四川省成都市郫都区2021-2022学年高二上学期期中考试数学（理）含答案

郫都区2021－2022学年度上期期中考试

高二数学(理科)

说明：

1.本卷分第I卷(选择题)和第II卷(非选择题)两部分，满分150分，时间120分钟。

2.所有试题均在答题卡相应的区域内作答。

第I卷(选择题 共60分)

一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的)

1.如图，点A、直线m、平面α之间的数学符号语言关系为

A.mα，A∈m     B.mα，Am     C.m∈α，Am     D.m∈α，A∈m

2.已知直线l的方程为x＋3y－1＝0，则直线的倾斜角为

A.－30°     B.60°     C.150°     D.120°

3.已知l，m，n为三条不同的直线，α，β为两个不同的平面，则下列命题中正确的是

A.若l⊥m，l⊥n，且m，nα，则l⊥α      B.若m//β，n//β，且m，nα，则α//β

C.若m//n，nα，则m//α                  D.若l⊥β，lα，则α⊥β

4.在一个正方体中，过顶点A的三条棱的中点分别为E，F，G.该正方体截去三棱锥A－EFG后，所得多面体的三视图中，正视图如图所示，则相应的侧视图是

5.圆A：(x－3)2＋y2＝9与圆B：x2＋y2－8x－12y＋27＝0的位置关系是

A.内切      B.外切      C.相交     D.相离

6.已知两直线l1：3x－4y＋4＝0和l2：6x＋my－2＝0，若l1//l2，则l1与l2的距离为

A.1     B.     C.     D.2

7.双曲线的两个焦点为F1，F2，双曲线上一点P到F1的距离为11，则点P到F2的距离为

A.1     B.21     C.1或21     D.2或21

8.已知直线ax＋y－2＋a＝0在两坐标轴上的截距相等，则实数a＝

A.1     B.－1     C.2或1     D.－2或1

9.如图是一个无盖的正方体盒子展开图，A，B，C，D是展开图上的四点，则在正方体盒子中，AD与平面ABC所成角的正弦值为

A.     B.     C.     D.

10.唐代诗人李欣的《古从军行》开头两句说“百日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”诗中隐含着一个有趣的数学故事“将军饮马”的问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在区域为x2＋y2≤1，若将军从A(2，0)出发，河岸线所在直线方程x＋y－4＝0，并假定将军只要到达军营所在区域即回到军营，则“将军饮马”的最短总路程为

A.      B.2－1     C.2     D.－1

11.如图，正方体ABCD－A1B1C1D1中，点P在线段B1C上运动，则下列结论中不正确的是

A.直线AD1⊥直线A1P

B.直线BD1过△A1C1D的垂心

C.三棱锥P－A1C1D的体积为定值

D.异面直线AP与A1D所成角的取值范围为[，]

12.已知定点F1(－2，0)，F2(2，0)，N是圆O：x2＋y2＝1上任意一点，点F1关于点N的对称点为M，线段F1M的中垂线与直线F2M相交于点P，则点P的轨迹是

A.直线      B.圆      C.椭圆     D.双曲线

第II卷(非选择题 共90分)

注意事项：必须使用0.5毫米黑色墨迹签字笔在答题卡上题目所指定的答题区域内作答作图题可先用铅笔绘出，确认后再用0.5毫米黑色墨迹签字笔描清楚，答在试题卷上无效.

二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)

13.已知x，y满足，则z＝3x－y的最大值为            。

14.过点A(－5，－1)的直线l与圆(x＋3)2＋(y－5)2＝4相切，则直线l的方程为            。

15.在平面直角坐标系中，有A(0，1)，B(2，1)，C(3，4)，D(－1，a)四点，若它们在同一个圆周上，则a＝            。

16.如图所示四棱锥P－ABCD，底面ABCD为直角梯形，AB//CD，AD⊥AB，AB＝AD＝CD＝1，，O在四边形ABCD内，PO//平面MBD，则O点轨迹长度为            。

三、解答题(本大题共6小题共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)

17.(本小题满分10分)

已知数列{an}的前n项和Sn＝n2＋2n。

(1)求{an}通项公式；

(2)设bn＝，{bn}的前n项和为Tn，求Tn。

18.(本小题满分12分)

(1)求焦点在x轴上，焦距等于4，并且经过点(3，－2)的椭圆方程；

(2)已知点A(－5，0)，B(5，0)，直线AM，BM相交于点M，且它们斜率之积为，试求点M的轨迹方程。

19.(本小题满分12分)

设常数ω>0，已知函数f(x)＝sinωx·cosωx＋cos2ωx的最小正周期为π。

(1)求ω的值；

(2)在△ABC中，若f(C)＝1，求cosA＋sin(B＋)的取值范围。

20.(本小题满分12分)

在坐标平面xOy中，△ABC三个顶点坐标分别为A(1，1)，B(2，3)，C(4，2)

(1)求△ABC中BC边上中垂线的一般方程；

(2)求△ABC中角B平分线的一般方程。

21.(本小题满分12分)

如图，已知E、F分别是正方形ABCD边BC、CD的中点，EF与AC交于点O，PA、NC都垂直于平面ABCD，且PA＝AB＝4，NC＝2，M是线段PA上一动点。

(1)求证：EF⊥平面PAC；

(2)若PC//平面MEF，试求PM：MA的值；

(3)当M是PA中点时，求二面角M－EF－N的余弦值。

22.(本小题满分12分)

如图，已知⊙A：(x＋1)2＋y2＝16，点B(1，0)是一个定点，点P是圆上任意一点，线段BP的垂直平分线l1和半径AP相交于点Q。当点P在圆上运动时，点Q的轨迹为曲线C。

(1)求曲线C的方程；

(2)已知经过A的直线l2与曲线C相交于M，N两点，求△BMN面积的最大值，并求出此时直线l2的方程。

郫都区2021-2022学年度上期期中考试

高二数学（理科）参考答案

一、        选择题

BCDAC   ABCAB   DD

二、填空题

13、11    14、    15、2或4    16、

三、解答题

17.（1）当时，，……………………3分

当时，由，符合上式.……………………4分

所以的通项公式为…………………5分

（2），

，……………………7分

．……………………10分

18.（1）椭圆的焦点在x轴上，设它的标准方程为。

由已知条件可以得两个焦点坐标分别是，……………………1分

由椭圆的定义知

……………………3分

，又因为c=2，所以……………………5分

故所求椭圆的标准方程为……………………6分

（2）设点，

则，……………………10分

因为它们的斜率之积为，

所以，，

化简，得，……………………11分

故点M的轨迹方程为……………………12分

19.（1），

所以，故.………………5分

（2）由（1）可得，

因为，所以，

而，故.……………………8分

故

所以，

因为.………………12分

20.（1）由题意知BC中点坐标为，故边上中垂线斜率为，边上中垂线方程为化简为一般式得 ……………………6分

（2）由题易知，，……………………8分

为以B为直角的等腰直角三角形，角B平分线即为边AC上的中线方程，易求AC中点坐标 ，……………………10分

故角平分线 化为一般式为……………………11分

故角平分线的一般方程为………………12分

21.（1）连接，由、分别是、的中点，则，

由为正方形，则，故，

面，面，

，，则平面；………………4分

（2）若是的四等分点靠近的位置，连接，

由题设及（1），易知：是的四等分点靠近的位置，

在△中，即，又面，面，

平面，符合题设.

故面时，.……………………8分

（3）连接，由（1）结论易知：二面角、的平面角分别为，则二面角为，

由，，结合（2）知：，

，，则，，

由二面角的余弦值知：………………12分

或者直接在三角形MON中用余弦定理求解。

22. （1）依题意可知，，

则，………………2分

所以点的轨迹为以，为焦点，长轴长的椭圆.………………4分

因为，，则，所以曲线的方程为………………5分

（2）依题意设的方程为，代入得.………………7分

设，，则，………………8分

则的面积，………………9分

设，，则.………………10分

在单调递减，………………11分

所以时，即时，取最大值3，此时直线………………12分