广西北海市2021届高三第一次模拟考试 数学（文） (含答案)
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数学(文科)试卷
考生注意：
1.本试卷分选择题和非选择题两部分。满分150分，考试时间120分钟。
2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚。
3.考生作答时，请将答案答在答题卡上。选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效。
4.本卷命题范围：高考范围。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知i为虚数单位，则复数的虚部是
A. B.i C. D.i
2.已知集合S＝{1，2}，T＝{x|ln(x－1)≤0}，则S∪T＝
A.{x|1≤x≤2} B.{x|1<x≤2} C.{1，2} D.{x|1<x<2}
3.若平面向量m＝(2，0)，m－n＝(1，－)，则m·n＝
A.3＋ B.2 C.1－ D.2
4.已知函数f(x)＝，则f(1)－f(－1)＝
A.－7 B.4 C.7 D.－4
5.蟋蟀鸣叫可以说是大自然优美、和谐的音乐，殊不知蟋蟀鸣叫的频率x(每分钟鸣叫的次数)与气温y(单位：℃)存在着较强的线性相关关系.某地观测人员根据下表的观测数据，建立了y关于x的线性回归方程＝0.25x＋k，
则当蟋蟀每分钟鸣叫56次时，该地当时的气温预报值为
A.33℃ B.34℃ C.35℃ D.35.5℃
6.函数f(x)＝的大致图象为
7.若数列{an}是等比数列，且a1a7a13＝8，则a3a11＝
A.1 B.2 C.4 D.8
8.2019年北京世园会的吉祥物“小萌芽”“小萌花”是一对代表着生命与希望、勤劳与美好、活泼可爱的园艺小兄妹。造型创意来自东方文化中百子图的“吉祥娃娃”，通过头饰、道具、服装创意的巧妙组合，被赋予了普及园艺知识、传播绿色理念的特殊使命。现从4张分别印有“小萌芽”“小萌花”“牡丹花”“菊花”的这4个图案的卡片(卡片的形状、大小、质地均相同)中随机选取2张，则“小萌芽”和“小萌花”卡片都在内的概率为
A. B. C. D.
9.秦九韶是我国南宋时期的数学家，他在《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法。如图所示的程序框图，给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例，若输入x的值为2，则输出v的值为
A.6 B.14 C.16 D.38
10.2020年3月9日，我国在西昌卫星发射中心用长征三号运载火箭，成功发射北斗系统第54颗导航卫星.第54颗导航卫星的运行轨道是以地心为一个焦点的椭圆。设地球半径为R，若其近地点、远地点离地面的距离大约分别是R，R，则第54颗导航卫星运行轨道(椭圆)的离心率是
A. B. C. D.
11.已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω>0，|φ|<)，当f(x1)f(x2)＝3时，|x1－x2|min＝π，f(0)＝，则下列结论正确的是
A.函数f(x)的最小正周期为2π
B.函数f(x)的图象的一个对称中心为(，0)
C.函数f(x)的图象的一条对称轴方程为x＝
D.函数f(x)的图象可以由函数y＝cosωx的图象向右平移个单位长度得到
12.已知F1，F2分别为双曲线C：的左、右焦点，过点F2的直线与双曲线C的右支交于A，B两点，设点H(xH，yH)，G(xG，yG)分别为△AF1F2，△BF1F2的内心，若|yH|＝3|yG|，则|HG|＝
A.2 B.3 C.3 D.4
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.曲线f(x)＝xlnx2的图象在x＝1处的切线方程为 。
14.设等比数列{an}的公比为2，前n项和为Sn，则 。
15.已知函数f(x)＝cosx(sinx＋cosx)－，若f(α)＝，则sin4α＝ 。
16.如图，在矩形ABCD中，AD＝2AB＝4，E是AD的中点，将△ABE，△CDE分别沿BE，CE折起，使得平面ABE⊥平面BCE，平面CDE⊥平面BCE，则所得几何体ABCDE的外接球的体积为 。
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。
(一)必考题：共60分。
17.(本小题满分12分)
某网校推出试听的收费标准为每课时100元，现推出学员优惠活动，具体收费标准如下(每次听课1课时)：
现随机抽取100位学员并统计它们的听课次数，得到数据如下：
假设该网校的成本为每课时50元。
(1)估计1位学员消费三次及以上的概率；
(2)求一位学员听课4课时，该网校所获得的平均利润。
18.(本小题满分12分)
已知在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且(a＋b)sinA＝csinC＋(2a－b)sinB。
(1)求角C的大小；
(2)若c＝，求△ABC面积的最大值。
19.(本小题满分12分)
如图，在三棱锥P－ABC中，平面PAB上平面ABC，△PAB为等边三角形，AC⊥BC且AC＝BC＝，O，M分别为棱AB，PA的中点。
(1)求证：平面MOC⊥平面PAB；
(2)求三棱锥P－ABC的体积。
20.(本小题满分12分)
已知抛物线C：x2＝2py(p>0)的准线为y＝－1，焦点为F。
(1)求抛物线C的方程；
(2)设过焦点F的直线l与抛物线C交于A，B两点，且抛物线在A，B两点处的切线分别交x轴于P，Q两点，求|AP|·|BQ|的最小值。
21.(本小题满分12分)
已知函数f(x)＝x(ex－1)。
(1)求函数f(x)的最值；
(2)若不等式f(x)>lnx－1＋t对于任意x∈(0，＋∞)恒成立，求实数t的取值范围。
(二)选考题：共10分。请考生在第22、23两题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。
22.(本小题满分10分)选修4－4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系xOy中，已知直线l过点(1，0)且倾斜角为60°，曲线C的参数方程为(α为参数)。
(1)以原点为极点，x轴非负半轴为极轴且取相同的单位长度建立极坐标系，求曲线C的极坐标方程；
(2)求直线l被曲线C所截得的线段的长度。
23.(本小题满分10分)选修4－5：不等式选讲
设函数f(x)＝|x－a|＋|x－4|。
(1)当a＝1时，求不等式f(x)<7的解集；
(2)若x0∈R，f(x0)<|a＋3|，求a的取值范围。
