黑龙江省大庆铁人、鸡西一中、鹤岗一中三校2021届高三上学期联考 数学（文） (含答案) 试卷
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数学试题（文科）
一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1. 已知集合，，则的一个真子集为（ ）
A. B. C. D.
2.已知复数z＝1＋i，为z的共轭复数，则|·(z＋1)|＝（ ）
A. B.2 C.10 D.
3. 已知，，，则，，的大小关系为（ ）
A. B. C. D.
4. 下列函数中，既是偶函数又在上单调递减函数是( )
A. B. C. D.
5. 已知变量，满足约束条件，则的最小值为（ ）
A. B. 1 C. D.
6.已知α和β表示两个不重合的平面，a和b表示两条不重合的直线，则平面α//平面β的一个充分条件是（ ）
A.a//b，a//α且b//β B.aα，bα且a//β，b//β
C.a⊥b，a//α且b⊥β D.a//b，a⊥α且b⊥β
7.已知在平面直角坐标系中，向量＝(－1，2)，＝(1，1)，且，，令与的夹角为θ，则cosθ＝（ ）
A. B. C. D.
8. 某几何体的三视图如图所示，其中俯视图和侧视图中的正方形的边长为2，正视图和俯视图中的三角形均为等腰直角三角形，则该几何体的体积为（ ）
- B. 8 C. D. 12
9.命题p：当且仅当m＝1时，直线x＋(m＋1)y－2＝0与直线mx＋2y＋4＝0平行；命题q：直线(k＋1)x－(2k＋1)y－1＝0与圆(x－3)2＋y2＝4可能相切。下列命题中是真命题的是（ ）
A. p B. q C.p∧q D. p∨q
10. 函数的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
11. 已知M是边长为1的正△ABC的边AC上的动点，N为AB的中点，则的取值范围是（ ）
A. [，] B. [，] C. [，] D. [，]
12. 已知表示不大于的最大整数，若函数在上仅有一个零点，则的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13. 已知，，则等于 .
14.等比数列中，，.则的前9项之和为__________．
15. 如图所示，正四面体ABCD中，E是棱AD的中点，P是棱AC上一动点，BP+PE的最小值为，则该正四面体的外接球表面积是__________．
16. 已知函数，若存在使得成立，则实数的值为__________．
三、解答题（本大题共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. 设为数列的前项和，已知，.
（1）证明：为等比数列；
（2）求.
18. 已知圆的圆心在轴上，圆过点，.
（1）求圆的标准方程；
（2）已知点在直线上且位于第一象限，若过点且倾斜角为的直线与圆相切，求切线的方程.
19. 在直三棱柱中，，，是棱的中点.
(1)求证：；
(2)求点到平面的距离.
20. 在中，角，，所对的边分别为，，，，.
（1）求外接圆的面积；
（2）若边上的中线长为，求的周长.
21.已知为椭圆C：1（a＞b＞0）的一个焦点，且点在椭圆C上.
（1）求椭圆C的方程；
（2）若点P（m，0）为椭圆C的长轴上一动点，过P且斜率为的直线l交椭圆C于A，B两点，求证|PA|2+|PB|2为定值.
22. 已知函数 .
（1）若，求曲线在点处的切线方程；
（2）若函数，记函数在上的最小值为，求证：.
三校联考数学文科参考答案
序号 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |
答案 | C | D | C | B | C | D | A | C | B | D | A | D |
- 【答案】. 14.【答案】18或42
15.【答案】 16.【答案】．
17.（1）证明：∵，，∴，
∴，∴，
则，
∴是首项为2，公比为2的等比数列.
（2）解：由（1）知，，则.
∴ .
18. 解：（1）设圆的标准方程为，
因为圆过点，，所以，，
解得，
所以圆的标准方程为.
（2）设，直线的斜率为-1，
则直线的方程为，即，
则.
因为，所以，
所以切线的方程为.
19.(1)取中点，联结，，，
∵是直三棱柱，∴，，
又∵是的中点， ，∴，又∵，
∴，，∴面，∴；
(2)，设到平面的距离为，则，
由已知得，∴，∴.
20.解：（1）因为，又，
即，所以，
由，得，
外接圆的半径为，
所以外接圆的面积为.
（2）设的中点为，则.
因为，
所以，
即.
又，得，.
所以的周长为9.
21. 【详解】（1）由题意：，1，a2＝b2+c2，解得： ，
故椭圆C的方程为：；
（2）证明：设直线l的方程：，与椭圆联立，消去整理得：，，
如图：过作轴交轴于点，过作轴交轴于点，
，
所以：，
所以为定值.
22.（1）由题意知，，∴，
∴，，则所求切线方程为，即.
（2）由题意知，，
∴.
令，∴，则在上单调递增，
又，则存在使得成立，
∵，∴.
当时，，当时，，
∴.
令，则，
∵，∴，∴.
