初中人教版1.2.1 有理数优秀单元测试课时练习

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专题1.13第1章有理数单元测试（培优卷）


姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________


注意事项：


本试卷满分120分，试题共26题．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．


一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．


1．（2019秋•官渡区期末）在﹣6，|﹣4|，﹣（+3），0，﹣（﹣2）中，负数共有（ ）


A．1个B．2个C．3个D．4个


【分析】首先把|﹣4|，﹣（﹣3），﹣（﹣2）化简，然后再确定负数的个数．


【解析】|﹣4|＝4，﹣（﹣3）＝3，﹣|﹣2|＝﹣2，负数有﹣6，﹣2，共2个，


故选：B．


2．（2020•重庆）下列各数中，最小的数是（ ）


A．﹣3B．0C．1D．2


【分析】根据正数大于0，0大于负数，正数大于负数，可得答案．


【解析】∵﹣3＜0＜1＜2，


∴这四个数中最小的数是﹣3．


故选：A．


3．（2019秋•新都区期末）﹣（-13）的相反数是（ ）


A．3B．﹣3C．13D．-13


【分析】直接利用互为相反数的定义得出答案．


【解析】﹣（-13）=13的相反数是：-13．


故选：D．


4．（2020•雁塔区校级三模）在227，π3，1.62，0四个数中，有理数的个数为（ ）


A．4B．3C．2D．1


【分析】根据有理数的定义，即可解答．


【解析】在227，π3，1.62，0四个数中，有理数为227，1.62，0，共3个，


故选：B．


5．（2020•广东模拟）据统计，2019年杭州市区初中毕业生为25000余人，25000用科学记数法表示为（ ）


A．25×103B．2.5×103C．2.5×104D．0.25×105


【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值是易错点，由于25000有5位，所以可以确定n＝5﹣1＝4．


【解析】25000＝2.5×104．


故选：C．


6．（2019秋•南召县期末）若|m|＝5，|n|＝7，m+n＜0，则m﹣n的值是（ ）


A．﹣12或﹣2B．﹣2或12C．12或2D．2或﹣12


【分析】根据题意，利用绝对值的代数意义求出m与n的值，再代入所求式子计算即可．


【解析】∵|m|＝5，|n|＝7，且m+n＜0，


∴m＝5，n＝﹣7；m＝﹣5，n＝﹣7，


可得m﹣n＝12或2，


则m﹣n的值是12或2．


故选：C．


7．（2019秋•弥勒市期末）如图所示，a、b是有理数，则式子|a|﹣|b|+|b﹣a|化简的结果为（ ）





A．﹣2aB．﹣2bC．0D．2a﹣2b


【分析】由数轴可知a＜0＜b，则由数的范围可化简式子为|a|﹣|b|+|b﹣a|＝﹣a﹣b+b﹣a＝﹣2a．


【解析】由图可知﹣1＜a＜0＜1＜b，


∴|a|﹣|b|+|b﹣a|＝﹣a﹣b+b﹣a＝﹣2a，


故选：A．


8．（2019秋•长安区校级月考）如图是小明同学完成的作业，他做对的题数是（ ）





A．1B．2C．3D．4


【分析】各式利用有理数的除法，减法法则，相反数，绝对值，以及倒数的性质判断即可．


【解析】-25的相反数是25，


﹣1的倒数是﹣1，


绝对值等于它本身的数是非负数，


（ ）﹣7＝﹣3，则括号内的数为4，


（﹣3）÷（-13）＝9，


则判断错误的个数为3，做对的是2，


故选：B．


9．（2019秋•莒县期中）下列说法：


①若|a|＝a，则a为正数；


②若a，b互为相反数，且ab≠0，则ba=-1；


③若a2＝b2则a＝b；


④若a＜0，b＜0，则|ab﹣a|＝ab﹣a．


其中正确的个数有（ ）个．


A．1B．2C．3D．4


【分析】利用相反数，绝对值的性质，以及有理数的除法法则判断即可．


【解析】①若|a|＝a，则a为非负数，不符合题意；


②若a，b互为相反数，且ab≠0，则ba=-1，符合题意；


③若a2＝b2则a＝b或a＝﹣b，不符合题意；


④若a＜0，b＜0，则|ab﹣a|＝ab﹣a，符合题意．


故选：B．


10．（2017秋•硚口区期中）下列结论：①若a为有理数，则a2＞0；②若a2+b2＝0，则a+b＝0；③若a+b＝0，则ab=-1；④若ab＞0，则a|a|+b|b|+c|c|=-3，则其中正确的结论的个数是（ ）


A．3个B．2个C．1个D．0个


【分析】①根据平方的意义，a取0时，结论不成立；


②根据非负数的意义即可判断；


③由条件得到a，b为互为相反数，即可判断结论正确；


④当a，b同正时，结论错误．


【解析】①若a＝0时，则a2＝0，故①错误；


②∵a2≥0，b2≥0，若a2+b2＝0，则a＝b＝0，∴a+b＝0，故②正确；


③若a+b＝0，a，b同时为零，则ab=-1不存在，故③错误；


④若ab＞0，则a，b同号，当a＞0，b＞0时，a|a|+b|b|=2，c＞0时，a|a|+b|b|+c|c|=3，c＜0时，a|a|+b|b|+c|c|=1，c＝0时，a|a|+b|b|+c|c|=2，故④错误，


故选：C．


二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）请把答案直接填写在横线上


11．（2020春•普陀区期末）比较大小：﹣2 ＞ ﹣312．（填“＜”或“＞”）


【分析】先进行绝对值的化简，然后通分，根据两个负数，绝对值大的其值反而小即可进行判断．


【解析】∵|﹣2|＜|﹣312|，


∴﹣2＞-312．


故答案为：＞．


12．（2019秋•宾县期末）在数轴上与﹣4相距3个单位长度的点有 2 个，它们分别是 ﹣1 和 ﹣7 ．


【分析】根据题意画出数轴，进而得出符合题意的答案．


【解析】如图所示：


在数轴上与﹣4相距3个单位长度的点有2个，它们分别是﹣1和﹣7．


故答案为：2，﹣1，﹣7．





13．（2019秋•海淀区校级期中）在下列各数中：12，﹣3，0，﹣0.7，5，其中是非负整数的是 0，5 ．


【分析】非负整数包括正整数和0，据此可以得到答案．


【解析】非负整数的有：0，5．


故答案为：0，5．


14．（2019秋•绵阳期末）在数轴上点A对应的数为﹣2，点B是数轴上的一个动点，当动点B到原点的距离与到点A的距离之和为6时，则点B对应的数为 ﹣4或2 ．


【分析】分情况分别求出AB、OB，利用方程求解即可．


【解析】设点B表示的数为b，


①当点B在点A的左侧时，则有﹣2﹣b﹣b＝6，解得，b＝﹣4，


②当点B在OA之间时，AB+AO＝2≠6，因此此时不存在，


③当点B在原点的右侧时，则有b+2+b＝6，解得，b＝2，


故答案为：﹣4或2．


15．（2019秋•绵阳期末）计算：﹣32×16-（﹣4）÷|﹣2|3＝ ﹣1 ．


【分析】根据有理数的乘方、有理数的乘除法和减法可以解答本题．


【解析】﹣32×16-（﹣4）÷|﹣2|3


＝﹣9×16+4÷8


=-32+12


＝﹣1，


故答案为：﹣1．


16．（2019秋•邹城市期中）若0＜x＜1，则x，x2，1x的大小关系是 x2＜x＜1x ．


【分析】已知x的取值范围，可运用取特殊值的方法，选取一个符合条件的实数代入选项求得答案．


【解析】∵0＜x＜1，


∴假设x＝0.1，


则x2＝（0.1）2＝0.01，1x=10.1=10，


∵0.01＜0.1＜10，


∴x2＜x＜1x．


故答案为：x2＜x＜1x．


17．（2019秋•宿豫区期中）规定a⊕b＝a﹣b+1，则（3⊕2）⊕5＝ ﹣2 ．


【分析】根据a⊕b＝a﹣b+1，可以求得所求式子的值．


【解析】∵a⊕b＝a﹣b+1，


∴（3⊕2）⊕5


＝（3﹣2+1）⊕5


＝2⊕5


＝2﹣5+1


＝﹣2，


故答案为：﹣2．


18．（2018秋•路南区校级月考）符号“f”，“g”分别表示一种运算，它对一些数的运算结果如下：


（1）f（1）＝0，f（2）＝1，f（3）＝2，f（4）＝3，…，f（10）＝9，…


（2）g（12）＝2，g（13）＝3，g（14）＝4，g（15）＝5，…，g（111）＝11，…


利用以上规律计算：f（2018）﹣g（12018）＝ ﹣1 ．


【分析】根据题目中的式子，可以得到f（n）和g（1n），从而可以求得所求式子的值．


【解析】由题意可得，


f（n）＝n﹣1，g（1n）＝n，


则f（2018）﹣g（12018）


＝2018﹣1﹣2018


＝﹣1，


故答案为：﹣1．


三、解答题（本大题共8小题，共66分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）


19．（2019秋•茂名期中）计算


（1）（﹣4）+9


（2）13+（﹣12）+17+（﹣18）


【分析】（1）直接利用有理数的加法运算法则得出答案；


（2）直接利用有理数的加法运算法则得出答案．


【解析】（1）（﹣4）+9


＝5；





（2）13+（﹣12）+17+（﹣18）


＝13+17+（﹣12）+（﹣18）


＝30+（﹣30）


＝0．


20．（2019秋•长汀县校级月考）把下列各数分别填入相应的大括号内：-7，3.5，-3.1415，π，0，1317，0.03，-312，10，-0.2⋅3⋅，-42


自然数集合{ 0，10… }；


整数集合{ ﹣7，0，10，-42⋯ }；


正分数集合{ 3.5，1317，0.03… }；


非正数集合{ ﹣7，﹣3.1415，0，﹣312，﹣0.23⋅⋅，-42⋯ }；


有理数集合{ ﹣7，﹣3.5，﹣3.1415，0，1317，0.03，﹣312，10，﹣0.23⋅⋅，-42⋯ }．


【分析】掌握各自的定义：自然数（大于零的整数）；整数（正整数、零和负整数）；有理数（整数和分数的统称）


【解析】自然数集合：{0，10…}；


整数集合：{﹣7，0，10，-42⋯}；


正分数集合：{3.5，1317，0.03…}；


非正数集合：{﹣7，﹣3.1415，0，﹣312，﹣0.23⋅⋅，-42⋯}；


有理数集合：{﹣7，﹣3.15，﹣3.1415，0，1317，0.03，﹣312，10，﹣0.2⋅3⋅，-42⋯}．


21．（2019秋•和平区期末）计算：


（1）12÷（﹣3）﹣（﹣8）×（-34）+12


（2）313-22÷{[（-12）3-38+13]×12}


【分析】（1）根据有理数的乘除法和加减法可以解答本题；


（2）根据有理数的乘方、有理数的乘除法和加减法可以解答本题．


【解析】（1）12÷（﹣3）﹣（﹣8）×（-34）+12


＝﹣4﹣6+12


=-192；


（2）313-22÷{[（-12）3-38+13]×12}


＝313-4÷[（-18-38+13）×12]


＝313-4÷（-32-92+4）


＝313-4÷（﹣2）


＝313-4×（-12）


＝313+2


＝513．


22．（2018秋•丰城市期末）下列有理数：﹣1，2，5，﹣112





（1）将上列各数在如上图的数轴上表示出来；


（2）将上列各数从小到大排列，并用“＜”符号连接．


【分析】（1）将各数表示在数轴上，如图所示；


（2）根据数轴上点的位置将各数按照从小到大顺序排列即可．


【解析】（1）将各数表示在数轴上，如图所示：





（2）根据题意得：﹣112＜-1＜2＜5．


23．（2020春•浦东新区期末）一名足球守门员练习折返跑，从球门线出发，向前记作正数，返回记作负数，他的记录为：+6，﹣5，+9，﹣10，+13，﹣9，﹣4（单位：米）．


（1）守门员最后是否回到了球门线的位置？


（2）在练习过程中，守门员离开球门线最远的距离是多少米？


（3）守门员全部练习结束后一共跑了多少米？


【分析】（1）计算这些数的和，根据和的符号、绝对值得出是否回到原来的位置，


（2）计算出每一次离开球门的距离，比较得出答案，


（3）计算这些数的绝对值的和即可．


【解析】（1）（+6）+（﹣5）+9+（﹣10）+13+（﹣9）+（﹣4）＝0，


答：守门员回到了球门线的位置；


（2）守门员每次离开球门的距离为：6，1，10，0，13，4，0，


答：守门员离开球门的位置最远是13米；


（3）6+5+9+10+13+9+4＝56（米）


答：守门员一共走了56米．


24．（2019秋•南岸区期末）有个填写运算符号的游戏：“2_3_5_9”，在每个“____”上，填入+，﹣，×，÷中的某一个（可重复使用），然后计算结果．


（1）计算：2+3﹣5﹣9；


（2）若2÷3×5 × 9＝30，请推算横线上的符号；


（3）在“2 ﹣ 3 × 5+9”的横线上填入符号后，使计算所得数最小，直接写出填上符号后的算式及算式的计算结果的最小值．


【分析】（1）根据计算法则进行计算即可；


（2）根据运算顺序得出103___9＝30，因此横线上应是乘号；


（3）要使结果最小，其中必有负号，即减号，然后使负数的绝对值最大，因此考虑用乘法，从而得出答案．


【解析】（1）原式＝5﹣5﹣9＝﹣9；


（2）若2÷3×5×9＝30，因此“空格”上的符号为“×”；


（3）2﹣3×5+9＝﹣4，


故答案为：﹣×．


25．（2020春•兴化市期中）（1）计算：0×1×2×3+1＝（ 1 ）2；


1×2×3×4+1＝（ 5 ）2；


2×3×4×5+1＝（ 11 ）2；


3×4×5×6+1＝（ 19 ）2；


……


（2）根据以上规律填空：4×5×6×7+1＝（ 29 ）2；


6 × 7 × 8 × 9 +1＝（55）2．


（3）小明说：“任意四个连续自然数的积与1的和都是某个奇数的平方”．你认为他的说法正确吗？请说明理由．


【分析】（1）通过有理数的运算便可得结果；


（2）由已知等式得到规律：任意四个连续自然数的积与1的和等于较小数与比它大3的数的积与1的和的平方．按此规律解答便可；


（3）根据题意可得第n个等式应是n（n+1）（n+2）（n+3）+1＝[n（n+3）+1]2＝（n2+3n+1）2，再证明n2+3n+1是否为奇数便可．


【解析】（1）0×1×2×3+1＝0+1＝1＝12；


1×2×3×4+1＝24+1＝25＝52；


2×3×4×5+1＝120+1＝121＝112；


3×4×5×6+1＝360+1＝361＝192，


故答案为：1；5；11；19；


（2）由已知等式知，任意四个连续自然数的积与1的和等于较小数与比它大3的数的积与1的和的平方．


∴4×5×6×7+1＝（4×7+1 ）2＝292；


∵55＝6×9+1，


∴6×7×8×9+1＝552；


故答案为：29；6；7；8；9；


（3）正确．


证明：设四个自然数分别为n，n+1，n+2，n+3，


则有n（n+1）（n+2）（n+3）+1


＝[n（n+3）][（n+1）（n+2）]+1


＝（n2+3n）（n2+3n+2）+1


＝（n2+3n）2+2（n2+3n）+1


＝（n2+3n+1）2


＝[n（n+1）+2n+1]2，


∵n为自然数，


∴n（n+1）为偶数，2n+1为奇数，


∴n（n+1）+2n+1必为奇数，


故（n2+3n+1）2是一个奇数的平方，


即任意四个连续自然数的积与1的和都是某个奇数的平方．


26．（2019秋•崇川区校级期中）已知b是最小的正整数，且a，b满足（c﹣5）2+|a+b|＝0，请回答：


（1）请直接写出a，b，c的值：a＝ ﹣1 ，b＝ 1 ，c＝ 5 ；


（2）在（1）的条件下，若点P为一动点，其对应的数为x，点P在0到2之间运动，即0≤x≤2时，化简：|x+1|﹣|x﹣1|+3|x﹣2|；


（3）在（1）（2）的条件下，a，b，c分别对应的点A、B、C开始在数轴上运动，若点A以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时，点B和点C分别以每秒2个单位长度和5个单位长度的速度向右运动，假设t秒钟过后，若点B与点C之间的距离表示为BC，点A与点B之间的距离表示为AB．请问：BC﹣AB的值是否随着时间t的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求其值．





【分析】（1）根据b是最小的正整数，即可确定b的值，然后根据非负数的性质，几个非负数的和是0，则每个数是0，即可求得a，b，c的值；


（2）根据x的范围，确定x+1，x﹣3，5﹣x的符号，然后根据绝对值的意义即可化简；


（3）先求出BC＝3t+4，AB＝3t+2，从而得出BC﹣AB＝2．


【解析】（1）∵b是最小的正整数，∴b＝1．


根据题意得：c﹣5＝0且a+b＝0，


∴a＝﹣1，b＝1，c＝5．


故答案是：﹣1；1；5；





（2）当0≤x≤1时，x+1＞0，x﹣1≤0，x﹣2＜0，


则：|x+1|﹣|x﹣1|+3|x﹣2|


＝x+1﹣（1﹣x）+2（2﹣x）


＝x+1﹣1+x+4﹣2x


＝4；


当1＜x≤2时，x+1＞0，x﹣1＞0，x﹣2≤0．


|x+1|﹣|x﹣1|+3|x﹣2|＝x+1﹣（x﹣1）+2（2﹣x）


＝x+1﹣x+1+4﹣2x


＝﹣2x+6；





（3）不变．理由如下：


t秒时，点A对应的数为﹣1﹣t，点B对应的数为2t+1，点C对应的数为5t+5．


∴BC＝（5t+5）﹣（2t+1）＝3t+4，AB＝（2t+1）﹣（﹣1﹣t）＝3t+2，


∴BC﹣AB＝（3t+4）﹣（3t+2）＝2，


即BC﹣AB值的不随着时间t的变化而改变．


（另解）∵点A以每秒1个单位长度的速度向左运动，点B每秒2个单位长度向右运动，


∴A、B之间的距离每秒钟增加3个单位长度；


∵点B和点C分别以每秒2个单位长度和5个单位长度的速度向右运动，


∴B、C之间的距离每秒钟增加3个单位长度．


又∵BC﹣AB＝2，


∴BC﹣AB的值不随着时间t的变化而改变解．