7线段与角的计算精讲精练-2020-2021学年七年级数学上学期期末复习【试卷】

7线段的计算精讲精练
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【知识梳理】
1.直线、射线、线段的认识
（1）直线、射线、线段的表示方法
①直线：用一个小写字母表示，如：直线l，或用两个大写字母（直线上的）表示，如直线AB．
②射线：是直线的一部分，用一个小写字母表示，如：射线l；用两个大写字母表示，端点在前，如：射线OA．注意：用两个字母表示时，端点的字母放在前边．
③线段：线段是直线的一部分，用一个小写字母表示，如线段a；用两个表示端点的字母表示，如：线段AB（或线段BA）．

（2）点与直线的位置关系：①点经过直线，说明点在直线上；②点不经过直线，说明点在直线外．
2.直线与线段的性质
（1）直线公理：经过两点有且只有一条直线．
          简称：两点确定一条直线．
（2）经过一点的直线有无数条，过两点就唯一确定，过三点就不一定了．
（3）线段性质
两点的所有连线中，可以有无数种连法，如折线、曲线、线段等，这些所有的线中，线段最短．
简单说成：两点之间，线段最短．
3.线段的比较与计算：
（1）比较两条线段长短的方法有两种：度量比较法、重合比较法．
就结果而言有三种结果：AB＞CD、AB=CD、AB＜CD．
（2）线段的中点：把一条线段分成两条相等的线段的点．
（3）线段的和、差、倍、分及计算
做一条线段等于已知线段，可以通过度量的方法，先量出已知线段的长度，再利用刻度尺画条等于这个长度的线段，也可以利用圆规在射线上截取一条线段等于已知线段．
（4）两点间的距离：连接两点间的线段的长度叫两点间的距离．
4.角的概念：
（1）角的定义：有公共端点是两条射线组成的图形叫做角，其中这个公共端点是角的顶点，这两条射线是角的两条边．
（2）角的表示方法：角可以用一个大写字母表示，也可以用三个大写字母表示．其中顶点字母要写在中间，唯有在顶点处只有一个角的情况，才可用顶点处的一个字母来记这个角，否则分不清这个字母究竟表示哪个角．角还可以用一个希腊字母（如∠α，∠β，∠γ、…）表示，或用阿拉伯数字（∠1，∠2…）表示．
（3）平角、周角：角也可以看作是由一条射线绕它的端点旋转而形成的图形，当始边与终边成一条直线时形成平角，当始 边与终边旋转重合时，形成周角．
（4）角的度量：度、分、秒是常用的角的度量单位．1度=60分，即1°=60′，1分=60秒，即1′=60″．
（5）角的单位的换算可类比时钟上的时、分、秒来说明角的度量单位度、分、秒之间也是60进制，将高级单位化为低级单位时，乘以60，反之，将低级单位转化为高级单位时除以60．同时，在进行度、分、秒的运算时也应注意借位和进位的方法．
5.角的比较与计算：
（1）角平分线的定义
从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线叫做这个角的平分线．
（2）性质：若OC是∠AOB的平分线
则∠AOC=∠BOC=12∠AOB或∠AOB=2∠AOC=2∠BOC．
（3）角的和差倍分计算：
①∠AOB是∠AOC和∠BOC的和，记作：∠AOB=∠AOC+∠BOC．∠AOC是∠AOB和∠BOC的差，记作：∠AOC=∠AOB-∠BOC．②若射线OC是∠AOB的三等分线，则∠AOB=3∠BOC或∠BOC=13∠AOB．

6.余角与补角：
（1）余角：如果两个角的和等于90°（直角），就说这两个角互为余角．即其中一个角是另一个角的余角．
（2）补角：如果两个角的和等于180°（平角），就说这两个角互为补角．即其中一个角是另一个角的补角．
（3）性质：等角的补角相等．等角的余角相等．
（4）余角和补角计算的应用，常常与等式的性质、等量代换相关联．
注意：余角（补角）与这两个角的位置没有关系．不论这两个角在哪儿，只要度数之和满足了定义，则它们就具备相应的关系．
【典例剖析】
【考点1】直线、射线、线段的认识
【例1】（2019秋•开远市期末）如图，在平面内有A，B，C三点．
（1）画直线AC，线段BC，射线AB；
（2）在线段BC上任取一点D（不同于B，C），连接线段AD；
（3）数数看，此时图中线段的条数．

【变式1.1】（2018•朝阳区二模）直线AB，BC，CA的位置关系如图所示，则下列语句：①点A在直线BC上；②直线AB经过点C；③直线AB，BC，CA两两相交；④点B是直线AB，BC，CA的公共点，正确的有　 （只填写序号）．

【变式1.2】（2019秋•新华区期中）火车往返于AB两个城市，中途经过4各站点（共6个站点），不同的车站来往需要不同的车票，共有不同的车票　 种．

【变式1.3】（2018秋•宁津县期末）（1）观察思考：如图，线段AB上有两个点C、D，请分别写出以点A、B、C、D为端点的线段，并计算图中共有多少条线段；
（2）模型构建：如果线段上有m个点（包括线段的两个端点），则该线段上共有多少条线段？请说明你结论的正确性；
（3）拓展应用：某班45名同学在毕业后的一次聚会中，若每两人握1次手问好，那么共握多少次手？
请将这个问题转化为上述模型，并直接应用上述模型的结论解决问题．

【考点2】直线、线段的性质
【例2】（2019秋•曹县校级期末模拟）如图，在直线a上求一点O，使它到点M、N的距离最小．

【变式2.1】已知A、B为平面上的2个定点，且AB＝5．若点A、B到直线l的距离分别等于2、3，则满足条件l的直线共有（　　）条．
A．2 B．3 C．4 D．5
【变式2.2】（2019春•赣州期末）如图，乐乐用剪刀沿直线将一片平整的树叶减掉一部分，发现剩下树叶的周长比原周长小，能正确解释这一现象的数学依据是　 　．

【变式2.3】（2019秋•碑林区校级月考）已知平面中共有n个点，A，B，C，D四点在同一直线上，又有A，E，F三点也在同一直线上，除此之外，再无三点或四点共线的情况，以n个点为基准，至少过任意两点作一条直线，共有48条直线，则n＝ 　．
【考点3】线段的中点及计算问题
【例3】（2019秋•嘉兴期末）如图，已知线段AB的长为4，点C为AB的中点，则线段AC的长为（　　）

A．1 B．2 C．3 D．4
【变式3.1】（2019秋•无锡期末）已知点A，B，C为平面内三点，给出下列条件：①AC＝BC；②AB＝2BC；③AC＝BC=12AB．选择其中一个条件就能得到“点C是线段AB中点”的是（　　）
A．① B．③ C．①或③ D．①或②或③
【变式3.2】（2020春•文登区期末）已知点A、B、C在同一直线上，若AB＝10cm，AC＝16cm，点M、N分别是线段AB、AC中点，则线段MN的长是　 ．
【变式3.3】（2019秋•杭州期末）如图，将线段AB延长至点C，使BC=12AB，D为线段AC的中点，若BD＝2，则线段AB的长为（　　）

A．4 B．6 C．8 D．12
【考点4】两点间的距离问题
【例4】（2019秋•昌平区期末）已知线段AB，点C在直线AB上，D为线段BC的中点．
（1）若AB＝8，AC＝2，求线段CD的长．
（2）若点E是线段AC的中点，直接写出线段DE和AB的数量关系是　 　．

【变式4.1】（2019秋•九江期末）线段AB＝9，点C在线段AB上，且有AC=13AB，M是AB的中点，则MC等于（　　）
A．3 B．32 C．92 D．152
【变式4.2】（2019秋•黄陂区期末）如图，有公共端点P的两条线段MP，NP组成一条折线M﹣P﹣N，若该折线M﹣P﹣N上一点Q把这条折线分成相等的两部分，我们把这个点Q叫做这条折线的“折中点”．已知点D是折线A﹣C﹣B的“折中点”，点E为线段AC的中点，CD＝3，CE＝5，则线段BC的长为　 　．

【变式4.3】（2019秋•泉州期末）如图，C，D是线段AB上的两点，且满足AC：CD：DB＝3：2：1，M，N分别为AC和CB的中点．
（1）若AB＝24，求DN的长度；
（2）证明：5MN＝6（CD+DN）．

【考点5】角的概念及表示
【例5】过一个角的顶点，在这个角的内部引1条射线，共形成多少个角（包括原来的角）？如果引2条、3条这样的射线呢？由此，请猜想，过一个角的顶点，如果在这个角的内部引n条射线，共形成多少个角？
【变式5.1】图中以O点为顶点的角有几个？以D点为顶点小于平角的角有几个？以E点为顶点的角有几个？试用适当的方法来表示这些角．

【变式5.2】小亮利用星期天搞社会调查活动，早晨8：00出发，中午12：30到家，问小亮出发时和到家时时针和分针的夹角各为多少度．
【变式5.3】（2019秋•南海区校级期末模拟）把一个圆分割成三个扇形，它们圆心角的度数比为1：2：3，求最大的扇形的圆心角的度数．
【考点6】度分秒的换算
【例6】（2019秋•郸城县校级期末模拟）（1）48°39′+67°31′
（2）78°﹣47°34′56″
（3）22°16′×5；
（4）42°15′÷5．
【变式6.1】（2020秋•长兴县期末模拟）把角度21.3°化成度、分、秒的形式： 　．
【变式6.2】（1）3.76°＝　 　度　 　分　 　秒；
（2）3.76°＝　 　分＝　 　秒；
（3）钟表在8：30时，分针与时针的夹角为　 　度．
【变式6.3】计算：（结果用度、分、秒表示）
（1）23°30′45″+40°45′20″；
（2）180°﹣70°40′；
（3）10°30′18″×5；
（4）37.245°÷3．
【考点7】角的大小比较
【例7】（2019秋•鄞州区期末）若∠A＝30°18′，∠B＝30°15′30″，∠C＝30.25°，则这三个角的大小关系正确的是（　　）
A．∠C＞∠A＞∠B B．∠C＞∠B＞∠A C．∠A＞∠C＞∠B D．∠A＞∠B＞∠C
【变式7.1】（2017秋•宁晋县期末）比较大小：52°52′　 　52.52°．（填“＞”、“＜”或“＝”）
【变式7.2】（2019秋•定兴县期末）如图，射线OB、OC将∠AOD分成三部分，下列判断错误的是（　　）

A．如果∠AOB＝∠COD，那么∠AOC＝∠BOD
B．如果∠AOB＞∠COD，那么∠AOC＞∠BOD
C．如果∠AOB＜∠COD，那么∠AOC＜∠BOD
D．如果∠AOB＝∠BOC，那么∠AOC＝∠BOD
【变式7.3】（2019•佛山）比较两个角的大小，有以下两种方法（规则）
①用量角器度量两个角的大小，用度数表示，则角度大的角大；
②构造图形，如果一个角包含（或覆盖）另一个角，则这个角大．对于如图给定的∠ABC与∠DEF，用以上两种方法分别比较它们的大小．注：构造图形时，作示意图（草图）即可．

【考点8】有关角平分线的计算问题
【例8】（2019秋•裕安区期末）如图，已知∠AOC＝90°，∠COD比∠DOA大30°，OB是∠AOC的平分线，求∠BOD的度数．

【变式8.1】（2019秋•凌源市期末）如图①，已知∠AOB＝100°，∠BOC＝60°，OC在∠AOB外部，OM、ON分别是∠AOC、∠BOC的平分线．
（1）求∠MON的度数．
（2）如果∠AOB＝α，∠BOC＝β，其它条件不变，请直接写出∠MON的值（用含α，β式子表示）．
（3）其实线段的计算与角的计算存在着紧密的联系．如图②，已知线段AB＝a，延长线段AB到C，使BC＝m，点M、N分别为线段AC、BC的中点，求线段MN的长（用含a，m的式子表示）．

【变式8.2】（2019秋•天心区期末）线段与角的计算．
（1）如图1，已知点C为AB上一点，AC＝15cm，CB=23AC，若D、E分别为AC、AB的中点，求DE的长．
（2）已知：如图2，∠AOB被分成∠AOC：∠COD：∠DOB＝2：3：4，OM平分∠AOC，ON平分∠DOB，且∠MON＝90°，求∠AOB的度数．

【变式8.3】（2020春•道里区期末）如图，∠AOC＝80°，OB是∠AOC的平分线，OD是∠COE的平分线．
（1）求∠BOC的度数；
（2）若∠DOE＝30°，求∠BOE的度数．

【考点9】方向角问题
【例9】（2020秋•岳池县期中）如图，B岛在A岛的南偏西40°方向，C岛在A岛的南偏东15°方向，C岛在B岛的北偏东80°方向，求从C岛看A，B两岛的视角∠ACB的度数．

【变式9.1】（2019秋•弥勒市期末）如图，某轮船上午8时在A处，测得灯塔S在北偏东60°的方向上，向东行驶至中午11时，该轮船在B处，测得灯塔S在北偏西30°的方向上（自己完成图形），已知轮船行驶速度为每小时60千米，求∠ASB的度数及AB的长．

【变式9.2】（2020春•长葛市期中）如图，是小明家和学校所在地的简单地图，已知OA＝2km，OB＝3.5km，OP＝4km，点C为OP的中点，回答下列问题：
（1）图中到小明家距离相同的是哪些地方？
（2）由图可知，公园在小明家东偏南30°方向2km处．请用方向与距离描述学校、商场、停车场相对于小明家的位置．

【变式9.3】（2019秋•薛城区期末）如图，射线OA的方向是北偏东15°，射线OB的方向是北偏西40°，∠AOB＝∠AOC，射线OD是OB的反向延长线．
（1）射线OC的方向是　 　；
（2）若射线OE平分∠COD，求∠AOE的度数．

【考点10】基本作图
【例10】读下列语句，并画出图形．（每题3分，共12分）
（1）任意画A、O两点，作射线OA．
（2）点A在直线l上，点B在直线l外．
（3）画线段AB＝4cm，并找出它的中点C．
（4）直线l与直线AB交于O点．
【变式10.1】（2019秋•黔东南州期末）如图，已知点A、B、C．D，根据下列语句画图．（不写作图过程）
作射线AB、直线AC，连接AD并延长线段AD．

【变式10.2】（2019秋•彭水县期末）如图，在平面内有A，B，C三点．
（1）画直线AB，射线AC，线段BC；
（2）在线段BC上任取一点D（不同于B，C），连接AD，并延长AD至E，使DE＝AD；
（3）数一数，此时图中线段共有　 　条．

【变式10.3】（2019秋•保亭县期末）（1）如图1，已知三点A，B，C，按要求画图：画直线AB；画射线AC；画线段BC．

（2）如图2，用适当的语句表述点A，P与直线l的关系．
【考点11】分类讨论及方程思想在线段计算中的应用
【例11】已知线段AB＝m（m为常数），点C为直线AB上一点（不与A、B重合），点P、Q分别在线段BC、AC上，且满足CQ＝2AQ，CP＝2BP．
（1）如图，当点C恰好在线段AB中点时，则PQ＝　 （用含m的代数式表示）；
（2）若点C为直线AB上任一点，则PQ长度是否为常数？若是，请求出这个常数；若不是，请说明理由；
（3）若点C在点A左侧，同时点P在线段AB上（不与端点重合），请判断2AP+CQ﹣2PQ与1的大小关系，并说明理由．

【变式11.1】（2019秋•樊城区期末）如图，AB＝97，AD＝40，点E在线段DB上，DC：CE＝1：2，CE：EB＝3：5，求AC的长度．

【变式11。2】（2019秋•大安市期末）阅读下面材料：点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，A、B两点之间的距离表示为AB，在数轴上A、B两点之间的距离AB＝|a﹣b|．回答下列问题：
（1）数轴上表示﹣3和1两点之间的距离是　4　，数轴上表示﹣2和3的两点之间的距离是　 　；
（2）数轴上表示x和﹣1的两点之间的距离表示为 　；
（3）若x表示一个有理数，则|x﹣2|+|x+3|有最小值吗？若有，请求出最小值；若没有，请说明理由．

．
【变式11.3】如图，已知线段AB＝12cm，点C为AB上的一个动点，点D、E分别是AC和BC的中点．
（1）若点C恰好是AB中点，则DE＝　 　cm；
（2）若AC＝4cm，求DE的长；
（3）试利用“字母代替数”的方法，说明不论AC取何值（不超过12cm），DE的长不变．

【考点12】分类讨论及方程思想在角的计算中的应用
【例12】（2020春•南岗区期末）已知，在∠AOB内部作射线OC，OD平分∠BOC，∠AOD+∠COD＝120°．
（1）如图1，求∠AOB的度数；
（2）如图2，在∠AOB的外部和∠BOD的内部分别作射线OE、OF，已知∠COD＝2∠BOF+∠BOE，求证：OF平分∠DOE；
（3）如图3，在（2）的条件下，在∠COD内部作射线OM，当∠BOM＝4∠COM，∠BOE=1110∠AOC时，求∠MOF的度数．

【变式12.1】（2019秋•官渡区期末）已知OC平分∠AOB，若∠AOB＝70°，∠COD＝10°，则∠AOD的度数为　 　．
【变式12.2】（2019秋•东阳市期末）已知直线AB与CD相交于点O，且∠AOD＝90°，现将一个直角三角尺的直角顶点放在点O处，把该直角三角尺OEF绕着点O旋转，作射线OH平分∠AOE．
（1）如图1所示，当∠DOE＝20°时，∠FOH的度数是　 　．
（2）若将直角三角尺OEF绕点O旋转至图2的位置，试判断∠FOH和∠BOE之间的数量关系，并说明理由．
（3）若再作射线OG平分∠BOF，试求∠GOH的度数．

【变式12.3】（2019秋•江汉区期末）如图，已知锐角∠AOB，射线OC不与OA，OB重合，OM，ON分别平分∠AOC，∠BOC．
（1）当OC在∠AOB的内部
①若∠BOC＝50°，∠AOC＝20°，求∠MON的大小；
②若∠MON＝30°，求∠AOB的大小；
（2）当射线OC在∠AOB外部，且∠AOB＝80°，请直接写出∠MON的大小．



【典例剖析】
【考点1】直线、射线、线段的认识
【例1】（2019秋•开远市期末）如图，在平面内有A，B，C三点．
（1）画直线AC，线段BC，射线AB；
（2）在线段BC上任取一点D（不同于B，C），连接线段AD；
（3）数数看，此时图中线段的条数．

【分析】（1）依据直线、射线、线段的定义，即可得到直线AC，线段BC，射线AB；
（2）依据在线段BC上任取一点D（不同于B，C），连接线段AD即可；
（3）根据图中的线段为AB，AC，AD，BD，CD，BC，即可得到图中线段的条数．
【解析】（1）如图，直线AC，线段BC，射线AB即为所求；

（2）如图，线段AD即为所求；
（3）由题可得，图中线段的条数为6．
【变式1.1】（2018•朝阳区二模）直线AB，BC，CA的位置关系如图所示，则下列语句：①点A在直线BC上；②直线AB经过点C；③直线AB，BC，CA两两相交；④点B是直线AB，BC，CA的公共点，正确的有　③　（只填写序号）．

【分析】根据直线与点的位置关系即可求解．
【解析】①点A在直线BC上是错误的；
②直线AB经过点C是错误的；
③直线AB，BC，CA两两相交是正确的；
④点B是直线AB，BC，CA的公共点是错误的．
故答案为：③．
【变式1.2】（2019秋•新华区期中）火车往返于AB两个城市，中途经过4各站点（共6个站点），不同的车站来往需要不同的车票，共有不同的车票　30　种．

【分析】根据每条线段就有两种车票，每两点就是一条线段，可得答案．
【解析】如图：
，
车票：AC、CD、DE、EF、FB、AD、AE、AF、AB、CE、CF、CB、DF、DB、EB，BE、BD、FD、BC、FC、EC、BA、FA、EA、DA、BF、FE、ED、DC、CA．
火车往返于A、B两个城市，中途经过4个站点（共6个站点），不同的车站来往需要不同的车票，共有30种不同的车票．
故答案为：30．
【变式1.3】（2018秋•宁津县期末）（1）观察思考：如图，线段AB上有两个点C、D，请分别写出以点A、B、C、D为端点的线段，并计算图中共有多少条线段；
（2）模型构建：如果线段上有m个点（包括线段的两个端点），则该线段上共有多少条线段？请说明你结论的正确性；
（3）拓展应用：某班45名同学在毕业后的一次聚会中，若每两人握1次手问好，那么共握多少次手？
请将这个问题转化为上述模型，并直接应用上述模型的结论解决问题．

【分析】（1）从左向右依次固定一个端点A，C，D找出线段，最后求和即可；
（2）根据数线段的特点列出式子化简即可；
（3）将实际问题转化成（2）的模型，借助（2）的结论即可得出结论．
【解析】（1）∵以点A为左端点向右的线段有：线段AB、AC、AD，
以点C为左端点向右的线段有线段CD、CB，
以点D为左端点的线段有线段DB，
∴共有3+2+1＝6条线段；
（2）设线段上有m个点，该线段上共有线段x条，
则x＝（m﹣1）+（m﹣2）+（m﹣3）+…+3+2+1，
∴倒序排列有x＝1+2+3+…+（m﹣3）+（m﹣2）+（m﹣1），
∴2x＝m+m+m+…+m＝m（m﹣1），
∴x=12m（m﹣1）；
（3）把45位同学看作直线上的45个点，每两位同学之间的一握手看作为一条线段，
直线上45个点所构成的线段条数就等于握手的次数，
因此一共要进行12×45×（45﹣1）＝990次握手．
【考点2】直线、线段的性质
【例2】（2019秋•曹县校级期末模拟）如图，在直线a上求一点O，使它到点M、N的距离最小．

【分析】要使OM+ON的值最小，只需M、N、O三点共线即可．
【解析】∵两点之间线段最短，
∴所求的点与M、N两点同线时，它到点M、N的距离最小，
∴连接MN．MN与a的交点O即为所求．

【变式2.1】已知A、B为平面上的2个定点，且AB＝5．若点A、B到直线l的距离分别等于2、3，则满足条件l的直线共有（　　）条．
A．2 B．3 C．4 D．5
【分析】根据题意，可以分别以A、B为圆心，以2cm，3cm为半径画圆，然后求两圆的公切线，公切线的条数就是直线l的条数．
【解析】如图所示：
∵AB＝5，点A、B到直线l的距离分别等于2、3，
∴⊙A与⊙B外切，共有3条公切线，
∴满足条件l的直线共有3条．
故选：B．

【变式2.2】（2019春•赣州期末）如图，乐乐用剪刀沿直线将一片平整的树叶减掉一部分，发现剩下树叶的周长比原周长小，能正确解释这一现象的数学依据是　两点之间线段最短　．

【分析】根据线段的性质，可得答案．
【解析】∵两点之间线段最短，
∴剩下树叶的周长比原树叶的周长小．
故答案为：两点之间线段最短．
【变式2.3】（2019秋•碑林区校级月考）已知平面中共有n个点，A，B，C，D四点在同一直线上，又有A，E，F三点也在同一直线上，除此之外，再无三点或四点共线的情况，以n个点为基准，至少过任意两点作一条直线，共有48条直线，则n＝　11　．
【分析】假设n个点都不共线，则可画出直线n(n-1)2，若A，E，F三点不在一条直线上，可以画出3条直线，若A，B，C，D四点不在一条直线上，可以画出6条直线，所以有n(n-1)2-3﹣6+2，根据题意列方程求解即可．
【解析】由n个点中每次选取两个点连直线，可以画出n(n-1)2条直线，若A，E，F三点不在一条直线上，可以画出3条直线，若A，B，C，D四点不在一条直线上，可以画出6条直线，
∴n(n-1)2-3﹣6+2＝48．
整理得n2﹣n﹣110＝0，
（n﹣11）（n+10）＝0．
∴n＝11或n＝﹣10（舍去）
故答案为：11．
【考点3】线段的中点及计算问题
【例3】（2019秋•嘉兴期末）如图，已知线段AB的长为4，点C为AB的中点，则线段AC的长为（　　）

A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】根据点C为AB的中点，AB的长为4即可求得AC的长．
【解析】因为点C为AB的中点，AB的长为4，
所以AC=12AB=12×4＝2．
则线段AC的长为2．
故选：B．
【变式3.1】（2019秋•无锡期末）已知点A，B，C为平面内三点，给出下列条件：①AC＝BC；②AB＝2BC；③AC＝BC=12AB．选择其中一个条件就能得到“点C是线段AB中点”的是（　　）
A．① B．③ C．①或③ D．①或②或③
【分析】利用线段中点的意义：在线段上平分线段的点判定即可．
【解析】①点C在线段AB上，且AC＝BC，则C是线段AB中点故①不符合题意；
②AB＝2BC，C不一定是线段AB中点故②不符合题意；
③AC＝BC=12AB，则C是线段AB中点，故③符合题意．
故选：B．
【变式3.2】（2020春•文登区期末）已知点A、B、C在同一直线上，若AB＝10cm，AC＝16cm，点M、N分别是线段AB、AC中点，则线段MN的长是　13cm或3cm　．
【分析】根据题意，分两种情况：（1）点B、C在点A的两边时，（2）点B、C在点A的同一方向时，根据线段的中点的特征，求出线段MN的长是多少即可．
【解析】（1）如图1，，
∵AB＝10cm，点M是线段AB的中点，
∴AM＝10÷2＝5（cm）；
∵AC＝16cm，点N是线段AC的中点，
∴AN＝16÷2＝8（cm），
∴MN＝AM+AN＝5+8＝13（cm）

（2）如图2，，
∵AB＝10cm，点M是线段AB的中点，
∴AM＝10÷2＝5（cm）；
∵AC＝16cm，点N是线段AC的中点，
∴AN＝16÷2＝8（cm），
∴MN＝AN﹣AM＝8﹣5＝3（cm），
综上，线段MN的长是13cm或3cm．
故答案为：13cm或3cm．
【变式3.3】（2019秋•杭州期末）如图，将线段AB延长至点C，使BC=12AB，D为线段AC的中点，若BD＝2，则线段AB的长为（　　）

A．4 B．6 C．8 D．12
【分析】首先根据BC=12AB，可得：BC=13AC；然后根据：D为线段AC的中点，可得：CD=12AC，所以BD=16AC，再根据BD＝2，求出AC的长度，即可求出AB的长是多少．
【解析】∵BC=12AB，
∴BC=13AC；
∵D为线段AC的中点，
∴CD=12AC，
∴BD=16AC，
∵BD＝2，
∴AC＝2×6＝12，
∴AB＝AD+BD=12AC+BD=12×12+2＝8．
故选：C．
【考点4】两点间的距离问题
【例4】（2019秋•昌平区期末）已知线段AB，点C在直线AB上，D为线段BC的中点．
（1）若AB＝8，AC＝2，求线段CD的长．
（2）若点E是线段AC的中点，直接写出线段DE和AB的数量关系是　AB＝2DE　．

【分析】（1）根据点C在直线AB上，分两种情况：①C在点A的右侧，②C在点A的左侧，根据线段的和与差可得结论；
（2）AB＝2DE，同（1）分两种情况：根据线段中点的定义可得结论．
【解析】（1）如图1，当C在点A右侧时，

∵AB＝8，AC＝2，
∴BC＝AB﹣AC＝6，
∵D是线段BC的中点，
∴CD=12BC=3；
如图2，当C在点A左侧时，

∵AB＝8，AC＝2，
∴BC＝AB+AC＝10，
∵D是线段BC的中点，
∴CD=12BC=5；
综上所述，CD＝3或5；
（2）AB＝2DE，理由是：
如图3，当C在点A右侧时，

∵E是AC的中点，D是BC的中点，
∴AC＝2EC，BC＝2CD，
∴AB＝AC+BC＝2EC+2CD＝2ED；
如图4，当C在点A左侧时，

同理可得：AB＝BC﹣AC＝2CD﹣2CE＝2（CD﹣CE）＝2DE．
【变式4.1】（2019秋•九江期末）线段AB＝9，点C在线段AB上，且有AC=13AB，M是AB的中点，则MC等于（　　）
A．3 B．32 C．92 D．152
【分析】根据AB＝9，点C在线段AB上，且AC=13AB＝3，M是AB的中点，可得AM＝4.5，进而可得MC的长．
【解析】∵AB＝9，
∴AC=13AB＝3，
∵M是AB的中点，
∴AM=12AB=92
∴MC＝AM﹣AC=92-3=32
故选：B．
【变式4.2】（2019秋•黄陂区期末）如图，有公共端点P的两条线段MP，NP组成一条折线M﹣P﹣N，若该折线M﹣P﹣N上一点Q把这条折线分成相等的两部分，我们把这个点Q叫做这条折线的“折中点”．已知点D是折线A﹣C﹣B的“折中点”，点E为线段AC的中点，CD＝3，CE＝5，则线段BC的长为　4或16　．

【分析】根据题意分两种情况画图解答即可．
【解析】①如图，

CD＝3，CE＝5，
∵点D是折线A﹣C﹣B的“折中点”，
∴AD＝DC+CB
∵点E为线段AC的中点，
∴AE＝EC=12AC＝5
∴AC＝10
∴AD＝AC﹣DC＝7
∴DC+CB＝7
∴BC＝4；
②如图，

CD＝3，CE＝5，
∵点D是折线A﹣C﹣B的“折中点”，
∴BD＝DC+BD
∵点E为线段AC的中点，
∴AE＝EC=12AC＝5
∴AC＝10
∴AD＝AC+DC＝13
∴BD＝13
∴BC＝BD+DC＝16．
综上所述，BC的长为4或16．
故答案为4或16．
【变式4.3】（2019秋•泉州期末）如图，C，D是线段AB上的两点，且满足AC：CD：DB＝3：2：1，M，N分别为AC和CB的中点．
（1）若AB＝24，求DN的长度；
（2）证明：5MN＝6（CD+DN）．

【分析】（1）根据AC：CD：DB＝3：2：1，N为CB的中点．即可求解；
（2）AC：CD：DB＝3：2：1，M，N分别为AC和CB的中点．进行线段的和差计算即可．
【解析】（1）∵AB＝24，
AC：CD：DB＝3：2：1，
∴CD=26AB＝8，
DB=16AB＝4
∴CB＝CD+DB＝12
∵N是CB的中点
∴CN=12CB＝6
∴ND＝CD﹣CN＝8﹣6＝2；
（2）证明：M，N分别为AC和CB的中点
∴MC=12AC，CN=12CB
∴MN＝MC+CN=12AC+12CB=12AB
∵AC：CD：DB＝3：2：1
∴CD=26AB=13AB
DB=16AB
∴CB＝CD+DB=12AB
∴CN=12CB=14AB
∴DN＝CD﹣CN=13AB-14AB=112AB
∴6（CD+DN）＝6（13AB+112AB）=52AB
∵5MN＝5×12AB=52AB
∴5MN＝6（CD+DN）．
【考点5】角的概念及表示
【例5】过一个角的顶点，在这个角的内部引1条射线，共形成多少个角（包括原来的角）？如果引2条、3条这样的射线呢？由此，请猜想，过一个角的顶点，如果在这个角的内部引n条射线，共形成多少个角？
【分析】根据角是有公共顶点的两条射线组成的图形，每两条射线组成一个角，可得答案．
【解析】在∠AOB的内部引1条射线，即3条射线能组成3×(3-1)2=3个角；
引2条射线即4条射线能组成4×(4-1)2=6个角；
引3条射线即5条射线能组成5×(5-1)2=10个角；
…
引n条射线即（n+2）条射线能组成(n+2)(n+1)2个角．
【变式5.1】图中以O点为顶点的角有几个？以D点为顶点小于平角的角有几个？以E点为顶点的角有几个？试用适当的方法来表示这些角．

【分析】根据角的概念可直接求解．
【解析】图中以O点为顶点的角有：∠EOA，∠EOB，∠EOC，∠AOB，∠AOC，∠BOC，共6条；
以D点为顶点小于平角的角有：∠ODE，∠CDF，∠EDC，∠ODF，共4个；
以E点为顶点的角有：∠OEF，共1个．
【变式5.2】小亮利用星期天搞社会调查活动，早晨8：00出发，中午12：30到家，问小亮出发时和到家时时针和分针的夹角各为多少度．
【分析】钟表上的刻度是把一个圆平均分成了12等份，每一份是30°．8点整时，时针指到8上，分针指到12上，8：00时针和分针夹角是4份．
找出中午12：30时针和分针之间相差的大格数，用大格数乘30°即可．
【解析】早晨8：00，时针和分针夹角是4份，每份30°，
故4×30°＝120°．
∵时针在钟面上每分钟转0.5°，分针每分钟转6°，
∴钟表上12时30分钟时，时针与分针的夹角可以看成时针转过12时0.5°×30＝15°，分针在数字6上．
∵钟表12个数字，每相邻两个数字之间的夹角为30°，
∴12时30分钟时分针与时针的夹角6×30°﹣15°＝165°．
故出发时的时针和分针的夹角为120°，回到家时时针与分针的夹角为165°．
【变式5.3】（2019秋•南海区校级期末模拟）把一个圆分割成三个扇形，它们圆心角的度数比为1：2：3，求最大的扇形的圆心角的度数．
【分析】首先根据题意，求出最大的扇形的圆心角占圆周角的31+2+3=12；然后根据分数乘法的意义，用360°乘以12，求出最大的扇形的圆心角的度数是多少即可．
【解析】360°×31+2+3
＝360°×12
＝180°．
即最大的扇形的圆心角的度数是180°．
【考点6】度分秒的换算
【例6】（2019秋•郸城县校级期末模拟）（1）48°39′+67°31′
（2）78°﹣47°34′56″
（3）22°16′×5；
（4）42°15′÷5．
【分析】（1）两个度数相加，度与度，分与分对应相加，分的结果若满60，则转化为度；
（2）两个度数相减，度与度，分与分，秒与秒对应相加，不够，借1，即60再减；
（3）根据度分秒的乘法法则计算即可求解；
（4）根据度分秒的除法法则计算即可求解．
【解析】（1）48°39′+67°31′＝116°10′；
（2）78°﹣47°34′56″＝30°25′4″；
（3）22°16′×5＝111°20′；
（4）42°15′÷5＝8°27′．
【变式6.1】（2020秋•长兴县期末模拟）把角度21.3°化成度、分、秒的形式：　21°18′　．
【分析】根据度分秒转化的规律，将小数部分乘以60本题得以解决．
【解析】∵0.3×60＝18，
∴21.3°＝21°18′．
故答案为：21°18′．
【变式6.2】（1）3.76°＝　3　度　45　分　36　秒；
（2）3.76°＝　225　分＝　36　秒；
（3）钟表在8：30时，分针与时针的夹角为　75　度．
【分析】（1）根据度分秒得换算得到0.76°×60＝45.6′，0.6′×60＝26″，则3.76°＝3°45′36″；
（2）先计算3°×60＝180′，再根据（1）的结果得到3.76°＝225′36″；
（3）8点时两针的夹角为270°，则根据分针每分钟转6°，时针每分钟转0.5°得到8：30时，分针与时针的夹角＝270°+30×0.5°﹣30×6°，然后进行加减运算即可．
【解析】（1）∵0.76°×60＝45.6′，0.6′×60＝26″，
∴3.76°＝3°45′36″；

（2）∵3°×60＝180′，
而45′+180′＝225′，
∴3.76°＝225′36″；

（3）8：30时，分针与时针的夹角＝360÷12×52=75°．
故答案为3，45，36；225，36；75．
【变式6.3】计算：（结果用度、分、秒表示）
（1）23°30′45″+40°45′20″；
（2）180°﹣70°40′；
（3）10°30′18″×5；
（4）37.245°÷3．
【分析】（1）先度、分、秒分别计算，再满60进1即可；
（2）先变形，再度、分相减即可；
（3）先度、分、秒分别乘以5，再满60进1即可；
（4）先除以3，再化成度、分、秒即可．
【解析】（1）23°30′45″+40°45′20″
＝63°75′65″
＝64°16′5″；

（2）180°﹣70°40′
＝179°60′﹣70°40′
＝109°20′；

（3）10°30′18″×5
＝50°150′90″
＝52°31′30″；

（4）37.245°÷3
＝12.415°
＝12°24′54″．

【考点7】角的大小比较
【例7】（2019秋•鄞州区期末）若∠A＝30°18′，∠B＝30°15′30″，∠C＝30.25°，则这三个角的大小关系正确的是（　　）
A．∠C＞∠A＞∠B B．∠C＞∠B＞∠A C．∠A＞∠C＞∠B D．∠A＞∠B＞∠C
【分析】先把∠C的度数化成度、分、秒，再比较即可，也可把∠A和∠B的度数化成度，再进行比较．
【解析】∵∠C＝30.25°＝30°+0.25°
0.25°＝0.25×60′＝15′，
∴∠C＝30°15′，
∵∠A＝30°18′，∠B＝30°15′30″，
∴∠A＞∠B＞∠C．
故选：D．
【变式7.1】（2017秋•宁晋县期末）比较大小：52°52′　＞　52.52°．（填“＞”、“＜”或“＝”）
【分析】将角的度数换算成度分秒的形式，再进行比较即可得出结论、
【解析】∵0.52×60＝31.2，0.2×60＝12，
∴52.52°＝52°31′12″，
52°52′＞52°31′12″，
故答案为：＞．
【变式7.2】（2019秋•定兴县期末）如图，射线OB、OC将∠AOD分成三部分，下列判断错误的是（　　）

A．如果∠AOB＝∠COD，那么∠AOC＝∠BOD
B．如果∠AOB＞∠COD，那么∠AOC＞∠BOD
C．如果∠AOB＜∠COD，那么∠AOC＜∠BOD
D．如果∠AOB＝∠BOC，那么∠AOC＝∠BOD
【分析】利用图中角与角的关系选择即可得出D为错误选项．
【解析】A、如果∠AOB＝∠COD，那么∠AOC＝∠BOD，本选项正确；
B、如果∠AOB＞∠COD，那么∠AOC＞∠BOD，本选项正确；
C、如果∠AOB＜∠COD，那么∠AOC＜∠BOC，本选项正确；
D、如果∠AOB＝∠BOC，那么∠AOC＝∠BOD，本选项错误．
故选：D．
【变式7.3】（2019•佛山）比较两个角的大小，有以下两种方法（规则）
①用量角器度量两个角的大小，用度数表示，则角度大的角大；
②构造图形，如果一个角包含（或覆盖）另一个角，则这个角大．对于如图给定的∠ABC与∠DEF，用以上两种方法分别比较它们的大小．注：构造图形时，作示意图（草图）即可．

【分析】①根据量角器的使用方法量出每一个角的度数，根据角的度数即可比较大小；
②把∠ABC放在∠DEF上，使B和E重合，边EF和BC重合，DE和BA在EF的同侧，根据图形的包含情况即可得出答案．
【解答】①解：用量角器度量∠ABC＝50°，∠DEF＝70°，
即∠DEF＞∠ABC．

②解：如图：

把∠ABC放在∠DEF上，使B和E重合，边EF和BC重合，DE和BA在EF的同侧，
从图形可以看出∠DEF包含∠ABC，
即∠DEF＞∠ABC．
【考点8】有关角平分线的计算问题
【例8】（2019秋•裕安区期末）如图，已知∠AOC＝90°，∠COD比∠DOA大30°，OB是∠AOC的平分线，求∠BOD的度数．

【分析】先由∠COD﹣∠DOA＝30°，∠COD+∠DOA＝90°，解方程求出∠COD与∠DOA的度数，再由OB是∠AOC的平分线，得出∠AOB=12∠AOC＝45°，则∠BOD＝∠AOB﹣∠DOA，求出结果．
【解析】∵∠COD比∠DOA大30°，
∴∠COD＝∠DOA+30°，
∵∠AOC＝90°，
∴∠COD+∠DOA＝90°，
∴∠DOA+30°+∠DOA＝90°，2∠DOA＝60°，
∴∠DOA＝30°，
∵OB是∠AOC的平分线，
∴∠AOB＝∠BOC=12∠AOC＝45°，
∴∠BOD＝∠AOB﹣∠DOA＝45°﹣30°＝15°．
故答案为：15°．
【变式8.1】（2019秋•凌源市期末）如图①，已知∠AOB＝100°，∠BOC＝60°，OC在∠AOB外部，OM、ON分别是∠AOC、∠BOC的平分线．
（1）求∠MON的度数．
（2）如果∠AOB＝α，∠BOC＝β，其它条件不变，请直接写出∠MON的值（用含α，β式子表示）．
（3）其实线段的计算与角的计算存在着紧密的联系．如图②，已知线段AB＝a，延长线段AB到C，使BC＝m，点M、N分别为线段AC、BC的中点，求线段MN的长（用含a，m的式子表示）．

【分析】（1）由已知条件求∠AOC的度数，再利用角平分线的定义可求解∠BOM，∠BON的度数，结合∠MON＝∠BOM+∠BON可求解；
（2）由已知条件求∠AOC的度数，再利用角平分线的定义可求解∠BOM，∠BON的度数，结合∠MON＝∠BOM+∠BON可求解；
（3）由已知条件求AC的长，再利用中点的定义可求解BM，BN的度数，结合MN＝BM+BN可求解；
【解析】（1）∵∠AOB＝100°，∠BOC＝60°，
∴∠AOC＝∠AOB+∠BOC＝100°+60°＝160°，
∵OM平分∠AOC，
∴∠MOC＝∠MOA=12∠AOC＝80°，
∴∠BOM＝∠AOB﹣∠AOM＝100°﹣80°＝20°，
∵ON平分∠BOC，
∴∠BON＝∠CON＝30°，
∴∠MON＝∠BOM+∠BON＝20°+30°＝50°；
（2）∵∠AOB＝α，∠BOC＝β，
∴∠AOC＝∠AOB+∠BOC＝α+β，
∵OM平分∠AOC，
∴∠MOC＝∠MOA=12∠AOC=12（α+β），
∴∠BOM＝∠AOB﹣∠AOM＝α-12（α+β）=12α-12β，
∵ON平分∠BOC，
∴∠BON＝∠CON=12β，
∴∠MON＝∠BOM+∠BON=12α-12β+12β=12α，
故∠MON=α2；
（3）∵AB＝a，BC＝m，
∴AC＝AB+BC＝a+m，
∵M是AC中点，
∴MC=12AC=a+m2，
∵N是BC中点，
∴NC=12BC=m2，
∴MN＝MC﹣NC=a+m2-m2=a2．
【变式8.2】（2019秋•天心区期末）线段与角的计算．
（1）如图1，已知点C为AB上一点，AC＝15cm，CB=23AC，若D、E分别为AC、AB的中点，求DE的长．
（2）已知：如图2，∠AOB被分成∠AOC：∠COD：∠DOB＝2：3：4，OM平分∠AOC，ON平分∠DOB，且∠MON＝90°，求∠AOB的度数．

【分析】（1）先根据题意得出BC及AB的长，再根据中点的定义得出AE和AD的长，进而可得出结论；
（2）根据题意设∠AOC＝2x，∠COD＝3x，∠DOB＝4x，则∠AOB＝9x，再根据角平分线的定义以及∠MON＝90°，即可求出∠AOB的度数．
【解析】（1）∵AC＝15cm，CB=23AC，
∴CB=23×15＝10（cm），
∴AB＝15+10＝25（cm）．
∵D，E分别为AC，AB的中点，
∴AE＝BE=12AB＝12.5cm，DC＝AD=12AC＝7.5cm，
∴DE＝AE﹣AD＝12.5﹣7.5＝5（cm）；

（2）设∠AOC＝2x，∠COD＝3x，∠DOB＝4x，则∠AOB＝9x，
∵OM平分∠AOC，ON平分∠DOB，
∴∠MOC＝x，∠NOD＝2x，
∴∠MON＝x+3x+2x＝6x，
又∵∠MON＝90°，
∴6x＝90°，
∴x＝15°，
∴∠AOB＝135°．
【变式8.3】（2020春•道里区期末）如图，∠AOC＝80°，OB是∠AOC的平分线，OD是∠COE的平分线．
（1）求∠BOC的度数；
（2）若∠DOE＝30°，求∠BOE的度数．

【分析】（1）根据角平分线定义得出∠BOC=12∠AOC，代入求出即可；
（2）根据角平分线定义求出∠BOC和∠COE，再代入∠BOE＝∠BOC+∠COE求出即可．
【解析】（1）∵∠AOC＝80°，OB是∠AOC的平分线，
∴∠BOC=12∠AOC=12×80°＝40°；
（2）∵OB是∠AOC的平分线，OD是∠COE的平分线，∠AOC＝80°，∠DOE＝30°，
∴∠BOC=12∠AOC＝40°，∠COE＝2∠DOE＝60°，
∴∠BOE＝∠BOC+∠COE＝40°+60°＝100°．
【考点9】方向角问题
【例9】（2020秋•岳池县期中）如图，B岛在A岛的南偏西40°方向，C岛在A岛的南偏东15°方向，C岛在B岛的北偏东80°方向，求从C岛看A，B两岛的视角∠ACB的度数．

【分析】由题意得：BE∥AD，∠BAD＝40°，∠CAD＝15°，∠EBC＝80°，再根据平行线的性质以及三角形内角和定理，即可得到∠ACB的度数．
【解析】如图，由题意得：BE∥AD，∠BAD＝40°，∠CAD＝15°，∠EBC＝80°，
∴∠EBA＝∠BAD＝40°，
∴∠BAC＝∠BAD+∠CAD＝40°+15°＝55°，
∴∠CBA＝∠EBC﹣∠EBA＝80°﹣40°＝40°，
∴∠ACB＝180°﹣∠BAC﹣∠ABC
＝180°﹣55°﹣40°＝85°，
答：从C岛看A，B两岛的视角∠ACB的度数为85°．

【变式9.1】（2019秋•弥勒市期末）如图，某轮船上午8时在A处，测得灯塔S在北偏东60°的方向上，向东行驶至中午11时，该轮船在B处，测得灯塔S在北偏西30°的方向上（自己完成图形），已知轮船行驶速度为每小时60千米，求∠ASB的度数及AB的长．

【分析】根据方位角的概念，画图正确表示出方位角，即可求解．
【解析】如图：

由图可知∠SAB＝90°﹣∠DAS＝90°﹣60°＝30°，∠ABS＝90°﹣∠SBC＝90°﹣30°＝60°，
因为在△ABS中，∠SAB＝30°，∠ABS＝60°，
所以∠ASB＝180°﹣∠ABS﹣∠SAB＝180°﹣60°﹣30°＝90°．
60×（11﹣8）＝180（千米）．
所以AB长为180千米．
【变式9.2】（2020春•长葛市期中）如图，是小明家和学校所在地的简单地图，已知OA＝2km，OB＝3.5km，OP＝4km，点C为OP的中点，回答下列问题：
（1）图中到小明家距离相同的是哪些地方？
（2）由图可知，公园在小明家东偏南30°方向2km处．请用方向与距离描述学校、商场、停车场相对于小明家的位置．

【分析】（1）由点C为OP的中点，可得出OC＝2km，结合OA＝2km，即可得出距小明家距离相同的是学校和公园；
（2）观察图形，根据OA，OB，OP的长度及图中各角度，即可得出结论．
【解析】（1）因为点C为OP的中点，
所以OC＝2km，
因为OA＝2km，
所以可得出距小明家距离相同的是学校和公园；
（2）由图可知，学校在小明家东偏北45°方向2km处，商场在小明家西偏北60°方向3.5km处，停车场在东偏南30°方向4km处．
【变式9.3】（2019秋•薛城区期末）如图，射线OA的方向是北偏东15°，射线OB的方向是北偏西40°，∠AOB＝∠AOC，射线OD是OB的反向延长线．
（1）射线OC的方向是　北偏东70°　；
（2）若射线OE平分∠COD，求∠AOE的度数．

【分析】（1）先求出∠AOB＝55°，再求得∠NOC的度数，即可确定OC的方向；
（2）根据∠AOB＝55°，∠AOC＝∠AOB，得出∠BOC＝110°，进而求出∠COD的度数，根据射线OE平分∠COD，即可求出∠COE＝35°再利用∠AOC＝55°求出答案即可．
【解析】（1）∵OB的方向是北偏西40°，OA的方向是北偏东15°，
∴∠NOB＝40°，∠NOA＝15°，
∴∠AOB＝∠NOB+∠NOA＝55°，
∵∠AOB＝∠AOC，
∴∠AOC＝55°，
∴∠NOC＝∠NOA+∠AOC＝70°，
∴OC的方向是北偏东70°；
故答案为：北偏东70°；

（2）∵∠AOB＝55°，∠AOC＝∠AOB，
∴∠BOC＝110°．
又∵射线OD是OB的反向延长线，
∴∠BOD＝180°．
∴∠COD＝180°﹣110°＝70°．
∵∠COD＝70°，OE平分∠COD，
∴∠COE＝35°．
∵∠AOC＝55°．
∴∠AOE＝90°．
【考点10】基本作图
【例10】读下列语句，并画出图形．（每题3分，共12分）
（1）任意画A、O两点，作射线OA．
（2）点A在直线l上，点B在直线l外．
（3）画线段AB＝4cm，并找出它的中点C．
（4）直线l与直线AB交于O点．
【分析】（1）以O为端点，画射线OA；
（2）过点A画直线，点B在直线l外；
（3）利用AC＝BC＝2cm即可解决问题；
（4）过O点作直线l与直线AB相交．
【解析】
（1）射线OA就是所求作的射线．
（2）
（3）
（4）
【变式10.1】（2019秋•黔东南州期末）如图，已知点A、B、C．D，根据下列语句画图．（不写作图过程）
作射线AB、直线AC，连接AD并延长线段AD．

【分析】根据直线、射线、线段的概念即可作出图形．
【解析】作射线AB、直线AC，连接AD并延长线段AD，如图所示：

【变式10.2】（2019秋•彭水县期末）如图，在平面内有A，B，C三点．
（1）画直线AB，射线AC，线段BC；
（2）在线段BC上任取一点D（不同于B，C），连接AD，并延长AD至E，使DE＝AD；
（3）数一数，此时图中线段共有　8　条．

【分析】（1）依据直线、射线、线段的定义，即可得到直线AB，线段BC，射线AC；
（2）依据在线段BC上任取一点D（不同于B，C），连接线段AD即可；
（3）根据图中的线段为AB，AC，AD，AE，DE，BD，CD，BC，即可得到图中线段的条数．
【解析】（1）如图，直线AB，线段BC，射线AC即为所求；

（2）如图，线段AD和线段DE即为所求；
（3）由题可得，图中线段的条数为8，
故答案为：8．
【变式10.3】（2019秋•保亭县期末）（1）如图1，已知三点A，B，C，按要求画图：画直线AB；画射线AC；画线段BC．

（2）如图2，用适当的语句表述点A，P与直线l的关系．
【分析】（1）利用利用线段的定义得出即可；利用射线的定义得出即可；直线的定义得出即可；
（2）根据点在直线上，点在直线外，即可解答．
【解析】（1）如图所示：

（2）点A在直线l上，点P在直线l外．
【考点11】分类讨论及方程思想在线段计算中的应用
【例11】已知线段AB＝m（m为常数），点C为直线AB上一点（不与A、B重合），点P、Q分别在线段BC、AC上，且满足CQ＝2AQ，CP＝2BP．
（1）如图，当点C恰好在线段AB中点时，则PQ＝　23m　（用含m的代数式表示）；
（2）若点C为直线AB上任一点，则PQ长度是否为常数？若是，请求出这个常数；若不是，请说明理由；
（3）若点C在点A左侧，同时点P在线段AB上（不与端点重合），请判断2AP+CQ﹣2PQ与1的大小关系，并说明理由．

【分析】（1）根据已知AB＝m（m为常数），CQ＝2AQ，CP＝2BP，以及线段的中点的定义解答；
（2）根据已知AB＝m（m为常数），CQ＝2AQ，CP＝2BP；
（3）根据题意，画出图形，求得2AP+CQ﹣2PQ＝0，即可得出2AP+CQ﹣2PQ与1的大小关系．
【解析】（1）∵CQ＝2AQ，CP＝2BP，
∴CQ=23AC，CP=23BC，
∵点C恰好在线段AB中点，
∴AC＝BC=12AB，
∵AB＝m（m为常数），
∴PQ＝CQ+CP=23AC+23BC=23×12AB+23×12AB=23AB=23m；
故答案为：23m；
（2）①点C在线段AB上：
∵CQ＝2AQ，CP＝2BP，
∴CQ=23AC，CP=23BC，
∵AB＝m（m为常数），
∴PQ＝CQ+CP=23AC+23BC=23×（AC+BC）=23AB=23m；
②点C在线段BA的延长线上：
∵CQ＝2AQ，CP＝2BP，
∴CQ=23AC，CP=23BC，
∵AB＝m（m为常数），
∴PQ＝CP﹣CQ=23BC-23AC=23×（BC﹣AC）=23AB=23m；
③点C在线段AB的延长线上：
∵CQ＝2AQ，CP＝2BP，
∴CQ=23AC，CP=23BC，
∵AB＝m（m为常数），
∴PQ＝CQ﹣CP=23AC-23BC=23×（AC﹣BC）=23AB=23m；
故PQ是一个常数，即是常数23m；
（3）如图：

∵CQ＝2AQ，
∴2AP+CQ﹣2PQ
＝2AP+CQ﹣2（AP+AQ）
＝2AP+CQ﹣2AP﹣2AQ
＝CQ﹣2AQ
＝2AQ﹣2AQ
＝0，
∴2AP+CQ﹣2PQ＜1．



【变式11.1】（2019秋•樊城区期末）如图，AB＝97，AD＝40，点E在线段DB上，DC：CE＝1：2，CE：EB＝3：5，求AC的长度．

【分析】根据AB＝97，AD＝40，可得BD＝AB﹣AD＝57，由DC：CE＝1：2，CE：EB＝3：5，可以设DC＝x，可得CE＝2x，EB=10x3，进而列出等式解得x的值，再求AC的长即可．
【解析】因为AB＝97，AD＝40，
所以BD＝AB﹣AD＝57
因为DC：CE＝1：2，CE：EB＝3：5，
所以设DC＝x，
则CE＝2x，
EB=10x3，
因为BD＝DC+CE+EB
所以x+2x+10x3=57
解得x＝9
所以AC＝AD+DC＝40+9＝49．
答：AC的长度为49．
【变式11.2】（2019秋•大安市期末）阅读下面材料：点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，A、B两点之间的距离表示为AB，在数轴上A、B两点之间的距离AB＝|a﹣b|．回答下列问题：
（1）数轴上表示﹣3和1两点之间的距离是　4　，数轴上表示﹣2和3的两点之间的距离是　5　；
（2）数轴上表示x和﹣1的两点之间的距离表示为　|x+1|　；
（3）若x表示一个有理数，则|x﹣2|+|x+3|有最小值吗？若有，请求出最小值；若没有，请说明理由．

【分析】（1）（2）在数轴上A、B两点之间的距离为AB＝|a﹣b|，依此即可求解；
（3）根据绝对值的性质去掉绝对值号，然后计算即可得解
【解析】（1）|1﹣（﹣3）|＝4；|3﹣（﹣2）|＝5；
故答案为：4；5；
（2）|x﹣（﹣1）|＝|x+1|或|（﹣1）﹣x|＝|x+1|，
故答案为：|x+1|；
（3）有最小值，
当x＜﹣3时，|x﹣2|+|x+3|＝2﹣x﹣x﹣3＝﹣2x﹣1，
当﹣3≤x≤2时，|x﹣2|+|x+3|＝2﹣x+x+3＝5，
当x＞2时，|x﹣2|+|x+3|＝x﹣2+x+3＝2x+1，
在数轴上|x﹣2|+|x+3|的几何意义是：表示有理数x的点到﹣3及到2的距离之和，所以当﹣3≤x≤2时，它的最小值为5．
【变式11.3】如图，已知线段AB＝12cm，点C为AB上的一个动点，点D、E分别是AC和BC的中点．
（1）若点C恰好是AB中点，则DE＝　6　cm；
（2）若AC＝4cm，求DE的长；
（3）试利用“字母代替数”的方法，说明不论AC取何值（不超过12cm），DE的长不变．

【分析】（1）由点D、E分别是AC和BC的中点，C点为AB的中点，求出AC，BC，CD，CE的长度，运用DE＝CD+CE即可得出答案．
（2）先求出BC，再利用中点关系求出CD，CE即可得出DE的长．
（3）设AC＝acm，由点D、E分别是AC和BC的中点，可得DE＝CD+CE=12（AC+BC）=12AB＝6cm，即可得出不论AC取何值（不超过12cm），DE的长不变，
【解析】（1）∵AB＝12cm，点D、E分别是AC和BC的中点，C点为AB的中点，
∴AC＝BC＝6cm，
∴CD＝CE＝3cm，
∴DE＝CD+CE＝6cm，
故答案为：6．
（2）∵AB＝12cm，AC＝4cm，
∴BC＝8cm，
∵点D、E分别是AC和BC的中点，
∴CD＝2cm，CE＝4cm，
∴DE＝6cm，
（3）设AC＝acm，
∵点D、E分别是AC和BC的中点，
∴DE＝CD+CE=12（AC+BC）=12AB＝6cm，
∴不论AC取何值（不超过12cm），DE的长不变，
【考点12】分类讨论及方程思想在角的计算中的应用
【例12】（2020春•南岗区期末）已知，在∠AOB内部作射线OC，OD平分∠BOC，∠AOD+∠COD＝120°．
（1）如图1，求∠AOB的度数；
（2）如图2，在∠AOB的外部和∠BOD的内部分别作射线OE、OF，已知∠COD＝2∠BOF+∠BOE，求证：OF平分∠DOE；
（3）如图3，在（2）的条件下，在∠COD内部作射线OM，当∠BOM＝4∠COM，∠BOE=1110∠AOC时，求∠MOF的度数．

【分析】（1）根据OD平分∠BOC，得∠BOD＝∠COD，再由∠AOD+∠COD＝120°，得∠AOD+∠BOD＝120°，即∠AOB＝120°；
（2）根据OD平分∠BOC，得∠BOD＝∠COD，再由∠COD＝2∠BOF+∠BOE，得∠BOD＝2∠BOF+∠BOE，可得∠DOF＝∠BOD﹣∠BOF＝2∠BOF+∠BOE﹣∠BOF＝∠BOF+∠BOE＝∠EOF，即可得出结论；
（3）设∠AOC＝10α，则∠BOE＝11α，由∠AOB＝120°得∠BOC＝∠AOB﹣∠AOC＝120°﹣10α，根据OD平分∠BOC，得∠COD＝∠BOD=12∠BOC＝60°﹣5α，再由∠BOM＝4∠COM，得∠COM=15∠BOC=15（120°﹣10α）＝24°﹣2α，可得∠DOM＝∠COD﹣∠COM＝36°﹣3α，∠DOE＝∠BOD+∠BOE＝60°+6α，根据OF平分∠DOE可得∠DOF=12∠DOE=12（60°+6α）＝30°+3α，由∠MOF＝∠DOM+∠DOF可得结果．
【解析】（1）解：∵OD平分∠BOC，
∴∠BOD＝∠COD，
∵∠AOD+∠COD＝120°，
∴∠AOD+∠BOD＝120°，
即∠AOB＝120°；
（2）证明：∵OD平分∠BOC，
∴∠BOD＝∠COD，
∵∠COD＝2∠BOF+∠BOE，
∴∠BOD＝2∠BOF+∠BOE，
∴∠DOF＝∠BOD﹣∠BOF＝2∠BOF+∠BOE﹣∠BOF＝∠BOF+∠BOE＝∠EOF，
∴OF平分∠DOE；
（3）解：设∠AOC＝10α，则∠BOE＝11α，
∵∠AOB＝120°，
∴∠BOC＝∠AOB﹣∠AOC＝120°﹣10α，
∵OD平分∠BOC，
∴∠COD＝∠BOD=12∠BOC＝60°﹣5α，
∵∠BOM＝4∠COM，
∴∠COM=15∠BOC=15（120°﹣10α）＝24°﹣2α，
∴∠DOM＝∠COD﹣∠COM＝（60°﹣5α）﹣（24°﹣2α）＝36°﹣3α，
∴∠DOE＝∠BOD+∠BOE＝（60°﹣5α）+11α＝60°+6α，
∵OF平分∠DOE，
∴∠DOF=12∠DOE=12（60°+6α）＝30°+3α，
∴∠MOF＝∠DOM+∠DOF＝（36°﹣3α）+（30°+3α）＝66°．
【变式12.1】（2019秋•官渡区期末）已知OC平分∠AOB，若∠AOB＝70°，∠COD＝10°，则∠AOD的度数为　25°或45°　．
【分析】由角平分线的定义，角的和差，分情况计算出∠AOD的度数为25°或45°．
【解析】（1）若射线OD在OC的下方时，
如图1所示：

∵OC平分∠AOB，
∴∠AOC=12∠AOB，
又∵∠AOB＝70°，
∴∠AOC=12×70°=35°，
又∵∠AOC＝∠COD+∠AOD，
∠COD＝10°，
∴∠AOD＝35°﹣10°＝25°；
（2）若射线OD在OC的上方时，
如图2所示：

同（1）可得：∠AOC＝35°，
又∵∠AOD＝∠AOC+∠COD，
∴∠AOD＝35°+10°＝45°；
综合所述∠AOD的度数为25°或45°，
故答案为25°或45°．
【变式12.2】（2019秋•东阳市期末）已知直线AB与CD相交于点O，且∠AOD＝90°，现将一个直角三角尺的直角顶点放在点O处，把该直角三角尺OEF绕着点O旋转，作射线OH平分∠AOE．
（1）如图1所示，当∠DOE＝20°时，∠FOH的度数是　35°　．
（2）若将直角三角尺OEF绕点O旋转至图2的位置，试判断∠FOH和∠BOE之间的数量关系，并说明理由．
（3）若再作射线OG平分∠BOF，试求∠GOH的度数．

【分析】（1）根据∠AOD＝90°，∠DOE＝20°得∠AOE＝∠AOD+∠DOE＝110°，再根据OH平分∠AOE，即可求解；
（2）可以设∠AOH＝x，根据OH平分∠AOE，可得∠HOE＝∠AOH＝x，进而∠FOH＝90°﹣∠HOE＝90°﹣x，∠BOE＝180°﹣∠AOE＝180°﹣2x，即可得结论；
（3）分两种情况解答：当OE落在∠BOD内时，OF落在∠AOD内，当OE落在其他位置时，根据OH平分∠AOE，OG平分∠BOF即可求解．
【解析】（1）因为∠AOD＝90°，∠DOE＝20°
所以∠AOE＝∠AOD+∠DOE＝110°
因为OH平分∠AOE
所以∠HOE=12∠AOE＝55°
所以∠FOH＝90°﹣∠HOE＝35°；
故答案为35°；
（2）∠BOE＝2∠FOH，理由如下：
设∠AOH＝x，
因为OH平分∠AOE
所以∠HOE＝∠AOH＝x
所以∠FOH＝90°﹣∠HOE＝90°﹣x
∠BOE＝180°﹣∠AOE＝180°﹣2x
所以∠BOE＝2∠FOH；
（3）如图3，当OE落在∠BOD内时，OF落在∠AOD内

因为OH平分∠AOE
所以∠HOE＝∠AOH=12∠AOE
因为OG平分∠BOF
∠FOG＝∠GOB=12∠BOF
所以∠GOH＝∠GOF﹣∠FOH
=12∠BOF﹣（∠AOH﹣∠AOF）
=12（180°﹣∠AOF）-12∠AOE+∠AOF
＝90°-12∠AOF-12（90°+∠AOF）+∠AOF
＝90°-12∠AOF﹣45°-12∠AOF+∠AOF
＝45°；
所以∠GOH的度数为45°；
如图4，当OE落在其他位置时

因为OH平分∠AOE
所以∠HOE＝∠AOH=12∠AOE
因为OG平分∠BOF
∠FOG＝∠GOB=12∠BOF
所以∠GOH＝∠GOF+∠FOH
=12∠BOF+∠AOH+∠AOF
=12（180°﹣∠AOF）+12∠AOE+∠AOF
＝90°-12∠AOF+12（90°﹣∠AOF）+∠AOF
＝90°-12∠AOF+45°-12∠AOF+∠AOF
＝135°；
所以∠GOH的度数为135°；
综上所述：∠GOH的度数为45°或135°．
【变式12.3】（2019秋•江汉区期末）如图，已知锐角∠AOB，射线OC不与OA，OB重合，OM，ON分别平分∠AOC，∠BOC．
（1）当OC在∠AOB的内部
①若∠BOC＝50°，∠AOC＝20°，求∠MON的大小；
②若∠MON＝30°，求∠AOB的大小；
（2）当射线OC在∠AOB外部，且∠AOB＝80°，请直接写出∠MON的大小．

【分析】（1）当OC在∠AOB的内部①根据OM，ON分别平分∠AOC，∠BOC．∠BOC＝50°，∠AOC＝20°，即可求∠MON的大小；
②根据OM，ON分别平分∠AOC，∠BOC．∠MON＝30°，即可求∠AOB的大小；
（2）当射线OC在∠AOB外部，且∠AOB＝80°，分两种情况画出图形即可求出∠MON的大小．
【解答】解：（1）当OC在∠AOB的内部
①∵∠BOC＝50°，∠AOC＝20°，
OM，ON分别平分∠AOC，∠BOC
∴∠MOC=12∠AOC＝10°，∠NOC=12∠BOC＝25°
∴∠MON＝∠MOC+∠NOC＝10°+25°＝35°
答：∠MON的大小为35°；
②∵OM，ON分别平分∠AOC，∠BOC
∴∠AOC＝2∠MOC，∠BOC＝2∠NOC
∴∠AOB＝∠AOC+∠BOC
＝2（∠MOC+∠NOC）
＝2∠MON
∵∠MON＝30°，
∴∠AOB＝60°
答：∠AOB的大小为60°．
（2）当射线OC在∠AOB外部，且∠AOB＝80°，
分两种情况：
①如图1所示，

OM，ON分别平分∠AOC，∠BOC
∴∠MOC=12∠AOC，∠NOC=12∠BOC
∴∠MON＝∠NOC﹣∠MOC
=12∠BOC-12∠AOC
=12（∠BOC﹣∠AOC）
=12∠AOB
＝40°；
②如图2所示，

OM，ON分别平分∠AOC，∠BOC
∴∠MOC=12∠AOC，∠NOC=12∠BOC
∴∠MON＝∠NOC+∠MOC
=12∠BOC+12∠AOC
=12（∠BOC+∠AOC）
=12（360°﹣∠AOB）
=12×280°
＝140°；
答：∠MON的大小为40°或140°