初中数学 章节考点梳理：全等三角形章节涉及的16个必考点全梳理 学案


考点1 全等形的概念
解决此类问题根据能够完全重合的两个图形叫做全等形求解即可.
例题1 下图所示的图形分割成两个全等的图形，正确的是（　　）

A． B． C． D．
【分析】直接利用全等图形的性质进而得出答案．

【解析】如图所示：图形分割成两个全等的图形，选B
【小结】此题主要考查了全等图形，正确把握全等图形的性质是解题关键．

变式1 下列四个图形中，属于全等图形的是（　　）

A．③和④ B．②和③ C．①和③ D．①②
【分析】根据全等形的概念：能够完全重合的两个图形叫做全等形可得答案．
【解析】①、②可以完全重合，因此全等的图形是①、②．选D．
【小结】此题主要考查了全等图形，关键是掌握全等图形的概念．

变式2 下列四个图形中，有两个全等的图形，它们是（　　）

A．①和② B．①和③ C．②和④ D．③和④
【分析】根据能够完全重合的两个图形叫做全等形可得答案．
【解析】全等的两个图形是①和③，选B．
【小结】此题主要考查了全等图形，关键是掌握全等图形的概念．

变式3 如图所示，请你在图中画两条直线，把这个“+”图案分成四个全等的图形（要求至少要画出两种方法）．

【分析】根据能够完全重合的两个图形叫做全等形画线即可．
【解析】如图所示：
．
【小结】此题主要考查了全等图形，关键是掌握全等图形的概念．

考点2 全等形的应用（网格图中求角度）
解决此类问题要善于找出网格图中的全等形，利用角度之间的等量代换即可求解。
例题2 如图是由4个相同的小正方形组成的网格图，其中∠1+∠2等于（　　）

A．150° B．180° C．210° D．225°
【分析】根据SAS可证得△ABC≌△EDC，可得出∠BAC＝∠DEC，继而可得出答案．

【解析】由题意得：AB＝ED，BC＝DC，∠D＝∠B＝90°，
∴△ABC≌△EDC（SAS），∴∠BAC＝∠1，∠1+∠2＝180°．选B．
【小结】本题考查全等图形的知识，比较简单，解答本题的关键是判断出△ABC≌△EDC．

变式4 如图为6个边长相等的正方形的组合图形，则∠1﹣∠2+∠3＝　 　．

【分析】观察图形可知∠1与∠3互余，∠2是直角的一半，利用这些关系可解此题．
【解析】观察图形可知：△ABC≌△BDE，∴∠1＝∠DBE，又∵∠DBE+∠3＝90°，∴∠1+∠3＝90°．
∵∠2＝45°，∴∠1﹣∠2+∠3＝90°﹣45°＝45°．故答案为：45°．

【小结】综合考查角平分线以及全等图形，要注意∠1与∠3互余，∠2是直角一半，特别是观察图形能力

变式5 如图，是一个3×3的正方形网格，则∠1+∠2+∠3+∠4＝　 　．

【分析】仔细分析图中角度，可得出，∠1+∠4＝90°，∠2+∠3＝90°，进而得出答案．
【解析】∵∠1和∠4所在的三角形全等，∴∠1+∠4＝90°，
∵∠2和∠3所在的三角形全等，∴∠2+∠3＝90°，∴∠1+∠2+∠3十∠4＝180°
【小结】此题主要考查了全等图形，解答本题要充分利用正方形的特殊性质．注意在正方形中的特殊三角形
的应用．

变式6 如图，在孔雀开屏般漂亮的4×4正方形网格中，∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6+∠7＝　 　．

【分析】利用“SAS”判断△AEF≌△LBA得到∠7＝∠EAF，则∠1+∠7＝90°，同样方法得到∠2+∠6＝90°，∠3+∠5＝90°，而∠4＝45°，从而得到∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6+∠7的度数．
【解析】在△AEF和△LBA中,EF=AB∠AEF=∠ABLAE=BL，∴△AEF≌△LBA（SAS），∴∠7＝∠EAF，
∴∠1+∠7＝90°，
同理可得∠2+∠6＝90°，∠3+∠5＝90°，而∠4＝45°，
∴∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6+∠7＝90°+90°+90°+45°＝315°
【小结】本题考查了全等图形：能够完全重合的两个图形叫做全等形．

考点3 全等三角形的性质（线段的和差）
解决此类问题要抓住全等三角形的对应边相等，利用线段相等进行等量代换即可求解.
例题3 如图，△ABC≌△DEC，A和D，B和E是对应点，B、C、D在同一直线上，且CE＝5，AC＝7，则BD的长为（　　）

A．12 B．7 C．2 D．14
【分析】根据全等三角形的性质即可得到结论．
【解析】△ABC≌△DEC，A和D，B和E是对应点，B、C、D在同一直线上，且CE＝5，AC＝7，
∴BC＝EC＝5，CD＝AC＝7，∴BD＝BC+CD＝12．选A．
【小结】本题主要考查的是全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键．

变式7 如图，若△ABC≌△DEF，四个点B、E、C、F在同一直线上，BC＝7，EC＝5，则CF的长是（　　）

A．2 B．3 C．5 D．7
【分析】根据全等三角形的对应边相等得到EF＝BC＝7，计算即可．
【解析】∵△ABC≌△DEF，∴BC＝EF，
又BC＝7，∴EF＝7，
∵EC＝5，∴CF＝EF﹣EC＝7﹣5＝2．选A．
【小结】本题考查的是全等三角形的性质，掌握全等三角形的对应边相等、全等三角形的对应角相等是解题
的关键．
变式8 如图，点B、E、A、D在同一条直线上，△ABC≌△DEF，AB＝7，AE＝2，则AD的长是（　　）

A．4 B．5 C．6 D．7
【分析】根据全等三角形的性质可得AB＝ED，再根据等式的性质可得EB＝AD，进而可得答案．
【解析】∵△ABC≌△DEF，∴AB＝ED，∴AB﹣AE＝DE﹣AE，∴EB＝AD，
∵AB＝7，AE＝2，∴EB＝5，∴AD＝5．选B．
【小结】此题主要考查了全等三角形的性质，关键是掌握全等三角形的对应边相等．

变式9 若△ABC≌△DEF，AB＝2，AC＝4，且△DEF的周长为奇数，则EF的值为（　　）
A．3 B．4 C．1或3 D．3或5
【分析】根据全等求出DE＝AB＝2，DF＝AC＝4，根据△DEF的周长为奇数求出EF的长为奇数，再根据EF长为奇数和三角形三边关系定理逐个判断即可．
【解析】∵△ABC≌△DEF，AB＝2，AC＝4，
∴DE＝AB＝2，DF＝AC＝4，
∵△DEF的周长为奇数，∴EF的长为奇数，
D、当EF＝3或5时，符合EF的长为奇数和三角形的三边关系定理，故本选项正确；
A、当EF＝3时，由选项D知，此选项错误；
B、当EF＝4时，不符合EF为奇数，故本选项错误；
C、当EF＝1或3时，其中1无法构成三角形，故本选项错误；选D．
【小结】本题考查了全等三角形的性质和三角形三边关系定理的应用，能正确根据全等三角形的性质进行推理是解此题的关键，注意：全等三角形的对应边相等，对应角相等．

考点4 全等三角形的性质（角的计算）
解决此类问题要抓住全等三角形的对应角相等，利用角度之间的关系进行等量代换即可求解.
例题4 如图，在△ABC中，∠A＝30°，∠ABC＝50°，若△EDC≌△ABC，且A，C，D在同一条直线上，则∠BCE＝（　　）

A．20° B．30° C．40° D．50°
【分析】根据在△ABC中，∠A＝30°，∠ABC＝50°，可以得到∠DCB的度数，再根据△EDC≌△ABC，可以得到∠ECA的度数，从而可以求得∠BCE的度数．
【解析】∵在△ABC中，∠A＝30°，∠ABC＝50°，∴∠BCD＝80°，
∵△EDC≌△ABC，∴∠DCE＝∠BCA，
∵∠DCE＝∠DCB+∠BCE，∠BCA＝∠BCE+∠ECA，∴∠DCB＝∠ECA，∴∠ECA＝80°，
∴∠BCE＝180°﹣∠DCB﹣∠ECA＝180°﹣80°﹣80°＝20°，选A．
【小结】考查全等三角形性质，解答本题关键是明确题意，利用全等三角形的性质和数形结合的思想解答．

变式10 如图，△ABC≌△ADE，且AE∥BD，∠BAD＝130°，则∠BAC度数的值为　 　．

【分析】根据全等三角形的性质，可以得到AB＝AD，∠BAC＝∠DAE，从而可以得到∠ABD＝∠ADB，再根据AE∥BD，∠BAD＝130°，即可得到∠DAE的度数，从而可以得到∠BAC的度数．
【解析】∵△ABC≌△ADE，∴AB＝AD，∠BAC＝∠DAE，∴∠ABD＝∠ADB，
∵∠BAD＝130°，∴∠ABD＝∠ADB＝25°，
∵AE∥BD，∴∠DAE＝∠ADB，∴∠DAE＝25°，∴∠BAC＝25°，故答案为：25°．
【小结】本题考查全等三角形的性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．

变式11 如图所示，已知△ABC≌△ADE，BC的延长线交DE于F，∠B＝∠D＝25°，∠ACB＝∠AED＝105°，∠DAC＝10°，则∠DFB为（　　）

A．40° B．50° C．55° D．60°
【分析】设AD与BF交于点M，要求∠DFB的大小，可以在△DFM中利用三角形的内角和定理求解，转化为求∠AMC的大小，再转化为在△ACM中求∠ACM就可以．

【解析】设AD与BF交于点M，∵∠ACB＝105，
∴∠ACM＝180°﹣105°＝75°，∠AMC＝180°﹣∠ACM﹣∠DAC＝180°﹣75°﹣10°＝95°，
∴∠FMD＝∠AMC＝95°，∴∠DFB＝180°﹣∠D﹣∠FMD＝180°﹣95°﹣25°＝60°．选D．
【小结】本题考查了全等三角形的性质，由已知条件，联想到所学的定理，充分挖掘题目中的结论是解题的关键．
变式12 如图，△ABC≌△AED，连接BE．若∠ABC＝15°，∠D＝135°，∠EAC＝24°，则∠BEA的度数为（　　）

A．54° B．63° C．64° D．68°
【分析】直接利用全等三角形的性质结合三角形内角和定理得出∠BAE＝54°，进而得出答案．
【解析】∵△ABC≌△AED，∠D＝135°，∴∠C＝∠D＝135°，AB＝AE，∴∠ABE＝∠AEB，
∵∠ABC＝15°，∠D＝∠C＝135°，∴∠BAC＝30°，
∵∠EAC＝24°，∴∠BAE＝54°，则∠BEA的度数为：12×（180°﹣54°）＝63°．选B．
【小结】此题主要考查了全等三角形的性质，正确得出∠BAE＝54°是解题关键．

考点5 判断全等三角形的对数
认真观察图形，确定已知条件在图形上的位置，结合全等三角形的判定方法，由易到难，仔细寻找．
例题5 如图，AC、BD相交于点E，AB＝DC，AC＝DB，则图中有全等三角形（　　）

A．1对 B．2对 C．3对 D．4对
【分析】利用“SSS”可判断△ABC≌△DCB，△ABD≌△DCA，则∠BAC＝∠CDB，然后可根据“AAS”判断△ABE≌△DCE．
【解析】∵AB＝DC，AC＝DB，BC＝CB，
∴△ABC≌△DCB（SSS），△ABD≌△DCA（SSS），∴∠BAC＝∠CDB，
∵AB＝CD，∠AEB＝∠DEC，∴△ABE≌△DCE（AAS）．选C．
【小结】本题考查了全等三角形的判定：全等三角形的5种判定方法中，选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件，若已知两边对应相等，则找它们的夹角或第三边；若已知两角对应相等，则必须再找一组对边对应相等，且要是两角的夹边，若已知一边一角，则找另一组角，或找这个角的另一组对应邻边．

变式13 如图，在AB、AC上各取一点E、D，使AE＝AD，连接BD、CE相交于点O，再连接AO、BC，若∠1＝∠2，则图中全等三角形共有（　　）

A．5对 B．6对 C．7对 D．8对
【分析】认真观察图形，确定已知条件在图形上位置，结合全等三角形的判定方法，由易到难，仔细寻找．
【解析】①在△AEO与△ADO中，AE=AD∠1=∠2OA=OA(公共边)，∴△AEO≌△ADO（SAS）；
②∵△AEO≌△ADO，∴OE＝OD，∠AEO＝∠ADO，∴∠BEO＝∠CDO．
在△BEO与△CDO中，∠BEO=∠CDOOE=OD∠BOE=∠COD(对顶角相等)，∴△BEO≌△CDO（ASA）；
③∵△BEO≌△CDO，∴BE＝CD，BO＝CO，OE＝OD，∴CE＝BD．
在△BEC与△CDB中，BE=CD∠BEC=∠CDBCE=BD，∴△BEC≌△CDB（SAS）；
④在△AEC与△ADB中，AE=AD∠AEC=∠ADBCE=BD，则△AEC≌△ADB（SAS）；
⑤∵△AEC≌△ADB，∴AB＝AC．
在△AOB与△AOC中，AB=ACOB=OCOA=OA，∴△AOB≌△AOC．
综上所述，图中全等三角形共5对．选A．
【小结】本题考查三角形全等的判定方法和全等三角形的性质．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．

变式14 如图，已知A、B、C、D四点共线，AE∥DF，BE∥CF，AC＝BD，则图中全等三角形有（　　）

A．4对 B．6对 C．8对 D．10对
【分析】由AC＝BD可得AB＝AC，由AE∥DF可得∠EAB＝∠FDC，由BE∥CF可得∠EBC＝∠FCB，根据等角的补角相等得出∠EBA＝∠FCD，利用ASA得△ABE≌△DCF，进一步得其它三角形全等．
【解析】∵AC＝BD，∴AB＝AC．
∵AE∥DF，∴∠EAB＝∠FDC．
∵BE∥CF，∴∠EBC＝∠FCB，∴∠EBA＝∠FCD．
在△ABE与△DCF中，∠EAB=∠FDCAB=DC∠EBA=∠FCD，∴△ABE≌△DCF（ASA）．
进而得△EBC≌△FCB，△ECD≌△FBA，△AEC≌△DFB，△EBD≌△FCA，△AED≌△FDA，共6对．
选B．

【小结】本题考查了全等三角形的判定，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．做题时要从已知条件开始结合图形利用全等的判定方法由易到难逐个寻找．

变式15 如图，AB∥CD，AD∥BC，AC与BD相交于点O，AE⊥BD，CF⊥AC，垂足分别是E，F．则图中共有（　　）对全等三角形．

A．5 B．6 C．7 D．8
【分析】根据全等三角形的判定即可求出答案．
【解析】∵AB∥CD，AD∥BC，∴∠ABD＝∠CDB，∠ADB＝∠CBD，∠BAC＝∠DCA，
在△ABD和△CDB中，∠ABD=∠CDBBD=DB∠ADB=∠CBD，∴△ABD≌△CDB（ASA），
同理：△ABC≌△CDA（ASA）；∴AB＝CD，BC＝DA，
在△AOB和△COD中，∠BAO=∠DCO∠AOB=∠CODAB=CD，∴△AOB≌△COD（AAS），同理：△AOD≌△COB（AAS）；
∵AE⊥BD，CF⊥BD，∴∠AEB＝∠AEO＝∠CFD＝∠CFO＝90°，
在△ABE和△CDF中，∠AEB=∠CFD∠ABE=∠CDFAB=CD，∴△ABE≌△CDF（AAS），
同理：△AOE≌△COF（AAS），△ADE≌△CBF（AAS）；图中共有7对全等三角形；选C．
【小结】本题考查了全等三角形的判定与性质以及平行线的性质；熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．
考点6 网格中全等三角形个数问题
认真观察图形，利用SSS判断即可．
例题6 如图，在4×4方形网格中，与△ABC有一条公共边且全等（不与△ABC重合）的格点三角形（顶点在格点上的三角形）共有（　　）

A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
【分析】可以以AB和BC为公共边分别画出4个，AC不可以，故可求出结果．

【解析】如图所示，△ABD，△BEC，△BFC，△BGC，共4个，选B．
【小结】本题考查了全等三角形的判定定理和性质定理，以及格点的概念等知识点，能熟记全等三角形的判定定理的内容是解此题的关键，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS．全等三角形的三条对应边分别相等．

变式16 如图，△DEF的3个顶点分别在小正方形的顶点（格点）上，这样的三角形叫做格点三角形，选取图中三个格点组成三角形，能与△DEF全等（重合的除外）的三角形个数为（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】本题考查的是用SSS判定两三角形全等．认真观察图形可得答案．

【解析】如图所示可作3个全等的三角形．选C．
【小结】本题考查的是SSS判定三角形全等，注意观察图形，数形结合是解决本题的又一关键．

变式17 如图，方格纸中△DEF的三个顶点分别在小正方形的顶点上，像这样的三个顶点都在格点上的三角形叫格点三角形，则图中与△DEF全等的格点三角形有（　　）个．

A．9 B．10 C．11 D．12
【分析】用SSS判定两三角形全等．认真观察图形可得答案．

【解析】如图示2×3排列的每6个小正方形上都可找出4个全等的三角形，所以共有12个全等三角形，除去△DEF外有11个与△DEF全等的三角形：
△DAF，△BGQ，△CGQ，△NFH，△AFH，△WBI，△QBI，△CKR，△KRW，△CGR，△KIW．选C
【小结】本题主要考查了全等三角形的判定，应用SSS判定三角形全等，注意观察图形，数形结合是解决本题的关键．

变式18 如图为正方形网格，顶点在格点上的三角形称为格点三角形，每个小正方形均为边长为1的正方形，图中与△ABC全等的格点三角形（不含△ABC）共有（　　）个．

A．4 B．16 C．23 D．24
【分析】用SSS判定两三角形全等．认真观察图形可得答案．

【解析】如图所示：选C．
【小结】本题考查的是SSS判定三角形全等，注意观察图形，数形结合是解决本题的又一关键．

考点7 全等三角形的判定（选择条件）
判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
例题7 如图，点C、D分别在BO、AO上，AC、BD相交于点E，若CO＝DO，则再添加一个条件，仍不能证明△AOC≌△BOD的是（　　）

A．∠A＝∠B B．AC＝BD C．∠ADE＝∠BCE D．AD＝BC
【分析】根据题目给出的条件结合全等三角形的判定定理分别【分析】即可．
【解析】A、可利用AAS证明△AOC≌△BOD，故此选项不合题意；
B、不可利用SSA证明△AOC≌△BOD，故此选项符合题意；
C、根据三角形外角的性质可得∠A＝∠B，再利用AAS证明△AOC≌△BOD，故此选项不合题意；
D、根据线段的和差关系可得OA＝OB，再利用SAS证明△AOC≌△BOD，故此选项不合题意．
选B．
【小结】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．

变式19 如图，在△ABC和△DEC中，已知AB＝DE，还需添加两个条件才能使△ABC≌△DEC，不能添加的一组条件是（　　）

A．BC＝EC，∠B＝∠E B．BC＝EC，AC＝DC
C．∠B＝∠E，∠A＝∠D D．BC＝DC，∠A＝∠D
【分析】根据全等三角形的判定方法分别进行判定即可．
【解析】A、已知AB＝DE，再加上条件BC＝EC，∠B＝∠E可利用SAS证明△ABC≌△DEC，故此选项不合题意；
B、已知AB＝DE，再加上条件BC＝EC，AC＝DC可利用SSS证明△ABC≌△DEC，故此选项不合题意；
C、已知AB＝DE，再加上条件∠B＝∠E，∠A＝∠D可利用ASA证明△ABC≌△DEC，故此选项不合题意；
D、已知AB＝DE，再加上条件BC＝DC，∠A＝∠D不能证明△ABC≌△DEC，故此选项符合题意；
选D．
【小结】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．

变式20 如图，AB＝DC，BF＝CE，需要补充一个条件，就能使△ABE≌△DCF，小明给出了四个答案：①AE＝DF；②AE∥DF；③AB∥DC；④∠A＝∠D，其中正确的是（　　）

A．①③ B．①② C．①②③ D．①②③④
【分析】先求出BE＝CF，根据平行线的性质得出∠AEF＝∠DFC，再根据全等三角形的判定定理推出即可．
【解析】∵BF＝CE，∴BE＝CF．
①AE＝DF时，在△ABE和△DCF中，AB=DCAE=DFBE=CF，∴△ABE≌△DCF（SSS）；故①正确；
②∵AE∥DF，∴∠AEF＝∠DFC．
在△ABE和△DCF中，AB＝DC，BE＝CF，∠AEF＝∠DFC．不能判定△ABE与△DCF全等，故②不正确；
③∵AB∥DC，∴∠B＝∠C，在△ABE和△DCF中，AB=DC∠B=∠CBE=CF，∴△ABE≌△DCF（SAS）；故③正确；
④在△ABE和△DCF中，AB＝DC，BE＝CF，∠A＝∠D．不能判定△ABE与△DCF全等，故④不正确；
选A．
【小结】本题考查了平行线的性质，全等三角形的判定的应用，能正确运用全等三角形的判定定理进行推理是解此题的关键．

变式21 如图，已知：在△AFD和△CEB，点A、E、F、C在同一直线上，在给出的下列条件中，①AE＝CF，②∠D＝∠B，③AD＝CB，④DF∥BE，选出三个条件可以证明△AFD≌△CEB的有（　　）组．

A．4 B．3 C．2 D．1
【分析】根据题目中的条件，先把AE＝CF和DF∥BE能够得到的条件写出来，然后再根据题意，写出其中的三个为条件，是否可以证明△AFD≌△CEB，本题得以解决．
【解析】∵AE＝CF，∴AE+EF＝CF+EF，∴AF＝CE，
∵DF∥BE，∴∠DFA＝∠BEC，
∴若①②③为条件，不能证明△AFD≌△CEB，
若①②④为条件，能证明△AFD≌△CEB（AAS），
若①③④为条件，不能证明△AFD≌△CEB，
若②③④为条件，能证明△AFD≌△CEB（AAS），选C．
【小结】本题考查全等三角形的判定，解答本题的关键是明确题意，利用全等三角形的判定方法解答．

考点8 全等三角形的判定（判定依据）
判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
例题8 如图，在∠AOB的两边上，分别取OM＝ON，再分别过点M、N作OA、OB的垂线，交点为P，画射线OP，则OP平分∠AOB的依据是（　　）

A．SSS B．SAS C．AAS D．HL
【分析】利用判定方法“HL”证明Rt△OMP和Rt△ONP全等，进而得出答案．
【解析】在Rt△OMP和Rt△ONP中，OM=ONOP=OP，∴Rt△OMP≌Rt△ONP（HL），
∴∠MOP＝∠NOP，∴OP是∠AOB的平分线．选D．
【小结】本题考查了全等三角形的应用以及基本作图，熟练掌握三角形全等的判定方法并读懂题目信息是解题的关键．

变式22 工人师傅常用角尺平分一个任意角．做法如下：如图，∠AOB是一个任意角，在边OA，OB上分别取OM＝ON，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与点M，N重合，过角尺顶点C作射线OC．由此作法便可得△MOC≌△NOC，其依据是（　　）

A．SSS B．SAS C．ASA D．AAS
【分析】由作图过程可得MO＝NO，NC＝MC，再加上公共边CO＝CO可利用SSS定理判定△MOC≌△NOC．
【解析】∵在△ONC和△OMC中ON=OMCO=CONC=MC，∴△MOC≌△NOC（SSS），∴∠BOC＝∠AOC，选A．
【小结】此题主要考查全等三角形判定，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．
变式23 如图，PA⊥OM，PB⊥ON，垂足分别为A，B，PA＝PB．则△OAP≌△OBP的依据不可能是（　　）

A．SSS B．SAS C．AAS D．HL
【分析】先根据角平分线的性质定理的逆定理得到∠POA＝∠POB，然后根据三角形全等的判定方法对各选项进行判断．
【解析】∵PA⊥OM，PB⊥ON，∴∠OAP＝∠OBP＝90°，
而PA＝PB，∴OP平分∠AOB，即∠POA＝∠POB，
∴可根据：“SAS”或“AAS”或“AAS”判断△OAP≌△OBP．选A．
【小结】本题考查了全等三角形的判定：熟练掌握全等三角形的5种判定方法．

变式24 一块三角形玻璃被小红碰碎成四块，如图，小红只带其中的两块去玻璃店，买了一块和以前一样的玻璃，你认为她带哪两块去玻璃店了（　　）

A．带其中的任意两块 B．带1，4或3，4就可以了
C．带1，4或2，4就可以了 D．带1，4或2，4或3，4均可
【分析】要想买一块和以前一样的玻璃，只要确定一个角及两条边的长度或两角及一边即可，
即简单的全等三角形在实际生活中的应用．
【解析】由图可知，带上1，4相当于有一角及两边的大小，即其形状及两边长确定，所以两块玻璃一样；
同理，3，4中有两角夹一边，同样也可得全等三角形；
2，4中，4确定了上边的角的大小及两边的方向，又由2确定了底边的方向，进而可得全等．
选D．
【小结】本题考查了全等三角形判定；熟练掌握全等三角形的判定，能够联系实际，灵活应用所学知识．

考点9 全等三角形的判定与性质（基础证明）
全等三角形的判定：全等三角形的5种判定方法中，选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件，若已知两边对应相等，则找它们的夹角或第三边；若已知两角对应相等，则必须再找一组对边对应相等，且要是两角的夹边，若已知一边一角，则找另一组角，或找这个角的另一组对应邻边．
例题9 已知：如图，点A、E、C同一条直线上，AB⊥BC，AD⊥DC，AB＝AD．求证：BE＝DE．

【分析】根据HL证明Rt△ABC与Rt△ADC全等，利用全等三角形的性质得出∠BAE＝∠DAE，进而利用SAS证明△ABE≌△ADE，进而解答即可．
【证明】∵AB⊥BC，AD⊥DC，
∴在Rt△ABC与Rt△ADC中，AB=ADAC=AC，∴Rt△ABC≌Rt△ADC（HL），∴∠BAE＝∠DAE，
在△ABE与△ADE中，AB=AD∠BAE=∠DAEAE=AE，∴△ABE≌△ADE（SAS），∴BE＝DE．
【小结】本题考查了全等三角形的判定和性质，熟练运用全等三角形的判定是本题的关键．

变式25 如图，在四边形ABCD中，∠B＝∠D＝90°，点E，F分别在AB，AD上，AE＝AF，CE＝CF，求证：CB＝CD．

【分析】先证明△AEC≌△AFC，根据全等三角形的性质得出∠CAE＝∠CAF，利用角平分线性质解答即可．
【证明】连接AC，

在△AEC与△AFC中，AC=ACCE=CFAE=AF，∴△AEC≌△AFC（SSS），∴∠CAE＝∠CAF，
∵∠B＝∠D＝90°，∴CB＝CD．
【小结】本题考查全等三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定和性质，属于中考常考题型．

变式26 如图，已知AB⊥CF于点B，DE⊥CF于点E，BH＝EG，AH＝DG，∠C＝∠F．
（1）求证：△ABH≌△DEG；
（2）求证：CE＝FB．

【分析】（1）由HL可证明△ABH≌△DEG；
（2）证明△ABC≌△DEF（AAS）．得出BC＝EF，则可得出结论．
（1）证明：∵AB⊥CF，DE⊥CF，∴∠DEG＝∠ABH＝90°，
在Rt△ABH和Rt△DEG中，∵BH=EGAH=DG，∴Rt△ABH≌Rt△DEG（HL）．
（2）证明：∵Rt△ABH≌Rt△DEG（HL）．∴AB＝DE，
在△ABC和△DEF中，∵∠ABC=∠DEF=90°∠C=∠FAB=DE，∴△ABC≌△DEF（AAS）．∴BC＝EF，∴CE＝FB．
【小结】本题考查了全等三角形的性质和判定、垂直的定义；熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．

变式27 变式9-3（2020春•历下区期末）如图1，在△ABC中，AB＝AC，点D是BC的中点，点E在AD上．
（1）求证：∠ABE＝∠ACE；
（2）如图2，若BE的延长线交AC于点F，CE的延长线交AB于点G．求证：EF＝EG．

【分析】（1）根据已知条件可以证明△ABD和△ACD全等，可得∠BAD＝∠CAD，再证明△ABE和△ACE全等，即可得结论；
（2）结合（1）根据△ABE和△ACE全等可得BE＝CE，再证明△BEG≌△CEF，即可得结论．
【解析】（1）证明：∵点D是BC的中点，∴BD＝CD，
在△ABD和△ACD中，AB=ACAD=ADBD=CD，∴△ABD≌△ACD（SSS），∴∠BAD＝∠CAD，
在△ABE和△ACE中，AB=AC∠BAE=∠CAEAE=AE，∴△ABE≌△ACE（SAS），∴∠ABE＝∠ACE；
（2）如图，

由（1）知，△ABE≌△ACE，∴BE＝CE，∠ABE＝∠ACE，
在△BEG和△CEF中，∠GBE=∠FCEBE=CE∠GEB=∠FEC，∴△BEG≌△CEF（ASA），∴EG＝EF．
【小结】本题考查了全等三角形的判定与性质，解决本题的关键是掌握全等三角形的判定与性质．

考点10 全等三角形的判定与性质（推理论证）
例题10 如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AC，垂足为E，BF∥AC交ED的延长线于点F，若BC恰好平分∠ABF，AE＝2BF．给出下列四个结论：①DE＝DF；②DB＝DC；③AD⊥BC；④AC＝3BF．其中正确的结论为（　　）

A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④
【分析】根据△ABD≌△ACD即可得到BD＝CD，AD⊥BC，故②③正确；通过△CDE≌△DBF即可得到DE＝DF，CE＝BF，故①④正确．
【解析】∵BF∥AC，∴∠C＝∠CBF，
∵BC平分∠ABF，∴∠ABC＝∠CBF，∴∠C＝∠ABC，
∵AD是△ABC的角平分线，∴∠BAD＝∠CAD，
又∵AD＝AD，∴△ABD≌△ACD（AAS），∴BD＝CD，故②正确，
∠ADB＝∠ADC＝90°，∴AD⊥BC，故③正确，
在△CDE与△DBF中，∠C=∠CBFCD=BD∠EDC=∠BDF，∴△CDE≌△DBF（ASA），∴DE＝DF，CE＝BF，故①正确，
∵AE＝2BF，∴AE＝2CE，∴AC＝AE+CE＝3CE＝3BF，故④正确；
选D．

【小结】本题考查了全等三角形的判定和性质，平行线的性质，掌握全等三角形的对应边相等是解题关键．

变式28 如图，在△ABC中，P，Q分别是BC，AC上的点，PR⊥AB，PS⊥AC，垂足分别是R，S，若AQ＝PQ，PR＝PS，那么下面四个结论：①AS＝AR；②QP∥AR；③△BRP≌△QSP；④BR＝QS，其中一定正确的是（填写编号）　 　．

【分析】通过证明△APR≌△APS，可得AS＝AR，∠BAP＝∠PAS，可证QP∥AR，可求解．
【解析】如图，连接AP，

①∵PR⊥AB，PS⊥AC，PR＝PS，
∴点P在∠A的平分线上，∠ARP＝∠ASP＝90°，
∴∠SAP＝∠RAP，且AP＝AP，∠ARP＝∠ASP＝90°，
∴△APR≌△APS（AAS），
∴AR＝AS，∴①正确；
②∵AQ＝QP，∴∠QAP＝∠QPA，
∵∠QAP＝∠BAP，∴∠QPA＝∠BAP，∴QP∥AR，∴②正确；
③④在Rt△BRP和Rt△QSP中，只有PR＝PS，
不满足三角形全等的条件，故③④错误；
故答案为：①②
【小结】本题考查了全等三角形的性质和判定，平行线的判定，角平分线性质的应用，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．

变式29 如图，EB交AC于点M，交C于点D，AB交FC于点N，∠E＝∠F＝90°，∠B＝∠C，AE＝AF，给出下列结论：①∠1＝∠2；②CD＝DN；③△ACN≌△ABM；④BE＝CF．其中正确的结论有　 　．（填序号）

【分析】①根据已知条件可以证明在△ABE和△ACF全等，即可得∠1＝∠2；
②没有条件可以证明CD＝DN，即可判断；
③结合①和已知条件即可得△ACN≌△ABM；
④根据△ABE≌△ACF，可得BE＝CF，
【解析】①在△ABE和△ACF中，∠E=∠F∠B=∠CAE=AF，∴△ABE≌△ACF（AAS），∴∠EAB＝∠FAC，
∴∠EAB﹣∠BAC＝∠FAC﹣∠BAC，∴∠1＝∠2．∴①正确；
没有条件可以证明CD＝DN，∴②错误；
∵△ABE≌△ACF，∴AB＝AC，
在△ACN和△ABM中，∠C=∠BAC=AB∠CAB=BAC，∴△ACN≌△ABM（ASA），∴③正确；
∵△ABE≌△ACF，∴BE＝CF，∴④正确．
∴其中正确的结论有①③④．
【小结】本题考查了全等三角形的判定与性质，解决本题的关键是掌握全等三角形的判定与性质．

变式30 如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝140°，AB⊥CB于点B，AD⊥CD于点D，E、F分别是CB、CD上的点，且∠EAF＝70°，下列说法正确的是　 　．（填写正确的序号）
①DF＝BE，②△ADF≌△ABE，③FA平分∠DFE，④AE平分∠FAB，⑤BE+DF＝EF，⑥CF+CE＞FD+EB．

【分析】延长EB到G，使BG＝DF，连接AG，根据全等三角形的判定定理求出△ADF≌△ABG，根据全等三角形的性质得出AF＝AG，∠G＝∠DFA，∠DAF＝∠BAG，求出∠FAE＝∠EAG＝70°，根据全等三角形的判定定理得出△FAE≌△GAE，根据全等三角形的性质得出∠FEA＝∠GEA，∠G＝∠EFA，EF＝EG，再进行判断即可．
【解析】延长EB到G，使BG＝DF，连接AG，
∵AB⊥CB，AD⊥CD，∴∠D＝∠ABG＝90°，
在△ADF和△ABG中，AD=AB∠D=∠ABGDF=BG，∴△ADF≌△ABG（SAS），
∴AF＝AG，∠G＝∠DFA，∠DAF＝∠BAG，
∵∠EAF＝70°，∠DAB＝140°，∴∠DAF+∠EAB＝∠DAB﹣∠FAE＝140°﹣70°＝70°，
∴∠EAG＝∠EAB+∠BAG＝∠EAB+∠FAD＝70°，∴∠FAE＝∠EAG＝70°，
在△FAE和△GAE中，AE=AE∠FAE=∠EAGAF=AG，∴△FAE≌△GAE（SAS），
∴∠FEA＝∠GEA，∠G＝∠EFA，EF＝EG，∴EF＝EB+DF，∠FAE≠∠EAB，故⑤正确，④错误；
∴∠G＝∠EFA＝∠DFA，即AF平分∠DFE，故③正确；
∵CF+CE＞EF，EF＝DF+BE，∴CF+CE＞DF+BE，故⑥正确；
根据已知不能推出△ADF≌△ABE，故①错误，②错误；
【小结】本题考查了全等三角形的性质和判定定理，角平分线的定义，三角形的三边关系定理，垂直定义等知识点，能灵活运用全等三角形的判定和性质定理进行推理是解此题的关键．

考点11 全等三角形的判定与性质（动点问题）
例题11 如图，已知在△ABC中，AB＝AC，BC＝12厘米，点D为AB上一点且BD＝8厘米，点P在线段BC上以2厘米/秒的速度由B点向C点运动，设运动时间为t，同时，点Q在线段CA上由C点向A点运动．
（1）用含t的式子表示PC的长为　 　；
（2）若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，当t＝2时，三角形BPD与三角形CQP是否全等，请说明理由；
（3）若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，请求出点Q的运动速度是多少时，能够使三角形BPD与三角形CQP全等？

【分析】（1）先表示出BP，根据PC＝BC﹣BP，可得出答案；
（2）根据时间和速度分别求得两个三角形中的边的长，根据SAS判定两个三角形全等．
（3）根据全等三角形应满足的条件探求边之间的关系，再根据路程＝速度×时间公式，先求得点P运动的时间，再求得点Q的运动速度．
【解析】（1）BP＝2t，则PC＝BC﹣BP＝12﹣2t；
（2）当t＝2时，BP＝CQ＝2×2＝4厘米，∴BD＝8厘米．
又∵PC＝BC﹣BP，BC＝12厘米，∴PC＝12﹣4＝8厘米，∴PC＝BD，又∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，
在△BPD和△CQP中，BD=PC∠B=∠CBP=CQ，∴△BPD≌△CQP（SAS）；
③∵vP≠vQ，∴BP≠CQ，
又∵△BPD≌△CPQ，∠B＝∠C，∴BP＝PC＝6cm，CQ＝BD＝8cm，
∴点P，点Q运动的时间t=PB2=62=3秒，∴VQ=CQt=83厘米/秒．
即点Q的运动速度是83厘米/秒时，能够使三角形BPD与三角形CQP全等．
【小结】考查全等三角形判定，主要运用了路程＝速度×时间的公式，熟练运用全等三角形判定和性质．
变式31 如图，在△ABC中，∠ACB＝90，AC＝6，BC＝8．点P从点A出发，沿折线AC﹣﹣CB以每秒1个单位长度的速度向终点B运动，点Q从点B出发沿折线BC﹣CA以每秒3个单位长度的速度向终点A运动，P、Q两点同时出发．分别过P、Q两点作PE⊥l于E，QF⊥l于F．设点P的运动时间为t（秒）：
（1）当P、Q两点相遇时，求t的值；
（2）在整个运动过程中，求CP的长（用含t的代数式表示）；
（3）当△PEC与△QFC全等时，直接写出所有满足条件的CQ的长．

【分析】（1）由题意得t+3t＝6+8，即可求得P、Q两点相遇时，t的值；
（2）根据题意即可得出CP的长为6-t(t≤6)t-6(6＜t≤14)；
（3）分两种情况讨论得出关于t的方程，解方程求得t的值，进而即可求得CQ的长．
【解析】（1）由题意得t+3t＝6+8，解得t=72（秒），当P、Q两点相遇时，t的值为72秒；
（2）由题意可知AP＝t，则CP的长为6-t(t≤6)t-6(6＜t≤14)；
（3）当P在AC上，Q在BC上时，
∵∠ACB＝90，∴∠PCE+∠QCF＝90°，
∵PE⊥l于E，QF⊥l于F．∴∠EPC+∠PCE＝90°，∠PEC＝∠CFQ＝90°，
∴∠EPC＝∠QCF，∴△PCE≌△CQF，∴PC＝CQ，∴6﹣t＝8﹣3t，解得t＝1，∴CQ＝8﹣3t＝5；
当P在AC上，Q在AC上时，即P、Q重合时，则CQ＝PC，由题意得，6﹣t＝3t﹣8，
解得t＝3.5，∴CQ＝3t﹣8＝2.5，
当P在BC上，Q在AC上时，即A、Q重合时，则CQ＝AC＝6，
综上，当△PEC与△QFC全等时，满足条件的CQ的长为5或2.5或6．
【小结】本题考查了三角形全等的判定和性质，根据题意得出关于t的方程是解题的关键．

变式32 如图①，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝9cm，AC＝12cm，AB＝15cm，现有一动点P，从点A出发，沿着三角形的边AC→CB→BA运动，回到点A停止，速度为3cm/s，设运动时间为ts．

（1）如图（1），当t＝　112或192　时，△APC的面积等于△ABC面积的一半；
（2）如图（2），在△DEF中，∠E＝90°，DE＝4cm，DF＝5cm，∠D＝∠A．在△ABC的边上，若另外有一个动点Q，与点P同时从点A出发，沿着边AB→BC→CA运动，回到点A停止．在两点运动过程中的某一时刻，恰好△APQ≌△DEF，求点Q的运动速度．
【分析】（1）分两种情况进行解答，①当点P在BC上时，②当点P在BA上时，分别画出图形，利用三角形的面积之间的关系，求出点P移动的距离，从而求出时间即可；
（2）由△APQ≌△DEF，可得对应顶点为A与D，P与E，Q与F；于是分两种情况进行解答，①当点P在AC上，②当点P在AB上，分别求出P移动的距离和时间，进而求出Q的移动速度．

【解析】（1）①当点P在BC上时，如图①﹣1，
若△APC的面积等于△ABC面积的一半；则CP=12BC=92cm，
此时，点P移动的距离为AC+CP＝12+92=332，
移动的时间为：332÷3=112秒，

②当点P在BA上时，如图①﹣2
若△APC的面积等于△ABC面积的一半；则PD=12BC，即点P为BA中点，
此时，点P移动的距离为AC+CB+BP＝12+9+152=572cm，移动的时间为：572÷3=192秒，
（2）△APQ≌△DEF，即，对应顶点为A与D，P与E，Q与F；

①当点P在AC上，如图②﹣1所示：此时，AP＝4，AQ＝5，
∴点Q移动的速度为5÷（4÷3）=154cm/s，

②当点P在AB上，如图②﹣2所示：此时，AP＝4，AQ＝5，
即，点P移动的距离为9+12+15﹣4＝32cm，点Q移动的距离为9+12+15﹣5＝31cm，
∴点Q移动的速度为31÷（32÷3）=9332cm/s，
综上所述，两点运动过程中的某一时刻，恰好△APQ≌△DEF，点Q的运动速为154cm/s或9332cm/s．
【小结】考查直角三角形性质，全等三角形判定，画出相应图形，求出各点移动的距离是正确解答关键．

变式33 如图（1），AB＝7cm，AC⊥AB，BD⊥AB垂足分别为A、B，AC＝5cm．点P在线段AB上以2cm/s的速度由点A向点B运动，同时点Q在射线BD上运动．它们运动的时间为t（s）（当点P运动结束时，点Q运动随之结束）．

（1）若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，当t＝1时，△ACP与△BPQ是否全等，并判断此时线段PC和线段PQ的位置关系，请分别说明理由；
（2）如图（2），若“AC⊥AB，BD⊥AB”改为“∠CAB＝∠DBA”，点Q的运动速度为xcm/s，其它条件不变，当点P、Q运动到何处时有△ACP与△BPQ全等，求出相应的x的值．
【分析】（1）利用AP＝BQ＝2，BP＝AC，可根据“SAS”证明△ACP≌△BPQ；则∠C＝∠BPQ，然后证明∠APC+∠BPQ＝90°，从而得到PC⊥PQ；
（2）讨论：若△ACP≌△BPQ，则AC＝BP，AP＝BQ，即5＝7﹣2t，2t＝xt；②若△ACP≌△BQP，则AC＝BQ，AP＝BP，即5＝xt，2t＝7﹣2t，然后分别求出x即可．
【解析】（1）△ACP≌△BPQ，PC⊥PQ．
理由如下：∵AC⊥AB，BD⊥AB，∴∠A＝∠B＝90°，
∵AP＝BQ＝2，∴BP＝5，∴BP＝AC，
在△ACP和△BPQ中,AP=BQ∠A=∠BAC=BP，∴△ACP≌△BPQ（SAS）；∴∠C＝∠BPQ，
∵∠C+∠APC＝90°，∴∠APC+∠BPQ＝90°，∴∠CPQ＝90°，∴PC⊥PQ；
（2）①若△ACP≌△BPQ，则AC＝BP，AP＝BQ，可得：5＝7﹣2t，2t＝xt,解得：x＝2，t＝1；
②若△ACP≌△BQP，则AC＝BQ，AP＝BP，可得：5＝xt，2t＝7﹣2t,解得：x=207，t=74．
综上所述，当△ACP与△BPQ全等时x的值为2或207．
【小结】本题考查了全等三角形的判定：全等三角形的5种判定方法中，选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件，若已知两边对应相等，则找它们的夹角或第三边；若已知两角对应相等，则必须再找一组对边对应相等，且要是两角的夹边，若已知一边一角，则找另一组角，或找这个角的另一组对应邻边．

考点12 全等三角形的判定与性质（添辅助线）
例题12 如图，∠BAD＝∠CAE＝90°，AB＝AD，AE＝AC，AF⊥CB，垂足为F．
（1）求证：△ABC≌△ADE；
（2）求∠FAE的度数；
（3）求证：CD＝2BF+DE．

【分析】（1）根据题意和题目中的条件可以找出△ABC≌△ADE的条件；
（2）根据（1）中的结论和等腰直角三角形的定义可以得到∠FAE的度数；
（3）根据题意和三角形全等的知识，作出合适的辅助线即可证明结论成立．
（1）∵∠BAD＝∠CAE＝90°，∴∠BAC+∠CAD＝90°，∠CAD+∠DAE＝90°，∴∠BAC＝∠DAE，
在△BAC和△DAE中，AB=AD∠BAC=∠DAEAC=AE，∴△BAC≌△DAE（SAS）；
（2）∵∠CAE＝90°，AC＝AE，∴∠E＝45°，由（1）知△BAC≌△DAE，∴∠BCA＝∠E＝45°，
∵AF⊥BC，∴∠CFA＝90°，∴∠CAF＝45°，∴∠FAE＝∠FAC+∠CAE＝45°+90°＝135°；
（3）延长BF到G，使得FG＝FB，∵AF⊥BG，∴∠AFG＝∠AFB＝90°，
在△AFB和△AFG中，BF=GF∠AFB=∠AFGAF=AF，∴△AFB≌△AFG（SAS），∴AB＝AG，∠ABF＝∠G，
∵△BAC≌△DAE，∴AB＝AD，∠CBA＝∠EDA，CB＝ED，
∴AG＝AD，∠ABF＝∠CDA，∴∠G＝∠CDA，
∵∠GCA＝∠DCA＝45°，
在△CGA和△CDA中，∠GCA=∠DCA∠CGA=∠CDAAG=AD，∴△CGA≌△CDA（AAS），∴CG＝CD，
∵CG＝CB+BF+FG＝CB+2BF＝DE+2BF，∴CD＝2BF+DE．
【小结】本题考查全等三角形的判定与性质，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．
变式34 如图，△ABC中，AB＝AC，∠EAF═12∠BAC，BF⊥AE于E交AF于点F，连结CF．
（1）如图1所示，当∠EAF在∠BAC内部时，求证：EF＝BE+CF．
（2）如图2所示，当∠EAF的边AE、AF分别在∠BAC外部、内部时，求证：CF＝BF+2BE．

【分析】（1）在EF上截取EH＝BE，由“SAS”可证△ACF≌△AHF，可得CF＝HF，可得结论；
（2）在BE的延长线上截取EN＝BE，连接AN，由“SAS”可证△ACF≌△ANF，可得CF＝NF，可得结论．
（1）如图，在EF上截取EH＝BE，连接AH，

∵EB＝EH，AE⊥BF，∴AB＝AH，
∵AB＝AH，AE⊥BH，∴∠BAE＝∠EAH，
∵AB＝AD，∴AC＝AH，
∵∠EAF═12∠BAC,∴∠BAE+∠CAF＝∠EAF，∴∠BAE+∠CAF＝∠EAH+∠FAH，∴∠CAF＝∠HAF，
在△ACF和△AHF中，AC=AH∠CAF=∠HAFAF=AF，∴△ACF≌△AHF（SAS），∴CF＝HF，∴EF＝EH+HF＝BE+CF；



（2）如图，在BE的延长线上截取EN＝BE，连接AN，

∵AE⊥BF，BE＝EN，AB＝AC，∴AN＝AB＝AC，
∵AN＝AB，AE⊥BN，∴∠BAE＝∠NAE，
∵∠EAF═12∠BAC,∴∠EAF+∠NAE=12（∠BAC+2∠NAE）,∴∠FAN=12∠CAN，∴∠FAN＝∠CAF，
在△ACF和△ANF中，AC=AN∠CAF=∠NAFAF=AF，∴△ACF≌△ANF（SAS），∴CF＝NF，∴CF＝BF+2BE．
【小结】本题考查了全等三角形的判定和性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键．

变式35 在∠MAN内有一点D，过点D分别作DB⊥AM，DC⊥AN，垂足分别为B，C．且BD＝CD，点E，F分别在边AM和AN上．
（1）如图1，若∠BED＝∠CFD，请说明DE＝DF；
（2）如图2，若∠BDC＝120°，∠EDF＝60°，猜想EF，BE，CF具有的数量关系，并说明你的结论成立的理由．

【分析】（1）根据题目中的条件和∠BED＝∠CFD，可以证明△BDE≌△CDF，从而可以得到DE＝DF；
（2）作辅助线，过点D作∠CDG＝∠BDE，交AN于点G，从而可以得到△BDE≌△CDG，然后即可得到DE＝DG，BE＝CG，再根据题目中的条件可以得到△EDF≌△GDF，即可得到EF＝GF，然后即可得到EF，BE，CF具有的数量关系．
【解析】（1）∵DB⊥AM，DC⊥AN，∴∠DBE＝∠DCF＝90°，
在△BDE和△CDF中，∵∠BED=∠CFD，∠DBE=∠DCF，BD=CD，∴△BDE≌△CDF（AAS）．∴DE＝DF；
（2）EF＝FC+BE，理由：过点D作∠CDG＝∠BDE，交AN于点G，
在△BDE和△CDG中，∠EBD=∠GCDBD=CD∠BDE=∠CDG，∴△BDE≌△CDG（ASA），∴DE＝DG，BE＝CG．
∵∠BDC＝120°，∠EDF＝60°，∴∠BDE+∠CDF＝60°．∴∠FDG＝∠CDG+∠CDF＝60°，
∴∠EDF＝∠GDF．
在△EDF和△GDF中，DE=DG∠EDF=∠GDFDF=DF，∴△EDF≌△GDF（SAS）．∴EF＝GF，∴EF＝FC+CG＝FC+BE．

【小结】本题考查全等三角形的判定、解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
变式36 已知在四边形ABCD中，∠BAD+∠BCD＝180°，AB＝BC．
（1）如图1，连接BD，若∠ABD＝∠CBD，则AB与AD有什么位置关系，请说明理由？
（2）如图2，若P，Q两点分别在线段AD，DC上，且满足PQ＝AP+CQ，请猜想∠PBQ与∠ABP+∠QBC是否相等，并说明理由．
（3）如图3，若点Q在DC的延长线上，点P在DA的延长线上，且仍然满足PQ＝AP+CQ，请写出∠PBQ与∠ADC 的数量关系，并加以说明．

【分析】（1）由SAS证得△ABD≌△CBD，得出∠BAD＝∠BCD，由∠BAD+∠BCD＝180°，则∠BAD＝∠BCD＝90°，即可得出结果；
（2）延长DC至点K，使CK＝AP，连接BK，由SAS证得△BAP≌△BCK，得出∠ABP＝∠CBK，BP＝BK，推出PQ＝QK，由SSS证得△PBQ≌△KBQ，得出∠PBQ＝∠QBC+∠CBK，即可得出结果；
（3）延长CD至点K，使CK＝AP，连接BK，由SAS证得△BAP≌△BCK，得出∠ABP＝∠CBK，BP＝BK，证得∠PBK＝∠ABC，由SSS证得△PBQ≌△KBQ，得出∠PBQ＝∠KBQ，则2∠PBQ+∠PBK＝2∠PBQ+∠ABC＝360°，即2∠PBQ+（180°﹣∠ADC）＝360°，即可得出结果．

【解析】（1）AB与AD的位置关系为：AB⊥AD，理由如下：
在△ABD和△CBD中，AB=CB∠ABD=∠CBDBD=BD，∴△ABD≌△CBD（SAS），∴∠BAD＝∠BCD，
∵∠BAD+∠BCD＝180°，∴∠BAD＝∠BCD=12×180°＝90°，∴AB⊥AD；
（2）∠PBQ与∠ABP+∠QBC相等，理由如下：
延长DC至点K，使CK＝AP，连接BK，如图2所示：

∵∠BAD+∠BCD＝180°，∠BCD+∠BCK＝180°，∴∠BAD＝∠BCK，
在△BAP和△BCK中，AP=CK∠BAP=∠BCKAB=BC，∴△BAP≌△BCK（SAS），∴∠ABP＝∠CBK，BP＝BK，
∵PQ＝AP+CQ，QK＝CK+CQ，∴PQ＝QK，
在△PBQ和△KBQ中，BP=BKPQ=QKBQ=BQ，∴△PBQ≌△KBQ（SSS），∴∠PBQ＝∠QBC+∠CBK，
∴∠PBQ＝∠ABP+∠QBC；

（3）∠PBQ与∠ADC 的数量关系为：∠PBQ＝90°+12∠ADC，理由如下：

延长CD至点K，使CK＝AP，连接BK，如图3所示：
∵∠BAD+∠BCD＝180°，∠BAD+∠PAB＝180°，∴∠PAB＝∠BCK，
在△BAP和△BCK中，AP=CK∠PAB=∠BCKAB=BC，∴△BAP≌△BCK（SAS），
∴∠ABP＝∠CBK，BP＝BK，∴∠PBK＝∠ABC，
∵PQ＝AP+CQ，∴PQ＝QK，
在△PBQ和△KBQ中，BP=BKBQ=BQPQ=QK，∴△PBQ≌△KBQ（SSS），∴∠PBQ＝∠KBQ，
∴2∠PBQ+∠PBK＝2∠PBQ+∠ABC＝360°，
∴2∠PBQ+（180°﹣∠ADC）＝360°，
∴∠PBQ＝90°+12∠ADC．
【小结】本题考查了全等三角形的判定与性质等知识；通过作辅助线构建全等三角形是解题的关键．

考点13 角平分线的性质
角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，解决此类问题的关键在于作垂线.
例题13 如图，BD是∠ABC的平分线，DE⊥AB于E，S△ABC＝36cm2，AB＝18cm，BC＝12cm，则DE＝　 　cm．

【分析】首先过点D作DF⊥BC于点F，由BD是∠ABC的平分线，DE⊥AB，根据角平分线的性质，可得DE＝DF，然后由S△ABC＝S△ABD+S△BCD=12AB•DE+12BC•DF，求得答案．
【解析】：过点D作DF⊥BC于点F，
∵BD是∠ABC的平分线，DE⊥AB，∴DE＝DF，
∵AB＝18cm，BC＝12cm，
∴S△ABC＝S△ABD+S△BCD=12AB•DE+12BC•DF=12DE•（AB+BC）＝36cm2，
∴DE＝2.4（cm）．

【小结】此题考查了角平分线的性质．此题难度不大，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．

变式37 如图，AC，BC分别平分∠BAE，∠ABF，若△ABC的高CD＝8，则点C到AE，BF的距离之和为　 　．

【分析】首先过点C作CM⊥AE于点M，过点C作CN⊥BF于点N，由AC，BC分别平分∠BAE，∠ABF，△ABC的高CD＝8，根据角平分线的性质，可得CM＝CD＝8，CN＝CD＝8，继而求得答案．
【解析】：过点C作CM⊥AE于点M，过点C作CN⊥BF于点N，
∵AC，BC分别平分∠BAE，∠ABF，△ABC的高CD＝8，
∴CM＝CD＝8，CN＝CD＝8，
∴点C到AE，BF的距离之和为：CM+CN＝16．

【小结】此题考查了角平分线的性质．此题难度不大，注意辅助线的作法，注意掌握角平分线的定理的应用是关键．

变式38 如图，在△ABC中，CD⊥AB于点D，BE平分∠ABC，交CD于点E，若S△BCE＝24，BC＝12，则DE等于（　　）

A．10 B．7 C．5 D．4
【分析】根据角平分线的性质得出DE＝EF，根据三角形的面积求出EF，即可得出选项．

【解析】：过E作EF⊥BC于F，
∵CD⊥AB，BE平分∠ABC，∴DE＝EF，
∵S△BCE＝24，BC＝12，∴12×12×EF=24，解得：EF＝4，
即DE＝EF＝4，选D．
【小结】本题考查了角平分线性质和三角形的面积的应用，注意：角平分线上的点到角两边的距离相等．

变式39 如图，已知△ABC的周长是16，MB和MC分别平分∠ABC和∠ACB，过点M作BC的垂线交BC于点D，且MD＝4，则△ABC的面积是（　　）

A．64 B．48 C．32 D．42
【分析】连接AM，过M作ME⊥AB于E，MF⊥AC于F，根据角平分线的性质得出ME＝MD＝MF＝4，根据三角形的面积公式求出即可．
【解析】：连接AM，过M作ME⊥AB于E，MF⊥AC于F，

∵MB和MC分别平分∠ABC和∠ACB，MD⊥BC，MD＝4，
∴ME＝MD＝4，MF＝MD＝4，
∵△ABC的周长是16，∴AB+BC+AC＝16，
∴△ABC的面积S＝S△AMC+S△BCM+S△ABM
=12×AC×MF+12×BC×DM+12×AB×ME
=12×AC×4+12×BC×4+12×AB×4
＝2（AC+BC+AB）
＝2×16＝32，
选C．
【小结】本题考查了角平分线的性质和三角形的面积，能根据角平分线的性质求出DM＝ME＝ME＝4是解此题的关键．

考点14 角平分线的性质与判定综合
掌握到角的两边距离相等的点在角的平分线上是解决此类问题的关键.
例题14 如图，O是△ABC内一点，且O到三边AB、BC、CA的距离OF＝OD＝OE，若∠BAC＝70°，则∠BOC的度数为（　　）

A．70° B．120° C．125° D．130°
【分析】根据到角的两边距离相等的点在角的平分线上判断出点O是三角形三条角平分线的交点，再根据三角形的内角和定理求出∠ABC+∠ACB，然后求出∠OBC+∠OCB，再利用三角形的内角和定理列式计算即可得解．
【解析】：∵O到三边AB、BC、CA的距离OF＝OD＝OE，∴点O是三角形三条角平分线的交点，
∵∠BAC＝70°，∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣70°＝110°，
∴∠OBC+∠OCB=12（∠ABC+∠ACB）=12×110°＝55°，
在△OBC中，∠BOC＝180°﹣（∠OBC+∠OCB）＝180°﹣55°＝125°．选C．
【小结】本题考查了到角的两边距离相等的点在角的平分线上的性质，三角形的内角和定理，要注意整体思想的利用．

变式40 如图，△ABC中，∠ABC、∠EAC的角平分线BP、AP交于点P，延长BA、BC，则下列结论中正确的个数（　　）
①CP平分∠ACF； ②∠ABC+2∠APC＝180°
③∠ACB＝2∠APB； ④若PM⊥BE，PN⊥BC，则AM+CN＝AC

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】①作PD⊥AC于D．由角平分线性质得出PM＝PN，PM＝PD，得出PM＝PN＝PD，可得①正确；
②首先证出∠ABC+∠MPN＝180°，证明Rt△PAM≌Rt△PAD（HL），得出∠APM＝∠APD，同理：Rt△PCD≌Rt△PCN（HL），得出∠CPD＝∠CPN，即可得出②正确；
③由角平分线和三角形的外角性质得出∠CAE＝∠ABC+∠ACB，∠PAM=12∠ABC+∠APB，得出∠ACB＝2∠APB，③正确；
④由全等三角形的性质得出AD＝AM，CD＝CN，即可得出④正确；即可得出答案．
【解析】：①作PD⊥AC于D．∵PB平分∠ABC，PA平分∠EAC，PM⊥BE，PN⊥BF，
∴PM＝PN，PM＝PD，∴PM＝PN＝PD，∴点P在∠ACF的角平分线上，故①正确；
②∵PM⊥AB，PN⊥BC，∴∠ABC+90°+∠MPN+90°＝360°，∴∠ABC+∠MPN＝180°，
在Rt△PAM和Rt△PAD中，PA=PAPM=PD，∴Rt△PAM≌Rt△PAD（HL），∴∠APM＝∠APD，
同理：Rt△PCD≌Rt△PCN（HL），∴∠CPD＝∠CPN，∴∠MPN＝2∠APC，
∴∠ABC+2∠APC＝180°，②正确；
③∵PA平分∠CAE，BP平分∠ABC，
∴∠CAE＝∠ABC+∠ACB，∠PAM=12∠ABC+∠APB，∴∠ACB＝2∠APB，③正确；
④∵Rt△PAM≌Rt△PAD（HL），∴AD＝AM，
同理：Rt△PCD≌Rt△PCN（HL），∴CD＝CN，∴AM+CN＝AD+CD＝AC，④正确；选D．
【小结】本题考查了角平分线的性质定理和逆定理，全等三角形的判定与性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，有一定综合性，但难度不大，只要仔细分析便不难求解．

变式41 如图，Rt△ACB中，∠ACB＝90°，△ABC的角平分线AD、BE相交于点P，过P作PF⊥AD交BC的延长线于点F，交AC于点H，则下列结论：①∠APB＝135°；②BF＝BA；③PH＝PD；④连接CP，CP平分∠ACB，其中正确的是（　　）

A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④
【分析】根据三角形内角和定理以及角平分线定义判断①；根据全等三角形的判定和性质判断②③；根据角平分线的判定与性质判断④．
【解析】：在△ABC中，∵∠ACB＝90°，∴∠BAC+∠ABC＝90°，
又∵AD、BE分别平分∠BAC、∠ABC，∴∠BAD+∠ABE=12（∠BAC+∠ABC）＝45°，
∴∠APB＝135°，故①正确．∴∠BPD＝45°，
又∵PF⊥AD，∴∠FPB＝90°+45°＝135°，∴∠APB＝∠FPB，
又∵∠ABP＝∠FBP，BP＝BP，∴△ABP≌△FBP，∴∠BAP＝∠BFP，AB＝FB，PA＝PF，故②正确．
在△APH和△FPD中，
∵∠APH＝∠FPD＝90°，∠PAH＝∠BAP＝∠BFP，PA＝PF，∴△APH≌△FPD，∴PH＝PD，故③正确．
∵△ABC的角平分线AD、BE相交于点P，
∴点P到AB、AC的距离相等，点P到AB、BC的距离相等，
∴点P到BC、AC的距离相等，∴点P在∠ACB的平分线上，∴CP平分∠ACB，故④正确．选D．

【小结】本题考查了角平分线的判定与性质，三角形全等的判定方法，三角形内角和定理．掌握相关性质是解题的关键．

变式42 （1）如图①，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝45°，AD平分∠BAC，交BC于点D．如果作辅助线DE⊥AB于点E，则可以得到AC、CD、AB三条线段之间的数量关系为　 　；
（2）如图，△ABC中，∠C＝2∠B，AD平分∠BAC，交BC于点D．（1）中的结论是否仍然成立？若不成立，试说明理由；若成立，请证明．

【分析】（1）首先得出△CAD≌△EAD（AAS），进而利用全等三角形的性质以及结合等腰直角三角形的性质得出答案；
（2）首先在AB上截取AE＝AC，进而得出△ACD≌△AED（SAS），则CD＝ED，∠C＝∠AED，进而得出AC、CD、AB三条线段之间的数量关系．
【解析】：（1）如图1，∵AD平分∠BAC，∴∠CAD＝∠EAD，
在△CAD和△EAD中，∠C=∠AED∠CAD=∠EADAD=AD，∴△CAD≌△EAD（AAS），∴CD＝DE，AC＝AE，
∵∠B＝45°，∠DEB＝90°，∴DE＝EB，∴DC＝BE，∴AE+BE＝AC+DC＝AB；

（2）成立．证明：如图2，在AB上截取AE＝AC，连接DE．
∵在△ACD和△AED中，AC=AE∠CAD=∠BADAD=AD，∴△ACD≌△AED（SAS），∴CD＝ED，∠C＝∠AED，
又∵∠C＝2∠B，∴∠AED＝2∠B，
又∵∠AED＝∠B+∠EDB，∴2∠B＝∠B+∠EDB，∴∠B＝∠EDB，∴ED＝EB
∵AB＝AE+EB，ED＝EB＝CD，AE＝AC，∴AB＝AC+CD．
【小结】此题主要考查了角平分线的性质以及全等三角形的判定与性质，正确掌握全等三角形的判定方法是解题关键．

考点15 角平分线的性质与全等综合
例题15 如图，D是∠EAF平分线上的一点，若∠ACD+∠ABD＝180°，请说明CD＝DB的理由．

【分析】本题通过角平分线到角两边距离相等这一性质，再通过三角形的全等证得．
【解析】：过点D分别作AE，AF的垂线，交AE于M，交AF于N，则∠CMD＝∠BND＝90°，
∵AD是∠EAF的平分线，∴DM＝DN，
∵∠ACD+∠ABD＝180°，∠ACD+∠MCD＝180°，∴∠MCD＝∠NBD，
在△CDM和△BDN中，∠CMD＝∠BND＝90°，∠MCD＝∠NBD，DM＝DN，
∴△CDM≌△BDN，∴CD＝DB．

【小结】本题重在考查角平分线上点到角两边距离相等的性质，进而通过全等来证得，比较简单．

变式43 如图，已知AC平分∠BAD，CE⊥AB于E 点，∠ADC+∠B＝180°．
（1）求证：BC＝CD；
（2）2AE＝AB+AD．

【分析】（1）过C作CF⊥AD于F，根据角平分线的性质得：CF＝CE，根据AAS证明△FDC≌△EBC可得结论；
（2）由（1）中的全等得：DF＝BE，证明Rt△AFC≌Rt△AEC，得AE＝AF，根据线段的和与差得出结论．
【解析】证明：（1）过C作CF⊥AD于F，
∵AC平分∠BAD，CE⊥AB，∴CF＝CE，
∵∠ADC+∠CBE＝180°，∠ADC+∠FDC＝180°，∴∠CBE＝∠FDC，
在△FDC和△EBC中，∵∠CFD=∠CEB=90°∠FDC=∠CBEFC=CE，∴△FDC≌△EBC（AAS），∴CD＝BC；
（2）∵△FDC≌△EBC，∴DF＝BE，
在Rt△AFC和Rt△AEC中，∵AC=ACCF=CE，∴Rt△AFC≌Rt△AEC（HL），∴AF＝AE，
∴AB+AD＝AE+BE+AD＝AE+DF+AD＝AE+AF＝2AE．

【小结】本题考查了全等三角形的性质与判定、角平分线的性质，注意利用角平分线性质时，必须是到角两边的垂线段相等，本题是常考题型，难度不大，在证明线段的和与差时，要将线段根据图形中分成和与差，利用全等三角形的对应边相等作等量代换，从而得出结论．

变式44 如图，在△ABC中，AB＝8，AC＝4，G为BC的中点，DG⊥BC交∠BAC的平分线AD于D，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F交AC的延长线于F．
（1）求证：BE＝CF；
（2）求AE的长．

【分析】（1）连接DB、DC，先由角平分线的性质就可以得出DE＝DF，再证明△DBE≌△DCF就可以得出结论；
（2）由条件可以得出△ADE≌△ADF，就可以得出AE＝AF，进而就可以求出结论．
【解析】：（1）如图，连接DB、DC，

∵DG⊥BC且平分BC，∴DB＝DC．
∵AD为∠BAC的平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE＝DF．∠AED＝∠BED＝∠ACD＝∠DCF＝90°
在Rt△DBE和Rt△DCF中，DB=DCDE=DF ，Rt△DBE≌Rt△DCF（HL），∴BE＝CF．
（2）在Rt△ADE和Rt△ADF中，AD=ADDE=DF ，∴Rt△ADE≌Rt△ADF（HL）．∴AE＝AF．
∵AC+CF＝AF，∴AE＝AC+CF．
∵AE＝AB﹣BE，∴AC+CF＝AB﹣BE
∵AB＝8，AC＝4，∴4+BE＝8﹣BE，∴BE＝2，∴AE＝8﹣2＝6．
【小结】本题考查了角平分线的性质的运用，中垂线的性质的运用，全等三角形的判定与性质的运用，解答时证明三角形全等是关键．

变式45 如图，已知AC平分∠BAD，CE⊥AD于点E，BC＝CD．有下列结论：①∠ABC+∠ADC＝180°；②∠CBD＝∠CAB；③AB+AD＝2AE；④AD﹣AB＝2DE．其中正确结论的个数是（　　）

A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】先过C作CF⊥AB，交AB的延长线于F，判定Rt△CDE≌Rt△CBF，即可根据全等三角形的性质以及线段的和差关系，得到正确结论．
【解析】：如图，过C作CF⊥AB，交AB的延长线于F，
∵AC平分∠BAD，CE⊥AD，∴CE＝CF，
又∵BC＝CD，∴Rt△CDE≌Rt△CBF，∴∠CDE＝∠CBF，
又∵∠ABC+∠CBF＝180°，∴∠ABC+∠ADC＝180°，即①正确；
∴四边形ABCD中，∠DAB+∠BCD＝180°，
∵BC＝CD，∴∠CBD=12（180°﹣∠BCD）=12∠DAB，
又∵∠CAB=12∠DAB，∴∠CBD＝∠CAB，故②正确；
∵CE＝CF，AC＝AC，∴Rt△ACE≌Rt△ACF，∴AE＝AF，
∴AB+AD＝AF﹣BF+AE+DE＝AE+AF＝2AE，故③正确；
AD﹣AB＝AE+DE﹣（AF﹣BF）＝DE+BF＝2DE，故④正确；
选D．

【小结】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形．
考点16 角平分线与截长补短
例题16 在数学课外活动中，某学习小组在讨论“导学案”上的一个问题：
如图，在△ABC中，∠B＝60°，AD，CE分别是∠BAC，∠BCA的平分线，AD，CE相交于点F，探求FE与FD之间的数量关系，并证明．
同学甲说：要作辅助线；同学乙说：要应用角平分线性质来解决；
同学丙说：要应用全等三角形的判定和性质来解决．
如果你是这个学习小组的成员，请你结合同学们的讨论写出证明过程．

【分析】在AC上截取AG＝AE，连接FG，根据“边角边”证明△AEF和△AGF全等，根据全等三角形对应角相等可得∠AFE＝∠AFG，全等三角形对应边相等可得FE＝FG，再根据角平分线的定义以及三角形的内角和定理推出∠2+∠3＝60°，从而得到∠AFE＝∠CFD＝∠AFG＝60°，根据平角等于180°推出∠CFG＝60°，利用“角边角”证明△CFG和△CFD全等，根据全等三角形对应边相等可得FG＝FD，得证．
【解答】证明：如图，在AC上截取AG＝AE，连接FG，∵AD是∠BAC的平分线，∴∠1＝∠2，
在△AEF和△AGF中，AG=AE∠1=∠2AF=AF，∴△AEF≌△AGF（SAS），∴∠AFE＝∠AFG，FE＝FG，
∵∠B＝60°，∴∠BAC+∠ACB＝180°﹣60°＝120°，
∵AD、CE分别是∠BAC、∠BCA的平分线，∴∠2=12∠BAC，∠3=12∠ACB，
∴∠2+∠3=12（∠BAC+∠ACB）=12×120°＝60°，∴∠AFE＝∠CFD＝∠AFG＝60°．
∴∠CFG＝180°﹣∠AFG﹣∠CFD＝180°﹣60°﹣60°＝60°，∴∠CFG＝∠CFD，
∵CE是∠BCA的平分线，∴∠3＝∠4，
在△CFG和△CFD中，∠CFG=∠CFDFC=FC∠3=∠4，∴△CFG≌△CFD（ASA），∴FG＝FD，∴FE＝FD．
【小结】本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的定义，三角形的内角和定理的运用，作辅助线构造全等三角形是解题的关键．
变式46 如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠ABC＝60°，AD、CE分别平分∠BAC，∠ACB，
（1）求∠AOE的度数；
（2）试说明：AC＝AE+CD．

【分析】（1）根据三角形内角和定理和角平分线的定义解答；
（2）通过角之间的转化可得出△COF≌△COD，进而可得出线段之间的关系，即可得出结论．
【解析】（1）∵在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠ABC＝60°，∴∠ACB＝30°，
∵AD、CE分别平分∠BAC，∠ACB，∴∠CAO=12∠BAC＝45°，∠ACO=12∠ACB＝15°，
∴∠AOE＝∠CAO+∠AOC＝45°+15°＝60°．
（2）如图，在AC上截取AF＝AE，连接OF
∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠CAD，
在△AOE和△AOF中，AE=AF∠EAO=∠FAOAO=AO，∴△AOE≌△AOF（SAS），∴∠AOE＝∠AOF＝60°，
∴∠AOF＝∠COD＝60°＝∠COF，
在△COF和△COD中，∠FOC=∠DOCCO=CO∠FCO=∠DCO，∴△COF≌△COD（ASA）∴CF＝CD，
∴AC＝AF+CF＝AE+CD．

【小结】本题主要考查了全等三角形的判定及性质，根据在AC上截取AF＝AE得出△AOE≌△AOF是解题关键．

变式47 如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，点E为CD上一点，AE，BE分别平分∠DAB，∠CBA．
（1）求证：AE⊥BE：
（2）求证：AB＝AD+BC；
（3）若AE＝4，BE＝6，则四边形ABCD的面积为　 　（直接写出结果）．

【分析】（1）由平行线的性质可得∴∠BAD+∠ABC＝180°，由角平分线的性质可得∠DAE＝∠BAE=12∠BAD，∠ABE+∠CBE=12∠ABC，即可得结论；
（2）延长AE，BC交于点F，由平行线的性质可得∠DAE＝∠F＝∠BAE，可得AB＝BF，由等腰三角形的性质可得AE＝EF，由“ASA”可证△ADE≌△FCE，可得AD＝CF，即可得结论；
（3）由全等三角形的性质可得S△ADE＝S△FCE，可得S四边形ABCD＝S△ABF，由三角形面积公式可求解．
【证明】（1）∵AD∥BC，∴∠BAD+∠ABC＝180°，
∵AE，BE分别平分∠DAB，∠CBA，∴∠DAE＝∠BAE=12∠BAD，∠ABE+∠CBE=12∠ABC，
∴∠BAE+∠ABE＝90°，∴∠BEA＝90°，∴AE⊥BE；
（2）如图，延长AE，BC交于点F，

∵AD∥BC，∴∠DAE＝∠F，∴∠BAE＝∠F，∴AB＝BF，且BE⊥AE，
∴AE＝EF，且∠DAE＝∠F，∠AED＝∠CEF，∴△ADE≌△FCE（ASA）
∴AD＝CF，∴AB＝BF＝BC+CF＝BC+AD；
（3）∵AE＝4，∴EF＝4，∴AF＝8，
∵△ADE≌△FCE，∴S△ADE＝S△FCE，∴S四边形ABCD＝S△ABF，∴S四边形ABCD=12AF×BE＝24，
【小结】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，三角形面积公式，证明△ADE≌△FCE是本题的关键．
变式48 如图，在四边形ABCD中，∠BAD＝α，∠BCD＝180°﹣α，BD平分∠ABC．
（1）如图，若α＝90°，根据教材中一个重要性质直接可得DA＝CD，这个性质是　 　
（2）问题解决：如图，求证AD＝CD；
（3）问题拓展：如图，在等腰△ABC中，∠BAC＝100°，BD平分∠ABC，求证：BD+AD＝BC．

【分析】（1）根据角平分线的性质定理解答；
（2）作DE⊥BA交BA延长线于E，DF⊥BC于F，证明△DEA≌△DFC，根据全等三角形的性质证明；
（3）在BC时截取BK＝BD，连接DK，根据（2）的结论得到AD＝DK，根据等腰三角形的判定定理得到KD＝KC，结合图形证明．
【解析】（1）∵BD平分∠ABC，∠BAD＝90°，∠BCD＝90°，
∴DA＝DC（角平分线上的点到角的两边距离相等），
故答案为：角平分线上的点到角的两边距离相等；

（2）如图2，作DE⊥BA交BA延长线于E，DF⊥BC于F，
∵BD平分∠EBF，DE⊥BE，DF⊥BF，∴DE＝DF，
∵∠BAD+∠C＝180°，∠BAD+∠EAD＝180°，∴∠EAD＝∠C，
在△DEA和△DFC中，∠DEA=∠DFC∠DAE=∠DCFDE=DF ∴△DEA≌△DFC（AAS），∴DA＝DC；


（3）如图，在BC时截取BK＝BD，连接DK，
∵AB＝AC，∠A＝100°，∴∠ABC＝∠C＝40°，
∵BD平分∠ABC，∴∠DBK=12∠ABC＝20°，
∵BD＝BK，∴∠BKD＝∠BDK＝80°，即∠A+∠BKD＝180°，
由（2）的结论得AD＝DK，
∵∠BKD＝∠C+∠KDC，∴∠KDC＝∠C＝40°，∴DK＝CK，∴AD＝DK＝CK，
∴BD+AD＝BK+CK＝BC．
【小结】本题考查的是等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．