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备战2021年中考数学专题练——专题一 实数、代数式试卷
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专题一 实数、代数式
一、单选题
1.（2020·温州模拟）根据温州市民政局社会事务处的历年数据显示，预计今年清明期间全市祭扫人数超310万人次，其中的310万用科学记数法表示为（ ）
A. 310×104 B. 31×105 C. 3.1x106 D. 0.31×107
2.（2020·百色模拟）对于任意实数m、n，定义一种新运算m※n＝mn﹣m﹣n+3，等式的右边是通常的加减和乘法运算，例如：2※6＝2×6﹣2﹣6+3＝7．请根据上述定义解决问题：若a＜4※x＜8，且解集中有2个整数解，则a的取值范围是（ ）
A. ﹣1＜a≤2 B. ﹣1≤a＜2 C. ﹣4≤a＜﹣1 D. ﹣4＜a≤﹣1
3.（2019·曲靖模拟）火灾猛于虎!据应急管理部统计，2018年全国共接报火灾23.7万起，死亡1407人，伤798人，直接财产损失36.75亿元，其中36.75亿元用科学记数法表示正确的是（ ）
A. 3.675×109元 B. 0.3675×1010元 C. 3.675×108元 D. 36.75×108元
4.（2019·大渡口模拟）下列图形是用长度相等的火柴棒按一定规律排列的图形，第（1）个图形中有8根火柴棒，第（2）个图形中有14根火柴棒，第（3）个图形中有20根火柴棒，…，按此规律排列下去，第（6）个图形中，火柴棒的根数是（ ）
A. 34 B. 36 C. 38 D. 48
5.（2019九下·期中）若 = ，则 的值等于（ ）
A. B. C. D.
6.（2020·迁安模拟）通过计算几何图形的面积可表示代数恒等式，图中可表示的代数恒等式是( )
A. (a-b)2=a2-2ab+b2 B. (a+b)2=a2+2ab+b² C. 2a(a+b)=2a2+2ab D. (a+b)(a-b)=a2-b²
7.（2019·朝阳模拟）实数m，n在数轴上对应的点的位置如图所示，若mn＜0，且|m|＜|n|，则原点可能是（ ）
A. 点A B. 点B C. 点C D. 点D
8.两列火车都从A地驶向B地．已知甲车的速度是x千米/时，乙车的速度是y千米/时，经过3小时，乙车距离B地5千米，此刻甲车距离B地（ ）
A. [3(－x＋y)－5]千米 B. [3(x＋y)－5]千米 C. [3(－x＋y)＋5]千米 D. [3(x＋y)＋5]千米
9.下列说法中： ①0的相反数是0；②(﹣1)2＝2；③4的平方根是2；④ 是无理数；⑤(﹣2x)3•x＝﹣8x4.正确的个数是( )
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
10.（2019·新宾模拟）如图，在平面直角坐标系中，将△ABO绕点A顺时针旋转到△AB1C1的位置，点B、O分别落在点B1、C1处，点B1在x轴上，再将△AB1C1绕点B1顺时针旋转到△AB1C2的位置，点C2在x轴上，将△A1B1C2绕点C2顺时针旋转到△A2B2C2的位置，点A2在x轴上，依次进行下去……，若点A（ ，0），B（0，2）．则点B2019的坐标是（ ）
A. （6052，0） B. （6054，2） C. （6058，0） D. （6060，2）
11.（2019九下·新田期中）已知： 表示不超过x的最大整数.例： .令关于 的函数 （ 是正整数），例： .则下列结论错误的是（ ）
A. B. C. D. 或1
12.（2019·天宁模拟）某校数学课外小组，在坐标纸上为学校的一块空地设计植树方案如下：第k棵树种植在点Pk(xk ， yk)处，其中x1＝1，y1＝2，当k≥2时，xk＝xk﹣1+1﹣5（[ ]﹣[ ]），yk＝yk﹣1+[ ]﹣[ ]，[a]表示非负实数a的整数部分，例如[2.6]＝2，[0.2]＝0.按此方案，第2017棵树种植点的坐标为（ ）
A. (5，2017) B. (6，2016) C. (1，404) D. (2，404)
13.（2019·瑶海模拟）1261年，我国南宋数学家杨辉用图中的三角形解释二项和的乘方规律，我们把这个三角形称为“杨辉三角”，请观察图中的数字排列规律，则代数式a+b+c的值为（ ）
A. 22 B. 41 C. 50 D. 51
14.（2020·松滋模拟）观察等式：1+2+22＝23﹣1；1+2+22+23＝24﹣1；1+2+22+23+24＝25﹣1；若1+2+22+…+29＝210﹣1＝a，则用含a的式子表示210+211+212+…+218+219的结果是（ ）
A. a20﹣1 B. a2+a C. a2+a+1 D. a2﹣a
15.（2019九上·上街期末）远古时期，人们通过在绳子上打结来的记录数量，即“结绳计数”，如图，一位母亲在从右到左依次排列的绳子上打结，满七进一，用来记录孩子自出生后的天数，由图可知，孩子自出生后的天数是（ ）
A. 336 B. 510 C. 1326 D. 3603
二、填空题
16.（2019九上·鄂州期末）定义符号min{a，b}的含义为：当a≥b时，min{a，b}＝b；当a＜b时，min{a，b}＝a.如：min{1，﹣2}＝﹣2，min{﹣1，2}＝﹣1.（1）min{x2﹣1，﹣2}＝________；（2）若min{x2﹣2x+k，﹣3}＝﹣3，则实数k的取值范围是________.
17.（2019·许昌模拟）计算： ________。
18.（ ）已知Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝1，AC＝4，如图所示把边长分别为x1 ， x2 ， x3 ， …，xn的n个正方形依次放入△ABC中，则第n个正方形的边长xn＝________(用含n的式子表
示，n≥1).
19.（2018九上·营口期末）如图，一段抛物线：y＝﹣x（x﹣3）（0≤x≤3），记为C1 ， 它与x轴交于点O，A1；将C1绕点A1旋转180°得C2 ， 交x轴于点A2；将C2绕点A2旋转180°得C3 ， 交x轴于点A3；…如此进行下去，直至得C17.若P（50，m）在第17段抛物线C17上，则m＝________.
20.（2019·上海模拟）计算： = ________.
21.（2019九上·灌云月考）某商店经销一种品牌的洗衣机，其中某一型号的洗衣机每台进价为a元，商店将进价提高20%后作为零售价进行销售，一段时间后，商店又以9折优惠价促销，这时该型号洗衣机的零售价为________元．
22.若x2＋y2－4x＋6y＋13＝0，则2x＋3y的值为________．
23.（2019九下·徐州期中）当白色小正方形个数n等于1,2，3…时，由白色小正方形和和黑色小正方形组成的图形分别如图所示.则第n个图形中白色小正方形和黑色小正方形的个数总和等于________.（用n表示，n是正整数）
24.（2018九上·洛阳期末）如图，在平面直角坐标系中，将△ABO绕点A顺时针旋转到△AB1C1的位置，点B、O分别落在点B1、C1处，点B1在x轴上，再将△AB1C1绕点B1顺时针旋转到△A1B1C2的位置，点C2在x轴上，将△A1B1C2绕点C2顺时针旋转到△A2B2C2的位置，点A2在x轴上，依次进行下去….若点A（ ，0），B（0，2），则点B2018的坐标为________.
25.（2019·襄州模拟）如果 (a，b为有理数)，则a＝________，b＝________．
26.（2020·温州模拟）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝2AC，D，E，F分别为BC，AC，AB边上的点，BF＝3AF，∠DFE＝90°，若△BDF与△FEA的面积比为3：2，则△CDE与△DEF的面积比为________．
27.（2020九上·潮南期末）这样铺地板：第一块铺2块，如图1，第二次把第一次的完全围起来，如图2；第三次把第二次的完全围起来，如图3；…依次方法，铺第5次时需用________木块才能把第四次所铺的完全围起来．
28.（2019·天门模拟）如图， ，过OA上到点O的距离分别为1，3，5，7，9， 的点作OA的垂线与OB相交，得到并标出一组黑色梯形，它们的面积分别为 ， ， ， 则第一个黑色梯形的面积 ________；观察图中的规律，第 为正整数 个黑色梯形的面积 ________.
29.（2019·营口模拟）如图，点O（0，0），A（0，1）是正方形OAA1B的两个顶点，以OA1对角线为边作正方形OA1A2B1 ， 再以正方形的对角线OA2作正方形OA1A2B1 ， …，依次规律，则点A8的坐标是________.
30.（2019·上海模拟）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，AC=2．作△ABC的高CD ， 作△CDB的高DC1 ， 作△DC1B的高C1D1 ， ……，如此下去，那么得到的所有阴影三角形的面积之和为________.
31.（2019九下·武冈期中）将正偶数按下表排列：
根据上面的规律，则2018所在行是第________行．
32.（2020·宿州模拟）如图,已知 … 是 轴上的点，且 … ，分别过点 … 作 轴的垂线交反比例函数 的图象于点 … ,过点 作 于点 ,过点 作 于点 ……记 的面积为 , 的面积为 …… 的面积为 ，则 … 等于________．
33.（2019·朝阳模拟）任意写出一个3的倍数 例如： ，首先把这个数各数位上的数字都立方，再相加，得到一个新数，然后把这个新数重复上述运算，运算结果最终会得到一个固定不变的数M，它会掉入一个数字“黑洞” 那么最终掉入“黑洞”的那个数M是________.
34.（2019·合肥模拟）如图，每个图形都由同样大小的小正方形按照一定的规律组成，每个小正方形的面积是1，图①的面积6，图②的面积是12，图③的面积是20，以此类推．
（1）观察以上图形与等式的关系，横线上应填________；
（2）图ⓝ的面积为________（用含n的代数式表示）．
35.（2020·松江模拟）以一个等腰直角三角形的腰为边分别向形外做等边三角形，我们把这两个等边三角形重心之间的距离称作这个等腰直角三角形的“肩心距”.如果一个等腰直角三角形的腰长为2，那么它的“肩心距”________．
三、解答题
36.（2020·郑州模拟）先化简，再求值： ÷（ ﹣x+1），其中x=sin30°+2﹣1+ ．
37.若a，b，c都是非零有理数，求 的值．
38.为了节约用水，某市自来水公司采取以下收费方法：每户每月用水不超过10吨，每吨收费 1.5 元；每户每月用水超过10吨，超过的部分按每吨3元收费 现在已知小明家2月份用水x吨 (x＞10），请用代数式表示小明家2月份应交水费多少元？如果 x=16 ，那么小明家2月份应交水费多少元？
39.（2018九下·新田期中）计算
40.（2018九上·仁寿期中）如图，数轴上表示l和 的对应点分别为A、B，点B关于点A的对称点为C，设点C表示的数为x，
求 的值．
41.（2019九上·新蔡期末）石狮泰禾某童装专卖店在销售中发现，一款童装每件进价为80元，销售价为120元时，每天可售出20件，为了迎接“十一”国庆节，商店决定采取适当的降价措施，以扩大销售量，增加利润，经市场调查发现，如果每件童装降价1元，那么平均可多售出2件.
（1）设每件童装降价x元时，每天可销售________件，每件盈利________元；（用x的代数式表示）
（2）每件童装降价多少元时，平均每天赢利1200元.
（3）要想平均每天赢利2000元，可能吗？请说明理由.
42.（2019·红塔模拟）观察下面的变形规律： ； ； ；….
解答下面的问题：
（1）若n为正整数，请你猜想 ＝________；
（2）证明你猜想的结论；
（3）求和： + + +…+ .
43.（2020·遵化模拟）定义新运算：对于任意实数m、n都有m☆n=m2n+n，等式右边是常用的加法、减法、乘法及乘方运算.
例如：﹣3☆2=（﹣3）2×2+2=20.
根据以上知识解决问题：
（1）x☆4=20,求x；
（2）若2☆a的值小于0，请判断方程：2x2﹣bx+a=0的根的情况.
44.（2020九下·云南月考）水是人类的生命之源，为了鼓励居民节约用水，相关部门实行居民生活用水阶梯式计量水价政策，下表是昆明市居民“一表一户”生活用水阶梯式计费价格表的部分信息，请解答：
自来水销售价格
每户每月用水量
单位：元/吨
15吨及以下
a
超过15吨但不超过25吨的部分
b
超过25吨的部分
5
（1）小王家今年3月份用水22吨，要交水费________元（用含a，b的代数式表示）；
（2）小王家今年4月份用水21吨，交水费48元；邻居小李家4月份用水27吨，交水费70元，求a，b的值；
（3）如果小王家5月份用水水费计划不超过67元，则小王家5月份最多可用水多少吨？
45.（2020·北京模拟）若一个两位数十位、个位上的数字分别为 ，，我们可将这个两位数记为 ，易知 ；同理，一个三位数、四位数等均可以用此记法，如 ．
【基础训练】
（1）解方程填空：
①若 ，则 ________；
②若 ，则 ________；
③若 ，则 ________；
（2）交换任意一个两位数 的个位数字与十位数字，可得到一个新数 ，则 一定能被________整除， 一定能被________整除， 一定能被________整除；（请从大于5的整数中选择合适的数填空）
（3）【探索发现】
北京时间2019年4月10日21时，人类拍摄的首张黑洞照片问世，黑洞是一种引力极大的天体，连光都逃脱不了它的束缚．数学中也存在有趣的黑洞现象：任选一个三位数，要求个、十、百位的数字各不相同，把这个三位数的三个数字按大小重新排列，得出一个最大的数和一个最小的数，用得出的最大的数减去最小的数得到一个新数（例如若选的数为325，则用 ，再将这个新数按上述方式重新排列，再相减，像这样运算若干次后一定会得到同一个重复出现的数，这个数称为“卡普雷卡尔黑洞数”．
①该“卡普雷卡尔黑洞数”为________；
②设任选的三位数为 （不妨设 ，试说明其均可产生该黑洞数________．
46.（2019·贵池模拟）我们知道，（k+1）2＝k2+2k+1，变形得：（k+1）2﹣k2＝2k+1，对上面的等式，依次令k＝1，2，3，…得：
第1个等式：22﹣12＝2×1+1
第2个等式：32﹣22＝2×2+1
第3个等式：42﹣32＝2×3+1
（1）按规律，写出第n个等式（用含n的等式表示）：第n个等式________．
（2）记S1＝1+2+3+…+n ， 将这n个等式两边分别相加，你能求出S1的公式吗？
47.（2019·合肥模拟）阅读理解：
观察下列各等式：
（1）猜想并用含字母 的等式表示以上规律；
（猜想）
（2）证明你写出的等式的符合题意性.
（证明）
48.（2019·芜湖模拟）观察以下等式：
第1个等式：（x﹣1）（x+1）＝x2﹣1；
第2个等式：（x﹣1）（x2+x+1）＝x3﹣1
第3个等式：（x﹣1）（x3+x2+x+1）＝x4﹣1：…
按照以上规律，解决下列问题：
（1）写出第4个等式：（x﹣1）（x4+x3+x2+x+1）＝________；
（2）写出你猜想的第n个等式：（x﹣1）（xn+xn﹣1+…+x+1）＝________；
（3）请利用上述规律，确定22019+22018+…+2+1的个位数字是多少？
49.李老师刚买了一套2室2厅的新房，其结构如图3－3－5所示(单位：米)．施工方已经把卫生间和厨房根据合同约定铺上了地板砖，李老师打算把卧室1铺上地毯，其余铺地板砖．问：
（1）他至少需要多少平方米的地板砖？
（2）如果这种地砖板每平方米m元，那么李老师至少要花多少钱？
50.（2019·颍泉模拟）观察下列等式：
第1个等式：
第2个等式：
第3个等式：
第4个等式：
第5个等式：
解答下列问题：
（1）按以上规律写出第6个等式：________；
（2）求a1+a2+…+a2020的值；
（3）求 的值．
答案解析部分
一、单选题
1. C
【解答】解：310万=3.1×106.
故答案为：C.
【分析】根据科学记数法的表示形式为：a×10n。其中1≤|a|＜10，此题是绝对值较大的数，因此n=整数数位-1。
2. B
【解答】解：根据题意得 ，
解不等式①，得：x＞ ，
解不等式②，得：x＜3，
则不等式组的解集为 ＜x＜3，
∵不等式组的解集中有2个整数解，
∴0≤ ＜1，
解得﹣1≤a＜2，
故答案为：B．
【分析】根据新定义列出不等式组，根据一元一次不等式组的解法解出不等式组，根据题意求出a的取值范围．
3. A
【解答】解：将35.75亿用科学记数法表示为：3.675×109.
故答案为：A
【分析】把35.75亿元=3675000000元，变为a小数点移动9位，所以n=9即科学记数法：3.675×109
4. C
【解答】根据数据，结合图形，不难发现：后边的图形总比前边的图形多6.即第n个图形中，
有8+6（n-1）=6n+2.
所以，第（6）个图形中，火柴棒的根数是6×6+2=38.
故答案为：C.
【分析】本题是一道通过图形变化而发现规律的题型.
5. C
【解答】解：设b=3x，则a=2x，
所以 = = ．
故答案为：C．
【分析】由b和a的比例，可以设b=3x，则a=2x，根据代数式，代入a和b，即可得到答案。
6. D
【解答】解：图1阴影部分面积=a2-b2
图2阴影部分面积=（a+b）（a-b）
∴a2-b2=（a+b）（a-b）
故答案为：D.
【分析】根据题意，由矩形面积的计算公式，分别计算得到阴影部分面积，两个面积相等即可列出等式，得到答案即可。
7. B
【解答】解：∵mn＜0
∴m、n异号
∴原点可能是点B或点C
又由|m|＜|n|，观察数轴可知，原点应该是点B．
故答案为：B．
【分析】由若mn＜0可知，m、n异号，所以原点可能是点B或点C，而又由|m|＜|n|即可根据距离符合题意判断．
8. C
【解答】解：∵经过3小时，乙车距离B地5千米，
∴A、B两地的距离为3y+5
∴此刻甲车距离B地3y+5-3x=[3(－x＋y)＋5]千米.
故答案为：C.
【分析】抓住题中关键已知条件经过3小时，乙车距离B地5千米，可表示出A、B两地的距离，再用A、B的距离减去甲车3小时行驶的路程，列式计算即可。
9. B
【解答】解：①0的相反数是0；故本小题正确；
② ；故本小题错误；
③4的平方根是 2；故本小题错误
④ 是无限循环小数，是有理数，故本小题错误；
⑤ ，故本小题正确；
综上所述，正确的有①⑤，共2个.
故答案为：B.
【分析】根据相反数的定义，平方及平方根，无理数定义、以及积的乘方的计算进行分析，即可求解.
10. C
【解答】解：∵AO＝ ，BO＝2，
∴B2的横坐标为：6，且B2C2＝2，
∴B4的横坐标为：2×6＝12，
∴点B2018的横坐标为：2018÷2×6＝6054．
∴点B2018的纵坐标为：2．
∴点B2018的坐标为：（6054，2），
∴B2019的横坐标为
∴点B2017的坐标为（6058，0），
故答案为：C．
【分析】根据A,B的坐标得出OA,OB的长度，利用勾股定理求出AB的长度，再利用旋转的性质求出 的长度，进一步求出 的坐标，同理出去 的坐标，找到规律，利用规律解题即可.
11. C
【解答】根据函数的关系式逐个判断：
A. =0.
B , ， .故不符合题意.
C. ， ，故符合题意.
D 符合题意. =0或1，
故答案为：C
【分析】根据题意首先要理解新定义，再根据新定义逐个判断选项即可.
12. D
【解答】解：∵[ ]﹣[ ]组成的数为
1，0，0，0，0，1，0，0，0，0，1，0，0，0，0，1…，
将k＝1，2，3，4，5，…，
一一代入计算得xn为
1，2，3，4，5，1，2，3，4，5，1，2，3，4，5，…
即xn的重复规律是x5n+1＝1，x5n+2＝2，x5n+3＝3，x5n+4＝4，x5n＝5.
∴{yn}为1，1，1，1，1，2，2，2，2，2，3，3，3，3，3，4，4，4，4，4，…
即yn的重复规律是y5n+k＝n，0≤k＜5.
∴y2017=y5×403+2=404
∴由题意可知第2017棵树种植点的坐标应（2，404）.
故答案为：D.
【分析】根据规律找出种植点的横坐标及纵坐标的表述规律，然后代入2017进行计算即可求出结论.
13. B
【解答】由图可得，
a＝1+5＝6，b＝5+10＝15，c＝10+10＝20，
∴a+b+c＝6+15+20＝41，
故答案为：B．
【分析】根据题目中的数据可知，a、b、c分别为上一行中左上角和右上角的数字之和，从而可以求得所求式子的值．
14. B
【解答】解：由已知可得1+2+22+…+29+210+211+212+…+218+219＝220﹣1，
∵1+2+22+…+29＝210﹣1＝a，
∴210+211+212+…+218+219＝220﹣1﹣210+1＝220﹣210 ，
∵210﹣1＝a，
∴220﹣210＝a（a+1），
故答案为：B.
【分析】根据题意由已知规律可得：1+2+22+…+29+210+211+212+…+218+219＝220﹣1，再由已知1+2+22+…+29＝210﹣1＝a，进而分析求得.
15. B
【解答】解：孩子自出生后的天数是1×73+3×72+2×7+6=510.
故答案为：B.
【分析】类比于现在我们的十进制“满十进一”，可以表示满七进一的数为：千位上的数×73+百位上的数×72+十位上的数×7+个位上的数.
二、填空题
16. ﹣2；k≥﹣2
【解答】（1）∵x2≥0，
∴x2-1≥-1，
∴x2-1＞-2.
∴min{x2-1，-2}=-2，（2）∵x2-2x+k=（x-1）2+k-1，
∴（x-1）2+k-1≥k-1.
∵min{x2-2x+k，-3}=-3，
∴k-1≥-3.
∴k≥-2.
故答案为-2，k≥-2.
【分析】（1）比较x2-1与-2的大小，得到答案；（2）把x2-x+k化为x2-x+k=（x-1）2+k-1的形式，确定k的取值范围.
17. 1
【解答】原式=3-2=1.故答案为：1.
【分析】先求出， 然后进行减法计算即可.
18.
【解答】解：如图所示，∵四边形DCEF是正方形，
∴DF∥CE，
∴△BDF∽△BCA，
∴DF∶AC＝BD∶BC，
即x1∶4＝(1－x1)∶1，
解得x1＝ .
同理，前两个小正方形上方的三角形相似， ＝ ，解得x2＝ .同理可求x3＝ × ＝ ，…以此类推，第n个正方形的边长xn＝ .
故答案为： .
【分析】根据矩形的对边平行得出DF∥CE，根据平行于三角形一边的直线截其它两边，所截的三角形与原三角形相似得出△BDF∽△BCA，根据相似三角形对应边成比例得出DF∶AC＝BD∶BC，根据比例式列出方程，求解算出x1 ， 同理求出x2,x3……进而即可发现规律得出 第n个正方形的边长xn .
19. 2
【解答】∵一段抛物线：y＝﹣x（x﹣3）（0≤x≤3），
∴图象与x轴交点坐标为：（0，0），（3，0），
∵将C1绕点A1旋转180°得C2 ， 交x轴于点A2；
将C2绕点A2旋转180°得C3 ， 交x轴于点A3；
…
如此进行下去，直至得C17.
∴C17的解析式与x轴的交点坐标为（48，0），（51，0），且图象在x轴上方，
∴C13的解析式为：y13＝﹣（x﹣48）（x﹣51），
当x＝50时，m＝﹣（50﹣48）×（50﹣51）＝2.
故答案为：2.
【分析】根据图象的旋转变化规律以及二次函数的平移规律得出平移后解析式，进而求出m的值.
20. 2
【解答】 =-（-2）=2.
故填：2.
【分析】根据实数的性质即可求解.
21. 1.08a
【解答】根据题意得：a•（1+20%）×90%=1.08a；故答案为1.08a．
【分析】根据题意可知这时该型号洗衣机的零售价=进价×（1+20％）×0.9，再列式进行化简。
22. －5
【解答】解：∵ x2＋y2－4x＋6y＋13＝0，
x2－4x＋4＋y2+6y＋9＝0，
∴(x-2)2+(y+3)2=0,
∴x-2=0, y+3=0,
∴x=2, y=-3,
∴2x+3y=2×2+3×(-3)=-5.
故答案为：-5.
【分析】先把左式化成两个完全平方式的和，根据非负数之和等于0，则每个非负数等于0列式求出x、y, 代入原式求值即可.
23.
【解答】解：寻找规律：
n=1时，白色小正方形和黑色小正方形的个数总和等于 个；
n=2时，白色小正方形和黑色小正方形的个数总和等于 个；
n=3时，白色小正方形和黑色小正方形的个数总和等于 个；
……
∴第n个图形中，白色小正方形和黑色小正方形的个数总和等于 个。
故答案为： .
【分析】探索图形规律的题，根据图形中小正方形的摆放特点，图形中白色小正方形和黑色小正方形的个数总和 为序号数与2的和的完全平方与4的差，进而即可得出第n个图形中，白色小正方形和黑色小正方形的个数总和为.
24. （6054，2）
【解答】∵在△AOB中，∠AOB=90°，OA= ，OB=2，
∴AB= ，
∴由旋转的性质可得：OA+AB1+B1C2=OA+AB+OB=6，C2B2=OB=2，
∴点B2的坐标为（6，2），
同理可得点B4的坐标为（12，2），
由此可得点B2相当于是由点B向右平移6个单位得到的，点B4相当于是由点B2向右平移6个单位得到，
∴点B2018相当于是由点B向右平移了： 个单位得到的，
∴点B2018的坐标为（6054，2）.
故答案为：（6054，2）.
【分析】题意和图形可知，点B1、B3、B5、……在x轴上，点B2、B4、B6、……在第一象限内，由已知易得AB= ，结合旋转的性质可得OA+AB1+B1C2=6，从而可得点B2的坐标为（6，2），同理可得点B4的坐标为（12，2），即点B2相当于是由点B向右平移6个单位得到的，点B4相当于是由点B2向右平移6个单位得到的，由此即可推导得到点B2018的坐标.
25. 6；4
【解答】解：∵（2+ ）2＝4+4 +2＝6+4 ，
∴a＝6、b＝4．
故答案为：6、4．
【分析】先计算出（2+ ）2 ， 再根据(2+ )2＝a+b 可得答案．
26. 5:12
【解答】解：如图，过点D、E分别作AB的垂线DG、EH
∵BF＝3AF，△BDF与△FEA的面积比为3：2，
∴ ＝
∴EH＝2DG
∠C＝90°，BC＝2AC
∴tan∠B＝
∴BG＝2DG
设FG＝x，DG＝a，则BG＝2a，AH＝a，EH＝2a
∴AE＝ ＝ a
∵∠DFE＝90°，
∴∠DFG+∠EFH＝90°
又∵∠FEH+∠EFH＝90°
∴∠DFG＝∠FEH
又∵∠FGD＝∠EHF＝90°
∴△DFG∽△FEH
∴
∴
∴FH＝
∵BF＝3AF
∴2a+x＝3（a+ ）
整理得：x2﹣ax﹣6a2＝0
解得：x＝3a或x＝﹣2a（舍）
∴FH＝ ，BA＝4AF＝4（a+ ）＝
∵∠C＝90°，BC＝2AC
∴AC：BC：AB＝1：2：
∴AC＝ ＝ ，BC＝2AC＝
由勾股定理得：DF＝ ＝ ＝ ，
EF＝ ＝ ＝
∴S△DEF＝ EF•DF＝ × a× ＝
CE＝AC﹣AE＝ ，CD＝CB﹣BD＝ ﹣ ＝
∴S△CDE＝ × × ＝
∴S△CDE：S△DEF＝ ： ＝5：12
故答案为：5：12．
【分析】如图，过点D、E分别作AB的垂线DG、EH，由BF＝3AF及△BDF与△FEA的面积比为3：2，可求得EH和DG的数量关系，设FG＝x，DG＝a，则BG＝2a，AH＝a，EH＝2a，先证明△DFG∽△FEH，用x和a表示出FH，再根据BF＝3AF，列出方程，用含a的式子表示出x，然后用含a的式子表示出相关线段，进而表示出△CDE与△DEF的面积，两者相比即可得解．
27. 34块
【解答】解：若要将前一个图形包起来，上下各需要添一层，左右各需添一层，
即图1木块个数为1×2，图2木块个数为（1+2）×（2+2），图3木块个数为（1+2×2）×（2+2×2），…，图n木块个数为[1+（n﹣1）×2]×[2+（n﹣1）×2]．
由上面规律可知：图4需要木块个数为（1+3×2）×（2+3×2）＝56（块），图5需要木块个数为（1+4×2）×（2+4×2）＝90（块），
故铺第5次时需用90﹣56＝34块木块才能把第四次所铺的完全围起来．
故答案为：34块．
【分析】观察图形发现：若要将前一个图形包起来，上下各需要添一层，左右各需添一层，结合图1两块木块可以得出图n需要木块数为[1+（n﹣1）×2]×[2+（n﹣1）×2]，求出图4图5所需木块数，二者相减即可得出结论．
28. 4；
【解答】解：∵∠AOB=45°，
∴图形中三角形都是等腰直角三角形，
∴S1= （1+3）×2=4；
Sn= ×2×[4+8（n-1）]=8n-4.
故答案为：4；
【分析】观察图形，发现：黑色梯形的高总是2；根据等腰直角三角形的性质，分别求得黑色梯形的两底和依次是4，12，20，…即依次多8.再进一步根据梯形的面积公式进行计算.
29. （0，16）
【解答】根据题意和图形可看出每经过一次变化，都顺时针旋转45°，边长都乘以 ，
∵从A到A3经过了3次变化，
∵45°×3＝135°，1×（ ）3＝2 ，
∴点A3所在的正方形的边长为2 ，点A3位置在第四象限，
∴点A3的坐标是（2，﹣2），
可得出：A1点坐标为（1，1），
A2点坐标为（2，0），
A3点坐标为（2，﹣2），
A4点坐标为（0，﹣4），
A5点坐标为（﹣4，﹣4），
A6点坐标为（﹣8，0），
A7点坐标为（﹣8，8），
A8点坐标为（0，16），
故答案为（0，16）.
【分析】根据题意和图形可看出每经过一次变化，都顺时针旋转45°，边长都乘以 ，所以可求出从A到A3的后变化的坐标，再求出A1、A2、A3、A4、A5 ， 得出A8即可.
30.
【解答】∵DC1∥AC ，
∴Rt△ACD∽△CDC1 ， 同理可证：Rt△C1D1D∽Rt△C1D1C2 ， …；
即白色部分的小直角三角形与阴影部分的小直角三角形逐一对应相似，
∵如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，AC=2，
∴AB=2AC=4，BC=
在Rt△ABC中，CD⊥AB ，
由S= AC•BC= AB•CD ， 故CD=
∴AC：CD=2：
∴白色部分小直角三角形的面积和：阴影部分小直角三角形的面积和=AC2：CD2=4：3，
故S阴影= S△ABC= × ×2×2 = ．
【分析】易知所有白色部分的小直角三角形都与阴影部分的三角形相似，那么它们的面积比应该等于相似比的平方，它们的相似比为AC：CD，AC的长已知，根据直角三角形面积的不同表示方法可求得CD，由此求得阴影部分占△ABC面积的比例大小，从而可求得阴影部分的面积和．
31. 45行．
【解答】观察可得：2=1×(1+1)，
6=2×(2+1)，
12=3×(3+1)，
20=4×(4+1)
…
且前一个因式表示所在行数和所在列数，
∵44×45=1980
∴2018应在第45行.
故答案为45.
【分析】认真观察数列，可以发现每行最后一列数可以表示为：n（n+1），据此作答．
32.
【解答】解：∵OA1=A1A2=A2A3=…=AnAn+1=1，
∴设B1(1,y1),B2(2,y2),B3(3,y3),…Bn(n,yn)，Bn+1（n+1，yn+1），
∵B1,B2,B3…Bn ， Bn+1在反比例函数 的图象上，
∴y1=1,y2= ,y3= ，…，yn= ，yn+1= ，
∴S1= ×1×(y1−y2)= ×1×(1− )= (1− )；
S2= ×1×(y2−y3)= ×( − )；
S3= ×1×(y3−y4)= ×( − )；
…
Sn= ( − )，
∴S1+S2+S3+…+Sn= (1− + − + − +…+ − )= (1- )= .
故答案为： .
【分析】由OA1=A1A2=A2A3=…=AnAn+1=1可知B1点的坐标为（1，y1），B2点的坐标为（2，y2），B3点的坐标为（3，y3）…Bn点的坐标为（n ， yn），Bn+1点的坐标为（n+1，yn+1），把x=1，x=2，x=3代入反比例函数的解析式即可求出y1、y2、y3的值，再由三角形的面积公式可得出S1、S2、S3…Sn的值，故可得出结论．
33. 153
【解答】如：3.
3的立方为27，则2的立方加上7的立方得351，则3的立方加上5的立方再加上1的立方得153，
所以这个数是153.
故答案为：153.
【分析】认真审题，熟悉规则 取符合条件的数如3，6，9等，按规则计算便可得结果.
34. （1）4×5
（2）n2+3n+2
【解答】解：（1）2+4+6+8=4×5，
故答案为4×5； （2）图ⓝ的面积为：（n+1）（n+2）=n2+3n+2，
故答案为n2+3n+2．
【分析】（1）根据题目中的图形，可以将题目中的空补充完整；（2）根据题意，可以计算出图 的面积．
35.
【解答】解：如图示：
等腰直角三角形的腰长为2，
即： ，
∵ 和 是等边三角形， 等腰直角三角形
∴BC=2 ，DM=EN=
延长DF交边BC于点F
∵ 分别是等边△ABD和等边△ACE的重心
∴DM垂直且平分AB，EN垂直且平分AC，
又∵∠BAC=90°
∴AC∥DF
∴点F是BC的中点
同理可得EN的延长线也交BC于点F
∴
∵ ，
∴
∴MN∥
∴ ，即 ，解得 .
【分析】延长DF交边BC于点F，根据等腰直角三角形的腰长为2， 和 是等边三角形，可以求得 ，并且可证MN∥ ，利用平行线之间的线段对应成比例即可求解.
三、解答题
36. 解：当x=sin30°+2﹣1+ 时，
∴x= + +2=3，
原式= ÷ = =﹣5.
【分析】根据分式的运算法则以及实数的运算法则即可求出答案．
37. 解：解：对a，b，c的取值情况分类讨论如下：
①当a，b，c都是正数时，由绝对值的意义可知 的值都是1，所 以 ＝3；
②当a，b，c都是负数时， 的值都是－1，所以 ＝－3；
③当a，b，c中有两个正数，一个负数时， 中有两个1，一个－1，所以它们的和为1；
④当a，b，c中有一个正数，两个负数时， 中有两个－1，一个＋1，所以它们的和为－1.
综上， 的值为±1或±3.
【分析】由于此题没有明确的告知a,b,c的正负，故需要分 ①当a，b，c都是正数时 ， ②当a，b，c都是负数时 ， ③当a，b，c中有两个正数 ， ④当a，b，c中有一个正数 四种情况考虑，再分别根据绝对值的意义去绝对值，最后根据有理数的加法法则即可算出答案.
38. 解：∵x＞10，
∴应交水费=1.5×10+3（x-10）=15+3x-30=3x-15，
当x=16时，3x-15=3×16-15=33元．
故小明家2月份应交水费是（3x-15）元，当x=16时，应交水费是33元
【分析】抓住关键的已知条件：每户每月用水不超过10吨，每吨收费1.5元；每户每月用水超过10吨，超过的部分按每吨3元收费，再由小明家用水超过10吨，就可列出小明家用水x吨所需交的水费；再将x=16代入计算可求解。
39. 解：原式=4-5+1-16+6=-10.
【分析】根据有理数的乘方、零指数幂、负整数指数幂以及特殊角三角函数值的意义进行计算即可得解.
40. 解：由题意得：CA=AB= =1-x，
所以
所以
【分析】根据题意，表示CA以及AB的长度，即可得到x的值，求出答案即可。
四、综合题
41. （1）（20+2x）；（40﹣x）
（2）解：根据题意可得：(20+2x)(40－x)=1200，
解得：
即每件童装降价10元或20元时，平均每天盈利1200元；
（3）解：(20+2x)(40－x)=2000， ，
∵此方程无解，
∴不可能盈利2000元.
【解答】解：(1)设每件童装降价x元时，每天可销售20+2x件，每件盈利40-x元，
故答案为：（20+2x），（40-x）；
【分析】(1)、根据销售量=原销售量+因价格下降而增加的数量；每件利润=原售价－进价－降价，列式即可；(2)、根据总利润=单件利润×数量，列出方程即可；(3)、根据(2)中的相关关系方程，判断方程是否有实数根即可.
42. （1）
（2）解：
（3）解：
＝
＝1﹣
＝ .
【解答】解：（1）由 ，…则： ；
【分析】（1）观察规律可得： ；（2）根据分式加减法的运算法则求解即可证得结论的正确性；（3）利用上面的结论，首先原式可化为： 继而可求得答案.
43. （1）解：∵x☆4=20，
∴4x2+4=20,即4x2=16,
解得：
（2）解：∵2☆a的值小于0，
∴22a+a=5a＜0，解得：a＜0．
在方程2x2﹣bx+a=0中，
△=（﹣b）2﹣8a≥﹣8a＞0，
∴方程2x2﹣bx+a=0有两个不相等的实数根．
【分析】（1）根据题目规定的新运算，即可得到x的值；
（2）根据新运算，计算得到a的取值范围，根据根的判别式进行判断即可得到答案；
44. （1）（15a＋7b）
（2）解：根据题意得， ，
解得：
即a=2,b=3；
（3）解：小王家5月份最多可用水x方米，
当用水为25吨时，费用为 = =15×2+10×3=60元，
∴小王家5月份用水大于25吨，
依题意得 +5（x-25）≤67
即60+5（x-25）≤67
解得x≤26.4吨
答：小王家5月份最多可用水26.4吨.
解：（1）∵小王家今年3月份用水22吨，要交水费为15a＋（22-15）b=15a＋7b，
故答案为：（15a＋7b）；
【分析】（1）根据题意列出代数式即可；（2）根据题意列方程组，即可得到结论；（3）根据题意列出一元一次不等式即可求解.
45. （1）2；4；7 【能力提升】
（2）11；9；10
（3）495；当任选的三位数为 时，第一次运算后得： ， 结果为99的倍数，由于 ，故 ，又 ， ，3，4，5，6，7，8，9 第一次运算后可能得到：198，297，396，495，594，693，792，891， 再让这些数字经过运算，分别可以得到： ， ， ， ， 故都可以得到该黑洞数495．
【解答】解：（1）①
若 ，则
故答案为：2．
②若 ，则
解得
故答案为：4．
③由 ．及四位数的类似公式得
若 ，则
故答案为：7．（2）
则 一定能被 11整除
一定能被9整除．
一定能被10整除．
故答案为：11；9；10．（3）①若选的数为325，则用 ，以下按照上述规则继续计算
故答案为：495．
【分析】（1）①②③均按定义列出方程求解即可；（2）按定义式子展开化简即可；（3）①选取题干中数据，按照定义式子展开，化简到出现循环即可；②按定义式子化简，注意条件 的应用，化简到出现循环数495即可．
46. （1）（n+1）2﹣n2＝2n+1
（2）解：∵22﹣12＝2×1+1①，
32﹣22＝2×2+1②，
42﹣32＝2×3+1③，
……，
（n+1）2﹣n2＝2n+1，
∴将①+②+③+…，得（n+1）2﹣12＝2（1+2+3+…+n）+nn2+2n＝2S1+n，
∴S1= .
【解答】解：（1）（n+1）2﹣n2＝2n+1，
故答案为：（n+1）2﹣n2＝2n+1；
【分析】（1）根据已知算式得出的结果得出规律，即可得出答案；（2）根据已知得出算式，再相加，即可得出答案．
47. （1）解： ;
（2）证明：左边 右边，
等式成立.
【分析】（1）观察给定等式，发现两分数的分子之和为8，根据规律猜想出结论；
（2）将等式的左边通分、合并同类项，得出结果后与等式的右边进行比较，从而得出结论．
48. （1）x5﹣1
（2）xn+1﹣1
（3）解：原式＝（2﹣1）（22019+22018+…+2+1）＝22020﹣1，
∵21＝2，22＝4，23＝8，24＝16，25＝32，
∴2的个位数2，4，8，6循环，
∵2020＝505×4，
∴22020的个位数为6，
则原式的个位数为5．
【解答】解：（1）（x﹣1）（x4+x3+x2+x+1）＝x5﹣1；（2）（x﹣1）（xn+xn﹣1+…+x+1）＝xn+1﹣1；
故答案为：（1）x5﹣1；（2）xn+1﹣1
【分析】（1）根据题干所给出的例子可知（x﹣1）（x4+x3+x2+x+1）＝x5﹣1；（2）根据规律写出通项公式然后证明即可；（3）给等式乘以（2﹣1）从而可知（22019+22018+…+2+1）＝22020﹣1，然后找出2n的尾数规律从而得到答案．
49. （1）解：用总面积减去厨房和卫生间的面积，再减去卧室1的面积即是所铺地板砖的面积．
列式为：5b×5a-（5b-3b）×（5a-3a）-（5a-3a）×2b
化简得17ab
（2）解：所花钱数：17ab×m=17abm元
【分析】（1）抓住关键已知条件：施工方已经把卫生间和厨房根据合同约定铺上了地板砖，因此可得总面积减去厨房和卫生间的面积，再减去卧室1的面积即是所铺地板砖的面积，再根据图中的相关数据先列式，再化简可得结果.
（2）利用铺地板砖的面积×地砖的单价，列式即可。
50. （1）
（2）解：a1+a2+…+a2020
＝1 + +…+
＝1﹣
＝ ；
（3）解： + + +…+
＝ ×（ ）
＝
＝
＝
＝ ．
【分析】（1）根据题目式子的特点，可以得到第6个等式；（2）根据题目中式子的特点，可以求得a1+a2+…+a2020的值；（3）根据题目中的式子，仿照（2）中式子的计算方法可以解答本题．
专题一 实数、代数式
一、单选题
1.（2020·温州模拟）根据温州市民政局社会事务处的历年数据显示，预计今年清明期间全市祭扫人数超310万人次，其中的310万用科学记数法表示为（ ）
A. 310×104 B. 31×105 C. 3.1x106 D. 0.31×107
2.（2020·百色模拟）对于任意实数m、n，定义一种新运算m※n＝mn﹣m﹣n+3，等式的右边是通常的加减和乘法运算，例如：2※6＝2×6﹣2﹣6+3＝7．请根据上述定义解决问题：若a＜4※x＜8，且解集中有2个整数解，则a的取值范围是（ ）
A. ﹣1＜a≤2 B. ﹣1≤a＜2 C. ﹣4≤a＜﹣1 D. ﹣4＜a≤﹣1
3.（2019·曲靖模拟）火灾猛于虎!据应急管理部统计，2018年全国共接报火灾23.7万起，死亡1407人，伤798人，直接财产损失36.75亿元，其中36.75亿元用科学记数法表示正确的是（ ）
A. 3.675×109元 B. 0.3675×1010元 C. 3.675×108元 D. 36.75×108元
4.（2019·大渡口模拟）下列图形是用长度相等的火柴棒按一定规律排列的图形，第（1）个图形中有8根火柴棒，第（2）个图形中有14根火柴棒，第（3）个图形中有20根火柴棒，…，按此规律排列下去，第（6）个图形中，火柴棒的根数是（ ）
A. 34 B. 36 C. 38 D. 48
5.（2019九下·期中）若 = ，则 的值等于（ ）
A. B. C. D.
6.（2020·迁安模拟）通过计算几何图形的面积可表示代数恒等式，图中可表示的代数恒等式是( )
A. (a-b)2=a2-2ab+b2 B. (a+b)2=a2+2ab+b² C. 2a(a+b)=2a2+2ab D. (a+b)(a-b)=a2-b²
7.（2019·朝阳模拟）实数m，n在数轴上对应的点的位置如图所示，若mn＜0，且|m|＜|n|，则原点可能是（ ）
A. 点A B. 点B C. 点C D. 点D
8.两列火车都从A地驶向B地．已知甲车的速度是x千米/时，乙车的速度是y千米/时，经过3小时，乙车距离B地5千米，此刻甲车距离B地（ ）
A. [3(－x＋y)－5]千米 B. [3(x＋y)－5]千米 C. [3(－x＋y)＋5]千米 D. [3(x＋y)＋5]千米
9.下列说法中： ①0的相反数是0；②(﹣1)2＝2；③4的平方根是2；④ 是无理数；⑤(﹣2x)3•x＝﹣8x4.正确的个数是( )
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
10.（2019·新宾模拟）如图，在平面直角坐标系中，将△ABO绕点A顺时针旋转到△AB1C1的位置，点B、O分别落在点B1、C1处，点B1在x轴上，再将△AB1C1绕点B1顺时针旋转到△AB1C2的位置，点C2在x轴上，将△A1B1C2绕点C2顺时针旋转到△A2B2C2的位置，点A2在x轴上，依次进行下去……，若点A（ ，0），B（0，2）．则点B2019的坐标是（ ）
A. （6052，0） B. （6054，2） C. （6058，0） D. （6060，2）
11.（2019九下·新田期中）已知： 表示不超过x的最大整数.例： .令关于 的函数 （ 是正整数），例： .则下列结论错误的是（ ）
A. B. C. D. 或1
12.（2019·天宁模拟）某校数学课外小组，在坐标纸上为学校的一块空地设计植树方案如下：第k棵树种植在点Pk(xk ， yk)处，其中x1＝1，y1＝2，当k≥2时，xk＝xk﹣1+1﹣5（[ ]﹣[ ]），yk＝yk﹣1+[ ]﹣[ ]，[a]表示非负实数a的整数部分，例如[2.6]＝2，[0.2]＝0.按此方案，第2017棵树种植点的坐标为（ ）
A. (5，2017) B. (6，2016) C. (1，404) D. (2，404)
13.（2019·瑶海模拟）1261年，我国南宋数学家杨辉用图中的三角形解释二项和的乘方规律，我们把这个三角形称为“杨辉三角”，请观察图中的数字排列规律，则代数式a+b+c的值为（ ）
A. 22 B. 41 C. 50 D. 51
14.（2020·松滋模拟）观察等式：1+2+22＝23﹣1；1+2+22+23＝24﹣1；1+2+22+23+24＝25﹣1；若1+2+22+…+29＝210﹣1＝a，则用含a的式子表示210+211+212+…+218+219的结果是（ ）
A. a20﹣1 B. a2+a C. a2+a+1 D. a2﹣a
15.（2019九上·上街期末）远古时期，人们通过在绳子上打结来的记录数量，即“结绳计数”，如图，一位母亲在从右到左依次排列的绳子上打结，满七进一，用来记录孩子自出生后的天数，由图可知，孩子自出生后的天数是（ ）
A. 336 B. 510 C. 1326 D. 3603
二、填空题
16.（2019九上·鄂州期末）定义符号min{a，b}的含义为：当a≥b时，min{a，b}＝b；当a＜b时，min{a，b}＝a.如：min{1，﹣2}＝﹣2，min{﹣1，2}＝﹣1.（1）min{x2﹣1，﹣2}＝________；（2）若min{x2﹣2x+k，﹣3}＝﹣3，则实数k的取值范围是________.
17.（2019·许昌模拟）计算： ________。
18.（ ）已知Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝1，AC＝4，如图所示把边长分别为x1 ， x2 ， x3 ， …，xn的n个正方形依次放入△ABC中，则第n个正方形的边长xn＝________(用含n的式子表
示，n≥1).
19.（2018九上·营口期末）如图，一段抛物线：y＝﹣x（x﹣3）（0≤x≤3），记为C1 ， 它与x轴交于点O，A1；将C1绕点A1旋转180°得C2 ， 交x轴于点A2；将C2绕点A2旋转180°得C3 ， 交x轴于点A3；…如此进行下去，直至得C17.若P（50，m）在第17段抛物线C17上，则m＝________.
20.（2019·上海模拟）计算： = ________.
21.（2019九上·灌云月考）某商店经销一种品牌的洗衣机，其中某一型号的洗衣机每台进价为a元，商店将进价提高20%后作为零售价进行销售，一段时间后，商店又以9折优惠价促销，这时该型号洗衣机的零售价为________元．
22.若x2＋y2－4x＋6y＋13＝0，则2x＋3y的值为________．
23.（2019九下·徐州期中）当白色小正方形个数n等于1,2，3…时，由白色小正方形和和黑色小正方形组成的图形分别如图所示.则第n个图形中白色小正方形和黑色小正方形的个数总和等于________.（用n表示，n是正整数）
24.（2018九上·洛阳期末）如图，在平面直角坐标系中，将△ABO绕点A顺时针旋转到△AB1C1的位置，点B、O分别落在点B1、C1处，点B1在x轴上，再将△AB1C1绕点B1顺时针旋转到△A1B1C2的位置，点C2在x轴上，将△A1B1C2绕点C2顺时针旋转到△A2B2C2的位置，点A2在x轴上，依次进行下去….若点A（ ，0），B（0，2），则点B2018的坐标为________.
25.（2019·襄州模拟）如果 (a，b为有理数)，则a＝________，b＝________．
26.（2020·温州模拟）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝2AC，D，E，F分别为BC，AC，AB边上的点，BF＝3AF，∠DFE＝90°，若△BDF与△FEA的面积比为3：2，则△CDE与△DEF的面积比为________．
27.（2020九上·潮南期末）这样铺地板：第一块铺2块，如图1，第二次把第一次的完全围起来，如图2；第三次把第二次的完全围起来，如图3；…依次方法，铺第5次时需用________木块才能把第四次所铺的完全围起来．
28.（2019·天门模拟）如图， ，过OA上到点O的距离分别为1，3，5，7，9， 的点作OA的垂线与OB相交，得到并标出一组黑色梯形，它们的面积分别为 ， ， ， 则第一个黑色梯形的面积 ________；观察图中的规律，第 为正整数 个黑色梯形的面积 ________.
29.（2019·营口模拟）如图，点O（0，0），A（0，1）是正方形OAA1B的两个顶点，以OA1对角线为边作正方形OA1A2B1 ， 再以正方形的对角线OA2作正方形OA1A2B1 ， …，依次规律，则点A8的坐标是________.
30.（2019·上海模拟）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，AC=2．作△ABC的高CD ， 作△CDB的高DC1 ， 作△DC1B的高C1D1 ， ……，如此下去，那么得到的所有阴影三角形的面积之和为________.
31.（2019九下·武冈期中）将正偶数按下表排列：
根据上面的规律，则2018所在行是第________行．
32.（2020·宿州模拟）如图,已知 … 是 轴上的点，且 … ，分别过点 … 作 轴的垂线交反比例函数 的图象于点 … ,过点 作 于点 ,过点 作 于点 ……记 的面积为 , 的面积为 …… 的面积为 ，则 … 等于________．
33.（2019·朝阳模拟）任意写出一个3的倍数 例如： ，首先把这个数各数位上的数字都立方，再相加，得到一个新数，然后把这个新数重复上述运算，运算结果最终会得到一个固定不变的数M，它会掉入一个数字“黑洞” 那么最终掉入“黑洞”的那个数M是________.
34.（2019·合肥模拟）如图，每个图形都由同样大小的小正方形按照一定的规律组成，每个小正方形的面积是1，图①的面积6，图②的面积是12，图③的面积是20，以此类推．
（1）观察以上图形与等式的关系，横线上应填________；
（2）图ⓝ的面积为________（用含n的代数式表示）．
35.（2020·松江模拟）以一个等腰直角三角形的腰为边分别向形外做等边三角形，我们把这两个等边三角形重心之间的距离称作这个等腰直角三角形的“肩心距”.如果一个等腰直角三角形的腰长为2，那么它的“肩心距”________．
三、解答题
36.（2020·郑州模拟）先化简，再求值： ÷（ ﹣x+1），其中x=sin30°+2﹣1+ ．
37.若a，b，c都是非零有理数，求 的值．
38.为了节约用水，某市自来水公司采取以下收费方法：每户每月用水不超过10吨，每吨收费 1.5 元；每户每月用水超过10吨，超过的部分按每吨3元收费 现在已知小明家2月份用水x吨 (x＞10），请用代数式表示小明家2月份应交水费多少元？如果 x=16 ，那么小明家2月份应交水费多少元？
39.（2018九下·新田期中）计算
40.（2018九上·仁寿期中）如图，数轴上表示l和 的对应点分别为A、B，点B关于点A的对称点为C，设点C表示的数为x，
求 的值．
41.（2019九上·新蔡期末）石狮泰禾某童装专卖店在销售中发现，一款童装每件进价为80元，销售价为120元时，每天可售出20件，为了迎接“十一”国庆节，商店决定采取适当的降价措施，以扩大销售量，增加利润，经市场调查发现，如果每件童装降价1元，那么平均可多售出2件.
（1）设每件童装降价x元时，每天可销售________件，每件盈利________元；（用x的代数式表示）
（2）每件童装降价多少元时，平均每天赢利1200元.
（3）要想平均每天赢利2000元，可能吗？请说明理由.
42.（2019·红塔模拟）观察下面的变形规律： ； ； ；….
解答下面的问题：
（1）若n为正整数，请你猜想 ＝________；
（2）证明你猜想的结论；
（3）求和： + + +…+ .
43.（2020·遵化模拟）定义新运算：对于任意实数m、n都有m☆n=m2n+n，等式右边是常用的加法、减法、乘法及乘方运算.
例如：﹣3☆2=（﹣3）2×2+2=20.
根据以上知识解决问题：
（1）x☆4=20,求x；
（2）若2☆a的值小于0，请判断方程：2x2﹣bx+a=0的根的情况.
44.（2020九下·云南月考）水是人类的生命之源，为了鼓励居民节约用水，相关部门实行居民生活用水阶梯式计量水价政策，下表是昆明市居民“一表一户”生活用水阶梯式计费价格表的部分信息，请解答：
自来水销售价格
每户每月用水量
单位：元/吨
15吨及以下
a
超过15吨但不超过25吨的部分
b
超过25吨的部分
5
（1）小王家今年3月份用水22吨，要交水费________元（用含a，b的代数式表示）；
（2）小王家今年4月份用水21吨，交水费48元；邻居小李家4月份用水27吨，交水费70元，求a，b的值；
（3）如果小王家5月份用水水费计划不超过67元，则小王家5月份最多可用水多少吨？
45.（2020·北京模拟）若一个两位数十位、个位上的数字分别为 ，，我们可将这个两位数记为 ，易知 ；同理，一个三位数、四位数等均可以用此记法，如 ．
【基础训练】
（1）解方程填空：
①若 ，则 ________；
②若 ，则 ________；
③若 ，则 ________；
（2）交换任意一个两位数 的个位数字与十位数字，可得到一个新数 ，则 一定能被________整除， 一定能被________整除， 一定能被________整除；（请从大于5的整数中选择合适的数填空）
（3）【探索发现】
北京时间2019年4月10日21时，人类拍摄的首张黑洞照片问世，黑洞是一种引力极大的天体，连光都逃脱不了它的束缚．数学中也存在有趣的黑洞现象：任选一个三位数，要求个、十、百位的数字各不相同，把这个三位数的三个数字按大小重新排列，得出一个最大的数和一个最小的数，用得出的最大的数减去最小的数得到一个新数（例如若选的数为325，则用 ，再将这个新数按上述方式重新排列，再相减，像这样运算若干次后一定会得到同一个重复出现的数，这个数称为“卡普雷卡尔黑洞数”．
①该“卡普雷卡尔黑洞数”为________；
②设任选的三位数为 （不妨设 ，试说明其均可产生该黑洞数________．
46.（2019·贵池模拟）我们知道，（k+1）2＝k2+2k+1，变形得：（k+1）2﹣k2＝2k+1，对上面的等式，依次令k＝1，2，3，…得：
第1个等式：22﹣12＝2×1+1
第2个等式：32﹣22＝2×2+1
第3个等式：42﹣32＝2×3+1
（1）按规律，写出第n个等式（用含n的等式表示）：第n个等式________．
（2）记S1＝1+2+3+…+n ， 将这n个等式两边分别相加，你能求出S1的公式吗？
47.（2019·合肥模拟）阅读理解：
观察下列各等式：
（1）猜想并用含字母 的等式表示以上规律；
（猜想）
（2）证明你写出的等式的符合题意性.
（证明）
48.（2019·芜湖模拟）观察以下等式：
第1个等式：（x﹣1）（x+1）＝x2﹣1；
第2个等式：（x﹣1）（x2+x+1）＝x3﹣1
第3个等式：（x﹣1）（x3+x2+x+1）＝x4﹣1：…
按照以上规律，解决下列问题：
（1）写出第4个等式：（x﹣1）（x4+x3+x2+x+1）＝________；
（2）写出你猜想的第n个等式：（x﹣1）（xn+xn﹣1+…+x+1）＝________；
（3）请利用上述规律，确定22019+22018+…+2+1的个位数字是多少？
49.李老师刚买了一套2室2厅的新房，其结构如图3－3－5所示(单位：米)．施工方已经把卫生间和厨房根据合同约定铺上了地板砖，李老师打算把卧室1铺上地毯，其余铺地板砖．问：
（1）他至少需要多少平方米的地板砖？
（2）如果这种地砖板每平方米m元，那么李老师至少要花多少钱？
50.（2019·颍泉模拟）观察下列等式：
第1个等式：
第2个等式：
第3个等式：
第4个等式：
第5个等式：
解答下列问题：
（1）按以上规律写出第6个等式：________；
（2）求a1+a2+…+a2020的值；
（3）求 的值．
答案解析部分
一、单选题
1. C
【解答】解：310万=3.1×106.
故答案为：C.
【分析】根据科学记数法的表示形式为：a×10n。其中1≤|a|＜10，此题是绝对值较大的数，因此n=整数数位-1。
2. B
【解答】解：根据题意得 ，
解不等式①，得：x＞ ，
解不等式②，得：x＜3，
则不等式组的解集为 ＜x＜3，
∵不等式组的解集中有2个整数解，
∴0≤ ＜1，
解得﹣1≤a＜2，
故答案为：B．
【分析】根据新定义列出不等式组，根据一元一次不等式组的解法解出不等式组，根据题意求出a的取值范围．
3. A
【解答】解：将35.75亿用科学记数法表示为：3.675×109.
故答案为：A
【分析】把35.75亿元=3675000000元，变为a小数点移动9位，所以n=9即科学记数法：3.675×109
4. C
【解答】根据数据，结合图形，不难发现：后边的图形总比前边的图形多6.即第n个图形中，
有8+6（n-1）=6n+2.
所以，第（6）个图形中，火柴棒的根数是6×6+2=38.
故答案为：C.
【分析】本题是一道通过图形变化而发现规律的题型.
5. C
【解答】解：设b=3x，则a=2x，
所以 = = ．
故答案为：C．
【分析】由b和a的比例，可以设b=3x，则a=2x，根据代数式，代入a和b，即可得到答案。
6. D
【解答】解：图1阴影部分面积=a2-b2
图2阴影部分面积=（a+b）（a-b）
∴a2-b2=（a+b）（a-b）
故答案为：D.
【分析】根据题意，由矩形面积的计算公式，分别计算得到阴影部分面积，两个面积相等即可列出等式，得到答案即可。
7. B
【解答】解：∵mn＜0
∴m、n异号
∴原点可能是点B或点C
又由|m|＜|n|，观察数轴可知，原点应该是点B．
故答案为：B．
【分析】由若mn＜0可知，m、n异号，所以原点可能是点B或点C，而又由|m|＜|n|即可根据距离符合题意判断．
8. C
【解答】解：∵经过3小时，乙车距离B地5千米，
∴A、B两地的距离为3y+5
∴此刻甲车距离B地3y+5-3x=[3(－x＋y)＋5]千米.
故答案为：C.
【分析】抓住题中关键已知条件经过3小时，乙车距离B地5千米，可表示出A、B两地的距离，再用A、B的距离减去甲车3小时行驶的路程，列式计算即可。
9. B
【解答】解：①0的相反数是0；故本小题正确；
② ；故本小题错误；
③4的平方根是 2；故本小题错误
④ 是无限循环小数，是有理数，故本小题错误；
⑤ ，故本小题正确；
综上所述，正确的有①⑤，共2个.
故答案为：B.
【分析】根据相反数的定义，平方及平方根，无理数定义、以及积的乘方的计算进行分析，即可求解.
10. C
【解答】解：∵AO＝ ，BO＝2，
∴B2的横坐标为：6，且B2C2＝2，
∴B4的横坐标为：2×6＝12，
∴点B2018的横坐标为：2018÷2×6＝6054．
∴点B2018的纵坐标为：2．
∴点B2018的坐标为：（6054，2），
∴B2019的横坐标为
∴点B2017的坐标为（6058，0），
故答案为：C．
【分析】根据A,B的坐标得出OA,OB的长度，利用勾股定理求出AB的长度，再利用旋转的性质求出 的长度，进一步求出 的坐标，同理出去 的坐标，找到规律，利用规律解题即可.
11. C
【解答】根据函数的关系式逐个判断：
A. =0.
B , ， .故不符合题意.
C. ， ，故符合题意.
D 符合题意. =0或1，
故答案为：C
【分析】根据题意首先要理解新定义，再根据新定义逐个判断选项即可.
12. D
【解答】解：∵[ ]﹣[ ]组成的数为
1，0，0，0，0，1，0，0，0，0，1，0，0，0，0，1…，
将k＝1，2，3，4，5，…，
一一代入计算得xn为
1，2，3，4，5，1，2，3，4，5，1，2，3，4，5，…
即xn的重复规律是x5n+1＝1，x5n+2＝2，x5n+3＝3，x5n+4＝4，x5n＝5.
∴{yn}为1，1，1，1，1，2，2，2，2，2，3，3，3，3，3，4，4，4，4，4，…
即yn的重复规律是y5n+k＝n，0≤k＜5.
∴y2017=y5×403+2=404
∴由题意可知第2017棵树种植点的坐标应（2，404）.
故答案为：D.
【分析】根据规律找出种植点的横坐标及纵坐标的表述规律，然后代入2017进行计算即可求出结论.
13. B
【解答】由图可得，
a＝1+5＝6，b＝5+10＝15，c＝10+10＝20，
∴a+b+c＝6+15+20＝41，
故答案为：B．
【分析】根据题目中的数据可知，a、b、c分别为上一行中左上角和右上角的数字之和，从而可以求得所求式子的值．
14. B
【解答】解：由已知可得1+2+22+…+29+210+211+212+…+218+219＝220﹣1，
∵1+2+22+…+29＝210﹣1＝a，
∴210+211+212+…+218+219＝220﹣1﹣210+1＝220﹣210 ，
∵210﹣1＝a，
∴220﹣210＝a（a+1），
故答案为：B.
【分析】根据题意由已知规律可得：1+2+22+…+29+210+211+212+…+218+219＝220﹣1，再由已知1+2+22+…+29＝210﹣1＝a，进而分析求得.
15. B
【解答】解：孩子自出生后的天数是1×73+3×72+2×7+6=510.
故答案为：B.
【分析】类比于现在我们的十进制“满十进一”，可以表示满七进一的数为：千位上的数×73+百位上的数×72+十位上的数×7+个位上的数.
二、填空题
16. ﹣2；k≥﹣2
【解答】（1）∵x2≥0，
∴x2-1≥-1，
∴x2-1＞-2.
∴min{x2-1，-2}=-2，（2）∵x2-2x+k=（x-1）2+k-1，
∴（x-1）2+k-1≥k-1.
∵min{x2-2x+k，-3}=-3，
∴k-1≥-3.
∴k≥-2.
故答案为-2，k≥-2.
【分析】（1）比较x2-1与-2的大小，得到答案；（2）把x2-x+k化为x2-x+k=（x-1）2+k-1的形式，确定k的取值范围.
17. 1
【解答】原式=3-2=1.故答案为：1.
【分析】先求出， 然后进行减法计算即可.
18.
【解答】解：如图所示，∵四边形DCEF是正方形，
∴DF∥CE，
∴△BDF∽△BCA，
∴DF∶AC＝BD∶BC，
即x1∶4＝(1－x1)∶1，
解得x1＝ .
同理，前两个小正方形上方的三角形相似， ＝ ，解得x2＝ .同理可求x3＝ × ＝ ，…以此类推，第n个正方形的边长xn＝ .
故答案为： .
【分析】根据矩形的对边平行得出DF∥CE，根据平行于三角形一边的直线截其它两边，所截的三角形与原三角形相似得出△BDF∽△BCA，根据相似三角形对应边成比例得出DF∶AC＝BD∶BC，根据比例式列出方程，求解算出x1 ， 同理求出x2,x3……进而即可发现规律得出 第n个正方形的边长xn .
19. 2
【解答】∵一段抛物线：y＝﹣x（x﹣3）（0≤x≤3），
∴图象与x轴交点坐标为：（0，0），（3，0），
∵将C1绕点A1旋转180°得C2 ， 交x轴于点A2；
将C2绕点A2旋转180°得C3 ， 交x轴于点A3；
…
如此进行下去，直至得C17.
∴C17的解析式与x轴的交点坐标为（48，0），（51，0），且图象在x轴上方，
∴C13的解析式为：y13＝﹣（x﹣48）（x﹣51），
当x＝50时，m＝﹣（50﹣48）×（50﹣51）＝2.
故答案为：2.
【分析】根据图象的旋转变化规律以及二次函数的平移规律得出平移后解析式，进而求出m的值.
20. 2
【解答】 =-（-2）=2.
故填：2.
【分析】根据实数的性质即可求解.
21. 1.08a
【解答】根据题意得：a•（1+20%）×90%=1.08a；故答案为1.08a．
【分析】根据题意可知这时该型号洗衣机的零售价=进价×（1+20％）×0.9，再列式进行化简。
22. －5
【解答】解：∵ x2＋y2－4x＋6y＋13＝0，
x2－4x＋4＋y2+6y＋9＝0，
∴(x-2)2+(y+3)2=0,
∴x-2=0, y+3=0,
∴x=2, y=-3,
∴2x+3y=2×2+3×(-3)=-5.
故答案为：-5.
【分析】先把左式化成两个完全平方式的和，根据非负数之和等于0，则每个非负数等于0列式求出x、y, 代入原式求值即可.
23.
【解答】解：寻找规律：
n=1时，白色小正方形和黑色小正方形的个数总和等于 个；
n=2时，白色小正方形和黑色小正方形的个数总和等于 个；
n=3时，白色小正方形和黑色小正方形的个数总和等于 个；
……
∴第n个图形中，白色小正方形和黑色小正方形的个数总和等于 个。
故答案为： .
【分析】探索图形规律的题，根据图形中小正方形的摆放特点，图形中白色小正方形和黑色小正方形的个数总和 为序号数与2的和的完全平方与4的差，进而即可得出第n个图形中，白色小正方形和黑色小正方形的个数总和为.
24. （6054，2）
【解答】∵在△AOB中，∠AOB=90°，OA= ，OB=2，
∴AB= ，
∴由旋转的性质可得：OA+AB1+B1C2=OA+AB+OB=6，C2B2=OB=2，
∴点B2的坐标为（6，2），
同理可得点B4的坐标为（12，2），
由此可得点B2相当于是由点B向右平移6个单位得到的，点B4相当于是由点B2向右平移6个单位得到，
∴点B2018相当于是由点B向右平移了： 个单位得到的，
∴点B2018的坐标为（6054，2）.
故答案为：（6054，2）.
【分析】题意和图形可知，点B1、B3、B5、……在x轴上，点B2、B4、B6、……在第一象限内，由已知易得AB= ，结合旋转的性质可得OA+AB1+B1C2=6，从而可得点B2的坐标为（6，2），同理可得点B4的坐标为（12，2），即点B2相当于是由点B向右平移6个单位得到的，点B4相当于是由点B2向右平移6个单位得到的，由此即可推导得到点B2018的坐标.
25. 6；4
【解答】解：∵（2+ ）2＝4+4 +2＝6+4 ，
∴a＝6、b＝4．
故答案为：6、4．
【分析】先计算出（2+ ）2 ， 再根据(2+ )2＝a+b 可得答案．
26. 5:12
【解答】解：如图，过点D、E分别作AB的垂线DG、EH
∵BF＝3AF，△BDF与△FEA的面积比为3：2，
∴ ＝
∴EH＝2DG
∠C＝90°，BC＝2AC
∴tan∠B＝
∴BG＝2DG
设FG＝x，DG＝a，则BG＝2a，AH＝a，EH＝2a
∴AE＝ ＝ a
∵∠DFE＝90°，
∴∠DFG+∠EFH＝90°
又∵∠FEH+∠EFH＝90°
∴∠DFG＝∠FEH
又∵∠FGD＝∠EHF＝90°
∴△DFG∽△FEH
∴
∴
∴FH＝
∵BF＝3AF
∴2a+x＝3（a+ ）
整理得：x2﹣ax﹣6a2＝0
解得：x＝3a或x＝﹣2a（舍）
∴FH＝ ，BA＝4AF＝4（a+ ）＝
∵∠C＝90°，BC＝2AC
∴AC：BC：AB＝1：2：
∴AC＝ ＝ ，BC＝2AC＝
由勾股定理得：DF＝ ＝ ＝ ，
EF＝ ＝ ＝
∴S△DEF＝ EF•DF＝ × a× ＝
CE＝AC﹣AE＝ ，CD＝CB﹣BD＝ ﹣ ＝
∴S△CDE＝ × × ＝
∴S△CDE：S△DEF＝ ： ＝5：12
故答案为：5：12．
【分析】如图，过点D、E分别作AB的垂线DG、EH，由BF＝3AF及△BDF与△FEA的面积比为3：2，可求得EH和DG的数量关系，设FG＝x，DG＝a，则BG＝2a，AH＝a，EH＝2a，先证明△DFG∽△FEH，用x和a表示出FH，再根据BF＝3AF，列出方程，用含a的式子表示出x，然后用含a的式子表示出相关线段，进而表示出△CDE与△DEF的面积，两者相比即可得解．
27. 34块
【解答】解：若要将前一个图形包起来，上下各需要添一层，左右各需添一层，
即图1木块个数为1×2，图2木块个数为（1+2）×（2+2），图3木块个数为（1+2×2）×（2+2×2），…，图n木块个数为[1+（n﹣1）×2]×[2+（n﹣1）×2]．
由上面规律可知：图4需要木块个数为（1+3×2）×（2+3×2）＝56（块），图5需要木块个数为（1+4×2）×（2+4×2）＝90（块），
故铺第5次时需用90﹣56＝34块木块才能把第四次所铺的完全围起来．
故答案为：34块．
【分析】观察图形发现：若要将前一个图形包起来，上下各需要添一层，左右各需添一层，结合图1两块木块可以得出图n需要木块数为[1+（n﹣1）×2]×[2+（n﹣1）×2]，求出图4图5所需木块数，二者相减即可得出结论．
28. 4；
【解答】解：∵∠AOB=45°，
∴图形中三角形都是等腰直角三角形，
∴S1= （1+3）×2=4；
Sn= ×2×[4+8（n-1）]=8n-4.
故答案为：4；
【分析】观察图形，发现：黑色梯形的高总是2；根据等腰直角三角形的性质，分别求得黑色梯形的两底和依次是4，12，20，…即依次多8.再进一步根据梯形的面积公式进行计算.
29. （0，16）
【解答】根据题意和图形可看出每经过一次变化，都顺时针旋转45°，边长都乘以 ，
∵从A到A3经过了3次变化，
∵45°×3＝135°，1×（ ）3＝2 ，
∴点A3所在的正方形的边长为2 ，点A3位置在第四象限，
∴点A3的坐标是（2，﹣2），
可得出：A1点坐标为（1，1），
A2点坐标为（2，0），
A3点坐标为（2，﹣2），
A4点坐标为（0，﹣4），
A5点坐标为（﹣4，﹣4），
A6点坐标为（﹣8，0），
A7点坐标为（﹣8，8），
A8点坐标为（0，16），
故答案为（0，16）.
【分析】根据题意和图形可看出每经过一次变化，都顺时针旋转45°，边长都乘以 ，所以可求出从A到A3的后变化的坐标，再求出A1、A2、A3、A4、A5 ， 得出A8即可.
30.
【解答】∵DC1∥AC ，
∴Rt△ACD∽△CDC1 ， 同理可证：Rt△C1D1D∽Rt△C1D1C2 ， …；
即白色部分的小直角三角形与阴影部分的小直角三角形逐一对应相似，
∵如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，AC=2，
∴AB=2AC=4，BC=
在Rt△ABC中，CD⊥AB ，
由S= AC•BC= AB•CD ， 故CD=
∴AC：CD=2：
∴白色部分小直角三角形的面积和：阴影部分小直角三角形的面积和=AC2：CD2=4：3，
故S阴影= S△ABC= × ×2×2 = ．
【分析】易知所有白色部分的小直角三角形都与阴影部分的三角形相似，那么它们的面积比应该等于相似比的平方，它们的相似比为AC：CD，AC的长已知，根据直角三角形面积的不同表示方法可求得CD，由此求得阴影部分占△ABC面积的比例大小，从而可求得阴影部分的面积和．
31. 45行．
【解答】观察可得：2=1×(1+1)，
6=2×(2+1)，
12=3×(3+1)，
20=4×(4+1)
…
且前一个因式表示所在行数和所在列数，
∵44×45=1980
∴2018应在第45行.
故答案为45.
【分析】认真观察数列，可以发现每行最后一列数可以表示为：n（n+1），据此作答．
32.
【解答】解：∵OA1=A1A2=A2A3=…=AnAn+1=1，
∴设B1(1,y1),B2(2,y2),B3(3,y3),…Bn(n,yn)，Bn+1（n+1，yn+1），
∵B1,B2,B3…Bn ， Bn+1在反比例函数 的图象上，
∴y1=1,y2= ,y3= ，…，yn= ，yn+1= ，
∴S1= ×1×(y1−y2)= ×1×(1− )= (1− )；
S2= ×1×(y2−y3)= ×( − )；
S3= ×1×(y3−y4)= ×( − )；
…
Sn= ( − )，
∴S1+S2+S3+…+Sn= (1− + − + − +…+ − )= (1- )= .
故答案为： .
【分析】由OA1=A1A2=A2A3=…=AnAn+1=1可知B1点的坐标为（1，y1），B2点的坐标为（2，y2），B3点的坐标为（3，y3）…Bn点的坐标为（n ， yn），Bn+1点的坐标为（n+1，yn+1），把x=1，x=2，x=3代入反比例函数的解析式即可求出y1、y2、y3的值，再由三角形的面积公式可得出S1、S2、S3…Sn的值，故可得出结论．
33. 153
【解答】如：3.
3的立方为27，则2的立方加上7的立方得351，则3的立方加上5的立方再加上1的立方得153，
所以这个数是153.
故答案为：153.
【分析】认真审题，熟悉规则 取符合条件的数如3，6，9等，按规则计算便可得结果.
34. （1）4×5
（2）n2+3n+2
【解答】解：（1）2+4+6+8=4×5，
故答案为4×5； （2）图ⓝ的面积为：（n+1）（n+2）=n2+3n+2，
故答案为n2+3n+2．
【分析】（1）根据题目中的图形，可以将题目中的空补充完整；（2）根据题意，可以计算出图 的面积．
35.
【解答】解：如图示：
等腰直角三角形的腰长为2，
即： ，
∵ 和 是等边三角形， 等腰直角三角形
∴BC=2 ，DM=EN=
延长DF交边BC于点F
∵ 分别是等边△ABD和等边△ACE的重心
∴DM垂直且平分AB，EN垂直且平分AC，
又∵∠BAC=90°
∴AC∥DF
∴点F是BC的中点
同理可得EN的延长线也交BC于点F
∴
∵ ，
∴
∴MN∥
∴ ，即 ，解得 .
【分析】延长DF交边BC于点F，根据等腰直角三角形的腰长为2， 和 是等边三角形，可以求得 ，并且可证MN∥ ，利用平行线之间的线段对应成比例即可求解.
三、解答题
36. 解：当x=sin30°+2﹣1+ 时，
∴x= + +2=3，
原式= ÷ = =﹣5.
【分析】根据分式的运算法则以及实数的运算法则即可求出答案．
37. 解：解：对a，b，c的取值情况分类讨论如下：
①当a，b，c都是正数时，由绝对值的意义可知 的值都是1，所 以 ＝3；
②当a，b，c都是负数时， 的值都是－1，所以 ＝－3；
③当a，b，c中有两个正数，一个负数时， 中有两个1，一个－1，所以它们的和为1；
④当a，b，c中有一个正数，两个负数时， 中有两个－1，一个＋1，所以它们的和为－1.
综上， 的值为±1或±3.
【分析】由于此题没有明确的告知a,b,c的正负，故需要分 ①当a，b，c都是正数时 ， ②当a，b，c都是负数时 ， ③当a，b，c中有两个正数 ， ④当a，b，c中有一个正数 四种情况考虑，再分别根据绝对值的意义去绝对值，最后根据有理数的加法法则即可算出答案.
38. 解：∵x＞10，
∴应交水费=1.5×10+3（x-10）=15+3x-30=3x-15，
当x=16时，3x-15=3×16-15=33元．
故小明家2月份应交水费是（3x-15）元，当x=16时，应交水费是33元
【分析】抓住关键的已知条件：每户每月用水不超过10吨，每吨收费1.5元；每户每月用水超过10吨，超过的部分按每吨3元收费，再由小明家用水超过10吨，就可列出小明家用水x吨所需交的水费；再将x=16代入计算可求解。
39. 解：原式=4-5+1-16+6=-10.
【分析】根据有理数的乘方、零指数幂、负整数指数幂以及特殊角三角函数值的意义进行计算即可得解.
40. 解：由题意得：CA=AB= =1-x，
所以
所以
【分析】根据题意，表示CA以及AB的长度，即可得到x的值，求出答案即可。
四、综合题
41. （1）（20+2x）；（40﹣x）
（2）解：根据题意可得：(20+2x)(40－x)=1200，
解得：
即每件童装降价10元或20元时，平均每天盈利1200元；
（3）解：(20+2x)(40－x)=2000， ，
∵此方程无解，
∴不可能盈利2000元.
【解答】解：(1)设每件童装降价x元时，每天可销售20+2x件，每件盈利40-x元，
故答案为：（20+2x），（40-x）；
【分析】(1)、根据销售量=原销售量+因价格下降而增加的数量；每件利润=原售价－进价－降价，列式即可；(2)、根据总利润=单件利润×数量，列出方程即可；(3)、根据(2)中的相关关系方程，判断方程是否有实数根即可.
42. （1）
（2）解：
（3）解：
＝
＝1﹣
＝ .
【解答】解：（1）由 ，…则： ；
【分析】（1）观察规律可得： ；（2）根据分式加减法的运算法则求解即可证得结论的正确性；（3）利用上面的结论，首先原式可化为： 继而可求得答案.
43. （1）解：∵x☆4=20，
∴4x2+4=20,即4x2=16,
解得：
（2）解：∵2☆a的值小于0，
∴22a+a=5a＜0，解得：a＜0．
在方程2x2﹣bx+a=0中，
△=（﹣b）2﹣8a≥﹣8a＞0，
∴方程2x2﹣bx+a=0有两个不相等的实数根．
【分析】（1）根据题目规定的新运算，即可得到x的值；
（2）根据新运算，计算得到a的取值范围，根据根的判别式进行判断即可得到答案；
44. （1）（15a＋7b）
（2）解：根据题意得， ，
解得：
即a=2,b=3；
（3）解：小王家5月份最多可用水x方米，
当用水为25吨时，费用为 = =15×2+10×3=60元，
∴小王家5月份用水大于25吨，
依题意得 +5（x-25）≤67
即60+5（x-25）≤67
解得x≤26.4吨
答：小王家5月份最多可用水26.4吨.
解：（1）∵小王家今年3月份用水22吨，要交水费为15a＋（22-15）b=15a＋7b，
故答案为：（15a＋7b）；
【分析】（1）根据题意列出代数式即可；（2）根据题意列方程组，即可得到结论；（3）根据题意列出一元一次不等式即可求解.
45. （1）2；4；7 【能力提升】
（2）11；9；10
（3）495；当任选的三位数为 时，第一次运算后得： ， 结果为99的倍数，由于 ，故 ，又 ， ，3，4，5，6，7，8，9 第一次运算后可能得到：198，297，396，495，594，693，792，891， 再让这些数字经过运算，分别可以得到： ， ， ， ， 故都可以得到该黑洞数495．
【解答】解：（1）①
若 ，则
故答案为：2．
②若 ，则
解得
故答案为：4．
③由 ．及四位数的类似公式得
若 ，则
故答案为：7．（2）
则 一定能被 11整除
一定能被9整除．
一定能被10整除．
故答案为：11；9；10．（3）①若选的数为325，则用 ，以下按照上述规则继续计算
故答案为：495．
【分析】（1）①②③均按定义列出方程求解即可；（2）按定义式子展开化简即可；（3）①选取题干中数据，按照定义式子展开，化简到出现循环即可；②按定义式子化简，注意条件 的应用，化简到出现循环数495即可．
46. （1）（n+1）2﹣n2＝2n+1
（2）解：∵22﹣12＝2×1+1①，
32﹣22＝2×2+1②，
42﹣32＝2×3+1③，
……，
（n+1）2﹣n2＝2n+1，
∴将①+②+③+…，得（n+1）2﹣12＝2（1+2+3+…+n）+nn2+2n＝2S1+n，
∴S1= .
【解答】解：（1）（n+1）2﹣n2＝2n+1，
故答案为：（n+1）2﹣n2＝2n+1；
【分析】（1）根据已知算式得出的结果得出规律，即可得出答案；（2）根据已知得出算式，再相加，即可得出答案．
47. （1）解： ;
（2）证明：左边 右边，
等式成立.
【分析】（1）观察给定等式，发现两分数的分子之和为8，根据规律猜想出结论；
（2）将等式的左边通分、合并同类项，得出结果后与等式的右边进行比较，从而得出结论．
48. （1）x5﹣1
（2）xn+1﹣1
（3）解：原式＝（2﹣1）（22019+22018+…+2+1）＝22020﹣1，
∵21＝2，22＝4，23＝8，24＝16，25＝32，
∴2的个位数2，4，8，6循环，
∵2020＝505×4，
∴22020的个位数为6，
则原式的个位数为5．
【解答】解：（1）（x﹣1）（x4+x3+x2+x+1）＝x5﹣1；（2）（x﹣1）（xn+xn﹣1+…+x+1）＝xn+1﹣1；
故答案为：（1）x5﹣1；（2）xn+1﹣1
【分析】（1）根据题干所给出的例子可知（x﹣1）（x4+x3+x2+x+1）＝x5﹣1；（2）根据规律写出通项公式然后证明即可；（3）给等式乘以（2﹣1）从而可知（22019+22018+…+2+1）＝22020﹣1，然后找出2n的尾数规律从而得到答案．
49. （1）解：用总面积减去厨房和卫生间的面积，再减去卧室1的面积即是所铺地板砖的面积．
列式为：5b×5a-（5b-3b）×（5a-3a）-（5a-3a）×2b
化简得17ab
（2）解：所花钱数：17ab×m=17abm元
【分析】（1）抓住关键已知条件：施工方已经把卫生间和厨房根据合同约定铺上了地板砖，因此可得总面积减去厨房和卫生间的面积，再减去卧室1的面积即是所铺地板砖的面积，再根据图中的相关数据先列式，再化简可得结果.
（2）利用铺地板砖的面积×地砖的单价，列式即可。
50. （1）
（2）解：a1+a2+…+a2020
＝1 + +…+
＝1﹣
＝ ；
（3）解： + + +…+
＝ ×（ ）
＝
＝
＝
＝ ．
【分析】（1）根据题目式子的特点，可以得到第6个等式；（2）根据题目中式子的特点，可以求得a1+a2+…+a2020的值；（3）根据题目中的式子，仿照（2）中式子的计算方法可以解答本题．
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