期末卷07 备战2021年高三数学期末全真模拟卷（八省新高考地区专版）（解析版）

2021年高三数学期末全真模拟卷07

（新高考地区专用）

姓名：__________________     班级：______________   得分：_________________

注意事项：

本试卷满分150分，考试时间120分钟，试题共23题．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．

一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．若函数的最大值与最小值之和为3，则（    ）

A．9 B．7 C．6 D．5

【答案】B

【分析】

讨论的取值范围，分别计算最大值与最小值之和，得到，再平方，即可求解.

【详解】

当时，函数单调递增，，

当时，函数单调递减，，

综上，

两边平方得，，

故选：B.

【点睛】

指数函数求最值问题，需讨论底数取值范围，当时，函数单调递增；当时，函数单调递减.

2．已知函数f（x）=3ax-1-2a在区间（-1，1）上存在零点，则（　　）

A．或 B． C．或 D．

【答案】C

【解析】

【分析】

由函数的零点判定定理可得不等式，解得可求a的范围．

本题主要考查了函数零点判定定理的简单应用，属于基础试题.

【详解】

由f（x）＝3ax﹣1﹣2a在区间（﹣1，1）上存在零点，

则f（﹣1）•f（1）＝（﹣3a﹣1﹣2a）（3a﹣1﹣2a）＝（﹣5a﹣1）•（a﹣1）＜0，

解得a＞1或a．

故选C．

【点睛】

本题主要考查了函数零点判定定理的简单应用，属于基础试题

3．定义在R的奇函数f（x），当x＞0时，f（x）=-x2+x，则x＜0时，f（x）等于（　　）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】

【分析】

可设x＜0，得到-x＞0，利用奇偶性得出f（-x）=-x2-x=-f（x），从而得解．

【详解】

∵f（x）是定义在R上的奇函数；

∴f（-x）=-f（x）；

设x＜0，-x＞0，则：f（-x）=-x2-x=-f（x）；

∴f（x）=x2+x．

故选：A．

【点睛】

考查奇函数的定义，奇函数在对称区间上的解析式的求法，属于基础题.

4．已知函数在区间上单调，则的取值范围为 （   ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】

【分析】

根据y＝|cosx|的单调递减区间为[kπ，kπ]，k∈Z，求出x的范围，结合条件区间的关系进行求解即可．

【详解】

解：y＝|cosx|的单调递减区间为[kπ，kπ]，k∈Z，

由kπ≤ωxkπ，k∈Z，

得x，即函数的单调递减区间为[，]，k∈Z，

若f（x）在区间上单调递减，

则且，

得，k∈Z，

当k＝0时，，即0＜ω，即ω 的取值范围是（0，]．

当f（x）在区间上单调递增时，ω无解，

故选B．

【点睛】

本题主要考查余弦函数单调性的求解，结合绝对值函数的单调性是解决本题的关键．综合性较强，有一定的难度．

5．设[x]表示不超过x的最大整数，如[-3.14]=-4，[3.14]=3．已知数列{}满足：，（），则=（    ）

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】A

【解析】

【分析】

先求出，再求得值.

【详解】

由，得（），又，

∴

．则．

∴．

故选：A．

【点睛】

本题主要考查数列通项的求法，考查数列求和，考查新定义，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.

6．函数在区间上的图象的大致形状是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】

先求出函数的定义域，再利用函数的奇偶性的定义判断函数的奇偶性，最后特殊值代入即可得出结论.

【详解】

由知，

函数的定义域为，

又，

则函数为偶函数，排除B D；

又，排除C.

故选：A.

【点睛】

本题主要考查了利用函数的奇偶性以及特殊值代入选择图像的问题.属于较易题.

7．将函数和直线的所有交点从左到右依次记为，，…，，若点坐标为，则（   ）

A．0 B．2 C．6 D．10

【答案】D

【分析】

画出函数图像，根据对称性得到，进而得到结果.

【详解】

函数与的所有交点从左往右依次记为、、、和，且和，和，都关于点对称，如图所示：

则，所以.

故选D.

【点睛】

这个题目考查了向量加法的平行四边形法则，涉及函数的图像的交点问题，属于综合题.向量的两个作用：①载体作用：关键是利用向量的意义、作用脱去“向量外衣”，转化为我们熟悉的数学问题；②工具作用：利用向量可解决一些垂直、平行、夹角与距离问题.

8．已知椭圆的焦点为，，是椭圆上一点，且，若的内切圆的半径满足，则椭圆的离心率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】

由已知，得，在中，利用余弦定理及面积公式可得，再利用的内切圆的半径，可知，建立等式关系，再由已知结合正弦定理得到关系式，结合，将关系式转化为的关系式，从而求得离心率.

【详解】

由题可知，

即，

在中，利用椭圆定义知，由余弦定理得

即，整理得

易得面积

又的内切圆的半径为，利用等面积法可知，

所以

由已知，得，则，即

在中，利用正弦定理知

即，又，整理得

两边同除以，则，解得或（舍去）

故选：C.

【点睛】

关键点点睛：本题考查求椭圆的离心率，解题关键是找到关于的等量关系．本题中利用，得，在中，利用解三角形思想可得，再利用的内切圆的半径，可知，建立等式关系，再由已知结合正弦定理得到所要求的等量关系，考查了学生的运算求解能力，逻辑推理能力．属于中档题．

二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）选错不得分，选对部分得3分，全对得5分

9．若是方程 的两个不相等的正根，则下列结论正确的是（    ）

A． B．

C． D．或

【答案】BC

【分析】

根据是方程 的两个不相等的正根，由韦达定理得到，再利用两角和的正切公式及基本不等式求解.

【详解】

因为是方程 的两个不相等的正根，

所以，

所以，

所以，因为   

所以

故选：BC

【点睛】

本题主要考查两角和与差的三角函数以及基本不等式的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.

10．设函数的定义域为D，若对任意的，总存在，使得，则称函数具有性质M，下列结论正确的有：（    ）

A．函数具有性质M；

B．函数具有性质M；

C．若函数具有性质M，则

D．若具有性质M，则

【答案】BC

【分析】

对于选项，取，不存在使得成立，故不正确；对于选项，根据函数的性质可知，故正确；对于选项，由可求得，故正确；对于选项，先求出，再根据可求得，故不正确.

【详解】

对于选项，取，则，即，此式不成立，即不存在使得成立，故不正确；

对于选项，，所以，故对任意的，总存在，使得，故正确；

对于选项，因为函数为增函数，所以，，因为函数具有性质M，所以对任意的，总存在，使得，所以，即，解得，故正确；

对于选项，因为具有性质M，且，所以函数的值域必须满足对称性，且不包含0，所以，解得，故不正确.

故选：BC.

【点睛】

本题考查了对新定义的理解和运用，考查了指数函数的值域，考查了对数函数的单调性和对数的运算，考查了正弦函数的值域，属于中档题.

11．已知等差数列的公差为，等比数列的公比为，，，且，若，则下列结论正确的是（    ）

A．若，则．

B．若，则．

C．若，则．

D．若，则．

【答案】ABC

【分析】

根据等差数列和等比数列的性质逐一验证即可；

【详解】

解：对于A，

所以，A正确；

对于B，

因为

，由，所以，B正确.

对于C，

若，

，

所以，C正确.

对于D，

，

因为且，当是偶数时，，故D错误.

故选：ABC

【点睛】

考查等差数列和等比数列的有关性质，基础题.

12．设函数，，给定下列命题，其中是正确命题的是（    ）

A．不等式的解集为

B．函数在单调递增，在单调递减

C．若，则当时，有

D．若函数有两个极值点，则实数

【答案】ACD

【分析】

求出函数的导数，根据函数的单调性分别判断即可.

【详解】

因为函数，定义域，

所以，

则，，

对于A，，即，

，即，故A正确；

对于B，，

当时，，单调递增，故B错误；

对于C，若时，总有恒成立，

则，在上恒成立，

即，

令，则，

令，解得，故在上单调递增，在上单调递减，

故，因为，所以，

故成立，C正确

对于D，函数有两个极值点，

则有两个零点，

即，则，

令，则，

在递增，在单调递减，，

即，，D正确，.

故选：ACD.

【点睛】

此题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及转化思想，属于较难题.

三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）

13．已知数列中，，，则数列的通项公式为________.

【答案】；

【分析】

由等比数列的通项公式得结论．

【详解】

∵，且，∴，数列是等比数列，公比为3，

∴．

故答案为：

【点睛】

本题考查等比数列的通项公式，属于简单题．

14．若数列的前项和为，，点（）在直线上，则____________.

【答案】.

【分析】

根据点在直线上,代入可得与的关系,结合首项即可证明数列为等比数列.求得数列的表达式,再根据即可求得数列的通项公式.

【详解】

因为点在直线上

代入可得,即.

由可知数列是首项为,公比为的等比数列.

所以

由

代入可得

而不符合上式

所以

故答案为:

【点睛】

本题考查了数列通项公式的求法,数列递推公式的应用,注意讨论首项是否符合求得的通项公式,属于易错题.

15．已知，分别是与方向相同的单位向量，在上的投影向量为，在上的投影向量为，则与的夹角为__________________.

【答案】.

【分析】

根据向量的投影定义，列出方程，求解，再根据夹角公式，即可求解.

【详解】

由题意，得解得∴.∵，∴.

故答案为：

【点睛】

本题考查向量投影公式、夹角公式，属于基础题.

16．已知函数，若关于的不等式在上恒成立，则实数的取值范围是__________.

【答案】

【分析】

作出函数图象，对参数分类讨论，转化为不等式恒成立利用分离参数求参数取值范围.

【详解】

作出函数的图象如图所示，

当时，恒成立，符合题意；

当时，，，关于的不等式不恒成立，不合题意，舍去；

当时，大致图象如图中折线，

只需恒成立，且恒成立即可，

且即，

且，

所以，

综上所述.

故答案为：

【点睛】

此题考查根据不等式恒成立求参数的取值范围，涉及分段函数以及含参函数单调性的处理，数形结合能够事半功倍.

四、解答题（本大题共7小题，共70分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

17．（1）设全集为，集合，，．

①求；

②若，求实数取值构成的集合．

（2）若，，若，求实数的取值范围．

【答案】（1）①或或；②；（2）.

【分析】

（1）①本题首先可根据补集的相关性质得出或，然后根据并集的相关性质即可得出结果，

②本题可根据得出，然后通过计算即可得出结果；

（2）本题首先可通过求解得出，然后通过求解得出或，最后根据得出，通过计算即可得出结果.

【详解】

（1）①：因为集合，全集为，所以或，

因为集合，所以或或，

②：因为，，

所以易知，则，解得，

故实数取值构成的集合是.

（2）因为，即，解得，

所以，

因为，即，解得或，

所以或，

因为，

所以，解得，

故实数的取值范围为.

【点睛】

易错点睛：本题考查集合的相关运算以及根据集合的包含关系求参数，在根据集合的包含关系求参数时，一定要注意集合为空集的情况，考查绝对值不等式以及一元二次不等式的解法，考查计算能力，是中档题.

18．在中，角所对的边分别为，向量，,，若，.

（1）求角的值；

（2）若，求函数的最大值与最小值.

【答案】（1）；（2）， 1.

【分析】

（1）由，可以得到等式，利用正弦定理进行化简，可以得到，再由，利用二倍角降幂公式、同角三角函数关系，可以求出的大小，最后求出其它二个内角的大小；

（2）逆用两角和的正弦公式，对函数的解析式，进行化简，利用正弦函数的性质求出在时，函数的最大值和最小值.

【详解】

（1），，

由正弦定理，得，

，

又，

而

=9,

，

，

，

，

，又，，

.

（2）

，,

时，，

时，.

【点睛】

本题考查了平面向量共线向量的坐标表示、三角恒等变换、正弦定理，以及正弦函数的最值问题.

19．足球运动被誉为“世界第一运动”．深受青少年的喜爱．

（Ⅰ）为推广足球运动，某学校成立了足球社团，由于报名人数较多，需对报名者进行“点球测试”来决定是否录取，规则如下：踢点球一次，若踢进，则被录取；若没踢进，则继续踢，直到踢进为止，但是每人最多踢点球3次．

下表是某同学6次的训练数据，以这150个点球中的进球频率代表其单次点球踢进的概率．为加入足球社团，该同学进行了“点球测试”，每次点球是否踢进相互独立，他在测试中所踢的点球次数记为，求的分布列及数学期望；

（Ⅱ）社团中的甲、乙、丙三名成员将进行传球训练，从甲开始随机地将球传给其他两人中的任意一人，接球者再随机地将球传给其他两人中的任意一人，如此不停地传下去，且假定每次传球都能被接到．记开始传球的人为第1次触球者，第次触球者是甲的概率记为，即．

（i）求（直接写出结果即可）；

（ii）证明：数列为等比数列，并判断第19次还是第20次触球者是甲的概率大．

【答案】（Ⅰ）分布列见解析，；（Ⅱ）（i），；（ii）证明见解析，第19次触球者是甲的概率大．

【分析】

（Ⅰ）求出这150个点球中的进球频率为0.6，从而该同学踢一次点球命中的概率为P＝0.6，ξ的可能取值为1，2，3，分别求出相应概率，由此能求出E（ξ）．

（Ⅱ）（i）由题意，；

（ii）第n次触球者是甲的概率为Pn，当n≥2时，第n﹣1次触球者是甲的概率为pn﹣1，第n﹣1次触球者不是甲的概率为1﹣Pn﹣1，推导出，由此能证明是以为首项，公比为的等比数列．

【详解】

（Ⅰ）这150个点球中的进球频率为，则该同学踢一次点球命中的概率，

由题意，可能取1，2，3，则，，，

的分布列为：

即．

（Ⅱ）（i）由题意，．

（ii）第次触球者是甲的概率记为，则当时，第次触球者是甲的概率为，

第次触球者不是甲的概率为，则，从而，

又，是以为首项，公比为的等比数列．

则，，，

，故第19次触球者是甲的概率大．

【点睛】

本题考查样本估计总体，随机变量的期望，考查递推关系以及等比数列的概念，考查分析问题、解决问题的能力，考查建模能力、数据处理能力，属于中档题．

20．（2011年苏州20）已知二次函数对于任意的实数，

都有成立，且为偶函数．

（1）证明：实数>0；        

（2）求实数a与b之间的关系；

（3）定义区间的长度为，问是否存在常数，使得函数在区间

的值域为，且的长度为？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由.

【答案】（1）（2）

【解析】

【试题分析】（1）借助题设条件运用差分法进行分析推证；（2）借助题设中的为偶函数建立方程分析求解；（3）依据题设条件借助二次函数的图像和性质运用分类整合思想进行分析探求：

解：（1）证明：由题设可得，即=，因为，所以，故；

（2）由题设可得，即，也即， ；

（3）由（2）可得，其对称轴，

❶由于，所以当时，函数在区间上有，因为，由于时，，则，而，故不合题意，舍去；

❷当时，函数在区间上有，因为，由于时，，故，不合题意，舍去；

❸当时，函数在区间上有，因为，由可得或，因为，故，不合题意，舍去，则；

综上存在满足题设条件。

21．已知函数.

（1）求的定义域；

（2）判断函数的奇偶性应予以证明；

（3）若，求的值.

【答案】（1）（﹣2，2）；（2）f（x）是奇函数，见解析；（3）2

【分析】

（1）令解出定义域；

（2）利用奇函数定义得f（﹣x）与f（x）的关系即可证明

（3）推导即可求解

【详解】

（1）由函数有意义得

解得﹣2＜x＜2．∴f（x）的定义域是（﹣2，2）．

（2）函数是奇函数，证明如下

∵f（﹣x）＝lnln（）﹣1＝﹣lnf（x）．∴f（x）是奇函数．

（3）=

故=2

【点睛】

本题考查了对数函数的定义域，函数的奇偶性判断，对数函数单调性的应用，属于基础题．

22．如图，圆：交轴于点，（点在轴的负半轴上），点为圆上一动点，、分别交直线于，两点.

（1）证明：，两点的纵坐标之积为定值；

（2）若点的坐标为，判断点与以为直径的圆的位置关系，并说明理由.

【答案】（1）证明见解析；（2）点在圆内，理由见解析.

【分析】

（1）首先根据题意得到，，设，.根据即可得到，两点的纵坐标之积为定值.

（2）通过，判断与的夹角为钝角，即点在圆内.

【详解】

（1）由题意，解得，，设，.

，.

因为，所以.

所以.

（2）∵，

由（1）知，，

∴，

即，则点在圆内.

【点睛】

本题考查直线与圆的方程的综合应用，直线与圆的位置关系，考查计算能力，属于中档题.

23．已知函数，.

（1）当时，判断函数的奇偶性并证明；

（2）给定实数且，问是否存在直线，使得函数的图像关于直线对称？若存在，求出的值（用表示）；若不存在，请说明理由.

【答案】（1）偶函数，证明见解析；（2）存在符合题意．

【分析】

（1）当时，函数为偶函数，结合对数的运算性质利用偶函数的定义证明即可；

（2）假设存在直线满足题意，则，代入后利用对数的运算性质化简得，从而可求得符合题意．

【详解】

解：（1）当时，，函数为偶函数，证明如下：

∴，

又函数的定义域为，

∴函数为偶函数；

（2）假设存在直线，使得函数的图像关于直线对称，

则，

∴，

即，即，

∴，即，

∴，

∴，即，

∵且，

∴，

故存在，使得函数的图像关于直线对称．

【点睛】

本题主要考查对数型复合函数的奇偶性与对称性，考查对数的运算性质，属于难题．