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初中数学 章节考点梳理 数的开方章节涉及的12个必考点全梳理 学案
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考点1 平方根与立方根的定义
解决此类问题关键是掌握一个正数的正的平方根叫做这个数的算术平方根；一个正数的平方
根有2个；任意一个数的立方根只有1个．
例题1 下列说法中，正确的是（ ）
A．﹣5是（﹣5）2的算术平方根
B．16的平方根是±4
C．2是﹣4的算术平方根
D．27的立方根是±3
【分析】利用平方根、立方根的性质判断即可．
【解析】A、5是（﹣5）2的算术平方根，不符合题意；
B、16的平方根是±4，符合题意；
C、2是4的算术平方根，不符合题意；
D、27的立方根是3，不符合题意．
故选：B．
【小结】此题考查了立方根，平方根，以及算术平方根，熟掌握各自的性质是解本题的关键．
变式1 下列结论中，其中正确的是（ ）
A．81的平方根是±9 B．100=±10
C．立方根等于本身的数只有0.1 D．3-6=-36
【分析】根据平方根，立方根的定义逐项计算可判断求解．
【解析】A．∵81=9，9的平方根为±3，∴81的平方根为±3，故原说法错误；
B.100=10，故原说法错误；
C．立方根等于本身的数只有0，﹣1，1，故原说法错误；
D.3-6=-36，故原说法正确．
故选：D．
【小结】本题主要考查平方根，立方根，根据平方根及立方根的定义逐项计算可判断求解．
变式2 下列说法：①±3都是27的立方根；②116的算术平方根是±14；③-3-8=2；④16的平方根是±4；⑤﹣9是81的算术平方根，其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】根据平方根，算术平方根，立方根的定义找到错误选项即可．
【解析】①3是27的立方根，原来的说法错误；
②116的算术平方根是14，原来的说法错误；
③-3-8=2是正确的；
④16=4，4的平方根是±2，原来的说法错误；
⑤9是81的算术平方根，原来的说法错误．
故其中正确的有1个．
故选：A．
【小结】考查立方根，平方根，算术平方根的知识；用到的知识点为：一个正数的正的平方根叫做这个数的算术平方根；一个正数的平方根有2个；任意一个数的立方根只有1个．
变式3 下列说法正确的是（ ）
A．若a2=-a，则a＜0 B．若a2=a，则a＞0
C．a4b8=a2b4 D．3的平方根是3
【分析】根据平方根和算术平方根的定义分别对每一项进行分析，即可得出答案．
【解析】A、若a2=-a，则a≤0，故本选项错误；
B、若a2=a，则a≥0，故本选项错误；
C、a4b8=a2b4，故本选项正确；
D、3的平方根是±3，故本选项错误；
故选：C．
【小结】此题考查了平方根和算术平方根，熟练掌握平方根和算术平方根定义是解本题的关键．
考点2 算术平方根的小数点移动规律
解决此类问题关键是掌握一个被开方数的小数点向左或向右移动两位，它的算术平方根的小数点就相应地向左或向右移动1位；
例题2 由3≈1.732，得300≈17.32，则0.03≈ ，30000≈ ．从以上结果可以发现，被开方数的小数点向左或向右移动 位，它的算术平方根的小数点就相应地向左或向右移动1位．
【分析】根据算术平方根的定义进行解答即可．
【解析】∵300≈17.32，
∴0.03≈0.1732，30000≈173.2，
从以上结果可以发现，被开方数的小数点向左或向右移动两位，它的算术平方根的小数点就相应地向左或向右移动1位；
故答案为：0.1732，173.2，两．
【小结】此题考查了算术平方根的定义，掌握算术平方根的定义是本题的关键．
变式4 如表所示，被开方数a的小数点位置移动和它的算术平方根a的小数点位置移动规律符合一定的规律，若a=180，且-3.24=-1.8，则被开方数a的值为 ．
a
…
0.000001
0.01
1
100
10000
1000000
…
a
…
0.001
0.1
1
10
100
1000
…
【分析】根据题意和表格中数据的变化规律，可以求得a的值．
【解析】∵a=180，且-3.24=-1.8，
∴3.24=1.8，
∴32400=180，
∴a＝32400，
故答案为：32400．
【小结】本题考查算术平方根，解答本题的关键是明确算术平方根的定义，求出相应的a的值．
变式5 若25.36=5.036，253.6=15.906，则253600=（ ）
A．50.36 B．503.6 C．159.06 D．1.5906
【分析】根据已知等式，利用算术平方根定义判断即可得到结果．
【解析】∵25.36=5.036，∴253600=25.36×10000=5.036×100＝503.6，故选：B．
【小结】本题考查了算术平方根．解题的关键是掌握算术平方根的定义以及算术平方根的被开方数小数点移动的规律．
变式6 设5=m，7=n，则0.056可以表示为（ ）
A．mn25 B．mn20 C．mn15 D．mn10
【分析】首先把小数化为分数，为便于开方根据分数基本性质，分子分母同时扩大10倍，再根据二次根式的性质与化简，即可求得结论．
【解析】0.056=561000=56010000=560100=16×5×7100=4×5×7100=mn25；
故选：A．
【小结】本题考查了二次根式的性质与化简，解决本题的关键是二次根式化简时把小数化为分数，注意尝试怎样拆分数据可简便运算．
考点3 算术平方根的非负性
解决此类问题关键是掌握算术平方根，绝对值，偶次乘方均具有非负性.
例题3 若实数x，y满足|x﹣3|+y-1=0，则（x+y）3的平方根为（ ）
A．4 B．8 C．±4 D．±8
【分析】利用绝对值的性质以及二次根式的性质得出x，y的值，进而利用平方根的定义得出答案．
【解析】∵|x﹣3|+y-1=0，∴x﹣3＝0，y﹣1＝0，∴x＝3，y＝1，
则（x+y）3＝（3+1）3＝64，
64的平方根是：±8．
故选：D．
【小结】此题主要考查了算术平方根以及绝对值的性质，正确把握相关定义是解题的关键．
变式7 已知实数x和y满足x2-4+（y3+8）2＝0，则x+y的值为（ ）
A．0 B．﹣4 C．0或﹣4 D．±4
【分析】根据非负数的性质即可求出答案．
【解析】由题意可知：x2﹣4＝0，y3+8＝0，
∴x＝±2，y＝﹣2，
∴x+y＝0或﹣4，
故选：C．
【小结】本题考查非负数的性质，解题的关键是熟练运用非负数的性质，本题属于基础题型．
变式8 已知（2a+b）2与3b+12互为相反数，则ba＝ ．
【分析】根据相反数的概念列出算式，根据非负数的性质求出a、b的值，计算即可．
【解析】由题意得，（2a+b）2+3b+12=0，
则2a+b＝0，3b+12＝0，
解得，a＝2，b＝﹣4，
则ba＝（﹣4）2＝16，
故答案为：16．
【小结】本题考查了非负数的性质和相反数，掌握当几个非负数相加和为0时，则其中的每一项都必须等于0是解题的关键．
变式9 已知：实数a、b满足关系式（a﹣2）2+|b+3|+2009-c=0，求：ba+c+8的值．
【分析】根据算术平方根，绝对值，偶次方的非负性求解a，b，c的值，再代入计算即可求解．
【解析】由题意得a-2=0，b+3=0，2009-c=0，
解得a＝2，b=-3，c＝2009，
∴ba+c+8=(-3)2+2009+8＝2020．
【小结】本题主要考查算术平方根，绝对值，偶次方的非负性，代数式求值，求解a，b，c的值是解题的关键．
考点4 利用平方根与立方根性质解方程
解决此类问题关键是注意一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根．立方根的性质：一个正数的立方根式正数，一个负数的立方根是负数，0的立方根式0．
例题4 计算下列各式的x的值：
（1）12x2=8；
（2）13（x+1）3＝﹣9．
【分析】（1）方程变形后，利用平方根定义开方即可求出解；
（2）方程利用立方根的定义化简即可求出解．
【解析】（1）方程变形得：x2＝16，开方得：x＝±4；
（2）方程变形得：（x+1）3＝﹣27，开立方得：x+1＝﹣3，解得：x＝﹣4．
【小结】此题考查了立方根，以及平方根，熟练掌握各自的定义是解本题的关键．
变式10 求下列各式中x的值
（1）25x2＝4；
（2）（x+1）3＝﹣27．
【分析】（1）根据等式的性质，可得平方的形式，根据开方运算，可得答案；
（2）根据开立方运算，可得一元一次方程，根据解方程，可得答案．
【解析】（1）方程两边都除以25，得
x2=425，开方得，x=±25；
（2）开立方得，x+1＝﹣3，移项得，x＝﹣4．
【小结】本题主要考查立方根和平方根的知识点，解答本题的关键是注意一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根．立方根的性质：一个正数的立方根式正数，一个负数的立方根是负数，0的立方根式0．
变式11 求下列各式中的x：
（1）4（x+2）2﹣16＝0； （2）（2x﹣1）3+2627=1．
【分析】（1）先求出（x+2）的值，然后解方程即可；
（2）求出（2x﹣1）的值，解方程即可得出x的值．
【解析】（1）由题意得，4（x+2）2＝16，
∴（x+2）2＝4，∴x+2＝±2，
解得x＝0或﹣4；
（2）由题意得，（2x﹣1）3=127，
∴2x﹣1=13，∴x=23．
【小结】此题考查了平方根的知识，属于基础题，解答本题的关键是掌握一个正数的平方根有两个，不要漏解．
变式12 解方程：
（1）（x﹣4）2＝6； （2）13(x+3)3-9＝0．
【分析】（1）根据平方根的定义解答即可；
（2）把方程整理为（x+3）3＝27，再根据立方根的定义解答即可．
【解析】（1）（x﹣4）2＝6，
x-4=±6，
∴x＝4+6或x＝4-6；
（2）13(x+3)3-9＝0，
13(x+3)3=9，
（x+3）3＝27，
x+3=327，
x+3＝3，
∴x＝0．
【小结】本题主要考查了平方根与立方根，注意一个正数有两个平方根，它们互为相反数．
考点5 平方根与立方根性质的运用
解决此类问题关键是注意一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根．立方根的性质：一个正数的立方根是正数，一个负数的立方根是负数，0的立方根式0．
例题5 已知4a+1的平方根是±3，b﹣1的算术平方根为2．
（1）求a与b的值；
（2）求2a+b﹣1的立方根．
【分析】（1）首先根据4a+1的平方根是±3，可得：4a+1＝9，据此求出a的值是多少；然后根据b﹣1的算术平方根为2，可得：b﹣1＝4，据此求出b的值是多少即可．
（2）把（1）中求出a与b的值代入2a+b﹣1，求出算术的值是多少，进而求出它的立方根是多少即可．
【解析】（1）∵4a+1的平方根是±3，∴4a+1＝9，解得a＝2；
∵b﹣1的算术平方根为2，∴b﹣1＝4，解得b＝5．
（2） ∵a＝2，b＝5，
∴2a+b﹣1
＝2×2+5﹣1
＝8，
∴2a+b﹣1的立方根是：38=2．
【小结】此题主要考查了立方根、平方根、算术平方根的含义和求法，要熟练掌握．
变式13 已知4a+7的立方根是3，2a+2b+2的算术平方根是4．
（1）求a，b的值； （2）求6a+3b的平方根．
【分析】（1）运用立方根和算术平方根的定义求解．
（2）根据平方根，即可解答．
【解析】（1）∵4a+7的立方根是3，2a+2b+2的算术平方根是4，
∴4a+7＝27，2a+2b+2＝16，∴a＝5，b＝2；
（2）由（1）知a＝5，b＝2，
∴6a+3b＝6×5+3×2＝36，∴6a+3b的平方根为±6．
【小结】本题考查了平方根、算术平方根，解决本题的关键是熟记平方根、算术平方根的定义．
变式14 已知2a+1的平方根是±3，3a+2b﹣4的立方根是﹣2，求4a﹣5b+8的立方根．
【分析】先根据平方根，立方根的定义列出关于a、b的二元一次方程组，再代入进行计算求出4a﹣5b+8的值，然后根据立方根的定义求解．
【解析】∵2a+1的平方根是±3，3a+2b﹣4的立方根是﹣2，
∴2a+1＝9，3a+2b﹣4＝﹣8，
解得a＝4，b＝﹣8，
∴4a﹣5b+8＝4×4﹣5×（﹣8）+8＝64，
∴4a﹣5b+8的立方根是4．
【小结】本题考查了平方根，立方根的定义，列式求出a、b的值是解题的关键．
变式15 已知3a+4a+5a+6a+7a+8a＝165，且a+11的算术平方根是m，5a+2的立方根是n．求nm的平方根．
【分析】先由3a+4a+5a+6a+7a+8a＝165，即33a＝165得出a＝5，再结合a+11的算术平方根是m，5a+2的立方根是n得出m、n的值，代入求解可得．
【解析】∵3a+4a+5a+6a+7a+8a＝165，即33a＝165，
∴a＝5，
又a+11的算术平方根是m，即16的算术平方根是m，
∴m＝4，
∵5a+2的立方根是n，即27的立方根是n，
∴n＝3，
则nm＝34＝81的平方根为±9．
【小结】本题主要考查立方根，解题的关键是掌握立方根、平方根及算术平方根的定义．
考点6 无理数的概念
解决此类问题关键是掌握无理数的定义，注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数．如π，2，0.8080080008…（每两个8之间依次多1个0）等形式．
例题6 在以下实数227，3.14159265，39，36，π3中，无理数的个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】根据无理数是无限不循环小数，可得答案．
【解析】227是分数，属于有理数；
3.14159265是有限小数，属于有理数；
36=6，是整数，属于有理数；
无理数有：39，π3共2个．
故选：B．
【小结】此题主要考查了无理数的定义，注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数．如π，2，0.8080080008…（每两个8之间依次多1个0）等形式．
变式16 在16，-π2，﹣5.1⋅8⋅，-39，47，0.317311731117…，这几个数中，无理数的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．
【解析】16=4，是整数，属于有理数；
-5.1．8．是循环小数，属于无理数；
47是分数，属于有理数；
无理数有：-π2，-39，0.317311731117…共3个．
故选：C．
【小结】此题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；以及像0.1010010001…，等有这样规律的数．
变式17 如图是一个无理数生成器的工作流程图，根据该流程图，下面说法：
①当输出值y为3时，输入值x为3或9；
②当输入值x为16时，输出值y为2；
③对于任意的正无理数y，都存在正整数x，使得输入x后能够输出y；
④存在这样的正整数x，输入x之后，该生成器能够一直运行，但始终不能输出y值．其中错误的是（ ）
A．①② B．②④ C．①④ D．①③
【分析】根据运算规则即可求解．
【解析】①x的值不唯一．x＝3或x＝9或81等，故①说法错误；
②输入值x为16时，16=4，4=2，即y=2，故②说法正确；
③对于任意的正无理数y，都存在正整数x，使得输入x后能够输出y，如输入π2，故③说法错误；
④当x＝1时，始终输不出y值．因为1的算术平方根是1，一定是有理数，故④原说法正确．
其中错误的是①③．
故选：D．
【小结】此题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；以及像0.1010010001…，等有这样规律的数．
变式18 如图是一个无理数筛选器的工作流程图．
（1）当x为16时，y值为 ；
（2）是否存在输入有意义的x值后，却输不出y值？如果存在，写出所有满足要求的x值；如果不存在，请说明理由；
（3）当输出的y值是3时，判断输入的x值是否唯一，如果不唯一，请写出其中的两个．
【分析】（1）根据运算规则即可求解；
（2）根据0的算术平方根是0，即可判断；
（3）根据运算法则，进行逆运算即可求得无数个满足条件的数．
【解析】（1）当x＝16时，16=4，4=2，故y值为2．
故答案为：2；
（2）当x＝0，1时，始终输不出y值．因为0，1的算术平方根是0，1，一定是有理数；
（3）x的值不唯一．x＝3或x＝9．
【小结】本题考查了二次根式有意义的条件，正确理解给出的运算方法是关键．
考点7 估算无理数的大小
解决此类问题关键是掌握无理数的定义，注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数．如π，2，0.8080080008…（每两个8之间依次多1个0）等形式．
例题7 下列整数中，与6-11最接近的是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【分析】用逼近法即可进行无理数大小的估算．
【解析】∵9＜11＜16，
∴3＜11＜4，
∵3.52＝12.25＞11，
∴3＜11＜3.5
∴2.5＜6-11＜3．
∴与6-11最接近的是3．
故选：B．
【小结】本题考查了估算无理数的大小，估算无理数大小要用逼近法．
变式19 若a＜28-7＜a+1，其中a为整数，则a的值是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】先把28-7化简，再估算7的范围即可．
【解析】28-7=27-7=7，
∵22＜7＜32，
∴2＜7＜3，
∵a＜28-7＜a+1，其中a为整数，
∴a＝2．
故选：B．
【小结】此题主要考查了估算无理数的大小，正确估算7的范围是解答本题的关键．
变式20 阅读下面的文字，解答问题，
例如：∵4＜7＜9，即2＜7＜3，∴7的整数部分为2，小数部分为（7-2）．
请解答：（1）17的整数部分是 ，小数部分是 ．
（2）已知：5-17小数部分是m，6+17小数部分是n，且（x+1）2＝m+n，请求出满足条件的x的值．
【分析】（1）直接利用估算无理数的大小的方法分别得出答案；
（2）直接利用（1）中所求即可得出m，n的值，进而得出x的值．
【解析】（1）∵16＜17＜25，∴4＜17＜5，∴17的整数部分是：4，小数部分是：17-4；
故答案为：4，17-4；
（2）∵5-17小数部分是m，6+17小数部分是n，∴m＝5-17，n＝6+17-10=17-4，
∴m+n＝1，∴（x+1）2＝1，解得：x＝0或﹣2．
【小结】此题主要考查了估算无理数的大小，正确得出无理数的取值范围是解题关键．
变式21 阅读下面的文字，解答问题．
大家知道2是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此2的小数部分我们不可能全部地写出来，于是小明用2-1来表示2的小数部分，你同意小明的表示方法吗？事实上，小明的表示方法是有道理，因为2的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分．请解答：
（1）若13的整数部分为a，小数部分为b，求a2+b-13的值．
（2）已知：10+3=x+y，其中x是整数，且0＜y＜1，求x﹣y的值．
【分析】（1）先估算出13的范围，求出a、b的值，再代入求出即可；
（2）先估算出3的范围，再求出x、y的值，再代入要求的式子进行计算即可．
【解析】（1）∵3＜13＜4，∴a＝3，b=13-3，
∴a2+b-13=32+13-3-13=6；
（2）∵1＜3＜2，
又∵10+3=x+y，其中x是整数，且0＜y＜1，
∴x＝11，y=3-1，∴x﹣y＝11﹣（3-1）＝12-3．
【小结】本题考查了估算无理数的大小，能估算出13，3的范围是解此题的关键．
考点8 实数与数轴的对应关系
例题8 如图，在数轴上，AB＝AC，A，B两点对应的实数分别是3和﹣1，则点C对应的实数是（ ）
A．23 B．23-2 C．3+1 D．23+1
【分析】求出AB的距离，再求出点C所表示的数．
【解析】AB=3-（﹣1）=3+1，
∵AB＝AC，A所表示的实数为3，点C在点A的右侧，
∴点C所表示的数为：3+（3+1）＝23+1，故选：D．
【小结】考查数轴表示数的意义，理解绝对值的意义是解决问题的前提，
变式22 如图，3，11在数轴上的对应点分别为C，B，点C是AB的中点，则点A表示的数是（ ）
A．-11 B．3-11 C．11-3 D．6-11
【分析】设点A表示的数是x，再根据中点坐标公式即可得出x的值．
【解析】设点A表示的数是x，
∵数轴上表示3、11的对应点分别为C、B，点C是AB的中点，
∴11+x2=3，解得x＝6-11．故选：D．
【小结】本题考查的是实数与数轴，熟知数轴上的点与实数是一一对应关系是解答此题的关键．
变式23 在数轴上，点A表示实数3，以点A为圆心，2+5的长为半径画弧，交数轴于点C，则点C表示的实数是（ ）
A．5+5 B．1-5 C．5-1或5+5 D．1-5或5+5
【分析】在数轴上利用左减右加的规律计算点C表示的实数．
【解析】根据题意得：3+2+5=5+5，3﹣（2+5）＝1-5，
则点C表示的实数是5+5或1-5，故选：D．
【小结】此题考查了实数与数轴，熟练掌握左减右加的规律是解本题的关键．
变式24 如图，一只蚂蚁从点A沿数轴向右直爬2个单位长度到达点B，点A表示-2，设点B所表示的数为m．
（1）求m的值．
（2）求|m﹣1|+m+6的值．
【分析】（1）根据正负数的意义计算；
（2）根据绝对值的意义和实数的混合运算法则计算．
【解析】（1）由题意A点和B点的距离为2，A点的坐标为-2，因此B点坐标m＝2-2．
（2）把m的值代入得：|m﹣1|+m+6
＝|2-2-1|+2-2+6，
＝|1-2|+8-2，
=2-1+8-2，
＝7．
【小结】本题考查了数轴、绝对值和实数的混合运算，熟练掌握数轴的意义和实数的运算法则是解题的关键．
考点9 实数大小比较
例题9 比较下列实数的大小（填上＞、＜或＝）．
①π 3.14159；②350 4；③22 33．
【分析】根据实数大小比较的法则进行比较即可．
【解析】①π＞3.14159；
②∵4=364 ∴350＜4；
③（22）2=12，（33）2=13，
∵12＞13， ∴22＞33．
故答案为：＞；＜；＞．
【小结】此题主要考查了实数的比较大小，关键是掌握正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，两个负实数绝对值大的反而小．
变式25 5-2，2+52，2+2的大小关系是（ ）
A．2+2＞2+52＞5-2 B．5-2＞2+52＞2+2
C．2+52＞5-2＞2+2 D．5-2＞2+2＞2+52
【分析】先根据52＜2，利用不等式的性质可以判断第2个和第3个数的大小，最后由作差法可得第一个数和第3个数的大小．
【解析】∵5＜8，
∴5＜8，
∴52＜2，
∴2+52＜2+2，
∵（5-2）﹣（2+2）＝3﹣22＞0，
∴5-2＞2+2＞2+52；
故选：D．
【小结】本题考查了实数大小的比较，先观察每个数的特点，常利用作差法，不等式的性质，作商法，数轴法等比较两个数的大小．
变式26 已知0＜x＜1，则x、1x、x2、x的大小关系是（ ）
A．x＜x2＜x＜1x B．x＜x2＜1x＜x C．x2＜x＜x＜1x D．1x＜x＜x2＜x
【分析】根据0＜x＜1，可得：0＜x2＜x＜x＜1，1x＞1，据此判断即可．
【解析】∵0＜x＜1，
∴0＜x2＜x＜x＜1，1x＞1，
∴x2＜x＜x＜1x．
故选：C．
【小结】此题主要考查了实数大小比较的方法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：正实数＞0＞负实数，两个负实数绝对值大的反而小．
变式27 已知min{x，x2，x}表示取三个数中最小的那个数，例如：当x＝9，min{x，x2，x}＝min{9，92，9}＝3﹒当min{x，x2，x}=116时，则x的值为（ ）
A．116 B．18 C．14 D．12
【分析】本题分别计算x=116，x2=116，x=116的x值，找到满足条件的x值即可．
首先从x的值代入来求，由x≥0，则x＝01，2，3，4，5，则可知最小值是0，最大值是6．
【解析】当x=116时，x=1256，x＜x，不合题意；当x2=116时，x＝±14，当x=-14时，x＜x2，不合题意；当x=14时，x=12，x2＜x＜x，符合题意；当x=116时，x2=1256，x2＜x，不合题意，
故选：C．
【小结】本题主要考查实数大小比较，算术平方根及其最值问题，解决此题时，注意分类思想的运用．
考点10 实数的混合运算
在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用．正确化简各数是解题关键．
例题10 计算﹣12﹣（﹣2）3×18+3-27×|-13|+|1-3|
【分析】直接利用立方根以及对值的性质分别化简得出答案．
【解析】原式＝﹣1+8×18-3×13+3-1
＝﹣1+1﹣1+3-1=3-2．
【小结】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．
变式28 计算：3×(4-3)×31-1927-|3-2|
【分析】直接利用立方根的性质、二次根式的性质分别化简得出答案．
【解析】原式＝3×（2-3）×23-（2-3）
＝4﹣23-2+3 ＝2-3．
【小结】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．
变式29 计算：（﹣1）2020+（﹣2）3×18-3-27×（-19）．
【分析】首先计算乘方、开方，然后计算乘法，最后从左向右依次计算，求出算式的值是多少即可．
【解析】（﹣1）2020+（﹣2）3×18-3-27×（-19）
＝1+（﹣8）×18-（﹣3）×（-13）
＝1﹣1﹣1
＝﹣1．
【小结】此题主要考查了实数的运算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用．正确化简各数是解题关键．
变式30 计算：3-8-1-1625+|2-5|+(-4)2
【分析】直接利用立方根以及二次根式的性质、绝对值的性质分别化简得出答案．
【解析】原式＝﹣2-35+5-2+4
=-35+5．
【小结】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．
考点11 实数中的定义新运算
例题11 对于任意两个不相等的数a，b，定义一种新运算“⊕”如下：a⊕b=a+ba-b，如：3⊕2=3+23-2=5，那么12⊕4＝ ．
【分析】先依据定义列出算式，然后再进行计算即可．
【解析】12⊕4=12+412-4=2．
故答案为：2．
【小结】本题主要考查的是算术平方根的性质，根据定义运算列出算式是解题的关键．
变式31 对于能使式子有意义的有理数a，b，定义新运算：a△b=3a+ba-3b．如果|x+1|+y-3+|xz+2|＝0，则x△（y△z）＝ ．
【分析】先根据绝对值、二次根式的非负性，求出x、y、z的值，再根据新运算的规定计算x△（y△z）的值．
【解析】∵|x+1|≥0，y-3≥0，|xz+2|≥0，
又∵|x+1|+y-3+|xz+2|＝0，
∴|x+1|＝0，y-3=0，|xz+2|＝0．
∴x+1＝0，y﹣3＝0，xz+2＝0．
∴x＝﹣1，y＝3，z＝2．
∵y△z=3y+z3-3z
=-113．
x△（y△z）＝﹣1△（-113）
=3×(-1)-113-1-3×(-113)
=-20310
=-23．
故答案为：-23．
【小结】本题考查了绝对值、二次根式的非负性及实数的混合运算，理解并运用新定义运算的规定是解决本题的关键．
变式32 对任意两个实数a，b定义两种运算：a⊕b=a(若a≥b)b(若a＜b)，a⊗b=b(若a≥b)a(若a＜b)，并且定义运算顺序仍然是先做括号内的，例如（﹣2）⊕3＝3，（﹣2）⊗3＝﹣2，（（﹣2）⊕3）⊗2＝2．那么（5⊕2）⊗327等于（ ）
A．35 B．3 C．5 D．6
【分析】直接利用已知运算公式进而分析得出答案．
【解析】（5⊕2）⊗327
=5⊗327
=5⊗3
=5．
故选：C．
【小结】此题主要考查了实数运算，正确运用公式是解题关键．
变式33 对实数a、b，定义“★”运算规则如下：a★b=b(a≤b)a2-b2(a＞b)，则7★（2★3）＝（ ）
A．1 B．2 C．﹣1 D．﹣2
【分析】先依据法则知2★3=3，据此得出原式=7★3，再次利用法则计算可得．
【解析】∵2＜3，
∴2★3=3，
则原式=7★3
=(7)2-(3)2
=7-3
=4
＝2，
故选：B．
【小结】本题主要考查实数的运算，解题的关键是掌握实数的混合运算顺序和运算法则及对新定义的理解．
考点12 实数的性质综合
例题12 如图①是由8个同样大小的立方体组成的魔方，体积为8．
（1）求出这个魔方的棱长；
（2）图①中阴影部分是一个正方形ABCD，求出阴影部分的面积及其边长．
（3）把正方形ABCD放到数轴上，如图②，使得点A与﹣1重合，那么点D在数轴上表示的数为 ．
【分析】（1）根据立方体的体积公式，直接求棱长即可；
（2）根据棱长，求出每个小正方体的边长，进而可得小正方形的对角线，即阴影部分图形的边长，即可得解；
（3）用点A表示的数减去边长即可得解．
【解析】（1）设魔方的棱长为x，
则x3＝8，解得：x＝2；
（2）∵棱长为2，
∴每个小立方体的边长都是1，
∴正方形ABCD的边长为：2，
∴S正方形ABCD=(2)2=2；
（3）∵正方形ABCD的边长为2，点A与﹣1重合，
∴点D在数轴上表示的数为：﹣1-2，
故答案为：﹣1-2．
【小结】本题主要考查实数与数轴、立方根的综合应用，解决此题的关键是能求出每个小正方形的边长．
变式34 如图，4×4方格中每个小正方形的边长都为1．
（1）直接写出图（1）中正方形ABCD的面积及边长；
（2）在图（2）的4×4方格中，画一个面积为8的格点正方形（四个顶点都在方格的顶点上）；并把图（2）中的数轴补充完整，然后用圆规在数轴上表示实数8．
【分析】（1）根据面积求出正方形的边长，再根据边长的长和面积公式即可求出答案；
（2）根据勾股定理和正方形的面积公式即可画出图形，利用圆规，以O为圆心，正方形的边长为半径画弧可得实数8的位置．
【解析】（1）正方形的边长是：5，
面积为：5×5=5．
（2）见图：在数轴上表示实数8，
【小结】本题考查了三角形的面积，实数与数轴，用到的知识点是勾股定理，以及勾股定理的应用，在直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方．
变式35 如图甲，这是由8个同样大小的立方体组成的魔方，总体积为64cm3．
（1）这个魔方的棱长为 cm；
（2）图甲中阴影部分是一个正方形ABCD，求这个正方形的边长；
（3）把正方形ABCD放置在数轴上，如图乙所示，使得点A与数1重合，则D在数轴上表示的数为 ．
【分析】（1）魔方是个正方体，正方体的体积等于棱长的三次方；
（2）这个正方形ABCD的边长是小立方体一个面的对角线的长度；
（3）点D表示的数是负数，它的绝对值比正方形ABCD的边长少1．
【解析】（1）设魔方的棱长为acm，根据题意得 a3＝64
∴a＝4故答案为4．
（2）设小正方体的棱长为bcm，根据题意得 8b3＝64
∴b＝2
∴所以根据勾股定理得 CD2＝22+22
∴CD＝8
答：这个正方形的边长是8cm．
（3）由（2）知，AD＝8
∴点D对应的数的绝对值是8-1，
∵点D对应的数是负数
∴点D对应的数是1﹣8
故答案为1﹣8．
【小结】本题考查了正方体的体积、实数与数轴之间的关系和勾股定理．正方体的体积＝棱长的立方．实数与数轴上的点是一一对应的关系，要在数轴上表示一个实数，要知道这个实数的正负性和绝对值．
变式36 如图1，纸上有五个边长为1的小正方形组成的图形纸，我们可以把它剪开拼成一个正方形．
（1）拼成的正方形的边长为 ．
（2）如图2，以数轴的单位长度的线段为边作一个直角三角形，以数轴上表示的﹣1点为圆心，直角三角形的最大边为半径画弧，交数轴正半轴于点A，那么点A表示的数是 ．
（3）如图3，网格中每个小正方形的边长为1，若能把阴影部分剪拼成一个新的正方形，求新的正方形的面积和边长．
【分析】（1）设拼成的正方形的边长为a，根据总面积列方程可解答；
（2）结合（1），并根据圆中半径相等，结合数轴上点的特点可解答；
（3）根据图形求出阴影部分的面积，即为新正方形的面积，开方即可求出边长．
【解析】（1）设拼成的正方形的边长为a，
则a2＝5，
a=5，
即拼成的正方形的边长为5，
故答案为：5；
（2）由（1）得点A表示的数为5-1，
故答案为：5-1；
（3）根据图形得：S阴影＝2×2×2×12+2×2×12=4+2＝6，即新的正方形的面积为6，新正方形的边长为6．
【小结】此题考查了实数、数轴、几何图形及算术平方根，熟练掌握算术平方根的定义是解本题的关键．
考点1 平方根与立方根的定义
解决此类问题关键是掌握一个正数的正的平方根叫做这个数的算术平方根；一个正数的平方
根有2个；任意一个数的立方根只有1个．
例题1 下列说法中，正确的是（ ）
A．﹣5是（﹣5）2的算术平方根
B．16的平方根是±4
C．2是﹣4的算术平方根
D．27的立方根是±3
【分析】利用平方根、立方根的性质判断即可．
【解析】A、5是（﹣5）2的算术平方根，不符合题意；
B、16的平方根是±4，符合题意；
C、2是4的算术平方根，不符合题意；
D、27的立方根是3，不符合题意．
故选：B．
【小结】此题考查了立方根，平方根，以及算术平方根，熟掌握各自的性质是解本题的关键．
变式1 下列结论中，其中正确的是（ ）
A．81的平方根是±9 B．100=±10
C．立方根等于本身的数只有0.1 D．3-6=-36
【分析】根据平方根，立方根的定义逐项计算可判断求解．
【解析】A．∵81=9，9的平方根为±3，∴81的平方根为±3，故原说法错误；
B.100=10，故原说法错误；
C．立方根等于本身的数只有0，﹣1，1，故原说法错误；
D.3-6=-36，故原说法正确．
故选：D．
【小结】本题主要考查平方根，立方根，根据平方根及立方根的定义逐项计算可判断求解．
变式2 下列说法：①±3都是27的立方根；②116的算术平方根是±14；③-3-8=2；④16的平方根是±4；⑤﹣9是81的算术平方根，其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】根据平方根，算术平方根，立方根的定义找到错误选项即可．
【解析】①3是27的立方根，原来的说法错误；
②116的算术平方根是14，原来的说法错误；
③-3-8=2是正确的；
④16=4，4的平方根是±2，原来的说法错误；
⑤9是81的算术平方根，原来的说法错误．
故其中正确的有1个．
故选：A．
【小结】考查立方根，平方根，算术平方根的知识；用到的知识点为：一个正数的正的平方根叫做这个数的算术平方根；一个正数的平方根有2个；任意一个数的立方根只有1个．
变式3 下列说法正确的是（ ）
A．若a2=-a，则a＜0 B．若a2=a，则a＞0
C．a4b8=a2b4 D．3的平方根是3
【分析】根据平方根和算术平方根的定义分别对每一项进行分析，即可得出答案．
【解析】A、若a2=-a，则a≤0，故本选项错误；
B、若a2=a，则a≥0，故本选项错误；
C、a4b8=a2b4，故本选项正确；
D、3的平方根是±3，故本选项错误；
故选：C．
【小结】此题考查了平方根和算术平方根，熟练掌握平方根和算术平方根定义是解本题的关键．
考点2 算术平方根的小数点移动规律
解决此类问题关键是掌握一个被开方数的小数点向左或向右移动两位，它的算术平方根的小数点就相应地向左或向右移动1位；
例题2 由3≈1.732，得300≈17.32，则0.03≈ ，30000≈ ．从以上结果可以发现，被开方数的小数点向左或向右移动 位，它的算术平方根的小数点就相应地向左或向右移动1位．
【分析】根据算术平方根的定义进行解答即可．
【解析】∵300≈17.32，
∴0.03≈0.1732，30000≈173.2，
从以上结果可以发现，被开方数的小数点向左或向右移动两位，它的算术平方根的小数点就相应地向左或向右移动1位；
故答案为：0.1732，173.2，两．
【小结】此题考查了算术平方根的定义，掌握算术平方根的定义是本题的关键．
变式4 如表所示，被开方数a的小数点位置移动和它的算术平方根a的小数点位置移动规律符合一定的规律，若a=180，且-3.24=-1.8，则被开方数a的值为 ．
a
…
0.000001
0.01
1
100
10000
1000000
…
a
…
0.001
0.1
1
10
100
1000
…
【分析】根据题意和表格中数据的变化规律，可以求得a的值．
【解析】∵a=180，且-3.24=-1.8，
∴3.24=1.8，
∴32400=180，
∴a＝32400，
故答案为：32400．
【小结】本题考查算术平方根，解答本题的关键是明确算术平方根的定义，求出相应的a的值．
变式5 若25.36=5.036，253.6=15.906，则253600=（ ）
A．50.36 B．503.6 C．159.06 D．1.5906
【分析】根据已知等式，利用算术平方根定义判断即可得到结果．
【解析】∵25.36=5.036，∴253600=25.36×10000=5.036×100＝503.6，故选：B．
【小结】本题考查了算术平方根．解题的关键是掌握算术平方根的定义以及算术平方根的被开方数小数点移动的规律．
变式6 设5=m，7=n，则0.056可以表示为（ ）
A．mn25 B．mn20 C．mn15 D．mn10
【分析】首先把小数化为分数，为便于开方根据分数基本性质，分子分母同时扩大10倍，再根据二次根式的性质与化简，即可求得结论．
【解析】0.056=561000=56010000=560100=16×5×7100=4×5×7100=mn25；
故选：A．
【小结】本题考查了二次根式的性质与化简，解决本题的关键是二次根式化简时把小数化为分数，注意尝试怎样拆分数据可简便运算．
考点3 算术平方根的非负性
解决此类问题关键是掌握算术平方根，绝对值，偶次乘方均具有非负性.
例题3 若实数x，y满足|x﹣3|+y-1=0，则（x+y）3的平方根为（ ）
A．4 B．8 C．±4 D．±8
【分析】利用绝对值的性质以及二次根式的性质得出x，y的值，进而利用平方根的定义得出答案．
【解析】∵|x﹣3|+y-1=0，∴x﹣3＝0，y﹣1＝0，∴x＝3，y＝1，
则（x+y）3＝（3+1）3＝64，
64的平方根是：±8．
故选：D．
【小结】此题主要考查了算术平方根以及绝对值的性质，正确把握相关定义是解题的关键．
变式7 已知实数x和y满足x2-4+（y3+8）2＝0，则x+y的值为（ ）
A．0 B．﹣4 C．0或﹣4 D．±4
【分析】根据非负数的性质即可求出答案．
【解析】由题意可知：x2﹣4＝0，y3+8＝0，
∴x＝±2，y＝﹣2，
∴x+y＝0或﹣4，
故选：C．
【小结】本题考查非负数的性质，解题的关键是熟练运用非负数的性质，本题属于基础题型．
变式8 已知（2a+b）2与3b+12互为相反数，则ba＝ ．
【分析】根据相反数的概念列出算式，根据非负数的性质求出a、b的值，计算即可．
【解析】由题意得，（2a+b）2+3b+12=0，
则2a+b＝0，3b+12＝0，
解得，a＝2，b＝﹣4，
则ba＝（﹣4）2＝16，
故答案为：16．
【小结】本题考查了非负数的性质和相反数，掌握当几个非负数相加和为0时，则其中的每一项都必须等于0是解题的关键．
变式9 已知：实数a、b满足关系式（a﹣2）2+|b+3|+2009-c=0，求：ba+c+8的值．
【分析】根据算术平方根，绝对值，偶次方的非负性求解a，b，c的值，再代入计算即可求解．
【解析】由题意得a-2=0，b+3=0，2009-c=0，
解得a＝2，b=-3，c＝2009，
∴ba+c+8=(-3)2+2009+8＝2020．
【小结】本题主要考查算术平方根，绝对值，偶次方的非负性，代数式求值，求解a，b，c的值是解题的关键．
考点4 利用平方根与立方根性质解方程
解决此类问题关键是注意一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根．立方根的性质：一个正数的立方根式正数，一个负数的立方根是负数，0的立方根式0．
例题4 计算下列各式的x的值：
（1）12x2=8；
（2）13（x+1）3＝﹣9．
【分析】（1）方程变形后，利用平方根定义开方即可求出解；
（2）方程利用立方根的定义化简即可求出解．
【解析】（1）方程变形得：x2＝16，开方得：x＝±4；
（2）方程变形得：（x+1）3＝﹣27，开立方得：x+1＝﹣3，解得：x＝﹣4．
【小结】此题考查了立方根，以及平方根，熟练掌握各自的定义是解本题的关键．
变式10 求下列各式中x的值
（1）25x2＝4；
（2）（x+1）3＝﹣27．
【分析】（1）根据等式的性质，可得平方的形式，根据开方运算，可得答案；
（2）根据开立方运算，可得一元一次方程，根据解方程，可得答案．
【解析】（1）方程两边都除以25，得
x2=425，开方得，x=±25；
（2）开立方得，x+1＝﹣3，移项得，x＝﹣4．
【小结】本题主要考查立方根和平方根的知识点，解答本题的关键是注意一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根．立方根的性质：一个正数的立方根式正数，一个负数的立方根是负数，0的立方根式0．
变式11 求下列各式中的x：
（1）4（x+2）2﹣16＝0； （2）（2x﹣1）3+2627=1．
【分析】（1）先求出（x+2）的值，然后解方程即可；
（2）求出（2x﹣1）的值，解方程即可得出x的值．
【解析】（1）由题意得，4（x+2）2＝16，
∴（x+2）2＝4，∴x+2＝±2，
解得x＝0或﹣4；
（2）由题意得，（2x﹣1）3=127，
∴2x﹣1=13，∴x=23．
【小结】此题考查了平方根的知识，属于基础题，解答本题的关键是掌握一个正数的平方根有两个，不要漏解．
变式12 解方程：
（1）（x﹣4）2＝6； （2）13(x+3)3-9＝0．
【分析】（1）根据平方根的定义解答即可；
（2）把方程整理为（x+3）3＝27，再根据立方根的定义解答即可．
【解析】（1）（x﹣4）2＝6，
x-4=±6，
∴x＝4+6或x＝4-6；
（2）13(x+3)3-9＝0，
13(x+3)3=9，
（x+3）3＝27，
x+3=327，
x+3＝3，
∴x＝0．
【小结】本题主要考查了平方根与立方根，注意一个正数有两个平方根，它们互为相反数．
考点5 平方根与立方根性质的运用
解决此类问题关键是注意一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根．立方根的性质：一个正数的立方根是正数，一个负数的立方根是负数，0的立方根式0．
例题5 已知4a+1的平方根是±3，b﹣1的算术平方根为2．
（1）求a与b的值；
（2）求2a+b﹣1的立方根．
【分析】（1）首先根据4a+1的平方根是±3，可得：4a+1＝9，据此求出a的值是多少；然后根据b﹣1的算术平方根为2，可得：b﹣1＝4，据此求出b的值是多少即可．
（2）把（1）中求出a与b的值代入2a+b﹣1，求出算术的值是多少，进而求出它的立方根是多少即可．
【解析】（1）∵4a+1的平方根是±3，∴4a+1＝9，解得a＝2；
∵b﹣1的算术平方根为2，∴b﹣1＝4，解得b＝5．
（2） ∵a＝2，b＝5，
∴2a+b﹣1
＝2×2+5﹣1
＝8，
∴2a+b﹣1的立方根是：38=2．
【小结】此题主要考查了立方根、平方根、算术平方根的含义和求法，要熟练掌握．
变式13 已知4a+7的立方根是3，2a+2b+2的算术平方根是4．
（1）求a，b的值； （2）求6a+3b的平方根．
【分析】（1）运用立方根和算术平方根的定义求解．
（2）根据平方根，即可解答．
【解析】（1）∵4a+7的立方根是3，2a+2b+2的算术平方根是4，
∴4a+7＝27，2a+2b+2＝16，∴a＝5，b＝2；
（2）由（1）知a＝5，b＝2，
∴6a+3b＝6×5+3×2＝36，∴6a+3b的平方根为±6．
【小结】本题考查了平方根、算术平方根，解决本题的关键是熟记平方根、算术平方根的定义．
变式14 已知2a+1的平方根是±3，3a+2b﹣4的立方根是﹣2，求4a﹣5b+8的立方根．
【分析】先根据平方根，立方根的定义列出关于a、b的二元一次方程组，再代入进行计算求出4a﹣5b+8的值，然后根据立方根的定义求解．
【解析】∵2a+1的平方根是±3，3a+2b﹣4的立方根是﹣2，
∴2a+1＝9，3a+2b﹣4＝﹣8，
解得a＝4，b＝﹣8，
∴4a﹣5b+8＝4×4﹣5×（﹣8）+8＝64，
∴4a﹣5b+8的立方根是4．
【小结】本题考查了平方根，立方根的定义，列式求出a、b的值是解题的关键．
变式15 已知3a+4a+5a+6a+7a+8a＝165，且a+11的算术平方根是m，5a+2的立方根是n．求nm的平方根．
【分析】先由3a+4a+5a+6a+7a+8a＝165，即33a＝165得出a＝5，再结合a+11的算术平方根是m，5a+2的立方根是n得出m、n的值，代入求解可得．
【解析】∵3a+4a+5a+6a+7a+8a＝165，即33a＝165，
∴a＝5，
又a+11的算术平方根是m，即16的算术平方根是m，
∴m＝4，
∵5a+2的立方根是n，即27的立方根是n，
∴n＝3，
则nm＝34＝81的平方根为±9．
【小结】本题主要考查立方根，解题的关键是掌握立方根、平方根及算术平方根的定义．
考点6 无理数的概念
解决此类问题关键是掌握无理数的定义，注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数．如π，2，0.8080080008…（每两个8之间依次多1个0）等形式．
例题6 在以下实数227，3.14159265，39，36，π3中，无理数的个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】根据无理数是无限不循环小数，可得答案．
【解析】227是分数，属于有理数；
3.14159265是有限小数，属于有理数；
36=6，是整数，属于有理数；
无理数有：39，π3共2个．
故选：B．
【小结】此题主要考查了无理数的定义，注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数．如π，2，0.8080080008…（每两个8之间依次多1个0）等形式．
变式16 在16，-π2，﹣5.1⋅8⋅，-39，47，0.317311731117…，这几个数中，无理数的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．
【解析】16=4，是整数，属于有理数；
-5.1．8．是循环小数，属于无理数；
47是分数，属于有理数；
无理数有：-π2，-39，0.317311731117…共3个．
故选：C．
【小结】此题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；以及像0.1010010001…，等有这样规律的数．
变式17 如图是一个无理数生成器的工作流程图，根据该流程图，下面说法：
①当输出值y为3时，输入值x为3或9；
②当输入值x为16时，输出值y为2；
③对于任意的正无理数y，都存在正整数x，使得输入x后能够输出y；
④存在这样的正整数x，输入x之后，该生成器能够一直运行，但始终不能输出y值．其中错误的是（ ）
A．①② B．②④ C．①④ D．①③
【分析】根据运算规则即可求解．
【解析】①x的值不唯一．x＝3或x＝9或81等，故①说法错误；
②输入值x为16时，16=4，4=2，即y=2，故②说法正确；
③对于任意的正无理数y，都存在正整数x，使得输入x后能够输出y，如输入π2，故③说法错误；
④当x＝1时，始终输不出y值．因为1的算术平方根是1，一定是有理数，故④原说法正确．
其中错误的是①③．
故选：D．
【小结】此题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；以及像0.1010010001…，等有这样规律的数．
变式18 如图是一个无理数筛选器的工作流程图．
（1）当x为16时，y值为 ；
（2）是否存在输入有意义的x值后，却输不出y值？如果存在，写出所有满足要求的x值；如果不存在，请说明理由；
（3）当输出的y值是3时，判断输入的x值是否唯一，如果不唯一，请写出其中的两个．
【分析】（1）根据运算规则即可求解；
（2）根据0的算术平方根是0，即可判断；
（3）根据运算法则，进行逆运算即可求得无数个满足条件的数．
【解析】（1）当x＝16时，16=4，4=2，故y值为2．
故答案为：2；
（2）当x＝0，1时，始终输不出y值．因为0，1的算术平方根是0，1，一定是有理数；
（3）x的值不唯一．x＝3或x＝9．
【小结】本题考查了二次根式有意义的条件，正确理解给出的运算方法是关键．
考点7 估算无理数的大小
解决此类问题关键是掌握无理数的定义，注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数．如π，2，0.8080080008…（每两个8之间依次多1个0）等形式．
例题7 下列整数中，与6-11最接近的是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【分析】用逼近法即可进行无理数大小的估算．
【解析】∵9＜11＜16，
∴3＜11＜4，
∵3.52＝12.25＞11，
∴3＜11＜3.5
∴2.5＜6-11＜3．
∴与6-11最接近的是3．
故选：B．
【小结】本题考查了估算无理数的大小，估算无理数大小要用逼近法．
变式19 若a＜28-7＜a+1，其中a为整数，则a的值是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】先把28-7化简，再估算7的范围即可．
【解析】28-7=27-7=7，
∵22＜7＜32，
∴2＜7＜3，
∵a＜28-7＜a+1，其中a为整数，
∴a＝2．
故选：B．
【小结】此题主要考查了估算无理数的大小，正确估算7的范围是解答本题的关键．
变式20 阅读下面的文字，解答问题，
例如：∵4＜7＜9，即2＜7＜3，∴7的整数部分为2，小数部分为（7-2）．
请解答：（1）17的整数部分是 ，小数部分是 ．
（2）已知：5-17小数部分是m，6+17小数部分是n，且（x+1）2＝m+n，请求出满足条件的x的值．
【分析】（1）直接利用估算无理数的大小的方法分别得出答案；
（2）直接利用（1）中所求即可得出m，n的值，进而得出x的值．
【解析】（1）∵16＜17＜25，∴4＜17＜5，∴17的整数部分是：4，小数部分是：17-4；
故答案为：4，17-4；
（2）∵5-17小数部分是m，6+17小数部分是n，∴m＝5-17，n＝6+17-10=17-4，
∴m+n＝1，∴（x+1）2＝1，解得：x＝0或﹣2．
【小结】此题主要考查了估算无理数的大小，正确得出无理数的取值范围是解题关键．
变式21 阅读下面的文字，解答问题．
大家知道2是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此2的小数部分我们不可能全部地写出来，于是小明用2-1来表示2的小数部分，你同意小明的表示方法吗？事实上，小明的表示方法是有道理，因为2的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分．请解答：
（1）若13的整数部分为a，小数部分为b，求a2+b-13的值．
（2）已知：10+3=x+y，其中x是整数，且0＜y＜1，求x﹣y的值．
【分析】（1）先估算出13的范围，求出a、b的值，再代入求出即可；
（2）先估算出3的范围，再求出x、y的值，再代入要求的式子进行计算即可．
【解析】（1）∵3＜13＜4，∴a＝3，b=13-3，
∴a2+b-13=32+13-3-13=6；
（2）∵1＜3＜2，
又∵10+3=x+y，其中x是整数，且0＜y＜1，
∴x＝11，y=3-1，∴x﹣y＝11﹣（3-1）＝12-3．
【小结】本题考查了估算无理数的大小，能估算出13，3的范围是解此题的关键．
考点8 实数与数轴的对应关系
例题8 如图，在数轴上，AB＝AC，A，B两点对应的实数分别是3和﹣1，则点C对应的实数是（ ）
A．23 B．23-2 C．3+1 D．23+1
【分析】求出AB的距离，再求出点C所表示的数．
【解析】AB=3-（﹣1）=3+1，
∵AB＝AC，A所表示的实数为3，点C在点A的右侧，
∴点C所表示的数为：3+（3+1）＝23+1，故选：D．
【小结】考查数轴表示数的意义，理解绝对值的意义是解决问题的前提，
变式22 如图，3，11在数轴上的对应点分别为C，B，点C是AB的中点，则点A表示的数是（ ）
A．-11 B．3-11 C．11-3 D．6-11
【分析】设点A表示的数是x，再根据中点坐标公式即可得出x的值．
【解析】设点A表示的数是x，
∵数轴上表示3、11的对应点分别为C、B，点C是AB的中点，
∴11+x2=3，解得x＝6-11．故选：D．
【小结】本题考查的是实数与数轴，熟知数轴上的点与实数是一一对应关系是解答此题的关键．
变式23 在数轴上，点A表示实数3，以点A为圆心，2+5的长为半径画弧，交数轴于点C，则点C表示的实数是（ ）
A．5+5 B．1-5 C．5-1或5+5 D．1-5或5+5
【分析】在数轴上利用左减右加的规律计算点C表示的实数．
【解析】根据题意得：3+2+5=5+5，3﹣（2+5）＝1-5，
则点C表示的实数是5+5或1-5，故选：D．
【小结】此题考查了实数与数轴，熟练掌握左减右加的规律是解本题的关键．
变式24 如图，一只蚂蚁从点A沿数轴向右直爬2个单位长度到达点B，点A表示-2，设点B所表示的数为m．
（1）求m的值．
（2）求|m﹣1|+m+6的值．
【分析】（1）根据正负数的意义计算；
（2）根据绝对值的意义和实数的混合运算法则计算．
【解析】（1）由题意A点和B点的距离为2，A点的坐标为-2，因此B点坐标m＝2-2．
（2）把m的值代入得：|m﹣1|+m+6
＝|2-2-1|+2-2+6，
＝|1-2|+8-2，
=2-1+8-2，
＝7．
【小结】本题考查了数轴、绝对值和实数的混合运算，熟练掌握数轴的意义和实数的运算法则是解题的关键．
考点9 实数大小比较
例题9 比较下列实数的大小（填上＞、＜或＝）．
①π 3.14159；②350 4；③22 33．
【分析】根据实数大小比较的法则进行比较即可．
【解析】①π＞3.14159；
②∵4=364 ∴350＜4；
③（22）2=12，（33）2=13，
∵12＞13， ∴22＞33．
故答案为：＞；＜；＞．
【小结】此题主要考查了实数的比较大小，关键是掌握正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，两个负实数绝对值大的反而小．
变式25 5-2，2+52，2+2的大小关系是（ ）
A．2+2＞2+52＞5-2 B．5-2＞2+52＞2+2
C．2+52＞5-2＞2+2 D．5-2＞2+2＞2+52
【分析】先根据52＜2，利用不等式的性质可以判断第2个和第3个数的大小，最后由作差法可得第一个数和第3个数的大小．
【解析】∵5＜8，
∴5＜8，
∴52＜2，
∴2+52＜2+2，
∵（5-2）﹣（2+2）＝3﹣22＞0，
∴5-2＞2+2＞2+52；
故选：D．
【小结】本题考查了实数大小的比较，先观察每个数的特点，常利用作差法，不等式的性质，作商法，数轴法等比较两个数的大小．
变式26 已知0＜x＜1，则x、1x、x2、x的大小关系是（ ）
A．x＜x2＜x＜1x B．x＜x2＜1x＜x C．x2＜x＜x＜1x D．1x＜x＜x2＜x
【分析】根据0＜x＜1，可得：0＜x2＜x＜x＜1，1x＞1，据此判断即可．
【解析】∵0＜x＜1，
∴0＜x2＜x＜x＜1，1x＞1，
∴x2＜x＜x＜1x．
故选：C．
【小结】此题主要考查了实数大小比较的方法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：正实数＞0＞负实数，两个负实数绝对值大的反而小．
变式27 已知min{x，x2，x}表示取三个数中最小的那个数，例如：当x＝9，min{x，x2，x}＝min{9，92，9}＝3﹒当min{x，x2，x}=116时，则x的值为（ ）
A．116 B．18 C．14 D．12
【分析】本题分别计算x=116，x2=116，x=116的x值，找到满足条件的x值即可．
首先从x的值代入来求，由x≥0，则x＝01，2，3，4，5，则可知最小值是0，最大值是6．
【解析】当x=116时，x=1256，x＜x，不合题意；当x2=116时，x＝±14，当x=-14时，x＜x2，不合题意；当x=14时，x=12，x2＜x＜x，符合题意；当x=116时，x2=1256，x2＜x，不合题意，
故选：C．
【小结】本题主要考查实数大小比较，算术平方根及其最值问题，解决此题时，注意分类思想的运用．
考点10 实数的混合运算
在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用．正确化简各数是解题关键．
例题10 计算﹣12﹣（﹣2）3×18+3-27×|-13|+|1-3|
【分析】直接利用立方根以及对值的性质分别化简得出答案．
【解析】原式＝﹣1+8×18-3×13+3-1
＝﹣1+1﹣1+3-1=3-2．
【小结】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．
变式28 计算：3×(4-3)×31-1927-|3-2|
【分析】直接利用立方根的性质、二次根式的性质分别化简得出答案．
【解析】原式＝3×（2-3）×23-（2-3）
＝4﹣23-2+3 ＝2-3．
【小结】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．
变式29 计算：（﹣1）2020+（﹣2）3×18-3-27×（-19）．
【分析】首先计算乘方、开方，然后计算乘法，最后从左向右依次计算，求出算式的值是多少即可．
【解析】（﹣1）2020+（﹣2）3×18-3-27×（-19）
＝1+（﹣8）×18-（﹣3）×（-13）
＝1﹣1﹣1
＝﹣1．
【小结】此题主要考查了实数的运算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用．正确化简各数是解题关键．
变式30 计算：3-8-1-1625+|2-5|+(-4)2
【分析】直接利用立方根以及二次根式的性质、绝对值的性质分别化简得出答案．
【解析】原式＝﹣2-35+5-2+4
=-35+5．
【小结】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．
考点11 实数中的定义新运算
例题11 对于任意两个不相等的数a，b，定义一种新运算“⊕”如下：a⊕b=a+ba-b，如：3⊕2=3+23-2=5，那么12⊕4＝ ．
【分析】先依据定义列出算式，然后再进行计算即可．
【解析】12⊕4=12+412-4=2．
故答案为：2．
【小结】本题主要考查的是算术平方根的性质，根据定义运算列出算式是解题的关键．
变式31 对于能使式子有意义的有理数a，b，定义新运算：a△b=3a+ba-3b．如果|x+1|+y-3+|xz+2|＝0，则x△（y△z）＝ ．
【分析】先根据绝对值、二次根式的非负性，求出x、y、z的值，再根据新运算的规定计算x△（y△z）的值．
【解析】∵|x+1|≥0，y-3≥0，|xz+2|≥0，
又∵|x+1|+y-3+|xz+2|＝0，
∴|x+1|＝0，y-3=0，|xz+2|＝0．
∴x+1＝0，y﹣3＝0，xz+2＝0．
∴x＝﹣1，y＝3，z＝2．
∵y△z=3y+z3-3z
=-113．
x△（y△z）＝﹣1△（-113）
=3×(-1)-113-1-3×(-113)
=-20310
=-23．
故答案为：-23．
【小结】本题考查了绝对值、二次根式的非负性及实数的混合运算，理解并运用新定义运算的规定是解决本题的关键．
变式32 对任意两个实数a，b定义两种运算：a⊕b=a(若a≥b)b(若a＜b)，a⊗b=b(若a≥b)a(若a＜b)，并且定义运算顺序仍然是先做括号内的，例如（﹣2）⊕3＝3，（﹣2）⊗3＝﹣2，（（﹣2）⊕3）⊗2＝2．那么（5⊕2）⊗327等于（ ）
A．35 B．3 C．5 D．6
【分析】直接利用已知运算公式进而分析得出答案．
【解析】（5⊕2）⊗327
=5⊗327
=5⊗3
=5．
故选：C．
【小结】此题主要考查了实数运算，正确运用公式是解题关键．
变式33 对实数a、b，定义“★”运算规则如下：a★b=b(a≤b)a2-b2(a＞b)，则7★（2★3）＝（ ）
A．1 B．2 C．﹣1 D．﹣2
【分析】先依据法则知2★3=3，据此得出原式=7★3，再次利用法则计算可得．
【解析】∵2＜3，
∴2★3=3，
则原式=7★3
=(7)2-(3)2
=7-3
=4
＝2，
故选：B．
【小结】本题主要考查实数的运算，解题的关键是掌握实数的混合运算顺序和运算法则及对新定义的理解．
考点12 实数的性质综合
例题12 如图①是由8个同样大小的立方体组成的魔方，体积为8．
（1）求出这个魔方的棱长；
（2）图①中阴影部分是一个正方形ABCD，求出阴影部分的面积及其边长．
（3）把正方形ABCD放到数轴上，如图②，使得点A与﹣1重合，那么点D在数轴上表示的数为 ．
【分析】（1）根据立方体的体积公式，直接求棱长即可；
（2）根据棱长，求出每个小正方体的边长，进而可得小正方形的对角线，即阴影部分图形的边长，即可得解；
（3）用点A表示的数减去边长即可得解．
【解析】（1）设魔方的棱长为x，
则x3＝8，解得：x＝2；
（2）∵棱长为2，
∴每个小立方体的边长都是1，
∴正方形ABCD的边长为：2，
∴S正方形ABCD=(2)2=2；
（3）∵正方形ABCD的边长为2，点A与﹣1重合，
∴点D在数轴上表示的数为：﹣1-2，
故答案为：﹣1-2．
【小结】本题主要考查实数与数轴、立方根的综合应用，解决此题的关键是能求出每个小正方形的边长．
变式34 如图，4×4方格中每个小正方形的边长都为1．
（1）直接写出图（1）中正方形ABCD的面积及边长；
（2）在图（2）的4×4方格中，画一个面积为8的格点正方形（四个顶点都在方格的顶点上）；并把图（2）中的数轴补充完整，然后用圆规在数轴上表示实数8．
【分析】（1）根据面积求出正方形的边长，再根据边长的长和面积公式即可求出答案；
（2）根据勾股定理和正方形的面积公式即可画出图形，利用圆规，以O为圆心，正方形的边长为半径画弧可得实数8的位置．
【解析】（1）正方形的边长是：5，
面积为：5×5=5．
（2）见图：在数轴上表示实数8，
【小结】本题考查了三角形的面积，实数与数轴，用到的知识点是勾股定理，以及勾股定理的应用，在直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方．
变式35 如图甲，这是由8个同样大小的立方体组成的魔方，总体积为64cm3．
（1）这个魔方的棱长为 cm；
（2）图甲中阴影部分是一个正方形ABCD，求这个正方形的边长；
（3）把正方形ABCD放置在数轴上，如图乙所示，使得点A与数1重合，则D在数轴上表示的数为 ．
【分析】（1）魔方是个正方体，正方体的体积等于棱长的三次方；
（2）这个正方形ABCD的边长是小立方体一个面的对角线的长度；
（3）点D表示的数是负数，它的绝对值比正方形ABCD的边长少1．
【解析】（1）设魔方的棱长为acm，根据题意得 a3＝64
∴a＝4故答案为4．
（2）设小正方体的棱长为bcm，根据题意得 8b3＝64
∴b＝2
∴所以根据勾股定理得 CD2＝22+22
∴CD＝8
答：这个正方形的边长是8cm．
（3）由（2）知，AD＝8
∴点D对应的数的绝对值是8-1，
∵点D对应的数是负数
∴点D对应的数是1﹣8
故答案为1﹣8．
【小结】本题考查了正方体的体积、实数与数轴之间的关系和勾股定理．正方体的体积＝棱长的立方．实数与数轴上的点是一一对应的关系，要在数轴上表示一个实数，要知道这个实数的正负性和绝对值．
变式36 如图1，纸上有五个边长为1的小正方形组成的图形纸，我们可以把它剪开拼成一个正方形．
（1）拼成的正方形的边长为 ．
（2）如图2，以数轴的单位长度的线段为边作一个直角三角形，以数轴上表示的﹣1点为圆心，直角三角形的最大边为半径画弧，交数轴正半轴于点A，那么点A表示的数是 ．
（3）如图3，网格中每个小正方形的边长为1，若能把阴影部分剪拼成一个新的正方形，求新的正方形的面积和边长．
【分析】（1）设拼成的正方形的边长为a，根据总面积列方程可解答；
（2）结合（1），并根据圆中半径相等，结合数轴上点的特点可解答；
（3）根据图形求出阴影部分的面积，即为新正方形的面积，开方即可求出边长．
【解析】（1）设拼成的正方形的边长为a，
则a2＝5，
a=5，
即拼成的正方形的边长为5，
故答案为：5；
（2）由（1）得点A表示的数为5-1，
故答案为：5-1；
（3）根据图形得：S阴影＝2×2×2×12+2×2×12=4+2＝6，即新的正方形的面积为6，新正方形的边长为6．
【小结】此题考查了实数、数轴、几何图形及算术平方根，熟练掌握算术平方根的定义是解本题的关键．
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