3整式加减的应用及综合问题精讲精练-2020-2021学年七年级数学上学期期末复习【试卷】

专题1.3整式加减的应用及综合问题
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【知识梳理】
1.代数式求值
（1）代数式的值：用数值代替代数式里的字母，计算后所得的结果叫做代数式的值．
（2）代数式的求值：求代数式的值可以直接代入、计算．如果给出的代数式可以化简，要先化简再求值．
（3）题型简单总结以下三种：
① 已知条件不化简，所给代数式化简；
② 已知条件化简，所给代数式不化简；
③ 已知条件和所给代数式都要化简．
2.整式加减的应用主要考查的题型有：
（1）整体思想在整式加减中的应用
（2）代数式求值问题
（3）整式加减中的无关性问题
（4）整式的应用——面积问题
（5）整式的应用——销售问题
（6）整式的应用——方案比较问题
（7）探索规律——数字变化问题
（8）探索规律——图形变化问题
【典例剖析】
【考点1】整体思想在整式加减中的应用
【例1】（2019秋•天河区期末）解答下列问题：（提示：为简化问题，往往把一个式子看成一个数或一个整体解决问题）
（1）若代数式 2x+3y 的值为﹣5，求代数式 4x+6y+3 的值；
（2）已知 A＝3x2﹣5x+1，B＝﹣2x+3x2﹣5，求当x=13时，A﹣B 的值．
【变式1.1】（2019秋•川汇区期中）（1）在数轴上表示下列各数，并按从小到大的顺序用“＜”号把这些数连接起来．
（﹣2）2，﹣22，﹣（﹣2），（﹣1）3，﹣|﹣2|．
（2）把a﹣b看成一个整体，对式子3（a﹣b）2﹣7（a﹣b）+8（a﹣b）2+6（a﹣b）进行化简．
【变式1.2】（2019秋•扶沟县校级期末模拟）（1）先化简，再求值：3m2﹣|5m﹣（12m﹣3）+2m2|，其中，m＝﹣1．
（2）把（a+b）看成一个整体，对式子3（a+b）2﹣7（a+b）+8（a+b）2+6（a+b）进行化简．
【变式1.3】（2020秋•滨海新区期末）我们知道，4a﹣3a+a＝（4﹣3+1）a＝2a，类似地，我们把（x+y）看成一个整体，则4（x+y）﹣3（x+y）+（x+y）＝（4﹣3+1）（x+y）＝2（x+y）．“整体思想”是中学数学解题中的一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛．
请尝试：
（1）把（m﹣n）2看成一个整体，合并2（m﹣n）2﹣4（m﹣n）2+（m﹣n）2的结果是　 　；
（2）已知x2﹣4x＝2，求3x2﹣12x-152的值；
（3）已知a﹣2b＝3，c﹣d＝3，2b﹣c＝﹣10，求（2b﹣d）﹣（2b﹣c）+（a﹣c）的值．
【变式1.4】（2019秋•和平区期末）已知3a﹣7b＝﹣3，代数式9a﹣21b+3的值为　 　
【考点2】代数式求值问题
【例2】（2020秋•平山县期中）已知a2+ab＝﹣3，ab+b2＝7，试求a2+2ab+b2与a2﹣b2的值．
【变式2.1】（2020秋•张家港市期中）已知代数式：①a2+2ab+b2；②（a+b）2．
（1）当a＝3，b＝﹣2时，分别求代数式①和②的值；
（2）观察（1）中所求的两个代数式的值，探索代数式a2+2ab+b2和（a+b）2的数量关系，写出你探索发现的结果；
（3）利用你探索发现的结论，求10.232+20.46×9.77+9.772的值．
【变式2.2】（2020秋•西湖区校级期中）数学中，运用整体思想方法在求代数式的值中非常重要．
例如：已知，a2+2a＝1，则代数式2a2+4a+4＝2（a2+2a）+4＝2×1+4＝6．
请你根据以上材料解答以下问题：
（1）若x2﹣3x＝2，则1+3x﹣x2＝　 　；
（2）已知a﹣b＝5，b﹣c＝3，求代数式（a﹣c）2﹣3a+2+3c的值；
（3）当x＝﹣1，y＝2时，代数式ax2y﹣bxy2﹣1的值为8，则当x＝1，y＝﹣2时，求代数式ax2y﹣bxy2﹣1的值．
【变式2.3】（2020秋•万州区校级期中）已知x、y互为相反数，m、n互为倒数，且有|a|＝3．
试求下面代数式的值：a2﹣（x+y+mn）a+（x+y）2017﹣（﹣mn）2017．
【考点3】整式加减中的无关性问题
【例3】（2019秋•海门市期末）已知，A＝2x2+3xy﹣2x﹣1，B＝﹣x2﹣xy+1，且3A+6B的值与x的取值无关，求y的值．
【变式3.1】（2019秋•乐亭县期末）已知关于x的多项式（2mx2+5x2+3x+1）﹣（6x2+3x）化简后不含x2项，则m的值是（　　）
A．0 B．0.5 C．3 D．﹣2.5
【变式3.2】（2019秋•蚌埠期末）已知多项式（2x2﹣ax﹣y+1）﹣（bx2+x﹣7y﹣3）．
（1）若多项式的值与字母x的取值无关，求a、b的值；
（2）在（1）的条件下，求多项式2（a2﹣ab+b2）﹣（a2﹣3ab+2b2）的值．
【变式3.3】（2019秋•黄冈期末）已知A＝2a2+3ab﹣2a﹣1，B＝﹣a2+12ab+2．
（1）化简4A﹣（3A﹣2B）；
（2）若（1）中式子的值与a的取值无关，求b的值．
【变式3.4】（2019秋•黄山期末）已知A＝3a2b﹣2ab2+abc，小明同学错将“2A﹣B“看成”2A+B“，算得结果C＝4a2b﹣3ab2+4abc．
（1）计算B的表达式；
（2）求出2A﹣B的结果；
（3）小强同学说（2）中的结果的大小与c的取值无关，对吗？若a=18，b=15，求（2）中式子的值．
【考点4】整式的应用——面积问题
【例4】（2019秋•梁园区期末）王老师购买了一套经济适用房，他准备将地面铺上地砖，地面结构如图所示，根据图中的数据（单位：m），解答下列问题：
①写出用含x、y的整式表示的地面总面积；
②若x＝4m，y＝1.5m，铺1m2地砖的平均费用为80元，求铺地砖的总费用为多少元？

【变式4.1】（2019秋•郓城县期末）一个花坛的形状如图所示，它的两端是半径相等的半圆，求：
（1）花坛的周长l；
（2）花坛的面积S；
（3）若a＝8m，r＝5m，求此时花坛的周长及面积（π取3.14）．

【变式4.2】（2018秋•曲阳县期末）将7张相同的小长方形纸片（如图1所示）按图2所示的方式不重叠的放在长方形ABCD内，未被覆盖的部分恰好被分割为两个长方形，面积分别为S1，S2，已知小长方形纸片的长为a，宽为b，且a＞b

（1）当a＝9，b＝2，AD＝30时，请求：
①长方形ABCD的面积；
②S2﹣S1的值．
（2）当AD＝30时，请用含a，b的式子表示S2﹣S1的值．
【变式4.3】（2018秋•柯城区校级期末）有两条长为4a（a＞5）米的篱笆，利用其中一条围成正方形菜园，另一条围成宽为5米的长方形菜园．
（1）用关于a的代数式表示正方形菜园的面积与长方形菜园的面积之差；
（2）当a＝10时，求正方形菜园的面积与长方形菜园的面积之差．
【考点5】整式的应用——销售问题
【例5】（2020秋•岐山县期中）某商店销售一种商品，每件成本a元，每件先按成本增加b元定出售价，销售了20件．后来由于库存积压，在原售价的基础上降价20%出售，又销售了50件．请用含a，b的代数式表示．
（1）该商店销售70件这种商品的总销售额为多少元？
（2）销售70件这种商品，该商店共盈利多少元？
【变式5.1】（2018秋•兴城市期末）某人去南方批发茶叶，在某地A批发市场以每包m元的价格进了40包茶叶，又到B批发市场时发现同样的茶叶比A批发市场要便宜，每包的价格仅为n元，因此他又在B批发市场进了60包同样的茶叶．如果他销售时以每包m+n2元的价格全部卖出这批茶叶，那么在不考虑其它因素的情况下他的这次买卖（　　）
A．一定盈利 B．一定亏损
C．不盈不亏 D．盈亏不能确定
【变式5.2（2020秋•兰陵县期中）某商贩在批发市场以每包m元的价格购进甲种茶叶40包，以每包n（m＞n）元的价格购进乙种茶叶60包．
（1）该商贩购进甲、乙两种茶叶共需资金　 　元（用含m，n的式子表示）；
（2）若该商贩将两种茶叶都提价30%全部售出，共可获利多少元（用含m，n的式子表示）？
（3）若该商贩将两种茶叶都以每包m+n2元的价格全部出售，在这次买卖中该商贩是盈利还是亏损，请说明理由．
【变式5.3】（2020秋•中原区校级期中）新冠疫情期间，口罩的需求量剧增．为了满足市场需求，某厂家生产A、B两种型号的环保口罩，两种口罩的成本和售价如下表：

成本（元/包）
售价（元/包）
A
5
8
B
7
11
若每天共生产这两种型号口罩5000包，设每天生产A口罩x包．
（1）求出该工厂每天的总成本和每天获得的总利润分别是多少元？（用含x的代数式表示，利润＝售价﹣成本）
（2）求出当x＝3000时，每天的总成本以及每天获得的总利润．
【变式5.4】（2020秋•雨城区校级期中）A，B两地果园分别有橘子40吨和60吨，C，D两地分别需要橘子30吨和70吨．已知从A，B到C，D的运价如下表：

到C地
到D地
A果园
每吨15元
每吨12元
B果园
每吨10元
每吨9元
（1）若从A果园运到C地的橘子为x吨，则从A果园运到D地的橘子为　 　吨，从A果园将橘子运往D地的运输费用为　 　元；
（2）用含x的式子表示出总运输费；
（3）总运输费用可能是1170元吗？如果能，请算出x的值；如果不能，请说明理由．
【考点6】整式的应用——方案比较问题
【例6】（2019秋•利川市期末）某市的出租车调价前的收费标准是：起步价3元，2千米后每千米价为1.4元；调价后的收费标准是：起步价5元，3千米后每千米价为1.6元．
（1）试求乘坐出租车到8千米处的地方，调价前、后各应付费多少元？
（2）计算调价前、后乘坐出租车x（x＞3）千米的价差是多少元？
【变式6.1】（2018秋•龙岩期末）某校餐厅计划购买12张餐桌和若干把餐椅，先从甲、乙两个商场了解到：同一型号的餐桌报价每张均为200元，餐椅报价每把均为60元，甲商场规定：购买一张餐桌赠送一把餐椅；乙商场规定：所有餐桌、餐椅均按报价的八折销售．
（1）若学校计划购买12张餐桌和12把餐椅，则到甲商场购买所需的费用为　 　；到乙商场购买所需的费用为 　；
（2）若学校计划购买x（x＞12）把餐椅，则到甲商场购买所需的费用为　 　；到乙商场购买所需的费用为　 　；
（3）若学校计划购进20张餐桌和40把餐椅，请通过计算说明，到哪个商场购买合算？
【变式6.2】（2019秋•南召县期末）某电器商销售一种微波炉和电磁炉，微波炉每台定价800元，电磁炉每台定价200元．“十一”期间商场决定开展促销活动，活动期间向客户提供两种优惠方案．
方案一：买一台微波炉送一台电磁炉；
方案二：微波炉和电磁炉都按定价的90%付款．
现某客户要到该卖场购买微波炉10台，电磁炉x台（x＞10）．
（1）若该客户按方案一购买，需付款　 　元．（用含x的代数式表示）若该客户按方案二购买，需付款　 　元．（用含x的代数式表示）
（2）若x＝30，通过计算说明此时按哪种方案购买较为合算？
（3）当x＝30时，你能给出一种更为省钱的购买方案吗？试写出你的购买方法．并计算需付款多少元？
【变式6.3】（2018秋•灵石县期中）小丽暑假期间参加社会实践活动，从某批发市场以批发价每个m元的价格购进100个手机充电宝，然后每个加价n元到市场出售
（1）求售出100个手机充电宝的总售价为多少元（结果用含m，n的式子表示）？
（2）由于开学临近，小丽在成功售出60个充电宝后，决定将剩余充电宝按售价8折出售，并很快全部售完．（注：售价的8折即按原售价的80%出售）
①她的总销售额是多少元？
②相比不采取降价销售，她将比实际销售多盈利多少元（结果用含m、n的式子表示）？
③若n=12m，小丽实际销售完这批充电宝的利润率为多少？（利润率＝利润÷进价×100%）
【例7】（2020秋•莲湖区期中）观察下列等式：
11×2=1-12，12×3=12-13，13×4=13-14，
将以上三个等式两边分别相加得：
11×2+12×3+13×4=1-12+12-13+13-14=1-14=34．
（1）猜想并写出：12020×2021=　 　．
（2）直接写出计算结果：11×2+12×3+13×4+⋯+12019×2020=　 　；
（3）探究并计算：
①11×3+13×5+15×7+⋯+12017×2019+12019×2021．
②11×3-12×4+13×5-14×6+15×7+⋯+117×19-118×20．
【变式7.1】（2020秋•浦北县期中）已知一列数：a1，a2，a3，…，an，…，且第n个数an和第n+1个数an+1满足关系式an+1=11-an，则当a1＝3时，a1001的值是（　　）
A．3 B．-12 C．23 D．1001
【变式7.2】（2020秋•云梦县期中）观察“田”字中各数之间的关系：

则a+d﹣b﹣c的值为（　　）
A．54 B．﹣54 C．52 D．﹣52
【变式7.3】（2020秋•陆川县期中）如图所示，在这个数据运算程序中，若开始输入的x的值为4，输出的结果是2，返回进行第二次运算则输出的是1，…，则第2020次输出的结果是（　　）

A．﹣1 B．﹣2 C．﹣4 D．﹣6
【变式7.4】（2020秋•岳麓区校级月考）观察下列等式：12=1×2×36；12+22=2×3×56；12+22+32=3×4×76；12+22+32+42=4×5×96；…
（1）根据上述规律，求12+22+32+42+52的值；
（2）你能用一个含有n（n为正整数）的算式表示这个规律吗？请直接写出这个算式（不计算）．
（3）根据你发现的规律，计算下面算式的值：62+72+82+92+…+592+602．
【变式7.5】（2019秋•营山县期末）去年（2017年）微信圈上曾传“手机尾号暴露你的年龄”．①看一下你手机号的最后一位；②把这个数字乘以2；③然后加上5；④再乘以50；⑤把得到的数目加上1767；⑥用这个数目减去你出生的那一年，现在你看到一个三位数的数字，第一位数字是你手机号的最后一位，接下来就是你的实际年龄！是不是很准！（温馨提示：结果若是两位数，则百位上的数字视为0，本规则适用于年龄在100岁以内的人．）
现在，请同学们解决以下问题：
（1）假若你有一个手机尾号是7，你出生于2004年，请用上述方法验证你年龄是否准确．
（2）请你用所学的数学知识说明为什么“手机尾号暴露了你的年龄”；
（3）若是今年（2018年），这样的算法还准吗？若不准，请你修改规则，使这条“手机尾号暴露你的年龄”在2018年仍然很准！并说明你的理由．
【变式7.6】（2020秋•秦淮区期中）如图，某校的“图书码”共有7位数字，它是由6位数字代码和校验码构成，其结构分别代表“种类代码、出版社代码、书序代码和校验码”．
其中校验码是用来校验图书码中前6位数字代码的正确性，它的编制是按照特定的算法得来的．以上图为例，其算法为：
步骤1：计算前6位数字中偶数位数字的和a，即a＝9+1+3＝13；
步骤2：计算前6位数字中奇数位数字的和b，即b＝6+0+2＝8；
步骤3：计算3a与b的和c，即c＝3×13+8＝47；
步骤4：取大于或等于c且为10的整数倍的最小数d，即d＝50；
步骤5：计算d与c的差就是校验码X，即X＝50﹣47＝3．
请解答下列问题：
（1）《数学故事》的图书码为978753Y，则“步骤3”中的c的值为　 　，校验码Y的值为 　．
（2）如图①，某图书码中的一位数字被墨水污染了，设这位数字为m，你能用只含有m的代数式表示上述步骤中的d吗？从而求出m的值吗？写出你的思考过程．
（3）如图②，某图书码中被墨水污染的两个数字的差是4，这两个数字从左到右分别是多少？请直接写出结果．

【考点8】探索规律——图形变化问题
【例8】（2019秋•海州区校级期中）列代数式表示
（1）某商品售价为a元，打八折后又降价20元，则现价为　 　元．
（2）如图，搭一个三角形需要3根火柴，搭两个三角形需要5根火柴，搭三个三角形需要7根火柴，…，按这个规律，搭n个这样的三角形的需要火柴棒根数为　 　．
（3）用代数式表示：①a与b的差的平方：　 ；②a的立方与﹣1的和 　．
【变式8.1】为了庆祝六一儿童节，某一幼儿园举行用火柴摆“金鱼”比赛，如图所示：按照上面的规律，摆N个金鱼需要用火柴棒的根数为（　　）

A．2+6n B．6n+8 C．8n D．4n+4
【变式8.2】观察图填空：
已知正方形的边长为a，则：
（1）图①中阴影部分的面积是　 　；
（2）图②中阴影部分的面积是 　；
（3）图③中阴影部分的面积是 　．
由此你发现了什么，能用一句话来描述你发现的规律吗？
【变式8.3】（2019秋•浦东新区期中）现用a根长度相同的火柴棒，按如图①摆放时可摆成m个正方形，按如图②摆放时可摆成2n个正方形
（1）如图①，当m＝3时，a＝　 　，如图②，当n＝2时，a＝　 　；
（2）m与n之间有何数量关系，请你写出来并说明理由；
（3）现有61根火柴棒，现用若干根火柴棒摆成图①的形状后，剩下的火柴棒刚好可以摆成图②的形状．请你直接写出一种摆放方法，并通过计算验证你的结论．



【典例剖析】
【考点1】整体思想在整式加减中的应用
【例1】（2019秋•天河区期末）解答下列问题：（提示：为简化问题，往往把一个式子看成一个数或一个整体解决问题）
（1）若代数式 2x+3y 的值为﹣5，求代数式 4x+6y+3 的值；
（2）已知 A＝3x2﹣5x+1，B＝﹣2x+3x2﹣5，求当x=13时，A﹣B 的值．
【分析】（1）将已知条件转化为等式2x+3y＝﹣5，再将所求代数式变形，整体代入即可．
（2）把A与B代入A﹣B中，去括号合并得到最简结果，把x的值代入计算即可求出值．
【解析】（1）由已知得2x+3y＝﹣5，
∴4x+6y+3
＝2（2x+3y）+3
＝2×（﹣5）+3
＝﹣10+3
＝﹣7．
（2）∵A＝3x2﹣5x+1，B＝﹣2x+3x2﹣5，
∴A﹣B＝3x2﹣5x+1+2x﹣3x2+5＝﹣3x+6，
当x=13时，原式＝﹣1+6＝5．
【变式1.1】（2019秋•川汇区期中）（1）在数轴上表示下列各数，并按从小到大的顺序用“＜”号把这些数连接起来．
（﹣2）2，﹣22，﹣（﹣2），（﹣1）3，﹣|﹣2|．
（2）把a﹣b看成一个整体，对式子3（a﹣b）2﹣7（a﹣b）+8（a﹣b）2+6（a﹣b）进行化简．
【分析】（1）首先在数轴上表示出各数，然后再根据当数轴方向朝右时，右边的数总比左边的数大可得答案；
（2）把（a﹣b）看作一个整体，利用合并同类项法则进行计算即可得解．
【解析】（1）解：如图所示：

∴﹣22＜﹣|﹣2|＜（﹣1）3＜﹣（﹣2）＜（﹣2）2；
（2）3（a﹣b）2﹣7（a﹣b）+8（a﹣b）2+6（a﹣b），
＝（3+8）（a﹣b）2+（﹣7+6）（a+b），
＝11（a﹣b）2﹣（a﹣b）．
【变式1.2】（2019秋•扶沟县校级期末模拟）（1）先化简，再求值：3m2﹣|5m﹣（12m﹣3）+2m2|，其中，m＝﹣1．
（2）把（a+b）看成一个整体，对式子3（a+b）2﹣7（a+b）+8（a+b）2+6（a+b）进行化简．
【分析】（1）根据整式的加减运算过程即可求解；
（2）利用整体思想进行整式的加减即可得结果．
【解析】（1）原式＝3m2﹣（5m-12m+3+2m2）
＝3m2﹣5m+12m﹣3﹣2m2
＝m2-92m﹣3
当m＝﹣1时，
原式＝1+92-3
=52．
（2）原式＝11（a+b）2﹣（a+b）
【变式1.3】（2020秋•滨海新区期末）我们知道，4a﹣3a+a＝（4﹣3+1）a＝2a，类似地，我们把（x+y）看成一个整体，则4（x+y）﹣3（x+y）+（x+y）＝（4﹣3+1）（x+y）＝2（x+y）．“整体思想”是中学数学解题中的一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛．
请尝试：
（1）把（m﹣n）2看成一个整体，合并2（m﹣n）2﹣4（m﹣n）2+（m﹣n）2的结果是　﹣（m﹣n）2　；
（2）已知x2﹣4x＝2，求3x2﹣12x-152的值；
（3）已知a﹣2b＝3，c﹣d＝3，2b﹣c＝﹣10，求（2b﹣d）﹣（2b﹣c）+（a﹣c）的值．
【分析】（1）把（m﹣n）2看成一个整体，合并同类项即可；
（2）将3x2﹣12x-152的前两项提取公因数3，再将x2﹣4x＝2整体代入计算即可；
（3）对（2b﹣d）﹣（2b﹣c）+（a﹣c）去括号，再合并同类项，将a﹣2b＝3，c﹣d＝3，2b﹣c＝﹣10三个式子相加，即可得到a﹣d的值，则问题得解．
【解析】（1）2（m﹣n）2﹣4（m﹣n）2+（m﹣n）2＝﹣（m﹣n）2，
故答案为：﹣（m﹣n）2；
（2）3x2﹣12x-152
＝3（x2﹣4x）-152，
∵x2﹣4x＝2，
∴原式=3×2-152=-32；
（3）（2b﹣d）﹣（2b﹣c）+（a﹣c）
＝2b﹣d﹣2b+c+a﹣c
＝a﹣d，
∵a﹣2b＝3，c﹣d＝3，2b﹣c＝﹣10，
∴a﹣2b+c﹣d+2b﹣c＝3+3﹣10，
∴a﹣d＝﹣4，
∴（2b﹣d）﹣（2b﹣c）+（a﹣c）＝﹣4．
【变式1.4】（2019秋•和平区期末）已知3a﹣7b＝﹣3，代数式9a﹣21b+3的值为　﹣6　
【分析】利用整体代入的思想解决问题即可．
【解析】∵3a﹣7b＝﹣3，
∴9a﹣21b+3＝3（3a﹣7b）+3＝﹣9+3＝﹣6
故答案为﹣6．
【考点2】代数式求值问题
【例2】（2020秋•平山县期中）已知a2+ab＝﹣3，ab+b2＝7，试求a2+2ab+b2与a2﹣b2的值．
【分析】根据题意a2+2ab+b2与可化为（a2+ab）+（ab+b2），a2﹣b2的可化为（a2+ab）﹣（ab+b2），把a2+ab＝﹣3，ab+b2＝7，代入即可得出答案．
【解析】a2+2ab+b2＝（a2+ab）+（ab+b2）＝﹣3+7＝4，
a2﹣b2＝（a2+ab）﹣（ab+b2）＝﹣3﹣7＝﹣10．
【变式2.1】（2020秋•张家港市期中）已知代数式：①a2+2ab+b2；②（a+b）2．
（1）当a＝3，b＝﹣2时，分别求代数式①和②的值；
（2）观察（1）中所求的两个代数式的值，探索代数式a2+2ab+b2和（a+b）2的数量关系，写出你探索发现的结果；
（3）利用你探索发现的结论，求10.232+20.46×9.77+9.772的值．
【分析】（1）把a与b的值分别代入各式计算即可得到结果；
（2）观察上面代数式的值，得出两数相等；
（3）利用得出的规律将原式变形，计算即可得到结果．
【解析】（1）当a＝3，b＝﹣2时，a2+2ab+b2＝9﹣12+4＝1；（a+b）2＝（3﹣2）2＝1；
（2）由（1）得a2+2ab+b2＝（a+b）2；
（3）10.232+20.46×9.77+9.772
＝（10.23+9.77）2
＝202
＝400．
【变式2.2】（2020秋•西湖区校级期中）数学中，运用整体思想方法在求代数式的值中非常重要．
例如：已知，a2+2a＝1，则代数式2a2+4a+4＝2（a2+2a）+4＝2×1+4＝6．
请你根据以上材料解答以下问题：
（1）若x2﹣3x＝2，则1+3x﹣x2＝　﹣1　；
（2）已知a﹣b＝5，b﹣c＝3，求代数式（a﹣c）2﹣3a+2+3c的值；
（3）当x＝﹣1，y＝2时，代数式ax2y﹣bxy2﹣1的值为8，则当x＝1，y＝﹣2时，求代数式ax2y﹣bxy2﹣1的值．
【分析】（1）根据整体思想代入计算即可求解；
（2）根据已知条件先求出a﹣c的值，再整体代入到所求代数式中即可；
（3）根据已知可得2a+4b＝9，再整体代入到所求代数式中即可．
【解析】（1）因为x2﹣3x＝2，
所以1+3x﹣x2＝1﹣（x2﹣3x）
＝1﹣2＝﹣1
故答案为：﹣1．

（2）∵a﹣b＝5，b﹣c＝3，
∴a﹣b+b﹣c＝a﹣c＝5+3＝8，
∴（a﹣c）2﹣3a+2+3c＝（a﹣c）2﹣3（a﹣c）+2＝（a﹣c﹣2）•（a﹣c﹣1）＝（8﹣2）×（8﹣1）＝42；

（3）∵当x＝﹣1，y＝2时，代数式ax2y﹣bxy2﹣1的值为8，
即2a+4b﹣1＝8，
可得2a+4b＝9，
∴当x＝1，y＝﹣2时，代数式ax2y﹣bxy2﹣1＝﹣2a﹣4b﹣1＝﹣（2a+4b）﹣1＝﹣9﹣1＝﹣10．
【变式2.3】（2020秋•万州区校级期中）已知x、y互为相反数，m、n互为倒数，且有|a|＝3．
试求下面代数式的值：a2﹣（x+y+mn）a+（x+y）2017﹣（﹣mn）2017．
【分析】由相反数、倒数及绝对值的意义，先求出x+y、mn、a的值，再代入代数式计算即可．
【解析】∵x、y互为相反数，m、n互为倒数，且有|a|＝3．
∴x+y＝0，mn＝1，a＝3或﹣3．
当x+y＝0，mn＝1，a＝3时，
原式＝9﹣3+0﹣（﹣1）＝7；
当x+y＝0，mn＝1，a＝﹣3时，
原式＝9+3+0﹣（﹣1）＝11．
【考点3】整式加减中的无关性问题
【例3】（2019秋•海门市期末）已知，A＝2x2+3xy﹣2x﹣1，B＝﹣x2﹣xy+1，且3A+6B的值与x的取值无关，求y的值．
【分析】将A与B代入3A+6B中，去括号合并得到最简结果，根据结果与x取值无关，即可确定出y的值．
【解析】∵A＝2x2+3xy﹣2x﹣1，B＝﹣x2﹣xy+1，
∴3A+6B＝3（2x2+3xy﹣2x﹣1）+6（﹣x2﹣xy+1）＝6x2+9xy﹣6x﹣3﹣6x2﹣6xy+6＝3xy﹣6x+3＝（3y﹣6）x+3，
由结果与x取值无关，得到3y﹣6＝0，
解得：y＝2．
【变式3.1】（2019秋•乐亭县期末）已知关于x的多项式（2mx2+5x2+3x+1）﹣（6x2+3x）化简后不含x2项，则m的值是（　　）
A．0 B．0.5 C．3 D．﹣2.5
【分析】根据整式的运算法则即可求出答案．
【解析】原式＝2mx2+5x2+3x+1﹣6x2﹣3x
＝（2m﹣6）x2+5x2+1
＝（2m﹣1）x2+1
令2m﹣1＝0，
∴m=12，
故选：B．
【变式3.2】（2019秋•蚌埠期末）已知多项式（2x2﹣ax﹣y+1）﹣（bx2+x﹣7y﹣3）．
（1）若多项式的值与字母x的取值无关，求a、b的值；
（2）在（1）的条件下，求多项式2（a2﹣ab+b2）﹣（a2﹣3ab+2b2）的值．
【分析】（1）直接去括号进而合并同类项得出答案；
（2）首先合并同类选哪个，进而利用（1）中所求代入求出答案．
【解析】（1）∵（2x2﹣ax﹣y+1）﹣（bx2+x﹣7y﹣3）
＝（2﹣b）x2+（﹣a﹣1）x+（﹣1+7）y+1+3
∴2﹣b＝0，﹣a﹣1＝0，
解得：b＝2，a＝﹣1；

（2）2（a2﹣ab+b2）﹣（a2﹣3ab+2b2）
＝2a2﹣2ab+2b2﹣a2+3ab﹣2b2
＝a2+ab
当b＝2，a＝﹣1时，
原式＝1﹣2＝﹣1．
【变式3.3】（2019秋•黄冈期末）已知A＝2a2+3ab﹣2a﹣1，B＝﹣a2+12ab+2．
（1）化简4A﹣（3A﹣2B）；
（2）若（1）中式子的值与a的取值无关，求b的值．
【分析】（1）先化简4A﹣（3A﹣2B），再将a与b的值代入计算即可求出值；
（2）把（1）结果变形，根据结果与a的值无关求出b的值即可．
【解析】（1）∵A＝2a2+3ab﹣2a﹣1，B＝﹣a2+12ab+2，
∴原式＝4A﹣3A+2B＝A+2B＝2a2+3ab﹣2a﹣1+2（﹣a2+12ab+2）＝2a2+3ab﹣2a﹣1﹣2a2+24ab+4＝27ab﹣2a+3；
（2）原式＝（27b﹣2）a+3，
由结果与a的取值无关，得到27b﹣2＝0，解得b=227．
【变式3.4】（2017秋•黄山期末）已知A＝3a2b﹣2ab2+abc，小明同学错将“2A﹣B“看成”2A+B“，算得结果C＝4a2b﹣3ab2+4abc．
（1）计算B的表达式；
（2）求出2A﹣B的结果；
（3）小强同学说（2）中的结果的大小与c的取值无关，对吗？若a=18，b=15，求（2）中式子的值．
【分析】（1）根据C﹣2A列出关系式，去括号合并即可得到B；
（2）把A与B代入2A﹣B中，去括号合并即可得到结果；
（3）把a与b的值代入计算即可求出值．
【解析】（1）根据题意得：B＝C﹣2A＝4a2b﹣3ab2+4abc﹣2（3a2b﹣2ab2+abc）
＝4a2b﹣3ab2+4abc﹣6a2b+4ab2﹣2abc
＝﹣2a2b+ab2+2abc；
（2）根据题意得：2A﹣B＝2（3a2b﹣2ab2+abc）﹣（﹣2a2b+ab2+2abc）
＝6a2b﹣4ab2+2abc+2a2b﹣ab2﹣2abc
＝8a2b﹣5ab2；
（3）（2）中的结果与c的取值无关，
当a=18，b=15时，2A﹣B=140-140=0．
【考点4】整式的应用——面积问题
【例4】（2019秋•梁园区期末）王老师购买了一套经济适用房，他准备将地面铺上地砖，地面结构如图所示，根据图中的数据（单位：m），解答下列问题：
①写出用含x、y的整式表示的地面总面积；
②若x＝4m，y＝1.5m，铺1m2地砖的平均费用为80元，求铺地砖的总费用为多少元？

【分析】①根据图形可知，房子的总面积包括卧室、卫生间、厨房及客厅的面积，因为四部分为矩形，分别找出各矩形的长和宽，根据矩形的面积公式即可表示出y与x的关系；
②把x与y的值代入第一问中求得的总面积中，算出房子的总面积，然后根据地砖的单价即可求出铺地砖的总费用．
【解析】①设地面的总面积为S，由题意可知：
S＝3×（2+2）+2y+3×2+6x＝6x+2y+18；
②把x＝4，y＝1.5代入①求得的代数式得：S＝24+3+18＝45（m2），
所以铺地砖的总费用为45×80＝3600（元）．
答：用含x、y的整式表示的地面总面积为S＝6x+2y+18，铺地砖的总费用为3600元．
【变式4.1】（2019秋•郓城县期末）一个花坛的形状如图所示，它的两端是半径相等的半圆，求：
（1）花坛的周长l；
（2）花坛的面积S；
（3）若a＝8m，r＝5m，求此时花坛的周长及面积（π取3.14）．

【分析】（1）利用花坛的周长＝圆的周长+长方形的两条边求解．
（2）利用花坛的面积＝圆的面积+长方形的面积求解，
（3）把a＝8m，r＝5m，代入公式求解即可．
【解析】（1）花坛的周长l＝2a+2πr，
（2）花坛的面积S＝2ra+πr2，
（3）l＝2a+2πr＝16+10π＝47.4（米），
S＝2ra+πr2＝2×5×8+3.14×25＝158.5（平方米）．
【变式4.2】（2018秋•曲阳县期末）将7张相同的小长方形纸片（如图1所示）按图2所示的方式不重叠的放在长方形ABCD内，未被覆盖的部分恰好被分割为两个长方形，面积分别为S1，S2，已知小长方形纸片的长为a，宽为b，且a＞b

（1）当a＝9，b＝2，AD＝30时，请求：
①长方形ABCD的面积；
②S2﹣S1的值．
（2）当AD＝30时，请用含a，b的式子表示S2﹣S1的值．
【分析】（1）①根据长方形的面积公式，直接计算即可；
②求出S1和S2的面积，相减即可；
（2）根据长方形面积公式表示S1和S2的面积，相减即可求得结论；
【解析】（1）①长方形ABCD的面积为AD•AB＝AD（a+4b）＝30×（4×2+9）＝510；
②S2﹣ S1＝（30﹣3×2）×9﹣（30﹣9）×4×2＝48；

（2）当AD＝30时，
S2﹣S1＝a（30﹣3b）﹣4b（30﹣a）＝30a﹣3ab﹣120b+4ab＝ab+30a﹣120b．
【变式4.3】（2018秋•柯城区校级期末）有两条长为4a（a＞5）米的篱笆，利用其中一条围成正方形菜园，另一条围成宽为5米的长方形菜园．
（1）用关于a的代数式表示正方形菜园的面积与长方形菜园的面积之差；
（2）当a＝10时，求正方形菜园的面积与长方形菜园的面积之差．
【分析】（1）根据：正方形的面积＝边长×边长，长方形的面积＝长×宽，求出正方形菜园的面积与长方形菜园的面积之差是多少即可．
（2）把a＝10代入（1）中的算式，求出正方形菜园的面积与长方形菜园的面积之差是多少即可．
【解析】（1）（a）2﹣（10a﹣25）
＝a2﹣10a+25（平方米）
答：正方形菜园的面积与长方形菜园的面积之差是4a2﹣20a+25平方米．

（2）当a＝10时，
a2﹣10a+25
＝25（平方米）
答：当a＝10时，求正方形菜园的面积与长方形菜园的面积之差是25平方米．
【考点5】整式的应用——销售问题
【例5】（2020秋•岐山县期中）某商店销售一种商品，每件成本a元，每件先按成本增加b元定出售价，销售了20件．后来由于库存积压，在原售价的基础上降价20%出售，又销售了50件．请用含a，b的代数式表示．
（1）该商店销售70件这种商品的总销售额为多少元？
（2）销售70件这种商品，该商店共盈利多少元？
【分析】（1）根据题意表示售价，乘20件，得到打折前的销售额，再由售价乘（1﹣20%），再乘50件，表示出打折后的销售额，相加即可得到结果；
（2）用总售价减去总成本，即可表示出盈利的钱数．
【解答】解：（1）根据题意得：20（a+b）+50×（1﹣20%）×（a+b）＝20a+20b+40a+40b＝（60a+60b）元，
则该商店销售70件这种商品的总售价为（60a+60b）元；
（2）根据题意得：（60a+60b）﹣（20+50）a＝60a+60b﹣70a＝（60b﹣10a）（元）．
故销售70件这种商品共盈利（60b﹣10a）元．
【变式5.1】（2018秋•兴城市期末）某人去南方批发茶叶，在某地A批发市场以每包m元的价格进了40包茶叶，又到B批发市场时发现同样的茶叶比A批发市场要便宜，每包的价格仅为n元，因此他又在B批发市场进了60包同样的茶叶．如果他销售时以每包m+n2元的价格全部卖出这批茶叶，那么在不考虑其它因素的情况下他的这次买卖（　　）
A．一定盈利 B．一定亏损
C．不盈不亏 D．盈亏不能确定
【分析】根据题意列出商店在甲批发市场茶叶的利润，以及商店在乙批发市场茶叶的利润，将两利润相加表示出总利润，根据m大于n判断出其结果大于0，可得出这家商店盈利了．
【解析】根据题意列得：在甲批发市场茶叶的利润为40（m+n2-m）＝20（m+n）﹣40m＝20n﹣20m；
在乙批发市场茶叶的利润为60（m+n2-n）＝30（m+n）﹣60n＝30m﹣30n，
∴该商店的总利润为20n﹣20m+30m﹣30n＝10m﹣10n＝10（m﹣n），
∵m＞n，
∴m﹣n＞0，即10（m﹣n）＞0，
则在不考虑其它因素的情况下他的这次买卖一定盈利．
故选：A．
【变式5.2】（2020秋•兰陵县期中）某商贩在批发市场以每包m元的价格购进甲种茶叶40包，以每包n（m＞n）元的价格购进乙种茶叶60包．
（1）该商贩购进甲、乙两种茶叶共需资金　（40m+60n）　元（用含m，n的式子表示）；
（2）若该商贩将两种茶叶都提价30%全部售出，共可获利多少元（用含m，n的式子表示）？
（3）若该商贩将两种茶叶都以每包m+n2元的价格全部出售，在这次买卖中该商贩是盈利还是亏损，请说明理由．
【分析】（1）根据总价＝单价×数量，分别求出商贩购进甲、乙两种茶叶需要的资金，再相加即可求解；
（2）用商贩购进甲、乙两种茶叶共需资金乘30%可求共可获利多少元；
（3）先求出实际销售额，进一步得到实际利润，从而求解．
【解析】（1）该商贩购进甲、乙两种茶叶共需资金（40m+60n）元；
（2）（40m+60n）×30%＝（12m+18n）元．
故共可获利（12m+18n）元；
（3）实际销售额：（40+60）×m+n2=（50m+50n）元，
销售利润：（50m+50n）﹣（40m+60n）＝10（m﹣n）元，
∵m＞n，即10（m﹣n）＞0，
∴该商贩在这次买卖中盈利10（m﹣n）元．
【变式5.3】（2020秋•中原区校级期中）新冠疫情期间，口罩的需求量剧增．为了满足市场需求，某厂家生产A、B两种型号的环保口罩，两种口罩的成本和售价如下表：

成本（元/包）
售价（元/包）
A
5
8
B
7
11
若每天共生产这两种型号口罩5000包，设每天生产A口罩x包．
（1）求出该工厂每天的总成本和每天获得的总利润分别是多少元？（用含x的代数式表示，利润＝售价﹣成本）
（2）求出当x＝3000时，每天的总成本以及每天获得的总利润．
【分析】（1）根据题意列出算式，再化简即可；
（2）把x＝3000代入（1）中的代数式，再求出即可．
【解答】解：（1）设每天生产A口罩x包，该工厂每天的总成本为5x+7（5000﹣x）＝（35000﹣2x）元；
每天获得的总利润为（8﹣5）x+（11﹣7）（5000﹣x）＝（20000﹣x）元；
（2）当x＝3000时，每天的生产成本是35000﹣2×3000＝29000（元），
每天获得的利润是20000﹣3000＝17000（元）．
【变式5.4】（2020秋•雨城区校级期中）A，B两地果园分别有橘子40吨和60吨，C，D两地分别需要橘子30吨和70吨．已知从A，B到C，D的运价如下表：

到C地
到D地
A果园
每吨15元
每吨12元
B果园
每吨10元
每吨9元
（1）若从A果园运到C地的橘子为x吨，则从A果园运到D地的橘子为　（40﹣x）　吨，从A果园将橘子运往D地的运输费用为　（480﹣12x）　元；
（2）用含x的式子表示出总运输费；
（3）总运输费用可能是1170元吗？如果能，请算出x的值；如果不能，请说明理由．
【分析】（1）从A运到C、D两地的橘子共40吨，从A果园将橘子运往D地的运输费用：运费＝每吨运费×运送橘子吨数，
（2）分别表示出A，B两果园的运费，相加即得；
（3）假设总运费等于1170元，列方程求出x，若符合题意，则存在，否则，不存在．
【解答】解：（1）由题意得：从A果园运到D地的橘子为：40﹣x（吨），
从A果园将橘子运往D地的运输费用为：12（40﹣x）＝480﹣12x（元）．
故答案为：（40﹣x），（480﹣12x）
（2）从A果园运到C地的橘子运费为：15x元，
从A果园将橘子运往D地的运输费用：480﹣12x（元），
从B果园运到C地的橘子：30﹣x（吨），
从B果园运到C地的橘子运费为：10（30﹣x）＝300﹣10x（元），
从B果园运到D地的橘子：60﹣（30﹣x）＝30+x（吨），
从B果园运到D地的橘子运费为：9（30+x）＝270+9x（元），
∴总运费为：15x+（480﹣12x）+（300﹣10x）+（270+9x）＝2x+1050（元）．
（3）由2x+1050＝1170得：
x＝60，
∵60＞40，不合题意．
∴总运输费用不可能是1170．
【考点6】整式的应用——方案比较问题
【例6】（2019秋•利川市期末）某市的出租车调价前的收费标准是：起步价3元，2千米后每千米价为1.4元；调价后的收费标准是：起步价5元，3千米后每千米价为1.6元．
（1）试求乘坐出租车到8千米处的地方，调价前、后各应付费多少元？
（2）计算调价前、后乘坐出租车x（x＞3）千米的价差是多少元？
【分析】（1）根据题意可以求出乘坐出租车到8千米处的地方，调价前、后各应付的费用；
（2）根据题意可以得到调价前、后乘坐出租车x（x＞3）千米的价差是多少元．
【解析】（1）由题意可得，
调价前乘坐出租车到8千米处的地方应付的费用为：3+（8﹣2）×1.4＝3+8.4＝11.4元，
调价后乘坐出租车到8千米处的地方应付的费用为：5+（8﹣3）×1.6＝5+8＝13元；
（2）由题意可得，
当x＞3时，调价前、后乘坐出租车x（x＞3）千米的价差是：
[3+（x﹣2）×1.4]﹣[5+（x﹣3）×1.6]
＝[3+1.4x﹣2.8]﹣[5+1.6x﹣4.8]
＝0.2+1.4x﹣0.2﹣1.6x
＝﹣0.2x，
即调价前、后乘坐出租车x（x＞3）千米的价差是﹣0.2x元．
【变式6.1】（2018秋•龙岩期末）某校餐厅计划购买12张餐桌和若干把餐椅，先从甲、乙两个商场了解到：同一型号的餐桌报价每张均为200元，餐椅报价每把均为60元，甲商场规定：购买一张餐桌赠送一把餐椅；乙商场规定：所有餐桌、餐椅均按报价的八折销售．
（1）若学校计划购买12张餐桌和12把餐椅，则到甲商场购买所需的费用为　2400　；到乙商场购买所需的费用为　2496　；
（2）若学校计划购买x（x＞12）把餐椅，则到甲商场购买所需的费用为　（1680+60x）元　；到乙商场购买所需的费用为　（1920+48x）元　；
（3）若学校计划购进20张餐桌和40把餐椅，请通过计算说明，到哪个商场购买合算？
【分析】（1）根据题意表示出甲、乙两商场的费用即可
（2）根据题意表示出甲、乙两商场的费用即可；
（3）计算出甲、乙两个商场的费用，比较即可．
【解析】（1）200×12＝2400（元），
（200+60）×12×0.8＝2496（元）．
答：到甲商场购买所需的费用为2400元，到乙商场购买所需的费用为2496元．
（2）到甲商场购买所需的费用为：200×12+60（x﹣12）＝（1680+60x）元；
到乙商场购买所需的费用为：（200×12+60x）×0.8＝（1920+48x）元；
（3）到甲商场购买所需的费用为：200×20+60×（40﹣20）＝5200（元）；
到乙商场购买所需的费用为：（200×20+60×40）×0.8＝5120（元）；
5200元＞5120元．
答：到乙商场购买划算．
故答案为：2400，2496；（1680+60x）元，（1920+48x）元．
【变式6.2】（2019秋•南召县期末）某电器商销售一种微波炉和电磁炉，微波炉每台定价800元，电磁炉每台定价200元．“十一”期间商场决定开展促销活动，活动期间向客户提供两种优惠方案．
方案一：买一台微波炉送一台电磁炉；
方案二：微波炉和电磁炉都按定价的90%付款．
现某客户要到该卖场购买微波炉10台，电磁炉x台（x＞10）．
（1）若该客户按方案一购买，需付款　（200x+6000）　元．（用含x的代数式表示）若该客户按方案二购买，需付款　（180x+7200）　元．（用含x的代数式表示）
（2）若x＝30，通过计算说明此时按哪种方案购买较为合算？
（3）当x＝30时，你能给出一种更为省钱的购买方案吗？试写出你的购买方法．并计算需付款多少元？
【分析】（1）根据题目提供的两种不同的付款方式列出代数式即可；
（2）将x＝30代入求得的代数式中即可得到费用，然后比较即可得到选择哪种方案更合算；
（3）根据题意考可以得到先按方案一购买10台微波炉送10台电磁炉，再按方案二购买20台微波炉更合算．
【解析】（1）800×10+200（x﹣10）＝200x+6000（元），
（800×10+200x）×90%＝180x+7200（元）；
故答案为：（200x+6000）；（180x+7200）
（2）当x＝30时，方案一：200×30+6000＝12000（元），
方案二：180×30+7200＝12600（元），
所以，按方案一购买较合算．
（3）先按方案一购买10台微波炉送10台电磁炉，再按方案二购买20台电磁炉，
共10×800+200×20×90%＝11600（元）．
【变式6.3】（2018秋•灵石县期中）小丽暑假期间参加社会实践活动，从某批发市场以批发价每个m元的价格购进100个手机充电宝，然后每个加价n元到市场出售
（1）求售出100个手机充电宝的总售价为多少元（结果用含m，n的式子表示）？
（2）由于开学临近，小丽在成功售出60个充电宝后，决定将剩余充电宝按售价8折出售，并很快全部售完．（注：售价的8折即按原售价的80%出售）
①她的总销售额是多少元？
②相比不采取降价销售，她将比实际销售多盈利多少元（结果用含m、n的式子表示）？
③若n=12m，小丽实际销售完这批充电宝的利润率为多少？（利润率＝利润÷进价×100%）
【分析】（1）找出每个充电宝的售价，用总价＝单价×数量即可得出结论；
（2）①根据题意得到，
②根据实际总售价减去成本即可得出实际盈利，再利用不降价的利润减去实际利润即可得出结论；
③将m＝2n代入实际利润92n﹣8m中，再根据利润率＝利润÷进价×100%即可得出结论．
【解析】（1）∵每个充电宝的售价为：m+n元，
∴售出100个手机充电宝的总售价为：100（m+n）元．
（2）①实际总销售额为：60（m+n）+40×0.8（m+n）＝92（m+n）元，
②实际盈利为92（m+n）﹣100m＝（92n﹣8m）（元），
∵100n﹣（92n﹣8m）＝8（m+n），
∴相比不采取降价销售，她将比实际销售多盈利8（m+n）元．
③当n=12m，即m＝2n时，小丽实际销售完这批充电宝的利润为92n﹣8m＝38m（元），
利润率为38m100m×100%＝38%．
【考点7】探索规律——数字变化问题
【例7】（2020秋•莲湖区期中）观察下列等式：
11×2=1-12，12×3=12-13，13×4=13-14，
将以上三个等式两边分别相加得：
11×2+12×3+13×4=1-12+12-13+13-14=1-14=34．
（1）猜想并写出：12020×2021=　12020-12021　．
（2）直接写出计算结果：11×2+12×3+13×4+⋯+12019×2020=　20192020　；
（3）探究并计算：
①11×3+13×5+15×7+⋯+12017×2019+12019×2021．
②11×3-12×4+13×5-14×6+15×7+⋯+117×19-118×20．
【分析】（1）观察已知等式即可得结果；
（2）根据已知等式的计算过程进行计算即可得结果；
（3）①结合（1）（2）的计算过程进行计算即可；
②结合①进行有理数混合运算即可．
【解答】解：（1）12020×2021=12020-12021；
故答案为：12020-12021；
（2）11×2+12×3+13×4+⋯+12019×2020
＝1-12+12-13+13-14+⋯+12019-12020
＝1-12020
=20192020；
故答案为：20192020；
（3）①11×3+13×5+15×7+⋯+12017×2019+12019×2021
=12（1-13+13-15+15-17+⋯+12017-12019+12019-12021）
=12×（1-12021）
=10102021；
②11×3-12×4+13×5-14×6+15×7+⋯+117×19-118×20
=12×（1-13-12+14+13-15-14+16+15-17+⋯+117-119-118+120）
=12×（1-12-119+120）
=189760．
【变式7.1】（2020秋•浦北县期中）已知一列数：a1，a2，a3，…，an，…，且第n个数an和第n+1个数an+1满足关系式an+1=11-an，则当a1＝3时，a1001的值是（　　）
A．3 B．-12 C．23 D．1001
【分析】根据题意，可以写出这列数的前几个数字，从而可以发现数字的变化特点，从而可以写出a1001的值．
【解答】解：由题意可得，
a1＝3，
a2=11-3=-12，
a3=11-(-12)=23，
a4=11-23=3，
…，
∴这列数以3，-12，23依次循环出现，
∵1001÷3＝333…2，
∴a1001的值是-12，
故选：B．
【变式7.2】（2020秋•云梦县期中）观察“田”字中各数之间的关系：

则a+d﹣b﹣c的值为（　　）
A．54 B．﹣54 C．52 D．﹣52
【分析】根据题目中的数字，可以发现各个位置数字的变化特点，从而可以求得a、b、c、d的值，然后计算a+d﹣b﹣c的值即可．
【解答】解：由表格中的数据可得，
左上角的数字是一些连续的奇数，左下角的数字是2的n次方，这里的n和是第几个田子对应的数字一致，右下角的数字等于对应的左上角的数字和左下角的数字之和，右上角的数字等于右下角的数字减1，
故a＝11，b＝26＝64，c＝11+64＝75，d＝74，
∴a+d﹣b﹣c＝11+74﹣64﹣75＝﹣54，
故选：B．
【变式7.3】（2020秋•陆川县期中）如图所示，在这个数据运算程序中，若开始输入的x的值为4，输出的结果是2，返回进行第二次运算则输出的是1，…，则第2020次输出的结果是（　　）

A．﹣1 B．﹣2 C．﹣4 D．﹣6
【分析】根据题意和题目中的运算程序，可以计算出前几次输出的结果，然后即可发现输出结果的变化特点，从而可以求得第2020次输出的结果．
【解答】解：由题意可得，
第一次输出的结果为2，
第二次输出的结果为1，
第三次输出的结果为1﹣5＝﹣4，
第四次输出的结果为12×（﹣4）＝﹣2，
第五次输出的结果为12×（﹣2）＝﹣1，
第六次输出的结果为﹣1﹣5＝﹣6，
第七次输出的结果为：12×（﹣6）＝﹣3，
第八次输出的结果为：﹣3﹣5＝﹣8，
第九次输出的结果为：12×（﹣8）＝﹣4，
…，
∵（2020﹣2）÷6＝2018÷6＝336…2，
∴第2020次输出的结果是﹣2，
故选：B．
【变式7.4】（2020秋•岳麓区校级月考）观察下列等式：12=1×2×36；12+22=2×3×56；12+22+32=3×4×76；12+22+32+42=4×5×96；…
（1）根据上述规律，求12+22+32+42+52的值；
（2）你能用一个含有n（n为正整数）的算式表示这个规律吗？请直接写出这个算式（不计算）．
（3）根据你发现的规律，计算下面算式的值：62+72+82+92+…+592+602．
【分析】（1）根据题目中的等式，可以计算出12+22+32+42+52的值；
（2）根据题目中的等式，可以发现结果的分母都是6，分子的第一个数字和这是第几个等式对应的数字一样，第二数字比第一个数字大1，第三个数字是（2n+1），这里的n和第几个式子对应的数字相同，从而可以写出第n个等式；
（3）根据题目中式子，可以得到62+72+82+92+…+592+602＝12+22+32+…+602﹣（12+22+32+42+52），然后计算即可解答本题．
【解答】解：（1）12+22+32+42+52=5×6×116=55，
即12+22+32+42+52的值是55；
（2）∵12=1×2×36；12+22=2×3×56；12+22+32=3×4×76；12+22+32+42=4×5×96；…
∴第n个算式是12+22+32+…+n2=n(n+1)(2n+1)6；
（3）62+72+82+92+…+592+602
＝12+22+32+…+602﹣（12+22+32+42+52）
=60×61×1216-5×6×116
＝73810﹣55
＝73755．
【变式7.5】（2019秋•营山县期末）去年（2017年）微信圈上曾传“手机尾号暴露你的年龄”．①看一下你手机号的最后一位；②把这个数字乘以2；③然后加上5；④再乘以50；⑤把得到的数目加上1767；⑥用这个数目减去你出生的那一年，现在你看到一个三位数的数字，第一位数字是你手机号的最后一位，接下来就是你的实际年龄！是不是很准！（温馨提示：结果若是两位数，则百位上的数字视为0，本规则适用于年龄在100岁以内的人．）
现在，请同学们解决以下问题：
（1）假若你有一个手机尾号是7，你出生于2004年，请用上述方法验证你年龄是否准确．
（2）请你用所学的数学知识说明为什么“手机尾号暴露了你的年龄”；
（3）若是今年（2018年），这样的算法还准吗？若不准，请你修改规则，使这条“手机尾号暴露你的年龄”在2018年仍然很准！并说明你的理由．
【分析】（1）先根据题中所描述的6条规则，列出式子得到一个三位数，然后根据规则判断手机号的最后一位及年龄，再根据年份验证即可；
（2）根据题意列出代数式，从数学式子进行解释即可；
（3）根据（2）中的式子进行判断是否符合，然后根据年份为2018，修改规则即可．
【解析】（1）根据题意得：（7×2+5）×50+1767﹣2004＝713
第一位数字7是你手机号的最后一位，接下来13就是你的实际年龄，
2017﹣2004＝13，准确；
（2）设手机尾号为x，由题意得：
（2x+5）×50+1767＝100x+2017
去年是2017年，此数减去你出生的那一年后，正好是你的年龄，而百位上的第一个数字是手机尾号；
（3）设手机尾号为x，
（2x+5）×50+1767＝100x+2017
今年是2018年，用2017年这个数减去你出生的那一年后，不符合，
可以修改规则⑤为：“把得到的数目加上1768”
（2x+5）×50+1767＝100x+2018，这样在今年就仍然准了．
【变式7.6】（2020秋•秦淮区期中）如图，某校的“图书码”共有7位数字，它是由6位数字代码和校验码构成，其结构分别代表“种类代码、出版社代码、书序代码和校验码”．
其中校验码是用来校验图书码中前6位数字代码的正确性，它的编制是按照特定的算法得来的．以上图为例，其算法为：
步骤1：计算前6位数字中偶数位数字的和a，即a＝9+1+3＝13；
步骤2：计算前6位数字中奇数位数字的和b，即b＝6+0+2＝8；
步骤3：计算3a与b的和c，即c＝3×13+8＝47；
步骤4：取大于或等于c且为10的整数倍的最小数d，即d＝50；
步骤5：计算d与c的差就是校验码X，即X＝50﹣47＝3．
请解答下列问题：
（1）《数学故事》的图书码为978753Y，则“步骤3”中的c的值为　73　，校验码Y的值为　7　．
（2）如图①，某图书码中的一位数字被墨水污染了，设这位数字为m，你能用只含有m的代数式表示上述步骤中的d吗？从而求出m的值吗？写出你的思考过程．
（3）如图②，某图书码中被墨水污染的两个数字的差是4，这两个数字从左到右分别是多少？请直接写出结果．

【分析】（1）根据特定的算法代入计算计算即可求解；
（2）根据特定的算法依次求出a，b，c，d，再根据d为10的整数倍即可求解；
（3）根据校验码为8结合两个数字的差是4即可求解．
【解析】（1）∵《数学故事》的图书码为978753Y，
∴a＝7+7+3＝17，
b＝9+8+5＝22，
则“步骤3”中的c的值为3×17+22＝73，校验码Y的值为80﹣73＝7．
故答案为：73，7；
（2）依题意有
a＝m+1+2＝m+3，
b＝6+0+0＝6，
c＝3a+b＝3（m+3）+6＝3m+15，
d＝c+X＝3m+15+6＝3m+21，
∵d为10的整数倍，
∴3m的个位数字只能是9，
∴m的值为3；
（3）可设这两个数字从左到右分别是p，q，依题意有
a＝p+9+2＝p+11，
b＝6+1+q＝q+7，
c＝3（p+11）+（q+7）＝3p+q+40，
则3p+q的个位是2，
∵|p﹣q|＝4，
∴p＝4，q＝0或p＝9，q＝5或p＝2，q＝6．
故这两个数字从左到右分别是4，0或9，5或2，6．
【考点8】探索规律——图形变化问题
【例8】（2019秋•海州区校级期中）列代数式表示
（1）某商品售价为a元，打八折后又降价20元，则现价为　（16a﹣20）　元．
（2）如图，搭一个三角形需要3根火柴，搭两个三角形需要5根火柴，搭三个三角形需要7根火柴，…，按这个规律，搭n个这样的三角形的需要火柴棒根数为　2n+1　．

（3）用代数式表示：①a与b的差的平方：　（a﹣b）2　；②a的立方与﹣1的和　a3﹣1　．
【分析】（1）打八折的价格为0.8a，再减去20即可；
（2）搭第一个图形需要3根火柴棒，结合图形，发现：后边每多一个图形，则多用2根火柴；
（3）a与b的差的平方是先计算差再计算乘方；a的立方与﹣1的则是先计算乘方再计算和．
【解析】（1）依题意得 a×80%﹣20＝（16a﹣20）元．
故答案是：16a﹣20．
（2）结合图形，发现：搭第n个图形，需要3+2（n﹣1）＝2n+1（根）．
故答案为：2n+1．
（3）a与b的差的平方表示为（a﹣b）2；a的立方与﹣1的和表示为a3﹣1．
故答案为（a﹣b）2；a3﹣1．
【变式8.1】为了庆祝六一儿童节，某一幼儿园举行用火柴摆“金鱼”比赛，如图所示：按照上面的规律，摆N个金鱼需要用火柴棒的根数为（　　）

A．2+6n B．6n+8 C．8n D．4n+4
【分析】观察给出的3个例图，注意火柴棒根数的变化是图②的火柴棒比图①的多6根，图③的火柴棒比图②的多6根，而图①的火柴棒的根数为2+6．
【解析】第n条小鱼需要（2+6n）根，
故选：A．
【变式8.2】观察图填空：
已知正方形的边长为a，则：
（1）图①中阴影部分的面积是　4-π4a2　；
（2）图②中阴影部分的面积是　4-π4a2　；
（3）图③中阴影部分的面积是　4-π4a2　．
由此你发现了什么，能用一句话来描述你发现的规律吗？
【分析】（1）阴影部分的面积＝正方形的面积﹣圆的面积；
（2）阴影部分的面积＝正方形的面积﹣4个圆的面积；
（3）阴影部分的面积＝正方形的面积﹣9个圆的面积；
它们的面积都相等．
【解析】（1）S阴影＝a2﹣π（12a）2=4-π4a2；
故答案是：4-π4a2；
（2）S阴影＝a2﹣4（14π•14a2）=4-π4a2；
故答案是：4-π4a2；
（3）S阴影＝a2﹣9（14π•19a2）=4-π4a2；
故答案是：4-π4a2；
规律：所有的阴影部分的面积都相等．
【变式8.3】（2019秋•浦东新区期中）现用a根长度相同的火柴棒，按如图①摆放时可摆成m个正方形，按如图②摆放时可摆成2n个正方形
（1）如图①，当m＝3时，a＝　1　，如图②，当n＝2时，a＝　12　；
（2）m与n之间有何数量关系，请你写出来并说明理由；
（3）现有61根火柴棒，现用若干根火柴棒摆成图①的形状后，剩下的火柴棒刚好可以摆成图②的形状．请你直接写出一种摆放方法，并通过计算验证你的结论．

【分析】（1）根据每多一个正方形多用2根火柴棒写出摆放m个正方形所用的火柴棒的根数，然后把m＝3代入进行计算即可得解；
（2）根据a相等列出关于m、n的关系式；
（3）可以摆出图①说明a是比3的倍数多1的数，可以摆出图②说明2a是比5的倍数多2的数，所以，2a取5与6的倍数大2的数，并且现有61根火柴棒进而得出答案．
【解析】（1）由图可知，图①每多1个正方形，多用3根火柴棒，所以，m个小正方形共用3m+1根火柴棒，
图②每多2个正方形，多用5根火柴棒，所以，2n个小正方形共用5n+2根火柴棒，
当m＝3时，a＝3×3+1＝10，
图②可以摆放2×5＝12个小正方形；
故答案为：10，12；
（2）∵都用a根火柴棒，
∴3m+1＝5n+2，
整理得，3m＝5n+1；
（3）∵3m+1+5n+2＝61，
∴3m+5n＝58，
当m＝1，n＝11，是方程的根，
∴第一个图形摆放3×1+1＝4根火柴棒，
第二个图形摆放5×11+2＝57根火柴棒，
∵4+57＝61，
∴符合题意（答案不唯一）．