中考数学 专项训练 考点68 瓜豆原理最值问题

专题68 (1)瓜豆原理中动点轨迹直线型最值问题
【专题说明】
动点轨迹问题是中考的重要压轴点.受学生解析几何知识的局限和思维能力的束缚,该压轴点往往成为学生在中考中的一个坎,致使该压轴点成为学生在中考中失分的一个黑洞.掌握该压轴点的基本图形,构建问题解决的一般思路,是中考专题复习的一个重要途径.本文就动点轨迹问题的基本图形作一详述.动点轨迹基本类型为直线型和圆弧型.
【知识精讲】
动点轨迹为一条直线时，利用“垂线段最短”求最值。
（1） 当动点轨迹确定时可直接运用垂线段最短求最值
（2） 当动点轨迹不易确定是直线时，可通过以下三种方法进行确定
①观察动点运动到特殊位置时，如中点，端点等位置时是否存在动点与定直线的端点连接后的角度不变，若存在该动点的轨迹为直线。
②当某动点到某条直线的距离不变时，该动点的轨迹为直线。
③当一个点的坐标以某个字母的代数式表示时，若可化为一次函数，则点的轨迹为直线。
如图，P是直线BC上一动点，连接AP，取AP中点Q，当点P在BC上运动时，Q点轨迹是？

【分析】当P点轨迹是直线时，Q点轨迹也是一条直线．
可以这样理解：分别过A、Q向BC作垂线，垂足分别为M、N，在运动过程中，因为AP=2AQ，所以QN始终为AM的一半，即Q点到BC的距离是定值，故Q点轨迹是一条直线．

【引例】如图，△APQ是等腰直角三角形，∠PAQ=90°且AP=AQ，当点P在直线BC上运动时，求Q点轨迹？

【分析】当AP与AQ夹角固定且AP:AQ为定值的话，P、Q轨迹是同一种图形．

当确定轨迹是线段的时候，可以任取两个时刻的Q点的位置，连线即可，比如Q点的起始位置和终点位置，连接即得Q点轨迹线段．

【模型总结】
必要条件：
主动点、从动点与定点连线的夹角是定量（∠PAQ是定值）；
主动点、从动点到定点的距离之比是定量（AP:AQ是定值）．

结论：
P、Q两点轨迹所在直线的夹角等于∠PAQ（当∠PAQ≤90°时，∠PAQ等于MN与BC夹角）

P、Q两点轨迹长度之比等于AP:AQ（由△ABC∽△AMN，可得AP:AQ=BC:MN）

【例题】
1、如图，正方形ABCD的边长为4，E为BC上一点，且BE=1，F为AB边上的一个动点，连接EF，以EF为边向右侧作等边△EFG，连接CG，则CG的最小值为　　．

【分析】同样是作等边三角形，区别于上一题求动点路径长，本题是求CG最小值，可以将F点看成是由点B向点A运动，由此作出G点轨迹：
考虑到F点轨迹是线段，故G点轨迹也是线段，取起点和终点即可确定线段位置，初始时刻G点在位置，最终G点在位置（不一定在CD边），即为G点运动轨迹．

CG最小值即当CG⊥的时候取到，作CH⊥于点H，CH即为所求的最小值．
根据模型可知：与AB夹角为60°，故⊥．
过点E作EF⊥CH于点F，则HF==1，CF=，
所以CH=，因此CG的最小值为．

2、如图，等腰Rt△ABC中，斜边AB的长为2，O为AB的中点，P为AC边上的动点，OQ⊥OP交BC于点Q，M为PQ的中点，当点P从点A运动到点C时，点M所经过的路线长为（　　）

A． B． C．1 D．2
【解析】连接OC，作PE⊥AB于E，MH⊥AB于H，QF⊥AB于F，如图

∵△ACB为到等腰直角三角形，∴AC=BC=AB=，∠A=∠B=45°，
∵O为AB的中点，∴OC⊥AB，OC平分∠ACB，OC=OA=OB=1，∴∠OCB=45°，
∵∠POQ=90°，∠COA=90°，∴∠AOP=∠COQ，
在Rt△AOP和△COQ中，，∴Rt△AOP≌△COQ，∴AP=CQ，
易得△APE和△BFQ都为等腰直角三角形，∴PE=AP=CQ，QF=BQ，
∴PE+QF=（CQ+BQ）=BC==1，
∵M点为PQ的中点，∴MH为梯形PEFQ的中位线，
∴MH=（PE+QF）=，即点M到AB的距离为，
而CO=1，∴点M的运动路线为△ABC的中位线，
∴当点P从点A运动到点C时，点M所经过的路线长=AB=1，故选C．
3、如图，矩形中，，，点是矩形内一动点，且，则的最小值为_____．

【解析】为矩形，，又
点到的距离与到的距离相等，即点线段垂直平分线上，
连接，交与点，此时的值最小，

且

4、如图，在平面内，线段AB=6，P为线段AB上的动点，三角形纸片CDE的边CD所在的直线与线段AB垂直相交于点P，且满足PC=PA．若点P沿AB方向从点A运动到点B，则点E运动的路径长为______．

【解析】如图，由题意可知点C运动的路径为线段AC′，点E运动的路径为EE′，由平移的性质可知AC′=EE′，在Rt△ABC′中，易知AB=BC′=6，∠ABC′=90°，∴EE′=AC′==，
故答案为：．

5、如图，等边三角形ABC的边长为4，点D是直线AB上一点．将线段CD绕点D顺时针旋转60°得到线段DE，连结BE．
（1）若点D在AB边上（不与A，B重合）请依题意补全图并证明AD=BE；
（2）连接AE，当AE的长最小时，求CD的长．

【解析】（1）补全图形如图1所示，AD=BE，理由如下：
∵△ABC是等边三角形，∴AB=BC=AC，∠A=∠B=60°，
由旋转的性质得：∠ACB=∠DCE=60°，CD=CE，∴∠ACD=∠BCE，∴△ACD≌△BCE（SAS），∴AD=BE．

（2）如图2，过点A作AF⊥EB交EB延长线于点F．
∵△ACD≌△BCE，∴∠CBE=∠A=60°，∴点E的运动轨迹是直线BE，
根据垂线段最短可知：当点E与F重合时，AE的值最小，此时CD=CE=CF，
∵∠ACB=∠CBE=60°，∴AC∥EF，
∵AF⊥BE，∴AF⊥AC，
在Rt△ACF中，∴CF===，∴CD=CF=.


专题(2) 瓜豆原理中动点轨迹圆或圆弧型最值问题
【专题说明】
动点的轨迹为定圆时，可利用：“一定点与圆上的动点距离最大值为定点到圆心的距离与半径之和，最小值为定点到圆心的距离与半径之差”的性质求解。
确定动点轨迹为圆或者圆弧型的方法:
（1） 动点到定点的距离不变，则点的轨迹是圆或者圆弧。
（2） 当某条边与该边所对的角是定值时，该角的顶点的轨迹是圆，具体运用如下;
①见直角，找斜边，想直径，定外心，现圆形
②见定角，找对边，想周角，转心角，现圆形
【知识精讲】
如图，P是圆O上一个动点，A为定点，连接AP，Q为AP中点．
考虑：当点P在圆O上运动时，Q点轨迹是？

【分析】观察动图可知点Q轨迹是个圆，而我们还需确定的是此圆与圆O有什么关系？
考虑到Q点始终为AP中点，连接AO，取AO中点M，则M点即为Q点轨迹圆圆心，半径MQ是OP一半，任意时刻，均有△AMQ∽△AOP，QM:PO=AQ:AP=1:2．

【小结】确定Q点轨迹圆即确定其圆心与半径，
由A、Q、P始终共线可得：A、M、O三点共线，由Q为AP中点可得：AM=1/2AO．
Q点轨迹相当于是P点轨迹成比例缩放．
根据动点之间的相对位置关系【分析】圆心的相对位置关系；
根据动点之间的数量关系【分析】轨迹圆半径数量关系．

如图，P是圆O上一个动点，A为定点，连接AP，作AQ⊥AP且AQ=AP．
考虑：当点P在圆O上运动时，Q点轨迹是？

【分析】Q点轨迹是个圆，可理解为将AP绕点A逆时针旋转90°得AQ，故Q点轨迹与P点轨迹都是圆．接下来确定圆心与半径．

考虑AP⊥AQ，可得Q点轨迹圆圆心M满足AM⊥AO；
考虑AP=AQ，可得Q点轨迹圆圆心M满足AM=AO，且可得半径MQ=PO．
即可确定圆M位置，任意时刻均有△APO≌△AQM．

如图，△APQ是直角三角形，∠PAQ=90°且AP=2AQ，当P在圆O运动时，Q点轨迹是？

【分析】考虑AP⊥AQ，可得Q点轨迹圆圆心M满足AM⊥AO；
考虑AP:AQ=2:1，可得Q点轨迹圆圆心M满足AO:AM=2:1．
即可确定圆M位置，任意时刻均有△APO∽△AQM，且相似比为2．

【模型总结】
为了便于区分动点P、Q，可称点P为“主动点”，点Q为“从动点”．

此类问题的必要条件：两个定量
主动点、从动点与定点连线的夹角是定量（∠PAQ是定值）；
主动点、从动点到定点的距离之比是定量（AP:AQ是定值）．

【结论】（1）主、从动点与定点连线的夹角等于两圆心与定点连线的夹角：
∠PAQ=∠OAM；
（2）主、从动点与定点的距离之比等于两圆心到定点的距离之比：
AP:AQ=AO:AM，也等于两圆半径之比．
按以上两点即可确定从动点轨迹圆，Q与P的关系相当于旋转+伸缩．

古人云：种瓜得瓜，种豆得豆．“种”圆得圆，“种”线得线，谓之“瓜豆原理”．

【例题】
1、如图，在中，，，，点O是AB的三等分点，半圆O与AC相切，M，N分别是BC与半圆弧上的动点，则MN的最小值和最大值之和是（ ）

A．5 B．6 C．7 D．8
【解析】如图，设⊙O与AC相切于点D，连接OD，作垂足为P交⊙O于F，

此时垂线段OP最短，PF最小值为，
∵，，∴
∵，∴
∵点O是AB的三等分点，∴，，∴，
∵⊙O与AC相切于点D，
∴，∴，
∴，∴，
∴MN最小值为，
如图，当N在AB边上时，M与B重合时，MN经过圆心，经过圆心的弦最长，
MN最大值，,
∴MN长的最大值与最小值的和是6．
故选B．

2、如图，在矩形纸片ABCD中，，，点E是AB的中点，点F是AD边上的一个动点，将沿EF所在直线翻折，得到，则的长的最小值是　　

A． B．3 C． D．
【解析】以点E为圆心，AE长度为半径作圆，连接CE，当点在线段CE上时，的长取最小值，如图所示，

根据折叠可知：．
在中，，，，
，
的最小值．
故选D．

3、如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠ACB＝30°，BC＝23 ，△ADC与△ABC关于AC对
称，点E、F分别是边DC、BC上的任意一点，且DE＝CF，BE、DF相交于点P，则CP的最小值为( )
A．1 B．3 C．32 D．2

【解析】连接AD，因为∠ACB＝30°，所以∠BCD＝60°，
因为CB＝CD，所以△CBD是等边三角形，所以BD＝DC.
因为DE＝CF，∠EDB＝∠FCD＝60°，
所以△EDB≌△FCD，所以∠EBD＝∠FDC，
因为∠FDC＋∠BDF＝60°，
所以∠EBD＋∠BDF＝60°，所以∠BPD＝120°，
所以点P在以A为圆心，AD为半径的弧BD上，

直角△ABC中，∠ACB＝30°，BC＝23，所以AB＝2，AC＝4，
所以AP＝2.
当点A，P，C在一条直线上时，CP有最小值，
CP的最小值是AC－AP＝4－2＝2.
故选D.

4、如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=6，E是AB边的中点，F是线段BC上的动点，将ΔEBF沿EF所在直线折叠得到ΔEB' F，连接B' D，则B' D的最小值是_____．

【解析】如图所示点B'在以E为圆心EA为半径的圆上运动，当D、B'、E共线时，B'D的值最小，

根据折叠的性质，△EBF≌△EB'F，∴∠B=∠EB'F，EB'=EB．
∵E是AB边的中点，AB=4，∴AE=EB'=2．又∵AD=6，∴DE2，∴B'D=22

5、如图，中，，，，是内部的一个动点，且满足，则线段长的最小值为________.

【解析】∵∠PAB+∠PBA=90°，∴∠APB=90°，∴点P在以AB为直径的弧上（P在△ABC内）
设以AB为直径的圆心为点O，如图

接OC，交☉O于点P，此时的PC最短，
∵AB=6，∴OB=3，又∵BC=4，∴，∴PC=5-3=2

6、如图，点在半圆上，半径，，点在弧上移动，连接，作，垂足为，连接，点在移动的过程中，的最小值是______．

【解析】如图，设AD的中点为点E，

则
由题意得，点H的运动轨迹在以点E为圆心，EA为半径的圆上
由点与圆的位置关系得：连接BE，与圆E交于点H，则此时取得最小值，
连接BD
AB为半圆O的直径，




7、如图，过抛物线上一点A作轴的平行线，交抛物线于另一点B，交轴于点C，已知点A的横坐标为．
（1）求抛物线的对称轴和点B的坐标；
（2）在AB上任取一点P，连结OP，作点C关于直线OP的对称点D；
①连结BD，求BD的最小值；
②当点D落在抛物线的对称轴上，且在轴上方时，求直线PD的函数表达式．

【解析】（1）由题意A（﹣2，5），对称轴x=﹣=4，∵A、B关于对称轴对称，∴B（10，5）．
（2）①如图1中，

由题意点D在以O为圆心OC为半径的圆上，
∴当O、D、B共线时，BD的最小值=OB﹣OD=．
②如图2中，

图2
当点D在对称轴上时，在Rt△ODE中，OD=OC=5，OE=4，
∴DE==3，∴点D的坐标为（4，3）．
设PC=PD=x，在Rt△PDK中，x2=（4﹣x）2+22，∴x=，∴P（，5），
∴直线PD的解析式为y=﹣x+．
专题(3) 瓜豆原理中动点轨迹不确定型最值问题
【专题说明】
动点轨迹非圆或直线时，基本上将此线段转化为一个三角形中，
（1）利用三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边求最值。
（2）在转化较难进行时，可借助直角三角形斜边上的中线及中位线或构建全等图形进一步转化求最值。
【知识精讲】
所谓“瓜豆原理”，就是主动点的轨迹与从动点的轨迹是相似性，根据主、从动点与定点连线形成的夹角以及主、从动点到定点的距离之比，可确定从动点的轨迹，而当主动点轨迹是其他图形时，从动点轨迹必然也是．
【例题】如图，在反比例函数的图像上有一个动点A，连接AO并延长交图像的另一支于点B，在第一象限内有一点C，满足AC=BC，当点A运动时，点C始终在函数的图像上运动，若tan∠CAB=2，则k的值为（ ）

A．2 B．4 C．6 D．8
【分析】∠AOC=90°且AO:OC=1:2，显然点C的轨迹也是一条双曲线，分别作AM、CN垂直x轴，垂足分别为M、N，连接OC，易证△AMO∽△ONC，∴CN=2OM，ON=2AM，∴ON·CN=4AM·OM，故k=4×2=8．
【思考】若将条件“tan∠CAB=2”改为“△ABC是等边三角形”，k会是多少？

【模型】一、借助直角三角形斜边上的中线
1、如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=2，点A、C分别在x轴、y轴上，当点A在x轴上运动时，点C随之在y轴上运动，在运动过程中，点B到原点的最大距离是（ ）

A．6 B． C． D．
【解析】如图，取CA的中点D，连接OD、BD，
则OD=CD=AC=×4=2，
由勾股定理得，BD==2，
当O、D、B三点共线时点B到原点的距离最大，
所以，点B到原点的最大距离是2+2．


【模型】二、借助三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边
1、如图，已知等边三角形ABC边长为2，两顶点A、B分别在平面直角坐标系的x轴负半轴、轴的正半轴上滑动，点C在第四象限，连接OC，则线段OC长的最小值是（　　）

A．1 B．3 C．3 D．
【解析】如图所示：过点C作CE⊥AB于点E，连接OE，

∵△ABC是等边三角形，∴CE=AC×sin60°=，AE=BE，
∵∠AOB=90°，∴EOAB，∴EC-OE≥OC，
∴当点C，O，E在一条直线上，此时OC最短，
故OC的最小值为：OC＝CE﹣EO＝3
故选B．

2、如图，∠MON=90°，矩形ABCD的顶点A、B分别在边OM、ON上，当B在边ON上运动时，A随之在OM上运动，矩形ABCD的形状保持不变，其中AB=4，BC=2.运动过程中点D到点O的最大距离是______．

【解析】如图，取AB的中点E，连接OE、DE、OD，

∵OD≤OE+DE，
∴当O、D、E三点共线时，点D到点O的距离最大，
此时，∵AB=4，BC=2，∴OE=AE=AB=2，
DE==，
∴OD的最大值为+2，

3、如图，在中，，，，以线段为边向外作等边，点是线段的中点，连结并延长交线段于点.
(1)求证：四边形为平行四边形；
(2)求平行四边形的面积；
(3)如图，分别作射线，，如图中的两个顶点，分别在射线，上滑动，在这个变化的过程中，求出线段的最大长度.

【解析】(1)在中，，，，
在等边中，，，
为的中点，，又，，
在中，，为的中点，，，
，，，
又，，
又，，，
又，，即，四边形是平行四边形；
(2)在中，，，，
∴， ；
(3)取的中点，连结，，

，的最大长度
4、如图，在中，，将绕顶点逆时针旋转得到是的中点，是的中点，连接，若，则线段的最大值为（　　）

A． B． C． D．
【解析】连接CN，
∵将绕顶点逆时针旋转得到，
∴，，
∴，，
∵是的中点，
∴，
∵在∆CMN中，MN＜CM+CN，当且仅当M，C，N三点共线时，MN=CM+CN=6，
∴线段的最大值为6．
故选D．


【模型】三、借助构建全等图形
1、如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，AB＝5，点P是AC上的动点，连接BP，以BP为边作等边△BPQ，连接CQ，则点P在运动过程中，线段CQ长度的最小值是______．

【解析】如图，取AB的中点E，连接CE，PE．

∵∠ACB=90°，∠A=30°，∴∠CBE=60°，
∵BE=AE，∴CE=BE=AE，
∴△BCE是等边三角形，
∴BC=BE，
∵∠PBQ=∠CBE=60°，
∴∠QBC=∠PBE，
∵QB=PB，CB=EB，
∴△QBC≌△PBE（SAS），
∴QC=PE，
∴当EP⊥AC时，QC的值最小，
在Rt△AEP中，∵AE=52，∠A=30°，
∴PE=12AE=54，
∴CQ的最小值为54．

2、如图，边长为12的等边三角形ABC中，M是高CH所在直线上的一个动点，连结MB，将线段BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，连结HN．则在点M运动过程中，线段HN长度的最小值是（ ）

A．6 B．3 C．2 D．1．5
【解析】
如图，取BC的中点G，连接MG，

∵旋转角为60°，∴∠MBH+∠HBN=60°，
又∵∠MBH+∠MBC=∠ABC=60°，∴∠HBN=∠GBM，
∵CH是等边△ABC的对称轴，∴HB=AB，∴HB=BG，
又∵MB旋转到BN，∴BM=BN，
在△MBG和△NBH中，，∴△MBG≌△NBH（SAS），∴MG=NH，
根据垂线段最短，当MG⊥CH时，MG最短，即HN最短，
此时∠BCH=×60°=30°，CG=AB=×12=6，
∴MG=CG=×6=3，
∴HN=3；
故选：B．
【模型】四、借助中位线
1、如图，在等腰直角DABC 中，斜边 AB 的长度为 8，以 AC 为直径作圆，点P 为半圆上的动点，连接 BP ，取 BP 的中点 M ，则CM 的最小值为（ ）

A． B． C． D．
【解析】连接AP、CP，分别取AB、BC的中点E、F，连接EF、EM和FM，

∴EM、FM和EF分别是△ABP、△CBP和△ABC的中位线
∴EM∥AP，FM∥CP，EF∥AC，EF=，∴∠EFC=180°－∠ACB=90°
∵AC为直径，∴∠APC=90°，即AP⊥CP
∴EM⊥MF，即∠EMF=90°
∴点M的运动轨迹为以EF为直径的半圆上
取EF的中点O，连接OC，点O即为半圆的圆心
当O、M、C共线时，CM最小，如图所示，CM最小为CM1的长，
∵等腰直角DABC 中，斜边 AB 的长度为 8，∴AC=BC==
∴EF==，FC==，∴OM1=OF==
根据勾股定理可得OC=
∴CM1=OC－OM1=，即CM最小值为
故选C．
2、如图，抛物线与轴交于两点，是以点为圆心，为半径的圆上的动点，是线段的中点，连接，则线段的最小值是（ ）

A． B． C． D．
【解析】∵，∴当时，，解得：，
∴A点与B点坐标分别为：(，0)，(3，0)，
即：AO=BO=3，
∴O点为AB的中点，
又∵圆心C坐标为(0，4)，
∴OC=4，
∴BC长度=，
∵O点为AB的中点，E点为AD的中点，
∴OE为△ABD的中位线，即：OE=BD，
∵D点是圆上的动点，由图可知，BD最小值即为BC长减去圆的半径，
∴BD的最小值为4，
∴OE=BD=2，
即OE的最小值为2，
故选：A.