6几何图形初步精讲精练-2020-2021学年七年级数学上学期期末复习 【试卷】

6几何图形初步精讲精练
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【知识梳理】
1.平面图形与立体图形：
（1）几何图形：从实物中抽象出的各种图形叫几何图形．几何图形分为立体图形和平面图形．
（2）立体图形：有些几何图形（如长方体、正方体、圆柱、圆锥、球等）的各部分不都在同一个平面内，这就是立体图形．
2.点线面体：
（1）体与体相交成面，面与面相交成线，线与线相交成点．
（2）从运动的观点来看
点动成线，线动成面，面动成体．点、线、面、体组成几何图形，点、线、面、体的运动组成了多姿多彩的图形世界．
（3）从几何的观点来看
点是组成图形的基本元素，线、面、体都是点的集合．
（4）长方体、正方体、圆柱、圆锥、球、棱柱、棱锥等都是几何体，几何体简称体．
（5）面有平面和曲面之分，如长方体由6个平面组成，球由一个曲面组成．
3.几何体的表面积
（1） 几何体的表面积=侧面积+底面积（上、下底的面积和）
（2） 常见的几种几何体的表面积的计算公式 
a) 圆柱体表面积：2πR²+2πRh （R为圆柱体上下底圆半径，h为圆柱体高）
b) 长方体表面积：2（ab+ah+bh） （a为长方体的长，b为长方体的宽，h为长方体的高）
③正方体表面积：6a²（a为正方体棱长）
4.常见的几何体的三视图：

圆柱的三视图：
【典例剖析】
【考点1】认识立体图形
【例1】（2020•市中区二模）下列几何体中，是圆锥的为（　　）
A． B．
C． D．
【变式1.1】（2020春•绥棱县期末）一个圆锥的体积是6立方分米，高3分米，底面积是　 　．
【变式1.2】（2020春•溧阳市期末）一个长方体的高是10cm，它的底面是边长为4cm的正方形，如果底面正方形的边长增加acm，则它的体积增加了　 　cm3．
【变式1.3】（2020春•平顶山期末）如图，三个大小相同的球恰好放在一个圆柱形盒子里（球的半径为R时，球的体积为V=43πR3），若圆柱的容积为300π，则三个球的体积之和为　 　．（结果保留π）

【考点2】点、线、面、体
【例2】（2019秋•渠县期末）流星划过天空时留下一道明亮的光线，用数学知识解释为 　．
【变式2.1】在下列两行图形中，分别找出相互对应的图形，并用线连接．

【变式2.2】（2020秋•临漳县期中）在一个长方形中，长和宽分别为4cm、3cm，若该长方形绕着它的一边旋转一周，形成的几何体的体积是多少？（结果用π表示）
【变式2.3】（2019春•崇明区期末）用一根长度为240厘米的铁丝做一个长宽高之比为3：4：5的长方体框，全部用完没有剩余，损耗不计．求这个长方体的表面积．
【考点3】几何体的表面积
【例3】（2019秋•句容市校级期末）“舒肤佳”香皂盒的长、宽、高分别是10cm、4cm、6cm，将这样的四个盒子拼成一个大的长方体，那么在这个大长方体的各种拼法中，表面积的最小值为　 　cm2．

【变式3.1】（2019春•黄浦区期末）已知一个无盖的长方体容器，它的长宽高之比为2：3：4，且棱长总和为36cm．求这个长方体容器外表面积的最大值．
【变式3.2】（2019秋•永登县期中）如图所示的五棱柱的底面边长都是5cm，侧棱长12cm，它有多少个面？它的所有侧面的面积之和是多少？

【变式3.3】（2019秋•唐河县期末）如图所示，在无阴影的方格中选出两个画出阴影，使它们与图中四个有阴影的正方形一起可以构成一正方体的表面展开图．（填出两种答案）

【考点4】几何体的展开图
【例4】（2019•张家口一模）如图，是一个正方体的展开图，这个正方体可能是（　　）

A． B． C． D．
【变式4.1】（2019秋•胶州市期末）连一连：请在第二行图形中找到与第一行几何体相对应的表面展开图，并分别用连接线连起来．

【变式4.2】（2019秋•连云区期末）小明在学习了《展开与折叠》这一课后，明白了很多几何体都能展开成平面图形．于是他在家用剪刀展开了一个长方体纸盒，可是一不小心多剪了一条棱，把纸盒剪成了两部分，即图中的①和②．根据你所学的知识，回答下列问题：

（1）小明总共剪开了 　条棱．
（2）现在小明想将剪断的②重新粘贴到①上去，而且经过折叠以后，仍然可以还原成一个长方体纸盒，你认为他应该将剪断的纸条粘贴到①中的什么位置？请你帮助小明在①上补全．
（3）小明说：他所剪的所有棱中，最长的一条棱是最短的一条棱的5倍．现在已知这个长方体纸盒的底面是一个正方形，并且这个长方体纸盒所有棱长的和是880cm，求这个长方体纸盒的体积．
【变式4.3】（2019秋•泰州期末）如图，小华用若干个正方形和长方形准备拼成一个长方体的展开图．拼完后，小华看来看去总觉得所拼图形似乎存在问题．
（1）请你帮小华分析一下拼图是否存在问题：若有多余块，则把图中多余部分涂黑；若还缺少，则直接在原图中补全；
（2）若图中的正方形边长为3cm，长方形的长为5cm，宽为3cm，请直接写出修正后所折叠而成的长方体的体积：　 　cm3．

【考点5】展开图折叠成几何体
【例5】（2018秋•南山区期末）如图，在Rt△ABC纸片上可按如图所示方式剪出一正方体表面展开图，直角三角形的两直角边与正方体展开图左下角正方形的边共线，斜边恰好经过两个正方形的顶点，已知BC＝24cm，则这个展开图可折成的正方体的体积为　 　cm3．

【变式5.1】（2019春•嘉定区期末）（1）如图1所示的四个图分别由六个相同的正方形拼接而成，其中不能折成正方体的是　 　．

（2）用斜二测画法补画图2，使它成为长方体的直观图．（注：遮住的线段用虚线表示，保留痕迹，不必写画法）
（3）在这一长方体中，从同一个顶点出发的三个面的面积之比为5：7：2，其中最大的面积比最小的面积大30cm2，求这个长方体的表面积．
【变式5.2】（2019秋•秦都区期中）如图所示，用标有数字1、2、3、4的四块正方形，以及标有字母A、B、C、D、E、F、H的七块正方形中任意一块，用这5块连在一起的正方形折叠成一个无盖的正方体盒子，一共有几种不同的方法？写出这些方法所用到正方形所标有的数字和字母．（例如：1、2、3、4、F）

【变式5.3】一个物体的外形是圆柱，但不清楚它的内部结构，现在用一组水平的平面去截这个物体，从上至下的五个截面依次如图所示，则这个物体可能是下列选项中的哪一个？

【考点6】截一个几何体
【例6】（2019•黄岩区二模）如图，一个5×5×5的正方体，先在它的前后方向正中央开凿一个“十字形”的孔（打通），再在它的上下方向正中央也开凿一个“十字形”的孔（打通），最后在它的左右方向正中央开凿一个“十字形”的孔（打通），这样得到一个被凿空了的几何体，则所得几何体的体积为　 　．

【变式6.1】（2020春•怀化校级期中）一块方形蛋糕，一刀切成相等的两块，两刀最多切成4块，试问：五刀最多可切成　 　块相等体积的蛋糕，十刀最多可切成 　块（要求：竖切，不移动蛋糕）．
【变式6.2】（2018秋•广陵区校级月考）如图，有一个立方体，它的表面涂满了红色，在它每个面上切两刀，得到27个小立方体，而且凡是切面都是白色．问：
（1）小立方体中三面红的有几块？两面红的呢？一面红的呢？没有红色的面呢？
（2）如果每面切三刀，情况又怎样呢？
（3）每面切n刀呢？

【考点7】简单几何体的三视图
【例7】（2018秋•普宁市期末）如图，某长方体的底面是长为4cm，宽为2cm的长方形，如果从左面看这个长方体时看到的图形面积为6cm2，则这个长方体的体积等于　 　．

【变式7.1】（2020秋•锦江区校级期中）下面立体图形中，从正面、侧面、上面看，都不能看到长方形的是（　　）
A．长方体 B．圆柱
C．圆锥 D．正四棱锥
【变式7.2】（2019•攀枝花）如图是一个多面体的表面展开图，如果面F在前面，从左面看是面B，那么从上面看是面　 ．（填字母，注意：字母只能在多面体外表面出现）

【变式7.3（2019秋•永安市期末）如图①是一张长为18cm，宽为12cm的长方形硬纸板．把它的四个角都剪去一个边长为xcm的小正方形，然后把它折成一个无盖的长方体盒子（如图②），请回答下列问题：
（1）折成的无盖长方体盒子的容积V＝　 cm3；（用含x的代数式表示即可，不需化简）
（2）请完成下表，并根据表格回答，当x取什么正整数时，长方体盒子的容积最大？
x/cm
1
2
3
4
5
V/cm3
160
　224　
216
　160　
80
（3）从正面看折成的长方体盒子，它的形状可能是正方形吗？如果是正方形，求出x的值；如果不是正方形，请说明理由．

【变式7.4】（2019秋•昌图县期中）如图所示是一个物体从正面、左面、上面看到的形状图，试回答下列问题：
（1）该物体有几层高？
（2）该物体最长处为多少？
（3）该物体最高部分位于哪里？

【考点8】由三视图判断几何体
【例1】（2020秋•铁西区期中）已知：如图是由若干个大小相同的小正方体所搭成的几何体从正面、左面和上面看到的形状图，则搭成这个几何体的小正方体的个数是　 　．

【变式8.1】从一个几何体的正面、上面看到的形状图如图所示，你能否根据图中提供的数据求出该几何体的体积？

【变式8.2】一个物体由几个相同的正方体堆叠成，从三个不同方向观察得到的图形如图所示，试回答下面的问题：
（1）该物体共有几层？
（2）一共需要几个正方体叠成？

【变式8.3】（2020秋•任城区期中）在长方形ABCD中，AB＝3，BC＝4，把该图形沿着一边所在直线旋转一周，求所围成的几何体的体积．
【考点9】图形的运动
【例9】（2020秋•解放区校级月考）电视剧《西游记》中，孙悟空的“金箍棒”飞速旋转，形成一圆面，这说明了　 　．
【变式9.1】（2019秋•兰州期末）如图所示，已知直角三角形纸板ABC，直角边AB＝4cm，BC＝8cm．
（1）将直角三角形纸板绕三角形的边所在的直线旋转一周，能得到　 　种大小不同的几何体？
（2）分别计算绕三角形直角边所在的直线旋转一周，得到的几何体的体积？（圆锥的体积=13πr2h，其中π取3）

【变式9.2】（2019秋•辽宁月考）小明学习了“面动成体”之后，他用一个边长为3cm、4cm和5cm的直角三角形，其中一条直角边旋转一周，得到了一个几何体，请计算出几何体的体积．（锥体体积=13底面积×高）
【变式9.3】（2018秋•乳山市期中）如图，阴影图形是由直角三角形和长方形拼成的，绕虚线旋转一周可以得到一个立体图形，求得到立体图形的体积．（结果保留π的形式）




【典例剖析】
【考点1】一元一次方程的应用——分配问题
【例1】（2019秋•台江区期末）把一批图书分给某班学生阅读，如果每人分3本，则剩余20本；如果每人分4本，则还缺20本．这个班有多少学生？
【分析】可设这个班有x名学生，根据总本数相等和每人分3本，剩余20本；每人分4本，缺20本可列出方程，求解即可．
【解析】设这个班有x名学生，
根据书的总量相等可得：3x+20＝4x﹣20，
解得：x＝40．
答：这个班有40名学生．
【变式1.1】（2020•攀枝花）课外活动中一些学生分组参加活动，原来每组6人，后来重新编组，每组8人，这样就比原来减少2组，问这些学生共有多少人？
【分析】设这些学生共有x人，先表示出原来和后来各多少组，其等量关系为后来的比原来的少2组，根据此列方程求解．
【解析】设这些学生共有x人，
根据题意得x6-x8=2，
解得x＝48．
答：这些学生共有48人．
【变式1.2】（2019秋•高邮市校级期中）七年级男生入住的一楼有x间，如果每间住6人，恰好空出一间；如果每间住5人就有4人不得住．求一楼共有多少间？根据题意可列出关于x的方程为　6（x﹣1）＝5x+4　．
【分析】利用学生数不变这一等量关系列出一元一次方程求解即可．
【解析】设共有x间，
∵每间住6人，恰好空出一间，
∴共有6（x﹣1）人，
∵每间住5人就有4人不得住，
∴共有（5x+4）人，
∴方程为：6（x﹣1）＝5x+4．
故答案为：6（x﹣1）＝5x+4．
【变式1.3】（2019•邵阳县模拟）根据题意设未知数，并列出方程（不必求解）．
（1）有两个工程队，甲队人数30名，乙队人数10名，问怎样调整两队的人数，才能使甲队的人数是乙队人数的7倍．
（2）有一个班的同学准备去划船，租了若干条船，他们计算了一下，如果比原计划多租1条船，那么正好每条船坐6人；如果比原计划少租1条船，那么正好每条船坐9人．问这个班共有多少名同学？
【分析】（1）设从乙队调x人去甲队，则乙队现在有10﹣x人，甲队有30+x人，根据甲队的人数是乙队人数的7倍列出方程即可；
（2）设这个班共有x名同学，则原计划需要船x6-1，或x9+1，由此联立方程得出答案即可．
【解析】（1）设从乙队调x人去甲队，则乙队现在有10﹣x人，甲队有30+x人，由题意得
30+x＝7（10﹣x）；
（2）设这个班共有x名同学，由题意得
x6-1=x9+1．
【考点2】一元一次方程的应用——配套问题
【例2】（2019秋•乌鲁木齐期末）某车间每天需生产50个零件才能在规定的时间内完成一批零件的生产任务，实际上该车间每天比计划多生产了6个零件，结果比规定的时间提前三天并超额生产120个零件，问该车间要完成的零件任务为多少个？
【分析】关系式为：零件任务÷原计划每天生产的零件个数﹣（零件任务+120）÷实际每天生产的零件个数＝3，把相关数值代入即可求解．
【解析】设该车间要完成的零件任务为x个，实际完成的零件的个数为x+120，实际每天生产的零件个数为50+6，
所以根据时间列的方程为：x50-x+12050+6=3，
解得x＝2400．
故该车间要完成的零件任务为2400个．
【变式2.1】（2020秋•南通期中）列方程解应用题：
洗衣机厂今年计划生产洗衣机25500台，其中A型、B型、C型三种洗衣机的数量比为1：2：14，那么计划生产的C型洗衣机比B型洗衣机多多少台？
【分析】根据A型、B型、C型三种洗衣机的数量比为1：2：14，可以设出三种型号洗衣机的数量，然后根据洗衣机厂今年计划生产洗衣机25500台，即可得到相应的方程，然后即可求得三种型号的洗衣机各多少台，再用生产的C型洗衣机的台数减去生产B型洗衣机的台数，即可解答本题．
【解析】设A型、B型、C型三种洗衣机的数量分别为x台、2x台、14x台，
由题意可得，x+2x+14x＝25500，
解得x＝1500，
∴2x＝3000，14x＝21000，
21000﹣3000＝18000（台），
答：计划生产的C型洗衣机比B型洗衣机多18000台．
【变式2.2】（2019秋•临西县期末）在广州亚运会中，志愿者们手上、脖子上的丝巾非常美丽．车间70名工人承接了制作丝巾的任务，已知每人每天平均生产手上的丝巾1800条或者脖子的丝巾1200条，一条脖子上的丝巾要配两条手上的丝巾．为了使每天生产的丝巾刚好配套，应分配多少名工人生产脖子上的丝巾，多少名工人生产手上的丝巾？
【分析】设应分配x名工人生产脖子上的丝巾，则根据一条脖子上的丝巾要配两条手上的丝巾作为等量关系可列出方程求解．
【解析】设应分配x名工人生产脖子上的丝巾，
1800（70﹣x）＝2×1200x，
解得：x＝30，
70﹣x＝70﹣30＝40．
答：应分配30名工人生产脖子上的丝巾，40名工人生产手上的丝巾．
【变式2.3】（2019春•西湖区校级月考）某圆柱形饮料瓶由铝片加工做成．现有若干张一样大小的铝片，若全部用来做瓶身可做900个，若全部用来做瓶底可做1200个．已知每一张这样的铝片全部做成瓶底比全部做成瓶身多20个．
（1）问一张这样的铝片可做瓶底几个？
（2）这若干张铝片的张数是多少？
（3）若一个瓶身与两个瓶底配成一套，则这若干张铝片中取多少张做瓶身，取多少张做瓶底可使配套做成的饮料瓶最多？
【分析】（1）根据题意列一元一次方程即可求得结论；
（2）根据（1）的结论即可求解；
（3）根据配套问题列一元一次方程即可求得结论．
【解析】（1）设一张这样的铝片可做瓶底x个．
根据题意，得
900x＝1200（x﹣20）
解得x＝80．x﹣20＝60．
经检验x＝80是原方程的解．
答：一张这样的铝片可做瓶底80个．
（2）120080=15
答：这若干张铝片的张数是15张．
（3）设这15张铝片中取a张做瓶身，取（15﹣a）张做瓶底可使配套做成的饮料瓶最多．
根据题意，得
2×60•a＝80（15﹣a）
解得a＝6．
答：这若干张铝片中取6张做瓶身，取9张做瓶底可使配套做成的饮料瓶最多．
【考点3】一元一次方程的应用——行程问题
【例3】（2019秋•龙泉驿区期末）小明每天早上要到距家1000米的学校上学，一天，小明以80米/分钟的速度出发，5分钟后，小明的爸爸发现他忘带了数学书，于是，爸爸立即以180米/分钟的速度去追赶小明．
（1）若爸爸在途中追上了小明，请问爸爸追上小明用了多长时间？
（2）若爸爸出发2分钟后，小明也发现自己忘带数学书，于是他以100米/分钟往回走，与爸爸在途中相遇了，请问这种情况下爸爸出发多久追上小明？
（3）小明家养了一条聪明伶俐的小狗，小狗跟着爸爸冲出了门，以240米/分钟的速度去追小明，小明看到小狗的一刹那醒悟到自己忘了带数学书，立即以120米/分钟的速度往回返，小狗仍以原速度往爸爸这边跑，跑到爸爸身边又折回往小明身边跑，直到爸爸和小明相遇方停下，随后又跟着爸爸回到家，请问小狗从出门到回家共跑了多少米？
【分析】（1）设爸爸追上小明用了x分钟，根据爸爸追上小明时爸爸的行程＝小明5分钟的行程+x分钟的行程，列出方程求解即可；
（2）设爸爸出发y分钟追上小明，根据爸爸与小明相遇时爸爸的行程+小明往回走的行程＝小明（5+2＝7）分钟的行程，列出方程求解即可；
（3）先求出小狗追小明，小明看到小狗的时间，再求得小明看到小狗后与爸爸相遇的时间，求出它们的时间和，再根据路程＝速度×时间，列式计算即可求解．
【解析】（1）设小明爸爸追上小明用了x分钟，依题意得：
80×5+80x＝180x，
解得x＝4．
答：爸爸追上小明用了4分钟；
（2）设爸爸出发y分钟追上小明，依题意得：
180y+100（y﹣2）＝80×7，
解得y=197．
答：爸爸出发197分钟追上小明；
（3）80×5÷（240﹣80）＝2.5（分），
[80×（5+2.5）﹣180×2.5]÷（120+180）＝0.5（分），
240×（2.5+0.5）+180×（2.5+0.5）＝1260（米）．
答：小狗从出门到回家共跑了1260米．
【变式3.1】（2019春•虹口区期末）如图是某公园部分景区的旅游线路示意图，其中B、C、D为风景点，A、E为路的交叉点，图中标注的数据为相应两点间的路程（单位：千米）．小丽从A点出发，沿着路线A→B→E→D→A，以2千米/小时的速度游览，每个风景点的逗留时间均为0.5小时，游览回到A处时，共用3.9小时．
（1）求A→B路线（按顺时针方向）的路程；
（2）若小丽出发0.9小时后，小杰从A处出发，以3千米/小时的速度把照相机送给小丽（小杰在景点不逗留），那么小杰最快用多长时间能遇到小丽，他走的线路是怎样的？

【分析】（1）根据等量关系：每个风景点的逗留时间均为0.5小时，游览回到A处时，共用3.9小时列出一元一次方程求解即可；
（2）小杰最快用多长时间能遇到小丽，路线得最近，小杰的路线不确定，要么是追及，同向而行；要么走A、C、E相向而行相遇，按两种方案判断．同向而行，走的路程相等；相向而行，走的路程之和＝A、C、E、B、A的路程，遇见小丽的地点可能在A、B、E的路线上，也可能在E、D、A的路线上，须做出判断．
【解析】（1）设A→B路线的路程为x千米，根据题意，建立方程，得：
0.5×2+x+1.7+0.9+1.42=3.9
解这个方程，得：x＝1.8
答：A→B路线的路程是1.8千米．

（2）①选择路线A→C→E→B方向相向而行时，设小杰t小时后和小丽相遇，
根据题意得：3t+2×0.9+2（t﹣0.5）＝1.7+1.8+0.8+0.7，
解之得：t＝0.84，
因为2×0.9+2（t﹣0.5）＝2.48（千米）
1.7+1.8＝3.5（千米），
2.48＜3.5，
所以本路线是适合的．
②选择路线A→B→E的方向同向而行
设小杰t小时后追上小明，
根据题意，得：2×0.9+2（t﹣0.5）＝3t
解之得：t＝0.8，
因为3t＝3×0.8＝2.4（千米），
1.7+1.8＝3.5（千米），
2.4＜3.5，
所以本路线也是适合的．
因为0.8＜0.84，
所以小杰应选择路线A→B→E的方向同向追及，最快用0.8小时能遇见小丽．
【变式3.2】（2019秋•营山县期末）A、B两地相距50千米，一人从A地以每小时5千米的速度向B地行走，另一人从B地以每小时10千米的速度向A地运动．若两人恰好在中点相遇，那么从B地运动的人比从A地运动的人慢多少小时出发呢？
【分析】根据两地不同的人的运动时间之间的等量关系列出方程求解即可．
【解析】设从B地运动的人比从A地运动的人慢x小时出发，
根据题意，得 x+502×10=502×5
解这个方程，得 x＝2.5
答：从B地运动的人比从A地运动的人慢2.5小时出发．
【变式3.3】（2019秋•沙坪坝区校级期末）如图，某校初一（2）班组织学生从A地到B地步行野营，匀速前进，该班师生共56人，每8人排成一排，相邻两排之间间隔1米，途中经过一座桥CD，队伍从开始上桥到刚好完全离开桥共用了150秒，当队尾刚好走到桥的一端D处时，排在队尾的班长发现小萍还在桥的另一端C处拍照，于是以队伍1.5倍的速度返回去找小萍，同时队伍仍按原速度继续前行，30秒后，小萍发现游班长返回来找他，便立刻以2.1米/秒的速度向游班长方向行进，小萍行进40秒后与游班长相遇，相遇后两人以队伍2倍的速度前行追赶队伍．
（1）初一（2）班的队伍长度为　6　米；
（2）求班级队伍行进的速度（列一元一次方程解决问题）；
（3）请问：班长从D处返回找小萍开始到他们两人追上队首的刘老师一共用了多少时间？

【分析】（1）根据题意得出共排成56÷8＝7（排），初一（2）班的队伍长度为（7﹣1）×1＝6（米）；
（2）设班级队伍行进的速度为x米/秒，根据队伍走的路程＝桥长+队伍长，得出方程，解方程即可；
（3）设小萍与游班长相遇后两人追上队首的刘老师用了y小时，根据两人追队伍走的路程﹣队伍走的路程＝他们与队伍的距离，得出方程，解方程即可得出结果．
【解析】（1）∵师生共56人，每8人排成一排，
∴共排成56÷8＝7（排），
∵相邻两排之间间隔1米，
∴初一（2）班的队伍长度为（7﹣1）×1＝6（米），
故答案为：6；
（2）设班级队伍行进的速度为x米/秒，
根据题意得：150x＝1.5x（30+40）+2.1×40+6，
解得：x＝2，
答：班级队伍行进的速度为2米/秒；
（3）设小萍与游班长相遇后两人追上队首的刘老师用了y小时，
小萍与游班长的速度为4米/秒，他们与队首的刘老师的距离为1.5×2×70+2×70+6＝356（米），
根据题意得：4y﹣2y＝356，
解得：y＝178，
70+178＝248（秒）；
答：班长从D处返回找小萍开始到他们两人追上队首的刘老师一共用了248秒．
【考点4】一元一次方程的应用——顺水逆水问题
【例4】（2019秋•武清区期末）某学生乘船由甲地顺流而下到乙地，然后又逆流而上到丙地，共用3小时，若水流速度为2km/小时，船在静水中的速度为8km/小时．已知甲、丙两地间的距离为2km，求甲、乙两地间的距离是多少千米？（注甲、乙、丙三地在同一条直线上）
【分析】本题需分类讨论：（1）丙在甲地和乙地之间，（2）丙不在甲地和乙地之间，设甲乙两地距离为x，即可解题．
【解析】（1）丙在甲地和乙地之间，设甲乙两地距离为x，
则x2+8+x-28-2=3，
解得：x＝12.5．
（2）丙不在甲地和乙地之间，设甲乙两地距离为x，
则x2+8+x+28-2=3，
解得：x＝10．
答：甲乙两地间的距离为12.5km或10km．
【变式4.1】（2019秋•海陵区期末）一艘轮船从甲码头到乙码头顺流行驶，用了2h，从乙码头返回甲码头逆流而行，用了2.5h．已知水流速度是4km/h，求船在静水中的速度，以及甲、乙码头之间的距离．
【分析】设船在静水中的速度为x千米/小时，根据顺流速度＝静水速度+水流速度逆流速度＝静水速度﹣水流速度，列出方程，求出方程的解即可求得静水中的速度，再根据路程＝顺流的时间×顺流的速度，列出算式，进行计算即可．
【解析】设静水速度是x，则顺水速度是x+4，逆水速度是x﹣4
根据题意得：2（x+4）＝2.5（x﹣4）
解得：x＝36，
2（x+4）＝80
答：静水速度是每小时36千米，距离是80千米．
【变式4.2】（2019秋•太仓市期末）在一条直的河流中有甲、乙两条船，现同时由A地顺流而下．乙船到B地时接到通知需立即返回到C地执行任务，甲船继续顺流航行．已知甲、乙两船在静水中的速度都为每小时7.5km，水流速度为每小时2.5km，A、C两地间的距离为10km．如果乙船由A地经B地到达C共用了4h，问乙船从B地到达C地时，甲船离B地多远？
【分析】设乙船由B地返航到C地用了xh，则甲船离开B地的距离为（7.5+2.5）xkm，分当C地在A、B两地之间和C地在B、A的延长线上两种情况得到两个不同的答案．
【解析】设乙船由B地返航到C地用了xh，则甲船离开B地的距离为（7.5+2.5）xkm，
（1）当C地在A、B两地之间时，由题意得（7.5+2.5）×（4﹣x）﹣（7.5﹣2.5）x＝10
解得：x＝2
∴（7.5+2.5）x＝10×2＝20（km）
（2）当C地在B、A的延长线上时，
由题意得：（7.5﹣2.5）x﹣（4﹣x）（7.5+2.5）＝10
解得：x=313，
∴（7.5+2.5）x=1003km．
答：乙船由B地到C地时，甲船驶离B地20km或1003km．
【变式4.3】（2010秋•常熟市期末）一小船由A港到B港顺流需行6小时，由B港到A港逆流需行8小时，如果小船在静水中航行的速度为14km/h．问A、B两港之间的距离是多少km及小船在顺流时的速度比逆流时的速度快多少？
【分析】设A，B两港之间的距离是xkm，因为顺水速度＝静水速度+水流速度，逆水速度＝静水速度﹣水流速度，以水流速度做为等量关系可列出方程求解；顺水速度=路程顺水时间，逆水速度=路程逆水时间，可得解．
【解析】设A，B两港之间的距离是xkm．
x6-14＝14-x8，
x＝96
966-968=4km/h．
答：A、B两港之间的距离是96km及小船在顺流时的速度比逆流时的速度快4km/h．
【考点5】一元一次方程的应用——工程问题
【例5】一件工作，甲独做要3小时完成，乙独做要5小时完成，两人合作完成这件工作的45，需要　32　小时完成．
【分析】此题是典型的工程问题，注意：工作量＝工作时间×工作效率，甲的效率为13，乙的工作效率为15，设两人合作完成这件工作的45，需要x小时完成，列方程即可求得．
【解析】设两人合作完成这件工作的45，需要x小时完成，
由题意得：x（13+15）=45
解得x=32，
故需32小时完成．

【变式5.1】（2018春•静安区期末）四川地震灾区唐家山堰塞湖泄流槽应急疏通工程，原计划每天开挖土石方量1万立方米，经过武警抢险部队的连续昼夜奋战，平均每天比原计划多开挖1.3万立方米，于2008年5月31日晚，提前4天完成泄流槽的开挖，并超出原计划开挖总量3.8万立方米．问原计划几天完成开挖任务？实际开挖土石方总量为多少万立方米？
【分析】仔细观察题意有如下等量关系：每天实际开挖长度×开挖时间＝开挖总量，据此设出未知数列出方程求解即可．
【解析】设原计划x天完成开挖任务．
（1+1.3）（x﹣4）＝x+3.8
解方程，得x＝10（天）
实际开挖土石方总量为10×1+3.8＝13.8（万立方米）．
答：原计划10天完成开挖任务，实际开挖土石方总量为13.8万立方米．
【变式5.2】（2019秋•遵化市期末）甲、乙两人要各自在车间加工一批数量相同的零件，甲每小时可加工25个，乙每小时可加工20个．甲由于先去参加了一个会议，比乙少工作了1小时，结果两人同时完成任务，求每人加工的总零件数量．
【分析】根据题意可以得到相等关系：乙用时﹣1＝甲用时，据此列出方程求解即可．
【解析】设每人加工x个零件，
x20-x25=1
解得：x＝100
答：甲加工了100个，乙加工了100个．
【考点6】一元一次方程的应用——积分问题
【例6】（2018秋•下陆区期末）某次篮球联赛共有十支队伍参赛，部分积分表如下．根据表格提供的信息解答下列问题：
队名
比赛场次
胜场
负场
积分
A
18
14
4
32
B
18
11
7
29
C
18
9
9
27
（1）列一元一次方程求出胜一场、负一场各积多少分？
（2）某队的胜场总积分能等于它的负场总积分吗？若能，试求胜场数和负场数；若不能，说出理由．
（3）试就某队的胜场数求出该队的负场总积分是它的胜场总积分的正整数倍的情况？
【分析】（1）设胜一场积x分，则负一场积29-11x7分，依照A队的胜负场次及得分情况可列出一元一次方程，求解即可；
（2）设胜场数是a，负场数是（18﹣a），结合（1）中结论，根据胜场总积分能等于它的负场总积分，列一元一次方程求解即可；
（3）设胜场数是a，负场数是（18﹣a），列方程18﹣a＝2ka，解出a，根据数的整除特性及奇偶性可得答案．
【解析】（1）设胜一场积x分，则负一场积29-11x7分，
依题意得：14x+4×29-11x7=32
解得：x＝2
此时29-11x7=1
∴胜一场积2分，负一场积1分．
（2）答：能．理由如下：
设胜场数是a，负场数是（18﹣a），依题意得：
2a＝18﹣a
解得：a＝6
18﹣a＝18﹣6＝12
答：胜6场，负12场．
（3）设胜场数是a，负场数是（18﹣a），
依题意得：18﹣a＝2ka
解得：a=182k+1
显然，k是正整数，2k+1是奇数
符合题意的有：2k+1＝9，k＝4，a＝2；2k+1＝3，k＝1，a＝6．
答：胜2场时，负场总积分是它的胜场总积分的4倍；胜6场时，负场总积分是它的胜场总积分的1倍．
【变式6.1】（2019秋•武夷山市校级期末模拟）一张试卷上有25道选择题：对一道题得4分，错一道得﹣1分，不做得﹣1分，某同学做完全部25题得70分，那么他做对题数为　19　．
【分析】设某同学做对题数为x道，那么他做错题数为（25﹣x）道题，他的得分应该是4x﹣（25﹣x）×1，据此可列出方程．
【解析】某同学做对题数为x道，那么他做错题数为（25﹣x）道题，依题意有
4x﹣（25﹣x）×1＝70，
解得x＝19．
答：他做对题数为19．
【变式6.2】（2018秋•江岸区校级月考）某电视台组织知识竞赛，共设20道选择题，各题分值相同，每题必答．右表记录了4个参赛者的得分情况根据表解答下列问题：
参赛者
答对题数
答错题数
得分
A
20
0
100
B
19
1
93
C
15
5
65
D
14
6
58
（1）参赛者E得79分，求他答对了几道题？
（2）参赛者F说他答对的题所得的分数是答错题所扣分数的4倍，你认为可能吗？请你利用所学的一元一次方程知识来说明你的理由．
【分析】（1）设参赛者E答对了x道题，答错了（20﹣x）道题，根据答对的得分+答错的得分＝79分建立方程求出其解即可；
（2）假设参赛者F答对了y道题，答错了（20﹣y）道题，根据答对的得分＝答错题所扣分数×4建立方程求出其解即可．
【解析】根据表格得出答对一题得5分，再算出错一题扣2分，
（1）设参赛者答对了x道题，答错了（20﹣x）道题，由题意，得，
5x﹣2（20﹣x）＝79，
解得：x＝17．
答：他答对了17道题；
（2）假设参赛者F答对的题所得的分数是答错题所扣分数的4倍可能，
设答对了y道题，答错了（20﹣y）道题，由题意，得，
5y＝2（20﹣y）×4，
解得：y=16013，
∵y为整数，
∴参赛者F说他答对的题所得的分数是答错题所扣分数的4倍是不可能的．
【考点7】一元一次方程的应用——数字问题
【例7】（2019秋•道里区校级月考）一个两位数，把它的个位数字与十位数字交换位置得到新两位数，原两位数的个位数字比原两位数的十位数字大2，且新两位数与原两位数的和为154，求原两位数是多少？
【分析】根据两位数的确定方法列出一元一次方程即可求得结果．
【解析】方法一：
设个位数字为x，则十位数字为x﹣2，两位数为10（x﹣2）+x．
根据题意，得
10x+（x﹣2）+10（x﹣2）+x＝154
解得x＝8，x﹣2＝6．
∴10（x﹣2）+x＝68．
∴原两位数是68．
方法二：
设个位数字为x，十位数字为y，两位数为10y+x．
根据题意，得
x-y=210x+y+10y+x=154
解得x=8y=6
∴10y+x＝68．
∴原两位数是68．
答：原两位数是68．
【变式7.1】（2020秋•大渡口区月考）一个两位数，十位数字是个位数字的两倍，将这个两位数的十位数字与个位数字对调后得到的两位数比原来的两位数小27，求这个两位数．
【分析】设这个两位数的个位数字为x，则十位数字为2x，原两位数为（10×2x+x），十位数字与个位数字对调后的数为（10x+2x），根据原数比十位数字与个位数字对调后得到的两位数大27，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出x的值，再将其代入（10×2x+x）中即可求出结论．
【解析】设这个两位数的个位数字为x，则十位数字为2x，原两位数为（10×2x+x），十位数字与个位数字对调后的数为（10x+2x），
依题意，得：（10×2x+x）﹣（10x+2x）＝27，
解得：x＝3，
∴2x＝6，
∴10×2x+x＝63．
答：这个两位数为63．
【变式7.2】有一个四位数，个位数字与百位数字的和是12，十位数字与千位数字的和是9，如果个位数字与百位数字互换，千位数字与十位数字互换，新数就比原数增加2376，求原数．
【分析】由于十位数字与千位数字的和是9，新数就比原数增加2376，可得原数千位数字是3，十位数字是6，设原数个位数字是x，则百位数字是（12﹣x），再根据等量关系：新数比原数增加2376，列出方程求解即可．
【解析】设原数个位数字是x，则百位数字是（12﹣x），依题意有
100x+（12﹣x）﹣100（12﹣x）﹣x＝2376﹣（9﹣6）×1000，
解得x＝3，
12﹣x＝12﹣3＝9，
3×1000+100×9+6×10+3＝3963．
答：原数是3963．
【变式7.3】（2018秋•江岸区校级月考）利用一元一次方程解应用题：一个两位数的十位数字和个位数字之和是7．如果这个两位数加上45，恰好成为个位数字与十位数字对调之后组成的新两位数．
（1）设这个两位数的十位数字为x，用含x式子表示这个两位数，并化简．
（2）求对调后新的两位数．
【分析】（1）设这个两位数的十位数字为x，用含x式子表示这个两位数即可求解；
（2）根据题意列出方程，解方程求出x的值，进一步求得这个两位数．
【解析】（1）用含x式子表示这个两位数为10x+（7﹣x）＝9x+7；
（2）依题意有
9x+7+45＝10（7﹣x）+x，
解得x＝1，
10（7﹣x）+x＝10×6+1＝61．
故对调后新的两位数为61．
【考点8】一元一次方程的应用——年龄问题
【例8】（2019秋•仁怀市期末）甲、乙两年龄不等，已知当甲是乙现在的年龄时，乙6岁；当乙与甲现在的年龄相同时，甲21岁，今年甲的年龄有　16　岁．
【分析】设甲现在的年龄是x岁，根据已知甲是乙现在的年龄时，乙6岁．乙是甲现在的年龄时，甲21岁，可列方程求解．
【解析】设甲现在的年龄是x岁，则乙现在的年龄为（2x﹣21）岁，
根据题意得：x+6＝2（2x﹣21），
解得x＝16．
答：今年甲的年龄有16岁．
故答案为：16．
【变式8.1】甲是乙现在的年龄时，乙10岁；乙是甲现在的年龄时，甲25岁、那么甲、乙现在的年龄分别为多少岁？请用方程思想解决问题．
【分析】设甲现在的年龄是x岁，根据已知甲是乙现在的年龄时，乙10岁．乙是甲现在的年龄时，甲25岁，可列方程求解．
【解析】甲现在的年龄是x岁，则乙现在的年龄为（2x﹣25）岁，
根据题意得：x+10＝2（2x﹣25）
解得x＝20
2x﹣25＝15岁，
答：甲现在20岁，乙现在15岁．
【变式8.2】（2019秋•北京期末）今年，小楠和哥哥的年龄之和是21岁，小楠的年龄只有哥哥的一半，小楠和哥哥各多少岁？（用方程解）
【分析】首先根据题意，设哥哥的年龄为x岁，则小楠的年龄为12x岁，然后根据：哥哥的年龄+小楠的年龄＝21，列出方程，求出x的值是多少，再用哥哥的年龄减去14，求出小楠的年龄即可．
【解析】设哥哥的年龄为x岁，则小楠的年龄为12x岁，
则x+12x＝21，
解得x＝14．
21﹣14＝7（岁）
答：今年小楠7岁，哥哥14岁．
【变式8.3】（2018秋•泰宁县期末）儿子12岁那年，父亲的年龄是37岁．
（1）经过　13　年后父亲的年龄是儿子年龄的2倍．
（2）能否算出几年后父亲年龄是儿子年龄的6倍？如果能，请算出结果；如果不能请说明理由．
【分析】（1）设经过x年后父亲的年龄是儿子年龄的2倍，根据题意列出方程，解方程得到答案；
（2）设经过y年后父亲的年龄是儿子年龄的6倍，列方程求出y，判断即可．
【解析】（1）设经过x年后父亲的年龄是儿子年龄的2倍，
由题意得，37+x＝2（12+x）
解得，x＝13，
答：经过13年后父亲的年龄是儿子年龄的2倍，
故答案为：13；
（2）设经过y年后父亲的年龄是儿子年龄的6倍，
由题意得，37+y＝6（12+y）
解得，y＝﹣7，
y＝﹣7不合题意，
∴不能算出几年后父亲年龄是儿子年龄的6倍．
【考点9】一元一次方程的应用——日历问题
【例1】（2019秋•东阿县期末）小华在某月的日历上圈出相邻的四个数，算出这四个数字的和为36，那么这四个数在日历上位置的形式是（　　）
A．×××× B．×××× C．× ×× × D．××××
【分析】可设第一个数为x，根据四个数字的和为36列出方程，即可求解．
【解析】设第一个数为x，根据已知：
A、由题意得x+x+7+x+6+x+8＝36，则x＝3.75不是整数，故本选项不合题意．
B、由题意得x+x+1+x+2+x+8＝36，则x＝6.25不是整数，故本选项不合题意．
C、由题意得x+x+1+x+7+x+8＝36，则x＝5是整数，故本选项符合题意．
D、由题意得x+x+1+x+6+x+6＝36，则x＝5.75，不是正整数，不合题意．
故选：C．
【变式9.1】（2019秋•莱州市校级期末模拟）放寒假了，妈妈要领着小明去桂林游玩一个星期（星期一出发），小明查了一下日历，寒假是在2月份，他们这一个星期的日期的数字和为56，那么小明出发的那天是　5　号．
【分析】设小明出发的那天是x号，则其余六天可分别表示为：（x+1），（x+2），（x+3），（x+4），（x+5），（x+6），根据这一个星期的数字和为56，可列一元一次方程，求解即可．
【解析】设小明出发的那天是x号，则其余六天可分别表示为：（x+1），（x+2），（x+3），（x+4），（x+5），（x+6），
根据题意得：
x+（x+1）+（x+2）+（x+3）+（x+4）+（x+5）+（x+6）＝56
7x+1+2+3+4+5+6＝56
7x＝35
x＝5
故答案为：5．
【变式9.2】（2019秋•沈河区校级期中）生活与数学
（1）莹莹在日历上圈出三个数，呈大写的“一”字，这三个数的和是中间数的　3　倍，莹莹又在日历上圈出5个数，呈“十”字框形，它们的和是50，则中间的数是　10　：
（2）小丽同学也在某月的日历上圈出如图所示“七”字形，发现这八个数的和是125，那么这八个数中最大数为　26　：
（3）在第（2）题中这八个数之和　不能　为101（填“能”或“不能”）．

【分析】（1）根据日历上的数据规律即可得出答案；
（2）先根据日历上的数据规律把所要求的数用代数式表示，再用一元一次方程求解即可；
（3）根据（2）的规律解得即可．
【解析】（1）莹莹在日历上圈出三个数，呈大写的“一”字，这三个数的和是中间数的3倍，莹莹又在日历上圈出5个数，呈“十”字框形，它们的和是50，则中间的数是10；
故答案为：3；10

（2）设最小的数为x，则其余数分别为：x+6，x+7，x+8，x+14，x+21，x+22，x+23，根据题意得
x+（x+6）+（x+7）+（x+8）+（x+14）+（x+21）+（x+22）+（x+23）＝125，
解得x＝3，
∴这八个数中最大数为3+23＝26．
故答案为：26；

（3）x+（x+6）+（x+7）+（x+8）+（x+14）+（x+21）+（x+22）+（x+23）＝101，
解得x＝0，
但是日历上最小的数是1，所以在第（2）题中这八个数之和不能为101．
故答案为：不能
【变式9.3】（2019秋•南岸区期末）在2020年元月的日历表中，某一天对应的号数的上、下、左、右四个数的和为m．
（1）如果某一天是a号，请用含a的代数式把m表示出来；
（2）m的值可能是96吗？如果可能，求出这一天上、下、左、右四天，如果不可能，请说明理由；
（3）m的值可能是28吗？如果可能，求出这一天上、下、左、右四天，如果不可能，请说明理由．
星期日
星期一
星期二
星期三
星期四
星期五
星期六



1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31

【分析】（1）若某一天是a号，则这一天上、下，左、右四天分别为a﹣7，a+7，a﹣1，a+1，即可求解；
（2）由题意列出方程，能求出具体的四天，则m的值能为96．
（3）由题意列出方程，不能求出具体的四天，则m的值不能为28．
【解析】（1）若某一天是a号，则这一天上、下，左、右四天分别为a﹣7，a+7，a﹣1，a+1，
∴m＝a﹣7+a+7+a﹣1+a+1＝4a，
（2）根据题意可得：a﹣7+a+7+a﹣1+a+1＝96，
∴a＝24，
∴这一天上、下，左、右四天分别为17，31，23，25；
∴m的值可能为96；
（3）根据题意可得：a﹣7+a+7+a﹣1+a+1＝28
∴a＝7，
∵a﹣7＝0，
∴a＝7不合题意，
∴m的值不可能为28．
【考点10】一元一次方程的应用——二元关联问题
【例10】（2019秋•大东区期末）列一元一次方程解应用题：某校为了开展“阳光体育运动，计划购买篮球、足球共60个，已知每个篮球的价格为70元，每个足球的价格为80元．若购买这两类球的总金额为4600元，求篮球、足球各买了多少个？
【分析】设购买篮球x个，购买足球（60﹣x）个，根据总价＝单价×购买数量结合购买篮球、足球共60个购买这两类球的总金额为4600元，列出方程，求解即可．
【解析】设购买篮球x个，则购买足球（60﹣x）个，
依题意得：70x+80（60﹣x）＝4600，
解得：x＝20，
∴60﹣x＝40，
答：购买篮球20个，购买足球40个；
【变式10.1】（2018秋•西湖区校级月考）江南皮革厂现有32名制作服装的工人，每天都制作某种品牌的皮衣和皮裤，每人每天可制作这种皮衣3件或皮裤5条．
（1）若该厂要求每天制作的皮衣和皮裤数量相等，则应各安排多少人制作皮衣和皮裤？
（2）已知制作一件皮衣可获利30元，制作一条皮裤可获利10元，若皮革厂老板要求每天获利2000元，则需安排多少名工人制作皮衣？
【分析】（1）设安排x人制作皮衣，由关键语句“现有32名制作服装的工人”和“每天制作的皮衣和皮裤子数量相等”，可得到等量关系，解方程即可；
（2）再另外设制作皮衣的人数为a，列方程求出未知数．
【解析】（1）设安排x人制作皮衣，则有（32﹣x）人制作皮裤．
根据题意得：3x＝5（32﹣x），
x＝20，
32﹣20＝12，
答：制作皮衣和皮裤的人为20人，12人．
（2）设安排a人制作皮衣，则有（32﹣a）人制作裤子，可获得要求的利润2000元．
根据题意得：30×3a+10（32﹣a）×5＝2000，
a＝10，
答：需要安排10名工人制作皮衣．
【变式10.2】（2018•海南模拟）某校计划组织师生共300人参加一次大型公益活动，如果利用6辆大客车和5辆小客车恰好全部坐满．已知每辆大客车的乘客座位数比小客车多17个，求每辆大客车和每辆小客车的乘客座位数．
【分析】设每辆小客车有x个座位，每辆大客车有（x+17）个座位．由题意列出一元一次方程，解方程即可．
【解析】设每辆小客车有x个座位，每辆大客车有（x+17）个座位．
由题意得：6（x+17）+5x＝300，
解得：x＝18，
∴x+17＝35，
答：每辆大客车有35个座位，每辆小客车有18个座位．
【变式10.3】（2019秋•青龙县期末）某校七年级学生在农场进行社会实践劳动时，采摘了黄瓜和茄子共80千克，了解到采摘的这部分黄瓜和茄子的种植成本共184元，还了解到如下信息：
黄瓜的种植成本是2元/千克，售价是3元/千克；
茄子的种植成本是2.4元/千克，售价是4元/千克．
（1）求采摘的黄瓜和茄子各多少千克？
（2）这些采摘的黄瓜和茄子全部卖出可赚多少元？
【分析】（1）设采摘黄瓜x千克，则采摘茄子（80﹣x）千克，由题意列出一元一次方程，解方程即可得出结果；
（2）由题意得出（3﹣2）×20+（4﹣2.4）×60＝116元．
【解析】（1）设采摘黄瓜x千克，则采摘茄子（80﹣x）千克，
由题意得：2x+2.4（80﹣x）＝184，
解得：x＝20，
∴80﹣x＝60．
答：采摘黄瓜20千克，茄子60千克．
（2）由题意得：（3﹣2）×20+（4﹣2.4）×60＝116（元）．
答：这些采摘的黄瓜和茄子全部卖出可赚116元．
【考点11】一元一次方程的应用——盈亏问题
【例11】（2018秋•右玉县期末）一商店在某时间以每件480元的价格卖出两件衣服，其中一件盈利20%，另一件亏损20%，卖这两件衣服是盈利还是亏损，或是不盈不亏？
【分析】根据题意可以求出两件衣服的进价，然后与售价比较大小即可解答本题．
【解析】设盈利20%的那件衣服的进价为x元
x+20%x＝480
解得 x＝400
设亏损20%的那件衣服的进价为y元
y﹣20%y＝480
解得y＝600
（480+480）﹣（400+600）＝﹣40（元）
答：卖这两件衣服是亏损了，亏损了40元．
【变式11.1】（2019秋•孝感期末）已知某商店有甲、乙两个进价不同的计算器都卖了240元，其中一个盈利20%，另一个亏损20%，在这次买卖中，该家商店的盈亏情况是　亏损20元　．
【分析】设盈利的进价是x元，亏损的是y元，根据某商店有两个进价不同的计算器都卖了120元，其中一个盈利20%，另一个亏损20%，可列方程求解．
【解析】设盈利的进价是x元．
240﹣x＝20%x，解得x＝200．
设亏本的进价是y元．
y﹣240＝20%y，解得y＝300．
240+240﹣200﹣300＝﹣20元．
故亏损了20元．
故答案是：亏损20元．
【变式11.2】（2018秋•厦门期末）2019年某商场于元旦之际开展优惠促销活动回馈新老客户，由顾客抽奖决定折扣．某顾客购买甲、乙两种商品，分别抽到六折（按原价的60%支付）和八折（按原价的80%支付），共支付408元，其中甲种商品原价400元．
（1）请问乙种商品原价是多少元？
（2）在本次买卖中，甲种商品最终亏损m%，乙种商品最终盈利2m%，但商场不盈不亏，请问甲种商品的成本是多少元？亏损多少元？
【分析】（1）设乙商品原价为x元，根据购买甲、乙两种商品，分别抽到六折（按原价的60%支付）和八折（按原价的80%支付），共支付408元，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论；
（2）设甲商品的成本是y元，则乙商品的成本是（408﹣y）元，根据甲、乙商品的盈亏情况，即可得到m%y＝2m%（408﹣y），通过解方程求得答案．
【解析】（1）设乙商品原价为x元，
由题意，得 400×0.6+0.8x＝408
解得：x＝210
答：原价为210元；

（2）设甲商品的成本是y元，则乙商品的成本是（408﹣y）元．
由题意，得 m%y＝2m%（408﹣y）
解得：y＝272
272﹣240＝32（元）
答：甲商品的成本是272元，亏损32元．
【变式11.3】（2019秋•番禺区期末）（1）在番禺某中学举行的”弘扬祠堂文化，凝聚乡情”征文活动中，七年级和八年级共收到征文118篇，且七年级收到的征文篇数比八年级收到的征文篇数的一半还少2篇，求七年级收到的征文有多少篇？
（2）一商店在某时间以每件480元的价格卖出两件衣服，其中一件盈利20%，另一件亏损20%，卖这两件衣服是盈利还是亏损，或是不盈不亏？
【分析】（1）根据题意可以列出相应的方程，从而可以解答本题；
（2）根据题意可以求出两件衣服的进价，然后与售价比较大小即可解答本题．
【解析】（1）设八年级收到的征文有x篇，
（12x-2）+x＝118，
解得，x＝80，
∴12x-2＝38，
答：七年级收到的征文有38篇；
（2）设盈利那件衣服的进价为a元，亏损那件衣服的进价为b元，
a（1+20%）＝480，
解得，a＝400，
b（1﹣20%）＝480，
解得，b＝600，
∵400+600＞480×2，
∴卖这两件衣服亏损．
（2）一商店在某时间以每件480元的价格卖出两件衣服，其中一件盈利20%，另一件亏损20%，卖这两件衣服是盈利还是亏损，或是不盈不亏？
【考点12】一元一次方程的应用——销售问题
【例12】（2020秋•江都区期中）为迎接“双十一”购物节，东关街某玩具经销商将一件玩具按进价60%提高后标价，销售时按标价打折销售，结果相对于进价仍可获利20%，则这件玩具销售时打的折扣是（　　）
A．7.5折 B．8折 C．6.5折 D．6折
【分析】设这件玩具的进价为a元，标价为a（1+60%）元，再设打了x折，由打折销售仍获利20%，可得出方程，解出即可．
【解析】设这件玩具的进价为a元，打了x折，依题意有
a（1+60%）×x10-a＝20%a，
解得：x＝7.5．
答：这件玩具销售时打的折扣是7.5折．
故选：A．
【变式12.1】（2020秋•南岗区期中）某商场从厂家购进了A、B两种品牌足球共100个，已知购买A品牌足球比购买B品牌足球少花2800元，其中A品牌足球每个进价是50元，B品牌足球每个进价是80元．
（1）求购进A、B两种品牌足球各多少个？
（2）在销售过程中，A品牌足球每个售价是80元，很快全部售出；B品牌足球每个按进价加价25%销售，售出一部分后，出现滞销，商场决定打九折出售剩余的B品牌足球，两种品牌足球全部售出后共获利2200元，有多少个B品牌足球打九折出售？
【分析】（1）设购进A品牌足球x个，则购进B品牌足球（100﹣x）个，根据“购买A品牌足球比购买B品牌足球少花2800元”可列出方程求解即可．
（2）设有y个B品牌足球打九折出售，根据题意列出方程解决问题．
【解析】（1）设购进A品牌足球x个，则购进B品牌足球（100﹣x）个，
根据题意，得80（100﹣x）﹣50x＝2800，
解得x＝40．
100﹣x＝60．
答：购进A品牌足球40个，则购进B品牌足球60个；

（2）设有y个B品牌足球打九折出售，
根据题意，得（80﹣50）×40+80×25%（60﹣y）+[80（1+25%）×90%﹣80]y＝2200．
解得y＝20．
答：有20个B品牌足球打九折出售．
【变式12.2】（2020春•市中区校级月考）肖坝社区惠民水果店第一次用615元从水果批发市场购进甲、乙两种不同品种的苹果，其中甲种苹果的重量比乙种苹果重量的2倍多15千克，甲、乙两种苹果的进价和售价如下表：

甲
乙
进价（元/千克）
5
8
售价（元/千克）
10
15
（1）惠民水果店第一次购进的甲、乙两种苹果各多少千克？
（2）惠民水果店第二次以第一次的进价又购进甲、乙两种苹果，其中甲种苹果的重量不变，乙种苹果的重量是第一次的3倍；甲种苹果按原价销售，乙种苹果打折销售．第二次甲、乙两种苹果都售完后获得的总利润为735元，求第二次乙种苹果按原价打几折销售？
【分析】（1）设惠民水果店第一次购进乙种苹果x千克，则购进甲种苹果（2x+15）千克，根据总价＝单价×数量，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论；
（2）设第二次乙种苹果按原价打y折销售，根据总利润＝每千克的利润×销售数量（购进数量），即可得出关于y的一元一次方程，解之即可得出结论．
【解析】（1）设惠民水果店第一次购进乙种苹果x千克，则购进甲种苹果（2x+15）千克，
依题意，得：5（2x+15）+8x＝615，
解得：x＝30，
∴2x+15＝75．
答：惠民水果店第一次购进甲种苹果75千克，乙种苹果30千克．
（2）设第二次乙种苹果按原价打y折销售，
依题意，得：（10﹣5）×75+（15×y10-8）×30×3＝735，
解得：y＝8．
答：第二次乙种苹果按原价打8折销售．
【变式12.3】（2020•山西）2020年5月份，省城太原开展了“活力太原•乐购晋阳”消费暖心活动，本次活动中的家电消费券单笔交易满600元立减128元（每次只能使用一张）．某品牌电饭煲按进价提高50%后标价，若按标价的八折销售，某顾客购买该电饭煲时，使用一张家电消费券后，又付现金568元．求该电饭煲的进价．

【分析】设该电饭煲的进价为x元，则售价为80%×（1+50%）x元，根据某顾客购买该电饭煲时，使用一张家电消费券后，又付现金568元列出方程，求解即可．
【解析】设该电饭煲的进价为x元，则标价为（1+50%）x元，售价为80%×（1+50%）x元，
根据题意，得80%×（1+50%）x﹣128＝568，
解得x＝580．
答：该电饭煲的进价为580元．
【考点13】一元一次方程的应用——分段计费问题
【例13】（2019春•宜宾期中）某市电力公司对全市用户采用分段计费的方式计算电费，收费标准如下表所示：
月用电量
不超过180度的部分
超过180度但不超过280度的部分
超过280度的部分
收费标准
0.5元/度
0.6元/度
0.9元/度
若某用户7月份的电费是139.2元，则该用户7月份用电为多少度？
【分析】先判断出是否超过120度，然后列方程计算即可．
【解析】因为180×0.5＝90，（280﹣180）×0.6＝60，90+60＝150，而150＞139.2，
所以7月份用电是“超过180度但不超过280度”．
故设7月份用电x度，
由题意，得180×0.5+（x﹣180）×0.6＝139.2
解得x＝262
答：该用户7月份用电为262度．
【变式13.1】（2020•平顶山模拟）某景区门票价格为50元/人，为吸引游客，特规定：非节假日时，门票打6折销售；节假日时，按团队人数分段定价售票，10人（含10人）以下按原价售票，10人以上超过的部分游客打8折购票，其他人按原价购票．
（1）设某旅游团游客人数为x人，非节假日购票款为y1元，节假日购票款为y2元，则y1＝　30x　；当0＜x≤10时，y2＝　50x　，当x＞10时，y2＝　40x+100　．
（2）阳光旅行社于今年5月1日（节假日）组织A团，5月10日（非节假日）组织B团到该景区旅游，两次共付门票款1900元，已知A、B两个团游客共计50人，问A、B两个团各有游客多少人？
【分析】（1）根据题意得出解析式即可；
（2）设A团游客m人，列出方程解答即可．
【解析】（1）设某旅游团游客人数为x人，非节假日购票款为y1元，节假日购票款为y2元，
可得：y1＝30x；当0＜x≤10时，y2＝50x，当x＞10时，y2＝50×0.8×（x﹣10）+50×10＝40x+100；
故答案为：30x；50x；40x+100．
（2）设A团游客m人，则B团游客有（50﹣m）人，根据题意可得：
当0＜m≤10时，有50m+30（50﹣m）＝1900，
解得：m＝20，
∵20＞10，与假设不符，故舍去；
当m＞10时，有40m+100+30（50﹣m）＝1900，
解得：m＝30，
∴50﹣m＝20，
所以A、B两个团各有游客分别为30人，20人．
【变式13.2】（2018秋•兰陵县期末）某市为鼓励居民节约用水，采用分段计费的方法按月计算每户家庭的水费：月用水量不超过10立方米时，按2元/立方米计费；月用水量超过10立方米时，其中的10立方米仍按2元/立方米收费，超过的部分按3元/立方米计费．已知小明和小强两家某月共用水22立方米（其中小强家用水量超过10立方米），一共交费47元，问该月小明和小强两家各用水多少立方米？
【分析】设小明家用水量为x立方米．分类讨论：分当小明家用水量不超过10立方米时和当小明家用水量超过10立方米时两种情况，根据收费标准列出方程并解答．
【解析】①当小明家用水量不超过10立方米时，设小明家用水量为x立方米，则小强家用水量为（22﹣x）立方米，
由题意，得x×2+10×2+（22﹣x﹣10）×3＝47．
解得，x＝9．
故小明家用水量为9立方米，小强家用水量为（22﹣9）＝13（立方米）．
②当小明家用水量超过10立方米时，（22﹣2）×2+（22﹣20）×3＝40+6＝46≠47
故这种情况不存在．
综上，小明家用水量为9立方米，小强家用水量为13立方米．
【变式13.3】（2018秋•麻城市校级月考）“水是生命之源”，我国是一个严重缺水的国家．为倡导节约用水，某市自来水公司对水费实行分段收费，具体标准如下表：
每月用水量
第一档（不超过10立方米）
第二档（超过10立方米但不超过15立方米部分）
第三档（超过15立方米部分）
收费标准
（元/立方米）
2.5元
？元
比第二档高20%
已知某月市民甲交水费17.5元，市民乙用水13立方米，交费34元，市民丙交水费61.6元，求：
①市民甲该月用水多少立方米？
②第二档水费每立方米多少元？
③市民丙该月用水多少立方米？
【分析】①通过计算可知，甲用水量不超过10立方米，因此用总价除以单价，可得数量，
②根据分段函数的意义，分段计算水费，列方程解答即可，
③估计丙用水量超过15立方米，列方程解答即可．
【解析】①∵2.5×10＝25＞17.5，
∴甲用水量不超过10立方米，
∴17.5÷2.5＝7立方米，
答：甲市民该月用水7立方米．
②设超出的部分x元/立方米，由题意得，
2.5×10+（13﹣10）x＝34，
解得，x＝3，
答：第二档水费每立方米3元．
③∵2.5×10+3×（15﹣10）＝40＜61.6，
∴丙的用水量超过15立方米，
设丙用水y立方米，由题意得，
2.5×10+3×5+3×（1+20%）（y﹣15）＝61.6，
解得，y＝21，
答：市民丙该月用水21立方米．
【考点14】一元一次方程的应用——方案设计问题
【例14】（2018秋•青州市期末）佳乐家超市元旦期间搞促销活动，活动方案如下表：
一次性购物
优惠方案
不超过200元
不给予优惠
超过200元，而不超过1000元
优惠10%
超过1000元
其中1000元按8.5折优惠，超过部分按7折优惠
小颖在促销活动期间两次购物分别支付了134元和913元．
（1）小颖两次购买的物品如果不打折，应支付多少钱？
（2）在此活动中，他节省了多少钱？
【分析】（1）①134元小于200元的九折，故不优惠②计算1000元的85%，将其与913比较即可判断是否优惠；再设小颖第二次所购价值x元的货物，根据题意得一元一次方程，求解并将两次如果不打折的费用相加即可；
（2）用小颖第二次所购货物的价值减去913元即可．
【解析】（1）①∵134元＜200×90%＝180元
∴小颖不享受优惠；
②∵第二次付了913元＞1000×85%＝850元
∴小颖享受优惠，其中1000元按8.5折优惠，超过1000元部分按7折优惠．
设小颖第二次所购价值x元的货物，根据题意得
85%×1000+（x﹣1000）×70%＝913
解得x＝1090
1090+134＝1224（元）
答：小颖两次购买的物品如果不打折，应支付1224元钱；
（2）1090﹣913＝177（元）
答：在此次活动中，他节省了177元钱．
【变式14.1】（2019秋•铁锋区期末）我区有着丰富的莲藕资源．某企业已收购莲藕52.5吨．根据市场信息，将莲藕直接销售，每吨可获利100元；如果对莲藕进行粗加工，每天可加工8吨，每吨可获利1000元；如果进行精加工，每天可加0.5吨，每吨可获利5000元．由于受条件限制，在同一天中只能采用一种方式加工，并且必须在一个月（30天）内将这批莲藕全部销售．为此研究了二种方案：
方案一：将莲藕全部粗加工后销售，则可获利　52500　 元．
方案二：30天时间都进行精加工，未来得及加工的莲藕，在市场上直接销售，则可获利　78750　 元．
问：是否存在第三种方案，将部分莲藕精加工，其余莲藕粗加工，并且恰好在30天内完成？若存在，求销售后所获利润；若不存在，请说明理由．
【分析】方案一：根据总利润＝每吨利润×总质量即可求出结论；
方案二：根据总利润＝精加工部分的利润+未加工部分的利润即可求出结论；
分析方案一、二可知存在方案三，设粗加工x天，则精加工（30﹣x）天，根据总质量为52.5吨即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出x的值，再根据总利润＝精加工部分的利润+粗加工部分的利润即可算出结论．
【解析】方案一：由已知得：将莲藕全部粗加工后销售，则可获利为：
1000×52.5＝52500（元）．
故答案为：52500．
方案二：30天时间都进行精加工，未来得及加工的莲藕，在市场上直接销售，则可获利为：
0.5×30×5000+（52.5﹣0.5×30）×100＝78750（元）．
故答案分为：78750．
由已知分析存在第三种方案．
设粗加工x天，则精加工（30﹣x）天，
依题意得：8x+0.5×（30﹣x）＝52.5，
解得：x＝5，30﹣x＝25．
销售后所获利润为：1000×5×8+5000×25×0.5＝102500（元）．
答：存在第三种方案，将部分莲藕精加工，其余莲藕粗加工，并且恰好在30天内完成，销售后所获利润为102500元．
【变式14.2】（2019秋•斗门区期末）某班去商场为书法比赛买奖品，书包每个定价40元，文具盒每个定价8元，商场实行两种优惠方案：①买一个书包送一个文具盒：②按总价的9折付款若该班需购买书包10个，购买文具盒若干个（不少于10个）．
（1）当买文具盒40个时，分别计算两种方案应付的费用；
（2）当购买文具盒多少个时，两种方案所付的费用相同；
（3）如何根据购买文具盒的个数，选择哪种优惠方案的费用比较合算？
【分析】（1）根据商场实行两种优惠方案分别计算即可；
（2）设购买文具盒x个时，两种方案所付的费用相同，由题意得10×40+（x﹣10）×8＝（10×40+8x）×90%，解方程即可得出结果；
（3）由（1）、（2）可得当购买文具盒个数小于50个时，选择方案①比较合算；当购买文具盒个数等于50个时，两种方案所付的费用相同，两种方案都可以选择；当购买文具盒个数大于50个时，选择方案②比较合算．
【解析】（1）第①种方案应付的费用为：10×40+（40﹣10）×8＝640（元），
第②种方案应付的费用为：（10×40+40×8）×90%＝648（元）；
答：第①种方案应付的费用为640元，第②种方案应付的费用648元；
（2）设购买文具盒x个时，两种方案所付的费用相同，
由题意得：10×40+（x﹣10）×8＝（10×40+8x）×90%，
解得：x＝50；
答：当购买文具盒50个时，两种方案所付的费用相同；
（3）由（1）、（2）可得：当购买文具盒个数小于50个时，选择方案①比较合算；
当购买文具盒个数等于50个时，两种方案所付的费用相同，两种方案都可以选择；
当购买文具盒个数大于50个时，选择方案②比较合算．
【变式14.3】（2018秋•徽县期末）某市上网有两种收费方案，用户可任选其一，A为计时制0.8元/时；B为包月制60元/月，此外每种上网方式都附加通讯费0.2元/时．
（1）某用户每月上网50小时，选哪种方式比较合适？
（2）某用户每月有100元钱用于上网，选哪种方式比较合算？
（3）当每月上网多少小时时，A、B两种方案上网费用一样多？
【分析】（1）根据题意计算即可得结论；
（2）根据题意列方程求得结果进行比较即可得结论；
（3）根据题意列方程即可求得结论．
【解析】（1）A方案收费：50×（0.8+0.2）＝50，
B方案收费：60+50×0.2＝70．
答：每月上网50小时，选A方案合算．
（2）设每月100元上网x小时．
根据题意，得
A方案上网：0.8x+0.2x＝100，解得x＝100
B方案上网：60+0.2x＝100，解得x＝200
答：每月100元上网B方案比较合算．
（3）设每月上网x小时，A、B两种方案上网费用一样多．
根据题意，得0.8x+0.2x＝60+0.2x
解得x＝75．
答：每月上网75小时，A、B两种方案上网费用一样多．