期末卷04 备战2021年高三数学期末全真模拟卷（八省新高考地区专版）（解析版）

2021年高三数学期末全真模拟卷04

（新高考地区专用）

姓名：__________________     班级：______________   得分：_________________

注意事项：

本试卷满分150分，考试时间120分钟，试题共23题．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．

一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．已知函数的定义域为,，对任意的满足当时，不等式的解集为（  ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】

由题意构造函数，则函数在 上为减函数，且.又，所以的解集为，从而求出满足题意的的范围.

【详解】

由题意构造函数 ，则 ，

函数在 上为减函数。 .

又，，

的解为

不等式的解集为.

故答案为：A.

【点睛】

本题考查利用导数判断函数单调性，考查学生构造函数的能力及三角函数单调性应用，属于中档题.

2．已知函数，函数零点的个数为（    ）

A．3 B．4 C．1 D．2

【答案】C

【解析】

【分析】

利用换元法：令,将复合函数拆解成与，利用解方程和函数图像求得.

【详解】

令，则，

（1）当时，ln(t+1)=-1，即-1

当时，ln(x+1)=-1有一个解.

因为在x<0时的图象大致如图：

x<0时=-1>，无解.

（2）当时，f（t）=,即-1,

当时，故无解.

当时，0<f（x）<,所以-1无解.

综上，只有一个解.

故选C.

【点睛】

本题考查复合函数零点问题，运用数形结合思想解决零点问题是常用方法.

3．已知向量，，，若，则的取值范围是（   ）

A． B． C． D．

【答案】A

【详解】

,所以 为可行域 内一点,可行域为一个梯形 (去掉线段)及其内部,所以 ,从而选B.

点睛：线性规划问题，首先明确可行域对应的是封闭区域还是开放区域、分界线是实线还是虚线，其次确定目标函数的几何意义，是求直线的截距、两点间距离的平方、直线的斜率、还是点到直线的距离等等，最后结合图形确定目标函数最值取法、值域范围.

4．已知向量，则与（    ）

A．垂直 B．不垂直也不平行

C．平行且同向 D．平行且反向

【答案】A

【分析】

利用，则，即可求得答案.

【详解】

故选：A．

考点：平面向量共线（平行）的坐标表示．

5．已知，，且，则（   ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】

运用二倍角的余弦公式和不等式sinx＜x＜tanx（x∈（0，）），结合不等式的性质，即可得到大小关系．

【详解】

因为，所以,

，

，

，

令是增函数.

，

综上所述，故选C.

【点睛】

本题考查三角函数的恒等变换公式和函数的单调性的运用，考查化简变形能力和推理能力，属于难题．

6．定义，若函数，且在区间 上的值域为，则区间长度的最大值为（　　）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】

新定义函数是取两个值中较小值，画出的图像如下图加粗部分所示，由图可知，最长的区间为.注意到，，故，故，也即最大值为.

点睛：本题主要考查新定义函数的理解，考查三角函数的图像与性质，考查三角函数图像的作图方法.对于新定义函数的题目，首先要理解新定义的概念，本题中定义的最小值函数，本质上是去两个函数值中较小的一个，通过画出两个函数的图像然后去两者中较小的那个，由此可得出最大的取值范围.

7．已知椭圆的离心率为，过椭圆的右焦点且斜率为的直线与椭圆交于，两点，则（其中为原点）的形状为（    ）

A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．锐角或直角三角形

【答案】B

【分析】

计算，联立直线和椭圆得到，计算，得到答案.

【详解】

由椭圆的离心率可得，可得，则椭圆的方程为，

椭圆的右焦点为，由直线的方程为，

由可得，

设，，则，

则，

则，∴一定为钝角.

故选：B.

【点睛】

本题考查了直线和椭圆的位置关系，三角形形状，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.

8．已知数列和，，，，，（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】

先计算与，再计算找出、的关系，然后判断项的大小.

【详解】

由，及递推关系式可知，.

，即

所以

                   ，

则，

故，代入 得

所以，

则，又

所以，.

故选：B

【点睛】

本题考查数列的递推关系式及应用，难度较大. 解答时要针对递推关系式合理变形，发现规律.

二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）选错不得分，选对部分得3分，全对得5分

9．已知函数，则下列说法正确的是（   ）

A． B．的图像关于对称

C．若，则 D．若，则

【答案】BD

【详解】

函数

A:当x=0时，=1，=1+，故A错；

B：，当时，对应的函数值取得最小值为-1，所以B正确；

C：时， 所以函数在不单调，故C错；

D：因为，所以,又即2，所以恒成立，故D对；

故选BD.

【点睛】

本题考查了三角函数的综合性质，对称性，单调性，最值等，利用整体思想进行求解分析是关键,属于难题.

10．关于函数，下列判断正确的是（    ）

A．是的极大值点

B．函数有且只有1个零点

C．存在正实数，使得成立

D．对任意两个正实数，且，若，则.

【答案】BD

【分析】

根据导数解决函数的的极值，零点，不等式等问题依次讨论选项即可得答案.

【详解】

解：对于A选项，函数的的定义域为，函数的导数 ，

∴时，，函数单调递减，

时，，函数单调递增，

∴是的极小值点，故A错误；

对于B选项，，

∴，

∴ 函数在上单调递减，

又∵ ，，

∴ 函数有且只有1个零点，故B正确；

对于C选项，若，可得，

令，则，

令，则，

∴在上，，函数单调递增，

上，，函数单调递减，

∴，

∴，

∴在上函数单调递减，函数无最小值，

∴不存在正实数，使得成立，故C错误；

对于D选项，由，可知，

要证，即证，且，

由函数在是单调递增函数，

所以有，

由于，所以

即证明，

令，

则，所以在是单调递减函数，

所以，即成立，

故成立，所以D正确.

综上，故正确的是BD.

故选：BD．

【点睛】

本题考查利用导数研究函数的极值点，零点，不等式等问题，考查数学运算能力与分析解决问题的能力，是难题.

11．已知直线与抛物线相交于两点，点是抛物线的准线与以为直径的圆的公共点，则下列结论正确的是（    ）

A． B． C． D．的面积为

【答案】ABC

【分析】

由题意可知，抛物线的准线为，利用抛物线的几何性质求出和抛物线的方程和焦点坐标，结合直线的方程可知，直线经过焦点，利用抛物线的定义表示出以为直径的圆的半径和圆心,由得到关于的方程，解方程求出，利用抛物线的定义和点到直线的距离分别求出的长度和的面积，据此即可判断.

【详解】

由题意知，抛物线的准线为，即，解得，故选项A正确；

因为，所以抛物线的方程为：，其焦点为，

又直线，即，所以直线恒过抛物线的焦点，

设点，因为两点在抛物线上，

联立方程，两式相减可得，，

设的中点为，则，因为点在直线上，

解得可得，所以点是以为直径的圆的圆心，

由抛物线的定义知，圆的半径，

因为，所以，

解得，故选项B正确；

因为，所以弦长，故选项C正确；

因为，所以直线为，由点到直线的距离公式可得，

点到直线的距离为，所以，

故选项D错误；

故选：ABC

【点睛】

本题考查抛物线的标准方程及其几何性质、圆的性质、直线与抛物线的位置关系、弦长公式、点到直线的距离公式；考查运算求解能力和逻辑推理能力；熟练掌握直线与抛物线的位置关系和抛物线的几何性质、圆的性质是求解本题的关键；属于综合型、难度大型试题.

12．设函数其中表示中的最小者.下列说法正确的有（    ）

A．函数为偶函数

B．当时，有

C．当时，

D．当时，

【答案】ABC

【分析】

画出的图象然后依据图像逐个检验即可．

【详解】

解：画出的图象如图所示：

对A，由图象可知：的图象关于轴对称，故为偶函数，故A正确；

对B，当时，，；

当时，，；

当时，，；

当时，，此时有，故B成立；

对C，从图象上看，当时，有成立，令，则，故，故C正确；

对D，取，则，，，故D不正确．

故选：ABC．

【点睛】

方法点睛：一般地，若（其中表示中的较小者），则的图象是由这两个函数的图象的较低部分构成的．

三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）

13．若面积为2的中，，则的最小值为____________.

【答案】6

【分析】

要据三角形的面积公式、正弦定理、余弦定理，将表示成关于的三角函数，再利用导数求最小值，即可得答案.

【详解】

∵，∴，

∵的面积为，∴，

∴，，

∴，

显然的最小值时，只需考虑时，

令，则，

当得，此时，

∵在存在唯一的极值点，

∴.

故答案为：.

【点睛】

本题考查正弦定理、余弦定理、导数在解三角形中的应用，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力，求解时注意利用导数求函数的最值.

14．已知双曲线的左右焦点分别为，若双曲线上存在关于轴对称的两点，使得等腰梯形满足下底长是上底长两倍，且腰与下底形成的两个底角为，则该双曲线的离心率为__________．

【答案】或 .

【解析】

分析：

详解：若为梯形的上底，连接，设中点为，

则长为的一半，，

为等腰三角形，

为正三角形，

，，

，，

若为梯形的下底，同理可得，

可得，

，

，

故答案为或.

点睛：本题主要考查双曲线的定义及离心率，属于难题.离心率的求解在圆锥曲线的考查中是一个重点也是难点，一般求离心率有以下几种情况：①直接求出，从而求出;②构造的齐次式，求出;③采用离心率的定义以及圆锥曲线的定义来求解;④根据圆锥曲线的统一定义求解．本题中，根据等腰梯形的性质以及双曲线的定义，找出之间的关系，求出离心率．

15．已知函数有4个零点，则实数a的取值范围为______.

【答案】

【分析】

利用导数求得函数的单调性与最值，得到，设函数的两个零点分别为，则，得出有两个零点，再结合，得出，代入即可求解.

【详解】

由题意，函数，可得，

当时，，函数单调递增；

当时，，函数单调递递减，

所以当时，函数取得最大值，最大值为，

要使函数有零点，则，可得，

设函数的两个零点分别为，则，

令，即，

则，即，则有两个零点，

又由，即，

只需，即，即，

解得，

综上可得：实数的取值范围是.

【点睛】

本题主要考查了利用导数研究函数的零点问题，以及函数与方程的综合应用，其中解答中利用导数求得函数的单调性，以及合理应用函数性质是解答的关键，着重考查转化思想，以及推理与运算能力.

16．在中，是角A，B，C的对边，已知，现有以下判断：

①的外接圆面积是；②；③可能等于16；④作A关于BC的对称点，则的最大值是.

请将所有正确的判断序号填在横线上________.

【答案】①②④

【分析】

根据题目可知，利用正弦定理与三角恒等变换逐个分析即可判断每个命题的真假．

【详解】

①设的外接圆半径为，根据正弦定理，可得，所以的外接圆面积是，故①正确．

②根据正弦定理，利用边化角的方法，结合，可将原式化为，故②正确．

③

，故③错误．

④设到直线的距离为，根据面积公式可得，即，再根据①中的结论，可得，故④正确．

综上，答案为①②④．

【点睛】

本题是考查三角恒等变换与解三角形结合的综合题，解题时应熟练掌握运用三角函数的性质、诱导公式以及正余弦定理、面积公式等．

四、解答题（本大题共7小题，共70分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

17．已知函数，（其中，为自然对数的底数）

（Ⅰ）求函数的极值；

（Ⅱ）当时，若直线与曲线没有公共点，求的最大值.

【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）1.

【解析】

试题分析：（1）求出的导数，讨论当时，，无极值；当时，由，得，求得单调区间，可得在处取到极小值，且极小值为，无极大值；（2）令，则直线与曲线没有公共点⇔方程在上没有实数解，分与讨论即可得答案.

试题解析：（Ⅰ）

（ⅰ）当时，，在上为增函数，所以函数无极值；

（ⅱ）当时，，得

当时，；当时，

所以函数在上单调递减，在上单调递增

故在处取得极小值，且极小值为，无极大值.

（Ⅱ）当时，

令

则若直线与曲线没有公共点，等价于方程在上没有实数根

当时，

又函数的图象在定义域上连续，可知方程在上至少有一实数根，与方程在上没有实数根矛盾，故

当时，，知方程在上没有实数根

所以的最大值为1.

18．（1）求证：当时，；

（2）若函数有三个零点，求实数a的取值范围．

【答案】（1）证明见解析；（2）.

【分析】

（1）设，求导后可得函数的单调性，进而可得，即可得证；

（2）由题意转化条件可得，设，求导后可得函数的单调区间和极值，再根据、或、分类，求得的取值范围即可得解.

【详解】

（1）证明：设，则，

当时，，单调递增，

当时，．

所以当时，；

（2）函数的定义域为，由得，

设，则，

当或时，，单调递增；

当时，，单调递减；

所以当时，有极小值，且极小．

当时，；

当或时，，

所以对，当或时，都有，

所以当，，当时，；

当时，由（1）得．

所以对，当时，都有，

所以当时，；

综上所述，实数a的取值范围是．

【点睛】

本题考查了导数的综合应用，考查了运算求解能力与转化化归思想，合理构造新函数、转化条件是解题关键，属于难题.

19．某产品具有一定的时效性，在这个时效期内，由市场调查可知，在不做广告宣传且每件获利a元的前提下，可卖出b件；若做广告宣传，广告费为n千元比广告费为千元时多卖出件。

（1）试写出销售量与n的函数关系式；

（2）当时，厂家应该生产多少件产品，做几千元的广告，才能获利最大？

【答案】(1)(2)

【解析】

试题分析：

(1)根据若做广告宣传，广告费为n千元比广告费为千元时多卖出件，可得，利用叠加法可求得.

(2)根据题意在时,利润,可利用求最值.

试题解析：

（1）设表示广告费为0元时的销售量，由题意知

，

由叠加法可得

即为所求。

（2）设当时，获利为元，

由题意知，，

欲使最大，则，易知，此时.

考点：叠加法求通项,求最值.

20．已知动圆过定点，且在轴上截得的弦长为，记动圆圆心的轨迹为曲线.

（1）求直线与曲线围成的区域面积；

（2）点在直线上，点，过点作曲线的切线、，切点分别为、，证明：存在常数，使得，并求的值.

【答案】(1)；(2)答案见解析．

【解析】

试题分析：

（1）根据直接法求得曲线方程为，解方程组得到直线和曲线C的交点坐标，根据定积分可求得面积．（2）设、，结合题意求得切线的方程，根据切线方程的特点求出直线的方程，将直线的方程与联立消元后得到二次方程，根据根与系数的关系求得和后比较可得，从而得到结论．

试题解析：

（1） 设动圆圆心的坐标为，

由题意可得，

化简得，

故曲线的方程为．

由，解得或，

所以直线与曲线围成的区域面积为．

（2）设、，

则由题意得切线的方程为，切线的方程为，设点，

从而有，

所以可得直线AB的方程为

即．

由消去y整理得，

又，

所以，

所以，

故，

= ，

所以．

故存在常数，使得成立．

点睛：

（1）解析几何中证明问题的解法和其他问题类似，解题时可借助相关参数将所证问题代数化，主要是通过计算验证的方法进行．

（2）解决探索性问题的步为：假设满足条件的元素(点、直线、曲线或参数)存在，用待定系数法设出，列出关于待定系数的方程组，若方程组有实数解，则元素(点、直线、曲线或参数)存在；否则，元素(点、直线、曲线或参数)不存在．

21．设函数f(x)＝ax3－3ax，g(x)＝bx2－ln x(a，b∈R)，已知它们在x＝1处的切线互相平行.

(1)求b的值；

(2)若函数且方程F(x)＝a2有且仅有四个解，求实数a的取值范围.

【答案】（1）；（2）

【解析】

试题分析：（1）由和 在处的切线互相平行得，，解方程求出值．
（2）分别求出求出的极值和的极值，结合单调性画出的图象，结合图象可得若方程有四个解，则 ，解不等式求得实数的取值范围．

试题解析：函数g(x)＝bx2－ln x的定义域为(0，＋∞)，

(1)f′(x)＝3ax2－3a⇒f′(1)＝0，

g′(x)＝2bx－⇒g′(1)＝2b－1，

依题意得2b－1＝0，所以b＝.

(2)x∈(0，1)时，g′(x)＝x－＜0，

即g(x)在(0，1)上单调递减，

x∈(1，＋∞)时，g′(x)＝x－＞0，即g(x)在(1，＋∞)上单调递增，所以当x＝1时，g(x)取得极小值g(1)＝；当a＝0时，方程F(x)＝a2不可能有四个解；

当a＜0，x∈(－∞，－1)时，f′(x)＜0，即f(x)在(－∞，－1)上单调递减，x∈(－1，0)时，f′(x)＞0，

即f(x)在(－1，0)上单调递增，

所以当x＝－1时，f(x)取得极小值f(－1)＝2a，

又f(0)＝0，所以F(x)的图象如图①所示，

从图象可以看出F(x)＝a2不可能有四个解.

当a＞0，x∈(－∞，－1)时，f′(x)＞0，

即f(x)在(－∞，－1)上单调递增，

x∈(－1，0)时，f′(x)＜0，

即f(x)在(－1，0)上单调递减，

所以当x＝－1时，f(x)取得极大值f(－1)＝2a.又f(0)＝0，所以F(x)的图象如图②所求，

从图②看出，若方程F(x)＝a2有四个解，则＜a2＜2a，

得＜a＜2，

所以，实数a的取值范围是.

【点睛】本题考查导数的几何意义，求函数的极值的方法，体现了数形结合、分类讨论的数学思想，求出和的极值，是解题的关键和难点．

22．已知椭圆的离心率为，以原点为圆心，椭圆的短半轴为半径的圆与直线相切，直线与椭圆C相交于A、B两点.

（Ⅰ）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）求的取值范围；

【答案】(1);(2) 的取值范围是.

【详解】

试题分析：（Ⅰ）根据离心率为，可得，根据椭圆的短半轴为半径的圆与直线相切，可求b的值，从而可得椭圆的方程；

（Ⅱ）由题意知直线AB的斜率存在，设直线PB的方程代入椭圆方程，利用韦达定理，及向量的数量积公式，即可确定的取值范围．

试题解析：（Ⅰ）由题意知，∴，即

又，∴，故椭圆的方程为

（Ⅱ）解：由得：

设A(x1，y1)，B (x2，y2)，则

∵∴， ∴

∴的取值范围是．

考点：直线与圆锥曲线的综合问题；平面向量数量积的运算；椭圆的标准方程．

23．如图（1），平面直角坐标系中，的方程为，的方程为，两圆内切于点，动圆与外切，与内切.

（1）求动圆圆心的轨迹方程；

（2）如图（2），过点作的两条切线，若圆心在直线上的也同时与相切，则称为的一个“反演圆”

（ⅰ）当时，求证：的半径为定值；

（ⅱ）在（ⅰ）的条件下，已知均与外切，与内切，且的圆心为，求证：若的“反演圆”相切，则也相切。

【答案】（1）（2）（ⅰ）详见解析（ⅱ）详见解析

【分析】

（1）设的半径为，根据题意得到，，根据椭圆定义，即可判断出点轨迹，从而求出轨迹方程；

（2）（ⅰ）设，得到的半径为，设，由题意得到，过点的的切线方程为，由点到直线距离公式，得到到切线的距离以及到切线的距离，再由，即可证明结论成立；

（ⅱ）由的圆心为，得到在轨迹上，此时的半径为，其反演圆圆心为，半径为，再由题意，得到与相切的反演圆的圆心为，或，半径为；分别讨论的圆心为，以及的圆心为两种情况，即可证明结论成立.

【详解】

（1）由题意，设的半径为，

与内切，，

与外切，，

，

由椭圆的定义，点在椭圆上运动，

，，，

其轨迹方程为.

（2）（ⅰ）设，此时的半径为，

设，

则为与的交点，其坐标为，

设过点的的切线方程为，

到切线的距离，

到切线的距离为：

，

，

，

当时，的半径为定值.

（ⅱ）当的圆心为时，显然在轨迹上，

此时的半径为，其反演圆圆心为，半径为，

由题意，与相切的反演圆的圆心为，或，半径为；

1）当的圆心为时，易知与重合，

其方程为，

，故相切；

2）当的圆心为时，三点共线，

为直线与椭圆的交点，

的方程为：，故，

又，的半径，

，故相切.

【点睛】

本题主要考查轨迹方程，以及圆与圆位置关系的判定，熟记椭圆的定义与方程，直线与圆位置关系，圆与圆位置关系即可，属于常考题型.