陕西省西安中学2021届高三上学期第四次月考 数学（理） (含答案) 试卷
展开西安中学高2021届高三第四次月考
数学（理）试题
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
- 若集合，，则等于
A. B. C. D.
- 已知平面内有三点，，，则向量在方向上的投影为
A. B. C. D.
- 过抛物线的焦点F的直线交抛物线于A，B两点，若线段AB的中点M到y轴的距离为2，则
A. 8 B. 6 C. 5 D. 4
- 中兴、华为事件暴露了我国计算机行业中芯片、软件两大短板，为防止“卡脖子”事件的再发生，科技专业人才就成了决胜的关键．为了解我国在芯片、软件方面的潜力，某调查机构对我国若干大型科技公司进行调查统计，得到了这两个行业从业者的年龄分布的饼状图和“90后”从事这两个行业的岗位分布雷达图，则下列说法中不一定正确的是
A. 芯片、软件行业从业者中，“90后”占总人数的比例超过
B. 芯片、软件行业中从事技术、设计岗位的“90后”人数超过总人数的
C. 芯片、软件行业从事技术岗位的人中，“90后”比“80后”多
D. 芯片、软件行业中，“90后”从事市场岗位的人数比“80前”的总人数多
- 如图,某几何体的三视图是直角边长为1的三个等腰直角三角形，则该几何体的外接球的表面积为
A. B. C. D.
- 在的展开式中，常数项等于（ ）
A. 15 B.16 C. D.
- 已知抛物线C：的焦点为F，准线l与x轴的交点为A，M是抛物线C上的点，轴，若以AF为直径的圆截直线AM所得的弦长为2，则
A. 2 B. C. 4 D.
- 为防止部分学生考试时用搜题软件作弊，命题组指派5名教师对数学卷的选择题、填空题和解答题这三种题型进行改编，则每种题型至少指派1名教师的不同分派方法种数为
A. 150 B. 180 C. 200 D. 280
- 设复数z满足，z在复平面内对应的点为，则
A. B. C. D.
- 如图所示，正方形上连接着等腰直角三角形，等腰直角三角形腰上再连接正方形，，如此继续下去得到一个树形图形，称为“勾股树”若某勾股树含有255个正方形，且其最大的正方形的边长为，则其最小正方形的边长为
A. B. C. D.
- 已知直线与圆相交于A、B两点，M是线段AB的中点，则点M到直线的距离的最大值为
A. 5 B. 4 C. 3 D. 2
- 设椭圆E：的一个焦点为，点为椭圆E内一点，若椭圆E上存在一点P，使得，则椭圆E的离心率的取值范围是
A. B. C. D.
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
- 已知变量x，y满足，则的取值范围是_________．
- 设是公差不为零的等差数列的前n项和，且则________．
- 已知函数的部分图象如图所示，将函数的图象向左平移个单位长度后，所得图象关于直线对称，则的最小值为______．
- 已知，，是同一平面内的三个向量，其中，是相互垂直的单位向量，且
，的最大值为______．
三、解答题（共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22，23题为选考题，考生根据要求作答.）
（一）必考题.（共60分）
- （12分）在锐角中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知的面积．
1求A；
2作角B的平分线交边AC于点O，记和的面积分别为，，求的取值范围．
- （12分）已知三棱锥如图一的平面展开图如图二中，四边形ABCD为边长等于的正方形，和均为正三角形，在三棱锥中：
证明：平面平面ABC；
若点M在棱PA上运动，当直线BM与平面PAC所成的角最大时，求二面角
的余弦值．
- （12分）计划在某水库建一座至多安装3台发电机的水电站．过去50年的水文资料显示，水库年入流量年入流量：一年内上游来水与库区降水之和．单位：亿立方米都在40以上．其中，不足80的年份有10年，不低于80且不超过120的年份有35年，超过120的年份有5年，将年入流量在以上三段的频率作为相应段的概率，并假设各年的入流量相互独立．
求未来3年中，至多有1年的年入流量超过120的概率；
水电站希望安装的发电机尽可能运行，但每年发电机最多可运行台数受年入流量X限制，并有如下关系：
年入流量X | |||
发电机最多可运行台数 | 1 | 2 | 3 |
若某台发电机运行，则该台发电机年利润为万元；若某台发电机未运行，则该台发电机年亏损800万元．欲使水电站年总利润的均值达到最大，应安装发电机多少台？
- （12分）已知椭圆C：过点，且离心率为．
求椭圆C的方程；
若斜率为的直线l与椭圆C交于不同的两点M，N，且线段MN的垂直平分线过点，求k的取值范围．
- （12分）已知函数，其中．
讨论的单调性；
若有两个极值点x，x，证明：．
（二）选考题.（共10分.请考生在第22，23题中任选一题作答.如果多做，那么按所做的第一题计分.）
- （10分）在平面直角坐标系中，曲线是圆心在(0，2)，半径为2的圆，曲线的参数方程为，以坐标原点O为极点，轴非负半轴为极轴建立极坐标系．
(1) 求曲线的极坐标方程；
(2)若曲线与两坐标轴分别交于两点，点为线段AB上任意一点，直线OP与曲线交于点M（异于原点），求的最大值．
- （10分）已知，且．
1求证：；
2当时，不等式恒成立，求a的取值范围．
西安中学高2021届高三第四次月考
数学（理）答案
一、选择题：
1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |
D | C | B | C | D | D | B | A | D | A | B | C |
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13、 14、18 15、 16、
三、解答题（共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22，23题为选考题，考生根据要求作答.）
17、解：，
整理得，
因此，
又，
所以；
2 ，
由正弦定理得：，
因为，
，
所以.
18、解：证明：设AC的中点为O，连接，
由题意，得，，
因为在中，为AC的中点，
所以，
因为在中，，，
所以，
因为，平面ABC，平面ABC，
所以平面ABC，
因为平面PAC，
所以平面平面ABC；
由知，，
平面PAC，平面PAC，
平面PAC，
所以就是直线BM与平面PAC所成的角．
且，
所以当OM最短时，即M是PA的中点时，最大．
由平面，所以，
于是以O为坐标原点，所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示空间直角坐标系，
则，，，
设平面MBC的法向量为，则，得，
令，得，即，
取平面ABC的法向量为，
，
由图可知，二面角的余弦值为．
19、解：依题意，得，
，
．
由二项分布，记“在未来4年中，至多有1年的年入流量超过120”为事件A，
记水电站年总利润为单位：万元．
安装1台发电机的情形：由于水库年入流量总大于40，故一台发电机运行的概率为1，对应的年利润，．
安装2台发电机的情形：依题意，当时，一台发电机运行，此时，因此；当时，两台发电机运行，此时，因此由此得Y的概率分布列如下：
Y | 4200 | 10000 |
P |
所以．
安装3台发电机的情形：
依题意，当时，一台发电机运行，此时，
因此；
当时，两台发电机运行，此时，
因此；
当时，三台发电机运行，此时，
因此，
由此得Y的概率分布列如下：
Y | 3400 | 9200 | 15000 |
P |
所以，．
综上，欲使水电站年总利润的均值达到最大，应安装发电机2台．
20、解：设椭圆C的焦距为2c，
因为椭圆过点，所以．
因为，所以．
因为，所以．
所以椭圆C的方程为．
设直线l的方程为，直线l与椭圆C交于两点，，
由，
消去y并整理得，
直线与椭圆有两个交点，
，即，
因为，
所以，
设线段MN的中点为，则有．
所以线段MN的垂线平分线方程为．
因为线段MN的垂线平分线过点，
所以．
因为，
所以，即．
解得或．
所以k的取值范围是．
21、解：由题得，其中，
令，其中对称轴为，．
若，则，此时，则，所以在上单调递增；
若，则，此时在R上有两个根，，且，所以当时，，则，单调递增；当时，，则，单调递减；当时，，则，单调递增，
综上，当时，在上单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增．
证明：由知，当时，有两个极值点，，且，，所以
令，，则只需证明，
由于，故在上单调递减，
所以．
又当时，，，
故，
所以，对任意的，．
综上，可得．
22、解： (1) 解法一：设曲线与过极点且垂直于极轴的直线相交于异于极点的点E，且曲线上任意点F，边接OF，EF，则OF⊥EF，
在△OEF中，，
解法二：曲线的直角坐标方程为，
即，
所以曲线的极坐标方程为；
（2）因曲线的参数方程为，与两坐标轴相交，
所以点，
所以线段极坐标方程为，
，,
，
当时取得最大值为．
22、由柯西不等式得：
，
，当且仅当时取等号，
；
（2），，
当且仅当时等号成立，
要使得不等式恒成立，
即可转化为，
，
的取值范围为：
