为

    5)函数上都是增函数,则函数上一定是增函数.

    【答案】1)(3)(4

    【解析】

    【分析】

    根据映射的概念、函数的概念和性质逐项判断即可得到正确结果.

    【详解】

    对于(1),,则,故(1)正确;

    对于(2),的定义域为,不是既奇又偶函数,故(2)错误;

    对于(3),分别令代入等式可得,,解得,故(3)正确;

    对于(4),函数的自变量范围为,则,所以函数的定义域为,故(4)正确;

    对于(5),举出反例,,函数上都是增函数,但函数上不是增函数,故(5)错误.

    故答案为(1)(3)(4.

    【点睛】

    本题考查映射的概念、函数的概念和性质,序号3考查了赋值法的应用,熟练掌握函数的三要素、单调性和奇偶性是解题的关键,属中档题.

    四、解答题(本大题共7小题,共70分.请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

    17已知函数.

    1)求在区间上的单调递增区间;

    2)求的值域.

    【答案】(1) . (2)

    【分析】

    1)利用辅助角公式可将函数化简为;令可求出的单调递增区间,截取在上的部分即可得到所求的单调递增区间;(2)利用的范围可求得的范围,对应正弦函数的图象可求得的范围,进而得到函数的值域.

    【详解】

    1

    ,解得:

    ,可知上单调递增

    ,可知上单调递增

    上的单调递增区间为:

    2)当时,   

    的值域为:

    【点睛】

    本题考查正弦型函数单调区间和值域的求解问题;解决此类问题的常用方法是采用整体对应的方式,将整体对应正弦函数的单调区间或整体所处的范围,从而结合正弦函数的知识可求得结果.

    18已知函数

    1)判断并证明函数的奇偶性;

    2)判断并证明函数上的单调性.

    【答案】(1)为奇函数,证明见解析(2)在区间上为增函数,证明见解析

    【分析】

    1)根据函数解析式,可得出定义域为,再由函数奇偶性的概念,即可得出结果;

    2)根据函数单调性的定义,任取,且,作差比较大小,即可得出结果.

    【详解】

    1)函数的定义域为

    为奇函数

    2在区间上为增函数;

    证明: 任取,且

    因为,所以,所以

    在区间上为增函数.

    【点睛】

    本题主要考查函数奇偶性的判定以及单调性的判定,熟记函数奇偶性的概念,以及函数单调性的定义即可,属于常考题型.

    19已知数列{an}中,,当n≥2时,其前n项和Sn满足

    (1)求Sn的表达式及的值;

    (2)求数列{an}的通项公式;

    【答案】(1);(2)

    【分析】

    (1)利用an和Sn的关系,代入变形可得.然后再用极限法则求解.

    (2)由(1)并利用an和Sn的关系,可解.

    【详解】

    (1)

    所以是等差数列.则

    (2)当n≥2时,,综上,

    【点睛】

    本题考查数列极限的综合知识,其中注意an和Sn的关系,也考查了数列通项求法,属于基础题.

    201)已知非零向量满足,且,求的夹角

    2)四边形为平行四边形,,若点MN满足,求的值.

    【答案】129

    【分析】

    1)由,再结合向量的数量积运算即可得解;

    2)由向量的线性运算可得,再结合向量的数量积运算即可得解;

    【详解】

    解:(1)因为,所以

    ,则

    所以

    2)∵,∴

    【点睛】

    本题考查了向量的数量积运算,重点考查了向量的夹角及向量的线性运算,属基础题.

    21设二次函数的图像过点,且对于任意实数,不等式恒成立.

    1)求的表达式;

    2)设,若上是增函数,求实数的取值范围.

    【答案】;(.

    【解析】

    试题分析:(1)恒成立得 ;(2)化简

    在区间 上为增函数且恒为正实数

    试题解析:

     (1)f(0)=c=1,f(1)=abc=4,

    f(x)=ax2+(3-a)x+1.

    f(x)≥4xax2-(a+1)x+1≥0恒成立得

    解得a=1.

    f(x)=x2+2x+1.

    (2)F(x)=log2[g(x)-f(x)]=log2[-x2+(k-2)x].

    F(x)在区间[1,2]上是增函数,

    h(x)=-x2+(k-2)x在区间[1,2]上为增函数且恒为正实数,

    解得k≥6.

    22已知直线半径为的圆与直线相切,圆心轴上且在直线的上方.

    1)求圆的方程;

    2)设过点 的直线被圆截得弦长等于,求直线的方程;

    3)过点的直线与圆交于两点(轴上方),问在轴正半轴上是否存在点,使得轴平分?若存在,求出点的坐标;若不存在,请说明理由.

    【答案】1;2;3)当点,能使得总成立.

    【分析】

    1)设出圆心坐标根据直线与圆相切,得到圆心到直线的距离,确定出圆心坐标,即可得出圆方程;

    2)根据垂径定理及勾股定理,由过点的直线被圆截得的弦长等于,分直线斜率存在与不存在两种情况求出直线的方程即可;

    3)当直线轴则轴平分,当直线斜率存在时,设直线方程为,联立圆与直线方程消去得到关于的一元二次方程,利用韦达定理表示出两根之和与两根之积,由若轴平分,,求出的值,确定出此时坐标即可.

    【详解】

    :1)设圆心,

    因为直线,半径为的圆与相切,

    ,,解得(舍去),

    则圆方程为: .

    2)由题意可知圆心到直线的距离为

    若直线斜率不存在,则直线,圆心到直线的距离为1;

    若直线斜率存在,设直线,,

    则有 ,,此时直线,

    综上直线的方程为;

    3)当直线,轴平分,轴平分,

    ,,

    整理得:,

    ,

    解得:,

    当点,能使得总成立.

    【点睛】

    此题考查了直线与圆的方程的应用,涉及的知识有:垂径定理,勾股定理圆的标准方程,点到直线的距离公式,以及斜率的计算,熟练掌握定理及公式是解本题的关键.

    23如图,数轴xy的交点为O,夹角为,与x轴、y轴正向同向的单位向量分别是,由平面向量基本定理,对于平面内的任一向量,存在唯一的有序实数对,使得,我们把叫做点P在斜坐标系xOy中的坐标(以下各点的坐标都指在斜坐标系xOy中的坐标)

    1)若为单位向量,且的夹角为120°,求点P的坐标;

    2)若,点P的坐标为,求向量的夹角;

    3)若,直线l经过点,求原点O到直线l的距离的最大值.

    【答案】1;(2;(3

    【分析】

    1)设出点的坐标,结合为单位向量,且的夹角为120°,列等式求解即可;

    2)由题意求出的值,再结合向量的夹角公式求解即可;

    3)由题意得到点A在直角坐标系下的坐标,再由两点的距离公式求解即可.

    【详解】

    解:(1)当为单位向量,且的夹角为120°

    ,,且

    ,代入运算可得,即

    2)若,点P的坐标为,则,

    设向量与向量的夹角为,则

    即向量的夹角为

    3)当,直线l经过点,设点A在直角坐标系的坐标为,由题意可得,即点A在直角坐标系的坐标为

    又因为直线l经过点

    则原点O到直线l的距离取最大值时,直线l垂直,且交于点

    即原点O到直线l的距离的最大值为.

    【点睛】

    本题考查了斜坐标与直角坐标的相互转化,重点考查了向量的数量积运算,属中档题.

     

     

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