内蒙古鄂尔多斯市第一中学2020届高三9月月考数学（理）试题 Word版含解析

这是一份内蒙古鄂尔多斯市第一中学2020届高三9月月考数学（理）试题 Word版含解析，共12页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（本大题共12小题）
已知，，则的元素个数为
A. 1B. 2C. 3D. 4
下列有关命题的说法正确的是
A. 若“”为假命题，则p，q均为假命题
B. “”是“”的必要不充分条件
C. 命题“若，则”的逆否命题为真命题
D. 命题“使得”的否定是：“，均有”
设函数，则的值为
A. 3B. 6C. 8D. 12
函数的最大值为M，最小值为m，则
A. 0B. 1C. 2D. 4
已知函数有两个不同的零点，则实数a的取值范围是
A. B. C. D.
若命题“，”是假命题，则实数a的最小值为
A. 2B. C. D.
已知函数，满足和是偶函数，且，设，则
A. B. C. D.
已知函数的图像与x轴切于点，则的极大值、极小值分别为
A. ，0B. 0，C. ，0D. 0，
当时，，则a的取值范围是
A. B. C. D.
关于函数有下述四个结论：
是偶函数 在区间单调递增
在有4个零点 的最大值为2
其中所有正确结论的编号是
A. B. C. D.
已知函数，则的极大值点为
A. B. 1C. eD. 2e
已知函数与函数的图象上存在关于y轴对称的点，则实数a的取值范围为
A. B. C. D.
二、填空题（本大题共4小题）
，，三个数中最大数的是______．
已知，，且，则______．
以下四个命题，是真命题的有______把你认为是真命题的序号都填上：
若p：方程的实数解的个数为2，q：，则为假命题；
当时，则，，的大小关系是
若，则在处取得极值；
若不等式的解集为P，的定义域为Q，则“”是“”的充分不必要条件
已知为正常数，，若，，，则实数a的取值范围是______
三、解答题（本大题共7小题）
已知p：；q：函数在区间上有零点．
Ⅰ若，求使为真命题时实数a的取值范围；
Ⅱ若p是q成立的充分不必要条件，求实数m的取值范围．
若函数，且其导函数的图象过原点．
Ⅰ当时，求函数的图象在处的切线方程；
Ⅱ若存在使得，求实数a的最大值．
已知三棱锥中，，，，N为AB上一点，，M，S分别为PB，BC的中点．
Ⅰ证明：；
Ⅱ求SN与平面CMN所成角的大小．
已知椭圆：：的离心率为，过的左焦点的直线l：被圆：截得的弦长为．
求椭圆的方程；
设的右焦点为，在圆上是否存在点P，满足，若存在，指出有几个这样的点不必求出点的坐标；若不存在，说明理由．
已知函数，．
Ⅰ试讨论的单调性；
Ⅱ记的零点为，的极小值点为，当时，求证：．
在平面直角坐标系xOy中，设倾斜角为的直线l的参数方程为为参数在以坐标原点O为极点，以x轴正半轴为极轴建立的极坐标系中，曲线C的极坐标方程为，直线l与曲线C相交于不同的两点A，B．
若，求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；
若为与的等比中项，其中，求直线l的斜率．
已知函数，为常数且
若，求不等式的解集；
若函数在上有两个零点，求的取值范围．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：，或，，
或，，0，，
的元素个数为3个；
故选：C．
首先化简集合B求出其补集，然后与集合A进行交集运算．
本题考查了集合的交集、补集的运算，特别注意元素的属性．
2.【答案】C
【解析】解：若“”为假命题，则p，q至少有一个为假命题，故A错误；
可得，反之不成立，也成立，
“”是“”的充分不必要条件，故B错误；
“若，则”为真命题，其逆否命题为真命题，故C正确；
命题“使得”的否定是：“，”，故D错误．
故选：C．
由p且q的真值表可判断A；由充分必要条件的定义和二次方程的解法，可判断B；
由命题和其逆否命题等价即可判断C；由特称命题的否定为全称命题，可判断D．
本题考查命题的否定和逆否命题的关系，考查复合命题和充分必要条件的判断，注意运用定义法，考查推理能力，是一道基础题．
3.【答案】D
【解析】解：根据题意，函数，
，
则；
故选：D．
根据题意，由于，结合函数的解析式可得，进而计算可得答案．
本题考查分段函数的应用，涉及函数值的计算，属于基础题．
4.【答案】C
【解析】解：，且，；
设，则函数是定义域上的奇函数；
又的最大值为M，最小值为m，
的最大值是，最小值是；
，
则．
故选：C．
化简函数，设，则函数是定义域上的奇函数；由的最大值与最小值，得出的最大值与最小值，由此求出的值．
本题考查了函数的奇偶性与最值的应用问题，是基础题目．
5.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查分段函数的零点问题解法，注意运用定义法和函数的单调性，考查方程思想，运算求解能力，属于中档题．
由分段函数，分别判断时，时，的单调性，可得恰有一个零点，由对数函数的单调性，即可得到a的范围．
【解答】
解：由函数，
可得时，递增，最多一个零点；
时，
，为增函数，最多一个零点．
当时，，即有，由，可得．
当时，，可得或舍去，
则实数a的取值范围是．
故选C．
6.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查命题的真假判断与应用，着重考查全称命题与特称命题的关系，考查存在性命题成立问题，考查转化思想与思维运算能力，属于难题．
依题意，“，使得成立，分离a，利用配方法与指数函数的性质即可求得实数a的最小值．
【解答】
解：命题“，”是假命题，
，使得成立，
即，成立，
令，
则．
，
，
当时，，
，
实数a的最小值为．
故选：D．
7.【答案】B
【解析】解：由题意得：，
，
故，
则，
故选：B．
根据函数的奇偶性和周期性求出，从而求出答案．
本题考查了函数的奇偶性和周期性问题，考查函数求值，是一道基础题．
8.【答案】A
【解析】解：对函数求导可得，，
由，可得
，解得，
．
由，得或，
当或时，函数单调递增；当时，函数单调递减
当时，取极大值，当时，取极小值0，
故选A．
对函数求导可得，，由，可求p，q，进而可求函数的导数，然后由导数判断函数的单调性，进而可求函数的极值
本题主要考查了导数在求解函数的单调性、函数的极值中的应用，属于导数基本方法的应用
9.【答案】B
【解析】【分析】
本题主要考查了指数函数和对数函数的图象和性质，不等式恒成立问题的一般解法，属基础题
由指数函数和对数函数的图象和性质，将已知不等式转化为不等式恒成立问题加以解决即可
【解答】
解：时，
要使，由对数函数的性质可得，
数形结合可知只需，
即对时恒成立
解得
故选：B．
10.【答案】C
【解析】【分析】
本题主要考查与三角函数有关的命题的真假判断，结合绝对值的应用以及利用三角函数的性质是解决本题的关键，属于中档题．
根据绝对值的应用，结合三角函数的图象和性质分别进行判断即可．
【解答】
解：，则函数是偶函数，故正确；
当时，，，
则为减函数，故错误；
当时，，
由，得，即或，
由是偶函数，得在上还有一个零点，即函数在有3个零点，故错误；
当，时，取得最大值2，故正确，
故正确是，
故选C．
11.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查了函数的单调性、极值问题，考查导数的应用，求出的值是解题的关键．
求出的值，求出函数的解析式，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，从而求出函数的极大值点即可．
【解答】
解：，
令，可得：，
，
令，解得：；令，解得：．
故在递增，在递减，
时，取得极大值2ln2，
则的极大值点为：2e．
故选：D．
12.【答案】C
【解析】【分析】
本题主要考查函数的图象，把方程的根的问题转化为函数图象的交点问题，导数的应用，属于中档题．
由题意可化为在上有解即在上有解，即函数与在上有交点，画出函数与在上的图象，求得直线和曲线相切的条件，即可得到所求a的范围．
【解答】
解：由题意知，方程在上有解，
即，即在上有解，
即函数与在上有交点，
的导数为，
当时，，函数在递减；
当时，，函数在递增．
可得处函数取得极大值，
函数与在上的图象如图，
当直线与相切时，
切点为，可得，
由图象可得a的取值范围是．
故选：C．
13.【答案】
【解析】解：由于，，
，
则三个数中最大的数为
故答案为：
运用指数函数和对数函数的单调性，可得，，，即可得到最大数．
本题考查数的大小比较，主要考查指数函数和对数函数的单调性的运用，属于基础题．
14.【答案】
【解析】解：，，
，
，，
，
，
故答案为：．
根据对数的运算和性质即可求出．
本题考查了对数的运算和性质，属于基础题．
15.【答案】
【解析】解：若p：方程的实数解的个数为2，根据函数的图象，
故命题p正确．q：，根据指数函数的性质，故命题q错误．则为假命题．故正确．
当时，则，，的大小关系是，根据函数的图象，
命题正确．
若，则在处取得极值；该命题错误，例如，，当时，但，该点不是极值点．故错误
若不等式的解集为P，即．的定义域为Q，则，所以则“”是“”的充分不必要条件．正确．
故答案为：
直接利用函数的图象和函数的极值点的应用及函数的定义域的应用求出结果．
本题考查的知识要点：函数图象和性质的应用，导数的极值点的应用，函数的定义域的应用，主要考察学生的运算能力和转换能力，属于基础题型．
16.【答案】
【解析】解：a为正常数，，
当时，，其对称轴为，
．
当时，递增，即，
，，，
，．
解得．
实数a的取值范围是．
故答案为：．
a为正常数，，利用二次函数与指数函数的单调性画出函数图象，进而得出a满足的条件．
本题考查了二次函数与指数函数的单调性、函数零点，考查了数形结合方法、推理能力与计算能力，属于中档题．
17.【答案】解：Ⅰ当时，p：，
则：或．
函数在区间上单调递增，
且函数在区间上有零点，
，解得，则q：．
为真命题，
，解得．
则a的取值范围是．
Ⅱ：，q：，且p是q成立的充分条件．
，即．
又是q成立的不必要条件，
不等式组等号不能同时成立．
．
综上得，实数m的取值范围是．
【解析】Ⅰ当时，求解不等式化简p，可得，由函数在区间上单调递增且有零点，得到关于a的不等式组，求得a的范围．再由为真命题，可得，则a的取值范围可求；
Ⅱ由已知结合p是q成立的充分条件，可得，又p是q成立的不必要条件，可得不等式组等号不能同时成立，由此求得实数m的取值范围．
本题考查交、并、补集的混合运算，考查充分必要条件的判定与应用，考查数学转化思想方法，是中档题．
18.【答案】解：，求导数，可得，
由得，．
Ⅰ当时，，，
，．
函数的图象在处的切线方程为，
即．
Ⅱ存在，使得，
，
，
当且仅当时，．
的最大值为
【解析】Ⅰ求导函数，利用导函数的图象过原点，化简函数，进而可求函数的图象在处的切线方程；
Ⅱ存在，使得，再分离参数，利用基本不等式，即可求得实数a的最大值．
本题考查导数知识的运用，考查导数的几何意义，考查分离参数，基本不等式的运用，解题的关键是正确求出导函数，属于中档题．
19.【答案】证明：设，以A为原点，射线AB，AC，AP分别为x，y，z轴正向建立空间直角坐标系如图．
则0，，1，，0，，
0，，0，，分
Ⅰ，
因为，
所以分
Ⅱ，
设y，为平面CMN的一个法向量，
则令，得1，．
因为，
所以SN与平面CMN所成角为．
【解析】由，N为AB上一点，，我们不妨令，然后以A为原点，射线AB，AC，AP分别为x，y，z轴正向建立空间直角坐标系．由此不难得到各点的坐标要证明，我们可要证明即可，根据向量数量积的运算，我们不难证明；
要求SN与平面CMN所成角的大小，我们只要利用求向量夹角的方法，求出SN和方向向量与平面CMN的法向量的夹角，再由它们之间的关系，易求出SN与平面CMN所成角的大小．
如果已知向量的坐标，求向量的夹角，我们可以分别求出两个向量的坐标，进一步求出两个向量的模及他们的数量积，然后代入公式即可求解
20.【答案】解：在直线l的方程中，令，得，即得，
，又离心率，
，，
椭圆的方程为．
圆心到直线l：的距离为，
又直线l被圆截得的弦长为，
由垂径定理得，
故圆的方程为：．
设圆上存在点，满足，即
，，
则，整理得
此方程表示圆心在点，半径是的圆，
，
故有，即两圆相交，有两个公共点．
圆上存在两个不同点P，满足，
【解析】第问，由，，及的坐标满足直线l的方程，联立此三个方程，即得，，从而得椭圆方程；
第问，根据弦长，利用垂径定理与勾股定理得方程，可求得圆的半径r，从而确定圆的方程，再由条件，将点P满足的关系式列出，通过此关系式与已知圆的方程联系，再探求点P的存在性．
本题考查了椭圆的性质，直线与圆的位置关系，以及圆与圆的位置关系，弦长计算，属于中档题
21.【答案】解：Ⅰ，
若，则，在递增；
若，则一正一负两根，且正根是，
当时，，递增，
时，，递减；
综上，时，在递增；
时，在递增，在递减；
Ⅱ，，
故在递增，
又，，
故存在零点，且在递减，在递增，
即是的极小值点，
故，
由知，，
故，
又，故，
由Ⅰ知，时，在递增，
故．
【解析】Ⅰ求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间即可；
Ⅱ结合函数的极小值点，得到，又，故，从而证明结论．
本题考查了函数的单调性，极值问题，考查导数定义域以及不等式的证明，考查转化思想，分类讨论思想，是一道综合题．
22.【答案】解：，直线l的点斜式方程为，化简得：，
由得，根据互化公式可得曲线C的直角坐标方程为，
将直线l的参数方程代入并整理得：，
，得，，
设A，B对应的参数为，，
则，
由已知得，即，
化简得，，，，，根据判别式舍去负值，
所以斜率为．
【解析】根据直线方程的点斜式可得直线l的普通方程，根据互化公式可得曲线C的直角坐标方程；
根据参数t的几何意义以及等比中项列式可解得．
本题考查了参数方程化成普通方程，属中档题．
23.【答案】解：由于，故函数．
若，则，即，解得；
若，则，即，，故不等式无解．
综上所述：的解集．
因为，所以
因为函数在上有两个零点有两种情况：可以在上有一零点，在上有一零点；
或在上有两个零点．
当在上有两个零点，则有，
，所以不等式组无解．
当在上有一零点，在上有一零点，，
且，，，所以k的取值范围为．
不妨令，，
令，则在区间上为减函数，，
【解析】由于，故函数，分类讨论去掉绝对值，求得的解集．
由题意可得，在在上有一零点，在上有一零点；或在上有两个零点．分别求得k的范围，再利用二次函数的性质求得的取值范围．
本题主要考查带有绝对值的函数，方程根的存在性以及个数判断，二次函数的性质，属于中档题．