专题01 集合的概念与运算（解析版）-2021届江苏省新高考数学大讲坛大一轮复习

专题01 集合的概念与运算
2021年江苏新高考考点分析
集合是高考数学必考内容,一般作为容易题.给定集合来判定集合间的关系、集合的交、并、补运算是考查的主要形式，一般为高考试卷的第一题.
2021年江苏新高考考点梳理
1. 基本概念：集合、元素；有限集、无限集；空集、全集；符号的使用.
(1)集合中元素的三个特性：确定性、互异性、无序性．
(2)元素与集合的关系是属于或不属于，表示符号分别为∈和∉.
(3)常见数集的记法
集合
自然数集
正整数集
整数集
有理数集
实数集
符号
N
N*(或N＋)
Z
Q
R

2. 集合的表示法：列举法、描述法、图形表示法.
集合元素的特征：确定性、互异性、无序性.
集合的性质：
①任何一个集合是它本身的子集，记为；
②空集是任何集合的子集，记为；
③空集是任何非空集合的真子集；
如果，同时，那么A = B.
如果.
[注]：①Z= {整数}（√） Z ={全体整数} （×）
②已知集合S 中A的补集是一个有限集，则集合A也是有限集.（×）（例：S=N； A=，则CsA= {0}）
③ 空集的补集是全集.
④若集合A=集合B，则CBA = ， CAB = CS（CAB）= D （ 注 ：CAB = ）.
3. ①{（x，y）|xy =0，x∈R，y∈R}坐标轴上的点集.
②{（x，y）|xy＜0，x∈R，y∈R二、四象限的点集.
③{（x，y）|xy＞0，x∈R，y∈R} 一、三象限的点集.
[注]：①对方程组解的集合应是点集.
例： 解的集合{(2，1)}.
②点集与数集的交集是. （例：A ={(x，y)| y =x+1} B={y|y =x2+1} 则A∩B =）
4. ①n个元素的子集有2n个. ②n个元素的真子集有2n －1个. ③n个元素的非空真子集有2n－2个.
5.集合运算：交、并、补.

6.主要性质和运算律
（1） 包含关系：
（2） 等价关系：
（3） 集合的运算律：
交换律：
结合律:
分配律:.
(4)常用结论


A∩CUA=φ A∪CUA=U
CU(A∩B)= (CUA)∪(CUB) CU(A∪B)= (CUA)∩(CUB)
7.有限集的元素个数
定义：有限集A的元素的个数叫做集合A的基数，记为card( A)规定 card(φ) =0.
基本公式：

名师讲坛考点突破
考点1 集合的含义与表示
例1 已知集合A＝{(x，y)|x2＋y2≤3，x∈Z，y∈Z}，则A中元素组成的集合的子集的个数为(　　)
A．512 B．1024
C．511 D．1023[来源:学*科*网]
【答案】A　
【解析】法一：将满足x2+y2≤3的整数x，y全部列举出来，即(－1，－1)，(－1,0)，(－1,1)，(0，－1)，(0,0)，(0,1)，(1，－1)，(1,0)，(1,1)，共有9个．故选A.
法二：根据集合A的元素特征及圆的方程在坐标系中作出图形，如图，易知在圆x2＋y2＝3中有9个整点，即为集合A的元素个数，故选A.

变式训练1.设2020∈{x，，x2}，则满足条件的所有x组成的集合的子集的个数为(　　)
A．3 B．4 C．7 D．8
【答案】A　
【解析】由题意得x＝－2020或x＝－2020，所以集合{－2020，－2020}的子集有4个，选B.
变式训练2. 已知P＝{x|2 A．(4,6] B． (5,6] C．(4,6) D．[5,6]
【答案】B
【解析】因为P中恰有3个元素,所以P＝{3,4,5},故k的取值范围为5 考点2 集合间的基本关系
例2.已知集合A＝{x|x2－2 019x＋2 018<0}，B＝{x|log2x A．9 B． 10 C．11 D．12
【答案】C
【解析】由x2－2 019x＋2 018<0，解得1 由log2x 变式训练3. 设U＝R，A＝(a，a＋1)，B＝[0,5)，若A⊆∁UB，则实数a的取值范围是（ ）
A．(－∞，－1] B． (－∞，－1]∪[5，＋∞)
C．[5，＋∞) D．(－∞，－1]∪[4，＋∞)
【答案】B
【解析】因为∁UB＝(－∞，0)∪[5，＋∞)，又A⊆∁UB，所以a＋1≤0或a≥5，解得a≤－1或a≥5.
故答案是：(－∞，－1]∪[5，＋∞)，选B.

变式训练4. 已知集合，，，，若，则与的关系是　　
A． B． C．或 D．不能确定
【答案】A
【解析】，，显然的分子为奇数，
，，显然的分子为整数，
集合、的关系为．，，故选A.
考点3 集合的基本运算
例3．已知集合A＝{x|1＜x＜3}，集合B＝{x|2m＜x＜1－m}，若A∩B＝∅，实数m的取值范围是（ ）
A．(0,+∞) B．[1,+∞) C．(1,+∞) D．[0,+∞)[来源:Z#xx#k.Com]
【答案】D
【解析】 由A∩B＝∅，得
①若2m≥1－m，即m≥时，B＝∅，符合题意；
②若2m＜1－m，即m＜时，需或
得0≤m＜或∅，即0≤m＜.
综上知m≥0，即实数m的取值范围为[0，＋∞),选D.
变式训练5.设集合，，若，则实数的取值范围是( )
A．(-∞,-1) B．(-∞,-1] C．(1,+∞) D．[1,+∞)
【答案】B
【解析】集合，，
，
所以a≤-1，实数的取值范围是(-∞,-1)，选B.
变式训练6.已知集合M＝xx2-2x<0，N＝x-1 A．(1,2) B．[1,2) C．(-1,2) D．(0,2)[来源:学科网]
【答案】C
【解析】∵集合M＝，
∴M＝(0，2)，
又∵N＝，
∴MN＝(﹣1，2).
故答案为：(﹣1，2)，故选C.
考点4 以集合为背景的创新题
例4. ，是非空集合，定义且．已知集合，B={y|y≥0}，则（ ）
A．， B．[2，+∞) C．(2，+∞) D．(0,+∞)
【答案】A
【解析】集合，B={y|y≥0}，
，；
由新定义且，
结合数轴得，，故答案为：，选A.[来源:学§科§网]
变式训练7. 对于集合M，定义函数fM(x)＝对于两个集合A，B，定义集合AΔB＝{x|fA(x)·fB(x)＝－1}．已知A＝{2,4,6,8,10}，B＝{1,2,4,8,12}，则用列举法写出集合AΔB＝（ ）
A．{0,1,6,10,12} B．{6,10,12} C．{1,6,10} D．{1,6,10,12}
【答案】D
【解析】由题意知，要使fA(x)·fB(x)＝－1，必有x∈{x|x∈A且x∉B}∪{x|x∈B且x∉A}＝{1,6,10,12}，所以AΔB＝{1,6,10,12},故选D.
变式训练8. 对于复数，，，，若集合，，，具有性质“对任意，，必有”，则当时，等于（ ）
A．1 B． 0 C．-1 D．2
【答案】C
【解析】对于复数，，，，若集合，，，具有性质“对任意，，必有”，
，
可取，，，，，或，，
．
故答案为：，故选C.


新高考模拟试题过关测试
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共计40分．）
1. 已知集合则=（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】B={1,4,7,10},A∩B={1,4}选D.
2．已知集合，2，3，4，，集合，则等于　　
A．，2， B．， C．， D．，
【答案】B
【解析】P={1，2，3，4，5}，，
,，故选：B．
3. 设，，集合，，，，，则( )
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【解析】，，集合，，，，，
，，
,故答案为：B．
4. 已知集合A={x|2 A．， B．(2,4] C．[2,4] D．(-∞,4)
【答案】A
【解析】集合A={x|2 当时，m+1≥2m-1，解得m≤2，
当时，m+1<2m-1m+1≥22m-1≤7，解得2 综上，实数的取值范围是，,选A
5. 已知集合，，则A⋂B=（ ）
A．R B．x|00 D．x|14 【答案】D
【解析】因为A=x|014，
所以A⋂B=x|14  
6. 已知集合，，则为（ ）
A．3 B．2 C．1 D．0
【答案】B
【解析】集合中的元素为点集，由题意，可知集合A表示以为圆心，为半径的单位圆上所有点组成的集合，集合B表示直线上所有的点组成的集合，又圆与直线相交于两点22,22，-22,-22，则中有2个元素.故选B.
7 . 已知集合，则=（ ）
A． B． C． D．[来源:学科网ZXXK]
【答案】C
【解析】由题意可知,,又因为,则，故选.

8. 设、是非空数集，定义且，已知集合，，，则　　
A．， B．，， C．， D．，[来源:学。科。网]
【答案】C
【解析】由题意，，
，．
且，
，,故选：．
二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分．）
9. 设集合A＝{1,2,4}，B＝{x|x2－4x＋m＝0}．若A∩B＝{1}，则B中的元素为（ ）[来源:Zxxk.Com]
A．3 B．4 C．1 D．0
【答案】AC
【解析】因为A∩B＝{1}，所以1∈B，所以1是方程x2－4x＋m＝0的根，所以1－4＋m＝0，m＝3，方程为x2－4x＋3＝0，解得x＝1或x＝3，所以B＝{1,3},故选AC.
10. 已知a≤1时，集合{x|a≤x≤2－a}中有且只有3个整数，则数A的值可能为（ ）
A．0 B．-12 C．-1 D．1
【答案】AB
【解析】因为a≤1，所以2－a≥1，所以1必在集合中．
若区间端点均为整数，则a＝0，集合中有0,1,2三个整数，所以a＝0符合题意；
若区间端点不为整数，则区间长度2<2－2a<4，解得－1 11. 若集合 （是虚数单位）， ，则中的元素可能是( )
A．3 B．2 C．1 D．-1
【答案】CD
【解析】因为A=i,i2,i3,i4=i,-1,-i,1,B=1,-1 所以A∩B=-1,1故选CD.
12. 定义：满足任意元素x∈A，则|4－x|∈A的集合称为优集，若集合A＝{1，a,7}是优集，则下列选项不是a的值为（ ）
A．3 B．2 C．1 D．0
【答案】BCD
【解析】依题意，当x＝1时，|4－x|＝3∈A，当x＝7时，|4－x|＝3∈A，所以a＝3符合条件．
三、填空题（本大题共4小题，共计20分．）
13. 已知集合，，且，则实数的取值范围是_________．
【答案】-2,4
【解析】由题意可得：CRA=xx+2x-5≤0=x|-2≤x≤5，
据此结合题意可得：m≥-2m+1≤5，即m≥-2m≤4，[来源:Z§xx§k.Com]
即实数m的取值范围是-2,4.
14. 已知集合，，则__________.
【答案】{1,2}
【解析】∵集合A={-2,-1,0,1,2}，B={x|x>0}，∴A∩B={1,2}．
15. 知集合A＝{x|0＜x＜2}，集合B＝{x|x＞1}，则A∪B＝　　．
【答案】{x|x＞0}[来源:学科网ZXXK]
【解析】∵集合A＝{x|0＜x＜2}，集合B＝{x|x＞1}，
∴A∪B＝{x|x＞0}，故答案为：{x|x＞0}．
16. 已知集合，，且，则________．
【答案】
【解析】因为，，，
所以，解得；因此.
所以,故答案为：.
四、解答题（本大题共6小题，共计70分．）
17. 已知集合A＝{x|a≤x≤a＋3}，B＝{x|x2＋x－6≤0}，
(1)当a＝0时，求A∪B，A∩∁RB；
(2)若A⊆B，求实数a的取值范围．
【解析】 (1)当a＝0时，A＝{x|0≤x≤3}，又B＝{x|－3≤x≤2}，[来源:Zxxk.Com]
所以∁RB＝{x|x＜－3或x＞2}，
所以A∪B＝{x|－3≤x≤3}，A∩∁RB＝{x|2＜x≤3}．
(2)因为A⊆B，
所以解得－3≤a≤－1，
所以实数a的取值范围为[－3，－1]．
18．知集合A＝{x|1＜x＜3}，集合B＝{x|2m＜x＜1－m}．
(1)当m＝－1时，求A∪B；
(2)若A⊆B，求实数m的取值范围；
(3)若A∩B≠∅，求实数m的取值范围．
【解析】(1)当m＝－1时，B＝{x|－2 (2)由A⊆B知解得m≤－2，
即实数m的取值范围为(－∞，－2]．
(3)当A∩B＝∅，得
①若2m≥1－m，即m≥时，B＝∅，符合题意；
②若2m＜1－m，即m＜时，需或
得0≤m＜或∅，即0≤m＜，综上知m≥0.
若A∩B≠∅,则m<0.