专题14 动点最值之胡不归模型-2022年中考数学几何模型专项复习与训练

专题14 动点最值之胡不归模型

背景故事：从前有个少年外出求学，某天不幸得知老父亲病危的消息，便立即赶路回家．根据“两点之间线段最短”，虽然从他此刻位置A到家B之间是一片砂石地，但他义无反顾踏上归途，当赶到家时，老人刚咽了气，小伙子追悔莫及失声痛哭．邻居告诉小伙子说，老人弥留之际不断念叨着“胡不归？胡不归？

看到这里很多人都会有一个疑问，少年究竟能不能提前到家呢？假设可以提早到家，那么他该选择怎样的一条路线呢？这就是今天要讲的“胡不归”问题.

模型建立：将这个问题数学化，我们不妨设总时间为，则，

由可得，提取一个得，

若想总的时间最少，就要使得最小，

如图，过定点A在驿道下方作射线AE，夹角为，且，

作DG⊥AE于点G，则，将转化为DG＋DB，

再过点B作BH⊥AE于点H，交驿道所在直线于点，则就是我们要找的点，

此时DG＋DB的最小值为BH，

，

综上，所需时间的最小值为

解决思路：构造射线AD使得sin∠DAN=k，即，CH=kAC．

将问题转化为求BC+CH最小值，过B点作BH⊥AD交MN于点C，交AD于H点，此时BC+CH取到最小值，即BC+kAC最小．

例题1. 如图，△ABC中，AB=AC=10，tanA=2，BE⊥AC于点E，D是线段BE上的一个动点，则的最小值是_______．

【解析】∵tanA=2，∴△ABE三边之比为，∴，

故作DH⊥AB交AB于H点，则．问题转化为CD+DH最小值，故C、D、H共线时值最小，

此时．

例2.如图，△ABC在直角坐标系中，AB＝AC，，C（1，0），D为射线AO上一点，一动点P从A出发，运动路径为A→D→C，点P在AD上的运动速度是在CD上的3倍，要使整个运动时间最少，则点D的坐标应为（　　）

A．（0，） B．（0，） C．（0，） D．（0，）

【答案】D

【解析】假设P在AD的速度为3V，在CD的速度为1V，

总时间，要使t最小，就要＋CD最小，

因为AB＝AC＝3，过点B作BH⊥AC交AC于点H，交OA于D，易证△ADH∽△ACO，所以，所以，因为△ABC是等腰三角形，所以BD＝CD，所以要最小，就是要DH＋BD最小，就要B、D、H三点共线就行了．因为△AOC∽△BOD，所以，即，所以，

所以点D的坐标应为.

例3.如图，抛物线y＝x2﹣2x﹣3与x轴交于A、B两点，过B的直线交抛物线于E，且tan∠EBA＝，有一只蚂蚁从A出发，先以1单位/s的速度爬到线段BE上的点D处，再以1.25单位/s的速度沿着DE爬到E点处觅食，则蚂蚁从A到E的最短时间是　　s．

【答案】

【解析】过点E作x轴的平行线，再过D点作y轴的平行线，两线相交于点H，如图，

∵EH∥AB，∴∠HEB＝∠ABE，∴tan∠HED＝tan∠EBA＝，

设DH＝4m，EH＝3m，则DE＝5m，

∴蚂蚁从D爬到E点的时间＝＝4（s）

若设蚂蚁从D爬到H点的速度为1单位/s，则蚂蚁从D爬到H点的时间＝＝4（s），

∴蚂蚁从D爬到E点所用的时间等于从D爬到H点所用的时间相等，

∴蚂蚁从A出发，先以1单位/s的速度爬到线段BE上的点D处，再以1.25单位/s的速度沿着DE爬到E点所用时间等于它从A以1单位/s的速度爬到D点，再从D点以1单位/s速度爬到H点的时间，

作AG⊥EH于G，则AD＋DH≥AH≥AG，∴AD＋DH的最小值为AQ的长，

当y＝0时，x2﹣2x﹣3＝0，解得x1＝﹣1，x2＝3，则A（﹣1，0），B（3，0），

直线BE交y轴于C点，如图，在Rt△OBC中，∵tan∠CBO＝，

∴OC＝4，则C（0，4），设直线BE的解析式为y＝kx＋b，

把B（3，0），C（0，4）代入得，解得，∴直线BE的解析式为，

解方程组得或，则E点坐标为，∴，

∴蚂蚁从A爬到G点的时间＝（s），即蚂蚁从A到E的最短时间为．

【变式训练1】如图，平行四边形ABCD中，∠DAB=60°，AB=6，BC=2，P为边CD上的一动点，则的最小值等于________．

【解析】已知∠A=60°，且sin60°=，故延长AD，作PH⊥AD延长线于H点，

即可得，∴=PB+PH．

当B、P、H三点共线时，可得PB+PH取到最小值，即BH的长，解直角△ABH即可得BH长．

【变式训练2】如图，在△ABC中，AB＝AC＝10，tanA＝2，BE⊥AC于点E，D是线段BE上的一个动点，则的最小值是              .

【答案】

【解析】如图，作DH⊥AB于H，CM⊥AB于M．∵BE⊥AC，∴∠AEB＝90°，

设AE＝a，BE＝2a，则有：100＝a2＋4a2，∴a2＝20，

，

∵AB＝AC，BE⊥AC，CM⊥AB，

∵∠DBH＝∠ABE，∠BHD＝∠BEA，

∴

∴CD＋DH≥CM，

.

【变式训练3】如图，平行四边形ABCD中，∠DAB＝60°，AB＝6，BC＝2，P为边CD上的一动点，则的最小值等于________．

【解答】

过点P作PQ⊥AD，垂足为Q，∵四边形ABCD是平行四边形，∴DC//AB，

∴∠QDP＝∠DAB＝60°，

∴当点B、P、Q三点共线时，有最小值，

的最小值为. 

课后训练

1.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，AB＝4，点D、F分别是边AB，BC上的动点，连接CD，过点A作AE⊥CD交BC于点E，垂足为G，连接GF，则GF+FB的最小值是（　　）

A． B． C． D．

【解答】解：延长AC到点P，使CP＝AC，连接BP，过点F作FH⊥BP于点H，取AC中点O，连接OG，过点O作OQ⊥BP于点Q，∵∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，AB＝4，∴AC＝CP＝2，BP＝AB＝4

∴△ABP是等边三角形，∴∠FBH＝30°，∴Rt△FHB中，FH＝FB

∴当G、F、H在同一直线上时，GF+FB＝GF+FH＝GH取得最小值

∵AE⊥CD于点G，∴∠AGC＝90°，∵O为AC中点，∴OA＝OC＝OG＝AC

∴A、C、G三点共圆，圆心为O，即点G在⊙O上运动，∴当点G运动到OQ上时，GH取得最小值

∵Rt△OPQ中，∠P＝60°，OP＝3，sin∠P＝   ∴OQ＝OP＝，∴GH最小值为

故选：C．

2.如图，AC是圆O的直径，AC＝4，弧BA＝120°，点D是弦AB上的一个动点，那么OD+BD的最小值

为（　　）

A． B． C． D．

【解答】解：∵的度数为120°，∴∠C＝60°，

∵AC是直径，∴∠ABC＝90°，∴∠A＝30°，

作BK∥CA，DE⊥BK于E，OM⊥BK于M，连接OB．∵BK∥AC，∴∠DBE＝∠BAC＝30°，

在Rt△DBE中，DE＝BD，∴OD+BD＝OD+DE，

根据垂线段最短可知，当点E与M重合时，OD+BD的值最小，最小值为OM，

∵∠BAO＝∠ABO＝30°，∴∠OBM＝60°，

在Rt△OBM中，∵OB＝2，∠OBM＝60°，∴OM＝OB•sin60°＝，∴DB+OD的最小值为，

故选：B．

3.如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象经过点，C（2，0），其对称轴与x轴交于点D

（1）求二次函数的表达式及其顶点坐标；

（2）若P为y轴上的一个动点，连接PD，则PB＋PD的最小值为　　；

（3）M（x，t）为抛物线对称轴上一动点

①若平面内存在点N，使得以A，B，M，N为顶点的四边形为菱形，则这样的点N共有　　个；

②连接MA，MB，若∠AMB不小于60°，求t的取值范围．

【解答】（1），；（2）；

【解析】（1）由题意解得，∴抛物线解析式为，

∵，∴顶点坐标．

（2）如图，连接AB，作DH⊥AB于H，交OB于P，此时PB＋PD最小．

理由：∵OA＝1，OB＝，∴tan∠ABO＝，∴∠ABO＝30°，∴PH＝PB，

∴PB＋PD＝PH＋PD＝DH，∴此时PB＋PD最短（垂线段最短）．

在Rt△ADH中，∵∠AHD＝90°，AD＝，∠HAD＝60°，∴sin60°＝，∴DH＝，

∴PB＋PD的最小值为；

4.如图，在△ACE中，CA＝CE，∠CAE＝30°，⊙O经过点C，且圆的直径AB在线段AE上．

（1）证明：CE是⊙O的切线；

（2）若△ACE中AE边上的高为h，试用含h的代数式表示⊙O的直径AB；

（3）设点D是线段AC上任意一点（不含端点），连接OD，当CD＋OD的最小值为6时，求⊙O的直径AB的长．

【答案】（1）见解析；（2）；（3）AB＝8

【解析】（1）连接OC，如图，

∵CA＝CE，∠CAE＝30°，∴∠E＝∠CAE＝30°，∠COE＝2∠A＝60°，∴∠OCE＝90°，∴CE是⊙O的切线；

（2）过点C作CH⊥AB于H，连接OC，如图，

由题可得CH＝h．在Rt△OHC中，CH＝OC•sin∠COH，∴h＝OC•sin60°＝ OC，

∴OC＝ h，∴AB＝2OC＝ h；

（3）作OF平分∠AOC，交⊙O于F，连接AF、CF、DF，如图，

则∠AOF＝∠COF＝ ∠AOC＝ （180°﹣60°）＝60°．

∵OA＝OF＝OC，∴△AOF、△COF是等边三角形，

∴AF＝AO＝OC＝FC，∴四边形AOCF是菱形，∴根据对称性可得DF＝DO．

过点D作DH⊥OC于H，∵OA＝OC，∴∠OCA＝∠OAC＝30°，∴DH＝DC•sin∠DCH＝DC•sin30°＝ DC，

∴CD＋OD＝DH＋FD．

根据两点之间线段最短可得：当F、D、H三点共线时，DH＋FD（即CD＋OD）最小，

此时FH＝OF•sin∠FOH＝ OF＝6，则OF＝4，AB＝2OF＝8．

∴当CD＋OD的最小值为6时，⊙O的直径AB的长为8．

5.如图，已知抛物线y＝（x＋2）（x﹣4）（k为常数，且k＞0）与x轴从左至右依次交于A，B两点，与y轴交于点C，经过点B的直线y＝－x＋b与抛物线的另一交点为D．

（1）若点D的横坐标为﹣5，求抛物线的函数表达式；

（2）若在第一象限内的抛物线上有点P，使得以A，B，P为顶点的三角形与△ABC相似，求k的值；

（3）在（1）的条件下，设F为线段BD上一点（不含端点），连接AF，一动点M从点A出发，沿线段AF以每秒1个单位的速度运动到F，再沿线段FD以每秒2个单位的速度运动到D后停止，当点F的坐标是多少时，点M在整个运动过程中用时最少？

【答案】（1）；（2）或；（3）当点F坐标为（﹣2，）时，点M在整个运动过程中用时最少.

【解析】（1）抛物线y＝（x＋2）（x﹣4），令y＝0，解得x＝﹣2或x＝4，∴A（﹣2，0），B（4，0）．

∵直线经过点B（4，0），∴×4＋b＝0，解得b＝ ，

∴直线BD解析式为：．

当x＝﹣5时，y＝ ，∴D（﹣5，）．

∵点D（﹣5，）在抛物线y＝（x＋2）（x﹣4）上，∴（﹣5＋2）（﹣5﹣4）＝ ，

∴．∴抛物线的函数表达式为：（x＋2）（x﹣4）．即．

（2）由抛物线解析式，令x＝0，得y＝﹣k，∴C（0，﹣k），OC＝k．

因为点P在第一象限内的抛物线上，所以∠ABP为钝角．

因此若两个三角形相似，只可能是△ABC∽△APB或△ABC∽△PAB．

①若△ABC∽△APB，则有∠BAC＝∠PAB，如答图2﹣1所示．

设P（x，y），过点P作PN⊥x轴于点N，则ON＝x，PN＝y．tan∠BAC＝tan∠PAB，即：，

∴．∴P（x，x＋k），代入抛物线解析式y＝ （x＋2）（x﹣4），

得（x＋2）（x﹣4）＝x＋k，整理得：x2﹣6x﹣16＝0，解得：x＝8或x＝﹣2（与点A重合，舍去），

∴P（8，5k）．∵△ABC∽△APB，

∴，即，解得：．

②若△ABC∽△PAB，则有∠ABC＝∠PAB，如答图2﹣2所示．

设P（x，y），过点P作PN⊥x轴于点N，则ON＝x，PN＝y．

tan∠ABC＝tan∠PAB，即：，

∴．∴P（x，x＋），代入抛物线解析式y＝（x＋2）（x﹣4），

得（x＋2）（x﹣4）＝x＋，整理得：x2﹣4x﹣12＝0，

解得：x＝6或x＝﹣2（与点A重合，舍去），∴P（6，2k）．

∵△ABC∽△PAB，

，∴，解得，

∵k＞0，∴，综上所述，或．

（3）作DK∥AB，AH⊥DK，AH交直线BD于点F，

∵∠DBA＝30°，∴∠BDH＝30°，∴FH＝DF×sin30°＝，∴当且仅当AH⊥DK时，AF＋FH最小，

点M在整个运动中用时为：，∵lBD：，

∴FX＝AX＝﹣2，∴F（﹣2，）．