重庆市第一中学校2021届高三上学期第三次月考数学试题

秘密★启用前【考试时间：2020年11月27日15:00-17:00】2020年重庆一中高2021届高三上期第三次月考数学测试试题本卷满分150分，考试时间120分钟．注意事项：1．答卷前，务必将自己姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上．2．作答时，务必将答案书写在答题卡规定的位置上．写在本试卷上及草稿纸上无效．3．考试结束后，将答题卡交回．一、单项选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分，每个小题只有一个正确选项．1．已知复数，则复数z的虚部是（    ）A．      B．1      C．i      D．2．已知集合，则A的真子集共有（    ）个A．3      B．4      C．6      D．73．已知某圆锥的母线长为4，底面圆的半径为2，则圆锥的全面积为（    ）A．      B．      C．      D．4．为了衡量星星的明暗程度，古希腊天文学家喜帕恰斯在公元前二世纪首先提出了星等这个概念．星等的数值越小，星星就越亮；星等的数值越大它的光就越暗．到了1850年，由于光度计在天体光度测量的应用，英国天文学家普森又提出了亮度的概念，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述．两颗星的星等与亮度满足，其中星等为的星的亮度为．已知“心宿二”的星等是1.00，“天津四”的星等是1.25，则“心宿二”的亮度大约是“天津四”的（    ）倍．（当较小时，）A．1.22      B．1.23      C．1.26      D．1.275．向量满足，与的夹角为，则的取值范围为（    ）A．      B．      C．      D．6．已知三棱锥，过点P作平面，O为中的一点，且，则点O为的（    ）A．垂心      B．内心      C．重心      D．外心7．设，，，则（    ）A．      B．      C．      D．8．已知三棱锥的四个顶点均在同一个确定的球面上，且，，若三棱锥体积的最大值为3，则其外接球的半径为（    ）A．2      B．3      C．4      D．5二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．9．设m、n是两条不同的直线，、是两个不同的平面，下列命题中错误的是（    ）A．若，则      B．若，则C．若，则      D．若，则10．下列函数中，在内是减函数的是（    ）A．      B．      C．      D．11．下列关于函数的图像或性质的说法中，正确的为（    ）A．函数的图像关于直线对称B．将函数的图像向右平移个单位所得图像的函数为C．函数在区间上单调递增D．若，则12．定义在上的函数的导函数为，且，则对任意、，其中，则下列不等式中一定成立的有（    ）A．      B．C．      D．三、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分，各题答案必须填写在答题卡相应的位置上．13．已知球O的体积为，则球O的表面积为___________．14．已知向量不共线，若与平行，则的值为___________．15．一般把数字出现的规律满足如图的模型称为蛇形模型：数字1出现在第1行；数字2，3出现在第2行；数字6，5，4（从左至右）出现在第3行；数字7，8，9，10出现在第4行，依此类推，则第21行从左至右的第4个数字应是____________．16．已知等比数列的公比为q，且，，则q的取值范围为_________；能使不等式成立的最大正整数_________．（注：前一空2分，后一空3分）四、解答题：本大题6个小题，共70分，各题解答必须答在答题卡相应题目指定方框内，并写出必要的文字说明、演算步骤或推理过程．17．（本小题满分10分）在四棱柱中，底面是等腰梯形，M是线段的中点，．（1）求证：平面；（2）求异面直线与所成角的余弦值．18．（本小题满分12分）已知数列满足：，且对任意的，都有1，成等差数列．（1）证明数列等比数列；（2）已知数列前n和为，条件①：，条件②：，请在条件①②中仅选择一个条件作为已知条件来求数列前n和．注：若两个条件都计算了，只按照第一个条件来评分！9．（本小题满分12分）已知椭圆C的两个焦点分别为，短轴的两个端点分别为．且．（1）求椭圆C的标准方程；（2）过点的直线l与椭圆C相交于P，Q两点，且，求直线l的方程．20．（本小题满分12分）已知，记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．（1）求的取值范围；（2）当，且取（1）中的最大值时，求的面积．21．（本小题满分12分）在直三棱柱中，，D，分别是线段的中点，过线段的中点P作的平行线，分别交，于点M，N．（1）证明：平面平面；（2）求二面角的余弦值．22．（本小题满分12分）已知．其中常数．（1）当时，求在上的最大值；（2）若对任意均有两个极值点，（ⅰ）求实数b的取值范围；（ⅱ）当时，证明：．2020年重庆一中高2021届高三上期第三次月考数学测试试题  参考答案一、单项选择题：1-8：BDBCDACA二、多项选择题：9．ABD  10．ABC  11．AD  12．ABC三、填空题13．  14．  15．228  16．  4039四、解答题17．解：（1）证明：因为四边形是等腰梯形，且，所以．又由M是的中点，因此且．连接，在四棱柱中，因为，可得，所以四边形为平行四边形．因此，又平面，平面，所以平面．      5分（2）因为，所以异面直线与成的角，即为与相交所成的直角或锐角，在中，，故，由余弦定理可得：，故异面直线和余弦值为．      10分18．解：（1）由条件可知，     2分即，∴，且        4分∴是以为首项，为公比的等比数列，∴，∴       6分（2）条件①：，                8分             10分利用错位相减法可求得               12分条件②：          8分               10分利用错位相减法可求得                 12分注：若两个条件都计算了，只按照第一个条件来评分！19．解（1）易知椭圆C的方程为             4分（2）当直线l的斜率不存在时，其方程为，不符合题意；当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为，得，，           6分设，则，，∵，              8分即，得．                10分故直线l的方程为，或．        12分20．解：（1）          4分因为B为三角形的内角，所以所以，所以                 5分（2）             7分由正弦定理得：              9分若，则，             11分若，则，．            12分21．（1）证明：因为，D是的中点，所以，．因为，所以M，N分别为，的中点．所以．因为平面，平面，所以．又因为，在平面内，且与相交，所以平面，．又平面，所以平面平面；               5分（2）设．如图，过作平行于，以为坐标原点，分别以的方向为x轴，y轴，z轴的正方向，建立空间直角坐标系（点O与点重合）．则．因为P为的中点，所以M，N分别为的中点，故，所以．          6分设平面的法向量为，则即故有从而取，则，所以是平面的一个法向量．       8分设平面的法向量为，则即故有从而取，则，所以是平面的一个法向量．       10分设二面角的平面角为，又为锐角，则．故二面角的余弦值为．           12分22．解：（1），∵在上单增，且，∴在上单减，∴．            3分（2）（ⅰ），在单减，单增，∵有两个极值点，∴，对任意都成立，设，在单增，单减，∴，又∵，∴．             7分（ⅱ）当时，，可证在单减，在单增，∵是两根，且．∴设则∴在单增，∵，又∵在上单增，∴，即，又∵在上单减，令，，在单增，，∴，故在单增又∵x，∴                12分