重庆市第一中学校2021届高三上学期第三次月考数学试题
展开秘密★启用前【考试时间：2020年11月27日15:00-17:00】
2020年重庆一中高2021届高三上期第三次月考
数学测试试题
本卷满分150分，考试时间120分钟．
注意事项：
1．答卷前，务必将自己姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上．
2．作答时，务必将答案书写在答题卡规定的位置上．写在本试卷上及草稿纸上无效．
3．考试结束后，将答题卡交回．
一、单项选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分，每个小题只有一个正确选项．
1．已知复数，则复数z的虚部是（ ）
A． B．1 C．i D．
2．已知集合，则A的真子集共有（ ）个
A．3 B．4 C．6 D．7
3．已知某圆锥的母线长为4，底面圆的半径为2，则圆锥的全面积为（ ）
A． B． C． D．
4．为了衡量星星的明暗程度，古希腊天文学家喜帕恰斯在公元前二世纪首先提出了星等这个概念．星等的数值越小，星星就越亮；星等的数值越大它的光就越暗．到了1850年，由于光度计在天体光度测量的应用，英国天文学家普森又提出了亮度的概念，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述．两颗星的星等与亮度满足，其中星等为的星的亮度为．已知“心宿二”的星等是1.00，“天津四”的星等是1.25，则“心宿二”的亮度大约是“天津四”的（ ）倍．（当较小时，）
A．1.22 B．1.23 C．1.26 D．1.27
5．向量满足，与的夹角为，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
6．已知三棱锥，过点P作平面，O为中的一点，且，则点O为的（ ）
A．垂心 B．内心 C．重心 D．外心
7．设，，，则（ ）
A． B． C． D．
8．已知三棱锥的四个顶点均在同一个确定的球面上，且，，若三棱锥体积的最大值为3，则其外接球的半径为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．
9．设m、n是两条不同的直线，、是两个不同的平面，下列命题中错误的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
10．下列函数中，在内是减函数的是（ ）
A． B． C． D．
11．下列关于函数的图像或性质的说法中，正确的为（ ）
A．函数的图像关于直线对称
B．将函数的图像向右平移个单位所得图像的函数为
C．函数在区间上单调递增
D．若，则
12．定义在上的函数的导函数为，且，则对任意、，其中，则下列不等式中一定成立的有（ ）
A． B．
C． D．
三、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分，各题答案必须填写在答题卡相应的位置上．
13．已知球O的体积为，则球O的表面积为___________．
14．已知向量不共线，若与平行，则的值为___________．
15．一般把数字出现的规律满足如图的模型称为蛇形模型：数字1出现在第1行；数字2，3出现在第2行；数字6，5，4（从左至右）出现在第3行；数字7，8，9，10出现在第4行，依此类推，则第21行从左至右的第4个数字应是____________．
16．已知等比数列的公比为q，且，，则q的取值范围为_________；能使不等式成立的最大正整数_________．（注：前一空2分，后一空3分）
四、解答题：本大题6个小题，共70分，各题解答必须答在答题卡相应题目指定方框内，并写出必要的文字说明、演算步骤或推理过程．
17．（本小题满分10分）在四棱柱中，底面是等腰梯形，M是线段的中点，．
（1）求证：平面；
（2）求异面直线与所成角的余弦值．
18．（本小题满分12分）已知数列满足：，且对任意的，都有1，成等差数列．
（1）证明数列等比数列；
（2）已知数列前n和为，条件①：，条件②：，
请在条件①②中仅选择一个条件作为已知条件来求数列前n和．
注：若两个条件都计算了，只按照第一个条件来评分！
9．（本小题满分12分）已知椭圆C的两个焦点分别为，短轴的两个端点分别为．且．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）过点的直线l与椭圆C相交于P，Q两点，且，求直线l的方程．
20．（本小题满分12分）已知，记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．
（1）求的取值范围；
（2）当，且取（1）中的最大值时，求的面积．
21．（本小题满分12分）在直三棱柱中，，D，分别是线段的中点，过线段的中点P作的平行线，分别交，于点M，N．
（1）证明：平面平面；
（2）求二面角的余弦值．
22．（本小题满分12分）已知．其中常数．
（1）当时，求在上的最大值；
（2）若对任意均有两个极值点，
（ⅰ）求实数b的取值范围；
（ⅱ）当时，证明：．
2020年重庆一中高2021届高三上期第三次月考
数学测试试题 参考答案
一、单项选择题：1-8：BDBCDACA
二、多项选择题：9．ABD 10．ABC 11．AD 12．ABC
三、填空题
13． 14． 15．228 16． 4039
四、解答题
17．解：（1）证明：因为四边形是等腰梯形，且，所以．又由M是的中点，
因此且．连接，在四棱柱中，因为，可得，所以四边形为平行四边形．因此，又平面，平面，所以平面． 5分
（2）因为，所以异面直线与成的角，即为与相交所成的直角或锐角，在中，，故，由余弦定理可得：，故异面直线和余弦值为． 10分
18．解：（1）由条件可知， 2分
即，∴，且 4分
∴是以为首项，为公比的等比数列，
∴，∴ 6分
（2）条件①：，
8分
10分
利用错位相减法可求得 12分
条件②：
8分
10分
利用错位相减法可求得 12分
注：若两个条件都计算了，只按照第一个条件来评分！
19．解（1）易知椭圆C的方程为 4分
（2）当直线l的斜率不存在时，其方程为，不符合题意；
当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为，
得，， 6分
设，则，
，∵， 8分
即，
得． 10分
故直线l的方程为，或． 12分
20．解：（1）
4分
因为B为三角形的内角，所以
所以，所以 5分
（2） 7分
由正弦定理得： 9分
若，则， 11分
若，则，． 12分
21．（1）证明：因为，D是的中点，所以，．
因为，所以M，N分别为，的中点．
所以．
因为平面，平面，所以．
又因为，在平面内，且与相交，
所以平面，．又平面，
所以平面平面； 5分
（2）设．如图，过作平行于，以为坐标原点，分别以的方向为x轴，y轴，z轴的正方向，建立空间直角坐标系（点O与点重合）．
则．
因为P为的中点，所以M，N分别为的中点，
故，
所以． 6分
设平面的法向量为，
则即故有
从而取，则，
所以是平面的一个法向量． 8分
设平面的法向量为，
则即故有
从而取，则，
所以是平面的一个法向量． 10分
设二面角的平面角为，又为锐角，
则．
故二面角的余弦值为． 12分
22．解：（1），
∵在上单增，且，∴在上单减，
∴． 3分
（2）（ⅰ），在单减，单增，
∵有两个极值点，∴，
对任意都成立，设，
在单增，单减，∴，
又∵，∴． 7分
（ⅱ）当时，，可证在单减，在单增，
∵是两根，且．∴
设则
∴在单增，
∵，又∵在上单增，
∴，即，又∵在上单减，
令，
，
在单增，，∴，故在单增
又∵x，
∴ 12分
