山东省淄博市高青一中2020—2021学年第一学期高二期中模块考试数学试卷及答案

高青一中2020—2021学年第一学期高二期中模块考试

数学试卷

第I卷

一、单項选择题：本共8小题．在每小题出的四个选项中，只有一项是符合题自要求的．

1．在相同的条件下，先后抛掷一枚硬币两次，则该实验的样本空间中样本点的个数为

A．1    B．2    C．3    D．4

2．如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，下列向量的化简正确的是

A．      B．

C．      D．

3．已知直线与直线平行，则实数a的值为

A．-1    B．2    C．-1或2   D．-2或1

4．某超市10年庆典之际为回馈新老顾客，凡在超市购买总金额500元以上即可参加“超值购买”摸奖活动，活动形式是在一个装有5个大小相同小球（其中2个黄球，2个黑球，1个红球）的容器中，一次性地摸出2个小球，若含有红球，中一等奖，结算付款时可减200元，某顾客选购商品的总价格为642元，则该顾客结算时，付款金额为442元的概率为

A．    B．    C．    D．

5．已知椭圆的左右焦点分别为，若椭圆上一点P满足轴，且PF1与圆相切，则该椭圆的离心率为

A．    B．    C．    D．

6．在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，点E，F分别为棱B1C1，C1D1的中点，则点E到直线AF的距离为

A．    B．    C．    D．

7．已知点P（x，y）在上运动，则2x+y+1的最大值为

A．16    B．13    C．9    D．6

8已知圆若过x轴上的点存在圆M的割线PAB，使得|PA|=|AB|，则的取值范围是

A． B． C． D．

二、多项选择题：本题共4小题．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．

9．如图所示，ABC-A1B1C1是侧被长为3的斜三棱柱，E为B1C1的中点，△ABC是边长为2的正三角形，∠A1AB=∠A1AC=60°，则下列结论正确的是

A．A1E∥平面ABC      B．A1E⊥BC    

C．异面直线BC与A1C1所成的角为60°  D．

10．某公司制造两种电子设备：影片播放器和音乐播放器．在每天生产结束后，要对产品进行检测，故障的播放器会被移除进行修复．下表显示各播放器每天的平均产量以及平均故障率．

则下列叙述中，错误的是

A．每天生产的播放器有三分之一是影片播放器

B．在任何一批数量为100的影片播放器中恰好有4个会是故障的

C．如果从每天生产的音乐播放器中随机选取一个进行检测那么此产品需要进行修复的概率是0.03

D．随机抽取100台音乐播放器，至少有3台会出现故障

11．已知直线，圆，则

A．直线l与圆C恒相交

B．当直线l平分圆C时，m=3

C．当直线l载圆C的弦长最小时，m=-3

D．设直线l交圆C于A，B两点当时，这样的直线l有4条

12．已知椭圈的左右焦点分别为，过F1的直钱交椭圆C于A，B两点（A，B均异于点P）P为椭圆的右顶点，则

A．△ABF2的周长为10

B．若直线PA与直线PB的倾斜角分别为α，β，且，则

C．若AB⊥x轴，则

D．若AB的斜率存在，且AB的中点为M，则（O为坐标原点）

第Ⅱ卷

三、填空题：本题共4小题．

13．已知△ABC三个顶点的坐标分别为A（-2，1），B（3，4），C（1，-2），则三边的斜率，，的大小关系为________．

14．如图是由一个圆、一个三角形和一个长方形构成的组合体，现用红、蓝两种颜色为其涂色，每个图形只能涂一种颜色，则三个图形颜色不全相同的概率为________．

15在三棱柱ABC-A1B1C1中，，，，则该三棱柱的高为________．

16．已知点．椭圆上两点A，B，存在异于点P，A，B的点E，满足，则点B的横坐标的取值范围为________．

四、解答题：本题共6小题．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．口袋内装有100个大小相同的红球、白球和器球，其中红球有45个，从口袋中摸出一个球，摸出白的率是0.23．

（1）求口袋内黑球的个数；

（2）从口袋中任意摸出一个球，求摸到的球是白球或黑球的概率．

18．如图所示在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AD=1，AB=AA1=2；N，M分别是AB，C1D的中点．

（1）求证：NM∥平面A1ADD1；

（2）求证：NM⊥平面A1B1M．

19．求满足下列条件的圆的方程：

（1）圆心在直线y=x上，与x轴相交于（-1，0），（3，0）两点；

（2）经过（4，0），（3，-3），（1，1）三点．

20．已知直线l：x+2y=2．点A（-2，0），B（0，-1）．

（1）求线段AB的中垂线与直线l的交点坐标；

（2）若点P在直线l上运动求|PA|+|PB|的最小值．

21．已知椭圆（常数m>1），点P是C上的动点，M是右顶点定点A的坐标为（2，0）．

（1）若M与A量合，求椭圆C的焦点坐标；

（2）若m=3，求|PA|的最大值与最小值；

（3）若|PA|的最小值为|MA|，求m的取值范围．

22．如图，在四棱锥P-ABCD中，四边形ABCD为平行四边形AB⊥AC，PA⊥平面ABCD，且PA=AB=3，AC=2，点E是PD的中点．

（1）求证：PB∥平面AEC；

（2）在线段PB上（不含端点）是否存在一点M，使得二面角M-AC-E的余弦值为？若存在，确定M的位置；若不存在，请说明理由．

参考答案及解析

高二数学

一、单项选择题

1．D【解析】记正面朝上为正，反面朝上为反，则实验的结果有：（正，反），（反，正），（正，正），（反，反），共4个结果，所以实验的样本空间中样本点的个数为4．故选D．

2．B【解析】，，，，比较各选项可知，选项B正确．故选B．

3．C【解析】因为，所以，解得a=-1或a=2，经验证当a=-1或a=2时，两直线不重合．故选C．

4．B【解析】记5个小球中红球的编号为1，2个黄球的编号分别为2，3，2个黑球的编号分别为4，5，则从1，2，3，4，5中任意取两个号的所有结果为：12，13，14，15，23，24，25，34，35，45，共10种，其中含1的有：12，13，14，15，共4种，所以中一等奖的概率为，所以该顾客结算时，付款金额为442元的概率为．故选B．

5．A【解析】如图，设直线PF1与圆相切于点M，连接OM，

则，又因为椭圆的左、右焦点分别为轴，所以，因为，轴，所以，所以，即，化简得，则．故选A．

6．B【解析】如图所示，以D为坐标原点，分别以向量为x，y，z轴的正方向，建立空间直角坐标系，

则A（2，0，0），E（1，2，2），F（0，1，2），则，，所以，，．设点E到直线AF的距离为d．则．故选B．

7．A【解析】设2x+y+1=b，得y=-2x-1+b，当x=0时，y=-1+b，所以当-1+b最大时，b最大，即直线y=-2x-1+b在y轴上的截距最大．数形结合可知当直线y=-2x-1+b与圆相切时，截距可取得最大值或最小值．因为圆的圆心为（3，4），半径为，所以，解得b=16或b=6，所以2x+y+1的最大值为16．故选A．

8．B【解析】由圆，可得圆心M（2，3），半径r=2，由割线定理，可得，因为，所以，又，所以，即得，因为，所以，即得，所以的取值范围是．故选B．

二、多项选择题

9．ABC【解析】取BC的中点F，连接AF，EF，

则，AA1=BB1=EF，所以四边形AA1EF为平行四边形，所以A1E∥AF，又平面ABC，平面ABC，所以A1E∥平面ABC，即A正确；由题知，△A1B1C1为正三角形，因为E为B1C1的中点，所以A1E⊥B1C1，又因为B1C1∥BC，所以A1E⊥BC，即B正确；因为AC∥A1C1，所以异面直线BC与A1C1所成的角即为直线AC与BC所成的角，即∠ACB=60°，即C正确；又，所以，即D不正确．故选ABC．

10．ABD【解析】对于A，每天生产的播放器有是影片播放器，故A错误；对于B，在任何一批数量为100的影片播放器中，恰好有4个是故障的是错误的，4%是概率意义上的估计值，并不能保证每批都恰有4个，故B错误；对于C，因为音乐播放器的每天平均故障率为3%，所以从每天生产的音乐播放器中随机选取一个进行检测，此产品需要进行修复的概率是0.03，故C正确；对于D，概率是一个估计值，故D错误．故选ABD．

11．AB【解析】对于A，因为直线，可化为，所以所以直线l恒过定点P（1，1），又因为点P（1，1）在圆内，所以直线l与圆C恒相交，即A正确；对于B，因为直线l平分圆C时，故圆心C（2，3）在直线l上，所以，即B正确；对于C，当直线l截圆C的弦长最小时，设过圆心C且与直线l垂直的直线为，则，因为，所以，即C错误；对于D．因为圆C的圆心C（2，3），半径R=3，所以圆心C到直线l的距离为，因为，所以由，得，解得m=-7或m=1，当d2=8时，，无解，所以符合条件的直线有2条，即D错误．故选AB．

12．BD【解析】对于A，因为，所以a=2，，由椭圆的定义，可知△ABF2的周长为，故A错误；对于B，因为，所以，因为，，，所以，从而得到，故B正确；对于C，因为，所以，所以，故C错误；对于D，设，则所以，所以，即，即，故D正确．故选BD．

三、填空题

13．【解析】作出△ABC的图形，数形结合可知．

14．【解析】根据题意，用红、蓝两种颜色为3个图形涂色的所有情况为：（红、红、红），（蓝、蓝、蓝），（红、蓝、蓝），（蓝、红、蓝），（蓝、蓝、红），（蓝、红、红），（红、蓝、红），（红、红、蓝），共8种，其中颜色全部相同的有：（红、红、红），（蓝、蓝、蓝），共2种，则三个图形颜色不全相同的有8-2=6种情况，故所求概率为．

15．2【解析】由题意知，．该三棱柱的高即为点A1到平面ABC的距离d．设是平面ABC的法向量，则令x=1，解得y=4，，所以，所以．

16．【解析】由，可得，即，所以，设，则，所以即又点A，B均在椭圆上，则即解得，而，因为m>1，所以，从而得到．

四、解答题

17．解：（1）设口袋内黑球有x个，则白球有100-45-x个，

根据摸出白球的概率是，解得x=32，故口袋内黑球的个数为32．

（2）因为白球和黑球的数量为100-45=55个，所以从口袋中任意摸出一个球，摸到的球是白球或黑球的概率为．

18．证明：（1）以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，

在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AD=1，AB=AA1=2，N，M分别是AB，C1D的中点，

则M（0，1，1），N（1，1，0），所以，

因为平面A1ADD1的一个法向量，所以，

又因为平面A1ADD1，所以NM∥平面A1ADD1．

（2）由（1）知，A1（1，0，2），B1（1，2，2），所以，，

所以，，所以，，

又因为，所以NM⊥平面A1B1M．

19．解：（1）由已知可设圆心为（a，a），半径为r，则圆的方程为．

将点（-1，0），（3，0）代入上式，得解得

所以所求圆的方程为．

（2）设圆的方程为，将点（4，0），（3，-3），（1，1）代入上式，

得解得

所以所求圆的方程为．

20．解：（1）由点A（-2，0），B（0，-1）可知线段AB的中点，

又，所以线段AB的中垂线的斜率为2．

所以线段AB的中垂线方程为，化简为4x-2y+3=0．

联立方程所以交点坐标为．

（2）设点A（-2，0）关于直线l的对称点为，

则有解得

所以，

所以|PA|+|PB|的最小值为．

21．解：（1）依题意m=2，则椭圆C的方程为，

所以椭圆C的左、右焦点坐标分别为，．

（2）当m=3时，椭圆C的方程为，

设P（x，y），则，

所以当时，；当x=-3时，．

（3）设动点P（x，y），则，

因为当x=m时，|PA|取最小值，且，所以且m>1，

解得，所以m的取值范围是．

22．解：因为PA⊥平面ABCD，AB⊥AC，所以AB，AC，PA两两互相垂直，则以A为坐标原点，AC，AB，AP分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系：

则A（0，0，0），C（2，0，0），D（2，-3，0），P（0，0，3）， B（0，3，0），

（1）连接BD交AC于点F，连接EF，则F（1，0，0），所以，

又因为，所以，

又因为平面AEC，平面AEC，所以PB∥平面AEC．

（2）设M（x，y，z），且，则，

所以即．

设平面AEC的法向量，又，，

则令，则．

设平面MAC的法向量，又，，

则

令，则．

设平面MAC的法向量，又，，

则

令，则．

又，解得或．

因为二面角M-AC-E的余弦值为，所以二面角M-AC-E为锐二面角，

所以不满足题意，舍去，即．

所以在线段PB上存在点M，当时，使得二面角M-AC-E的余弦值为．