【精品试题】高考数学一轮必刷题 专题02 命题及其关系、充分条件与必要条件（含解析）
展开考点02 命题及其关系、充分条件与必要条件
1．“直线与双曲线相切”是“直线与双曲线只有一个公共点”的( )
A． 充分不必要条件 B． 必要不充分条件
C． 充要条件 D． 既不充分也不必要条件
2．“k＝1”是“直线x－y＋k＝0与圆x2＋y2＝1相交”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
3．设，则“a=1”是“直线ax+y-1=0与直线x+ay+1=0平行”的
A． 充分不必要条件 B． 必要不充分条件
C． 充分必要条件 D． 既不充分也不必要条件,
4．
A． p是q的充分必要条件 B． p是q的充分条件，但不是q的必要条件
C． p是q的必要条件但不是q的充分条件 D． p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件
5．甲：x≠2或y≠3；乙：x＋y≠5，则( )
A． 甲是乙的充分不必要条件
B． 甲是乙的必要不充分条件
C． 甲是乙的充要条件
D． 甲既不是乙的充分条件，也不是乙的必要条件
6．“x<0”是“ln (x＋1)<0”的
A． 充分不必要条件 B． 必要不充分条件
C． 充分必要条件 D． 既不充分也不必要条件
7．设a∈R，则“a＝－1”是“直线ax＋y－1＝0与直线x＋ay＋5＝0平行”的
A． 充分不必要条件 B． 必要不充分条件
C． 充要条件 D． 既不充分也不必要条件
8．“x为无理数”是“x2为无理数”的
A． 充分不必要条件 B． 必要不充分条件
C． 充要条件 D． 既不充分又不必要条件
9．三角形全等是三角形面积相等的
A． 充分但不必要条件 B． 必要但不充分条件
C． 充要条件 D． 既不充分也不必要条件
10．甲：x≠2或y≠3；乙：x＋y≠5，则( )
A． 甲是乙的充分不必要条件
B． 甲是乙的必要不充分条件
C． 甲是乙的充要条件
D． 甲既不是乙的充分条件，也不是乙的必要条件
11．给定空间中的直线l及平面，条件“直线l与平面α内的无数条直线都垂直”是“直线l与平面α垂直的（ ）．
A． 充分非必要条件
B． 必要非充分条件
C． 充要条件
D． 非充分非必要条件
12．i、j是不共线的单位向量，若a＝5i＋3j，b＝3i－5j，则a⊥b的充要条件是________．
13．有下列几个命题：
①“若a>b，则a2>b2”的否命题；
②“若x＋y＝0，则x，y互为相反数”的逆命题；
③“若x2<4，则－2<x<2”的逆否命题．
其中真命题的序号是________．
14．给定下列四个命题：
①“x＝”是“sin x＝”的充分不必要条件；
②若“p∨q”为真，则“p∧q”为真；
③若a<b，则am2<bm2；
④若集合A∩B＝A，则A⊆B.
其中为真命题的是________．(填上所有正确命题的序号)
15．在△ABC中，“A>30°”是“sin A>”的________条件．
16．下列命题的否命题为假命题的个数是________．
①p：存在x∈R，x2＋2x＋2≤0；
②p：有的三角形是正三角形；
③p：所有能被3整除的整数为奇数；
④p：每一个四边形的四个顶点共圆．
17．设{an}是公比为q的等比数列，则“q＞1”是“{an}”为递增数列的 （用“充分且不必要条件”，“必要且不充分条件”，“充分必要条件”，“既不充分也不必要条件”填空）
18．已知集合A＝{y|y＝x2－x＋1，x∈[，2]}，B＝{x|x＋m2≥1}；命题p：x∈A，命题q：x∈B，并且命题p是命题q的充分条件，求实数m的取值范围．
考点02 命题及其关系、充分条件与必要条件
1．“直线与双曲线相切”是“直线与双曲线只有一个公共点”的( )
A． 充分不必要条件 B． 必要不充分条件
C． 充要条件 D． 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】直线与双曲线相切，则直线与双曲线只有一个公共点，反之当直线与双曲线只有一个公共点时除了直线与双曲线相切，还有就是直线和双曲线的渐近线平行的时候；故是充分不必要条件。学科&网
故答案为：A．
2．“k＝1”是“直线x－y＋k＝0与圆x2＋y2＝1相交”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】圆x2＋y2＝1圆心是（0,0），半径，当k＝1，直线x－y＋1＝0与圆x2＋y2＝1的距离，直线x－y＋1＝0与圆x2＋y2＝1相交；当直线x－y＋k＝0与圆x2＋y2＝1相交时， 解得，所以“k＝1”是“直线x－y＋k＝0与圆x2＋y2＝1相交”的充分而不必要条件.
3．设，则“a=1”是“直线ax+y-1=0与直线x+ay+1=0平行”的
A． 充分不必要条件 B． 必要不充分条件
C． 充分必要条件 D． 既不充分也不必要条件,
【答案】C
【解析】若直线ax+y-1=0与直线x+ay+1=0平行，则,且
解得，故选．
4．
A． p是q的充分必要条件 B． p是q的充分条件，但不是q的必要条件
C． p是q的必要条件但不是q的充分条件 D． p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件
【答案】C
【解析】根据函数极值的定义可知，函数 为函数 的极值点， 一定成立．
但当时，函数不一定取得极值，
比如函数 函数导数 当 时， ，但函数f单调递增，没有极值．
则 是 的必要不充分条件，
故选C．
5．甲：x≠2或y≠3；乙：x＋y≠5，则( )
A． 甲是乙的充分不必要条件
B． 甲是乙的必要不充分条件
C． 甲是乙的充要条件
D． 甲既不是乙的充分条件，也不是乙的必要条件
【答案】B
【解析】“甲⇒乙”的逆否命题为“若x＋y＝5，则x＝2且y＝3”显然不正确，而“乙⇒甲”的逆否命题为“若x＝2且y＝3，则x＋y＝5”是真命题，因此甲是乙的必要不充分条件．故选 B.
6．“x<0”是“ln (x＋1)<0”的
A． 充分不必要条件 B． 必要不充分条件
C． 充分必要条件 D． 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】试题分析：由题意得，，故是必要不充分条件，故选B．
7．设a∈R，则“a＝－1”是“直线ax＋y－1＝0与直线x＋ay＋5＝0平行”的
A． 充分不必要条件 B． 必要不充分条件
C． 充要条件 D． 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】试题分析：若，则直线与直线平行，充分性成立；若直线与直线平行，则或，必要性不成立．
8．“x为无理数”是“x2为无理数”的
A． 充分不必要条件 B． 必要不充分条件
C． 充要条件 D． 既不充分又不必要条件
【答案】B
【解析】为无理数，不能推出为无理数，例如，反过来，是无理数，那么一定是无理数，故为无理数是为无理数必要不充分条件，故选B.
9．三角形全等是三角形面积相等的
A． 充分但不必要条件 B． 必要但不充分条件
C． 充要条件 D． 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】当三角形的面积相等时，三角形不一定全等，但是三角形全等时面积一定相等.
即：三角形全等是三角形面积相等的充分但不必要条件.本题选择A选项.
10．甲：x≠2或y≠3；乙：x＋y≠5，则( )
A． 甲是乙的充分不必要条件
B． 甲是乙的必要不充分条件
C． 甲是乙的充要条件
D． 甲既不是乙的充分条件，也不是乙的必要条件
【答案】B
【解析】“甲⇒乙”的逆否命题为“若x＋y＝5，则x＝2且y＝3”显然不正确，而“乙⇒甲”的逆否命题为“若x＝2且y＝3，则x＋y＝5”是真命题，因此甲是乙的必要不充分条件．故选 B.
11．给定空间中的直线l及平面，条件“直线l与平面α内的无数条直线都垂直”是“直线l与平面α垂直的（ ）．
A． 充分非必要条件
B． 必要非充分条件
C． 充要条件
D． 非充分非必要条件
【答案】B
【解析】直线与平面α内的无数条平行直线垂直，但该直线未必与平面α垂直；
即“直线l与平面α内无数条直线都垂直”⇒“直线l与平面α垂直”为假命题；
但直线l与平面α垂直时，l与平面α内的每一条直线都垂直，
即“直线l与平面α垂直”⇒“直线l与平面α内无数条直线都垂直”为真命题；
故“直线l与平面α内无数条直线都垂直”是“直线l与平面α垂直”的必要非充分条件；
故选B.
12．i、j是不共线的单位向量，若a＝5i＋3j，b＝3i－5j，则a⊥b的充要条件是________．
【答案】i⊥j
【解析】a⊥b⇔a·b＝0，即(5i＋3j)·(3i－5j)＝0，
即15i2－16i·j－15j2＝0，∵|i|＝|j|＝1，
∴16i·j＝0，即i·j＝0，∴i⊥j.
13．有下列几个命题：
①“若a>b，则a2>b2”的否命题；
②“若x＋y＝0，则x，y互为相反数”的逆命题；
③“若x2<4，则－2<x<2”的逆否命题．
其中真命题的序号是________．
【答案】②③
【解析】①原命题的否命题为“若a≤b则a2≤b2”错误．
②原命题的逆命题为：“x，y互为相反数，则x＋y＝0”正确．
③原命题的逆否命题为“若x≥2或x≤－2，则x2≥4”正确．
14．给定下列四个命题：
①“x＝”是“sin x＝”的充分不必要条件；
②若“p∨q”为真，则“p∧q”为真；
③若a<b，则am2<bm2；
④若集合A∩B＝A，则A⊆B.
其中为真命题的是________．(填上所有正确命题的序号)
【答案】①④
【解析】①中，若x＝，则sin x＝，但sin x＝时，x＝＋2kπ或＋2kπ(k∈Z)．故“x＝”是“sin x＝”的充分不必要条件，故①为真命题；②中，令p为假命题，q为真命题，有“p∨q”为真命题，则“p∧q”为假命题，故②为假命题；③中，当m＝0时，am2＝bm2，故③为假命题；④中，由A∩B＝A可得A⊆B，故④为真命题．
15．在△ABC中，“A>30°”是“sin A>”的________条件．
【答案】必要不充分
【解析】在△ABC中，A>30°⇒0<sin A≤1，不能推出sin A>，
而sin A>⇒30°<A<150°，
所以在△ABC中，“A>30°”是“sin A>”的必要不充分条件．
16．下列命题的否命题为假命题的个数是________．
①p：存在x∈R，x2＋2x＋2≤0；
②p：有的三角形是正三角形；
③p：所有能被3整除的整数为奇数；
④p：每一个四边形的四个顶点共圆．
【答案】1
【解析】①p的否命题：任意x∈R，x2＋2x＋2>0，为真命题；
②p的否命题：所有的三角形都不是正三角形，为假命题；
③p的否命题：存在一个能被3整除的整数不是奇数，0是能被3整除的非奇数，该命题为真命题；
④p的否命题：存在一个四边形的四个顶点不共圆，为真命题．
17．设{an}是公比为q的等比数列，则“q＞1”是“{an}”为递增数列的 （用“充分且不必要条件”，“必要且不充分条件”，“充分必要条件”，“既不充分也不必要条件”填空）
【答案】既不充分也不必要条件
【解析】直接举反例可得答案．
解：由q＞1，数列{an}不一定是递增数列，如：﹣1，﹣2，﹣4，…；
若数列{an}是递增数列，q也不一定大于1，如：﹣8，﹣4，﹣2，﹣1．
∴“q＞1”是“{an}”为递增数列的既不充分也不必要条件．
故答案为：既不充分也不必要条件．
18．已知集合A＝{y|y＝x2－x＋1，x∈[，2]}，B＝{x|x＋m2≥1}；命题p：x∈A，命题q：x∈B，并且命题p是命题q的充分条件，求实数m的取值范围．
【答案】(－∞，－]∪[，＋∞)
【解析】化简集合A，
由y＝x2－x＋1＝(x－)2＋，
∵x∈[，2]，∴ymin＝，ymax＝2.
∴y∈[，2]，∴A＝{y|≤y≤2}．
化简集合B，由x＋m2≥1，
∴x≥1－m2，B＝{x|x≥1－m2}．
∵命题p是命题q的充分条件，∴A⊆B.
∴1－m2≤，
∴m≥或m≤－.
∴实数m的取值范围是(－∞，－]∪[，＋∞)．
