山东省费县实验中学2021-2022学年高二上学期期中测试数学试题

山东费县实验中学高二上学期期中测试题--2021--2022学年人教A（2019）版

考试范围：选择性必修第一册前二章以及椭圆的方程；

考试时间：120分钟；

注意事项：

1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息

2．请将答案正确填写在答题卡上

第I卷（选择题）

一、单选题（每小题5分，共计40分）

1．直线的倾斜角和斜率分别是（    ）

A．， B．， C．，不存在 D．不存在，不存在

2．已知向量，，，若，，共面，则实数（    ）

A． B． C． D．

3．如图，在三棱锥中，点是棱的中点，若，，，则等于（    ）

A． B． C． D．

4．过点的圆与直线相切于点，则圆的方程为（    ）

A． B．

C． D．

5．如果方程表示焦点在轴上的椭圆，那么实数的取值范围是（    ）

A． B． C．， D．

6．已知在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=BC=1，AA1=2，E是侧棱BB1的中点，则直线AE与平面A1ED1所成角的大小为（    ）

A．60° B．90°

C．45° D．以上都不对

7．如图，椭圆的中心在坐标原点顶点分别是，焦点分别为，延长与交于点，若为钝角，则此椭圆的离心率的取值范围为（    ）

A． B．

C． D．

8．下图是常见的一种灭火器消防箱，抽象成数学模型如右图所示的六面体，其中四边形和为直角梯形，A、D、C、B为直角顶点，其他四个面均为矩形，，，，下列说法正确的是（    ）

A．该几何体是四棱台

B．该几何体是棱柱，面是底面

C．

D．面与面所成锐二面角为45°

二、多选题（每小题5分，共计20分）

9．已知点与直线，下列说法正确的是（    ）

A．过点且截距相等的直线与直线一定垂直

B．过点且与坐标轴围成三角形的面积为2的直线有4条

C．点关于直线的对称点坐标为

D．直线关于点对称直线方程为

10．已知椭圆内一点，直线与椭圆交于，两点，且为线段的中点，则下列结论正确的是（    ）

A．的焦点坐标为， B．的长轴长为

C．直线的方程为 D．

11．关于空间向量，以下说法正确的是（    ）

A．已知三棱锥，点为平面上的一点，且，则

B．已知向量，不共线，若，，则，，共面

C．已知向量，则存在向量可以与，构成空间的一个基底

D．已知空间两点，，若向量，且，则

12．如图，在平行六面体中，以顶点A为端点的三条棱长均为6，且它们彼此的夹角都是60°，下列说法中不正确的是（    ）

A．

B．平面

C．向量与的夹角是60°

D．直线与AC所成角的余弦值为

第II卷（非选择题）

三、填空题（每小题5分，共计20分）

13．，，是三个不共面的向量，，，，且，，，四点共面，则的值为___________.

14．已知圆：与圆：有四条公共切线，则实数的取值可能是___________.（填序号）

①；②；③；④.

15．已知点满足，则的取值范围是_______.

16．在正方体中，E，F分别为棱，的中点，则异面直线与所成角的余弦值为____________．

四、解答题（本题共计70分）

17．在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为A（2，1），B（-2，3），C（-3，0）．

（1）求BC边所在直线的方程；

（2）求BC边上的高AD所在直线的方程．

18．已知的三个顶点分别为，，，求：

（1）边上中线所在直线的方程（D为中点）；

（2）边的垂直平分线的方程；

（3）求的外接圆方程.

19．已知直线：.

（1）证明：直线一定经过第三象限；

（2）设直线与轴，轴分别交于,点，当点离直线最远时，求的面积.

20．在如图所示的几何体中，四边形为矩形，平面，，，，点为棱的中点．

（1）求证：平面；

（2）求直线与平面所成角的正弦值；

（3）求点到平面的距离．

21．椭圆具有如下的光学性质：从椭圆的一个焦点发出的光线，经过椭圆反射后，反射光线会交于椭圆的另焦点上.已知焦距为2的椭圆的左､右焦点分别为，，从发出的一条不与x轴重合的光线，在椭圆上依次经M，N两点反射后，又回到点，这个过程中光线所经过的总路程为8.

（1）求椭圆C的标准方程；

（2）设直线，且满足，若，求实数m的取值范围.

22．等腰梯形，，，点E为的中点，沿将折起，使得点D到达F位置．

（1）当时，求证：平面；

（2）当时，过点F作，使，当直线与平面所成角的正弦值为时，求λ的值．

答案与提示：
一、单选题（每小题5分，共计40分）

1．直线的倾斜角和斜率分别是（    ）

A．， B．， C．，不存在 D．不存在，不存在

【答案】B

【解】由倾斜角定义可得直线的倾斜角为0，

∴直线的斜率为0，

故选：B.

2．已知向量，，，若，，共面，则实数（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解】

若，，共面，则存在实数，，

使得，

即，

即，解得.

故选：D.

3．如图，在三棱锥中，点是棱的中点，若，，，则等于（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解】

如图，连接.

由题意在三棱锥中，点是棱的中点，若，，．

可知：，，

，故．

故选：C．

4．过点的圆与直线相切于点，则圆的方程为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【解】

设圆心为，半径为，

则，

解得，所以圆心为，

半径.

所以圆的方程为.

故选：A

5．如果方程表示焦点在轴上的椭圆，那么实数的取值范围是（    ）

A． B． C．， D．

【答案】D

【解】由方程，可得，

因为方程表示焦点在轴上的椭圆，可得，解得.

所以实数的取值范围是.

故选：D.

6．已知在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=BC=1，AA1=2，E是侧棱BB1的中点，则直线AE与平面A1ED1所成角的大小为（    ）

A．60° B．90°

C．45° D．以上都不对

【答案】B

【解】

以点D为原点，分别以DA，DC，DD1所在直线为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，

由题意知，A1（1，0，2），E（1，1，1），D1（0，0，2），A（1，0，0），

所以.

设平面A1ED1的一个法向量为，

则,得，

令z=1，得，

设直线与平面A1ED1所成角为，

所以，

又因为，

所以直线AE与平面A1ED1所成的角为90°.

故选:B

7．如图，椭圆的中心在坐标原点顶点分别是，焦点分别为，延长与交于点，若为钝角，则此椭圆的离心率的取值范围为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

解：由题意，设椭圆的长半轴、短半轴、半焦距分别为，，，则，，

因为就是与的夹角，所以与的夹角为钝角，

所以，即，又，

所以，两边同时除以，得，即，

解得或，又，

所以，

所以椭圆离心率的取值范围为，

故选：D．

8．下图是常见的一种灭火器消防箱，抽象成数学模型如右图所示的六面体，其中四边形和为直角梯形，A、D、C、B为直角顶点，其他四个面均为矩形，，，，下列说法正确的是（    ）

A．该几何体是四棱台

B．该几何体是棱柱，面是底面

C．

D．面与面所成锐二面角为45°

【答案】D

解：因为四边形和为直角梯形，A、D、C、B为直角顶点，其他四个面均为矩形，所以这个六面体是四棱柱，面和面是底面，故AB错误；

由题意可知两两垂直，如图以点为原点建系，

则，

，

则，所以不垂直，故C错误；

根据题意可知平面，所以即为平面的法向量，

，

设为平面的法向量，

则有，则可取，

则，

所以面与面所成锐二面角为45°，故D正确.

故选：D.

二、多选题（每小题5分，共计20分）

9．已知点与直线，下列说法正确的是（    ）

A．过点且截距相等的直线与直线一定垂直

B．过点且与坐标轴围成三角形的面积为2的直线有4条

C．点关于直线的对称点坐标为

D．直线关于点对称直线方程为

【答案】AB

【解】

已知点与直线.

对于A：当截距为0时，直线与直线垂直；

当截距相等且不为0时，可设直线：，把代入，无解.

所以过点且截距相等的直线与直线垂直.故A正确；

对于B：过点的直线与坐标轴围成三角形存在，所以斜率必存在，可设其为k，则直线为，所以三角形的面积为，解得：或，所以符合题意的直线有4条.故B正确；

对于C：设点关于直线的对称点坐标，则有，解得：，

即点关于直线的对称点坐标.故C错误；

对于D：设直线关于点对称直线方程为，则有，解得c=3，即设直线关于点对称直线方程为.故D错误.

故选：AB

10．已知椭圆内一点，直线与椭圆交于，两点，且为线段的中点，则下列结论正确的是（    ）

A．的焦点坐标为， B．的长轴长为

C．直线的方程为 D．

【答案】CD

【解】

由，得椭圆焦点在轴上，且，则，所以椭圆的焦点坐标为，长轴长为，所以AB错误，

设，则，，

两式作差得，

因为为线段的中点，所以，，

所以，

所以直线的方程为，即，所以C正确，

由和，得，则，

所以，所以D正确，

故选：CD

11．关于空间向量，以下说法正确的是（    ）

A．已知三棱锥，点为平面上的一点，且，则

B．已知向量，不共线，若，，则，，共面

C．已知向量，则存在向量可以与，构成空间的一个基底

D．已知空间两点，，若向量，且，则

【答案】AB

【解】

对于A. 根据向量共面的判定方法，只需，解得：.故A正确；

对于B. 因为已知向量，不共线，且，，，所以，所以，，共面.故B正确；

对于C. 按照基底的定义，不共面的三个向量才能作为基底，因为，所以不存在向量可以与，构成空间的一个基底.故C错误；

对于D. 因为空间两点，，所以

又向量，且，所以.故D错误

故选：AB

12．如图，在平行六面体中，以顶点A为端点的三条棱长均为6，且它们彼此的夹角都是60°，下列说法中不正确的是（    ）

A．

B．平面

C．向量与的夹角是60°

D．直线与AC所成角的余弦值为

【答案】AC

解：对于，

，

所以，选项错误；

对于

，所以，即，

，所以，即，因为，平面，所以平面，选项正确；

对于：向量与 的夹角是，所以向量与的夹角也是，选项错误；

对于，

所以，

，

同理，可得

，

所以，所以选项正确．

故选：AC．

第II卷（非选择题）

三、填空题（每小题5分，共计20分）

13．，，是三个不共面的向量，，，，且，，，四点共面，则的值为___________.

【答案】-3

【解】若，，，四点共面，则存在实数，，使得，

即，所以，解得，，.

故答案为：-3.

14．已知圆：与圆：有四条公共切线，则实数的取值可能是___________.（填序号）

①；②；③；④.

【答案】①④

【解】

圆的圆心，半径，圆的圆心，半径，

因为两圆有四条公切线，所以两圆外离，

又两圆圆心距，即，解得或，

故答案为：①④.

15．已知点满足，则的取值范围是_______.

【答案】

【解】

依题意，即，

是圆上和圆内的点，

设直线即与圆相切，

圆心到直线的距离为，

解得或，

所以的取值范围是.

故答案为：

16．在正方体中，E，F分别为棱，的中点，则异面直线与所成角的余弦值为____________．

【答案】

解：设正方体的边长为2，建立如图所示的空间直角坐标系，

由题意有，，，，

所以，，

所以，

所以异面直线与所成角的余弦值为，

故答案为：.

四、解答题（本题共计70分）

17．在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为A（2，1），B（-2，3），C（-3，0）．

（1）求BC边所在直线的方程；

（2）求BC边上的高AD所在直线的方程．

【解析】（1）设直线BC的直线方程为y=kx+b，

将点B（-2，3），C（-3，0）代入，可得，

解得，

∴直线BC方程为y=3x+9，即3x-y+9=0．

（2）

∵AD为直线BC的高，

∴AD⊥BC，

∴，

设直线AD的方程为，将点A（2，1）代入，

解得，

∴直线AD的方程为，即x+3y-5=0．

18．已知的三个顶点分别为，，，求：

（1）边上中线所在直线的方程（D为中点）；

（2）边的垂直平分线的方程；

（3）求的外接圆方程.

【解析】（1）

线段的中点，所以直线的斜率为，

所以中线的方程为：，即

（2）

直线的斜率，所以中垂线的斜率为

所以中垂线的方程为：，即

（3）

线段中垂线的方程，所以

所以该外接圆的圆心为，所以半径为

所以该三角形的外接圆方程为：

19．已知直线：.

（1）证明：直线一定经过第三象限；

（2）设直线与轴，轴分别交于,点，当点离直线最远时，求的面积.

解：证明：，

令，解得，则直线经过定点，

故直线一定经过第三象限.

（2）

解：由（1）可知，直线经过定点，则当时，点离直线最远，且,

此时，即，所以直线l的斜率为-1，则：，

则，，，

故的面积为.

20．在如图所示的几何体中，四边形为矩形，平面，，，，点为棱的中点．

（1）求证：平面；

（2）求直线与平面所成角的正弦值；

（3）求点到平面的距离．

【详解】

（1）证明：连接，交于点，又，分别为和的中点，所以，

因为平面，平面，所以平面；

（2）直线平面，平面，所以，

由题意得，，

所以以为原点，，，所在直线为，，轴，

建立空间直角坐标系，

，，，，，，

所以，，，

设平面的法向量，，，解得，

设直线与平面所成角的正弦值，

所以，

所以直线与平面所成角的正弦值；

（3）由（2），，，

设平面的法向量为，则，即，令，则，，

所以平面的法向量，

则点到平面的距离，

所以到平面的距离1．

21．椭圆具有如下的光学性质：从椭圆的一个焦点发出的光线，经过椭圆反射后，反射光线会交于椭圆的另焦点上.已知焦距为2的椭圆的左､右焦点分别为，，从发出的一条不与x轴重合的光线，在椭圆上依次经M，N两点反射后，又回到点，这个过程中光线所经过的总路程为8.

（1）求椭圆C的标准方程；

（2）设直线，且满足，若，求实数m的取值范围.

【解析】（1）由椭圆的光学性质知过椭圆左焦点，由椭圆定义知，即，

所以，所以椭圆方程为；

（2）由已知，设，

则直线方程为，联立方程组可得，

则，，

因为，所以，所以，

则，消去可得，

，，即，解得，

.

22．等腰梯形，，，点E为的中点，沿将折起，使得点D到达F位置．

（1）当时，求证：平面；

（2）当时，过点F作，使，当直线与平面所成角的正弦值为时，求λ的值．

【解析】（1）等腰梯形中，，E为的中点，四边形是菱形，，

折叠后，，,，，

设，则是中点，连接，则，

又，平面；

（2）取z中点，连接，

易得为等边三角形，则为等边三角形，

，则为等边三角形，，

设，则，则，

满足，，

所以可以为原点建立如图所示空间直角坐标系，

则,设，

，即，则可得，

则,

设平面的法向量为，

则，

令，则，即，

设直线与平面所成角为，

则，

解得（舍去）或.