九年级数学下册期末专项复习含答案解析 锐角三角函数 练习
展开锐角三角函数 单元测试卷
题 号 | 一 | 二 | 三 | 总 分 |
得 分 |
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一、选择题(每题3分,共30分)
1. cos 60°的值等于( )
A. B. C. D.
2.在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=2,BC=3,那么下列各式中,正确的是( )
A.sin B= B.cos B= C.tan B= D.tan B=
3.如图,在△ABC中,∠C=90°,AB=5,BC=3,则cos A的值是( )
A. B. C. D.
4.计算sin 60°+tan 60°-2 cos230°的值等于( )
A. B.- C. D.1
5.将宽为2 cm的长方形纸条折叠成如图所示的形状,那么折痕PQ的长是( )
A. cm B. cm C. cm D.2 cm
6.李红同学遇到了这样一道题:tan (α+20°)=1,你认为锐角α的度数应是( )
A.40° B.30° C.20° D.10°
7.如图是某商场一楼与二楼之间的手扶电梯示意图.其中AB,CD分别表示一楼、二楼地面的水平线,∠ABC=150°,BC的长是8 m,则乘电梯从点B到点C上升的高度h是( )
A. m B.4 m
C.4 m D.8 m
8.如图,在一笔直的海岸线l上有A,B两个观测站,AB=2 km,从A测得船C在北偏东45°的方向,从B测得船C在北偏东22.5°的方向,则船C离海岸线l的距离(即CD的长)为( )
A.4 km B.(2+) km C.2 km D.(4-) km
9.如图,是一台54英寸的大彩电放置在墙角的俯视图.设∠DAO=α,彩电后背AD平行于前沿BC,且与BC的距离为60 cm,若AO=100 cm,则墙角O到前沿BC的距离OE是( )
A.(60+100sin α) cm B.(60+100cos α) cm
C.(60+100tan α) cm D.以上都不对
10.如图,在△ABC中,AB=AC,BC=24,tan C=2,如果将△ABC沿直线l翻折后,点B落在边AC的中点E处,直线l与边BC交于点D,那么BD的长为( )
A.13 B. C. D.12
二、填空题(每题3分,共24分)
11.如图,某河道要建造一座公路桥,要求桥面离地面的高度AC为3 m,引桥的坡角∠ABC为15°,则引桥的水平距离BC约是______________m.(结果精确到0.1 m)
12.如图,正方形ABCD的边长为4,点M在边DC上,M,N两点关于对角线AC对称,若DM=1,则tan ∠ADN=______________.
13.如图,在Rt△ABC中,∠ABC=90°,AC=10 cm,点D为AC的中点,则BD=______________cm.
14.如图,已知∠AOB=60°,点P在边OA上,OP=12,点M,N在边OB上,PM=PN.若MN=2,则OM的长为______________.
15.如图,在建筑平台CD的顶部C处,测得大树AB的顶部A的仰角为45°,测得大树AB的底部B的俯角为30°.已知平台CD的高度为5 m,则大树的高度为______________m.(结果保留根号)
16.规定:sin(-x)=-sin x,cos(-x)=cos x,sin(x+y)=sin x·cos y+cos x·sin y.
据此判断下列等式成立的是______________ (写出所有正确的序号).
①cos(-60°)=-;②sin 75°=;③sin 2x=2sin x·cos x;④sin(x-y)=sin x·cos y-cos x·sin y.
17.如图,在正方形ABCD中,O是CD边上一点,以O为圆心,OD为半径的半圆恰好与以B为圆心,BC为半径的扇形的弧外切,则∠OBC的正弦值为______________.
18.如图,AC是矩形ABCD的对角线,AB=2,BC=2,点E,F分别是线段AB,AD上的点,连接CE,CF,当∠BCE=∠ACF,且CE=CF时,AE+AF=______________.
三、解答题(19,20题每题12分,其余每题14分,共66分)
19.按要求完成下列各题:
(1)计算:×sin 45°-2 0150+2-1;
(2)计算:(π-)0++(-1)2 015-tan 60°;
(3)已知∠A,∠B,∠C是锐角三角形ABC的三个内角,且满足(2sin A-)2+=0,求∠C的度数;
(4)先化简,再求值:÷,其中x=2sin 45°+1.
20.如图①所示,将直尺摆放在三角板ABC上,使直尺与三角板的边分别交于点D,E,F,G,量得∠CGD=42°.
(1)求∠CEF的度数;
(2)将直尺向下平移,使直尺的边缘通过三角板的顶点B,交AC边于点H,如图②所示.点H,B在直尺上的读数分别为4,13.4,求BC的长(结果保留两位小数).
(参考数据:sin 42°≈0.67,cos 42°≈0.74,tan 42°≈0.90)
21.如图,在四边形ABCD中,∠B=∠D=90°,AB=BC,AD=7,tan A=2.求CD的长.
22.如图,某塔观光层的最外沿点E为蹦极项目的起跳点.已知点E离塔的中轴线AB的距离OE为10米,塔高AB为123米(AB垂直地面BC),在地面C处测得点E的仰角α=45°,从点C沿CB方向前行40米到达D点,在D处测得塔尖A的仰角β=60°,求点E离地面的高度EF.(结果精确到1米,参考数据:≈1.4,≈1.7)
23.为倡导“低碳生活”,人们常选择以自行车作为代步工具,如图是一辆自行车的部分几何示意图,其中车架档AC与CD的长分别为45 cm和60 cm,且它们互相垂直,座杆CE的长为20 cm,点A,C,E在同一条直线上,且∠CAB=75°.(参考数据:sin 75°≈0.966,cos 75°≈0.259,tan 75°≈3.732)
(1)求车架档AD的长;
(2)求车座点E到车架档AB的距离(结果精确到1 cm).
参考答案
一、1.【答案】A 2.【答案】C 3.【答案】D
4.【答案】A 5.【答案】B 6.【答案】D 7.【答案】B
8.【答案】B 9.【答案】A
10.【答案】A
解：如图,过点A作AG⊥BC于点G,
∵AB=AC,BC=24,tan C=2,
∴=2,GC=BG=12,
∴AG=24,
∵将△ABC沿直线l翻折后,点B落在边AC的中点处,过E点作EF⊥BC于点F,
∴EF=AG=12,
∴=2,
∴FC=6,
设BD=x,则DE=x,
∴DF=24-x-6=18-x,
∴x2=(18-x)2+122,
解得:x=13,
则BD=13.
二、11.【答案】11.2
12.【答案】
解：如图,过N作NG⊥AD于点G.∵正方形ABCD的边长为4,M,N关于AC对称,DM=1,∴MC=NC=3,∴GD=3.而GN=AB=4,
∴tan ∠ADN==.
13.【答案】5
解：∵∠ABC=90°,AC=10 cm,点D为AC的中点,
∴BD=AC=5 cm.故填5.本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半,根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可求得结果.
14.【答案】5
解：如图,过点P作PC⊥OB于点C,则MC=1,OC=12 cos 60°=12×=6,所以OM=OC-MC=6-1=5.
15.【答案】(5+5)
解：作CE⊥AB于点E,易求得CE,BE的长,然后在Rt△ACE中利用锐角三角函数关系式求得AE的长,进而求得AB的长,即为大树的高度.
作CE⊥AB于点E,
在Rt△BCE中,BE=CD=5 m,CE==5 m.
在Rt△ACE中,AE=CE·tan 45°=5 m,AB=BE+AE=(5+5) m.
本题考查了仰角、俯角问题的应用,要求能借助仰角或俯角构造直角三角形,并通过解直角三角形求解.
16.【答案】②③④
解：cos(-60°)=cos 60°=,①错误;sin 75°=sin(30°+45°)=sin 30°·cos 45°+cos 30°·sin
45°=×+×=+=,②正确;
sin 2x=sin x·cos x+cos x·sin x=2sin x·cos x,故③正确;
sin(x-y)=sin x·cos(-y)+cos x·sin(-y)=sin x·cos y-cos x·sin y,④正确.
17.【答案】
解：∠OBC在Rt△OBC中,求∠OBC的正弦值就是求的值.可设OD=x,BC=y,则OC=y-x,OB=x+y,根据勾股定理可得方程
y2+(y-x)2=(x+y)2,化简可得y=4x,从而得OB=5x,OC=3x,所以=.
18.【答案】
解：如图,作FG⊥AC,易证△BCE≌△GCF(AAS),
∴BE=GF,BC=CG.∵在Rt△ABC中,tan∠ACB===,
∴∠ACB=30°,∴AC=2AB=4,∠DAC=∠ACB=30°,∵FG⊥AC,∴AF=2GF,∴AE+AF=AE+2BE=AB+BE.
设BE=x,在Rt△AFG中,AG=GF=x,∴AC=AG+CG=x+2=4,解得x=-2.
∴AE+AF=AE+2BE=AB+BE=2+-2=.
三、19.解:(1)原式=2×-1+=1.
(2)原式=1+2-1-×
=2-3=-1.
(3)∵(2sin A-)2+=0,∴2sin A-=0,tan B-1=0,∴sin A=,tan B=1.∵∠A,∠B为锐角,∴∠A=60°,∠B=45°.∴∠C=180°-∠A-∠B=75°.
(4)原式=÷=·=.
当x=2 sin 45°+1=2×+1=+1时,原式===.
20.解:(1)∵∠CGD=42°,∠C=90°,
∴∠CDG=90°-42°=48°.
∵DG∥EF,
∴∠CEF=∠CDG=48°.
(2)∵点H,B的读数分别为4,13.4,
∴HB=13.4-4=9.4,
∴BC=HBcos 42°≈9.4×0.74≈6.96(m).
答:BC的长约为6.96 m.
21.解:如图所示,延长AB,DC交于点E,∵∠ABC=∠D=90°,
∴∠A+∠DCB=180°,
∴∠A=∠ECB,
∴tan A=tan ∠ECB=2.∵AD=7,∴DE=14,设BC=AB=x,则BE=2x,
∴AE=3x,CE=x,在Rt△ADE中,由勾股定理得:(3x)2=72+142,解得x=,
∴CE=×=,则CD=14-=.
22.解:在Rt△ADB中,tan 60°=,
∴DB==41.
CF=DB-FB+CD=41+30.
∵∠α=45°,
∴EF=CF=41+30≈100.
答:点E离地面的高度EF约为100米.
23.分析:(1)在Rt△ACD中利用勾股定理求AD的长即可.
(2)过点E作EF⊥AB,构造直角三角形求解,在Rt△EFA中,利用锐角三角函数得EF=AEsin 75°.
解:(1)在Rt△ACD中,AC=45 cm,DC=60 cm,
∴AD==75(cm),
∴车架档AD的长是75 cm.
(2)过点E作EF⊥AB,垂足为F,
∵AE=AC+CE=45+20=65(cm),
∴EF=AEsin 75°=65 sin 75°≈62.79≈63(cm),
∴车座点E到车架档AB的距离约为63 cm.
