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数学八年级下册第五章 分式与分式方程综合与测试精品单元测试一课一练
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这是一份数学八年级下册第五章 分式与分式方程综合与测试精品单元测试一课一练，共10页。试卷主要包含了若分式有意义，则x的取值范围是，故选A，方程＝的解为等内容，欢迎下载使用。
单元测试
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．（2019·西安市铁一中学初二期中）若分式的值为0，则x的值为（ ）
A．0B．1C．﹣1D．±1
【答案】B
【解析】根据分式值为0的条件，分子为0分母不为0列式进行计算即可得.
【详解】∵分式的值为零，
∴，
解得：x=1，
故选B．
【点睛】本题考查了分式值为0的条件，熟知分式值为0的条件是分子为0分母不为0是解题的关键.
2．（2020·湖北省初三零模）若分式有意义，则x的取值范围是
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】分析：根据分母不为零，即求解即可.
详解：由题意得，
，
∴x≠.
故选B.
点睛：本题考查了分式有意义的条件，熟记分母≠0时分式有意义是解答本题的关键.
3．（2019·陕西省西北大学附中初二期中）关于x的方程无解，则m的值为（ ）
A．﹣5 B．﹣8 C．﹣2 D．5
【答案】A
【解析】解：去分母得：3x﹣2=2x+2+m①．由分式方程无解，得到x+1=0，即x=﹣1，代入整式方程①得：﹣5=﹣2+2+m，解得：m=﹣5．故选A．
4．（2020·枣庄市薛城舜耕中学初二月考）分式方程的解为（ ）
A．B．C．D．无解
【答案】D
【解析】分析：分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
详解：去分母得：x2+2x﹣x2﹣x+2=3，解得：x=1，经检验x=1是增根，分式方程无解．
故选D．
点睛：本题考查了分式方程的解，始终注意分母不为0这个条件．
5．（2020·成都市泡桐树中学初二期中）下列分式中是最简分式的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】【详解】A．=，故A选项错误．
B．=，能进行化简，故B选项错误．
C．是最简分式，不能化简，故C选项正确．
D．=﹣1，故D选项错误．
故选C．
6．（2020·浙江省初三期中）解分式方程+1=0，正确的结果是（ ）
A．x=0B．x=1C．x=2D．无解
【答案】A
【解析】先去分母化为整式方程,再求解即可.
【详解】+1=0，
1+x-1=0，
x=0，
经检验：x=0是原方程的根，
故选A.
考点：解分式方程.
7．（2019·河南省初二期中）计算的结果是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】试题解析：原式
故选A.
8．（2019·哈尔滨市第十七中学初三一模）方程＝的解为( )
A．x＝3B．x＝4C．x＝5D．x＝﹣5
【答案】C
【解析】方程两边同乘（x-1）(x+3)，得
x+3-2(x-1)=0，
解得：x=5，
检验：当x=5时，（x-1）(x+3)≠0，
所以x=5是原方程的解，
故选C.
9．（2019·云南省初三学业考试）施工队要铺设1000米的管道，因在中考期间需停工2天，每天要比原计划多施工30米才能按时完成任务．设原计划每天施工x米，所列方程正确的是（ ）
A．=2B．=2
C．=2D．=2
【答案】A
【解析】分析：设原计划每天施工x米，则实际每天施工（x+30）米，根据：原计划所用时间﹣实际所用时间=2，列出方程即可．
详解：设原计划每天施工x米，则实际每天施工（x+30）米，
根据题意，可列方程：=2，
故选A．
点睛：本题考查了由实际问题抽象出分式方程，关键是读懂题意，找出合适的等量关系，列出方程．
10．（2019·辽宁省营口市教育局初三月考）某服装加工厂计划加工400套运动服，在加工完160套后，采用了新技术，工作效率比原计划提高了20%，结果共有了18天完成全部任务．设原计划每天加工x套运动服，根据题意可列方程为
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】试题分析：由设原计划每天加工x套运动服，得采用新技术前用的时间可表示为：天，采用新技术后所用的时间可表示为：天。根据关键描述语：“共用了18天完成任务”得等量关系为：采用新技术前用的时间+采用新技术后所用的时间=18。从而，列方程。故选B。
二、填空题
11．（2019·河南省初二期中）分式的值为0，那么x的值为_____．
【答案】3
【解析】分式的值为0的条件是：（1）分子为0；（2）分母不为0．两个条件需同时具备，缺一不可．据此可以解答本题．
【详解】解：由题意可得：x2﹣9＝0且x+3≠0，
解得x＝3．
故答案为：3．
【点睛】此题主要考查了分式值为零的条件，关键是掌握分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零．注意：分母不为零这个条件不能少．
12．（2019·山东省初二期末）当____________时,解分式方程会出现增根．
【答案】2
【解析】分析：分式方程的增根是分式方程转化为整式方程的根，且使分式方程的分母为0的未知数的值．
详解：分式方程可化为：x-5=-m，
由分母可知，分式方程的增根是3，
当x=3时，3-5=-m，解得m=2，
故答案为：2．
点睛：本题考查了分式方程的增根．增根问题可按如下步骤进行：
①让最简公分母为0确定增根；
②化分式方程为整式方程；
③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．
13．（2020·灯塔市第二初级中学初三一模）关于x的方程=1的解是正数，则m的取值范围是________ ．
【答案】m＜﹣2且m≠﹣4
【解析】首先根据=1，可得x=-m-2；然后根据关于x的方程=1的解是正数，求出m的取值范围即可．
【详解】∵=1，
∴x=-m-2，
∵关于x的方程=1的解是正数，
∴-m-2＞0，
解得m＜-2，
又∵x=-m-2≠2，
∴m≠-4，
∴m的取值范围是：m＜-2且m≠-4．
故答案为：m＜-2且m≠-4．
【点睛】此题主要考查了分式方程的解，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：在解方程的过程中因为在把分式方程化为整式方程的过程中，扩大了未知数的取值范围，可能产生增根，增根是令分母等于0的值，不是原分式方程的解．
14．（2019·阜宁县硕集实验学校初二月考）的最简公分母是_______．
【答案】
【解析】确定最简公分母的方法是：
（1）取各分母系数的最小公倍数；
（2）凡单独出现的字母连同它的指数作为最简公分母的一个因式；
（3）同底数幂取次数最高的，得到的因式的积就是最简公分母．
【详解】解：的分母分别是xy、4x3、6xyz，故最简公分母是．
故答案为：．
【点睛】本题考查了最简公分母的定义及求法．通常取各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积作为公分母，这样的公分母叫做最简公分母．一般方法：①如果各分母都是单项式，那么最简公分母就是各系数的最小公倍数，相同字母的最高次幂，所有不同字母都写在积里．②如果各分母都是多项式，就可以将各个分母因式分解，取各分母数字系数的最小公倍数，凡出现的字母（或含字母的整式）为底数的幂的因式都要取最高次幂．
15．（2019·河南省初二期中）当y=x+时，的值是_________．
【答案】-3
【解析】
=
=
∵y=x+，
∴x-y=,
∴原式==-3.
16．（2019·山东省初二期中）已知，则＝______.
【答案】1
【解析】∵=4,
∴,
∴a+b=4ab,
∴====1
故答案为:1.
三、解答题
17．（2019·全国初二单元测试）计算：（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
【答案】(1) ;(2) ；（3）2x+3；(4)4.
【解析】根据分式的混合运算即可解出，加减需通分，乘除需约分.
【详解】（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
【点睛】此题主要考查分式的计算，解题的关键是熟知分式的运算法则.
18．（2020·浙江省初二期末）先化简，再求值：，其中x=3．
【答案】
【解析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除以一个数等于乘以这个数的倒数将除法运算化为乘法运算，约分得到最简结果，将x的值代入计算即可求出值．
【详解】解：原式=
．
当x=3时，原式=．
19．（2020·福建省初二一模）已知，且，求：的值．
【答案】-3
【解析】先算乘法，再根据分式的加法法则进行计算，最后变形后代入，即可求出答案．
【详解】
=
=
∵
∴
∴原式==−1−1−1=-3．
故答案：-3
【点睛】此题考查分式的化简求值，首先算乘法，然后再根据分式的加法法则进行计算，最后变形后代入，即可求出答案
20．（2017·肥城市龙山中学初二期中）某火车站北广场将于2018年底投入使用，计划在广场内种植A、B两种花木共6600棵，若A花木数量是B花木数量的2倍少600棵.
（1）A、B两种花木的数量分别是多少棵？
（2）如果园林处安排26人同时种植这两种花木，每人每天能种植A花木60棵或B花木40棵，应分别安排多少人种植A花木和B花木，才能确保同时完成各自的任务？
【答案】（1）A 4200棵，B 2400棵；（2）A 14人，B 12人.
【解析】试题分析：（1）首先设B花木数量为x棵，则A花木数量是（2x-600）棵，由题意得等量关系：种植A，B两种花木共6600棵，根据等量关系列出方程，再解即可；
（2）首先设安排a人种植A花木，由题意得等量关系：a人种植A花木所用时间=（26-a）人种植B花木所用时间，根据等量关系列出方程，再解即可．
试题解析：（1）设B花木数量为x棵，则A花木数量是（2x-600）棵，由题意得：
x+2x-600=6600，
解得：x=2400，
2x-600=4200，
答：B花木数量为2400棵，则A花木数量是4200棵；
（2）设安排a人种植A花木，由题意得：
，
解得：a=14，
经检验：a=14是原分式方程的解，
26-a=26-14=12，
答：安排14人种植A花木，12人种植B花木．
【点睛】此题主要考查了分式方程的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，列出方程．注意不要忘记检验．
21．（2020·四川省泸县五中初三月考）某青春党支部在精准扶贫活动中，给结对帮扶的贫困家庭赠送甲、乙两种树苗让其栽种．已知乙种树苗的价格比甲种树苗贵10元，用480元购买乙种树苗的棵数恰好与用360元购买甲种树苗的棵数相同．
（1）求甲、乙两种树苗每棵的价格各是多少元？
（2）在实际帮扶中，他们决定再次购买甲、乙两种树苗共50棵，此时，甲种树苗的售价比第一次购买时降低了10%，乙种树苗的售价不变，如果再次购买两种树苗的总费用不超过1500元，那么他们最多可购买多少棵乙种树苗？
【答案】（1）甲种树苗每棵的价格是30元，乙种树苗每棵的价格是40元；（2）他们最多可购买11棵乙种树苗．
【解析】（1）可设甲种树苗每棵的价格是x元，则乙种树苗每棵的价格是（x+10）元，根据等量关系：用480元购买乙种树苗的棵数恰好与用360元购买甲种树苗的棵数相同，列出方程求解即可；
（2）可设他们可购买y棵乙种树苗，根据不等关系：再次购买两种树苗的总费用不超过1500元，列出不等式求解即可．
【详解】（1）设甲种树苗每棵的价格是x元，则乙种树苗每棵的价格是（x+10）元，
依题意有 ，
解得：x=30，
经检验，x=30是原方程的解，
x+10=30+10=40，
答：甲种树苗每棵的价格是30元，乙种树苗每棵的价格是40元；
（2）设他们可购买y棵乙种树苗，依题意有
30×（1﹣10%）（50﹣y）+40y≤1500，
解得y≤11，
∵y为整数，
∴y最大为11，
答：他们最多可购买11棵乙种树苗．
【点睛】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用，弄清题意，找准等量关系与不等关系列出方程或不等式是解决问题的关键.
单元测试
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．（2019·西安市铁一中学初二期中）若分式的值为0，则x的值为（ ）
A．0B．1C．﹣1D．±1
【答案】B
【解析】根据分式值为0的条件，分子为0分母不为0列式进行计算即可得.
【详解】∵分式的值为零，
∴，
解得：x=1，
故选B．
【点睛】本题考查了分式值为0的条件，熟知分式值为0的条件是分子为0分母不为0是解题的关键.
2．（2020·湖北省初三零模）若分式有意义，则x的取值范围是
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】分析：根据分母不为零，即求解即可.
详解：由题意得，
，
∴x≠.
故选B.
点睛：本题考查了分式有意义的条件，熟记分母≠0时分式有意义是解答本题的关键.
3．（2019·陕西省西北大学附中初二期中）关于x的方程无解，则m的值为（ ）
A．﹣5 B．﹣8 C．﹣2 D．5
【答案】A
【解析】解：去分母得：3x﹣2=2x+2+m①．由分式方程无解，得到x+1=0，即x=﹣1，代入整式方程①得：﹣5=﹣2+2+m，解得：m=﹣5．故选A．
4．（2020·枣庄市薛城舜耕中学初二月考）分式方程的解为（ ）
A．B．C．D．无解
【答案】D
【解析】分析：分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
详解：去分母得：x2+2x﹣x2﹣x+2=3，解得：x=1，经检验x=1是增根，分式方程无解．
故选D．
点睛：本题考查了分式方程的解，始终注意分母不为0这个条件．
5．（2020·成都市泡桐树中学初二期中）下列分式中是最简分式的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】【详解】A．=，故A选项错误．
B．=，能进行化简，故B选项错误．
C．是最简分式，不能化简，故C选项正确．
D．=﹣1，故D选项错误．
故选C．
6．（2020·浙江省初三期中）解分式方程+1=0，正确的结果是（ ）
A．x=0B．x=1C．x=2D．无解
【答案】A
【解析】先去分母化为整式方程,再求解即可.
【详解】+1=0，
1+x-1=0，
x=0，
经检验：x=0是原方程的根，
故选A.
考点：解分式方程.
7．（2019·河南省初二期中）计算的结果是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】试题解析：原式
故选A.
8．（2019·哈尔滨市第十七中学初三一模）方程＝的解为( )
A．x＝3B．x＝4C．x＝5D．x＝﹣5
【答案】C
【解析】方程两边同乘（x-1）(x+3)，得
x+3-2(x-1)=0，
解得：x=5，
检验：当x=5时，（x-1）(x+3)≠0，
所以x=5是原方程的解，
故选C.
9．（2019·云南省初三学业考试）施工队要铺设1000米的管道，因在中考期间需停工2天，每天要比原计划多施工30米才能按时完成任务．设原计划每天施工x米，所列方程正确的是（ ）
A．=2B．=2
C．=2D．=2
【答案】A
【解析】分析：设原计划每天施工x米，则实际每天施工（x+30）米，根据：原计划所用时间﹣实际所用时间=2，列出方程即可．
详解：设原计划每天施工x米，则实际每天施工（x+30）米，
根据题意，可列方程：=2，
故选A．
点睛：本题考查了由实际问题抽象出分式方程，关键是读懂题意，找出合适的等量关系，列出方程．
10．（2019·辽宁省营口市教育局初三月考）某服装加工厂计划加工400套运动服，在加工完160套后，采用了新技术，工作效率比原计划提高了20%，结果共有了18天完成全部任务．设原计划每天加工x套运动服，根据题意可列方程为
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】试题分析：由设原计划每天加工x套运动服，得采用新技术前用的时间可表示为：天，采用新技术后所用的时间可表示为：天。根据关键描述语：“共用了18天完成任务”得等量关系为：采用新技术前用的时间+采用新技术后所用的时间=18。从而，列方程。故选B。
二、填空题
11．（2019·河南省初二期中）分式的值为0，那么x的值为_____．
【答案】3
【解析】分式的值为0的条件是：（1）分子为0；（2）分母不为0．两个条件需同时具备，缺一不可．据此可以解答本题．
【详解】解：由题意可得：x2﹣9＝0且x+3≠0，
解得x＝3．
故答案为：3．
【点睛】此题主要考查了分式值为零的条件，关键是掌握分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零．注意：分母不为零这个条件不能少．
12．（2019·山东省初二期末）当____________时,解分式方程会出现增根．
【答案】2
【解析】分析：分式方程的增根是分式方程转化为整式方程的根，且使分式方程的分母为0的未知数的值．
详解：分式方程可化为：x-5=-m，
由分母可知，分式方程的增根是3，
当x=3时，3-5=-m，解得m=2，
故答案为：2．
点睛：本题考查了分式方程的增根．增根问题可按如下步骤进行：
①让最简公分母为0确定增根；
②化分式方程为整式方程；
③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．
13．（2020·灯塔市第二初级中学初三一模）关于x的方程=1的解是正数，则m的取值范围是________ ．
【答案】m＜﹣2且m≠﹣4
【解析】首先根据=1，可得x=-m-2；然后根据关于x的方程=1的解是正数，求出m的取值范围即可．
【详解】∵=1，
∴x=-m-2，
∵关于x的方程=1的解是正数，
∴-m-2＞0，
解得m＜-2，
又∵x=-m-2≠2，
∴m≠-4，
∴m的取值范围是：m＜-2且m≠-4．
故答案为：m＜-2且m≠-4．
【点睛】此题主要考查了分式方程的解，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：在解方程的过程中因为在把分式方程化为整式方程的过程中，扩大了未知数的取值范围，可能产生增根，增根是令分母等于0的值，不是原分式方程的解．
14．（2019·阜宁县硕集实验学校初二月考）的最简公分母是_______．
【答案】
【解析】确定最简公分母的方法是：
（1）取各分母系数的最小公倍数；
（2）凡单独出现的字母连同它的指数作为最简公分母的一个因式；
（3）同底数幂取次数最高的，得到的因式的积就是最简公分母．
【详解】解：的分母分别是xy、4x3、6xyz，故最简公分母是．
故答案为：．
【点睛】本题考查了最简公分母的定义及求法．通常取各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积作为公分母，这样的公分母叫做最简公分母．一般方法：①如果各分母都是单项式，那么最简公分母就是各系数的最小公倍数，相同字母的最高次幂，所有不同字母都写在积里．②如果各分母都是多项式，就可以将各个分母因式分解，取各分母数字系数的最小公倍数，凡出现的字母（或含字母的整式）为底数的幂的因式都要取最高次幂．
15．（2019·河南省初二期中）当y=x+时，的值是_________．
【答案】-3
【解析】
=
=
∵y=x+，
∴x-y=,
∴原式==-3.
16．（2019·山东省初二期中）已知，则＝______.
【答案】1
【解析】∵=4,
∴,
∴a+b=4ab,
∴====1
故答案为:1.
三、解答题
17．（2019·全国初二单元测试）计算：（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
【答案】(1) ;(2) ；（3）2x+3；(4)4.
【解析】根据分式的混合运算即可解出，加减需通分，乘除需约分.
【详解】（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
【点睛】此题主要考查分式的计算，解题的关键是熟知分式的运算法则.
18．（2020·浙江省初二期末）先化简，再求值：，其中x=3．
【答案】
【解析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除以一个数等于乘以这个数的倒数将除法运算化为乘法运算，约分得到最简结果，将x的值代入计算即可求出值．
【详解】解：原式=
．
当x=3时，原式=．
19．（2020·福建省初二一模）已知，且，求：的值．
【答案】-3
【解析】先算乘法，再根据分式的加法法则进行计算，最后变形后代入，即可求出答案．
【详解】
=
=
∵
∴
∴原式==−1−1−1=-3．
故答案：-3
【点睛】此题考查分式的化简求值，首先算乘法，然后再根据分式的加法法则进行计算，最后变形后代入，即可求出答案
20．（2017·肥城市龙山中学初二期中）某火车站北广场将于2018年底投入使用，计划在广场内种植A、B两种花木共6600棵，若A花木数量是B花木数量的2倍少600棵.
（1）A、B两种花木的数量分别是多少棵？
（2）如果园林处安排26人同时种植这两种花木，每人每天能种植A花木60棵或B花木40棵，应分别安排多少人种植A花木和B花木，才能确保同时完成各自的任务？
【答案】（1）A 4200棵，B 2400棵；（2）A 14人，B 12人.
【解析】试题分析：（1）首先设B花木数量为x棵，则A花木数量是（2x-600）棵，由题意得等量关系：种植A，B两种花木共6600棵，根据等量关系列出方程，再解即可；
（2）首先设安排a人种植A花木，由题意得等量关系：a人种植A花木所用时间=（26-a）人种植B花木所用时间，根据等量关系列出方程，再解即可．
试题解析：（1）设B花木数量为x棵，则A花木数量是（2x-600）棵，由题意得：
x+2x-600=6600，
解得：x=2400，
2x-600=4200，
答：B花木数量为2400棵，则A花木数量是4200棵；
（2）设安排a人种植A花木，由题意得：
，
解得：a=14，
经检验：a=14是原分式方程的解，
26-a=26-14=12，
答：安排14人种植A花木，12人种植B花木．
【点睛】此题主要考查了分式方程的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，列出方程．注意不要忘记检验．
21．（2020·四川省泸县五中初三月考）某青春党支部在精准扶贫活动中，给结对帮扶的贫困家庭赠送甲、乙两种树苗让其栽种．已知乙种树苗的价格比甲种树苗贵10元，用480元购买乙种树苗的棵数恰好与用360元购买甲种树苗的棵数相同．
（1）求甲、乙两种树苗每棵的价格各是多少元？
（2）在实际帮扶中，他们决定再次购买甲、乙两种树苗共50棵，此时，甲种树苗的售价比第一次购买时降低了10%，乙种树苗的售价不变，如果再次购买两种树苗的总费用不超过1500元，那么他们最多可购买多少棵乙种树苗？
【答案】（1）甲种树苗每棵的价格是30元，乙种树苗每棵的价格是40元；（2）他们最多可购买11棵乙种树苗．
【解析】（1）可设甲种树苗每棵的价格是x元，则乙种树苗每棵的价格是（x+10）元，根据等量关系：用480元购买乙种树苗的棵数恰好与用360元购买甲种树苗的棵数相同，列出方程求解即可；
（2）可设他们可购买y棵乙种树苗，根据不等关系：再次购买两种树苗的总费用不超过1500元，列出不等式求解即可．
【详解】（1）设甲种树苗每棵的价格是x元，则乙种树苗每棵的价格是（x+10）元，
依题意有 ，
解得：x=30，
经检验，x=30是原方程的解，
x+10=30+10=40，
答：甲种树苗每棵的价格是30元，乙种树苗每棵的价格是40元；
（2）设他们可购买y棵乙种树苗，依题意有
30×（1﹣10%）（50﹣y）+40y≤1500，
解得y≤11，
∵y为整数，
∴y最大为11，
答：他们最多可购买11棵乙种树苗．
【点睛】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用，弄清题意，找准等量关系与不等关系列出方程或不等式是解决问题的关键.
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