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初中数学 章节考点梳理 二次函数章节涉及的14个必考点全梳理 学案
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必考点1 二次函数的概念
掌握二次函数的定义：一般地，形如y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数．其中x、y是变量，a、b、c是常量，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项．y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）也叫做二次函数的一般形式．
例题1 已知函数：①y＝2x﹣1；②y＝﹣2x2﹣1；③y＝3x3﹣2x2；④y＝2x2﹣x﹣1；⑤y＝ax2+bx+c，其中二次函数的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】根据二次函数定义：一般地，形如y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数进行分析即可．
【解析】②④是二次函数，共2个，故选：B．
【小结】此题主要考查了二次函数的定义，关键是掌握y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）是二次函数，注意a≠0这一条件．
变式1 下列各式中，一定是二次函数的有（ ）
①y2＝2x2﹣4x+3；②y＝4﹣3x+7x2；③y=1x2-3x+5；④y＝（2x﹣3）（3x﹣2）；⑤y＝ax2+bx+c；⑥y＝（n2+1）x2﹣2x﹣3；⑦y＝m2x2+4x﹣3．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】整理一般形式后，根据二次函数的定义判定即可．
【解析】①y2＝2x2﹣4x+3，不符合二次函数的定义，不是二次函数；
②y＝4﹣3x+7x2，是二次函数；
③y=1x2-3x+5，分母中含有自变量，不是二次函数；
④y＝（2x﹣3）（3x﹣2）＝6x2﹣13x+6，是二次函数；
⑤y＝ax2+bx+c，含有四个自变量，不是二次函数；
⑥y＝（n2+1）x2﹣2x﹣3，含有两个自变量，不是二次函数；
⑦y＝m2x2+4x﹣3，含有两个自变量，不一定是二次函数．
∴只有②④一定是二次函数．故选：B．
【小结】本题考查二次函数的定义．解题的关键是掌握二次函数的定义和二次函数的一般形式．
变式2 若y＝（m2+m）xm2﹣2m﹣1﹣x+3是关于x的二次函数，则m＝ ．
【分析】根据二次函数的定义求解即可．
【解析】由题意，得m2﹣2m﹣1＝2，且m2+m≠0，解得m＝3，
【小结】本题考查了二次函数，利用二次函数的定义是解题关键，注意二次项的系数不等于零．
变式3 函数y＝（m2﹣3m+2）x2+mx+1﹣m，则当m＝ 时，它为正比例函数；当m＝ 时，它为一次函数；当m 时，它为二次函数．
【分析】首先解方程，进而利用正比例函数、一次函数与二次函数的定义得出答案．
【解析】m2﹣3m+2＝0，则（m﹣1）（m﹣2）＝0，解得：m1＝1，m2＝2，
故m≠1且m≠2时，它为二次函数；当m＝1或2时，它为一次函数，当m＝1时，它为正比例函数；
故答案为：1；1或2；m≠1且m≠2
【小结】此题主要考查了一次函数与二次函数的定义，正确解方程是解题关键．
必考点2 一次函数与二次函数图象
判断一次函数与二次函数图象的问题关键在于掌握数形结合的思想，通过图象可以逐一去判断一次函数及二次函数的系数关系．
例题2 一次函数y＝acx+b与二次函数y＝ax2+bx+c在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）
A． B． C． D．
【分析】先由二次函数y＝ax2+bx+c的图象得到字母系数的正负，再与一次函数y＝acx+b的图象相比较看是否一致．
【解析】A、由抛物线可知，a＞0，b＜0，c＞0，则ac＞0，由直线可知，ac＞0，b＞0，故不合题意；
B、由抛物线可知，a＞0，b＞0，c＞0，则ac＞0，由直线可知，ac＞0，b＞0，故本选项符合题意；
C、由抛物线可知，a＜0，b＞0，c＞0，则ac＜0，由直线可知，ac＜0，b＜0，故本选项不合题意；
D、由抛物线可知，a＜0，b＜0，c＞0，则ac＜0，由直线可知，ac＞0，b＞0，故本选项不合题意．
故选：B．
【小结】本题考查二次函数和一次函数的图象，解题的关键是明确一次函数和二次函数性质．
变式4 在同一平面直角坐标系内，二次函数y＝ax2+bx+b（a≠0）与一次函数y＝ax+b的图象可能是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据二次函数图象的开口以及对称轴与y轴的关系即可得出a、b的正负，由此即可得出一次函数图象经过的象限，再与函数图象进行对比即可得出结论．
【解析】A、二次函数图象开口向上，对称轴在y轴右侧，∴a＞0，b＜0，
∴一次函数图象应该过第一、三、四象限，且与二次函数交于y轴负半轴的同一点，故A错误；
B、∵二次函数图象开口向下，对称轴在y轴左侧，∴a＜0，b＜0，
∴一次函数图象应该过第二、三、四象限，且与二次函数交于y轴负半轴的同一点，故B错误；
C、二次函数图象开口向上，对称轴在y轴右侧，∴a＞0，b＜0，
∴一次函数图象应该过第一、三、四象限，且与二次函数交于y轴负半轴的同一点，故C正确；
∵D、二次函数图象开口向上，对称轴在y轴右侧，∴a＞0，b＜0，
∴一次函数图象应该过第一、三、四象限，且与二次函数交于y轴负半轴的同一点，故D错误；
故选：C．
【小结】本题考查了二次函数的图象以及一次函数图象与系数的关系，根据a、b的正负确定一次函数图象经过的象限是解题的关键．
变式5 已知a，b是非零实数，|a|＞|b|，在同一平面直角坐标系中，二次函数y1＝ax2+bx与一次函数y2＝ax+b的大致图象不可能是（ ）
A． B． C．D．
【分析】根据二次函数y＝ax2+bx与一次函数y＝ax+b（a≠0）可以求得它们的交点坐标，然后根据一次函数的性质和二次函数的性质，由函数图象可以判断a、b的正负情况，从而可以解答本题．
【解析】y=ax2+bxy=ax+b解得x=-bay=0或x=1y=a+b．
故二次函数y＝ax2+bx与一次函数y＝ax+b（a≠0）在同一平面直角坐标系中的交点在x轴上为（-ba，0）或点（1，a+b）．
在A中，由一次函数图象可知a＞0，b＞0，二次函数图象可知，a＞0，b＞0，-ba＜0，a+b＞0，故有可能；
在B中，由一次函数图象可知a＞0，b＜0，二次函数图象知，a＞0，b＜0，由|a|＞|b|，则a+b＞0，有可能；
在C中，由一次函数图象可知a＜0，b＜0，二次函数图象可知，a＜0，b＜0，a+b＜0，故选项C有可能；
在D中，由一次函数图象可知a＜0，b＞0，二次函数图象知，a＜0，b＞0，由|a|＞|b|，则a+b＜0，不可能；
故选：D．
【小结】本题考查二次函数的图象、一次函数的图象，解题的关键是明确二次函数与一次函数图象的特点．
变式6 下面所示各图是在同一直角坐标系内，二次函数y＝ax2+（a+c）x+c与一次函数y＝ax+c的大致图象．正确的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据题意和二次函数与一次函数的图象的特点，可以判断哪个选项符合要求，从而解答本题．
【解析】令ax2+（a+c）x+c＝ax+c，解得，x1＝0，x2=-ca，
∴二次函数y＝ax2+（a+c）x+c与一次函数y＝ax+c的交点为（0，c），（-ca，0），
选项A中二次函数y＝ax2+（a+c）x+c中a＞0，c＜0，而一次函数y＝ax+c中a＜0，c＞0，不符题意，
选项B中二次函数y＝ax2+（a+c）x+c中a＞0，c＜0，而一次函数y＝ax+c中a＞0，c＜0，两个函数的交点不符合求得的交点的特点，故选项B不符题意，
选项C中二次函数y＝ax2+（a+c）x+c中a＜0，c＞0，而一次函数y＝ax+c中a＜0，c＞0，交点符合求得的交点的情况，故选项C符合题意，
选项D中二次函数y＝ax2+（a+c）x+c中a＜0，c＞0，而一次函数y＝ax+c中a＞0，c＜0，不符题意，
故选：C．
【小结】本题考查一次函数的图象、二次函数的图象，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
必考点3 二次函数图象上点的坐标特征
二次函数图象上点的坐标特征，解题时，需熟悉抛物线的有关性质：抛物线的开口向上，则抛物线上的点离对称轴越远，对应的函数值就越大．
例题3 已知抛物线y＝ax2﹣2ax+b（a＞0）的图象上三个点的坐标分别为A（﹣1，y1），B（2，y2），C（4，y3），则y1，y2，y3的大小关系为（ ）
A．y3＞y1＞y2 B．y3＞y2＞y1 C．y2＞y1＞y3 D．y2＞y3＞y1
【分析】求出抛物线的对称轴，求出A关于对称轴的对称点的坐标，根据抛物线的开口方向和增减性，即可求出答案．
【解析】y＝ax2﹣2ax+b（a＞0），对称轴是直线x=--2a2a=1，
即二次函数的开口向上，对称轴是直线x＝1，
即在对称轴的右侧y随x的增大而增大，
A点关于直线x＝1的对称点是D（3，y1），
∵2＜3＜4，∴y3＞y1＞y2，故选：A．
【小结】本题考查了学生对二次函数图象上点的坐标特征的理解和运用，主要考查学生的观察能力和分析能力，本题比较典型，但是一道比较容易出错的题目．
变式7 已知抛物线y＝ax2+bx﹣2（a＞0）过A（﹣2，y1），B（﹣3，y2），C（1，y2），D（3，y3）四点，则y1，y2，y3的大小关系是（ ）
A．y1＞y2＞y3 B．y2＞y1＞y3 C．y1＞y3＞y2 D．y3＞y2＞y1
【分析】由题意可知抛物线开口向上，对称轴为x＝﹣1，然后根据点A（﹣2、y1）、B（﹣3，y2）、C（1，y2）、D（3，y3）离对称轴的远近可判断y1、y2、y3大小关系．．
【解析】抛物线y＝ax2+bx﹣2（a＞0）过A（﹣2，y1），B（﹣3，y2），C（1，y2），D（3，y3）四点，
∴抛物线开口向上，对称轴为x=-3+12=-1．
∵|﹣1﹣（﹣2）|＜|1+1|＜|3+1|∴y3＞y2＞y1，故选：D．
【小结】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，解题时，需熟悉抛物线的有关性质：抛物线的开口向上，则抛物线上的点离对称轴越远，对应的函数值就越大．
变式8 若二次函数y＝a2x2﹣bx﹣c的图象，过不同的六点A（﹣1，n）、B（5，n﹣1）、C（6，n+1）、D（2，y1）、E（2，y2）、F（4，y3），则y1、y2、y3的大小关系是（ ）
A．y1＜y2＜y3 B．y1＜y3＜y2 C．y2＜y3＜y1 D．y2＜y1＜y3
【分析】由解析式可知抛物线开口向上，点A（﹣1，n）、B（5，n﹣1）、C（6，n+1）求得抛物线对称轴所处的范围，然后根据二次函数的性质判断可得．
【解析】∵二次函数y＝a2x2﹣bx﹣c的图象过点A（﹣1，n）、B（5，n﹣1）、C（6，n+1），
∴抛物线的对称轴直线x满足5＜2x+1＜6，即2＜x＜2.5，抛物线的开口向上，
∴抛物线上离对称轴水平距离越大的点，对应函数值越大，
∵D（2，y1）、E（2，y2）、F（4，y3），则y2＜y1＜y3，故选：D．
【小结】本题主要考查二次函数图象上点的坐标特征，根据题意得到抛物线的对称轴和开口方向是解题的关键．
变式9 已知抛物线y=m2x2﹣mx+c（m＞0）过两点A（x0，y0）和B（x1，y1），若x0＜1＜x1，且x0+x1＝3．则y0与y1的大小关系为（ ）
A．y0＜y1 B．y0＝y1 C．y0＞y1 D．不能确定
【分析】由抛物线解析式可知开口向上，对称轴为直线x＝1，然后根据二次函数的性质判断即可．
【解析】∵抛物线y=m2x2﹣mx+c（m＞0）中，m＞0，
∴抛物线开口向上，对称轴为x=--m2×m2=1，
∵x0＜1＜x1，∴A点在对称轴的左侧，B点在对称轴的右侧，
若y0＝y1，则x1﹣1＝1﹣x0，此时x0+x1＝2，不合题意；
若y0＞y1，则x1﹣1＜1﹣x0，此时x0+x1＜2，不合题意；
若y0＜y1，则x1﹣1＞1﹣x0，此时x0+x1＞2，符合题意；
故选：A．
【小结】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质，由点到对称轴的距离与函数值的大小的关系是解题的关键．
必考点4 二次函数图象与几何变换
解决二次函数图象与几何变换类型题，需要掌握平移的规律：左加右减，上加下减，此类题目，利用顶点的变化求解更简便．
例题4 抛物线y＝﹣（x﹣1）2﹣3是由抛物线y＝﹣x2经过怎样的平移得到的（ ）
A．先向右平移1个单位，再向上平移3个单位 B．先向左平移1个单位，再向下平移3个单位
C．先向右平移1个单位，再向下平移3个单位 D．先向左平移1个单位，再向上平移3个单位
【分析】找到两个抛物线的顶点，根据抛物线的顶点即可判断是如何平移得到．
【解析】原抛物线的顶点为（0，0），新抛物线的顶点为（1，﹣3），
∴是抛物线y＝﹣x2向右平移1个单位，向下平移3个单位得到，故选：C．
【小结】本题考查二次函数的图象与几何变换，熟知“上加下减，左加右减”的法则是解答此题的关键．
变式10 将抛物线y＝x2﹣4x﹣4向左平移3个单位，再向上平移3个单位，得到抛物线的表达式为（ ）
A．y＝（x+1）2﹣13 B．y＝（x﹣5）2﹣5
C．y＝（x﹣5）2﹣13 D．y＝（x+1）2﹣5
【分析】先把抛物线y＝x2﹣4x﹣4化为顶点式的形式，再由二次函数平移的法则即可得出结论．
【解析】∵y＝x2﹣4x﹣4＝（x﹣2）2﹣8，
∴将抛物线y＝x2﹣4x﹣4向左平移3个单位，再向上平移3个单位，得到抛物线的表达式为y＝（x﹣2+3）2﹣8+3，即y＝（x+1）2﹣5．故选：D．
【小结】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知二次函数图象平移的法则“左加右减，上加下减”是解答此题的关键．
变式11 已知二次函数y＝（x+2）2﹣1向左平移h个单位，再向下平移k个单位，得到二次函数y＝（x+3）2﹣4，则h和k的值分别为（ ）
A．1，3 B．3，﹣4 C．1，﹣3 D．3，﹣3
【分析】根据“左加右减，上加下减”的规律进行解答即可．
【解析】∵抛物线y＝（x+2）2﹣1的顶点坐标是（﹣2，﹣1），则向左平移h个单位，再向下平移k个单位后的坐标为：（﹣2﹣h，﹣1﹣k），∴平移后抛物线的解析式为y＝（x+2+h）2﹣k﹣1．
又∵平移后抛物线的解析式为y＝（x+3）2﹣4．∴2+h＝3，﹣k﹣1＝﹣4，∴h＝1，k＝3，故选：A．
【小结】本题考查了二次函数图象与几何变换，熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减是解题的关键．
变式12 将抛物线y＝（x﹣3）（x﹣5）先绕原点O旋转180°，再向右平移2个单位长度，所得抛物线的解析式为（ ）
A．y＝﹣x2﹣4x﹣3 B．y＝﹣x2﹣12x﹣35
C．y＝x2+12x+35 D．y＝x2+4x+3
【分析】先求出抛物线的解析式，先根据旋转的性质求出旋转后的顶点坐标，然后根据平移的性质求得平移后抛物线的顶点坐标；最后根据平移、旋转只改变图形的位置不改变图形的大小和形状利用顶点式解析式写出即可．
【解析】y＝（x﹣3）（x﹣5）＝（x﹣4）2﹣1．此时，该抛物线顶点坐标是（4，﹣1）．
将该抛物线绕坐标原点O旋转180°后的顶点坐标是（﹣4，1）．再向右平移2个单位长度后的顶点坐标是（﹣2，1）．
所以此时抛物线的解析式为：y＝﹣（x+2）2+1＝﹣x2﹣4x﹣3．故选：A．
【小结】本题考查了二次函数图象与几何变换，平移的规律：左加右减，上加下减，此类题目，利用顶点的变化求解更简便．
必考点5 二次函数图象与系数关系
二次函数图象与系数的关系：对于二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0），二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小．当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置． 当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左； 当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右；常数项c决定抛物线与y轴交点位置．
例题5 在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，现给以下结论：其中正确结论的个数有（ ）
①abc＜0；
②c+2a＜0；
③9a﹣3b+c＝0；
④a﹣b≥m（am+b）（m为实数）；
⑤4ac﹣b2＜0．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】由抛物线开口方向得到a＞0，利用抛物线的对称轴方程得到b＝2a＞0，由抛物线与y轴的交点在x轴的下方得到c＜0，则可对①进行判断；利用x＝1，a+b+c＝0得到c＝﹣3a，则c+2a＝﹣a，于是可对②进行判断；利用抛物线的对称性得到抛物线与x轴的另一个交点坐标为（﹣3，0），则可对③进行判断；由于x＝﹣1时，y有最小值，则可对④进行判断；利用抛物线与x轴有2个交点和判别式的意义可对⑤进行判断．
【解析】∵抛物线开口向上，∴a＞0，
∵抛物线的对称轴为直线x=-b2a=-1，∴b＝2a＞0，
∵抛物线与y轴的交点在x轴的下方，∴c＜0，∴abc＜0，所以①正确；
∵x＝1时，y＝0，∴a+b+c＝0，∴c＝﹣a﹣2a＝﹣3a，
∴c+2a＝﹣3a+2a＝﹣a＜0，所以②正确；
∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，抛物线与x轴的一个交点坐标为（1，0），
∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为（﹣3，0），
∴当x＝﹣3时，y＝0，即9a﹣3b+c＝0，所以③正确；
∵x＝﹣1时，y有最小值，∴a﹣b+c≤am2+bm+c（m为任意实数），
∴a﹣b≤m（am+b）（m为实数），所以④错误；
∵抛物线与x轴有2个交点，∴△＝b2﹣4ac＞0，即4ac﹣b2＜0，所以⑤正确．故选：D．
【小结】本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0），二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小．当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置．当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左； 当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右．常数项c决定抛物线与y轴交点位置：抛物线与y轴交于（0，c）．抛物线与x轴交点个数由△决定：△＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点；△＝b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．
变式13 二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象如图所示，①2a+b＝0；②若m为任意实数，则a+b≥am2+bm；③a﹣b+c＞0；④3a+c＜0；⑤若ax12+bx1＝ax22+bx2，且x1≠x2，则x1+x2＝2．其中正确的个数为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【分析】根据抛物线开口方向得a＜0，由抛物线对称轴为直线x=-b2a=1，得到b＝﹣2a＞0，即2a+b＝0，即可判断①；根据二次函数的性质得当x＝1时，函数有最大值a+b+c，即可判断②；根据抛物线的对称性得到抛物线与x轴的另一个交点在（﹣1，0）的右侧，则当x＝﹣1时，y＜0，所以a﹣b+c＜0，即可判断③；把b＝﹣2a代入a﹣b+c＜0可对④进行判断；把ax12+bx1＝ax22+bx2先移项，再分解因式得到（x1﹣x2）[a（x1+x2）+b]＝0，而x1≠x2，则a（x1+x2）+b＝0，即x1+x2=-ba，然后把b＝﹣2a代入计算得到x1+x2＝2可对⑤进行判断．
【解析】∵抛物线开口向下，∴a＜0，
∵抛物线对称轴为直线x=-b2a=1，∴b＝﹣2a＞0，即2a+b＝0，所以①正确；
∵抛物线对称轴为直线x＝1，∴函数的最大值为a+b+c，
∴a+b+c≥am2+bm+c，即a+b≥am2+bm，所以②正确；
∵抛物线与x轴的一个交点在（3，0）的左侧，而对称轴为直线x＝1，
∴抛物线与x轴的另一个交点在（﹣1，0）的右侧，∴当x＝﹣1时，y＜0，∴a﹣b+c＜0，所以③错误；
∵b＝﹣2a，a﹣b+c＜0，∴a+2a+c＜0，即3a+c＜0，所以④正确；
∵ax12+bx1＝ax22+bx2，∴ax12+bx1﹣ax22﹣bx2＝0，
∴a（x1+x2）（x1﹣x2）+b（x1﹣x2）＝0，∴（x1﹣x2）[a（x1+x2）+b]＝0，而x1≠x2，
∴a（x1+x2）+b＝0，即x1+x2=-ba，又∵b＝﹣2a，∴x1+x2＝2，所以⑤正确．
综上所述，正确的有①②④⑤共4个．故选：C．
【小结】本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0），二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小．当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置． 当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左； 当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右；常数项c决定抛物线与y轴交点位置．也考查了二次函数的性质．
变式14 抛物线y＝ax2+bx+c的顶点为D（﹣1，2），与x轴的一个交点A在点（﹣3，0）和（﹣2，0）之间，其部分图象如图，则以下结论：①b2﹣4ac＜0；②a+b+c＜0；③c﹣a＝2；④方程ax2+bx+c﹣2＝0有两个相等的实数根，其中正确结论的个数为 个．
【分析】由抛物线与x轴有两个交点得到b2﹣4ac＞0；有抛物线顶点坐标得到抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，则根据抛物线的对称性得抛物线与x轴的另一个交点在点（0，0）和（1，0）之间，所以当x＝1时，y＜0，则a+b+c＜0；由抛物线的顶点为D（﹣1，2）得a﹣b+c＝2，由抛物线的对称轴为直线x=-b2a=-1得b＝2a，所以c﹣a＝2；根据二次函数的最大值问题，当x＝﹣1时，二次函数有最大值为2，即只有x＝﹣1时，ax2+bx+c＝2，所以说方程ax2+bx+c﹣2＝0有两个相等的实数根．
【解析】∵抛物线与x轴有两个交点，∴b2﹣4ac＞0，所以①错误；
∵顶点为D（﹣1，2），∴抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，
∵抛物线与x轴的一个交点A在点（﹣3，0）和（﹣2，0）之间，
∴抛物线与x轴的另一个交点在点（0，0）和（1，0）之间，
∴当x＝1时，y＜0，∴a+b+c＜0，所以②正确；
∵抛物线的顶点为D（﹣1，2），∴a﹣b+c＝2，
∵抛物线的对称轴为直线x=-b2a=-1，∴b＝2a，∴a﹣2a+c＝2，即c﹣a＝2，所以③正确；
∵当x＝﹣1时，二次函数有最大值为2，即只有x＝﹣1时，ax2+bx+c＝2，
∴方程ax2+bx+c﹣2＝0有两个相等的实数根，所以④正确．
综上所述，共有3个正确结论，
【小结】本题考查了二次函数的图象与系数的关系，关键是掌握以下性质：二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象为抛物线，当a＞0，抛物线开口向上；对称轴为直线x=-b2a；抛物线与y轴的交点坐标为（0，c）；当b2﹣4ac＞0，抛物线与x轴有两个交点；当b2﹣4ac＝0，抛物线与x轴有一个交点；当b2﹣4ac＜0，抛物线与x轴没有交点
变式15 函数y＝x2+bx+c与y＝x的图象如图所示，有以上结论：
①b2﹣4c＞0；②b+c+1＝0；③3b+c+6＝0；④当1＜x＜3时，x2+（b﹣1）x+c＜0．正确的是 （填序号）
【分析】由函数y＝x2+bx+c与x轴无交点，可得b2﹣4c＜0；当x＝1时，y＝1+b+c＝1；当x＝3时，y＝9+3b+c＝3；当1＜x＜3时，二次函数值小于一次函数值，可得x2+bx+c＜x，继而可求得答案．
【解析】∵函数y＝x2+bx+c与x轴无交点，∴b2﹣4ac＜0；故①错误；
当x＝1时，y＝1+b+c＝1，故②错误；又∵当x＝3时，y＝9+3b+c＝3，∴3b+c+6＝0；③正确；
∵当1＜x＜3时，二次函数值小于一次函数值，∴x2+bx+c＜x，∴x2+（b﹣1）x+c＜0．故④正确．
故答案为③④．
【小结】本题考查了图象与二次函数系数之间的关系．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．
必考点6 二次函数与一元二次方程的关系
例题6 已知函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，那么关于x的方程ax2+bx+c+32=0的根的情况是（ ）
A．无实数根 B．有两个相等实数根 C．有两个异号实数根 D．有两个同号不等实数根
【分析】利用函数图象平移即可求解．
【解析】函数y＝ax2+bx+c向上平移32个单位得到y′＝ax2+bx+c+32，
而y′顶点的纵坐标为﹣2+32=-12，故y′＝ax2+bx+c+32与x轴有两个交点，且两个交点在x轴的右侧，
故ax2+bx+c+32=0有两个同号不相等的实数根，故选：D．
【小结】本题考查的是抛物线与x轴的交点，用平移的方法求解是此类题目的基本解法．
变式16 已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过（﹣3，0）与（1，0）两点，关于x的方程ax2+bx+c+m＝0（m＞0）有两个根，其中一个根是3．则关于x的方程ax2+bx+c+n＝0 （0＜n＜m）有两个整数根，这两个整数根是（ ）
A．﹣2或0 B．﹣4或2 C．﹣5或3 D．﹣6或4
【分析】根据题目中的函数解析式和二次函数与一元二次方程的关系，可以得到关于x的方程ax2+bx+c+n＝0 （0＜n＜m）的两个整数根，从而可以解答本题．
【解析】∵二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过（﹣3，0）与（1，0）两点，
∴当y＝0时，0＝ax2+bx+c的两个根为﹣3和1，函数y＝ax2+bx+c的对称轴是直线x＝﹣1，
又∵关于x的方程ax2+bx+c+m＝0（m＞0）有两个根，其中一个根是3．
∴方程ax2+bx+c+m＝0（m＞0）的另一个根为﹣5，函数y＝ax2+bx+c的图象开口向下，
∵关于x的方程ax2+bx+c+n＝0 （0＜n＜m）有两个整数根，
∴这两个整数根是﹣4或2，故选：B．
【小结】本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数与一元二次方程的关系，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的关系解答．
变式17 已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点（x1，0）与（x2，0），其中x1＜x2，方程ax2+bx+c﹣a＝0的两根为m、n（m＜n），则下列判断正确的是（ ）
A．m＜n＜x1＜x2 B．m＜x1＜x2＜n C．x1+x2＞m+n D．b2﹣4ac≥0
【分析】把方程ax2+bx+c﹣a＝0的两根为m、n（m＜n），理解为二次函数y＝ax2+bx+c与直线y＝a的交点的横坐标分别为m、n，然后讨论a＞0和a＜0，利用图象可确定m、n、x1、x2的大小．
【解析】当a＞0，∵方程ax2+bx+c﹣a＝0的两根为m、n，
∴二次函数y＝ax2+bx+c与直线y＝a的交点在x轴上方，它们的横坐标分别为m、n，∴m＜x1＜x2＜n；
当a＜0，∵方程ax2+bx+c﹣a＝0的两根为m、n，
∴二次函数y＝ax2+bx+c与直线y＝a的交点在x轴下方，它们的横坐标分别为m、n，∴m＜x1＜x2＜n．
故选：B．
【小结】本题考查了抛物线与x轴的交点：对于二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0），△＝b2﹣4ac决定抛物线与x轴的交点个数：△＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点；△＝b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．也考查了二次函数的性质．
变式18 对于一个函数，自变量x取c时，函数值y等于0，则称c为这个函数的零点．若关于x的二次函数y＝﹣x2﹣10x+m（m≠0）有两个不相等的零点x1，x2（x1＜x2），关于x的方程x2+10x﹣m﹣2＝0有两个不相等的非零实数根x3，x4（x3＜x4），则下列关系式一定正确的是（ ）
A．0＜x1x3＜1 B．x1x3＞1 C．0＜x2x4＜1 D．x2x4＞1
【分析】根据题意画出关于x的二次函数y＝﹣x2﹣10x+m（m≠0）的图象以及直线y＝﹣2，根据图象即可判断．
【解析】由题意关于x的方程x2+10x﹣m﹣2＝0有两个不相等的非零实数根x3，x4（x3＜x4），就是关于x的二次函数y＝﹣x2﹣10x+m（m≠0）与直线y＝﹣2的交点的横坐标，
画出函数的图象草图如下：
∵抛物线的对称轴为直线x=--102×(-1)=-5，∴x3＜x1＜﹣5，
由图象可知：0＜x1x3＜1一定成立，故选：A．
【小结】本题考查了抛物线与x轴的交点，二次函数图象上点的坐标特征，利用图象判断是解题的关键．
必考点7 二次函数与解不等式
二次函数与不等式（组）：对于二次函数y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）与不等式的关系，利用两个函数图象在直角坐标系中的上下位置关系求自变量的取值范围，可作图利用交点直观求解，也可把两个函数解析式列成不等式求解．
例题7 数形结合是一种重要的数学思想方法，我们可以借助函数的图象求某些较为复杂不等式的解集．比如，求不等式x﹣1＞2x的解集，可以先构造两个函数y1＝x﹣1和y2=2x，再在同一平面直角坐标系中画出这两个函数的图象（如图1所示），通过观察所画函数的图象可知：它们交于A（﹣1，﹣2）、B（2，1）两点，当﹣1＜x＜0或x＞2时，y1＞y2，由此得到不等式x﹣1＞2x的解集为﹣1＜x＜0或x＞2．
根据上述说明，解答下列问题：
（1）要求不等式x2+3x＞x+3的解集，可先构造出函数y1＝x2+3x和函数y2＝ ；
（2）图2中已作出了函数y1＝x2+3x的图象，请在其中作出函数y2的图象；
（3）观察所作函数的图象，求出不等式x2+3x＞x+3的解集．
【分析】（1）由题干材料中的方法可得答案；
（2）根据y2＝x+3过点（﹣3，0）和（1，4），利用两点确定一条直线画出函数的图象即可；
（3）根据（2）中图象即可得出答案．
【解析】（1）根据题意可得y2＝x+3；（2）作出函数y2的图象如下：
（3）∵由图可知：函数y1和y2的图象交于（1，4）和（﹣3，0）两点，当x＜﹣3或x＞1时，y1＞y2，
∴不等式x2+3x＞x+3的解集为x＜﹣3或x＞1．
【小结】本题考查了一次函数、二次函数与不等式，数形结合并明确函数与不等式的关系是解题的关键
变式19 二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，且a≠0）和一次函数y＝kx+m（k，m为常数，且k≠0）的图象如图所示，交于点M （-32，2）、N （2，﹣2），则关于x的不等式ax2+bx+c﹣kx﹣m＜0的解集是 ．
【分析】根据函数图象，写出一次函数图象在抛物线上方所对应的自变量的范围即可．
【解析】当-32＜x＜2时，ax2+bx+c＜kx+m，
所以不等式ax2+（b﹣k）x+c﹣m＜0的解集为-32＜x＜2．
【小结】本题考查了二次函数与不等式（组）：对于二次函数y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）与不等式的关系，利用两个函数图象在直角坐标系中的上下位置关系求自变量的取值范围，可作图利用交点直观求解，也可把两个函数解析式列成不等式求解．
变式20 如图，二次函数y＝（x+2）2+m的图象与y轴交于点C，与x轴的一个交点为A（﹣1，0），点B在抛物线上，且与点C关于抛物线的对称轴对称．已知一次函数y＝kx+b的图象经过A，B两点，根据图象，则满足不等式（x+2）2+m≤kx+b的x的取值范围是 ．
【分析】将点A代入抛物线中可求m＝﹣1，则可求抛物线的解析式为y＝x2+4x+3，对称轴为x＝﹣2，则满足（x+2）2+m≤kx+b的x的取值范围为﹣4≤x≤﹣1．
【解析】抛物线y＝（x+2）2+m经过点A（﹣1，0），∴m＝﹣1，∴抛物线解析式为y＝x2+4x+3，
∴点C坐标（0，3），∴对称轴为x＝﹣2，
∵B与C关于对称轴对称，点B坐标（﹣4，3），
∴满足（x+2）2+m≤kx+b的x的取值范围为﹣4≤x≤﹣1，
【小结】考查二次函数的图象及性质；熟练掌握二次函数解析求法，二次函数图象的性质是解题的关键．
变式21 【变式7-3】（2020秋•张家港市期末）已知二次函数y＝ax2+bx+c与一次函数y＝x的图象如图所示，则不等式ax2+（b﹣1）x+c＜0的解集为 ．
【分析】根据当1＜x＜3时，二次函数值小于一次函数值，可得ax2+bx+c＜x，继而可求得答案．
【解析】∵当1＜x＜3时，二次函数值小于一次函数值，
∴ax2+bx+c＜x，∴ax2+（b﹣1）x+c＜0．
∴不等式ax2+（b﹣1）x+c＜0的解集为1＜x＜3，
故答案为1＜x＜3．
【小结】主要考查二次函数与不等式（组），此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．
必考点8 构建二次函数解决最值问题
例题8 如图，P是抛物线y＝x2﹣x﹣4在第四象限的一点，过点P分别向x轴和y轴作垂线，垂足分别为A、B，则四边形OAPB周长的最大值为 ．
【分析】设P（x，x2﹣x﹣4）根据矩形的周长公式得到C＝﹣2（x﹣1）2+10．根据二次函数的性质来求最值即可．
【解析】设P（x，x2﹣x﹣4），
四边形OAPB周长＝2PA+2OA＝﹣2（x2﹣x﹣4）+2x＝﹣2x2+4x+8＝﹣2（x﹣1）2+10，
当x＝1时，四边形OAPB周长有最大值，最大值为10．
【小结】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．也考查了二次函数的性质．
变式22 如图，抛物线y＝x2+5x+4与x轴交于A、B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C，连接AC，点P在线段AC上，过点P作x轴的垂线交抛物线于点Q，则线段PQ长的最大值为 ．
【分析】先解方程x2+5x+4＝0得A（﹣4，0），再确定C（0，4），则可利用待定系数法求出直线AC的解析式为y＝x+4，设P（t，t+4）（﹣4≤t≤0），Q（t，t2+5t+4），所以PQ＝t+4﹣（t2+5t+4），然后利用二次函数的性质解决问题．
【解析】当y＝0时，x2+5x+4＝0，解得x1＝﹣4，x2＝﹣1，则A（﹣4，0），B（﹣1，0），
当x＝0时，y＝x2+5x+4＝4，则C（0，4），
设直线AC的解析式为y＝kx+b，
把A（﹣4，0），C（0，4）代入得-4k+b=0b=4，解得k=1b=4，
∴直线AC的解析式为y＝x+4，
设P（t，t+4）（﹣4≤t≤0），则Q（t，t2+5t+4），
∴PQ＝t+4﹣（t2+5t+4）＝﹣t2﹣4t＝﹣（t+2）2+4，
∴当t＝﹣2时，PQ有最大值，最大值为4．故答案为4．
【小结】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了二次函数的性质．
变式23 如图，开口向下的抛物线与x轴交于点A（﹣1，0）、B（2，0），与y轴交于点C（0，4），点P是第一象限内抛物线上的一点．
（1）求该抛物线所对应的函数解析式；
（2）设四边形CABP的面积为S，求S的最大值．
【分析】（1）设二次函数表达式为y＝a（x+1）（x﹣2），再将点C代入，求出a值即可；
（2）连接OP，设点P坐标为（m，﹣2m2+2m+4），m＞0，利用S四边形CABP＝S△OAC+S△OCP+S△OPB得出S关于m的表达式，再求最值即可．
【解析】（1）∵A（﹣1，0），B（2，0），C（0，4），
设抛物线表达式为：y＝a（x+1）（x﹣2），将C代入得：4＝﹣2a，解得：a＝﹣2，
∴该抛物线的解析式为：y＝﹣2（x+1）（x﹣2）＝﹣2x2+2x+4；
（2）连接OP，设点P坐标为（m，﹣2m2+2m+4），m＞0，
∵A（﹣1，0），B（2，0），C（0，4），可得：OA＝1，OC＝4，OB＝2，
∴S＝S四边形CABP＝S△OAC+S△OCP+S△OPB
=12×1×4+12×4m+12×2×（﹣2m2+2m+4）
＝﹣2m2+4m+6
＝﹣2（m﹣1）2+8，
当m＝1时，S最大，最大值为8．
【小结】本题考查了二次函数的应用，待定系数法求二次函数表达式，解题的关键是能将四边形CABP的面积表示出来．
变式24 如图，已知二次函数图象的顶点坐标为C（1，0），直线y＝x+m与该二次函数的图象交于A、B两点，其中A点的坐标为（3，4），B点在轴y上．
（1）求m的值及这个二次函数的关系式；
（2）P为线段AB上的一个动点（点P与A、B不重合），过P作x轴的垂线与这个二次函数的图象交于点E点，设线段PE的长为h，点P的横坐标为x．
①求h与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
②线段PE的长h是否存在最大值？若存在，求出它的最大值及此时的x值；若不存在，请说明理由？
【分析】（1）因为直线y＝x+m过点A，将A点坐标直接代入解析式即可求得m的值；设出二次函数的顶点式，将（3，4）代入即可．
（2）①由于P和E的横坐标相同，将P点横坐标代入直线和抛物线解析式，可得其纵坐标表达式，h即为二者之差；根据P、E在二者之间，所以可知x的取值范围是0＜x＜3．
②利用二次函数的性质即可解决问题．
【解析】（1）∵点A（3，4）在直线y＝x+m上，∴4＝3+m．∴m＝1．
设所求二次函数的关系式为y＝a（x﹣1）2．
∵点A（3，4）在二次函数y＝a（x﹣1）2的图象上，∴4＝a（3﹣1）2，
∴a＝1．∴所求二次函数的关系式为y＝（x﹣1）2．即y＝x2﹣2x+1．
（2）①设P、E两点的纵坐标分别为yP和yE．
∴PE＝h＝yP﹣yE＝（x+1）﹣（x2﹣2x+1）＝﹣x2+3x．
即h＝﹣x2+3x（0＜x＜3）．
②存在．∵h＝﹣（x-32）2+94，
又∵a＝﹣1＜0，∴x=32时，h的值最大，最大值为94．
【小结】本题属于二次函数综合题，考查了用待定系数法求函数解析式，二次函数的性质等知识，解题的关键是学会构建二次函数解决最值问题，属于中考常考题型．
必考点9 二次函数新定义问题
例题9 我们定义一种新函数：形如y＝|ax2+bx+c|（a≠0，b2﹣4ac＞0）的函数叫做“鹊桥”函数．小丽同学画出了“鹊桥”函数y＝|x2﹣2x﹣3|的图象（如图所示），并写出下列五个结论：其中正确结论的个数是（ ）
①图象与坐标轴的交点为（﹣1，0），（3，0）和（0，3）；
②图象具有对称性，对称轴是直线x＝1；
③当﹣1≤x≤1或x≥3时，函数值y随x值的增大而增大；
④当x＝﹣1或x＝3时，函数的最小值是0；
⑤当x＝1时，函数的最大值是4，
A．4 B．3 C．2 D．1
【分析】由（﹣1，0），（3，0）和（0，3）坐标都满足函数y＝|x2﹣2x﹣3|知①是正确的；从图象可以看出图象具有对称性，对称轴可用对称轴公式求得是直线x＝1，②也是正确的；根据函数的图象和性质，发现当﹣1≤x≤1或x≥3时，函数值y随x值的增大而增大，因此③也是正确的；函数图象的最低点就是与x轴的两个交点，根据y＝0，求出相应的x的值为x＝﹣1或x＝3，因此④也是正确的；从图象上看，当x＜﹣1或x＞3，函数值要大于当x＝1时的y＝|x2﹣2x﹣3|＝4，因此⑤不正确；逐个判断之后，可得答案．
【解析】①∵（﹣1，0），（3，0）和（0，3）坐标都满足函数y＝|x2﹣2x﹣3|，∴①是正确的；
②从图象可知图象具有对称性，对称轴可用对称轴公式求得是直线x＝1，因此②也是正确的；
③根据函数的图象和性质，发现当﹣1≤x≤1或x≥3时，函数值y随x值的增大而增大，③也是正确的；
④函数图象的最低点就是与x轴的两个交点，根据y＝0，求出相应的x的值为x＝﹣1或x＝3，④正确
⑤从图象上看，当x＜﹣1或x＞3，函数值要大于当x＝1时的y＝|x2﹣2x﹣3|＝4，因此⑤是不正确的；
故选：A．
【小结】考查了二次函数图象与x轴的交点问题，理解“鹊桥”函数y＝|ax2+bx+c|的意义，掌握“鹊桥”函数与y＝|ax2+bx+c|与二次函数y＝ax2+bx+c之间的关系；两个函数性质之间的联系和区别是解决问题的关键；二次函数y＝ax2+bx+c与x轴的交点、对称性、对称轴及最值的求法以及增减性应熟练掌握．
变式25 定义[a、b、c]为二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的特征数，下面给出特征数为[2m，1﹣m，﹣1﹣m]的函数的一些结论：①当m＝﹣3时，函数图象的顶点坐标是（13，83）；②当m＞0时，函数图象截x轴所得的线段长度大于32；③当m＜0时，函数在x＞14时，y随x的增大而减小；④当m≠0时，函数图象经过同一个点，正确的结论是 ．
【分析】利用二次函数的性质逐一判断后即可确定正确的答案．
【解析】把m＝﹣3代入，得a＝﹣6，b＝4，c＝2，函数解析式为y＝﹣6x2+4x+2，利用顶点公式可以求出顶点为（13，83），①正确；
函数y＝2mx2+（1﹣m）x+（﹣1﹣m）与x轴两交点坐标为（1，0），（-m+12m，0），
当m＞0时，1﹣（-m+12m）=32+12m＞32，②正确；
当m＜0时，函数y＝2mx2+（1﹣m）x+（﹣1﹣m）开口向下，对称轴x=14-14m＞14，
∴x可能在对称轴左侧也可能在对称轴右侧，③错误；
y＝2mx2+（1﹣m）x+（﹣1﹣m）＝m（2x2﹣x﹣1）+x﹣1，若使函数图象经过同一点，m≠0时，应使2x2﹣x﹣1＝0，可得x1＝1，x2=-12，当x＝1时，y＝0，当x=-12时，y=-32，则函数一定经过点（1，0）和（-12，-32），④正确．
故答案为：①②④．
【小结】本题考查了二次函数的性质，解题的关键是牢记二次函数的对称轴、顶点坐标的求法，这往往是进一步研究二次函数的性质的基础．
变式26 对某一个函数给出如下定义：如果存在常数M，对于任意的函数值y，都满足y≤M，那么称这个函数是有上界函数；在所有满足条件的M中，其最小值称为这个函数的上确界．例如，函数y＝﹣（x+1）2+2，y≤2，因此是有上界函数，其上确界是2，如果函数y＝﹣2x+1（m≤x≤n，m＜n）的上确界是n，且这个函数的最小值不超过2m，则m的取值范围是（ ）
A．m≤13 B．m＜13 C．13＜m≤12 D．m≤12
【分析】根据函数的上确界和函数增减性得到﹣2m+1＝n，函数的最小值为﹣2n+1，根据m＜n，函数的最小值不超过2m，列不等式求解集即可．
【解析】∵在y＝﹣2x+1中，y随x的增大而减小，∴上确界为﹣2m+1，即﹣2m+1＝n，
∵函数的最小值是﹣2n+1≤2m，解得m≤12，又∵m＜n，∴m＜﹣2m+1．
解得m＜13，综上，m＜13故选：B．
【小结】本题主要考查了对定义函数的理解和一次函数的性质的灵活运用；一次函数的性质：k＞0，y随x的增大而增大，函数从左到右上升；k＜0，y随x的增大而减小，函数从左到右下降；能够正确理解有界函数和上确界是解决问题的关键．
变式27 阅读以下材料，并解决相应问题：
小明在课外学习时遇到这样一个问题：
定义：如果二次函数y＝a1x2+b1x+c1（a1≠0，a1、b1、c1是常数）与y＝a2x2+b2x+c2（a2≠0，a2、b2、c2是常数）满足a1+a2＝0，b1＝b2，c1+c2＝0，则这两个函数互为“旋转函数”．求函数y＝2x2﹣3x+1的旋转函数，小明是这样思考的，由函数y＝2x2﹣3x+1可知，a1＝2，b1＝﹣3，c1＝1，根据a1+a2＝0，b1＝b2，c1+c2＝0，求出a2，b2，c2就能确定这个函数的旋转函数．
请思考小明的方法解决下面问题：
（1）写出函数y＝x2﹣4x+3的旋转函数．
（2）若函数y＝5x2+（m﹣1）x+n与y＝﹣5x2﹣nx﹣3互为旋转函数，求（m+n）2020的值．
（3）已知函数y＝2（x﹣1）（x+3）的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，点A、B、C关于原点的对称点分别是A1、B1、C1，试求证：经过点A1、B1、C1的二次函数与y＝2（x﹣1）（x+3）互为“旋转函数”．
【分析】（1）由二次函数的解析式可得出a1，b1，c1的值，结合“旋转函数”的定义可求出a2，b2，c2的值，此问得解；
（2）由函数y＝5x2+（m﹣1）x+n与y＝﹣5x2﹣nx﹣3互为“旋转函数”，可求出m，n的值，将其代入（m+n）2020即可求出结论；
（3）利用二次函数图象上点的坐标特征可求出点A，B，C的坐标，结合对称的性质可求出点A1，B1，C1的坐标，由点A1，B1，C1的坐标，利用交点式可求出过点A1，B1，C1的二次函数解析式，由两函数的解析式可找出a1，b1，c1，a2，b2，c2的值，再由a1+a2＝0，b1＝b2，c1+c2＝0可证出经过点A1，B1，C1的二次函数与函数y＝2（x﹣1）（x+3）互为“旋转函数”．
【解析】（1）由y＝x2﹣4x+3函数可知，a1＝1，b1＝﹣4，c1＝3，
∵a1+a2＝0，b1＝b2，c1+c2＝0，∴a2＝﹣1，b2＝﹣4，c2＝﹣3，
∴函数y＝x2﹣4x+3的“旋转函数”为y＝﹣x2﹣4x﹣3；
（2）∵y＝5x2+（m﹣1）x+n与y＝﹣5x2﹣nx﹣3互为“旋转函数”，∴m-1=-nn-3=0，解得：m=-2n=3，
∴（m+n）2020＝（﹣2+3）2020＝1．
（3）证明：当x＝0时，y＝2（x﹣1）（x+3））＝﹣6，
∴点C的坐标为（0，﹣6）．当y＝0时，2（x﹣1）（x+3）＝0，解得：x1＝1，x2＝﹣3，
∴点A的坐标为（1，0），点B的坐标为（﹣3，0）．
∵点A，B，C关于原点的对称点分别是A1，B1，C1，
∴A1（﹣1，0），B1（3，0），C1（0，6）．
设过点A1，B1，C1的二次函数解析式为y＝a（x+1）（x﹣3），
将C1（0，6）代入y＝a（x+1）（x﹣3），得：6＝﹣3a，解得：a＝﹣2，
过点A1，B1，C1的二次函数解析式为y＝﹣2（x+1）（x﹣3），即y＝﹣2x2+4x+6．
∵y＝2（x﹣1）（x+3）＝2x2+4x﹣6，
∴a1＝2，b1＝4，c1＝﹣6，a2＝﹣2，b2＝4，c2＝6，
∴a1+a2＝2+（﹣2）＝0，b1＝b2＝4，c1+c2＝6+（﹣6）＝0，
∴经过点A1，B1，C1的二次函数与函数y＝2（x﹣1）（x+3）互为“旋转函数”．
【小结】本题考查了相反数、二次函数图象上点的坐标特征、对称的性质以及待定系数法求二次函数解析式，解题的关键是：（1）利用“旋转函数”的定义求出a2，b2，c2的值；（2）利用“旋转函数”的定义求出m，n的值；（3）根据点的坐标，利用待定系数法求出过点A1，B1，C1的二次函数解析式．
必考点10 二次函数的应用（抛物线形建筑问题）
例题10 图中所示的抛物线形拱桥，当拱顶离水面4m时，水面宽8m．水面上升3米，水面宽度减少多少？下面给出了解决这个问题的两种建系方法．
方法一如图1，以上升前的水面所在直线与抛物线左侧交点为原点，以上升前的水面所在直线为x轴，建立平面直角坐标系xOy；
方法二如图2，以抛物线顶点为原点，以抛物线的对称轴为y轴，建立平面直角坐标系xOy，
【分析】方法一：根据顶点坐标为（4，4），设其解析式为y＝a（x﹣4）2+4，将（0，0）代入求出a的值即可得；
方法二：设抛物线解析式为y＝ax2，将点（4，﹣4）代入求得a的值，据此可得抛物线的解析式，再求出上涨3m后，即y＝﹣1时x的值即可得．
【解析】方法一、根据题意知，抛物线与x轴的交点为（0，0）、（8，0），其顶点坐标为（4，4），
设解析式为y＝a（x﹣4）2+4，将点（0，0）代入，得：16a+4＝0，解得：a=-14，
则抛物线解析式为y=-14（x﹣4）2+4=-14x2+2x，
当y＝3时，-14x2+2x＝3，解得：x＝2或x＝6，则水面的宽减少了8﹣（6﹣2）＝4（m）．
方法二：由题意知，抛物线过点（4，﹣4），
设抛物线解析式为y＝ax2，将点（4，﹣4）代入，得：16a＝﹣4，解得：a=-14，
所以抛物线解析式为y=-14x2，
当y＝﹣1时，-14x2＝﹣1，解得：x＝2或x＝﹣2，则水面的宽减少了8﹣4＝4（m）．
【小结】本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是根据题意建立合适的平面直角坐标系及熟练掌握待定系数法求函数解析式．
变式28 如图，是某市一条河上一座古拱挢的截面图，拱桥桥洞上沿是抛物线形状，抛物线拱桥处于正常水位时水面宽AB为26m，当水位上涨1m时，抛物线拱桥的水面宽CD为24m．现以水面AB所在直线为x轴，抛物线的对称轴为y轴建立直角坐标系．
（1）求出抛物线的解析式；
（2）经过测算，水面离拱桥顶端1.5m时为警戒水位．某次洪水到来时，小明用仪器测得水面宽为10m，请你帮助小明算一算，此时水面是否超过警戒水位？
【分析】（1）设抛物线解析式的一般形式，取对称轴为y轴，将抛物线的位置特殊化，简化抛物线解析式，根据图形选取两个点坐标求解析式；
（2）根据解析式解决实际问题．
【解析】（1）设抛物线的解析式为y＝ax2+bx+c（a≠0），
∵对称轴为y轴，∴y=-b2a=0，∴b＝0，
∴y＝ax2+c，由题意得，抛物线过点（13，0），（12，1），
把 x=13y=0，x=12y=1，代入得 169a+c=0144a+c=1，解得 a=-125c=16925，∴抛物线的解析式为y=-125x2+16925；
（2）由题意得，把x＝5代入y=-125x2+16925=y=-125×25+16925=14425，
∴点F的坐标为F（5，14425），∴MH＝OM﹣OH=16925-14425=1m，
∵1m＜1.5m，∴此时水面超过警戒水位．
【小结】本题主要考查了二次函数的应用，在解题时要根据题意画出图形找出各点，再结合二次函数的知识点解出此题，这是本题的关键．
变式29 某坦克部队需要经过一个拱桥（如图所示），拱桥的轮廓是抛物线形，拱高OC＝6m，跨度AB＝20m，有5根支柱：AG、MN、CD、EF、BH，相邻两支柱的距离均为5m．
（1）以AB的中点为原点，AB所在直线为x轴，支柱CD所在直线为y轴，建立平面直角坐标系，求抛物线的解析式；
（2）若支柱每米造价为2万元，求5根支柱的总造价；
（3）拱桥下面是双向行车道（正中间是一条宽2m的隔离带），其中的一条行车道是坦克的行进方向，现每辆坦克长4m，宽2m，高3m，行驶速度为24km/h，坦克允许并排行驶，坦克前后左右距离忽略不计，试问120辆该型号坦克从刚开始进入到全部通过这座长1000m的拱桥隧道所需最短时间为多少分钟？
【分析】（1）根据题目可知A，B，C的坐标，设出抛物线的解析式代入可求解．
（2）把x＝5代入可求出支柱的长度，然后算出总造价即可．
（3）先求出坦克方队的长，然后算出速度，从而求得通过隧道的时间即可．
【解答】【解】（1）设y＝ax2+c，把C（0，6）、B（10，0）代入得a=-350，c＝6．∴y=-350x2+6．
（2）当x＝5时，y=-350×52+6=92，
∴EF＝10-92=112，CD＝10﹣6＝4，
支柱的总造价为2（2×112+2×10+4）＝70（万元）．
（3）∵坦克的高为3米，令y＝3时，-350x2+6＝3，解得：x＝±52，
∵7＜52＜8，坦克宽为2米，
∴可以并排3辆坦克行驶，此时坦克方阵的长为120÷3×4＝160（米），
坦克的行驶速度为24km/h＝400米/分，
∴通过隧道的最短时间为1000+160400=2.9（分）．
【小结】本题考查点坐标的求法及二次函数的实际应用．此题为数学建模题，借助二次函数解决实际问题．
变式30 如图是某隧道截面示意图，它是由抛物线和长方形构成，已知OA＝12米，OB＝4米，抛物线顶点D到地面OA的垂直距离为10米，以OA所在直线为x轴，以OB所在直线为y轴建立直角坐标系．
（1）求抛物线的解析式；
（2）由于隧道较长，需要在抛物线型拱壁上需要安装两排灯，使它们到地面的高度相同，如果灯离地面的高度不超过8米，那么两排灯的水平距离最小是多少米？
（3）一辆特殊货运汽车载着一个长方体集装箱，集装箱宽为4m，最高处与地面距离为6m，隧道内设双向行车道，双向行车道间隔距离为0.5m，交通部门规定，车载货物顶部距离隧道壁的竖直距离不少于0.5m，才能安全通行，问这辆特殊货车能否安全通过隧道？
【分析】（1）抛物线顶点坐标为D（6，10），设抛物线的解析式为y＝a（x﹣6）2+10，把点B点代入即可
（2）由图象可知，高度越高，两排灯间的距离越近，把y＝8代入（1）所得解析式，求得一元二次方程的两个根，它们的差即为答案，
（3）由图象结合题意可知，集装箱与隧道最接近的位置在此坐标系中的纵坐标为x＝6.25+4，代入（1）所得解析式，判断是够大于6.5即可．
【解析】（1）根据题意，顶点D的坐标为（6，10），点B的坐标为（0，4），
设抛物线的解析式为y＝a（x﹣6）2+10，把点B（0，4）代入得：36a+10＝4，解得：a=-16，
即所求抛物线的解析式为：y=-16（x﹣6）2+10，
（2）由图象可知，高度越高，两排等间的距离越近，
把y＝8代入y=-16（x﹣6）2+10得：-16（x﹣6）2+10＝8，
解得：x1＝6+23，x2＝6﹣23，所求最小距离为：x1﹣x2＝43，
答：两排灯的水平距离最小是43米，
（3）根据题意，当x＝6.25+4＝10.25时，y=-16（10.25﹣6）2+10=67196＞6.5，∴能安全通过隧道，
【小结】本题考查二次函数应用，解题的关键是分析题意并结合图象列式求解，难度较大，综合程度较高．
必考点11 二次函数的应用（抛物线形运动问题）
例题11 周末，小明陪爸爸去打高尔夫求，小明看到爸爸打出的球的飞行路线的形状如图，如果不考虑空气阻力，小球的飞行路线是一条抛物线．小明测得小球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）的几组值后，发现h与t满足的函数关系式是h＝20t﹣5t2．
（1）小球飞行时间是多少时达到最大高度，求最大高度是多少？
（2）小球飞行时间t在什么范围时，飞行高度不低于15m？
【分析】（1）求函数的最大值即可；
（2）把h≥15代入函数关系式，即可求解．
【解析】（1）h＝20t﹣5t2．
∵﹣5＜0，故h有最大值，
当t=-202×(-5)=2，此时h的最大值为20，
∴当t＝2s时，最大高度是20m．
（2）令h≥15，则h＝20t﹣5t2≥15，
解得：1≤t≤3，
∴1≤t≤3时，飞行高度不低于15m．
【小结】本题主要考查了二次函数的应用，我们首先要吃透题意，将所求的问题对应到函数中的变量，进而求解．
变式31 九年级的一场篮球比赛中，如图队员甲正在投篮，已知球出手时离地面高209m，与篮圈中心的水平距离为7m，当球出手后水平距离为4m时到达最大高度4m，设篮球运行的轨迹为抛物线，篮圈距地面3m．
（1）建立如图所示的平面直角坐标系，求抛物线的解析式并判断此球能否准确投中？
（2）此时，若对方队员乙在甲前面1m处跳起盖帽拦截，已知乙的最大摸高为3.1m，那么他能否获得成功？
【分析】（1）观察函数图象可知：抛物线经过点（0，209），顶点坐标是（4，4），篮圈中心的坐标是（7，3）．设抛物线的解析式是y＝a（x﹣4）2+4，根据抛物线上点的坐标利用待定系数法可求出抛物线的解析式，再利用二次函数图象上点的坐标特征验证篮圈中心点是否在抛物线上，此题得解；
（2）代入x＝1求出y值，由该值小于3.1可得出盖帽拦截成功．
【解析】（1）由题意可知，抛物线经过点（0，209），顶点坐标是（4，4），篮圈中心的坐标是（7，3）．
设抛物线的解析式是y＝a（x﹣4）2+4，
∵抛物线经过点（0，209），∴209=16a+4，解得：a=-19，
∴抛物线解析式为y=-19（x﹣4）2+4．
当x＝7时，y=-19×（7﹣4）2+4＝3，
∴篮圈的中心点在抛物线上，∴能够投中．
（2）∵当x＝1时，y=-19×（1﹣4）2+4＝3＜3.1，
∴能够盖帽拦截成功．
【小结】本题考查了二次函数的应用、待定系数法求二次函数解析式以及二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是：（1）观察函数图象找出点的坐标，利用待定系数法求出抛物线的解析式；（2）代入x＝1求出y值．
变式32 如图，在某场足球比赛中，球员甲从球门底部中心点O的正前方10m处起脚射门，足球沿抛物线飞向球门中心线；当足球飞离地面高度为3m时达到最高点，此时足球飞行的水平距离为6m．已知球门的横梁高OA为2.44m．
（1）在如图所示的平面直角坐标系中，问此飞行足球能否进球门？（不计其它情况）
（2）守门员乙站在距离球门2m处，他跳起时手的最大摸高为2.52m，他能阻止球员甲的此次射门吗？如果不能，他至少后退多远才能阻止球员甲的射门？
【分析】（1）根据条件可以得到抛物线的顶点坐标是（4，3），利用待定系数法即可求得函数的解析式；
（2）求出当x＝2时，抛物线的函数值，与2.52米进行比较即可判断，再利用y＝2.52求出x的值即可得出答案．
【解析】（1）抛物线的顶点坐标是（4，3），
设抛物线的解析式是：y＝a（x﹣4）2+3，
把（10，0）代入得36a+3＝0，解得a=-112，
则抛物线是y=-112（x﹣4）2+3，
当x＝0时，y=-112×16+3＝3-43=53＜2.44米，
故能射中球门；
（2）当x＝2时，y=-112（2﹣4）2+3=83＞2.52，
∴守门员乙不能阻止球员甲的此次射门，
当y＝2.52时，y=-112（x﹣4）2+3＝2.52，解得：x1＝1.6，x2＝6.4（舍去），
∴2﹣1.6＝0.4（m），
答：他至少后退0.4m，才能阻止球员甲的射门．
【小结】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，以及二次函数的应用，正确求得解析式是关键．
变式33 如图，某足球运动员站在点O处练习射门．将足球从离地面0.5m的A处正对球门踢出（点A在y轴上），足球的飞行高度y（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间满足函数关系y＝at2+5t+c，已知足球飞行0.8s时，离地面的高度为3.5m．
（1）a＝ -2516 ，c＝ 12 ；
（2）当足球飞行的时间为多少时，足球离地面最高？最大高度是多少？
（3）若足球飞行的水平距离x（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间具有函数关系x＝10t，已知球门的高度为2.44m，如果该运动员正对球门射门时，离球门的水平距离为28m，他能否将球直接射入球门？
【分析】（1）由题意得：函数y＝at2+5t+c的图象经过（0，0.5）（0.8，3.5），代入函数的表达式即可求出a，c的值；
（2）利用配方法即可求出足球飞行的时间以及足球离地面的最大高度；
（3）把x＝28代入x＝10t得t＝2.8，把t＝2.8代入解析式求出y的值和2.44m比较大小即可得到结论．
【解析】（1）由题意得：函数y＝at2+5t+c的图象经过（0，0.5）（0.8，3.5），
∴0.5=c3.5=0．82a+5×0.8+c，解得：a=-2516c=12，∴抛物线的解析式为：y=-2516t2+5t+12，
（2）∵y=-2516t2+5t+12，
∴y=-2516（t-85）2+92，∴当t=85时，y最大＝4.5，
∴当足球飞行的时间85s时，足球离地面最高，最大高度是4.5m；
（3）把x＝28代入x＝10t得t＝2.8，
∴当t＝2.8时，y=-2516×2.82+5×2.8+12=2.25＜2.44，
∴他能将球直接射入球门．
【小结】本题考查待定系数法求二次函数的解析式，以及二次函数的应用，正确求得解析式是解题的关键．
必考点12 二次函数的应用（面积问题）
例题12 如图，某农场准备围建一个中间隔有一道篱笆的矩形花圈，现有长为18米的篱笆，一边靠墙，若墙长a＝6米，设花圃的一边AB为x米，面积为S米2．
（1）求S与x的函数关系式及x值的取值范围；
（2）若边BC不小于3米这个花圃的面积有最大值和最小值吗？如果有，求出最大值和最小值；如果没有，请说明理由．
【分析】（1）根据题意可得S＝x（18﹣3x）化简得S＝﹣3x2+18x．
（2）根据题意得到二次函数解析式，根据二次函数的性质求解即可；
【解析】（1）S＝（18﹣3x）x＝﹣3x2+18x，18-3x≤63x＜18，∴4≤x＜6；
（2）∵18﹣3x≥3，解得：x≤5，∴4≤x≤5，
S＝﹣3x2+18x＝﹣3（x﹣3）2+27，
∴苗圃园的面积y有最大值，
∴当x＝4时，S有最大值，最大值是24；
当x＝5时，S有最小值，最小值是15．
【小结】本题考查了二次函数的应用、矩形的面积等知识，解题的关键是：根据篱笆长度找出y关于x的函数关系式；
变式34 某农场拟用总长为60m的建筑材料建三间矩形牛饲养室，饲养室的一面靠现有墙（墙长为40m），其中间用建筑材料做的墙隔开（如图）．设三间饲养室平行于墙的一边合计用建筑材料xm，总占地面积为ym2．
（1）求y关于x的函数解析式和自变量的取值范围；
（2）当x为何值时，三间饲养室占地总面积最大？最大面积为多少？
【分析】（1）设饲养室长为x（m），则宽为14（60﹣x）m，根据长方形面积公式即可得，由墙可用长≤40m可得x的范围；
（2）把函数关系式化成顶点式，然后根据二次函数的性质即可得到结论．
【解析】（1）根据题意得，y＝x•14（60﹣x）=-14x2+15x，
自变量的取值范围为：0＜x≤40；
（2）∵y=-14x2+15x=-14（x﹣30）2+225，
∴当x＝30时，三间饲养室占地总面积最大，最大为225（m2）．
【小结】本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是将实际问题转化为数学问题以后，准确列出二次函数关系式，正确运用二次函数的有关性质来解题．
变式35 为了节省材料，某水产养殖户利用本库的岸堤（岸堤足够长）为一边，用总长为160m的围网在水库中围成了如图所示的①、②、③三块矩形区域网箱，而且这三块矩形区域的面积相等，设BE的长度为xm，矩形区域ABCD的面积为ym2．
（1）则AE＝ m，BC＝ m；（用含字母x的代数式表示）
（2）求矩形区域ABCD的面积y的最大值．
【分析】（1）根据三个矩形面积相等，得到矩形AEFD面积是矩形BCFE面积的2倍，可得出AE＝2BE，设BE＝x，则有AE＝2x，BC＝80﹣4x；
（2）利用二次函数的性质求出y的最大值，以及此时x的值即可．
【解析】（1）设BE的长度为xm，
则AE＝2xm，BC＝（80﹣4x）m，
（2）根据题意得：y＝3x（80﹣4x）＝﹣12x2+240x＝﹣12（x﹣10）2+1200，
因为﹣12，所以当x＝10时，y有最大值为1200．
答：矩形区域ABCD的面积的最大值为1200m2．
【小结】此题考查了二次函数的应用，以及列代数式，熟练掌握二次函数的性质是解本题的关键．
变式36 某植物园有一块足够大的空地，其中有一堵长为a米的墙，现准备用20米的篱笆围两间矩形花圃，中间用篱笆隔开．小俊设计了如图甲和乙的两种方案：
方案甲中AD的长不超过墙长；方案乙中AD的长大于墙长．
（1）若a＝6．
①按图甲的方案，要围成面积为25平方米的花圃，则AD的长是多少米？
②按图乙的方案，能围成的矩形花圃的最大面积是多少？
（2）若0＜a＜6.5，哪种方案能围成面积最大的矩形花圃？请说明理由．
【分析】（1）①设AB的长是x米，根据矩形的面积公式列出方程；
②列出面积关于x的函数关系式，再根据函数的性质解答；
（2）设AB＝x，能围成矩形花圃的面积为S，根据题意列出S关于x的函数关系，再通过求最值方法解答．
【解析】（1）①设AB的长是x米，则AD＝20﹣3x，根据题意得，x（20﹣3x）＝25，解得：x1＝5，x2=53，
当x=53时，AD＝15＞6，∴x＝5，∴AD＝5，
②设BC的长是x米，矩形花圃的最大面积是y平方米，则AB=13[20﹣x﹣（x﹣6）]=263-23x，
根据题意得，y＝x（263-23x）=-23x2+263x=-23(x-132)2+1696（x＞6），
∴当x=132时，y有最大值为1696．
答：按图乙的方案，能围成的矩形花圃的最大面积是1696平方米；
（2）设BC＝x，能围成的矩形花圃的面积为S，
按图甲的方案，S＝x×20-x3=-13x2+203x=-13(x-10)2+1003，
∴在x＝a＜10时，S的值随x的增大而增大，
∴当x＝a的最大值n时，S的值最大，为S-13(n-10)2+1003；
按图乙方案，S=13[20﹣x﹣（x﹣a）]x=-23(x-a+204)2+(a+20)224，
∴当x=a+204时，S的值最大为S=(a+20)224，此时a取最大值n时，S的值最大为S=(n+20)224；
∵(n+20)224-[-13（n﹣10）2+1003]=9n2-120n+40024＞0，
∴(n+20)224＞-13(n-10)2+1003，
故第二种方案能围成面积最大的矩形花圃．
【小结】本题主要考查了一元二次方程的应用，二次函数的应用，关键是正确列出一元二次方程和函数解析式，运用函数的性质解答．
必考点13 二次函数的应用（利润问题）
例题13 小红经营的网店以销售文具为主，其中一款笔记本进价为每本10元，该网店在试销售期间发现，每周销售数量y（本）与销售单价x（元）之间满足一次函数关系，三对对应值如下表：
销售单价x（元）
12
14
16
每周的销售量y（本）
500
400
300
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）通过与其他网店对比，小红将这款笔记本的单价定为x元（12≤x≤15，且x为整数），设每周销售该款笔记本所获利润为w元，当销售单价定为多少元时每周所获利润最大，最大利润是多少元？
【分析】（1）根据题意和表格中的数据，可以求得y与x之间的函数关系式；
（2）根据题意，可以得到w与x的函数关系式，然后根据二次函数的性质，可以解答本题．
【解析】（1）设y与x之间的函数关系式是y＝kx+b（k≠0），
代入得：12k+b=50014k+b=400，解得k=-50b=1100，
即y与x之间的函数关系式为y＝﹣50x+1100；
（2）由题意可得，
w＝（x﹣10）y＝（x﹣10）（﹣50x+1100）＝﹣50（x﹣16）2+1800，
∵a＝﹣50＜0
∴w有最大值
∴当x＜16时，w随x的增大而增大，
∵12≤x≤15，x为整数，
∴当x＝15时，w有最大值，
∴w＝﹣50（15﹣16）2+1800＝1750，
答：销售单价为15元时，每周获利最大，最大利润是1750元．
【小结】本题考查二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
变式37 新冠肺炎期间，某超市将购进一批口罩进行销售，已知购进4盒甲口罩和6盒乙口罩需260元，购进5盒甲口罩和4盒乙口罩需220元．两种口罩以相同的售价销售，甲口罩的销量y1（盒）与售价x（元）之间的关系为y1＝400﹣8x；当售价为40元时，乙口罩可销售100盒，售价每提高1元，少销售5盒．
（1）求甲、乙两种口罩每盒的进价分别为多少元？
（2）当乙口罩的售价为多少元时，乙口罩的销售总利润最大？此时两种口罩的销售利润总和为多少？
（3）已知甲的销售量不低于乙口罩的销售量的1415，若使两种口罩的利润总和最高，此时的定价应为多少？
【分析】（1）设甲、乙两种口罩每盒的进价分别为x元、y元，由题意得方程组，求解即可．
（2）设乙口罩的销售利润为w元，由题意得关于x的二次函数，将其写成顶点式，根据二次函数的性质可得乙口罩的售价及此时乙口罩的最大销售总利润，然后此时甲的销售利润进而求得两种口罩销售利润总和．
（3）根据甲的销售量不低于乙口罩的销售量的1415列出不等式，解得x的范围，再得出两种口罩的利润总和w总关于x的二次函数，根据二次函数的性质可得其对称轴，从而可得答案．
【解析】（1）设甲、乙两种口罩每盒的进价分别为x元、y元，由题意得：4x+6y=2605x+4y=220，解得：x=20y=30．
∴甲、乙两种口罩每盒的进价分别为20元、30元．
（2）设乙口罩的销售利润为w元，由题意得：
w＝（x﹣30）[100﹣5（x﹣40）]＝﹣5x2+450x﹣9000＝﹣5（x﹣45）2+1125，
∴当乙口罩的售价为45元时，乙口罩的销售总利润最大，为1125元．
当售价为45元时，y1＝400﹣8x＝400﹣8×45＝40（盒）；
∴甲口罩的销售利润为：（45﹣20）×40＝1000（元），
∴此时两种口罩的销售利润总和为：1125+1000＝2125（元）．
∴当乙口罩的售价为45元时，乙口罩的销售总利润最大，此时两种口罩的销售利润总和为2125元．
（3）由题意得：400﹣8x≥1415[100﹣5（x﹣40）]，解得：x≤36，
∵两种口罩的利润总和w总＝（400﹣8x）（x﹣20）+（﹣5x2+450x﹣9000）＝﹣13x2+1010x﹣17000，
∴对称轴为：x=50513＞36，
∴当x＝36时，两种口罩的利润总和最高．
∴若使两种口罩的利润总和最高，此时的定价应为36元．
【小结】本题考查了二元一次方程组、一次函数、二次函数及一元一次不等式在实际问题中的应用，理清题中的数量关系是解题的关键．
变式38 某服装厂生产A品种服装，每件成本为71元，零售商到此服装厂一次性批发A品牌服装x件时，批发单价为y元，y与x之间满足如图所示的函数关系，其中批发件数x为10的正整数倍．
（1）当100≤x≤300时，y与x的函数关系式为 ．
（2）某零售商到此服装厂一次性批发A品牌服装200件，需要支付多少元？
（3）零售商到此服装厂一次性批发A品牌服装x（100≤x≤400）件，服装厂的利润为w元，问：x为何值时，w最大？最大值是多少？
【分析】（1）利用待定系数法求出一次函数解析式即可；
（2）当x＝200时，代入y=-110x+110，确定批发单价，根据总价＝批发单价×200，进而求出答案；
（3）首先根据服装厂获利w元，当100≤x≤300且x为10整数倍时，得出w与x的函数关系式，进而得出最值，再利用当300＜x≤400时求出最值，进而比较得出即可．
【解析】（1）当100≤x≤300时，设y与x的函数关系式为：y＝kx+b，根
据题意得出：100k+b=100300k+b=80，解得：k=-110b=110，∴y与x的函数关系式为：y=-110x+110，
（2）当x＝200时，y＝﹣20+110＝90，∴90×200＝18000（元），
答：某零售商一次性批发A品牌服装200件，需要支付18000元；
（3）分两种情况：
①当100≤x≤300时，w＝（-110x+110﹣71）x=-110x2+39x=-110（x﹣195）2+3802.5，
∵批发件数x为10的正整数倍，
∴当x＝190或200时，w有最大值是：-110（200﹣195）2+3802.5＝3800；
②当300＜x≤400时，w＝（80﹣71）x＝9x，
当x＝400时，w有最大值是：9×400＝3600，
∴一次性批发A品牌服装x（100≤x≤400）件时，x为190元或200元时，w最大，最大值是3800元．
【小结】此题主要考查了二次函数的应用，待定系数法求一次函数解析式以及二次函数最值求法等知识，利用x的取值范围不同得出函数解析式是解题关键．
变式39 某公司销售一种商品，成本为每件30元，经过市场调查发现，该商品的日销售量y（件）与销售单价x（元）是一次函数关系，其销售单价、日销售量的三组对应数值如下表：
销售单价x（元）
40
60
80
日销售量y（件）
80
60
40
（1）直接写出y与x的关系式 ；
（2）求公司销售该商品获得的最大日利润；
（3）销售一段时间以后，由于某种原因，该商品每件成本增加了10元，若物价部门规定该商品销售单价不能超过a元，在日销售量y（件）与销售单价x（元）保持（1）中函数关系不变的情况下，该商品的日销售最大利润是1500元，求a的值．
【分析】（1）根据题中所给的表格中的数据，利用待定系数法可得其关系式，也可以根据关系直接写出关系式；
（2）根据利润等于每件的利润乘以件数，再利用配方法求得其最值；
（3）根据题意，列出关系式，再分类讨论求最值，比较得到结果．
【解析】（1）设解析式为y＝kx+b，
将（40，80）和（60，60）代入，可得40k+b=8060k+b=60，解得：k=-1b=120，所以y与x的关系式为y＝﹣x+120，
（2）设公司销售该商品获得的日利润为w元，
w＝（x﹣30）y＝（x﹣30）（﹣x+120）＝﹣x2+150x﹣3600＝﹣（x﹣75）2+2025，
∵x﹣30≥0，﹣x+120≥0，∴30≤x≤120，
∵a＝﹣1＜0，∴抛物线开口向下，函数有最大值，∴当x＝75时，w最大＝2025，
答：当销售单价是75元时，最大日利润是2025元．
（3）w＝（x﹣30﹣10）（﹣x+120）＝﹣x2+160x﹣4800＝﹣（x﹣80）2+1600，
当w最大＝1500时，﹣（x﹣80）2+1600＝1500，解得x1＝70，x2＝90，
∵40≤x≤a，∴有两种情况，
①a＜80时，在对称轴左侧，w随x的增大而增大，∴当x＝a＝70时，w最大＝1500，
②a≥80时，在40≤x≤a范围内w最大＝1600≠1500，∴这种情况不成立，
∴a＝70．
【小结】该题考查的是有关函数的问题，涉及到的知识点有一次函数解析式的求解，二次函数的应用，在解题的过程中，注意正确找出等量关系是解题的关键，属于基础题目．
必考点14 二次函数的综合（存在性问题）
例题14 如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c的图象与x轴交于A（2，0），B（﹣8，0）两点，与y轴交于点C（0，﹣8）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点F是直线BC下方抛物线上的一点，当△BCF的面积最大时，求出点F的坐标；
（3）在（2）的条件下，是否存在这样的点Q（0，m），使得△BFQ为等腰三角形？如果有，请直接写出点Q的坐标；如果没有，请说明理由．
【分析】（1）将A，B，C的坐标代入函数y＝ax2+bx+c即可；
（2）如图1中，作FN∥y轴交BC于N，求出直线BC的解析式，设F（m，12m2+3m﹣8），则N（m，﹣m﹣8），再用含m的代数式表示出△BCF的面积，用函数的思想即可推出结论；
（3）此问要分BQ＝BF，QB＝QF，FB＝FQ三种情况进行讨论，分别用勾股定理可求出m的值，进一步写出点Q的坐标．
【解析】（1）将A（2，0），B（﹣8，0）C（0，﹣8）代入函数y＝ax2+bx+c，
得，4a+2b+c=064a-8b+c=00a+0b+c=-8，解得，a=12b=3c=-8，∴抛物线解析式为y=12x2+3x﹣8；
（2）如图1中，作FN∥y轴交BC于N，
将B（﹣8，0）代入y＝kx﹣8，得，k＝﹣1，∴yBC＝﹣x﹣8，
设F（m，12m2+3m﹣8），则N（m，﹣m﹣8），
∴S△FBC＝S△FNB+S△FNC=12FN×8＝4FN＝4[（﹣m﹣8）﹣（12m2+3m﹣8）]＝﹣2m2﹣16m＝﹣2（m+4）2+32，
∴当m＝﹣4时，△FBC的面积有最大值，此时F（﹣4，﹣12），∴点F的坐标是F（﹣4，﹣12）；
（3）存在点Q（0，m），使得△BFQ为等腰三角形，理由如下：
①如图2﹣1，当BQ＝BF时，由题意可列，82+m2＝（8﹣4）2+122，解得，m1＝46，m2＝﹣46，
∴Q1（0，46），Q2（0，﹣46）；
②如图2﹣2，当QB＝QF时，由题意可列，82+m2＝（m+12）2+42，解题，m＝﹣4，∴Q3（0，﹣4）；
③如图2﹣3，当FB＝FQ时，由题意可列，（8﹣4）2+122＝（m+12）2+42，解得，m1＝0，m2＝﹣24，
∴Q4（0，0），Q5（0，﹣24）；
设直线BF的解析式为y＝kx+b，
将B（﹣8，0），F（﹣4，﹣12）代入，得-8k+b=0-4k+b=-12，解得，k＝﹣3，b＝﹣24，∴yBF＝﹣3x﹣24，
当x＝0时，y＝﹣24，∴点B，F，Q重合，故Q5舍去，
∴点Q有坐标为（0，46）或（0，﹣46）或（0，﹣4）或（0，0）．
【小结】本题考查了待定系数法求解析式，三角形的最大面积，等腰三角形的存在性等，解题关键是要注意分讨论思想在解题过程中的运用．
变式40 如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+bx﹣4（a≠0）的图象与x轴交于点A（﹣2，0）与点C（8，0）两点，与y轴交于点B，其对称轴与x轴交于点D．
（1）直接写出B点的坐标；
（2）求该二次函数的解析式；
（3）若点P（m，n）是该二次函数图象上的一个动点（其中m＞0，n＜0），连结PB，PD，BD，AB．请问是否存在点P，使得△BDP面积恰好等于△ADB的面积？若存在请求出此时点P坐标，若不存在说明理由．
【分析】（1）利用待定系数法求抛物线的解析式，再确定B（0，﹣4）；
（2）利用（1）可以得到答案；
（3）连接OP，如图，设P（m，14m2-32m﹣4）（0＜m＜8），利用S△PBD＝S△POD+S△POB﹣S△BOD=12×3×（-14m2+32m+4）+12×4×m-12×3×4=12×5×4得到关于m的方程，然后解方程求出m可得到P点坐标．
【解析】（1）把A（﹣2，0）和C（8，0）代入y＝ax2+bx﹣4，得4a-2b-4=064a+8b-4=0，解得a=14b=-32，
∴抛物线的解析式为y=14x2-32x﹣4；当x＝0时，y=14x2-32x﹣4＝﹣4，则B（0，﹣4），
（2）由（1）知，抛物线的解析式为y=14x2-32x﹣4；
（3）存在．∵y=14x2-32x﹣4=14（x﹣3）2-254，∴抛物线的对称轴为直线x＝3，∴D（3，0）．
由（1）知，B（0，﹣4）．连接OP，如图，设P（m，14m2-32m﹣4）（0＜m＜8），
∵S△PBD＝S△POD+S△POB﹣S△BOD，S△ABD=12×5×4＝10，
而△BDP的面积恰好等于△ADB的面积，∴12×3×（-14m2+32m+4）+12×4×m-12×3×4＝10，
整理得3m2﹣34m+80＝0，解得m1=103，m2＝8（舍去），∴P点坐标为（103，-569）．
【小结】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了待定系数法求抛物线解析式和二次函数性质．
变式41 如图，抛物线过A（1，0）、B（﹣3，0），C（0，﹣3）三点，直线AD交抛物线于点D，点D的横坐标为﹣2，点P（m，n）是线段AD上的动点，过点P的直线垂直于x轴，交抛物线于点Q．
（1）求直线AD及抛物线的解析式；
（2）求线段PQ的长度l与m的关系式，m为何值时，PQ最长？
（3）在平面内是否存在整点（横、纵坐标都为整数）R，使得P、Q、D、R为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点R的坐标；若不存在，说明理由．
【分析】（1）抛物线y＝ax2+bx﹣3过A（1，0），B（﹣3，0），C（0，﹣3），代入可求出抛物线的解析式，点D在抛物线上且横坐标为﹣2，可求点D的坐标，根据A、D两点坐标，用待定系数法可求直线AD的解析式；
（2）点P在AD上，点Q在抛物线上，当横坐标为m时，相应的纵坐标可以根据解析式表示出来，而PQ的长l就是P点、Q点纵坐标的差，于是可以得到l与m的函数关系式，再依据函数的最值，可求m为何值时，PQ最长，PQ的最大值也能求出；
（3）使P，Q，D，R为顶点的四边形是平行四边形，可以分两种情况：一是PQ为一边时，点R必在直线x＝﹣2上，再根据PQ为最大值以下的整数值，得到PQ的整数值，在直线x＝﹣2上可以找到点R的位置，确定点R的坐标，得出在点D上方存在，在点D下方也存在；二是PQ为一条对角线时，根据平行四边形的性质，PQ与DR互相平分，此时R与C 重合．
【解析】（1）设抛物线的解析式为y＝ax2+bx+c，将A（1，0），B（﹣3，0）C（0，﹣3）
代入y＝ax2+bx+c得：a+b+c=09a-3b+c=0c=-3，解得：a=1b=2c=-3，∴抛物线的解析式为：y＝x2+2x﹣3，
当x＝﹣2时，y＝（﹣2）2﹣4﹣3＝﹣3，∴D（﹣2，﹣3），
设直线AD的解析式为y＝kx+b，将A（1，0），D（﹣2，﹣3）代入得：k+b=0-2k+b=-3 解得：k=1b=-1，
∴直线AD的解析式为y＝x﹣1；
因此直线AD的解析式为y＝x﹣1，抛物线的解析式为：y＝x2+2x﹣3．
（2）∵点P在直线AD上，Q抛物线上，P（m，n），
∴n＝m﹣1 Q（m，m2+2m﹣3）
∴PQ的长l＝（m﹣1）﹣（m2+2m﹣3）＝﹣m2﹣m+2 （﹣2≤m≤1）
∴当m=--1-1×2=12时，PQ的长l最大＝﹣（-12）2﹣（-12）+2=94．
答：线段PQ的长度l与m的关系式为：l＝﹣m2﹣m+2 （﹣2≤m≤1）
当m=-12时，PQ最长，最大值为94．
（3）①若PQ为平行四边形的一边，则R一定在直线x＝﹣2上，如图：
∵PQ的长为0＜PQ≤94的整数，∴PQ＝1或PQ＝2，
当PQ＝1时，则DR＝1，此时，在点D上方有R1（﹣2，﹣2），在点D下方有R2（﹣2，﹣4）；
当PQ＝2时，则DR＝2，此时，在点D上方有R3（﹣2，﹣1），在点D下方有R4（﹣2，﹣5）；
②若PQ为平行四边形的一条对角线，则PQ与DR互相平分，
当PQ＝1时，即：x﹣1﹣（x2+2x﹣3）＝1，此时x不是整数，
当PQ＝2时，即x﹣1﹣（x2+2x﹣3）＝2，此时x1＝﹣1，x2＝0；当x1＝﹣1，R与点C重合，即R5（0，﹣3），当x2＝0；此时R6（2，﹣1）
综上，符合条件点R有：R1（﹣2，﹣2），R2（﹣2，﹣4），R3（﹣2，﹣1），R4（﹣2，﹣5），R5（0，﹣3），
R6（2，﹣1）．
【小结】本题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法求函数的解析式，二次函数的性质，平行四边形的性质等知识，应用分类讨论思想和数形结合思想是解题的关键．
变式42 如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标为（2，﹣1），图象与y轴交于点C（0，3），与x轴交于A、B两点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）设抛物线对称轴与直线BC交于点D，连接AC、AD，点E为直线BC上的任意一点，过点E作x轴的垂线与抛物线交于点F，问是否存在点E使△DEF为直角三角形？若存在，求出点E坐标，若不存在，请说明理由．
【分析】（1）可设抛物线解析式为顶点式，把C点坐标代入可求得抛物线解析式；
（2）根据题意可分∠DFE＝90°和∠EDF＝90°两种情况，当∠DFE＝90°时，可知DF∥x轴，则可求得E点纵坐标，代入抛物线解析式可求得E点坐标；当∠EDF＝90°时，可求得直线AD解析式，联立直线AD和抛物线解析式可求得点E的横坐标，代入直线BC可求得点E的坐标．
【解析】（1）∵抛物线的顶点坐标为（2，﹣1），
∴可设抛物线解析式为y＝a（x﹣2）2﹣1（a≠0），
把C（0，3）代入可得a（0﹣2）2﹣1＝3，解得a＝1，∴抛物线解析式为y＝（x﹣2）2﹣1＝x2﹣4x+3；
（2）在y＝x2﹣4x+3中，令y＝0可得x2﹣4x+3＝0，解得x＝1或x＝3，∴A（1，0），B（3，0），
设直线BC解析式为y＝kx+3，把B（3，0）代入得：3k+3＝0，解得k＝﹣1，∴直线BC解析式为y＝﹣x+3，
由（1）可知抛物线的对称轴为x＝2，此时y＝﹣2+3＝1，∴D（2，1），∴AD2＝2，AC2＝10，CD2＝8，
∵AD2+CD2＝AC2，∴∠ADC＝90°，
由题意知EF∥y轴，则∠FED＝∠OCB≠90°，
∴△DEF为直角三角形，分∠DFE＝90°和∠EDF＝90°两种情况，
①当∠DFE＝90°时，即DF∥x轴，则D、F的纵坐标相同，∴F点纵坐标为1，
∵点F在抛物线上，∴x2﹣4x+3＝1，解得x＝2±2，即点E的横坐标为2±2，
∵点E在直线BC上，∴当x＝2+2时，y＝﹣x+3＝1-2，
当x＝2-2时，y＝﹣x+3＝1+2，
∴E点坐标为（2+2，1-2）或（2-2，1+2）；
②当∠EDF＝90°时，且∠ADC＝90°，∴点F在直线AD上，
∵A（1，0），D（2，1），∴直线AD解析式为y＝x﹣1，∴直线AD与抛物线的交点即为F点，
联立直线AD与抛物线解析式有x2﹣4x+3＝x﹣1，解得x＝1或x＝4，
当x＝1时，y＝﹣x+3＝2，当x＝4时，y＝﹣x+3＝﹣1，
∴E点坐标为（1，2）或（4，﹣1），
综上可知存在满足条件的点E，其坐标为（2+2，1-2）或（2-2，1+2）或（1，2）或（4，﹣1）．
【小结】本题为二次函数的综合应用，涉及待定系数法，二次函数的顶点式，直角三角形的判定及性质，方程思想及分类讨论思想等知识点．在（1）中注意抛物线三种形式的解析式的灵活运用，在（2）中确定出点E的位置是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性较强，难度适中．
必考点1 二次函数的概念
掌握二次函数的定义：一般地，形如y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数．其中x、y是变量，a、b、c是常量，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项．y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）也叫做二次函数的一般形式．
例题1 已知函数：①y＝2x﹣1；②y＝﹣2x2﹣1；③y＝3x3﹣2x2；④y＝2x2﹣x﹣1；⑤y＝ax2+bx+c，其中二次函数的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】根据二次函数定义：一般地，形如y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数进行分析即可．
【解析】②④是二次函数，共2个，故选：B．
【小结】此题主要考查了二次函数的定义，关键是掌握y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）是二次函数，注意a≠0这一条件．
变式1 下列各式中，一定是二次函数的有（ ）
①y2＝2x2﹣4x+3；②y＝4﹣3x+7x2；③y=1x2-3x+5；④y＝（2x﹣3）（3x﹣2）；⑤y＝ax2+bx+c；⑥y＝（n2+1）x2﹣2x﹣3；⑦y＝m2x2+4x﹣3．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】整理一般形式后，根据二次函数的定义判定即可．
【解析】①y2＝2x2﹣4x+3，不符合二次函数的定义，不是二次函数；
②y＝4﹣3x+7x2，是二次函数；
③y=1x2-3x+5，分母中含有自变量，不是二次函数；
④y＝（2x﹣3）（3x﹣2）＝6x2﹣13x+6，是二次函数；
⑤y＝ax2+bx+c，含有四个自变量，不是二次函数；
⑥y＝（n2+1）x2﹣2x﹣3，含有两个自变量，不是二次函数；
⑦y＝m2x2+4x﹣3，含有两个自变量，不一定是二次函数．
∴只有②④一定是二次函数．故选：B．
【小结】本题考查二次函数的定义．解题的关键是掌握二次函数的定义和二次函数的一般形式．
变式2 若y＝（m2+m）xm2﹣2m﹣1﹣x+3是关于x的二次函数，则m＝ ．
【分析】根据二次函数的定义求解即可．
【解析】由题意，得m2﹣2m﹣1＝2，且m2+m≠0，解得m＝3，
【小结】本题考查了二次函数，利用二次函数的定义是解题关键，注意二次项的系数不等于零．
变式3 函数y＝（m2﹣3m+2）x2+mx+1﹣m，则当m＝ 时，它为正比例函数；当m＝ 时，它为一次函数；当m 时，它为二次函数．
【分析】首先解方程，进而利用正比例函数、一次函数与二次函数的定义得出答案．
【解析】m2﹣3m+2＝0，则（m﹣1）（m﹣2）＝0，解得：m1＝1，m2＝2，
故m≠1且m≠2时，它为二次函数；当m＝1或2时，它为一次函数，当m＝1时，它为正比例函数；
故答案为：1；1或2；m≠1且m≠2
【小结】此题主要考查了一次函数与二次函数的定义，正确解方程是解题关键．
必考点2 一次函数与二次函数图象
判断一次函数与二次函数图象的问题关键在于掌握数形结合的思想，通过图象可以逐一去判断一次函数及二次函数的系数关系．
例题2 一次函数y＝acx+b与二次函数y＝ax2+bx+c在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）
A． B． C． D．
【分析】先由二次函数y＝ax2+bx+c的图象得到字母系数的正负，再与一次函数y＝acx+b的图象相比较看是否一致．
【解析】A、由抛物线可知，a＞0，b＜0，c＞0，则ac＞0，由直线可知，ac＞0，b＞0，故不合题意；
B、由抛物线可知，a＞0，b＞0，c＞0，则ac＞0，由直线可知，ac＞0，b＞0，故本选项符合题意；
C、由抛物线可知，a＜0，b＞0，c＞0，则ac＜0，由直线可知，ac＜0，b＜0，故本选项不合题意；
D、由抛物线可知，a＜0，b＜0，c＞0，则ac＜0，由直线可知，ac＞0，b＞0，故本选项不合题意．
故选：B．
【小结】本题考查二次函数和一次函数的图象，解题的关键是明确一次函数和二次函数性质．
变式4 在同一平面直角坐标系内，二次函数y＝ax2+bx+b（a≠0）与一次函数y＝ax+b的图象可能是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据二次函数图象的开口以及对称轴与y轴的关系即可得出a、b的正负，由此即可得出一次函数图象经过的象限，再与函数图象进行对比即可得出结论．
【解析】A、二次函数图象开口向上，对称轴在y轴右侧，∴a＞0，b＜0，
∴一次函数图象应该过第一、三、四象限，且与二次函数交于y轴负半轴的同一点，故A错误；
B、∵二次函数图象开口向下，对称轴在y轴左侧，∴a＜0，b＜0，
∴一次函数图象应该过第二、三、四象限，且与二次函数交于y轴负半轴的同一点，故B错误；
C、二次函数图象开口向上，对称轴在y轴右侧，∴a＞0，b＜0，
∴一次函数图象应该过第一、三、四象限，且与二次函数交于y轴负半轴的同一点，故C正确；
∵D、二次函数图象开口向上，对称轴在y轴右侧，∴a＞0，b＜0，
∴一次函数图象应该过第一、三、四象限，且与二次函数交于y轴负半轴的同一点，故D错误；
故选：C．
【小结】本题考查了二次函数的图象以及一次函数图象与系数的关系，根据a、b的正负确定一次函数图象经过的象限是解题的关键．
变式5 已知a，b是非零实数，|a|＞|b|，在同一平面直角坐标系中，二次函数y1＝ax2+bx与一次函数y2＝ax+b的大致图象不可能是（ ）
A． B． C．D．
【分析】根据二次函数y＝ax2+bx与一次函数y＝ax+b（a≠0）可以求得它们的交点坐标，然后根据一次函数的性质和二次函数的性质，由函数图象可以判断a、b的正负情况，从而可以解答本题．
【解析】y=ax2+bxy=ax+b解得x=-bay=0或x=1y=a+b．
故二次函数y＝ax2+bx与一次函数y＝ax+b（a≠0）在同一平面直角坐标系中的交点在x轴上为（-ba，0）或点（1，a+b）．
在A中，由一次函数图象可知a＞0，b＞0，二次函数图象可知，a＞0，b＞0，-ba＜0，a+b＞0，故有可能；
在B中，由一次函数图象可知a＞0，b＜0，二次函数图象知，a＞0，b＜0，由|a|＞|b|，则a+b＞0，有可能；
在C中，由一次函数图象可知a＜0，b＜0，二次函数图象可知，a＜0，b＜0，a+b＜0，故选项C有可能；
在D中，由一次函数图象可知a＜0，b＞0，二次函数图象知，a＜0，b＞0，由|a|＞|b|，则a+b＜0，不可能；
故选：D．
【小结】本题考查二次函数的图象、一次函数的图象，解题的关键是明确二次函数与一次函数图象的特点．
变式6 下面所示各图是在同一直角坐标系内，二次函数y＝ax2+（a+c）x+c与一次函数y＝ax+c的大致图象．正确的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据题意和二次函数与一次函数的图象的特点，可以判断哪个选项符合要求，从而解答本题．
【解析】令ax2+（a+c）x+c＝ax+c，解得，x1＝0，x2=-ca，
∴二次函数y＝ax2+（a+c）x+c与一次函数y＝ax+c的交点为（0，c），（-ca，0），
选项A中二次函数y＝ax2+（a+c）x+c中a＞0，c＜0，而一次函数y＝ax+c中a＜0，c＞0，不符题意，
选项B中二次函数y＝ax2+（a+c）x+c中a＞0，c＜0，而一次函数y＝ax+c中a＞0，c＜0，两个函数的交点不符合求得的交点的特点，故选项B不符题意，
选项C中二次函数y＝ax2+（a+c）x+c中a＜0，c＞0，而一次函数y＝ax+c中a＜0，c＞0，交点符合求得的交点的情况，故选项C符合题意，
选项D中二次函数y＝ax2+（a+c）x+c中a＜0，c＞0，而一次函数y＝ax+c中a＞0，c＜0，不符题意，
故选：C．
【小结】本题考查一次函数的图象、二次函数的图象，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
必考点3 二次函数图象上点的坐标特征
二次函数图象上点的坐标特征，解题时，需熟悉抛物线的有关性质：抛物线的开口向上，则抛物线上的点离对称轴越远，对应的函数值就越大．
例题3 已知抛物线y＝ax2﹣2ax+b（a＞0）的图象上三个点的坐标分别为A（﹣1，y1），B（2，y2），C（4，y3），则y1，y2，y3的大小关系为（ ）
A．y3＞y1＞y2 B．y3＞y2＞y1 C．y2＞y1＞y3 D．y2＞y3＞y1
【分析】求出抛物线的对称轴，求出A关于对称轴的对称点的坐标，根据抛物线的开口方向和增减性，即可求出答案．
【解析】y＝ax2﹣2ax+b（a＞0），对称轴是直线x=--2a2a=1，
即二次函数的开口向上，对称轴是直线x＝1，
即在对称轴的右侧y随x的增大而增大，
A点关于直线x＝1的对称点是D（3，y1），
∵2＜3＜4，∴y3＞y1＞y2，故选：A．
【小结】本题考查了学生对二次函数图象上点的坐标特征的理解和运用，主要考查学生的观察能力和分析能力，本题比较典型，但是一道比较容易出错的题目．
变式7 已知抛物线y＝ax2+bx﹣2（a＞0）过A（﹣2，y1），B（﹣3，y2），C（1，y2），D（3，y3）四点，则y1，y2，y3的大小关系是（ ）
A．y1＞y2＞y3 B．y2＞y1＞y3 C．y1＞y3＞y2 D．y3＞y2＞y1
【分析】由题意可知抛物线开口向上，对称轴为x＝﹣1，然后根据点A（﹣2、y1）、B（﹣3，y2）、C（1，y2）、D（3，y3）离对称轴的远近可判断y1、y2、y3大小关系．．
【解析】抛物线y＝ax2+bx﹣2（a＞0）过A（﹣2，y1），B（﹣3，y2），C（1，y2），D（3，y3）四点，
∴抛物线开口向上，对称轴为x=-3+12=-1．
∵|﹣1﹣（﹣2）|＜|1+1|＜|3+1|∴y3＞y2＞y1，故选：D．
【小结】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，解题时，需熟悉抛物线的有关性质：抛物线的开口向上，则抛物线上的点离对称轴越远，对应的函数值就越大．
变式8 若二次函数y＝a2x2﹣bx﹣c的图象，过不同的六点A（﹣1，n）、B（5，n﹣1）、C（6，n+1）、D（2，y1）、E（2，y2）、F（4，y3），则y1、y2、y3的大小关系是（ ）
A．y1＜y2＜y3 B．y1＜y3＜y2 C．y2＜y3＜y1 D．y2＜y1＜y3
【分析】由解析式可知抛物线开口向上，点A（﹣1，n）、B（5，n﹣1）、C（6，n+1）求得抛物线对称轴所处的范围，然后根据二次函数的性质判断可得．
【解析】∵二次函数y＝a2x2﹣bx﹣c的图象过点A（﹣1，n）、B（5，n﹣1）、C（6，n+1），
∴抛物线的对称轴直线x满足5＜2x+1＜6，即2＜x＜2.5，抛物线的开口向上，
∴抛物线上离对称轴水平距离越大的点，对应函数值越大，
∵D（2，y1）、E（2，y2）、F（4，y3），则y2＜y1＜y3，故选：D．
【小结】本题主要考查二次函数图象上点的坐标特征，根据题意得到抛物线的对称轴和开口方向是解题的关键．
变式9 已知抛物线y=m2x2﹣mx+c（m＞0）过两点A（x0，y0）和B（x1，y1），若x0＜1＜x1，且x0+x1＝3．则y0与y1的大小关系为（ ）
A．y0＜y1 B．y0＝y1 C．y0＞y1 D．不能确定
【分析】由抛物线解析式可知开口向上，对称轴为直线x＝1，然后根据二次函数的性质判断即可．
【解析】∵抛物线y=m2x2﹣mx+c（m＞0）中，m＞0，
∴抛物线开口向上，对称轴为x=--m2×m2=1，
∵x0＜1＜x1，∴A点在对称轴的左侧，B点在对称轴的右侧，
若y0＝y1，则x1﹣1＝1﹣x0，此时x0+x1＝2，不合题意；
若y0＞y1，则x1﹣1＜1﹣x0，此时x0+x1＜2，不合题意；
若y0＜y1，则x1﹣1＞1﹣x0，此时x0+x1＞2，符合题意；
故选：A．
【小结】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质，由点到对称轴的距离与函数值的大小的关系是解题的关键．
必考点4 二次函数图象与几何变换
解决二次函数图象与几何变换类型题，需要掌握平移的规律：左加右减，上加下减，此类题目，利用顶点的变化求解更简便．
例题4 抛物线y＝﹣（x﹣1）2﹣3是由抛物线y＝﹣x2经过怎样的平移得到的（ ）
A．先向右平移1个单位，再向上平移3个单位 B．先向左平移1个单位，再向下平移3个单位
C．先向右平移1个单位，再向下平移3个单位 D．先向左平移1个单位，再向上平移3个单位
【分析】找到两个抛物线的顶点，根据抛物线的顶点即可判断是如何平移得到．
【解析】原抛物线的顶点为（0，0），新抛物线的顶点为（1，﹣3），
∴是抛物线y＝﹣x2向右平移1个单位，向下平移3个单位得到，故选：C．
【小结】本题考查二次函数的图象与几何变换，熟知“上加下减，左加右减”的法则是解答此题的关键．
变式10 将抛物线y＝x2﹣4x﹣4向左平移3个单位，再向上平移3个单位，得到抛物线的表达式为（ ）
A．y＝（x+1）2﹣13 B．y＝（x﹣5）2﹣5
C．y＝（x﹣5）2﹣13 D．y＝（x+1）2﹣5
【分析】先把抛物线y＝x2﹣4x﹣4化为顶点式的形式，再由二次函数平移的法则即可得出结论．
【解析】∵y＝x2﹣4x﹣4＝（x﹣2）2﹣8，
∴将抛物线y＝x2﹣4x﹣4向左平移3个单位，再向上平移3个单位，得到抛物线的表达式为y＝（x﹣2+3）2﹣8+3，即y＝（x+1）2﹣5．故选：D．
【小结】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知二次函数图象平移的法则“左加右减，上加下减”是解答此题的关键．
变式11 已知二次函数y＝（x+2）2﹣1向左平移h个单位，再向下平移k个单位，得到二次函数y＝（x+3）2﹣4，则h和k的值分别为（ ）
A．1，3 B．3，﹣4 C．1，﹣3 D．3，﹣3
【分析】根据“左加右减，上加下减”的规律进行解答即可．
【解析】∵抛物线y＝（x+2）2﹣1的顶点坐标是（﹣2，﹣1），则向左平移h个单位，再向下平移k个单位后的坐标为：（﹣2﹣h，﹣1﹣k），∴平移后抛物线的解析式为y＝（x+2+h）2﹣k﹣1．
又∵平移后抛物线的解析式为y＝（x+3）2﹣4．∴2+h＝3，﹣k﹣1＝﹣4，∴h＝1，k＝3，故选：A．
【小结】本题考查了二次函数图象与几何变换，熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减是解题的关键．
变式12 将抛物线y＝（x﹣3）（x﹣5）先绕原点O旋转180°，再向右平移2个单位长度，所得抛物线的解析式为（ ）
A．y＝﹣x2﹣4x﹣3 B．y＝﹣x2﹣12x﹣35
C．y＝x2+12x+35 D．y＝x2+4x+3
【分析】先求出抛物线的解析式，先根据旋转的性质求出旋转后的顶点坐标，然后根据平移的性质求得平移后抛物线的顶点坐标；最后根据平移、旋转只改变图形的位置不改变图形的大小和形状利用顶点式解析式写出即可．
【解析】y＝（x﹣3）（x﹣5）＝（x﹣4）2﹣1．此时，该抛物线顶点坐标是（4，﹣1）．
将该抛物线绕坐标原点O旋转180°后的顶点坐标是（﹣4，1）．再向右平移2个单位长度后的顶点坐标是（﹣2，1）．
所以此时抛物线的解析式为：y＝﹣（x+2）2+1＝﹣x2﹣4x﹣3．故选：A．
【小结】本题考查了二次函数图象与几何变换，平移的规律：左加右减，上加下减，此类题目，利用顶点的变化求解更简便．
必考点5 二次函数图象与系数关系
二次函数图象与系数的关系：对于二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0），二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小．当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置． 当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左； 当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右；常数项c决定抛物线与y轴交点位置．
例题5 在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，现给以下结论：其中正确结论的个数有（ ）
①abc＜0；
②c+2a＜0；
③9a﹣3b+c＝0；
④a﹣b≥m（am+b）（m为实数）；
⑤4ac﹣b2＜0．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】由抛物线开口方向得到a＞0，利用抛物线的对称轴方程得到b＝2a＞0，由抛物线与y轴的交点在x轴的下方得到c＜0，则可对①进行判断；利用x＝1，a+b+c＝0得到c＝﹣3a，则c+2a＝﹣a，于是可对②进行判断；利用抛物线的对称性得到抛物线与x轴的另一个交点坐标为（﹣3，0），则可对③进行判断；由于x＝﹣1时，y有最小值，则可对④进行判断；利用抛物线与x轴有2个交点和判别式的意义可对⑤进行判断．
【解析】∵抛物线开口向上，∴a＞0，
∵抛物线的对称轴为直线x=-b2a=-1，∴b＝2a＞0，
∵抛物线与y轴的交点在x轴的下方，∴c＜0，∴abc＜0，所以①正确；
∵x＝1时，y＝0，∴a+b+c＝0，∴c＝﹣a﹣2a＝﹣3a，
∴c+2a＝﹣3a+2a＝﹣a＜0，所以②正确；
∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，抛物线与x轴的一个交点坐标为（1，0），
∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为（﹣3，0），
∴当x＝﹣3时，y＝0，即9a﹣3b+c＝0，所以③正确；
∵x＝﹣1时，y有最小值，∴a﹣b+c≤am2+bm+c（m为任意实数），
∴a﹣b≤m（am+b）（m为实数），所以④错误；
∵抛物线与x轴有2个交点，∴△＝b2﹣4ac＞0，即4ac﹣b2＜0，所以⑤正确．故选：D．
【小结】本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0），二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小．当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置．当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左； 当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右．常数项c决定抛物线与y轴交点位置：抛物线与y轴交于（0，c）．抛物线与x轴交点个数由△决定：△＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点；△＝b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．
变式13 二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象如图所示，①2a+b＝0；②若m为任意实数，则a+b≥am2+bm；③a﹣b+c＞0；④3a+c＜0；⑤若ax12+bx1＝ax22+bx2，且x1≠x2，则x1+x2＝2．其中正确的个数为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【分析】根据抛物线开口方向得a＜0，由抛物线对称轴为直线x=-b2a=1，得到b＝﹣2a＞0，即2a+b＝0，即可判断①；根据二次函数的性质得当x＝1时，函数有最大值a+b+c，即可判断②；根据抛物线的对称性得到抛物线与x轴的另一个交点在（﹣1，0）的右侧，则当x＝﹣1时，y＜0，所以a﹣b+c＜0，即可判断③；把b＝﹣2a代入a﹣b+c＜0可对④进行判断；把ax12+bx1＝ax22+bx2先移项，再分解因式得到（x1﹣x2）[a（x1+x2）+b]＝0，而x1≠x2，则a（x1+x2）+b＝0，即x1+x2=-ba，然后把b＝﹣2a代入计算得到x1+x2＝2可对⑤进行判断．
【解析】∵抛物线开口向下，∴a＜0，
∵抛物线对称轴为直线x=-b2a=1，∴b＝﹣2a＞0，即2a+b＝0，所以①正确；
∵抛物线对称轴为直线x＝1，∴函数的最大值为a+b+c，
∴a+b+c≥am2+bm+c，即a+b≥am2+bm，所以②正确；
∵抛物线与x轴的一个交点在（3，0）的左侧，而对称轴为直线x＝1，
∴抛物线与x轴的另一个交点在（﹣1，0）的右侧，∴当x＝﹣1时，y＜0，∴a﹣b+c＜0，所以③错误；
∵b＝﹣2a，a﹣b+c＜0，∴a+2a+c＜0，即3a+c＜0，所以④正确；
∵ax12+bx1＝ax22+bx2，∴ax12+bx1﹣ax22﹣bx2＝0，
∴a（x1+x2）（x1﹣x2）+b（x1﹣x2）＝0，∴（x1﹣x2）[a（x1+x2）+b]＝0，而x1≠x2，
∴a（x1+x2）+b＝0，即x1+x2=-ba，又∵b＝﹣2a，∴x1+x2＝2，所以⑤正确．
综上所述，正确的有①②④⑤共4个．故选：C．
【小结】本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0），二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小．当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置． 当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左； 当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右；常数项c决定抛物线与y轴交点位置．也考查了二次函数的性质．
变式14 抛物线y＝ax2+bx+c的顶点为D（﹣1，2），与x轴的一个交点A在点（﹣3，0）和（﹣2，0）之间，其部分图象如图，则以下结论：①b2﹣4ac＜0；②a+b+c＜0；③c﹣a＝2；④方程ax2+bx+c﹣2＝0有两个相等的实数根，其中正确结论的个数为 个．
【分析】由抛物线与x轴有两个交点得到b2﹣4ac＞0；有抛物线顶点坐标得到抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，则根据抛物线的对称性得抛物线与x轴的另一个交点在点（0，0）和（1，0）之间，所以当x＝1时，y＜0，则a+b+c＜0；由抛物线的顶点为D（﹣1，2）得a﹣b+c＝2，由抛物线的对称轴为直线x=-b2a=-1得b＝2a，所以c﹣a＝2；根据二次函数的最大值问题，当x＝﹣1时，二次函数有最大值为2，即只有x＝﹣1时，ax2+bx+c＝2，所以说方程ax2+bx+c﹣2＝0有两个相等的实数根．
【解析】∵抛物线与x轴有两个交点，∴b2﹣4ac＞0，所以①错误；
∵顶点为D（﹣1，2），∴抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，
∵抛物线与x轴的一个交点A在点（﹣3，0）和（﹣2，0）之间，
∴抛物线与x轴的另一个交点在点（0，0）和（1，0）之间，
∴当x＝1时，y＜0，∴a+b+c＜0，所以②正确；
∵抛物线的顶点为D（﹣1，2），∴a﹣b+c＝2，
∵抛物线的对称轴为直线x=-b2a=-1，∴b＝2a，∴a﹣2a+c＝2，即c﹣a＝2，所以③正确；
∵当x＝﹣1时，二次函数有最大值为2，即只有x＝﹣1时，ax2+bx+c＝2，
∴方程ax2+bx+c﹣2＝0有两个相等的实数根，所以④正确．
综上所述，共有3个正确结论，
【小结】本题考查了二次函数的图象与系数的关系，关键是掌握以下性质：二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象为抛物线，当a＞0，抛物线开口向上；对称轴为直线x=-b2a；抛物线与y轴的交点坐标为（0，c）；当b2﹣4ac＞0，抛物线与x轴有两个交点；当b2﹣4ac＝0，抛物线与x轴有一个交点；当b2﹣4ac＜0，抛物线与x轴没有交点
变式15 函数y＝x2+bx+c与y＝x的图象如图所示，有以上结论：
①b2﹣4c＞0；②b+c+1＝0；③3b+c+6＝0；④当1＜x＜3时，x2+（b﹣1）x+c＜0．正确的是 （填序号）
【分析】由函数y＝x2+bx+c与x轴无交点，可得b2﹣4c＜0；当x＝1时，y＝1+b+c＝1；当x＝3时，y＝9+3b+c＝3；当1＜x＜3时，二次函数值小于一次函数值，可得x2+bx+c＜x，继而可求得答案．
【解析】∵函数y＝x2+bx+c与x轴无交点，∴b2﹣4ac＜0；故①错误；
当x＝1时，y＝1+b+c＝1，故②错误；又∵当x＝3时，y＝9+3b+c＝3，∴3b+c+6＝0；③正确；
∵当1＜x＜3时，二次函数值小于一次函数值，∴x2+bx+c＜x，∴x2+（b﹣1）x+c＜0．故④正确．
故答案为③④．
【小结】本题考查了图象与二次函数系数之间的关系．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．
必考点6 二次函数与一元二次方程的关系
例题6 已知函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，那么关于x的方程ax2+bx+c+32=0的根的情况是（ ）
A．无实数根 B．有两个相等实数根 C．有两个异号实数根 D．有两个同号不等实数根
【分析】利用函数图象平移即可求解．
【解析】函数y＝ax2+bx+c向上平移32个单位得到y′＝ax2+bx+c+32，
而y′顶点的纵坐标为﹣2+32=-12，故y′＝ax2+bx+c+32与x轴有两个交点，且两个交点在x轴的右侧，
故ax2+bx+c+32=0有两个同号不相等的实数根，故选：D．
【小结】本题考查的是抛物线与x轴的交点，用平移的方法求解是此类题目的基本解法．
变式16 已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过（﹣3，0）与（1，0）两点，关于x的方程ax2+bx+c+m＝0（m＞0）有两个根，其中一个根是3．则关于x的方程ax2+bx+c+n＝0 （0＜n＜m）有两个整数根，这两个整数根是（ ）
A．﹣2或0 B．﹣4或2 C．﹣5或3 D．﹣6或4
【分析】根据题目中的函数解析式和二次函数与一元二次方程的关系，可以得到关于x的方程ax2+bx+c+n＝0 （0＜n＜m）的两个整数根，从而可以解答本题．
【解析】∵二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过（﹣3，0）与（1，0）两点，
∴当y＝0时，0＝ax2+bx+c的两个根为﹣3和1，函数y＝ax2+bx+c的对称轴是直线x＝﹣1，
又∵关于x的方程ax2+bx+c+m＝0（m＞0）有两个根，其中一个根是3．
∴方程ax2+bx+c+m＝0（m＞0）的另一个根为﹣5，函数y＝ax2+bx+c的图象开口向下，
∵关于x的方程ax2+bx+c+n＝0 （0＜n＜m）有两个整数根，
∴这两个整数根是﹣4或2，故选：B．
【小结】本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数与一元二次方程的关系，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的关系解答．
变式17 已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点（x1，0）与（x2，0），其中x1＜x2，方程ax2+bx+c﹣a＝0的两根为m、n（m＜n），则下列判断正确的是（ ）
A．m＜n＜x1＜x2 B．m＜x1＜x2＜n C．x1+x2＞m+n D．b2﹣4ac≥0
【分析】把方程ax2+bx+c﹣a＝0的两根为m、n（m＜n），理解为二次函数y＝ax2+bx+c与直线y＝a的交点的横坐标分别为m、n，然后讨论a＞0和a＜0，利用图象可确定m、n、x1、x2的大小．
【解析】当a＞0，∵方程ax2+bx+c﹣a＝0的两根为m、n，
∴二次函数y＝ax2+bx+c与直线y＝a的交点在x轴上方，它们的横坐标分别为m、n，∴m＜x1＜x2＜n；
当a＜0，∵方程ax2+bx+c﹣a＝0的两根为m、n，
∴二次函数y＝ax2+bx+c与直线y＝a的交点在x轴下方，它们的横坐标分别为m、n，∴m＜x1＜x2＜n．
故选：B．
【小结】本题考查了抛物线与x轴的交点：对于二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0），△＝b2﹣4ac决定抛物线与x轴的交点个数：△＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点；△＝b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．也考查了二次函数的性质．
变式18 对于一个函数，自变量x取c时，函数值y等于0，则称c为这个函数的零点．若关于x的二次函数y＝﹣x2﹣10x+m（m≠0）有两个不相等的零点x1，x2（x1＜x2），关于x的方程x2+10x﹣m﹣2＝0有两个不相等的非零实数根x3，x4（x3＜x4），则下列关系式一定正确的是（ ）
A．0＜x1x3＜1 B．x1x3＞1 C．0＜x2x4＜1 D．x2x4＞1
【分析】根据题意画出关于x的二次函数y＝﹣x2﹣10x+m（m≠0）的图象以及直线y＝﹣2，根据图象即可判断．
【解析】由题意关于x的方程x2+10x﹣m﹣2＝0有两个不相等的非零实数根x3，x4（x3＜x4），就是关于x的二次函数y＝﹣x2﹣10x+m（m≠0）与直线y＝﹣2的交点的横坐标，
画出函数的图象草图如下：
∵抛物线的对称轴为直线x=--102×(-1)=-5，∴x3＜x1＜﹣5，
由图象可知：0＜x1x3＜1一定成立，故选：A．
【小结】本题考查了抛物线与x轴的交点，二次函数图象上点的坐标特征，利用图象判断是解题的关键．
必考点7 二次函数与解不等式
二次函数与不等式（组）：对于二次函数y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）与不等式的关系，利用两个函数图象在直角坐标系中的上下位置关系求自变量的取值范围，可作图利用交点直观求解，也可把两个函数解析式列成不等式求解．
例题7 数形结合是一种重要的数学思想方法，我们可以借助函数的图象求某些较为复杂不等式的解集．比如，求不等式x﹣1＞2x的解集，可以先构造两个函数y1＝x﹣1和y2=2x，再在同一平面直角坐标系中画出这两个函数的图象（如图1所示），通过观察所画函数的图象可知：它们交于A（﹣1，﹣2）、B（2，1）两点，当﹣1＜x＜0或x＞2时，y1＞y2，由此得到不等式x﹣1＞2x的解集为﹣1＜x＜0或x＞2．
根据上述说明，解答下列问题：
（1）要求不等式x2+3x＞x+3的解集，可先构造出函数y1＝x2+3x和函数y2＝ ；
（2）图2中已作出了函数y1＝x2+3x的图象，请在其中作出函数y2的图象；
（3）观察所作函数的图象，求出不等式x2+3x＞x+3的解集．
【分析】（1）由题干材料中的方法可得答案；
（2）根据y2＝x+3过点（﹣3，0）和（1，4），利用两点确定一条直线画出函数的图象即可；
（3）根据（2）中图象即可得出答案．
【解析】（1）根据题意可得y2＝x+3；（2）作出函数y2的图象如下：
（3）∵由图可知：函数y1和y2的图象交于（1，4）和（﹣3，0）两点，当x＜﹣3或x＞1时，y1＞y2，
∴不等式x2+3x＞x+3的解集为x＜﹣3或x＞1．
【小结】本题考查了一次函数、二次函数与不等式，数形结合并明确函数与不等式的关系是解题的关键
变式19 二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，且a≠0）和一次函数y＝kx+m（k，m为常数，且k≠0）的图象如图所示，交于点M （-32，2）、N （2，﹣2），则关于x的不等式ax2+bx+c﹣kx﹣m＜0的解集是 ．
【分析】根据函数图象，写出一次函数图象在抛物线上方所对应的自变量的范围即可．
【解析】当-32＜x＜2时，ax2+bx+c＜kx+m，
所以不等式ax2+（b﹣k）x+c﹣m＜0的解集为-32＜x＜2．
【小结】本题考查了二次函数与不等式（组）：对于二次函数y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）与不等式的关系，利用两个函数图象在直角坐标系中的上下位置关系求自变量的取值范围，可作图利用交点直观求解，也可把两个函数解析式列成不等式求解．
变式20 如图，二次函数y＝（x+2）2+m的图象与y轴交于点C，与x轴的一个交点为A（﹣1，0），点B在抛物线上，且与点C关于抛物线的对称轴对称．已知一次函数y＝kx+b的图象经过A，B两点，根据图象，则满足不等式（x+2）2+m≤kx+b的x的取值范围是 ．
【分析】将点A代入抛物线中可求m＝﹣1，则可求抛物线的解析式为y＝x2+4x+3，对称轴为x＝﹣2，则满足（x+2）2+m≤kx+b的x的取值范围为﹣4≤x≤﹣1．
【解析】抛物线y＝（x+2）2+m经过点A（﹣1，0），∴m＝﹣1，∴抛物线解析式为y＝x2+4x+3，
∴点C坐标（0，3），∴对称轴为x＝﹣2，
∵B与C关于对称轴对称，点B坐标（﹣4，3），
∴满足（x+2）2+m≤kx+b的x的取值范围为﹣4≤x≤﹣1，
【小结】考查二次函数的图象及性质；熟练掌握二次函数解析求法，二次函数图象的性质是解题的关键．
变式21 【变式7-3】（2020秋•张家港市期末）已知二次函数y＝ax2+bx+c与一次函数y＝x的图象如图所示，则不等式ax2+（b﹣1）x+c＜0的解集为 ．
【分析】根据当1＜x＜3时，二次函数值小于一次函数值，可得ax2+bx+c＜x，继而可求得答案．
【解析】∵当1＜x＜3时，二次函数值小于一次函数值，
∴ax2+bx+c＜x，∴ax2+（b﹣1）x+c＜0．
∴不等式ax2+（b﹣1）x+c＜0的解集为1＜x＜3，
故答案为1＜x＜3．
【小结】主要考查二次函数与不等式（组），此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．
必考点8 构建二次函数解决最值问题
例题8 如图，P是抛物线y＝x2﹣x﹣4在第四象限的一点，过点P分别向x轴和y轴作垂线，垂足分别为A、B，则四边形OAPB周长的最大值为 ．
【分析】设P（x，x2﹣x﹣4）根据矩形的周长公式得到C＝﹣2（x﹣1）2+10．根据二次函数的性质来求最值即可．
【解析】设P（x，x2﹣x﹣4），
四边形OAPB周长＝2PA+2OA＝﹣2（x2﹣x﹣4）+2x＝﹣2x2+4x+8＝﹣2（x﹣1）2+10，
当x＝1时，四边形OAPB周长有最大值，最大值为10．
【小结】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．也考查了二次函数的性质．
变式22 如图，抛物线y＝x2+5x+4与x轴交于A、B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C，连接AC，点P在线段AC上，过点P作x轴的垂线交抛物线于点Q，则线段PQ长的最大值为 ．
【分析】先解方程x2+5x+4＝0得A（﹣4，0），再确定C（0，4），则可利用待定系数法求出直线AC的解析式为y＝x+4，设P（t，t+4）（﹣4≤t≤0），Q（t，t2+5t+4），所以PQ＝t+4﹣（t2+5t+4），然后利用二次函数的性质解决问题．
【解析】当y＝0时，x2+5x+4＝0，解得x1＝﹣4，x2＝﹣1，则A（﹣4，0），B（﹣1，0），
当x＝0时，y＝x2+5x+4＝4，则C（0，4），
设直线AC的解析式为y＝kx+b，
把A（﹣4，0），C（0，4）代入得-4k+b=0b=4，解得k=1b=4，
∴直线AC的解析式为y＝x+4，
设P（t，t+4）（﹣4≤t≤0），则Q（t，t2+5t+4），
∴PQ＝t+4﹣（t2+5t+4）＝﹣t2﹣4t＝﹣（t+2）2+4，
∴当t＝﹣2时，PQ有最大值，最大值为4．故答案为4．
【小结】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了二次函数的性质．
变式23 如图，开口向下的抛物线与x轴交于点A（﹣1，0）、B（2，0），与y轴交于点C（0，4），点P是第一象限内抛物线上的一点．
（1）求该抛物线所对应的函数解析式；
（2）设四边形CABP的面积为S，求S的最大值．
【分析】（1）设二次函数表达式为y＝a（x+1）（x﹣2），再将点C代入，求出a值即可；
（2）连接OP，设点P坐标为（m，﹣2m2+2m+4），m＞0，利用S四边形CABP＝S△OAC+S△OCP+S△OPB得出S关于m的表达式，再求最值即可．
【解析】（1）∵A（﹣1，0），B（2，0），C（0，4），
设抛物线表达式为：y＝a（x+1）（x﹣2），将C代入得：4＝﹣2a，解得：a＝﹣2，
∴该抛物线的解析式为：y＝﹣2（x+1）（x﹣2）＝﹣2x2+2x+4；
（2）连接OP，设点P坐标为（m，﹣2m2+2m+4），m＞0，
∵A（﹣1，0），B（2，0），C（0，4），可得：OA＝1，OC＝4，OB＝2，
∴S＝S四边形CABP＝S△OAC+S△OCP+S△OPB
=12×1×4+12×4m+12×2×（﹣2m2+2m+4）
＝﹣2m2+4m+6
＝﹣2（m﹣1）2+8，
当m＝1时，S最大，最大值为8．
【小结】本题考查了二次函数的应用，待定系数法求二次函数表达式，解题的关键是能将四边形CABP的面积表示出来．
变式24 如图，已知二次函数图象的顶点坐标为C（1，0），直线y＝x+m与该二次函数的图象交于A、B两点，其中A点的坐标为（3，4），B点在轴y上．
（1）求m的值及这个二次函数的关系式；
（2）P为线段AB上的一个动点（点P与A、B不重合），过P作x轴的垂线与这个二次函数的图象交于点E点，设线段PE的长为h，点P的横坐标为x．
①求h与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
②线段PE的长h是否存在最大值？若存在，求出它的最大值及此时的x值；若不存在，请说明理由？
【分析】（1）因为直线y＝x+m过点A，将A点坐标直接代入解析式即可求得m的值；设出二次函数的顶点式，将（3，4）代入即可．
（2）①由于P和E的横坐标相同，将P点横坐标代入直线和抛物线解析式，可得其纵坐标表达式，h即为二者之差；根据P、E在二者之间，所以可知x的取值范围是0＜x＜3．
②利用二次函数的性质即可解决问题．
【解析】（1）∵点A（3，4）在直线y＝x+m上，∴4＝3+m．∴m＝1．
设所求二次函数的关系式为y＝a（x﹣1）2．
∵点A（3，4）在二次函数y＝a（x﹣1）2的图象上，∴4＝a（3﹣1）2，
∴a＝1．∴所求二次函数的关系式为y＝（x﹣1）2．即y＝x2﹣2x+1．
（2）①设P、E两点的纵坐标分别为yP和yE．
∴PE＝h＝yP﹣yE＝（x+1）﹣（x2﹣2x+1）＝﹣x2+3x．
即h＝﹣x2+3x（0＜x＜3）．
②存在．∵h＝﹣（x-32）2+94，
又∵a＝﹣1＜0，∴x=32时，h的值最大，最大值为94．
【小结】本题属于二次函数综合题，考查了用待定系数法求函数解析式，二次函数的性质等知识，解题的关键是学会构建二次函数解决最值问题，属于中考常考题型．
必考点9 二次函数新定义问题
例题9 我们定义一种新函数：形如y＝|ax2+bx+c|（a≠0，b2﹣4ac＞0）的函数叫做“鹊桥”函数．小丽同学画出了“鹊桥”函数y＝|x2﹣2x﹣3|的图象（如图所示），并写出下列五个结论：其中正确结论的个数是（ ）
①图象与坐标轴的交点为（﹣1，0），（3，0）和（0，3）；
②图象具有对称性，对称轴是直线x＝1；
③当﹣1≤x≤1或x≥3时，函数值y随x值的增大而增大；
④当x＝﹣1或x＝3时，函数的最小值是0；
⑤当x＝1时，函数的最大值是4，
A．4 B．3 C．2 D．1
【分析】由（﹣1，0），（3，0）和（0，3）坐标都满足函数y＝|x2﹣2x﹣3|知①是正确的；从图象可以看出图象具有对称性，对称轴可用对称轴公式求得是直线x＝1，②也是正确的；根据函数的图象和性质，发现当﹣1≤x≤1或x≥3时，函数值y随x值的增大而增大，因此③也是正确的；函数图象的最低点就是与x轴的两个交点，根据y＝0，求出相应的x的值为x＝﹣1或x＝3，因此④也是正确的；从图象上看，当x＜﹣1或x＞3，函数值要大于当x＝1时的y＝|x2﹣2x﹣3|＝4，因此⑤不正确；逐个判断之后，可得答案．
【解析】①∵（﹣1，0），（3，0）和（0，3）坐标都满足函数y＝|x2﹣2x﹣3|，∴①是正确的；
②从图象可知图象具有对称性，对称轴可用对称轴公式求得是直线x＝1，因此②也是正确的；
③根据函数的图象和性质，发现当﹣1≤x≤1或x≥3时，函数值y随x值的增大而增大，③也是正确的；
④函数图象的最低点就是与x轴的两个交点，根据y＝0，求出相应的x的值为x＝﹣1或x＝3，④正确
⑤从图象上看，当x＜﹣1或x＞3，函数值要大于当x＝1时的y＝|x2﹣2x﹣3|＝4，因此⑤是不正确的；
故选：A．
【小结】考查了二次函数图象与x轴的交点问题，理解“鹊桥”函数y＝|ax2+bx+c|的意义，掌握“鹊桥”函数与y＝|ax2+bx+c|与二次函数y＝ax2+bx+c之间的关系；两个函数性质之间的联系和区别是解决问题的关键；二次函数y＝ax2+bx+c与x轴的交点、对称性、对称轴及最值的求法以及增减性应熟练掌握．
变式25 定义[a、b、c]为二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的特征数，下面给出特征数为[2m，1﹣m，﹣1﹣m]的函数的一些结论：①当m＝﹣3时，函数图象的顶点坐标是（13，83）；②当m＞0时，函数图象截x轴所得的线段长度大于32；③当m＜0时，函数在x＞14时，y随x的增大而减小；④当m≠0时，函数图象经过同一个点，正确的结论是 ．
【分析】利用二次函数的性质逐一判断后即可确定正确的答案．
【解析】把m＝﹣3代入，得a＝﹣6，b＝4，c＝2，函数解析式为y＝﹣6x2+4x+2，利用顶点公式可以求出顶点为（13，83），①正确；
函数y＝2mx2+（1﹣m）x+（﹣1﹣m）与x轴两交点坐标为（1，0），（-m+12m，0），
当m＞0时，1﹣（-m+12m）=32+12m＞32，②正确；
当m＜0时，函数y＝2mx2+（1﹣m）x+（﹣1﹣m）开口向下，对称轴x=14-14m＞14，
∴x可能在对称轴左侧也可能在对称轴右侧，③错误；
y＝2mx2+（1﹣m）x+（﹣1﹣m）＝m（2x2﹣x﹣1）+x﹣1，若使函数图象经过同一点，m≠0时，应使2x2﹣x﹣1＝0，可得x1＝1，x2=-12，当x＝1时，y＝0，当x=-12时，y=-32，则函数一定经过点（1，0）和（-12，-32），④正确．
故答案为：①②④．
【小结】本题考查了二次函数的性质，解题的关键是牢记二次函数的对称轴、顶点坐标的求法，这往往是进一步研究二次函数的性质的基础．
变式26 对某一个函数给出如下定义：如果存在常数M，对于任意的函数值y，都满足y≤M，那么称这个函数是有上界函数；在所有满足条件的M中，其最小值称为这个函数的上确界．例如，函数y＝﹣（x+1）2+2，y≤2，因此是有上界函数，其上确界是2，如果函数y＝﹣2x+1（m≤x≤n，m＜n）的上确界是n，且这个函数的最小值不超过2m，则m的取值范围是（ ）
A．m≤13 B．m＜13 C．13＜m≤12 D．m≤12
【分析】根据函数的上确界和函数增减性得到﹣2m+1＝n，函数的最小值为﹣2n+1，根据m＜n，函数的最小值不超过2m，列不等式求解集即可．
【解析】∵在y＝﹣2x+1中，y随x的增大而减小，∴上确界为﹣2m+1，即﹣2m+1＝n，
∵函数的最小值是﹣2n+1≤2m，解得m≤12，又∵m＜n，∴m＜﹣2m+1．
解得m＜13，综上，m＜13故选：B．
【小结】本题主要考查了对定义函数的理解和一次函数的性质的灵活运用；一次函数的性质：k＞0，y随x的增大而增大，函数从左到右上升；k＜0，y随x的增大而减小，函数从左到右下降；能够正确理解有界函数和上确界是解决问题的关键．
变式27 阅读以下材料，并解决相应问题：
小明在课外学习时遇到这样一个问题：
定义：如果二次函数y＝a1x2+b1x+c1（a1≠0，a1、b1、c1是常数）与y＝a2x2+b2x+c2（a2≠0，a2、b2、c2是常数）满足a1+a2＝0，b1＝b2，c1+c2＝0，则这两个函数互为“旋转函数”．求函数y＝2x2﹣3x+1的旋转函数，小明是这样思考的，由函数y＝2x2﹣3x+1可知，a1＝2，b1＝﹣3，c1＝1，根据a1+a2＝0，b1＝b2，c1+c2＝0，求出a2，b2，c2就能确定这个函数的旋转函数．
请思考小明的方法解决下面问题：
（1）写出函数y＝x2﹣4x+3的旋转函数．
（2）若函数y＝5x2+（m﹣1）x+n与y＝﹣5x2﹣nx﹣3互为旋转函数，求（m+n）2020的值．
（3）已知函数y＝2（x﹣1）（x+3）的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，点A、B、C关于原点的对称点分别是A1、B1、C1，试求证：经过点A1、B1、C1的二次函数与y＝2（x﹣1）（x+3）互为“旋转函数”．
【分析】（1）由二次函数的解析式可得出a1，b1，c1的值，结合“旋转函数”的定义可求出a2，b2，c2的值，此问得解；
（2）由函数y＝5x2+（m﹣1）x+n与y＝﹣5x2﹣nx﹣3互为“旋转函数”，可求出m，n的值，将其代入（m+n）2020即可求出结论；
（3）利用二次函数图象上点的坐标特征可求出点A，B，C的坐标，结合对称的性质可求出点A1，B1，C1的坐标，由点A1，B1，C1的坐标，利用交点式可求出过点A1，B1，C1的二次函数解析式，由两函数的解析式可找出a1，b1，c1，a2，b2，c2的值，再由a1+a2＝0，b1＝b2，c1+c2＝0可证出经过点A1，B1，C1的二次函数与函数y＝2（x﹣1）（x+3）互为“旋转函数”．
【解析】（1）由y＝x2﹣4x+3函数可知，a1＝1，b1＝﹣4，c1＝3，
∵a1+a2＝0，b1＝b2，c1+c2＝0，∴a2＝﹣1，b2＝﹣4，c2＝﹣3，
∴函数y＝x2﹣4x+3的“旋转函数”为y＝﹣x2﹣4x﹣3；
（2）∵y＝5x2+（m﹣1）x+n与y＝﹣5x2﹣nx﹣3互为“旋转函数”，∴m-1=-nn-3=0，解得：m=-2n=3，
∴（m+n）2020＝（﹣2+3）2020＝1．
（3）证明：当x＝0时，y＝2（x﹣1）（x+3））＝﹣6，
∴点C的坐标为（0，﹣6）．当y＝0时，2（x﹣1）（x+3）＝0，解得：x1＝1，x2＝﹣3，
∴点A的坐标为（1，0），点B的坐标为（﹣3，0）．
∵点A，B，C关于原点的对称点分别是A1，B1，C1，
∴A1（﹣1，0），B1（3，0），C1（0，6）．
设过点A1，B1，C1的二次函数解析式为y＝a（x+1）（x﹣3），
将C1（0，6）代入y＝a（x+1）（x﹣3），得：6＝﹣3a，解得：a＝﹣2，
过点A1，B1，C1的二次函数解析式为y＝﹣2（x+1）（x﹣3），即y＝﹣2x2+4x+6．
∵y＝2（x﹣1）（x+3）＝2x2+4x﹣6，
∴a1＝2，b1＝4，c1＝﹣6，a2＝﹣2，b2＝4，c2＝6，
∴a1+a2＝2+（﹣2）＝0，b1＝b2＝4，c1+c2＝6+（﹣6）＝0，
∴经过点A1，B1，C1的二次函数与函数y＝2（x﹣1）（x+3）互为“旋转函数”．
【小结】本题考查了相反数、二次函数图象上点的坐标特征、对称的性质以及待定系数法求二次函数解析式，解题的关键是：（1）利用“旋转函数”的定义求出a2，b2，c2的值；（2）利用“旋转函数”的定义求出m，n的值；（3）根据点的坐标，利用待定系数法求出过点A1，B1，C1的二次函数解析式．
必考点10 二次函数的应用（抛物线形建筑问题）
例题10 图中所示的抛物线形拱桥，当拱顶离水面4m时，水面宽8m．水面上升3米，水面宽度减少多少？下面给出了解决这个问题的两种建系方法．
方法一如图1，以上升前的水面所在直线与抛物线左侧交点为原点，以上升前的水面所在直线为x轴，建立平面直角坐标系xOy；
方法二如图2，以抛物线顶点为原点，以抛物线的对称轴为y轴，建立平面直角坐标系xOy，
【分析】方法一：根据顶点坐标为（4，4），设其解析式为y＝a（x﹣4）2+4，将（0，0）代入求出a的值即可得；
方法二：设抛物线解析式为y＝ax2，将点（4，﹣4）代入求得a的值，据此可得抛物线的解析式，再求出上涨3m后，即y＝﹣1时x的值即可得．
【解析】方法一、根据题意知，抛物线与x轴的交点为（0，0）、（8，0），其顶点坐标为（4，4），
设解析式为y＝a（x﹣4）2+4，将点（0，0）代入，得：16a+4＝0，解得：a=-14，
则抛物线解析式为y=-14（x﹣4）2+4=-14x2+2x，
当y＝3时，-14x2+2x＝3，解得：x＝2或x＝6，则水面的宽减少了8﹣（6﹣2）＝4（m）．
方法二：由题意知，抛物线过点（4，﹣4），
设抛物线解析式为y＝ax2，将点（4，﹣4）代入，得：16a＝﹣4，解得：a=-14，
所以抛物线解析式为y=-14x2，
当y＝﹣1时，-14x2＝﹣1，解得：x＝2或x＝﹣2，则水面的宽减少了8﹣4＝4（m）．
【小结】本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是根据题意建立合适的平面直角坐标系及熟练掌握待定系数法求函数解析式．
变式28 如图，是某市一条河上一座古拱挢的截面图，拱桥桥洞上沿是抛物线形状，抛物线拱桥处于正常水位时水面宽AB为26m，当水位上涨1m时，抛物线拱桥的水面宽CD为24m．现以水面AB所在直线为x轴，抛物线的对称轴为y轴建立直角坐标系．
（1）求出抛物线的解析式；
（2）经过测算，水面离拱桥顶端1.5m时为警戒水位．某次洪水到来时，小明用仪器测得水面宽为10m，请你帮助小明算一算，此时水面是否超过警戒水位？
【分析】（1）设抛物线解析式的一般形式，取对称轴为y轴，将抛物线的位置特殊化，简化抛物线解析式，根据图形选取两个点坐标求解析式；
（2）根据解析式解决实际问题．
【解析】（1）设抛物线的解析式为y＝ax2+bx+c（a≠0），
∵对称轴为y轴，∴y=-b2a=0，∴b＝0，
∴y＝ax2+c，由题意得，抛物线过点（13，0），（12，1），
把 x=13y=0，x=12y=1，代入得 169a+c=0144a+c=1，解得 a=-125c=16925，∴抛物线的解析式为y=-125x2+16925；
（2）由题意得，把x＝5代入y=-125x2+16925=y=-125×25+16925=14425，
∴点F的坐标为F（5，14425），∴MH＝OM﹣OH=16925-14425=1m，
∵1m＜1.5m，∴此时水面超过警戒水位．
【小结】本题主要考查了二次函数的应用，在解题时要根据题意画出图形找出各点，再结合二次函数的知识点解出此题，这是本题的关键．
变式29 某坦克部队需要经过一个拱桥（如图所示），拱桥的轮廓是抛物线形，拱高OC＝6m，跨度AB＝20m，有5根支柱：AG、MN、CD、EF、BH，相邻两支柱的距离均为5m．
（1）以AB的中点为原点，AB所在直线为x轴，支柱CD所在直线为y轴，建立平面直角坐标系，求抛物线的解析式；
（2）若支柱每米造价为2万元，求5根支柱的总造价；
（3）拱桥下面是双向行车道（正中间是一条宽2m的隔离带），其中的一条行车道是坦克的行进方向，现每辆坦克长4m，宽2m，高3m，行驶速度为24km/h，坦克允许并排行驶，坦克前后左右距离忽略不计，试问120辆该型号坦克从刚开始进入到全部通过这座长1000m的拱桥隧道所需最短时间为多少分钟？
【分析】（1）根据题目可知A，B，C的坐标，设出抛物线的解析式代入可求解．
（2）把x＝5代入可求出支柱的长度，然后算出总造价即可．
（3）先求出坦克方队的长，然后算出速度，从而求得通过隧道的时间即可．
【解答】【解】（1）设y＝ax2+c，把C（0，6）、B（10，0）代入得a=-350，c＝6．∴y=-350x2+6．
（2）当x＝5时，y=-350×52+6=92，
∴EF＝10-92=112，CD＝10﹣6＝4，
支柱的总造价为2（2×112+2×10+4）＝70（万元）．
（3）∵坦克的高为3米，令y＝3时，-350x2+6＝3，解得：x＝±52，
∵7＜52＜8，坦克宽为2米，
∴可以并排3辆坦克行驶，此时坦克方阵的长为120÷3×4＝160（米），
坦克的行驶速度为24km/h＝400米/分，
∴通过隧道的最短时间为1000+160400=2.9（分）．
【小结】本题考查点坐标的求法及二次函数的实际应用．此题为数学建模题，借助二次函数解决实际问题．
变式30 如图是某隧道截面示意图，它是由抛物线和长方形构成，已知OA＝12米，OB＝4米，抛物线顶点D到地面OA的垂直距离为10米，以OA所在直线为x轴，以OB所在直线为y轴建立直角坐标系．
（1）求抛物线的解析式；
（2）由于隧道较长，需要在抛物线型拱壁上需要安装两排灯，使它们到地面的高度相同，如果灯离地面的高度不超过8米，那么两排灯的水平距离最小是多少米？
（3）一辆特殊货运汽车载着一个长方体集装箱，集装箱宽为4m，最高处与地面距离为6m，隧道内设双向行车道，双向行车道间隔距离为0.5m，交通部门规定，车载货物顶部距离隧道壁的竖直距离不少于0.5m，才能安全通行，问这辆特殊货车能否安全通过隧道？
【分析】（1）抛物线顶点坐标为D（6，10），设抛物线的解析式为y＝a（x﹣6）2+10，把点B点代入即可
（2）由图象可知，高度越高，两排灯间的距离越近，把y＝8代入（1）所得解析式，求得一元二次方程的两个根，它们的差即为答案，
（3）由图象结合题意可知，集装箱与隧道最接近的位置在此坐标系中的纵坐标为x＝6.25+4，代入（1）所得解析式，判断是够大于6.5即可．
【解析】（1）根据题意，顶点D的坐标为（6，10），点B的坐标为（0，4），
设抛物线的解析式为y＝a（x﹣6）2+10，把点B（0，4）代入得：36a+10＝4，解得：a=-16，
即所求抛物线的解析式为：y=-16（x﹣6）2+10，
（2）由图象可知，高度越高，两排等间的距离越近，
把y＝8代入y=-16（x﹣6）2+10得：-16（x﹣6）2+10＝8，
解得：x1＝6+23，x2＝6﹣23，所求最小距离为：x1﹣x2＝43，
答：两排灯的水平距离最小是43米，
（3）根据题意，当x＝6.25+4＝10.25时，y=-16（10.25﹣6）2+10=67196＞6.5，∴能安全通过隧道，
【小结】本题考查二次函数应用，解题的关键是分析题意并结合图象列式求解，难度较大，综合程度较高．
必考点11 二次函数的应用（抛物线形运动问题）
例题11 周末，小明陪爸爸去打高尔夫求，小明看到爸爸打出的球的飞行路线的形状如图，如果不考虑空气阻力，小球的飞行路线是一条抛物线．小明测得小球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）的几组值后，发现h与t满足的函数关系式是h＝20t﹣5t2．
（1）小球飞行时间是多少时达到最大高度，求最大高度是多少？
（2）小球飞行时间t在什么范围时，飞行高度不低于15m？
【分析】（1）求函数的最大值即可；
（2）把h≥15代入函数关系式，即可求解．
【解析】（1）h＝20t﹣5t2．
∵﹣5＜0，故h有最大值，
当t=-202×(-5)=2，此时h的最大值为20，
∴当t＝2s时，最大高度是20m．
（2）令h≥15，则h＝20t﹣5t2≥15，
解得：1≤t≤3，
∴1≤t≤3时，飞行高度不低于15m．
【小结】本题主要考查了二次函数的应用，我们首先要吃透题意，将所求的问题对应到函数中的变量，进而求解．
变式31 九年级的一场篮球比赛中，如图队员甲正在投篮，已知球出手时离地面高209m，与篮圈中心的水平距离为7m，当球出手后水平距离为4m时到达最大高度4m，设篮球运行的轨迹为抛物线，篮圈距地面3m．
（1）建立如图所示的平面直角坐标系，求抛物线的解析式并判断此球能否准确投中？
（2）此时，若对方队员乙在甲前面1m处跳起盖帽拦截，已知乙的最大摸高为3.1m，那么他能否获得成功？
【分析】（1）观察函数图象可知：抛物线经过点（0，209），顶点坐标是（4，4），篮圈中心的坐标是（7，3）．设抛物线的解析式是y＝a（x﹣4）2+4，根据抛物线上点的坐标利用待定系数法可求出抛物线的解析式，再利用二次函数图象上点的坐标特征验证篮圈中心点是否在抛物线上，此题得解；
（2）代入x＝1求出y值，由该值小于3.1可得出盖帽拦截成功．
【解析】（1）由题意可知，抛物线经过点（0，209），顶点坐标是（4，4），篮圈中心的坐标是（7，3）．
设抛物线的解析式是y＝a（x﹣4）2+4，
∵抛物线经过点（0，209），∴209=16a+4，解得：a=-19，
∴抛物线解析式为y=-19（x﹣4）2+4．
当x＝7时，y=-19×（7﹣4）2+4＝3，
∴篮圈的中心点在抛物线上，∴能够投中．
（2）∵当x＝1时，y=-19×（1﹣4）2+4＝3＜3.1，
∴能够盖帽拦截成功．
【小结】本题考查了二次函数的应用、待定系数法求二次函数解析式以及二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是：（1）观察函数图象找出点的坐标，利用待定系数法求出抛物线的解析式；（2）代入x＝1求出y值．
变式32 如图，在某场足球比赛中，球员甲从球门底部中心点O的正前方10m处起脚射门，足球沿抛物线飞向球门中心线；当足球飞离地面高度为3m时达到最高点，此时足球飞行的水平距离为6m．已知球门的横梁高OA为2.44m．
（1）在如图所示的平面直角坐标系中，问此飞行足球能否进球门？（不计其它情况）
（2）守门员乙站在距离球门2m处，他跳起时手的最大摸高为2.52m，他能阻止球员甲的此次射门吗？如果不能，他至少后退多远才能阻止球员甲的射门？
【分析】（1）根据条件可以得到抛物线的顶点坐标是（4，3），利用待定系数法即可求得函数的解析式；
（2）求出当x＝2时，抛物线的函数值，与2.52米进行比较即可判断，再利用y＝2.52求出x的值即可得出答案．
【解析】（1）抛物线的顶点坐标是（4，3），
设抛物线的解析式是：y＝a（x﹣4）2+3，
把（10，0）代入得36a+3＝0，解得a=-112，
则抛物线是y=-112（x﹣4）2+3，
当x＝0时，y=-112×16+3＝3-43=53＜2.44米，
故能射中球门；
（2）当x＝2时，y=-112（2﹣4）2+3=83＞2.52，
∴守门员乙不能阻止球员甲的此次射门，
当y＝2.52时，y=-112（x﹣4）2+3＝2.52，解得：x1＝1.6，x2＝6.4（舍去），
∴2﹣1.6＝0.4（m），
答：他至少后退0.4m，才能阻止球员甲的射门．
【小结】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，以及二次函数的应用，正确求得解析式是关键．
变式33 如图，某足球运动员站在点O处练习射门．将足球从离地面0.5m的A处正对球门踢出（点A在y轴上），足球的飞行高度y（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间满足函数关系y＝at2+5t+c，已知足球飞行0.8s时，离地面的高度为3.5m．
（1）a＝ -2516 ，c＝ 12 ；
（2）当足球飞行的时间为多少时，足球离地面最高？最大高度是多少？
（3）若足球飞行的水平距离x（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间具有函数关系x＝10t，已知球门的高度为2.44m，如果该运动员正对球门射门时，离球门的水平距离为28m，他能否将球直接射入球门？
【分析】（1）由题意得：函数y＝at2+5t+c的图象经过（0，0.5）（0.8，3.5），代入函数的表达式即可求出a，c的值；
（2）利用配方法即可求出足球飞行的时间以及足球离地面的最大高度；
（3）把x＝28代入x＝10t得t＝2.8，把t＝2.8代入解析式求出y的值和2.44m比较大小即可得到结论．
【解析】（1）由题意得：函数y＝at2+5t+c的图象经过（0，0.5）（0.8，3.5），
∴0.5=c3.5=0．82a+5×0.8+c，解得：a=-2516c=12，∴抛物线的解析式为：y=-2516t2+5t+12，
（2）∵y=-2516t2+5t+12，
∴y=-2516（t-85）2+92，∴当t=85时，y最大＝4.5，
∴当足球飞行的时间85s时，足球离地面最高，最大高度是4.5m；
（3）把x＝28代入x＝10t得t＝2.8，
∴当t＝2.8时，y=-2516×2.82+5×2.8+12=2.25＜2.44，
∴他能将球直接射入球门．
【小结】本题考查待定系数法求二次函数的解析式，以及二次函数的应用，正确求得解析式是解题的关键．
必考点12 二次函数的应用（面积问题）
例题12 如图，某农场准备围建一个中间隔有一道篱笆的矩形花圈，现有长为18米的篱笆，一边靠墙，若墙长a＝6米，设花圃的一边AB为x米，面积为S米2．
（1）求S与x的函数关系式及x值的取值范围；
（2）若边BC不小于3米这个花圃的面积有最大值和最小值吗？如果有，求出最大值和最小值；如果没有，请说明理由．
【分析】（1）根据题意可得S＝x（18﹣3x）化简得S＝﹣3x2+18x．
（2）根据题意得到二次函数解析式，根据二次函数的性质求解即可；
【解析】（1）S＝（18﹣3x）x＝﹣3x2+18x，18-3x≤63x＜18，∴4≤x＜6；
（2）∵18﹣3x≥3，解得：x≤5，∴4≤x≤5，
S＝﹣3x2+18x＝﹣3（x﹣3）2+27，
∴苗圃园的面积y有最大值，
∴当x＝4时，S有最大值，最大值是24；
当x＝5时，S有最小值，最小值是15．
【小结】本题考查了二次函数的应用、矩形的面积等知识，解题的关键是：根据篱笆长度找出y关于x的函数关系式；
变式34 某农场拟用总长为60m的建筑材料建三间矩形牛饲养室，饲养室的一面靠现有墙（墙长为40m），其中间用建筑材料做的墙隔开（如图）．设三间饲养室平行于墙的一边合计用建筑材料xm，总占地面积为ym2．
（1）求y关于x的函数解析式和自变量的取值范围；
（2）当x为何值时，三间饲养室占地总面积最大？最大面积为多少？
【分析】（1）设饲养室长为x（m），则宽为14（60﹣x）m，根据长方形面积公式即可得，由墙可用长≤40m可得x的范围；
（2）把函数关系式化成顶点式，然后根据二次函数的性质即可得到结论．
【解析】（1）根据题意得，y＝x•14（60﹣x）=-14x2+15x，
自变量的取值范围为：0＜x≤40；
（2）∵y=-14x2+15x=-14（x﹣30）2+225，
∴当x＝30时，三间饲养室占地总面积最大，最大为225（m2）．
【小结】本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是将实际问题转化为数学问题以后，准确列出二次函数关系式，正确运用二次函数的有关性质来解题．
变式35 为了节省材料，某水产养殖户利用本库的岸堤（岸堤足够长）为一边，用总长为160m的围网在水库中围成了如图所示的①、②、③三块矩形区域网箱，而且这三块矩形区域的面积相等，设BE的长度为xm，矩形区域ABCD的面积为ym2．
（1）则AE＝ m，BC＝ m；（用含字母x的代数式表示）
（2）求矩形区域ABCD的面积y的最大值．
【分析】（1）根据三个矩形面积相等，得到矩形AEFD面积是矩形BCFE面积的2倍，可得出AE＝2BE，设BE＝x，则有AE＝2x，BC＝80﹣4x；
（2）利用二次函数的性质求出y的最大值，以及此时x的值即可．
【解析】（1）设BE的长度为xm，
则AE＝2xm，BC＝（80﹣4x）m，
（2）根据题意得：y＝3x（80﹣4x）＝﹣12x2+240x＝﹣12（x﹣10）2+1200，
因为﹣12，所以当x＝10时，y有最大值为1200．
答：矩形区域ABCD的面积的最大值为1200m2．
【小结】此题考查了二次函数的应用，以及列代数式，熟练掌握二次函数的性质是解本题的关键．
变式36 某植物园有一块足够大的空地，其中有一堵长为a米的墙，现准备用20米的篱笆围两间矩形花圃，中间用篱笆隔开．小俊设计了如图甲和乙的两种方案：
方案甲中AD的长不超过墙长；方案乙中AD的长大于墙长．
（1）若a＝6．
①按图甲的方案，要围成面积为25平方米的花圃，则AD的长是多少米？
②按图乙的方案，能围成的矩形花圃的最大面积是多少？
（2）若0＜a＜6.5，哪种方案能围成面积最大的矩形花圃？请说明理由．
【分析】（1）①设AB的长是x米，根据矩形的面积公式列出方程；
②列出面积关于x的函数关系式，再根据函数的性质解答；
（2）设AB＝x，能围成矩形花圃的面积为S，根据题意列出S关于x的函数关系，再通过求最值方法解答．
【解析】（1）①设AB的长是x米，则AD＝20﹣3x，根据题意得，x（20﹣3x）＝25，解得：x1＝5，x2=53，
当x=53时，AD＝15＞6，∴x＝5，∴AD＝5，
②设BC的长是x米，矩形花圃的最大面积是y平方米，则AB=13[20﹣x﹣（x﹣6）]=263-23x，
根据题意得，y＝x（263-23x）=-23x2+263x=-23(x-132)2+1696（x＞6），
∴当x=132时，y有最大值为1696．
答：按图乙的方案，能围成的矩形花圃的最大面积是1696平方米；
（2）设BC＝x，能围成的矩形花圃的面积为S，
按图甲的方案，S＝x×20-x3=-13x2+203x=-13(x-10)2+1003，
∴在x＝a＜10时，S的值随x的增大而增大，
∴当x＝a的最大值n时，S的值最大，为S-13(n-10)2+1003；
按图乙方案，S=13[20﹣x﹣（x﹣a）]x=-23(x-a+204)2+(a+20)224，
∴当x=a+204时，S的值最大为S=(a+20)224，此时a取最大值n时，S的值最大为S=(n+20)224；
∵(n+20)224-[-13（n﹣10）2+1003]=9n2-120n+40024＞0，
∴(n+20)224＞-13(n-10)2+1003，
故第二种方案能围成面积最大的矩形花圃．
【小结】本题主要考查了一元二次方程的应用，二次函数的应用，关键是正确列出一元二次方程和函数解析式，运用函数的性质解答．
必考点13 二次函数的应用（利润问题）
例题13 小红经营的网店以销售文具为主，其中一款笔记本进价为每本10元，该网店在试销售期间发现，每周销售数量y（本）与销售单价x（元）之间满足一次函数关系，三对对应值如下表：
销售单价x（元）
12
14
16
每周的销售量y（本）
500
400
300
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）通过与其他网店对比，小红将这款笔记本的单价定为x元（12≤x≤15，且x为整数），设每周销售该款笔记本所获利润为w元，当销售单价定为多少元时每周所获利润最大，最大利润是多少元？
【分析】（1）根据题意和表格中的数据，可以求得y与x之间的函数关系式；
（2）根据题意，可以得到w与x的函数关系式，然后根据二次函数的性质，可以解答本题．
【解析】（1）设y与x之间的函数关系式是y＝kx+b（k≠0），
代入得：12k+b=50014k+b=400，解得k=-50b=1100，
即y与x之间的函数关系式为y＝﹣50x+1100；
（2）由题意可得，
w＝（x﹣10）y＝（x﹣10）（﹣50x+1100）＝﹣50（x﹣16）2+1800，
∵a＝﹣50＜0
∴w有最大值
∴当x＜16时，w随x的增大而增大，
∵12≤x≤15，x为整数，
∴当x＝15时，w有最大值，
∴w＝﹣50（15﹣16）2+1800＝1750，
答：销售单价为15元时，每周获利最大，最大利润是1750元．
【小结】本题考查二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
变式37 新冠肺炎期间，某超市将购进一批口罩进行销售，已知购进4盒甲口罩和6盒乙口罩需260元，购进5盒甲口罩和4盒乙口罩需220元．两种口罩以相同的售价销售，甲口罩的销量y1（盒）与售价x（元）之间的关系为y1＝400﹣8x；当售价为40元时，乙口罩可销售100盒，售价每提高1元，少销售5盒．
（1）求甲、乙两种口罩每盒的进价分别为多少元？
（2）当乙口罩的售价为多少元时，乙口罩的销售总利润最大？此时两种口罩的销售利润总和为多少？
（3）已知甲的销售量不低于乙口罩的销售量的1415，若使两种口罩的利润总和最高，此时的定价应为多少？
【分析】（1）设甲、乙两种口罩每盒的进价分别为x元、y元，由题意得方程组，求解即可．
（2）设乙口罩的销售利润为w元，由题意得关于x的二次函数，将其写成顶点式，根据二次函数的性质可得乙口罩的售价及此时乙口罩的最大销售总利润，然后此时甲的销售利润进而求得两种口罩销售利润总和．
（3）根据甲的销售量不低于乙口罩的销售量的1415列出不等式，解得x的范围，再得出两种口罩的利润总和w总关于x的二次函数，根据二次函数的性质可得其对称轴，从而可得答案．
【解析】（1）设甲、乙两种口罩每盒的进价分别为x元、y元，由题意得：4x+6y=2605x+4y=220，解得：x=20y=30．
∴甲、乙两种口罩每盒的进价分别为20元、30元．
（2）设乙口罩的销售利润为w元，由题意得：
w＝（x﹣30）[100﹣5（x﹣40）]＝﹣5x2+450x﹣9000＝﹣5（x﹣45）2+1125，
∴当乙口罩的售价为45元时，乙口罩的销售总利润最大，为1125元．
当售价为45元时，y1＝400﹣8x＝400﹣8×45＝40（盒）；
∴甲口罩的销售利润为：（45﹣20）×40＝1000（元），
∴此时两种口罩的销售利润总和为：1125+1000＝2125（元）．
∴当乙口罩的售价为45元时，乙口罩的销售总利润最大，此时两种口罩的销售利润总和为2125元．
（3）由题意得：400﹣8x≥1415[100﹣5（x﹣40）]，解得：x≤36，
∵两种口罩的利润总和w总＝（400﹣8x）（x﹣20）+（﹣5x2+450x﹣9000）＝﹣13x2+1010x﹣17000，
∴对称轴为：x=50513＞36，
∴当x＝36时，两种口罩的利润总和最高．
∴若使两种口罩的利润总和最高，此时的定价应为36元．
【小结】本题考查了二元一次方程组、一次函数、二次函数及一元一次不等式在实际问题中的应用，理清题中的数量关系是解题的关键．
变式38 某服装厂生产A品种服装，每件成本为71元，零售商到此服装厂一次性批发A品牌服装x件时，批发单价为y元，y与x之间满足如图所示的函数关系，其中批发件数x为10的正整数倍．
（1）当100≤x≤300时，y与x的函数关系式为 ．
（2）某零售商到此服装厂一次性批发A品牌服装200件，需要支付多少元？
（3）零售商到此服装厂一次性批发A品牌服装x（100≤x≤400）件，服装厂的利润为w元，问：x为何值时，w最大？最大值是多少？
【分析】（1）利用待定系数法求出一次函数解析式即可；
（2）当x＝200时，代入y=-110x+110，确定批发单价，根据总价＝批发单价×200，进而求出答案；
（3）首先根据服装厂获利w元，当100≤x≤300且x为10整数倍时，得出w与x的函数关系式，进而得出最值，再利用当300＜x≤400时求出最值，进而比较得出即可．
【解析】（1）当100≤x≤300时，设y与x的函数关系式为：y＝kx+b，根
据题意得出：100k+b=100300k+b=80，解得：k=-110b=110，∴y与x的函数关系式为：y=-110x+110，
（2）当x＝200时，y＝﹣20+110＝90，∴90×200＝18000（元），
答：某零售商一次性批发A品牌服装200件，需要支付18000元；
（3）分两种情况：
①当100≤x≤300时，w＝（-110x+110﹣71）x=-110x2+39x=-110（x﹣195）2+3802.5，
∵批发件数x为10的正整数倍，
∴当x＝190或200时，w有最大值是：-110（200﹣195）2+3802.5＝3800；
②当300＜x≤400时，w＝（80﹣71）x＝9x，
当x＝400时，w有最大值是：9×400＝3600，
∴一次性批发A品牌服装x（100≤x≤400）件时，x为190元或200元时，w最大，最大值是3800元．
【小结】此题主要考查了二次函数的应用，待定系数法求一次函数解析式以及二次函数最值求法等知识，利用x的取值范围不同得出函数解析式是解题关键．
变式39 某公司销售一种商品，成本为每件30元，经过市场调查发现，该商品的日销售量y（件）与销售单价x（元）是一次函数关系，其销售单价、日销售量的三组对应数值如下表：
销售单价x（元）
40
60
80
日销售量y（件）
80
60
40
（1）直接写出y与x的关系式 ；
（2）求公司销售该商品获得的最大日利润；
（3）销售一段时间以后，由于某种原因，该商品每件成本增加了10元，若物价部门规定该商品销售单价不能超过a元，在日销售量y（件）与销售单价x（元）保持（1）中函数关系不变的情况下，该商品的日销售最大利润是1500元，求a的值．
【分析】（1）根据题中所给的表格中的数据，利用待定系数法可得其关系式，也可以根据关系直接写出关系式；
（2）根据利润等于每件的利润乘以件数，再利用配方法求得其最值；
（3）根据题意，列出关系式，再分类讨论求最值，比较得到结果．
【解析】（1）设解析式为y＝kx+b，
将（40，80）和（60，60）代入，可得40k+b=8060k+b=60，解得：k=-1b=120，所以y与x的关系式为y＝﹣x+120，
（2）设公司销售该商品获得的日利润为w元，
w＝（x﹣30）y＝（x﹣30）（﹣x+120）＝﹣x2+150x﹣3600＝﹣（x﹣75）2+2025，
∵x﹣30≥0，﹣x+120≥0，∴30≤x≤120，
∵a＝﹣1＜0，∴抛物线开口向下，函数有最大值，∴当x＝75时，w最大＝2025，
答：当销售单价是75元时，最大日利润是2025元．
（3）w＝（x﹣30﹣10）（﹣x+120）＝﹣x2+160x﹣4800＝﹣（x﹣80）2+1600，
当w最大＝1500时，﹣（x﹣80）2+1600＝1500，解得x1＝70，x2＝90，
∵40≤x≤a，∴有两种情况，
①a＜80时，在对称轴左侧，w随x的增大而增大，∴当x＝a＝70时，w最大＝1500，
②a≥80时，在40≤x≤a范围内w最大＝1600≠1500，∴这种情况不成立，
∴a＝70．
【小结】该题考查的是有关函数的问题，涉及到的知识点有一次函数解析式的求解，二次函数的应用，在解题的过程中，注意正确找出等量关系是解题的关键，属于基础题目．
必考点14 二次函数的综合（存在性问题）
例题14 如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c的图象与x轴交于A（2，0），B（﹣8，0）两点，与y轴交于点C（0，﹣8）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点F是直线BC下方抛物线上的一点，当△BCF的面积最大时，求出点F的坐标；
（3）在（2）的条件下，是否存在这样的点Q（0，m），使得△BFQ为等腰三角形？如果有，请直接写出点Q的坐标；如果没有，请说明理由．
【分析】（1）将A，B，C的坐标代入函数y＝ax2+bx+c即可；
（2）如图1中，作FN∥y轴交BC于N，求出直线BC的解析式，设F（m，12m2+3m﹣8），则N（m，﹣m﹣8），再用含m的代数式表示出△BCF的面积，用函数的思想即可推出结论；
（3）此问要分BQ＝BF，QB＝QF，FB＝FQ三种情况进行讨论，分别用勾股定理可求出m的值，进一步写出点Q的坐标．
【解析】（1）将A（2，0），B（﹣8，0）C（0，﹣8）代入函数y＝ax2+bx+c，
得，4a+2b+c=064a-8b+c=00a+0b+c=-8，解得，a=12b=3c=-8，∴抛物线解析式为y=12x2+3x﹣8；
（2）如图1中，作FN∥y轴交BC于N，
将B（﹣8，0）代入y＝kx﹣8，得，k＝﹣1，∴yBC＝﹣x﹣8，
设F（m，12m2+3m﹣8），则N（m，﹣m﹣8），
∴S△FBC＝S△FNB+S△FNC=12FN×8＝4FN＝4[（﹣m﹣8）﹣（12m2+3m﹣8）]＝﹣2m2﹣16m＝﹣2（m+4）2+32，
∴当m＝﹣4时，△FBC的面积有最大值，此时F（﹣4，﹣12），∴点F的坐标是F（﹣4，﹣12）；
（3）存在点Q（0，m），使得△BFQ为等腰三角形，理由如下：
①如图2﹣1，当BQ＝BF时，由题意可列，82+m2＝（8﹣4）2+122，解得，m1＝46，m2＝﹣46，
∴Q1（0，46），Q2（0，﹣46）；
②如图2﹣2，当QB＝QF时，由题意可列，82+m2＝（m+12）2+42，解题，m＝﹣4，∴Q3（0，﹣4）；
③如图2﹣3，当FB＝FQ时，由题意可列，（8﹣4）2+122＝（m+12）2+42，解得，m1＝0，m2＝﹣24，
∴Q4（0，0），Q5（0，﹣24）；
设直线BF的解析式为y＝kx+b，
将B（﹣8，0），F（﹣4，﹣12）代入，得-8k+b=0-4k+b=-12，解得，k＝﹣3，b＝﹣24，∴yBF＝﹣3x﹣24，
当x＝0时，y＝﹣24，∴点B，F，Q重合，故Q5舍去，
∴点Q有坐标为（0，46）或（0，﹣46）或（0，﹣4）或（0，0）．
【小结】本题考查了待定系数法求解析式，三角形的最大面积，等腰三角形的存在性等，解题关键是要注意分讨论思想在解题过程中的运用．
变式40 如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+bx﹣4（a≠0）的图象与x轴交于点A（﹣2，0）与点C（8，0）两点，与y轴交于点B，其对称轴与x轴交于点D．
（1）直接写出B点的坐标；
（2）求该二次函数的解析式；
（3）若点P（m，n）是该二次函数图象上的一个动点（其中m＞0，n＜0），连结PB，PD，BD，AB．请问是否存在点P，使得△BDP面积恰好等于△ADB的面积？若存在请求出此时点P坐标，若不存在说明理由．
【分析】（1）利用待定系数法求抛物线的解析式，再确定B（0，﹣4）；
（2）利用（1）可以得到答案；
（3）连接OP，如图，设P（m，14m2-32m﹣4）（0＜m＜8），利用S△PBD＝S△POD+S△POB﹣S△BOD=12×3×（-14m2+32m+4）+12×4×m-12×3×4=12×5×4得到关于m的方程，然后解方程求出m可得到P点坐标．
【解析】（1）把A（﹣2，0）和C（8，0）代入y＝ax2+bx﹣4，得4a-2b-4=064a+8b-4=0，解得a=14b=-32，
∴抛物线的解析式为y=14x2-32x﹣4；当x＝0时，y=14x2-32x﹣4＝﹣4，则B（0，﹣4），
（2）由（1）知，抛物线的解析式为y=14x2-32x﹣4；
（3）存在．∵y=14x2-32x﹣4=14（x﹣3）2-254，∴抛物线的对称轴为直线x＝3，∴D（3，0）．
由（1）知，B（0，﹣4）．连接OP，如图，设P（m，14m2-32m﹣4）（0＜m＜8），
∵S△PBD＝S△POD+S△POB﹣S△BOD，S△ABD=12×5×4＝10，
而△BDP的面积恰好等于△ADB的面积，∴12×3×（-14m2+32m+4）+12×4×m-12×3×4＝10，
整理得3m2﹣34m+80＝0，解得m1=103，m2＝8（舍去），∴P点坐标为（103，-569）．
【小结】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了待定系数法求抛物线解析式和二次函数性质．
变式41 如图，抛物线过A（1，0）、B（﹣3，0），C（0，﹣3）三点，直线AD交抛物线于点D，点D的横坐标为﹣2，点P（m，n）是线段AD上的动点，过点P的直线垂直于x轴，交抛物线于点Q．
（1）求直线AD及抛物线的解析式；
（2）求线段PQ的长度l与m的关系式，m为何值时，PQ最长？
（3）在平面内是否存在整点（横、纵坐标都为整数）R，使得P、Q、D、R为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点R的坐标；若不存在，说明理由．
【分析】（1）抛物线y＝ax2+bx﹣3过A（1，0），B（﹣3，0），C（0，﹣3），代入可求出抛物线的解析式，点D在抛物线上且横坐标为﹣2，可求点D的坐标，根据A、D两点坐标，用待定系数法可求直线AD的解析式；
（2）点P在AD上，点Q在抛物线上，当横坐标为m时，相应的纵坐标可以根据解析式表示出来，而PQ的长l就是P点、Q点纵坐标的差，于是可以得到l与m的函数关系式，再依据函数的最值，可求m为何值时，PQ最长，PQ的最大值也能求出；
（3）使P，Q，D，R为顶点的四边形是平行四边形，可以分两种情况：一是PQ为一边时，点R必在直线x＝﹣2上，再根据PQ为最大值以下的整数值，得到PQ的整数值，在直线x＝﹣2上可以找到点R的位置，确定点R的坐标，得出在点D上方存在，在点D下方也存在；二是PQ为一条对角线时，根据平行四边形的性质，PQ与DR互相平分，此时R与C 重合．
【解析】（1）设抛物线的解析式为y＝ax2+bx+c，将A（1，0），B（﹣3，0）C（0，﹣3）
代入y＝ax2+bx+c得：a+b+c=09a-3b+c=0c=-3，解得：a=1b=2c=-3，∴抛物线的解析式为：y＝x2+2x﹣3，
当x＝﹣2时，y＝（﹣2）2﹣4﹣3＝﹣3，∴D（﹣2，﹣3），
设直线AD的解析式为y＝kx+b，将A（1，0），D（﹣2，﹣3）代入得：k+b=0-2k+b=-3 解得：k=1b=-1，
∴直线AD的解析式为y＝x﹣1；
因此直线AD的解析式为y＝x﹣1，抛物线的解析式为：y＝x2+2x﹣3．
（2）∵点P在直线AD上，Q抛物线上，P（m，n），
∴n＝m﹣1 Q（m，m2+2m﹣3）
∴PQ的长l＝（m﹣1）﹣（m2+2m﹣3）＝﹣m2﹣m+2 （﹣2≤m≤1）
∴当m=--1-1×2=12时，PQ的长l最大＝﹣（-12）2﹣（-12）+2=94．
答：线段PQ的长度l与m的关系式为：l＝﹣m2﹣m+2 （﹣2≤m≤1）
当m=-12时，PQ最长，最大值为94．
（3）①若PQ为平行四边形的一边，则R一定在直线x＝﹣2上，如图：
∵PQ的长为0＜PQ≤94的整数，∴PQ＝1或PQ＝2，
当PQ＝1时，则DR＝1，此时，在点D上方有R1（﹣2，﹣2），在点D下方有R2（﹣2，﹣4）；
当PQ＝2时，则DR＝2，此时，在点D上方有R3（﹣2，﹣1），在点D下方有R4（﹣2，﹣5）；
②若PQ为平行四边形的一条对角线，则PQ与DR互相平分，
当PQ＝1时，即：x﹣1﹣（x2+2x﹣3）＝1，此时x不是整数，
当PQ＝2时，即x﹣1﹣（x2+2x﹣3）＝2，此时x1＝﹣1，x2＝0；当x1＝﹣1，R与点C重合，即R5（0，﹣3），当x2＝0；此时R6（2，﹣1）
综上，符合条件点R有：R1（﹣2，﹣2），R2（﹣2，﹣4），R3（﹣2，﹣1），R4（﹣2，﹣5），R5（0，﹣3），
R6（2，﹣1）．
【小结】本题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法求函数的解析式，二次函数的性质，平行四边形的性质等知识，应用分类讨论思想和数形结合思想是解题的关键．
变式42 如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标为（2，﹣1），图象与y轴交于点C（0，3），与x轴交于A、B两点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）设抛物线对称轴与直线BC交于点D，连接AC、AD，点E为直线BC上的任意一点，过点E作x轴的垂线与抛物线交于点F，问是否存在点E使△DEF为直角三角形？若存在，求出点E坐标，若不存在，请说明理由．
【分析】（1）可设抛物线解析式为顶点式，把C点坐标代入可求得抛物线解析式；
（2）根据题意可分∠DFE＝90°和∠EDF＝90°两种情况，当∠DFE＝90°时，可知DF∥x轴，则可求得E点纵坐标，代入抛物线解析式可求得E点坐标；当∠EDF＝90°时，可求得直线AD解析式，联立直线AD和抛物线解析式可求得点E的横坐标，代入直线BC可求得点E的坐标．
【解析】（1）∵抛物线的顶点坐标为（2，﹣1），
∴可设抛物线解析式为y＝a（x﹣2）2﹣1（a≠0），
把C（0，3）代入可得a（0﹣2）2﹣1＝3，解得a＝1，∴抛物线解析式为y＝（x﹣2）2﹣1＝x2﹣4x+3；
（2）在y＝x2﹣4x+3中，令y＝0可得x2﹣4x+3＝0，解得x＝1或x＝3，∴A（1，0），B（3，0），
设直线BC解析式为y＝kx+3，把B（3，0）代入得：3k+3＝0，解得k＝﹣1，∴直线BC解析式为y＝﹣x+3，
由（1）可知抛物线的对称轴为x＝2，此时y＝﹣2+3＝1，∴D（2，1），∴AD2＝2，AC2＝10，CD2＝8，
∵AD2+CD2＝AC2，∴∠ADC＝90°，
由题意知EF∥y轴，则∠FED＝∠OCB≠90°，
∴△DEF为直角三角形，分∠DFE＝90°和∠EDF＝90°两种情况，
①当∠DFE＝90°时，即DF∥x轴，则D、F的纵坐标相同，∴F点纵坐标为1，
∵点F在抛物线上，∴x2﹣4x+3＝1，解得x＝2±2，即点E的横坐标为2±2，
∵点E在直线BC上，∴当x＝2+2时，y＝﹣x+3＝1-2，
当x＝2-2时，y＝﹣x+3＝1+2，
∴E点坐标为（2+2，1-2）或（2-2，1+2）；
②当∠EDF＝90°时，且∠ADC＝90°，∴点F在直线AD上，
∵A（1，0），D（2，1），∴直线AD解析式为y＝x﹣1，∴直线AD与抛物线的交点即为F点，
联立直线AD与抛物线解析式有x2﹣4x+3＝x﹣1，解得x＝1或x＝4，
当x＝1时，y＝﹣x+3＝2，当x＝4时，y＝﹣x+3＝﹣1，
∴E点坐标为（1，2）或（4，﹣1），
综上可知存在满足条件的点E，其坐标为（2+2，1-2）或（2-2，1+2）或（1，2）或（4，﹣1）．
【小结】本题为二次函数的综合应用，涉及待定系数法，二次函数的顶点式，直角三角形的判定及性质，方程思想及分类讨论思想等知识点．在（1）中注意抛物线三种形式的解析式的灵活运用，在（2）中确定出点E的位置是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性较强，难度适中．
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