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初中数学 章节考点梳理 解直角三角形涉及的14个必考点全梳理 学案
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考点1 锐角三角函数的定义
锐角角A的正弦（sin）,余弦（cos）和正切（tan）,都叫做角A的锐角三角函数。
正弦（sin）等于对边比斜边， 余弦（cos）等于邻边比斜边 正切（tan）等于对边比邻边.
例题1 在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝α，若BC＝m，则AB的长为（ ）
A．mcosα B．m•cosα C．m•sinα D．m•tanα
【分析】根据解直角三角形的三角函数解答即可．
【解析】如图所示：
∵cosα=BCAB，∴AB=mcosα，
故选：A．
【小结】本题考查了锐角三角函数的定义的应用，关键是根据学生的理解能力和计算能力解答．
变式1 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，下列各组线段的比不能表示sin∠BCD的（ ）
A．BDBC B．BCAB C．CDBC D．CDAC
【分析】根据三角形内角和定理求出∠BCD＝∠A，再解直角三角形得出即可．
【解析】∵CD⊥AB，∴∠CDA＝∠CDB＝90°，
∵∠ACB＝90°，∴∠BCD+∠ACD＝90°，∠A+∠ACD＝90°，
∴∠BCD＝∠A，∴sin∠BCD＝sinA=BCAB=CDAC=BDBC，
即只有选项C错误，选项A、B、D都正确，
【小结】本题考查了锐角三角函数的定义，能熟记锐角三角函数的定义的内容是解此题的关键，注意：在Rt△ACB中，∠C＝90°，则sinA=BCAB，cosA=ACAB，tanA=BCAC，cotA=ACBC．
变式2 如图，BD⊥AC于D，CE⊥AB于E，BD与CE相交于O，则图中线段的比不能表示sinA的式子为（ ）
A．BDAB B．CDOC C．AEAD D．BEOB
【分析】根据BD⊥AC于D，CE⊥AB于E，利用锐角三角函数的定义进行求解即可．
【解析】A、∵BD⊥AC于D，CE⊥AB于E，∴sinA=BDAB=ECAC，故A不合题意；
B、∵∠A+∠ACE＝90°，∠ACE+∠COD＝90°，∴∠A＝∠COD，
∴sinA＝sin∠COD=CDOC，故B不合题意；
C、无法得出sinA=AEAD，故C符合题意；
D、∵∠BOE＝∠COD，∴∠A＝∠BOE，∴sinA＝sin∠BOE=BEBO，故D不合题意；
【小结】本题主要考查的是锐角三角函数的定义的有关知识，正确掌握边角关系是解题关键．
变式3 如图，△ACB中，∠ACB＝Rt∠，已知∠B＝α，∠ADC＝β，AB＝a，则BD的长可表示为（ ）
A．a•（cosα﹣cosβ） B．atanβ-tanα C．acosα-a⋅sinαtanβ D．a•cosα﹣asinα•a•tanβ
【分析】利用锐角三角函数关系分别表示出BC，DC的长进而得出答案．
【解析】∵∠C＝90°，∠B＝α，∠ADC＝β，AB＝a，∴cosB＝cosα=BCAB=BCa，
则BC＝a•cosα，sinB＝sinα=ACAB=ACa，
故AC＝a•sinα，则tanβ=ACDC，
故DC=ACtanβ=a⋅sinαtanβ，则BD＝BC﹣DC＝a•cosα-a⋅sinαtanβ．
故选：C．
【小结】此题主要考查了锐角三角函数的定义，正确表示出DC的长是解题关键．
考点2 网格中的锐角三角函数值计算
解决此类问题的关键在于构造直角三角形，利用勾股定理求解各边的长度，有时还会运用面积法来求解关键边的长度.
例题2 如图，在6×6的正方形网格中，△ABC的顶点都在小正方形的顶点上，则tan∠BAC的值是（ ）
A．45 B．43 C．34 D．35
【分析】过点B作BD⊥AC，交AC延长线于点D，利用正切函数的定义求解可得．
【解析】如图，过点B作BD⊥AC，交AC延长线于点D，
则tan∠BAC=BDAD=34，故选：C．
【小结】本题主要考查三角函数的定义，解题的关键是掌握正切函数的定义：锐角A的对边a与邻边b的比叫做∠A的正切．
变式4 如图，在网格中，小正方形的边长均为1，点A、B、O都在格点上，则∠OAB的正弦值是 ．
【分析】过点O作OC⊥AB的延长线于点C，构建直角三角形ACO，利用勾股定理求出斜边OA的长，即可解答．
【解析】如图，过点O作OC⊥AB的延长线于点C，则AC＝4，OC＝2，
在Rt△ACO中，AO=AC2+OC2=42+22=20=25，∴sin∠OAB=OCOA=225=55．
故答案为：55．
【小结】本题考查了解直角三角形，锐角三角函数的定义和勾股定理，作出辅助线并利用网格构造直角三角形是解题的关键．
变式5 如图，将∠BAC放置在5×5的正方形网格中，如果顶点A、B、C均在格点上，那么∠BAC的正切值为 ．
【分析】连接BC，先利用勾股定理逆定理证△ABC是等腰直角三角形，再根据正切函数的定义可得．
【解析】如图所示，连接BC，
则AB＝BC=12+32=10，AC=22+42=25，
∴AB2+BC2＝10+10＝20＝AC2，
∴△ABC是等腰直角三角形，且∠ABC＝90°，
∴∠BAC＝45°，则tan∠BAC＝1，
故答案为：1．
【小结】本题主要考查锐角三角函数的定义，解题的关键是掌握勾股定理及其逆定理和三角函数的定义．
变式6 如图，△ABC的三个顶点都在正方形网格的格点上，则sin∠ACB的值为 ．
【分析】根据勾股定理，可得BC、AC的长，求出△ABC的面积，求出高AN，解直角三角形求出即可．
【解析】
设小正方形的边长为1，
则由勾股定理得：BC=32+42=5，AC=12+22=5，
∵S△ABC＝S△BDC﹣S正方形EAFD﹣S△AFC﹣S△BEA=12×4×3-1×1-12×1×2-12×3×1=52，
∴12×BC×AN=52，∴AN＝1，∴sin∠ACB=ANAC=15=55，
故答案为：55．
【小结】本题考查了锐角三角函数的定义和勾股定理，能构造直角三角形是解此题的关键，注意：在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边．
考点3 锐角三角函数的增减性
解决此类问题的关键在于掌握锐角三角函数的增减性，当角度在0°～90°间变化时，
正弦值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）
余弦值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）
正切值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）
例题3 sin58°、cos58°、cos28°的大小关系是（ ）
A．cos28°＜cos58°＜sin58° B．sin58°＜cos28°＜cos58°
C．cos58°＜sin58°＜cos28° D．sin58°＜cos58°＜cos28°
【分析】先把正弦化成余弦，然后根据锐角三角函数值的变化规律：锐角余弦值随着角度的增大而减小进行排列大小．
【解析】sin58°＝cos32°．
∵58°＞32°＞28°，∴cos58°＜cos32°＜cos28°，∴cos58°＜sin58°＜cos28°．
故选：C．
【小结】本题考查了锐角三角形的增减性，当角度在0°～90°间变化时，①正弦值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）；②余弦值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）；③正切值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）．也考查了互余两角的三角函数之间的关系．
变式7 比较大小：
（1）cos35° cos45°，tan50° tan60°；
（2）若sinα＝0.3276，sinβ＝0.3274，则α β．
【分析】（1）根据余弦值随角度的增大余弦值越小，正切值随角度的增增大而增大，进而得出答案；
（2）利用正弦值随角度的增大而增大，进而得出答案．
【解析】（1）cos35°＞cos45°，tan50°＜tan60°；
故答案为：＞，＜；
（2）∵sinα＝0.3276，sinβ＝0.3274，
则α＞β．
故答案为：＞．
【小结】此题主要考查了锐角三角函数的增减性，熟练记忆锐角三角函数增减性是解题关键．
变式8 比较大小：sin81° tan47°（填“＜”、“＝”或“＞”）．
【分析】根据sin81°＜1，tan47°＞1即可求解．
【解析】∵sin81°＜sin90°＝1，tan47°＞tan45°＝1，
∴sin81°＜1＜tan47°，
∴sin81°＜tan47°．
故答案为＜．
【小结】本题考查了锐角三角函数值的增减性：当角度在0°～90°间变化时，
①正弦值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）；
②余弦值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）；
③正切值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）．
也考查了不等式的传递性．
变式9 如图所示的网格是正方形网格，∠AOB ∠COD．（填“＞“，“＝”或“＜“）
【分析】连接CD，则CD⊥OD，过B作BE⊥OA于E，在Rt△OBE与Rt△OCD中，分别求∠AOB、∠COD的正切，根据锐角的正切值随着角度的增大而增大作判断即可．
【解析】连接CD，则CD⊥OD，过B作BE⊥OA于E，
在Rt△OBE中，tan∠AOB=BEOE=2，
在Rt△OCD中，tan∠COD=CDOD=33=1，
∵锐角的正切值随着角度的增大而增大，
∴∠AOB＞∠COD，
故答案为：＞．
【小结】本题考查了锐角三角函数的增减性，构建直角三角形求角的三角函数值进行判断，熟练掌握锐角三角函数的增减性是关键．
考点4 同角三角函数的关系
解决此类问题的关键在于掌握同角三角函数的关系：平方关系：sin2A+cos2A＝1；（2）正余弦与正切之间的关系（积的关系）：一个角的正切值等于这个角的正弦与余弦的比，即tanA=sinAcosA或sinA＝tanA•cosA．
例题4 如图，P是∠α的边OA上一点，且点P的横坐标为3，sinα=45，则tanα＝（ ）
A．35 B．34 C．43 D．45
【分析】先由sinα=PQOP=45求得PQ＝4，OP＝5，再根据正切函数的定义求解可得．
【解析】如图，
由sinα=PQOP=45可设PQ＝4a，OP＝5a，
∵OQ＝3，∴由OQ2+PQ2＝OP2可得32+（4a）2＝（5a）2，解得：a＝1（负值舍去），
∴PQ＝4，OP＝5，则tanα=PQOQ=43，
故选：C．
【小结】本题考查了锐角三角函数的定义，勾股定理的应用，能求出PQ、OP的长是解此题的关键．
变式10 若∠a为锐角，且tana是方程x2﹣2x﹣3＝0的一个根，则sinα等于（ ）
A．1 B．22 C．1010 D．31010
【分析】运用因式分解法解方程，根据锐角三角函数值都大于0，确定tanα的值，再根据锐角三角函数的定义求解．
【解析】解方程x2﹣2x﹣3＝0，得x＝﹣1或x＝3．
∵tana＞0，∴tana＝3．
设α所在的直角三角形的对边是3，则邻边是1．
根据勾股定理，得斜边是10．所以sinα=31010．
故选：D．
【小结】此题综合考查了一元二次方程的解法和锐角三角函数的知识．
变式11 在Rt△ABC中，∠C＝90°，下列式子正确的是（ ）
A．sinA+cosA＜1 B．sinA+cosA＝1 C．sinA+cosA＞1 D．sinA+cosA≥1
【分析】根据三角函数的定义得到sinA=ac，cosA=bc，则sinA+cosA=a+bc，然后根据三角形三边的关系可判断sinA+cosA＞1．
【解析】∵sinA=ac，cosA=bc，
∴sinA+cosA=a+bc，
∵a+b＞c，
∴sinA+cosA＞1．
故选：C．
【小结】本题考查了同角三角函数的关系：平方关系：sin2A+cos2A＝1；（2）正余弦与正切之间的关系（积的关系）：一个角的正切值等于这个角的正弦与余弦的比，即tanA=sinAcosA或sinA＝tanA•cosA．
变式12 已知sinαcosα=18，且0°＜α＜45°，则sinα﹣cosα的值为（ ）
A．32 B．-32 C．34 D．±32
【分析】把已知条件两边都乘以2，再根据sin2α+cos2α＝1，进行配方，然后根据锐角三角函数值求出cosα与sinα的取值范围，从而得到sinα﹣cosα＜0，最后开方即可得解．
【解析】∵sinαcosα=18，∴2sinα•cosα=14，
∴sin2α+cos2α﹣2sinα•cosα＝1-14，
即（sinα﹣cosα）2=34，
∵0°＜α＜45°，
∴22＜cosα＜1，0＜sinα＜22，
∴sinα﹣cosα＜0，
∴sinα﹣cosα=-32．
故选：B．
【小结】本题考查了同角的三角函数的关系，利用好sin2α+cos2α＝1，并求出sinα﹣cosα＜0是解题的关键．
考点5 互余两角三角函数的关系
解决此类问题的关键在于掌握互余角的三角函数间的关系：sin(90°-α)=cosα, cos(90°-α)=sinα,
例题5 如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC，垂足为D．给出下列四个结论：①sinα＝sinB；②sinβ＝sinC；③sinB＝cosC；④sinα＝cosβ．其中正确的结论有 ．
【分析】本题主要考查锐角三角函数的定义，根据∠A＝90°，AD⊥BC，可得∠α＝∠B，∠β＝∠C，再利用锐角三角函数的定义可列式进行逐项判断．
【解析】∵∠BAC＝90°，AD⊥BC，
∴∠α+∠β＝90°，∠B+∠β＝90°，∠B+∠C＝90°，
∴∠α＝∠B，∠β＝∠C，
∴sinα＝sinB，故①正确；
sinβ＝sinC，故②正确；
∵在Rt△ABC中sinB=ACBC，cosC=ACBC，
∴sinB＝cosC，故③正确；
∵sinα＝sinB，cos∠β＝cosC，
∴sinα＝cos∠β，故④正确；
故答案为①②③④．
【小结】本题主要考查锐角的三角函数，解题的关键是熟练掌握互余两角的三角函数间的关系．
变式13 已知α为锐角，sinα+cos（90°﹣α）=3，则α＝ ．
【分析】求出sinα的值即可解决问题；
【解析】∵sinα+cos（90°﹣α）=3，
∴2sinα=3，∴sinα=32，∴α＝60°，
故答案为60°．
【小结】本题考查互余两角三角函数的关系，特殊角的三角函数值等知识，记住sinA＝cos（90°﹣∠A），cosA＝sin（90°﹣∠A）是解题的关键；
变式14 若a＜60°，且sin（60°﹣a）=1215，则cos（30°+a）＝ ．
【分析】由于60°﹣α+30°+α＝90°，且α＜60°，即60°﹣α和30°+α互余，根据互余两角的三角函数的关系即可得到cos（30°+α）＝sin（60°﹣a）=45．
【解析】∵60°﹣α+30°+α＝90°，且α＜60°，
∴cos（30°+α）＝sin（60°﹣a）=45．
故答案为45．
【小结】本题考查了互余两角的三角函数的关系：若∠A+∠B＝90°，则sinA＝cosB，cosA＝sinB．
变式15 化简：(1-sin57°37')2-|cos32°23'-1|= ．
【分析】先化简二次根式和去绝对值符号，再根据互余两角三角函数的关系计算即可求解．
【解析】(1-sin57°37')2-|cos32°23'-1|
＝1﹣sin57°37′+cos32°23′﹣1
＝1﹣sin57°37′+sin57°37′﹣1
＝0．
故答案为：0．
【小结】考查了互余两角三角函数的关系，若∠A+∠B＝90°，那么sinA＝cosB或sinB＝cosA．
考点6 特殊角的三角函数值的计算
解决此类问题的关键在于熟记特殊角三角函数值：
例题6 计算：
（1）2sin30°+3cos60°﹣4tan45° （2）cos230°1+sin30°+tan260°
【分析】（1）直接利用特殊角的三角函数值进而分别代入求出答案；
（2）直接利用特殊角的三角函数值进而分别代入求出答案．
【解析】（1）原式=2×12+3×12-4×1
=1+32-4 =-32；
（2）原式=(32)1+122+(3)2
=3432+3=72．
【小结】此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键．
变式16 计算：3tan30°-1cos60°+8cos45°+(1-tan60°)2
【分析】代入特殊角的三角函数值即可．
【解析】原式＝3×33-112+8×22+(1-3)2
=3-2+2+3-1
＝23-1．
【小结】考查了特殊角的三角函数值，属于只记内容，熟练掌握特殊角的三角函数值，代入求值即可．
变式17 计算：2sin260°-cos60°tan260°+4cos45°
【分析】直接利用特殊角的三角函数值代入进而得出答案．
【解析】原式=2×(32)2-12(3)2+4×22
=13+22
=3-22(3+22)(3-22)
＝3﹣22．
【小结】此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键．
变式18 计算
（1）3tan60°﹣tan245°﹣2cos30°． （2）1-2tan30°+tan230°+2sin230°-sin45°cos45°．
【分析】（1）直接利用特殊角的三角函数值分别代入化简得出答案；
（2）直接利用特殊角的三角函数值分别代入化简得出答案．
【解析】（1）原式＝33-1﹣2×32
＝33-1-3
＝23-1；
（2）原式=(1-33)2+2×（12）2-2222
＝1-33+12-1
=-33+12．
【小结】此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键．
考点7 特殊角的三角函数值中的新定义问题
例题7 嘉琪在某次作业中得到如下结果：
sin27°+sin283°≈0.122+0.992＝0.9945，sin222°+sin268°≈0.372+0.932＝1.0018，sin229°+sin261°≈0.482+0.872＝0.9873，sin237°+sin253°≈0.602+0.802＝1.0000，sin245°+sin245°＝（22）2+（22）2＝1．
据此，嘉琪猜想：在Rt△ABC中，∠C＝90°，设∠A＝α，有sin2α+sin2（90°﹣α）＝1．
（1）当α＝30°时，验证sin2α+sin2（90°﹣α）＝1是否成立．
（2）请你对嘉琪的猜想进行证明．
【分析】（1）将α＝30°代入，根据三角函数值计算可得；
（2）设∠A＝α，则∠B＝90°﹣α，根据正弦函数的定义及勾股定理即可验证．
【解析】（1）当α＝30°时，
sin2α+sin2（90°﹣α）
＝sin230°+sin260°
＝（12）2+（32）2
=14+34 ＝1；
（2）嘉琪的猜想成立，证明如下：
如图，在△ABC中，∠C＝90°，
设∠A＝α，则∠B＝90°﹣α，
∴sin2α+sin2（90°﹣α）
＝（BCAB）2+（ACAB）2
=BC2+AC2AB2
=AB2AB2 ＝1．
【小结】本题主要考查特殊锐角的三角函数值及正弦函数的定义，熟练掌握三角函数的定义及勾股定理是解题的关键．
变式19 阅读下列材料，并完成相应的任务．初中阶段，我们所学的锐角三角函数反映了直角三角形中的边角关系：
sinα=BCAC cosα=ABAC tanα=BCAB
一般地，当α、β为任意角时，sin（α+β）与sin（α﹣β）的值可以用下面的公式求得：
sin（α+β）＝sinαcosβ+cosαsinβ
sin（α﹣β）＝sinαcosβ﹣cosαsinβ
例如sin15°＝sin（45°﹣30°）＝sin45°cos30°﹣cos45°sin30°
=22×32-22×12=6-24
根据上述材料内容，解决下列问题：
（1）计算：sin75°＝ ；
（2）在Rt△ABC中，∠A＝75°，∠C＝90°，AB＝4，请你求出AC和BC的长．
【分析】（1）根据公式可求．
（2）根据锐角的三角函数值，求AC和BC的值．
【解析】（1）sin75°＝sin（30°+45°）
＝sin30°cos45°+cos30°sin45°
=12×22+32×22 =2+64，
故答案为：2+64．
（2）Rt△ABC中，∵sin∠A＝sin75°=BCAB=2+64
∴BC＝AB×2+64=4×2+64=2+6
∵∠B＝90﹣∠A∴∠B＝15°
∵sin∠B＝sin15°=ACAB=6-24
∴AC＝AB×6-24=6-2
【小结】本题考查了同角三角函数关系，利用特殊的三角函数值求线段的长度是本题的关键．
变式20 规定：sin（﹣x）＝﹣sinx，cos（﹣x）＝cosx，sin（x+y）＝sinx•cosy+cosx•siny．据此
（1）判断下列等式成立的是 （填序号）．
①cos（﹣60°）=-12；②sin2x＝2sinx•cosx；③sin（x﹣y）＝sinx•cosy﹣cosx•siny．
（2）利用上面的规定求①sin75° ②sin15°．
【分析】（1）根据已知中的定义以及特殊角的三角函数值即可判断；
（2）利用已知进而将原式变形求出答案．
【解析】（1）①cos（﹣60°）＝cos60°=12，命题错误；
②sin2x＝sinx•cosx+cosx•sinx＝2sinx•cosx，命题正确；
③sin（x﹣y）＝sinx•cos（﹣y）+cosx•sin（﹣y）＝sinx•cosy﹣cosx•siny，命题正确．
故答案为：②③；
（2）①sin75°＝sin（30°+45°）＝sin30°•cos45°+cos30°•sin45°=12×22+32×22=24+64=6+24；
②sin15°＝sin（45°﹣30°）＝sin45°•cos30°﹣cos45°•sin30°
=22×32-22×12
=6-24．
【小结】本题考查锐角三角函数以及特殊角的三角函数值，正确理解三角函数的定义是关键．
变式21 对于钝角α，定义它的三角函数值如下：
sinα＝sin（180°﹣α），cosα＝﹣cos（180°﹣α）
（1）求sin120°，cos120°，sin150°的值；
（2）若一个三角形的三个内角的比是1：1：4，A，B是这个三角形的两个顶点，sinA，cosB是方程4x2﹣mx﹣1＝0的两个不相等的实数根，求m的值及∠A和∠B的大小．
【分析】（1）按照题目所给的信息求解即可；
（2）分三种情况进行分析：①当∠A＝30°，∠B＝120°时；②当∠A＝120°，∠B＝30°时；③当∠A＝30°，∠B＝30°时，根据题意分别求出m的值即可．
【解析】（1）由题意得，
sin120°＝sin（180°﹣120°）＝sin60°=32，
cos120°＝﹣cos（180°﹣120°）＝﹣cos60°=-12，
sin150°＝sin（180°﹣150°）＝sin30°=12；
（2）∵三角形的三个内角的比是1：1：4，
∴三个内角分别为30°，30°，120°，
①当∠A＝30°，∠B＝120°时，方程的两根为12，-12，
将12代入方程得：4×（12）2﹣m×12-1＝0，解得：m＝0，
经检验-12是方程4x2﹣1＝0的根，
∴m＝0符合题意；
②当∠A＝120°，∠B＝30°时，两根为32，32，不符合题意；
③当∠A＝30°，∠B＝30°时，两根为12，32，
将12代入方程得：4×（12）2﹣m×12-1＝0，
解得：m＝0，
经检验32不是方程4x2﹣1＝0的根．
综上所述：m＝0，∠A＝30°，∠B＝120°．
【小结】本题考查了特殊角的三角函数值，解答本题的关键是按照题目所给的运算法则求出三角函数的值和运用分类讨论的思想解题，难度一般．
考点8 解直角三角形
解决此类问题的关键在于解直角三角形（Rt△ABC,∠C＝90°）
①三边之间的关系：a2+b2=c2；②两锐角之间的关系：∠A＋∠B＝90°；③边角之间的关系；正弦（sin）等于对边比斜边， 余弦（cos）等于邻边比斜边 正切（tan）等于对边比邻边.；④解直角三角形中常见类型：①已知一边一锐角．②已知两边．
例题8 如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，BC＝14，AD＝12，sinB=45．
（1）求线段CD的长度；
（2）求cos∠C的值．
【分析】根据sinB=45，求得AB＝15，由勾股定理得BD＝9，从而计算出CD，再利用三角函数，求出cos∠C的值即可．
【解析】（1）∵AD是BC上的高，
∴∠ADB＝∠ADC＝90°．
∵sinB=45，AD＝12，
∴AB＝15，
∴BD=AB2-AD2=152-122=9，
∵BC＝14，
∴DC＝BC﹣BD＝14﹣9＝5；
（2）由（1）知，CD＝5，AD＝12，
∴AC=AD2+CD2=122+52=13，
cosC=CDAC=513．
【小结】本题考查了解直角三角形中三角函数的应用，熟练掌握好三角形边角之间的关系是解题的关键．
变式22 如图，在Rt△ABC中，设a，b，c分别为∠A，∠B，∠C的对边，∠C＝90°，b＝8，∠A的平分线AD=1633，求∠B，a，c的值．
【分析】根据锐角三角函数，可以求得∠CAD的度数，从而可以得到∠CAB的度数，然后即可得到∠B的度数，再根据锐角三角函数即可得到a、c的值．
【解析】∵∠C＝90°，b＝8，∠A的平分线AD=1633，
∴cos∠CAD=ACAD=81633=32，
∴∠CAD＝30°，
∴∠CAB＝60°，
∴∠B＝30°，
∴c＝2b＝16，a=btan30°=833=83，
即∠B＝30°，a＝83，c＝16．
【小结】本题考查解直角三角形，解答本题的关键是明确题意，利用锐角三角函数解答．
变式23 如图，Rt△ABC中，∠A＝90°，AD、AE分别是BC边的中线和高，若cosB=35，BC＝10．
（1）求AB的长； （2）求AE的长； （3）求sin∠ADB的值．
【分析】（1）在Rt△ABC中，通过解直角三角形可求出AB的长；
（2）在Rt△ABC中，利用勾股定理可求出AC的长，再利用面积法可求出AE的长；
（3）利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可求出AD的长，在Rt△AED中，利用正弦的定义可求出sin∠ADB的值．
【解析】（1）在Rt△ABC中，∠A＝90°，cosB=ABBC，BC＝10，
∴AB＝BC•cosB＝10×35=6．
（2）在Rt△ABC中，∠A＝90°，BC＝10，AB＝6，
∴AC=BC2-AB2=102-62=8．
∵AE是BC边的高，
∴12AC•AB=12BC•AE，即12×8×6=12×10AE，∴AE=245．
（3）Rt△ABC中，AD是BC边的中线，BC＝10，
∴AD=12BC＝5．
在Rt△AED中，∠AED＝90°，AD＝5，AE=245，
∴sin∠ADB=AEAD=2455=2425．
【小结】本题考查了解直角三角形以及勾股定理，解题的关键是：（1）利用余弦的定义，找出AB＝BC•cosB；（2）利用面积法，求出AE的长；（3）利用正弦的定义，求出sin∠ADB的值．
变式24 如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，cosA=35，BC＝12，D是AB的中点，过点B作直线CD的垂线，垂足为点E．
求：（1）线段CD的长； （2）cos∠ABE的值．
【分析】（1）在△ABC中根据正弦的定义得到cosA=ACAB=35，则可计算出AB＝15，然后根据直角三角形斜边上的中线性质即可得到CD=12AB=152．
（2）在Rt△ABC中先利用勾股定理计算出AC＝6，在根据三角形面积公式得到S△BDC＝S△ADC，则S△BDC=12S△ABC，即12CD•BE=12•12AC•BC，于是可计算出BE=365，然后在Rt△BDE中利用余弦的定义求解．
【解析】（1）在△ABC中，∵∠ACB＝90°，∴cosA=ACAB=35，
∴可以假设AC＝3k，AB＝5k，则BC＝4k，
而BC＝12，∴k＝3，∴AB＝15
∵D是AB中点，
∴CD=12AB=152．
（2）在Rt△ABC中，∵AB＝15，BC＝12，AC＝9，
∵D是AB中点，
∴BD=152，S△BDC＝S△ADC，
∴S△BDC=12S△ABC，即12CD•BE=12•12AC•BC，
∴BE=9×122×152=365，
在Rt△BDE中，cos∠ABE=BEBD=365152=2425，
即cos∠ABE的值为2425．
【小结】本题考查了解直角三角形：在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形．也考查了直角三角形斜边上的中线性质和三角形面积公式．
考点9 解斜三角形
解决此类问题的关键在于作垂线将斜三角形分割成两个直角三角形，进而通过解直角三角形进行求解.
例题9 如图，在△ABC中，∠BAC＝120°，AC＝6，AB＝4，则BC的长是（ ）
A．62 B．219 C．213 D．9
【分析】作CD⊥AB，根据直角三角形的性质求出AD，根据勾股定理求出CD，根据勾股定理计算，得到答案．
【解析】过点C作CD⊥AB，交BA的延长线于点D，
∵∠BAC＝120°，
∴∠DAC＝180°﹣120°＝60°，
∴∠ACD＝30°，
∴AD=12AC＝3，
∴BD＝AB+AD＝7，
由勾股定理得，CD=AC2-AD2=33，
在Rt△BCD中，BC=BD2+CD2=219，
故选：B．
【小结】本题考查的是解直角三角形，掌握含30°的直角三角形的性质、勾股定理是解题的关键．
变式25 如图，在△ABC中，∠A＝30°，tanB=34，AC＝63，求AB的长．
【分析】过点C作CD⊥AB于点D，根据∠A＝30°，tanB=34，AC＝63可求出AD与BD的长度．
【解析】如图，过点C作CD⊥AB于点D．
∵在Rt△CDA中，∠A＝30°，
∴CD＝AC•sin30°＝33，AD＝AC×cos30°＝9，
在Rt△CDB中，
∵tanB=34
∴CDBD=34
∴BD＝43，
∴AB＝AD+DB＝9+43．
【小结】本题考查解直角三角形，解题的关键是熟练运用锐角三角函数的定义，本题属于中等题型．
变式26 已知．在△ABC中，BC=2AC，∠BCA＝135°，求tanA的值．
【分析】过B点作BD⊥AC交AC的延长线于D点，根据等腰直角三角形的性质得到BD＝CD=22BC，根据正切的定义计算即可．
【解析】过B点作BD⊥AC交AC的延长线于D点，
则∠BCD＝45，∴BD＝CD=22BC，
设AC＝k，则BD＝CD＝k，AD＝2k，
tanA=BDAD=12．
【小结】本题考查的是解直角三角形，掌握等腰直角三角形的性质、正切的定义是解题的关键．
变式27 如图，在△ABC中，∠B＝45°，∠C＝75°，夹边BC的长为6．求△ABC的面积．
【分析】如图，作CD⊥AB于点D．解直角三角形求出CD，AB即可解决问题．
【解析】如图，作CD⊥AB于点D．
∵∠B＝45°，CD⊥AB，
∴∠BCD＝45°，
∵BC＝6，
∴CD=32，
在Rt△ACD中，∠ACD＝75°﹣45°＝30°，
∴tan30°=AD32，
∴AD=32×33=6，
∴S=12×(32+6)×32=9+33，
∴△ABC的面积是9+33．
【小结】本题考查解直角三角形，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造特殊三角形解决问题．
考点10 解直角三角形（作垂线）
例题10 如图，在四边形ABCD中，AB＝8，BC＝3，CD＝5，∠BCD＝120°，∠ADC+∠ABC＝180°．
（1）求△BCD的面积；
（2）求cos∠ADB．
【分析】（1）在Rt△DEC中，∠E=90°，sin∠DCE=DECD，求出DE的长度，即可求解；
（2）在Rt△DEB中，由勾股定理知：DE2+BE2＝BD2，求出BD的长度；同理在Rt△DFB中，求出DF的长度，即可求解．
【解析】（1）过点D作DE⊥BC交BC的延长线于E，
∵∠BCD＝120°，∴∠DCE＝60°，
在Rt△DEC中，∠E=90°，sin∠DCE=DECD，cos∠DCE=CECD，CD=5，
∴DE=CD⋅sin∠DCE=5×sin60°=532，CE=CD⋅cos∠DCE=5×cos60°=52，
∵BC＝3，∴S△BCD=12BC⋅DE=12×3×532=1534；
（2）过点B作BF⊥AD于F，
∵∠BCD＝120°，∠ADC+∠ABC＝180°，∴∠A＝60°，
∵在Rt△AFB中，∠AFB＝90°，sin∠A=BFAB，AB=8，∴BF=AB⋅sin∠A=8×sin60°=43，
∵BE=BC+CE=3+52=112；∵在Rt△DEB中，∠E＝90°，
由勾股定理知：DE2+BE2＝BD2，∴BD=DE2+BE2=(532)2+(112)2=7，
∵在Rt△DFB中，∠DFB＝90°，
由勾股定理知：DF2+BF2＝BD2，∴DF=BD2-BF2=72-(43)2=1，
∴在Rt△DFB中，∠DFB＝90°，cos∠ADB=DFAB=17．
【小结】此题是一个综合性很强的题目，主要考查勾股定理的运用、三角形面积计算、解直角三角形等知识点，难度很大，有利于培养同学们钻研和探索问题的精神．
变式28 已知：BD是四边形ABCD的对角线，AB⊥BC，∠C＝60°，AB＝1，BC＝3+3，CD＝23
（1）求∠ABD的值； （2）求AD的长．
【分析】（1）过点D作DE⊥BC于点E，根据∠C＝60°求出CE、DE，再求出BE，从而得到DE＝BE，然后求出∠EDB＝∠EBD＝45°，再求出∠ABD＝45°，然后根据特殊角的三角函数值解答；
（2）过点A作AF⊥BD于点F，求出BF＝AF=22，再求出BD，然后求出DF，在Rt△ADF中，利用勾股定理列式计算即可得解．
【解析】（1）过点D作DE⊥BC于点E，
∵在Rt△CDE 中，∠C＝60°，CD＝23，
∴CE=3，DE＝3，
∵BC＝3+3，
∴BE＝BC﹣CE＝3+3-3=3，
∴DE＝BE＝3，
∴在Rt△BDE 中，∠EDB＝∠EBD＝45°，
∵AB⊥BC，∠ABC＝90°，
∴∠ABD＝∠ABC﹣∠EBD＝45°；
（2）过点A作AF⊥BD于点F．
在Rt△ABF中，∠ABF＝45°，AB＝1，
∴BF＝AF=22，
∵在Rt△BDE中，DE＝BE＝3，
∴BD＝32，
∴DF＝BD﹣BF＝32-22=522，
∴在Rt△AFD 中，AD=DF2+AF2=(522)2+(22)2=13．
【小结】本题考查了勾股定理，解直角三角形，根据边的长度得到等腰直角三角形是解题的关键，难点在于作辅助线构造成直角三角形．
变式29 已知：如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°，DE⊥BC于E，连接BD，设AD＝m，DC＝n，BE＝p，DE＝q．
（1）若tanC＝2，BE＝3，CE＝2，求点B到CD的距离；
（2）若m＝n，BD=32，求四边形ABCD的面积．
【分析】（1）要求点B到CD的距离，于是作垂线构造直角三角形，又知tanC＝2，BE＝3，CE＝2，可以得到BF＝2FC，设未知数根据勾股定理列方程可以求解．
（2）m＝n，即AD＝DC，通过作垂线，构造全等三角形将问题转化为求正方形BEDG的面积即可．
【解析】（1）过点B作BF⊥CD，垂足为F，则∠BFC＝90°
∵DE⊥BC，∴∠DEC＝∠DEB＝90°，
在Rt△DEC中，∵tanC＝2，EC＝2，∴DE＝4，
在Rt△BFC中，∵tanC＝2，∴BF＝2FC，
设BF＝x，则FC=12x，∵BF2+FC2＝BC2，
∴x2+（12x）2＝（3+2）2，解得：x=25，即：BF=25，
答：点B到CD的距离是25．
（2）过点D作DG⊥AB，交BA的延长线相交于点G，
∵四边形ABCD的内角和是360°，∠ABC＝∠ADC＝90°，∴∠C+∠BAD＝180°，
又∵∠BAD+∠GAD＝180°，∴∠C＝∠GAD，
∵∠DEC＝∠G＝90°，AD＝CD
∴△DEC≌△DGA，（AAS）∴DE＝DG，
∴四边形BEDG是正方形，
∴S四边形ABCD＝S正方形BEDG=12BD2＝9．
答：四边形ABCD的面积是9．
【小结】考查解直角三角形，勾股定理、和全等三角形等知识，作垂线构造直角三角形是常用的辅助线作法，通过作辅助线将问题转化求正方形的面积．
变式30 如图，在四边形ABCD中，∠DAB＝60°，AD：AB＝2：3，BD=7，AB⊥BC．
（1）求sin∠ABD的值．
（2）若∠BCD＝120°，求CD的长．
【分析】（1）作DE⊥AB于E，CF⊥DE于F．设AE＝a．在Rt△BDE中，利用勾股定理构建方程求出a，即可解决问题；
（2）作CF⊥DE于F．首先证明四边形CFEB是矩形，解直角三角形△CFB即可解决问题；
【解析】（1）作DE⊥AB于E，设AE＝a．
在Rt△ADE中，∵∠A＝60°，AE＝a，
∴∠ADE＝30°，∴AD＝2a，DE=3a，
∵AD：AB＝2：3，∴AB＝3a，EB＝2a，
在Rt△DEB中，（3a）2+（2a）2＝（7）2，解得a＝1，
∴DE=3，BE＝2，∴sin∠ABD=DEBD=37=217．
（2）CF⊥DE于F．
∵CB⊥AB，CF⊥DE，
∴∠CFE＝∠FEB＝∠CBE＝90°，
∴四边形CFEB是矩形，
∴CF＝EB＝2，BC＝EF，
∵∠DCB＝120°，∠FCB＝90°，
∴∠DCF＝30°，
∴DF＝CF•tan30°=233，
∴CD＝2DF=433．
【小结】本题考查解直角三角形，矩形的判定和性质，直角三角形30度角性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
考点11 解直角三角形的应用（实物建模问题）
例题11 如图1，图2分别是网上某种型号拉杆箱的实物图与示意图，根据商品介绍，获得了如下信息：滑杆DE、箱长BC、拉杆AB的长度都相等，即DE＝BC＝AB，点B、F在线段AC上，点C在DE上，支杆DF＝30cm，CE：CD＝1：3，∠DCF＝45°，∠CDF＝30°．
请根据以上信息，解决下列问题；
（1）求AC的长度（结果保留根号）；
（2）求拉杆端点A到水平滑杆ED的距离（结果保留到1cm）．
参考数据：2≈1.41，3≈1.73，6≈2.45．
【分析】（1）过F作FH⊥DE于H，解直角三角形即可得到结论；
（2）过A作AG⊥ED交ED的延长线于G，根据等腰直角三角形的性质即可得到结论．
【解析】（1）过F作FH⊥DE于H．∴∠FHC＝∠FHD＝90°．
∵∠FDC＝30°，DF＝30，∴FH=12DF=15，DH=32DF=153，
∵∠FCH＝45°，∴CH＝FH＝15，
∴CD=CH+DH=15+153，
∵CE：CD＝1：3，∴DE=43CD=20+203，
∵AB＝BC＝DE，
∴AC=(40+403)cm；
（2）过A作AG⊥ED交ED的延长线于G，
∵∠ACG＝45°，∴AG=22AC=202+206，＝20×1.41+20×2.45＝77.2≈77（cm）
答：拉杆端点A到水平滑杆ED的距离为77cm．
【小结】此题考查了解直角三角形的应用，主要是三角函数的基本概念及运算，关键是用数学知识解决实际问题．
变式31 目前，各大城市都在积极推进公共自行车建设，努力为人们绿色出行带来方便．图（1）所示的是一辆自行车的实物图．图（2）是自行车的车架示意图．CE＝30cm，DE＝20cm，AD＝25cm，DE⊥AC于点E，座杆CF的长为15cm，点A，E，C，F在同一直线上，且∠CAB＝75°，公共自行车车轮的半径约为30cm，且AB与地面平行．
（1）求车架中AE的长；
（2）求车座点F到地面的距离．（结果精确到1cm．参考数据：sin75°≈0.97，cos75°≈0.26，tan75°≈3.73）
【分析】（1）由DE⊥AC及DE，AD的长，利用勾股定理即可求出AE的长；
（2）作FG⊥AB于G，延长FG交地平线于点Q，由AE，CE，CF的长可得出FA的长，通过解直角三角形可求出FG的长，再结合FQ＝FG+GQ即可求出结论．
【解析】（1）∵DE⊥AC，DE＝20，AD＝25，
∴AE=AD2-DE2=252-202=15（cm）；
（2）在图（2）中，作FG⊥AB于G，延长FG交地平线于点Q．
∵AE＝15，CE＝30，CF＝15，
∴FA＝FC+CE+EA＝15+30+15＝60．
∵sin∠CAB=FGFA，
∴FG＝FA•sin∠CAB≈60×0.97＝58.2（cm），
∴FQ＝FG+GQ＝58.2+30＝88.2≈88（cm）．
答：车座点F到地面的距离约为88cm．
【小结】本题考查了勾股定理以及解直角三角形，解题的关键是：（1）利用勾股定理求出AE的长；（2）通过解直角三角形求出FG的长．
变式32 如图是一种简易台灯的结构图，灯座为△ABC（BC伸出部分不计），A、C、D在同一直线上．量得∠ACB＝90°，∠A＝60°，AB＝16cm，∠ADE＝135°，灯杆CD长为40cm，灯管DE长为15cm．
（1）求DE与水平桌面（AB所在直线）所成的角；
（2）当E点到水平桌面（AB所在直线）的距离为45cm﹣46cm时，视线最佳，通过计算说明此时光线是否为最佳．（参考数据：sin15°＝0.26，cos15°＝0.97，tan15°＝0.27，3=1.73．）
【分析】（1）过点D作DN⊥AB于点N，过E作EM⊥AB于点M，过点D作DF∥AB，交EM于F，得到四边形DNMF是矩形，进而得出∠EDF的值；
（2）利用锐角三角函数关系得出DN以及EF的值，进而得出答案．
【解析】（1）如图所示：过点D作DN⊥AB于点N，过E作EM⊥AB于点M，过点D作DF∥AB，交EM于F，
故四边形DNMF是矩形，
则∠NDF＝90°，
∵∠A＝60°，∠AND＝90°，∴∠ADN＝30°，∴∠EDF＝135°﹣90°﹣30°＝15°，
即DE与水平桌面（AB所在直线）所成的角为15°；
（2）如图所示：
∵∠ACB＝90°，∠A＝60°，AB＝16cm，∴∠ABC＝30°，∴AC=12AB＝8cm，
∵灯杆CD长为40cm，∴AD＝48cm，∴DN＝AD•cos30°≈41.76cm，
则FM＝41.76cm，
∵灯管DE长为15cm，∴sin15°=EFDE=EF15=0.26，解得：EF＝3.9（cm），
∴E点到水平桌面（AB所在直线）的距离为：3.9+41.76≈45.7（cm），
∵45cm＜45.7cm＜46cm，∴此时光线最佳．
【小结】此题主要考查了解直角三角形的应用，正确应用锐角三角函数关系是解题关键．
变式33 有一种升降熨烫台如图1所示，其原理是通过改变两根支撑杆夹角的度数来调整熨烫台的高度．图2是这种升降熨烫台的平面示意图．AB和CD是两根相同长度的活动支撑杆，点O是它们的连接点，OA＝OC，h（cm）表示熨烫台的高度．
（1）如图2．若AO＝CO＝80cm，∠AOC＝120°，求AC的长（结果保留根号）；
（2）爱动脑筋的小明发现，当家里这种升降熨烫台的高度h为128cm时，两根支撑杆的夹角∠AOC是74°
（如图3）．求该熨烫台支撑杆AB的长度．（参考数据：sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，sin53°≈0.8，cos53°≈0.6）
【分析】（1）过点O作OE⊥AC，垂足为E，利用等腰三角形的三线合一可得出∠AOE的度数及AC＝2AE，在Rt△AEO中，通过解直角三角形可求出AE的长，再结合AC＝2AE即可求出AC的长；
（2）过点B作BF⊥AC，垂足为F，则BF＝128cm，利用等腰三角形的性质及三角形内角和定理可求出∠OAC的度数，在Rt△ABF中，通过解直角三角形即可求出AB的长．
【解析】（1）如图2，过点O作OE⊥AC，垂足为E，
∵AO＝CO，∴∠AOE=12∠AOC=12×120°＝60°，AC＝2AE．
在Rt△AEO中，AE＝AO•sin∠AOE＝80×32=403，∴AC＝2AE＝803．
（2）如图3，过点B作BF⊥AC，垂足为F，则BF＝128cm．
∵AO＝CO，∠AOC＝74°，∴∠OAC＝∠OCA=180°-74°2=53°．
在Rt△ABF中，AB=BFsin∠BAC=1280.8=160cm．
【小结】本题考查了解直角三角形的应用、等腰三角形的性质以及三角形内角和定理，解题的关键是：（1）在Rt△AEO中，通过解直角三角形求出AE的长；（2）在Rt△ABF中，通过解直角三角形求出AB的长．
考点12 解直角三角形的应用（坡度坡脚问题）
解决此类问题的关键在于掌握坡度坡脚问题：
（1）坡度是坡面的铅直高度h和水平宽度l的比，又叫做坡比，它是一个比值，反映了斜坡的陡峭程度，一般用i表示，常写成i=1：m的形式．
（2）把坡面与水平面的夹角α叫做坡角，坡度i与坡角α之间的关系为：i=h/l=tanα．
（3）在解决坡度的有关问题中，一般通过作高构成直角三角形，坡角即是一锐角，坡度实际就是一锐角的正切值，水平宽度或铅直高度都是直角边，实质也是解直角三角形问题．
例题12 水坝的横截面是梯形ABCD，现测得坝顶DC＝4m，坡面AD的坡度i为1：1，坡面BC的坡角β为60°，坝高3m，（3≈1.73）求：
（1）坝底AB的长（精确到0.1）；
（2）水利部门为了加固水坝，在保持坝顶CD不变的情况下降低AD的坡度（如图），使新坡面DE的坡度i为1：3，原水坝底部正前方2.5m处有一千年古树，此加固工程对古树是否有影响？请说明理由．
【分析】（1）分别过C、D作CF⊥AB，DH⊥AB，垂足分别为F、H，易得四边形CDHF是矩形，从而CD＝HF＝4m，DH＝CF＝3m，在Rt△ADH中，由坡度i＝1：1，易得AH＝DH＝3m，在Rt△BCF中，坡面BC的坡角β为60°，坝高3m，易得BF，则AB＝AH+HF+FB＝8.7m；
（2）由题意得，Rt△EDH中，由坡面DE坡度i为1：3，易得AE＝EH﹣AH的值进而与2.5m比较即可．
【解析】（1）如图，分别过C、D作CF⊥AB，DH⊥AB，垂足分别为F、H，
得四边形CDHF是矩形，∴CD＝HF＝4m，DH＝CF＝3m，
在Rt△ADH中，由坡度i＝1：1，得AH＝DH＝3m，
在Rt△BCF中，∠B＝60°，CF＝3m，得BF=3m，
则AB＝AH+HF+FB＝7+1.7≈8.7m；则坝底AB的长约为8.7m；
（2）由题意得，Rt△EDH中，DH：EH＝1：3，
∴EH＝33m，则AE＝EH﹣AH＝33-3≈2.2m，
2.2m＜2.5m，所以没有影响．
【小结】本题考查了解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题，解决本题的关键是掌握坡度坡角定义．
变式34 如图是某地下停车库入口的设计示意图，已知坡道AB的坡比i＝1：2.4，AC的长为7.2米，CD的长为0.4米．按规定，车库坡道口上方需张贴限高标志，根据图中所给数据，确定该车库入口的限高数值（即点D到AB的距离）．
【分析】延长CD交AB于E，根据坡度和坡角可得CE＝3，DE＝2.6，过点D作DH⊥AB于H，根据锐角三角函数即可求出DH的长．
【解析】如图，
延长CD交AB于E，
∵i＝1：2.4，
∴tan∠CAB=12.4=512，
∴CEAC=512，
∵AC＝7.2，
∴CE＝3，
∵CD＝0.4，
∴DE＝2.6，
过点D作DH⊥AB于H，
∴∠EDH＝∠CAB，
∵tan∠CAB=512，
∴cos∠EDH=cos∠CAB=1213，
DH=DE×cos∠EDH=2.6×1213=2.4，
答：该车库入口的限高数值为2.4米．
【小结】本题考查了解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题，解决本题的关键是掌握坡度坡角定义．
变式35 如图，BC是坡角为30°，长为10米的一道斜坡，在坡顶灯杆CD的顶端D处有一探射灯，射出的边缘光线DA和DB与水平路面AB所成的夹角∠DAN和∠DBN分别是45°和60°．
（1）求灯杆CD的高度；
（2）求AB的长度（结果保留根号）．
【分析】（1）延长DC交AN于H．只要证明BC＝CD即可；
（2）在Rt△BCH中，求出BH、CH，在 Rt△ADH中求出AH即可解决问题．
【解析】（1）延长DC交AN于H．
∵∠DBH＝60°，∠DHB＝90°，
∴∠BDH＝30°，
∵∠CBH＝30°，
∴∠CBD＝∠BDC＝30°，
∴BC＝CD＝10（米）．
（2）在Rt△BCH中，CH=12BC＝5，BH＝53，
∴DH＝15，
在Rt△ADH中，AH=DHtan45°=15，
∴AB＝AH﹣BH＝（15﹣53）（米）．
答：AB的长度约为（15﹣53）米．
【小结】本题考查解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．
变式36 如图，水坝的横截面是梯形ABCD，迎水坡BC的坡角α为30°，背水坡AD的坡度i为1：1.2，坝顶宽DC＝2.5米，坝高5米．求：
（1）坝底宽AB的长（结果保留根号）；
（2）在上题中，为了提高堤坝的防洪能力，市防汛指挥部决定加固堤坝，要求坝顶CD加宽0.5米，背水坡AD的坡度改为1：1.4，已知堤坝的总长度为5km，求完成该项工程所需的土方（结果保留根号）．
【分析】（1）作DF⊥AB，根据坡度的概念求出AF，根据正切的定义求出BE，得到坝底宽AB的长；
（2）作D′G⊥A′B，求出CD′、A′B，求出梯形的面积公式计算，得到答案．
【解析】（1）作DF⊥AB，垂足为F，
∵DC∥EF，DF∥CE，DF⊥AB，∴四边形DFEC为矩形，
∴FE＝DC＝2.5，DF＝CE＝5，
在Rt△AFD中，坡AD的坡度i为1：1.2，∴AF＝1.2DF＝1.2×5＝6，
在Rt△CEB中，tanα=CEEB，
∴BE=CEtan30°=53，
∴AB＝AF+FE+EB=172+53；
（2）如图，作D′G⊥A′B于G，
在Rt△A'GD′中，A′G＝1.4D′G＝7，
∴A′A＝A′G+GF﹣AF＝1.5，
∴梯形D′A′AD的面积=12×（0.5+1.5）×5＝5，
∴完成该项工程所需的土方＝5×5000＝25000，
答：完成该项工程所需的土方为25000立方米．
【小结】本题考查的是解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题，掌握坡度坡角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．
考点13 解直角三角形的应用（俯角仰角问题）
解决此类问题的关键在于掌握俯角仰角问题：
（1） 概念：仰角是向上看的视线与水平线的夹角；俯角是向下看的视线与水平线的夹角．
（2）解决此类问题要了解角之间的关系，找到与已知和未知相关联的直角三角形，当图形中没有直角三角形时，要通过作高或垂线构造直角三角形，另当问题以一个实际问题的形式给出时，要善于读懂题意，把实际问题划归为直角三角形中边角关系问题加以解决．
例题13 如图，在坡顶A处的同一水平面上有一座古塔BC，数学兴趣小组的同学在斜坡底P处测得该塔的塔顶B的仰角为45°，然后他们沿着坡度为1：2.4的斜坡AP攀行了26米，在坡顶A处又测得该塔的塔顶B的仰角为76°．求：
（1）坡顶A到地面水平线PO的距离；
（2）古塔BC的高度．（结果用非特殊角三角函数和根号表示即可）
【分析】（1）先过点A作AH⊥PO，根据斜坡AP的坡度为1：2.4，得出AHPH=512，设AH＝5k，则PH＝12k，AP＝13k，求出k的值即可．
（2）先延长BC交PO于点D，根据BC⊥AC，AC∥PO，得出BD⊥PO，四边形AHDC是矩形，再根据∠BPD＝45°，得出PD＝BD，然后设BC＝x，得出AC＝DH＝x﹣14，最后根据在Rt△ABC中，tan76°=BCAC，列出方程，求出x的值即可．
【解析】（1）过点A作AH⊥PO，垂足为点H，
∵斜坡AP的坡度为1：2.4，
∴AHPH=512，
设AH＝5k，则PH＝12k，由勾股定理，得AP＝13k，
∴13k＝26，解得k＝2，
∴AH＝10，
答：坡顶A到地面PO的距离为10米．
（2）延长BC交PO于点D，
∵BC⊥AC，AC∥PO，
∴BD⊥PO，
∴四边形AHDC是矩形，CD＝AH＝10，AC＝DH，
∵∠BPD＝45°，
∴PD＝BD，
设BC＝x，则x+10＝24+DH，
∴AC＝DH＝x﹣14，
在Rt△ABC中，tan76°=BCAC，即xx-14=tan76°．
解得x=14⋅tan76°tan76-1．
答：古塔BC的高度约为14⋅tan76°tan76°-1米．
【小结】此题考查了解直角三角形，用到的知识点是勾股定理、锐角三角函数、坡角与坡角等，关键是做出辅助线，构造直角三角形．
变式37 无影塔位于河南汝南城南，俗传冬至正午无塔影，故称无影塔；相传为唐代和尚悟颖所建，故又称“悟颖塔”，该塔应建于北宋中、早期，为豫南地区现存最古老砖塔某数学小组为了度量塔高进行了如下操作：用一架无人机在距离塔基（B）某处垂直起飞30米至点C处，测得塔基B处的俯角为75°，将无人机沿水平方向向右飞行8.6米至点D，在此处测得塔顶A的俯角为30°，请依据题中数据计算无影塔的高度．（结果精确到1cm，参考数据：sin75°≈0.97，cos75°≈0.26，tan75°≈3.73，3≈1.73）
【分析】过点C作CM⊥BO，垂足为M，过点D作DN⊥BO，垂足为N，设DC与BA的延长线交于点E，设AB为x米．由三角函数定义求出CE≈8.04，在Rt△AED中，由三角函数定义得出DE=3(30-x)，由CD＝DE﹣CE得出方程，解方程即可．
【解析】过点C作CM⊥BO，垂足为M，设DC与BA的延长线交于点E，如图：
设AB为x米．
∵∠E＝∠ABM＝∠BMC＝90°，
∴四边形EBMC为矩形，
∴MC＝BE＝30，
∵∠BCE＝75°，tan∠BCE=BECE=3.73，
∴CE≈303.73≈8.04，
在Rt△AED中，∠ADE＝30°，AE＝30﹣x，tan∠ADE=AEDE=33，
∴DE=3(30-x)，
∵CD＝DE﹣CE，
∴8.6=3(30-x)-8.04，解得：x≈20.38，
答：无影塔的高度约为20.38米．
【小结】本题考查解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，解题的关键是熟练掌握三角函数的应用．
变式38 第十一届全国少数民族传统体育运动会于2019年9月8日至16日在郑州举行，据了解，该赛事每四年举办一届，是我国规格最高、规模最大的综合性民族体育盛会，其中，花炮、押加、民族式摔跤三个项目的比赛在郑州大学主校区进行．如图，钟楼是郑州大学主校区标志性建筑物之一，是郑大的“第一高度”，寓意来自五湖四海的郑大人的团结和凝聚．小刚站在钟楼前C处测得钟楼顶A的仰角为53°，小强站在对面的教学楼三楼上的D处测得钟楼顶A的仰角为45°，此时，两人的水平距离EC为4m，已知教学楼三楼所在的高度为10m，根据测得的数据，计算钟楼AB的高度．
（参考数据：sin53°≈45，cos53°≈35，tan53°≈43）
【分析】作DF⊥AB于F，根据矩形的性质得到FB＝DE＝10，DF＝BE，根据等腰直角三角形的性质、正切的定义计算，得到答案．
【解析】作DF⊥AB于F，
设AB＝xm，
∵FB⊥EB，DE⊥EB，DF⊥AB，
∴四边形FBED为矩形，
∴FB＝DE＝10，DF＝BE，
∴AF＝10﹣x，
在Rt△AFD中，∠ADF＝45°，∴DF＝AF＝10﹣x，
在Rt△ABC中，∠ACB＝53°，tan∠ACB=ABBC，
∴BC=ABtan∠ACB≈34x，
由题意得，BE﹣BC＝CE，即10﹣x-34x＝4，解得，x=247，
答：钟楼AB的高度约为247m．
【小结】本题考查的是解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，掌握仰角俯角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．
变式39 位于河南省登封市境内的元代观星台，是中国现存最早的天文台，也是世界文化遗产之一．
某校数学社团的同学们使用卷尺和自制的测角仪测量观星台的高度．如图所示，他们在地面一条水平步道MP上架设测角仪，先在点M处测得观星台最高点A的仰角为22°，然后沿MP方向前进16m到达点N处，测得点A的仰角为45°．测角仪的高度为1.6m．
（1）求观星台最高点A距离地面的高度（结果精确到0.1m．参考数据：sin22°≈0.37，cos22°≈0.93，tan22°≈0.40，2≈1.41）；
（2）“景点简介”显示，观星台的高度为12.6m．请计算本次测量结果的误差，并提出一条减小误差的合理化建议．
【分析】（1）过A作AD⊥PM于D，延长BC交AD于E，则四边形BMNC，四边形BMDE是矩形，于是得到BC＝MN＝16m，DE＝CN＝BM＝1.6m，求得CE＝AE，设AE＝CE＝x，得到BE＝16+x，解直角三角形即可得到结论；
（2）建议为：为了减小误差可以通过多次测量取平均值的方法．
【解析】（1）过A作AD⊥PM于D，延长BC交AD于E，
则四边形BMNC，四边形BMDE是矩形，∴BC＝MN＝16m，DE＝CN＝BM＝1.6m，
∵∠AEC＝90°，∠ACE＝45°，∴△ACE是等腰直角三角形，∴CE＝AE，
设AE＝CE＝x，∴BE＝16+x，
∵∠ABE＝22°，∴tan22°=AEBE=x16+x≈0.40，∴x≈10.7（m），∴AD＝10.7+1.6＝12.3（m），
答：观星台最高点A距离地面的高度约为12.3m；
（2）∵“景点简介”显示，观星台的高度为12.6m，∴本次测量结果的误差为12.6﹣12.3＝0.3（m），
减小误差的合理化建议为：为了减小误差可以通过多次测量取平均值的方法．
【小结】本题考查了解直角三角形的应用﹣﹣仰角俯角问题，要求学生能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形．
考点14 解直角三角形的应用（方位角问题）
解决此类问题的关键在于掌握方位角问题：
（1）在辨别方向角问题中：一般是以第一个方向为始边向另一个方向旋转相应度数．
（2）在解决有关方向角的问题中，一般要根据题意理清图形中各角的关系，有时所给的方向角并不一定在直角三角形中，需要用到两直线平行内错角相等或一个角的余角等知识转化为所需要的角．
例题14 如图，在一条东西走向的公路MN的同侧有A，B两个村庄，村庄B位于村庄A的北偏东60°的方向上（∠QAB＝60°），公路旁的货站P位于村庄A的北偏东15°的方向上，已知PA平分∠BPN，AP＝2km，求村庄A，B之间的距离．（计算结果精确到0.01km，参考数据：2≈1.414，3≈1.732，6≈2.449）
【分析】延长AQ交MN于点D，则AD⊥MN，过点P作PC⊥AB于点C．根据题意可得，∠PAD＝15°．然后根据锐角三角函数即可求出村庄A，B之间的距离．
【解析】如图，延长AQ交MN于点D，
则AD⊥MN，过点P作PC⊥AB于点C．
根据题意可知：∠PAD＝15°．∴∠APD＝90°﹣∠PAD＝75°．
∵AP平分∠BPN，∴∠APD＝∠APB＝75°．
∵∠QAB＝60°，∴∠PAB＝∠QAB﹣∠PAD＝45°．
∴∠PBA＝180°﹣∠PAB﹣∠APB＝60°．
在Rt△APC中，∠ACP＝90°，∠PAC＝45°，AP＝2，
∴sin∠PAC=PCPA，即22=PC2．∴PC=2．∴AC＝PC=2，
在Rt△PCB中，∠BCP＝90°，∠PBA＝60°，PC=2，
∴tanB=PCBC，即3=2BC．∴BC=63．
∴AB=AC+BC=2+63≈1.414+2.4493≈2.23（km）．
答：村庄A，B之间的距离约为2.23 km．
【小结】本题考查了解直角三角形的应用﹣方向角问题，解决本题的关键是掌握方向角定义．
变式40 如图，一艘船由A港沿北偏东65°方向航行38km到B港，然后再沿北偏西42°方向航行至C港，已知C港在A港北偏东20°方向．
（1）直接写出∠C的度数；
（2）求A、C两港之间的距离．（结果用含非特殊角的三角函数及根式表示即可）
【分析】（1）根据两直线平行，内错角相等即可得出答案；
（2）由题意得，∠CAB＝65°﹣20°＝45°，∠ACB＝42°+20°＝62°，AB＝38，过B作BE⊥AC于E，解直角三角形即可得到答案．
【解析】（1）如图，由题意得：∠ACB＝20°+42°＝62°；
（2）由题意得，∠CAB＝65°﹣20°＝45°，∠ACB＝62°，AB＝38，
过B作BE⊥AC于E，如图所示：
∴∠AEB＝∠CEB＝90°，
在Rt△ABE中，∵∠EAB＝45°，
∴△ABE是等腰直角三角形，
∵AB＝38，∴AE＝BE=22AB＝192，
在Rt△CBE中，∵∠ACB＝62°，tan∠ACB=BECE，
∴CE=BEtan62°=192tan62°，
∴AC＝AE+CE＝192+192tan62°
∴A，C两港之间的距离为（192+192tan62°）km．
【小结】本题考查了解直角三角形的应用，方向角问题，等腰直角三角形的判定与性质等知识；熟练掌握解直角三角形，作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．
变式41 如图，一艘渔船正以3233海里/小时的速度由西向东赶鱼群，在A处看小岛C在船北偏东60°，60分钟后，渔船行至B处，此时看见小岛C在船的北偏东30°．
（1）求小岛C到航线AB的距离．
（2）已知以小岛C为中心周围20海里内为我军导弹部队军事演习的着弹危险区，问这艘渔船继续向东追赶鱼群，是否有进入危险区的可能？若渔船进去危险区，那么经过多少分钟可穿过危险区？
【分析】（1）作CD⊥AB于D，由题意得出∠CAB＝∠ACB＝30°，从而得出AB＝CB=3233，在Rt△BCD中，求得CD的长即可．
（2）利用勾股定理得出MD的长进而得出答案．
【解析】（1）作CD⊥AB于点D，如图1所示：
由题意可知：∠CAB＝90°﹣60°＝30°，∠CBD＝90°﹣30°＝60°，
∴∠ACB＝∠CBD﹣∠CAB＝30°，即∠CAB＝∠ACB，
∴AB＝CB=3233×6060=3233，
在Rt△CBD中，CD＝CB•sin∠CBD=3233×32=16；
即小岛C到航线AB的距离为16海里；
（2）∵CD＝16＜20，∴这艘渔船继续向东追赶鱼群，会有进入危险区的可能，
设M为开始进入危险区的位置，N为离开危险区的位置，如图2所示：
则CM＝CN＝20，∵CD⊥AB，∴DM＝DN，
在Rt△CMD中，DM=CM2-CD2=202-162=12，
∴MN＝2DM＝24，
∵243233=334，∴渔船进去危险区，那么经过334分钟可穿过危险区．
【小结】本题考查了解直角三角形的应用﹣﹣方向角问题、等腰三角形的判定与性质等知识；结合航海中的实际问题，将解直角三角形的相关知识有机结合，体现了数学应用于实际生活的思想．
变式42 为了丰富学生的文化生活，学校利用假期组织学生到红色文化基地A和人工智能科技馆C参观学习如图，学校在点B处，A位于学校的东北方向，C位于学校南偏东30°方向，C在A的南偏西15°方向（30+303）km处．学生分成两组，第一组前往A地，第二组前往C地，两组同学同时从学校出发，第一组乘客车，速度是40km/h，第二组乘公交车，速度是30km/h，两组同学到达目的地分别用了多长时间？哪组同学先到达目的地？请说明理由（结果保留根号）．
【分析】过点B作BD⊥AC于D，在Rt△BCD中证得BD＝CD，设BD＝x，则CD＝x，在Rt△ABD中，∠BAC＝30°，利用三角函数定义表示出AD的长，在Rt△BDC中，利用三角函数表示出CD的长，由AD+CD＝AC列出方程问题得解．
【解析】作BD⊥AC于D．
依题意得，∠BAE＝45°，∠ABC＝105°，∠CAE＝15°，
∴∠BAC＝30°，∴∠ACB＝45°．
在Rt△BCD中，∠BDC＝90°，∠ACB＝45°，
∴∠CBD＝45°，∴∠CBD＝∠DCB，∴BD＝CD，
设BD＝x，则CD＝x，
在Rt△ABD中，∠BAC＝30°，
∴AB＝2BD＝2x，tan30°=BDAD，∴33=xAD，∴AD=3x，
在Rt△BDC中，∠BDC＝90°，∠DCB＝45°，
∴sin∠DCB=BDBC=22，∴BC=2x，
∵CD+AD＝30+303，∴x+3x=30+303，∴x＝30，
∴AB＝2x＝60，BC=2x=302，
第一组用时：60÷40＝1.5（h）；第二组用时：302÷30=2（h），
∵2＜1.5，∴第二组先到达目的地，
答：第一组用时1.5小时，第二组用时2小时，第二组先到达目的地．
【小结】本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是学会添加常用辅助线面构造直角三角形解决问题．
巩固练习
1．如图，为方便行人推车过天桥，市政府在10m高的天桥两端分别修建了50m长的斜道，用科学计算器计算这条斜道的倾斜角，下列按键顺序正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【分析】先利用正弦的定义得到sinA＝0.2，然后利用计算器求锐角∠A．
【解析】sinA=1050=0.2，
所以用科学计算器求这条斜道倾斜角的度数时，
按键顺序为
故选：B．
【小结】本题考查了锐角三角函数及计算器的应用，掌握科学计算器的应用是解决本题的关键．
2．如图，△ABC中，∠B＝90°，BC＝2AB，则sinC＝（ ）
A．52 B．12 C．255 D．55
【分析】解直角三角形即可得到结论．
【解析】∵BC＝2AB，∴设AB＝a，BC＝2a，
∴AC=AB2+BC2=5a，∴sinC=ABAC=a5a=55，
故选：D．
【小结】本题考查了锐角三角函数的定义，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．
3．在Rt△ABC中，∠C＝90°，则下列式子定成立的是（ ）
A．sinA＝sinB B．cosA＝cosB C．tanA＝tanB D．sinA＝cosB
【分析】根据一个锐角的正弦等于它的余角的余弦解答．
【解析】∵∠C＝90°，
∴∠A+∠B＝90°，
∴sinA＝cosB．
故选：D．
【小结】本题考查了互余两角三角函数的关系，熟记同角（或余角）的三角函数关系式是解题的关键．
4．某屋顶示意图如图所示，现要在屋顶上开一个天窗，天窗AB在水平位置，屋顶坡面长度PQ＝QD＝4.8米，则屋顶水平跨度PD的长为（ ）米
A．245cosα B．485cosα C．245sinα D．485sinα
【分析】直接利用等腰三角形的性质得出PO＝OD，再利用锐角三角函数关系得出PO的长求出答案．
【解析】由题意可得：AB∥PD，
则∠ABC＝∠QPD＝α，
可得QO⊥PD，
则PO＝DO，
cosα=POPQ=PO4.8，
故PO=245cosα，
则PD＝2PO=485cosα．
故选：B．
【小结】此题主要考查了解直角三角形的应用，正确得出PO的长是解题关键．
5．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB的中点，若CD＝5，AC＝8，则tanA＝（ ）
A．45 B．35 C．34 D．43
【分析】直接利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出AB的长，再利用勾股定理得出BC的长，进而利用直角三角形边角关系得出答案．
【解析】∵∠ACB＝90°，D是AB的中点，CD＝5，
∴AB＝2CD＝10，
∵AC＝8，AB＝10，
∴BC=102-82=6，
∴tanA=BCAC=68=34．
故选：C．
【小结】此题主要考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、勾股定理直角三角形边角关系，正确掌握边角关系是解题关键．
6．已知12＜cosα＜sin80°，则锐角α的取值范围是（ ）
A．30°＜α＜80° B．10°＜α＜80° C．60°＜α＜80° D．10°＜α＜60°
【分析】由cos60°=12，sin80°＝cos10°，锐角α的余弦值随着α的变大而减小，可得出α的范围，从而可得答案．
【解析】∵cos60°=12，12＜cosα＜sin80°
锐角α的余弦值随着α的变大而减小，
故α＜60°
∵sin80°＝cos10°
∴10°＜α＜60°
故选：D．
【小结】本题考查了锐角三角函数的增减变化，明确锐角三角函数的增减变化以及特殊角的三角函数值，是解题的关键．
7．如图，△ABC的三个顶点均在格点上，则tanA的值为（ ）
A．12 B．55 C．2 D．255
【分析】直接利用网格结合锐角三角函数关系得出tanA=BDAD，进而得出答案．
【解析】如图所示：连接BD，
BD=12+12=2，
AD=22+22=22，
AB=12+32=10，
∵BD2+AD2＝2+8＝10＝AB2，
∴△ADB为直角三角形，
∴∠ADB＝90°，
则tanA=BDAD=222=12．
故选：A．
【小结】此题主要考查了解直角三角形，正确构造直角三角形是解题关键．
8．下列不等式不成立的是（ ）
A．sin20°＜sin40°＜sin70° B．cos20°＜cos40°＜cos70°
C．tan20°＜tan40°＜tan70° D．sin30°＜cos45°＜tan60°
【分析】根据锐角正弦函数随角的增大而增大，余弦随角的增大而减小，正切随角的增大而增大，可得答案．
【解析】A、随角的增大而增大，故A不符合题意；
B、余弦随角的增大而减小，故B符合题意；
C、正切随角的增大而增大，故D不符合题意；
D、sin30°＜cos45°＜tan60°，故D不符合题意；
故选：B．
【小结】本题考查了锐角三角函数的增减性，锐角正弦函数随角的增大而增大，余弦随角的增大而减小，正切随角的增大而增大．
9．如图，一块矩形木板ABCD斜靠在墙边（OC⊥OB，点A，B，C，D，O在同一平面内），已知AB＝a，AD＝b，∠BCO＝x，则点D到OB的距离等于（ ）
A．asinx+bsinx B．acosx+bcosx
C．asinx+bcosx D．acosx+bsinx
【分析】如图，过点D作DE⊥OC于点E，则点D到OB的距离等于OE的长．根据矩形性质及解直角三角形可得OC＝BC•cosx＝bcosx，CE＝CD•sinx＝asinx，进而可得点D到OB的距离．
【解析】如图，过点D作DE⊥OC于点E，
则点D到OB的距离等于OE的长．
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BCD＝90°，CD＝AB＝a，AD＝BC＝b，
∴∠CDE＝∠BCO＝x，
∴OC＝BC•cosx＝bcosx，
CE＝CD•sinx＝asinx，
∴OE＝OC+CE＝bcosx+asinx．
则点D到OB的距离等于bcosx+asinx．
故选：C．
【小结】本题考查了解直角三角形的应用，解决本题的关键是掌握解直角三角形．
10．已知B港口位于A观测点北偏东45°方向，且其到A观测点正北方向的距离BM的长为102km，一艘货轮从B港口沿如图所示的BC方向航行47km到达C处，测得C处位于A观测点北偏东75°方向，则此时货轮与A观测点之间的距离AC的长为（ ）km．
A．83 B．93 C．63 D．73
【分析】根据∠MAB＝45°，BM＝102和勾股定理求出AB的长，再根据tan∠BAD=BDAD，求出BD的长，即可得出AD以及CD的长，进而得出答案．
【解析】∵∠MAB＝45°，BM＝102，
∴AB=BM2+MA2=(102)2+(102)2=20km，
过点B作BD⊥AC，交AC的延长线于D，
在Rt△ADB中，∠BAD＝∠MAC﹣∠MAB＝75°﹣45°＝30°，
tan∠BAD=BDAD=33，∴AD=3BD，
BD2+AD2＝AB2，即BD2+（3BD）2＝202，∴BD＝10，∴AD＝103，
在Rt△BCD中，BD2+CD2＝BC2，BC＝47，
∴CD＝23，∴AC＝AD﹣CD＝103-23=83km，
答：此时货轮与A观测点之间的距离AC的长为83km．
故选：A．
【小结】此题主要考查了解直角三角形中方向角问题，根据题意作出辅助线，构造直角三角形，求出BD的长是解题关键．
二．填空题（共6小题）
11．△ABC中，若（sinA-12）2+|32-cosB|＝0，则∠C＝ 120° ．
【分析】直接利用偶次方的性质以及绝对值的性质得出sinA=12，cosB=32，进而利用特殊角的三角函数值得出答案．
【解析】∵（sinA-12）2+|32-cosB|＝0，
∴sinA-12=0，32-cosB＝0，
∴sinA=12，cosB=32，
∴∠A＝30°，∠B＝30°，
∴∠C＝180°﹣30°﹣30°＝120°．
故答案为：120°．
【小结】此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键．
12．某斜坡坡角α的正弦值sinα=12，则该斜坡的坡比为 1：3 ．
【分析】根据正弦的定义、勾股定理用x表示出AC，根据坡度的概念计算，得到答案．
【解答】解；如图，设BC＝x，
在Rt△ABC中，sinA=BCAB=12，
则AB＝2x，
由勾股定理得，AC=AB2-BC2=3x，
∴斜坡的坡比=BCAC=x3x=1：3，
故答案为：1：3．
【小结】本题考查的是解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题，掌握坡度的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．
13．比较sin80°与tan46°的大小，其中值较大的是 tan46° ．
【分析】由sin80°＜sin90°＝1及tan46°＞tan45°＝1求解可得．
【解析】∵sinα随α的增大而增大，且sin80°＜sin90°，
∴sin80°＜1，
∵tanα随α的增大而增大，且tan46°＞tan45°，
∴tan46°＞1，
则tan46°＞sin80°，
故答案为：tan46°．
【小结】本题主要考查锐角三角函数的增减性，解题的关键是掌握正弦函数和正切函数的增减性．
14．如图，在△ABC中，sinB=13，tanC=32，AB＝3，则AC的长为 213 ．
【分析】过A作AD垂直于BC，在直角三角形ABD中，利用锐角三角函数定义求出AD的长，在直角三角形ACD中，利用锐角三角函数定义求出CD的长，再利用勾股定理求出AC的长即可．
【解析】过A作AD⊥BC，
在Rt△ABD中，sinB=13，AB＝3，∴AD＝AB•sinB＝1，
在Rt△ACD中，tanC=32，
∴ADCD=32，即CD=233，
根据勾股定理得：AC=AD2+CD2=12+(233)2=213，
故答案为213．
【小结】此题考查了解直角三角形，涉及的知识有：锐角三角函数定义，以及勾股定理，熟练掌握各自的性质是解本题的关键．
15．如图，某建筑物的顶部有一块标识牌CD，小明在斜坡上B处测得标识牌顶部C的仰角为45°，沿斜坡走下来，在地面A处测得标识牌底部D的仰角为60°，已知斜坡AB的坡角为30°，AB＝AE＝10米．则标识牌CD的高度是 米．
【分析】过点B作BH⊥AE于点H，BF⊥CE于点F，根据题意可得∠BAH＝30°，BH＝5，AH＝53，四边形BHEF是矩形，再根据三角函数即可求得标识牌CD的高度．
【解析】如图，过点B作BH⊥AE于点H，BF⊥CE于点F，
根据题意可知：
∠BAH＝30°，AB＝AE＝10，
∴BH＝5，AH＝53，
∵CE⊥AE，
∴四边形BHEF是矩形，
∴EF＝BH＝5，
BF＝HE＝AH+AE＝53+10，
∵∠DAE＝60°，
∴DE＝AE•tan60°＝103，
∴DF＝DE﹣EF＝103-5，
∵∠CBF＝45°，
∴CF＝BF＝53+10，
∴CD＝CF﹣DF＝53+10﹣（103-5）＝15﹣53（米）．
所以标识牌CD的高度是（15﹣53）米．
故答案为：（15﹣53）．
【小结】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，坡度坡角问题，解决本题的关键是掌握特殊角三角函数值．
16．如图，在边长为1的正方形网格中，连接格点D、N和E、C，DN和EC相交于点P，tan∠CPN为 2 ．
【分析】连接格点MN、DM，可得MN∥EC，由平行线的性质得出∠DNM＝∠CPN，证出∠DMN＝90°，由三角函数定义即可得出答案．
【解析】连接格点MN、DM，如图所示：
则四边形MNCE是平行四边形，△DAM和△MBN都是等腰直角三角形，
∴EC∥MN，∠DMA＝∠NMB＝45°，DM=2AD＝22，MN=2BM=2，
∴∠CPN＝∠DNM，∴tan∠CPN＝tan∠DNM，
∵∠DMN＝180°﹣∠DMA﹣∠NMB＝180°﹣45°﹣45°＝90°，
∴tan∠CPN＝tan∠DNM=DMMN=222=2，
故答案为2．
【小结】本题考查了平行线的性质、等腰直角三角形的性质、平行四边形的判定与性质、解直角三角形、勾股定理等知识；熟练掌握等腰直角三角形的性质和勾股定理是解题的关键．
17．计算：
（1）（﹣1）2•cos30°﹣（12）2•tan60°；
（2）4sin60°﹣3tan30°+2cos45°•sin45°．
【分析】（1）直接利用特殊角的三角函数值进而代入求出答案；
（2）直接利用特殊角的三角函数值进而代入求出答案．
【解析】（1）原式=32-14×3
=32-34
=34．
（2）原式=4×32-3×33+2×22×22
=3+1．
【小结】此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键．
18．当0°＜α＜45°时，有2sin（α+45°）＝sinα+cosα．
（1）计算sin75°；
（2）如图，△ABC中，AB＝1，∠ACB＝45°，∠CAB＝α，请利用这个图形证明上述结论．
【分析】（1）根据题意，将α＝30°，代入题目中的等式，即可计算出sin75°的值；
（2）根据题意，作出合适的辅助线，然后根据锐角三角函数即可证明结论成立．
【解析】（1）∵当0°＜α＜45°时，有2sin（α+45°）＝sinα+cosα，
∴当α＝30°时，2sin（30°+45°）＝sin30°+cos30°，
∴2sin75°=12+32，解得，sin75°=2+64；
（2）作AD⊥CB交CB的延长线于点D，
∵AB＝1，∠ACB＝45°，∠CAB＝α，
∴∠ABD＝∠ACB+∠ACB＝45°+α，sin∠ABD=ADAB=AD1=AD，
∴sin（45°+α）＝AD，
又∵∠ADC＝90°，∠C＝45°，∴sinC=ADAC，
即AD＝AC•sinC＝AC×22=22AC，
∴AC=2AD=2sin（α+45°），
作BE⊥AC于点E，
∵∠CAB＝α，AB＝1，
∴sinα=BEAB=BE，cosα=AEAB=AE，
∵∠C＝45°，∠BEC＝90°，
∴∠C＝∠CBE＝45°，
∴BE＝CE，∴AC＝AE+CE＝AE+BE，
∴2sin（α+45°）＝sinα+cosα．
【小结】本题考查直角三角形、实数的运算，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
19．如图，在等腰Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，D是AC上一点，若tan∠DBA=13．
（1）求AD的长；
（2）求sin∠DBC的值．
【分析】（1）过点D作DH⊥AB于点H，根据等腰直角三角形的性质得到AH＝DH，根据正切的定义、勾股定理求出AD；
（2）根据勾股定理求出BD，根据正弦的定义计算即可．
【解析】（1）过点D作DH⊥AB于点H，
∵△ABC为等腰直角三角形，∠C＝90°，
∴∠A＝45°，AC＝BC＝8，
∴AH＝DH，
设AH＝x，则DH＝x
∵tan∠DBA=13，
∴BH＝3x，
∴AB＝4x，
由勾股定理可知：AB=AC2+BC2=82+82=82，
∴x＝22，
由勾股定理可得，AD=AH2+DH2=4；
（2）∵AD＝4，
∴DC＝AC﹣AD＝4，
由勾股定理得，DB=CD2+BC2=42+82=45，
∴sin∠DBC=CDBD=445=55．
【小结】本题考查的是解直角三角形，掌握锐角三角函数的定义、勾股定理是解题的关键．
20．如图，四边形钢板是某机器的零部件，工程人员在设计时虑到飞行的稳定性和其他保密性原则，使得边沿AD的长度是边沿BC长度的三倍，且它们所在的直线互相平行，检测员王刚参与了前期零件的基础设计，知道∠ABC＝45°，边沿CD所在直线与边沿BC所在直线相交后所成的锐角为30°（即P在BC的延长线上，∠DCP＝30°），经测量BC的长度为7米，求零件的边沿CD的长．（结果保留根号）
【分析】通过作辅助线，构造直角三角形，利用直角三角形的边角关系，用DN表示CN，MA，再根据矩形的性质，求出DN的长，进而求出答案．
【解析】如图，过点B作BM⊥AD，交DA的延长线于点M，过点D作DN⊥BC，交BC的延长线于点N，
∵BC∥AD，
∴∠ABC＝∠MAB＝45°，
又∵∠MBA＝90°﹣∠ABC＝45°，
∴MA＝MB＝DN，
又∵AD＝3BC，BC＝7，
∴AD＝21，
在Rt△CDN中，∠DCN＝30°，
∴CD＝2DN，CN=3DN，
由MD＝BN得，DN+21＝7+3DN，
解得，DN＝73+7，
∴CD＝2DN＝143+14（米）
【小结】本题考查解直角三角形的应用，掌握直角三角形的边角关系是正确解答的前提，利用方程求解是解决问题的基本方法．
21．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，sinA=45，BC＝8，D是AB中点，过点B作直线CD的垂线，垂足为点E．
（1）求cos∠ABE的值；
（2）连接AE，求四边形AEBC的面积．
【分析】（1）根据∠ACB＝90°，sinA=45，BC＝8，D是AB中点，求出CD、AC、BD的长，然后根据三角形面积求出BE的长，进而求得cos∠ABE的值；（2）根据三角形中线分出的两个三角形面积相等求出三角形BAE的面积，进而可以求出四边形AEBC的面积．
【解答】（1）在△ABC中，
∵∠ACB＝90°，
∴sinA=BCAB=45
∵BC＝8，∴AB＝10，
∵D是AB中点，
∴CD=12AB=5；
在Rt△ABC中，
∵AB＝10，BC＝8，∴AC=AB2-BC2=6，
∵D是AB中点，
∴BD＝5，S△BCD＝S△ADC=12S△ABC
即12CD⋅BE=12⋅12AC⋅BC，
∴BE=6×82×5=245
在Rt△BDE中，cos∠DBE=BEBD=2455=2425，
答：cos∠ABE的值为2425；
（2）如图，连接AE，
在Rt△BDE中，
∵BE=245，BD=5，
∴DE=BD2-BE2=75，
∴S△BDE=12BE⋅DE=12×245×75=8425，
∵D是AB中点，
∴S△BDES△BAE=BDAB=12，
∴S△BAE=2S△BDE=16825，
∵S△ABC=12AC⋅BC=12×6×8=24，
∴S四边形AEBC=S△BAE+S△ABC=16825+24=76825．
答：四边形AEBC的面积为76825．
【小结】本题考查了解直角三角形、勾股定理、三角形的面积、直角三角形斜边上的中线，解决本题的关键是综合运用以上知识．
22．如图1．点A、B在直线MN上（A在B的左侧），点P是直线MN上方一点．若∠PAN＝x°，∠PBN＝y°，记＜x，y＞为P的双角坐标．例如，若△PAB是等边三角形，则点P的双角坐标为＜60，120＞．
（1）如图2，若AB＝22cm，P＜26.6，58＞，求△PAB的面积；
（参考数据：tan26.6°≈0.50，tan58°≈1.60．）
（2）在图3中用直尺和圆规作出点P＜x，y＞，其中y＝2x且y＝x+30．（保留作图痕迹）
【分析】（1）过点P作PC⊥AB于点C，则∠PCA＝90°，根据锐角三角函数即可求解；
（2）如图3，用直尺和圆规作出点P＜x，y＞，其中y＝2x且y＝x+30．可得x＝30°，y＝60°即可．
【解析】（1）过点P作PC⊥AB于点C，则∠PCA＝90°，
在Rt△PBC中，∠PBC＝58°，
∵tan58°=PCBC，∴BC=PCtan58°，
在Rt△PAC中，∠PAC＝26.6°，
∵tan26.6°=PCAC，∴AC=PCtan26.6°，
∵AB＝AC﹣BC，
∴PCtan26.6°-PCtan58°=22，解得PC≈16（cm），
∴S△PAB=12×22×16＝176cm2；
（2）如图3，点P即为所求．
【小结】本题考查了解直角三角形、等边三角形的性质、尺规作图，解决本题的关键是掌握解直角三角形．
考点1 锐角三角函数的定义
锐角角A的正弦（sin）,余弦（cos）和正切（tan）,都叫做角A的锐角三角函数。
正弦（sin）等于对边比斜边， 余弦（cos）等于邻边比斜边 正切（tan）等于对边比邻边.
例题1 在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝α，若BC＝m，则AB的长为（ ）
A．mcosα B．m•cosα C．m•sinα D．m•tanα
【分析】根据解直角三角形的三角函数解答即可．
【解析】如图所示：
∵cosα=BCAB，∴AB=mcosα，
故选：A．
【小结】本题考查了锐角三角函数的定义的应用，关键是根据学生的理解能力和计算能力解答．
变式1 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，下列各组线段的比不能表示sin∠BCD的（ ）
A．BDBC B．BCAB C．CDBC D．CDAC
【分析】根据三角形内角和定理求出∠BCD＝∠A，再解直角三角形得出即可．
【解析】∵CD⊥AB，∴∠CDA＝∠CDB＝90°，
∵∠ACB＝90°，∴∠BCD+∠ACD＝90°，∠A+∠ACD＝90°，
∴∠BCD＝∠A，∴sin∠BCD＝sinA=BCAB=CDAC=BDBC，
即只有选项C错误，选项A、B、D都正确，
【小结】本题考查了锐角三角函数的定义，能熟记锐角三角函数的定义的内容是解此题的关键，注意：在Rt△ACB中，∠C＝90°，则sinA=BCAB，cosA=ACAB，tanA=BCAC，cotA=ACBC．
变式2 如图，BD⊥AC于D，CE⊥AB于E，BD与CE相交于O，则图中线段的比不能表示sinA的式子为（ ）
A．BDAB B．CDOC C．AEAD D．BEOB
【分析】根据BD⊥AC于D，CE⊥AB于E，利用锐角三角函数的定义进行求解即可．
【解析】A、∵BD⊥AC于D，CE⊥AB于E，∴sinA=BDAB=ECAC，故A不合题意；
B、∵∠A+∠ACE＝90°，∠ACE+∠COD＝90°，∴∠A＝∠COD，
∴sinA＝sin∠COD=CDOC，故B不合题意；
C、无法得出sinA=AEAD，故C符合题意；
D、∵∠BOE＝∠COD，∴∠A＝∠BOE，∴sinA＝sin∠BOE=BEBO，故D不合题意；
【小结】本题主要考查的是锐角三角函数的定义的有关知识，正确掌握边角关系是解题关键．
变式3 如图，△ACB中，∠ACB＝Rt∠，已知∠B＝α，∠ADC＝β，AB＝a，则BD的长可表示为（ ）
A．a•（cosα﹣cosβ） B．atanβ-tanα C．acosα-a⋅sinαtanβ D．a•cosα﹣asinα•a•tanβ
【分析】利用锐角三角函数关系分别表示出BC，DC的长进而得出答案．
【解析】∵∠C＝90°，∠B＝α，∠ADC＝β，AB＝a，∴cosB＝cosα=BCAB=BCa，
则BC＝a•cosα，sinB＝sinα=ACAB=ACa，
故AC＝a•sinα，则tanβ=ACDC，
故DC=ACtanβ=a⋅sinαtanβ，则BD＝BC﹣DC＝a•cosα-a⋅sinαtanβ．
故选：C．
【小结】此题主要考查了锐角三角函数的定义，正确表示出DC的长是解题关键．
考点2 网格中的锐角三角函数值计算
解决此类问题的关键在于构造直角三角形，利用勾股定理求解各边的长度，有时还会运用面积法来求解关键边的长度.
例题2 如图，在6×6的正方形网格中，△ABC的顶点都在小正方形的顶点上，则tan∠BAC的值是（ ）
A．45 B．43 C．34 D．35
【分析】过点B作BD⊥AC，交AC延长线于点D，利用正切函数的定义求解可得．
【解析】如图，过点B作BD⊥AC，交AC延长线于点D，
则tan∠BAC=BDAD=34，故选：C．
【小结】本题主要考查三角函数的定义，解题的关键是掌握正切函数的定义：锐角A的对边a与邻边b的比叫做∠A的正切．
变式4 如图，在网格中，小正方形的边长均为1，点A、B、O都在格点上，则∠OAB的正弦值是 ．
【分析】过点O作OC⊥AB的延长线于点C，构建直角三角形ACO，利用勾股定理求出斜边OA的长，即可解答．
【解析】如图，过点O作OC⊥AB的延长线于点C，则AC＝4，OC＝2，
在Rt△ACO中，AO=AC2+OC2=42+22=20=25，∴sin∠OAB=OCOA=225=55．
故答案为：55．
【小结】本题考查了解直角三角形，锐角三角函数的定义和勾股定理，作出辅助线并利用网格构造直角三角形是解题的关键．
变式5 如图，将∠BAC放置在5×5的正方形网格中，如果顶点A、B、C均在格点上，那么∠BAC的正切值为 ．
【分析】连接BC，先利用勾股定理逆定理证△ABC是等腰直角三角形，再根据正切函数的定义可得．
【解析】如图所示，连接BC，
则AB＝BC=12+32=10，AC=22+42=25，
∴AB2+BC2＝10+10＝20＝AC2，
∴△ABC是等腰直角三角形，且∠ABC＝90°，
∴∠BAC＝45°，则tan∠BAC＝1，
故答案为：1．
【小结】本题主要考查锐角三角函数的定义，解题的关键是掌握勾股定理及其逆定理和三角函数的定义．
变式6 如图，△ABC的三个顶点都在正方形网格的格点上，则sin∠ACB的值为 ．
【分析】根据勾股定理，可得BC、AC的长，求出△ABC的面积，求出高AN，解直角三角形求出即可．
【解析】
设小正方形的边长为1，
则由勾股定理得：BC=32+42=5，AC=12+22=5，
∵S△ABC＝S△BDC﹣S正方形EAFD﹣S△AFC﹣S△BEA=12×4×3-1×1-12×1×2-12×3×1=52，
∴12×BC×AN=52，∴AN＝1，∴sin∠ACB=ANAC=15=55，
故答案为：55．
【小结】本题考查了锐角三角函数的定义和勾股定理，能构造直角三角形是解此题的关键，注意：在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边．
考点3 锐角三角函数的增减性
解决此类问题的关键在于掌握锐角三角函数的增减性，当角度在0°～90°间变化时，
正弦值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）
余弦值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）
正切值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）
例题3 sin58°、cos58°、cos28°的大小关系是（ ）
A．cos28°＜cos58°＜sin58° B．sin58°＜cos28°＜cos58°
C．cos58°＜sin58°＜cos28° D．sin58°＜cos58°＜cos28°
【分析】先把正弦化成余弦，然后根据锐角三角函数值的变化规律：锐角余弦值随着角度的增大而减小进行排列大小．
【解析】sin58°＝cos32°．
∵58°＞32°＞28°，∴cos58°＜cos32°＜cos28°，∴cos58°＜sin58°＜cos28°．
故选：C．
【小结】本题考查了锐角三角形的增减性，当角度在0°～90°间变化时，①正弦值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）；②余弦值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）；③正切值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）．也考查了互余两角的三角函数之间的关系．
变式7 比较大小：
（1）cos35° cos45°，tan50° tan60°；
（2）若sinα＝0.3276，sinβ＝0.3274，则α β．
【分析】（1）根据余弦值随角度的增大余弦值越小，正切值随角度的增增大而增大，进而得出答案；
（2）利用正弦值随角度的增大而增大，进而得出答案．
【解析】（1）cos35°＞cos45°，tan50°＜tan60°；
故答案为：＞，＜；
（2）∵sinα＝0.3276，sinβ＝0.3274，
则α＞β．
故答案为：＞．
【小结】此题主要考查了锐角三角函数的增减性，熟练记忆锐角三角函数增减性是解题关键．
变式8 比较大小：sin81° tan47°（填“＜”、“＝”或“＞”）．
【分析】根据sin81°＜1，tan47°＞1即可求解．
【解析】∵sin81°＜sin90°＝1，tan47°＞tan45°＝1，
∴sin81°＜1＜tan47°，
∴sin81°＜tan47°．
故答案为＜．
【小结】本题考查了锐角三角函数值的增减性：当角度在0°～90°间变化时，
①正弦值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）；
②余弦值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）；
③正切值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）．
也考查了不等式的传递性．
变式9 如图所示的网格是正方形网格，∠AOB ∠COD．（填“＞“，“＝”或“＜“）
【分析】连接CD，则CD⊥OD，过B作BE⊥OA于E，在Rt△OBE与Rt△OCD中，分别求∠AOB、∠COD的正切，根据锐角的正切值随着角度的增大而增大作判断即可．
【解析】连接CD，则CD⊥OD，过B作BE⊥OA于E，
在Rt△OBE中，tan∠AOB=BEOE=2，
在Rt△OCD中，tan∠COD=CDOD=33=1，
∵锐角的正切值随着角度的增大而增大，
∴∠AOB＞∠COD，
故答案为：＞．
【小结】本题考查了锐角三角函数的增减性，构建直角三角形求角的三角函数值进行判断，熟练掌握锐角三角函数的增减性是关键．
考点4 同角三角函数的关系
解决此类问题的关键在于掌握同角三角函数的关系：平方关系：sin2A+cos2A＝1；（2）正余弦与正切之间的关系（积的关系）：一个角的正切值等于这个角的正弦与余弦的比，即tanA=sinAcosA或sinA＝tanA•cosA．
例题4 如图，P是∠α的边OA上一点，且点P的横坐标为3，sinα=45，则tanα＝（ ）
A．35 B．34 C．43 D．45
【分析】先由sinα=PQOP=45求得PQ＝4，OP＝5，再根据正切函数的定义求解可得．
【解析】如图，
由sinα=PQOP=45可设PQ＝4a，OP＝5a，
∵OQ＝3，∴由OQ2+PQ2＝OP2可得32+（4a）2＝（5a）2，解得：a＝1（负值舍去），
∴PQ＝4，OP＝5，则tanα=PQOQ=43，
故选：C．
【小结】本题考查了锐角三角函数的定义，勾股定理的应用，能求出PQ、OP的长是解此题的关键．
变式10 若∠a为锐角，且tana是方程x2﹣2x﹣3＝0的一个根，则sinα等于（ ）
A．1 B．22 C．1010 D．31010
【分析】运用因式分解法解方程，根据锐角三角函数值都大于0，确定tanα的值，再根据锐角三角函数的定义求解．
【解析】解方程x2﹣2x﹣3＝0，得x＝﹣1或x＝3．
∵tana＞0，∴tana＝3．
设α所在的直角三角形的对边是3，则邻边是1．
根据勾股定理，得斜边是10．所以sinα=31010．
故选：D．
【小结】此题综合考查了一元二次方程的解法和锐角三角函数的知识．
变式11 在Rt△ABC中，∠C＝90°，下列式子正确的是（ ）
A．sinA+cosA＜1 B．sinA+cosA＝1 C．sinA+cosA＞1 D．sinA+cosA≥1
【分析】根据三角函数的定义得到sinA=ac，cosA=bc，则sinA+cosA=a+bc，然后根据三角形三边的关系可判断sinA+cosA＞1．
【解析】∵sinA=ac，cosA=bc，
∴sinA+cosA=a+bc，
∵a+b＞c，
∴sinA+cosA＞1．
故选：C．
【小结】本题考查了同角三角函数的关系：平方关系：sin2A+cos2A＝1；（2）正余弦与正切之间的关系（积的关系）：一个角的正切值等于这个角的正弦与余弦的比，即tanA=sinAcosA或sinA＝tanA•cosA．
变式12 已知sinαcosα=18，且0°＜α＜45°，则sinα﹣cosα的值为（ ）
A．32 B．-32 C．34 D．±32
【分析】把已知条件两边都乘以2，再根据sin2α+cos2α＝1，进行配方，然后根据锐角三角函数值求出cosα与sinα的取值范围，从而得到sinα﹣cosα＜0，最后开方即可得解．
【解析】∵sinαcosα=18，∴2sinα•cosα=14，
∴sin2α+cos2α﹣2sinα•cosα＝1-14，
即（sinα﹣cosα）2=34，
∵0°＜α＜45°，
∴22＜cosα＜1，0＜sinα＜22，
∴sinα﹣cosα＜0，
∴sinα﹣cosα=-32．
故选：B．
【小结】本题考查了同角的三角函数的关系，利用好sin2α+cos2α＝1，并求出sinα﹣cosα＜0是解题的关键．
考点5 互余两角三角函数的关系
解决此类问题的关键在于掌握互余角的三角函数间的关系：sin(90°-α)=cosα, cos(90°-α)=sinα,
例题5 如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC，垂足为D．给出下列四个结论：①sinα＝sinB；②sinβ＝sinC；③sinB＝cosC；④sinα＝cosβ．其中正确的结论有 ．
【分析】本题主要考查锐角三角函数的定义，根据∠A＝90°，AD⊥BC，可得∠α＝∠B，∠β＝∠C，再利用锐角三角函数的定义可列式进行逐项判断．
【解析】∵∠BAC＝90°，AD⊥BC，
∴∠α+∠β＝90°，∠B+∠β＝90°，∠B+∠C＝90°，
∴∠α＝∠B，∠β＝∠C，
∴sinα＝sinB，故①正确；
sinβ＝sinC，故②正确；
∵在Rt△ABC中sinB=ACBC，cosC=ACBC，
∴sinB＝cosC，故③正确；
∵sinα＝sinB，cos∠β＝cosC，
∴sinα＝cos∠β，故④正确；
故答案为①②③④．
【小结】本题主要考查锐角的三角函数，解题的关键是熟练掌握互余两角的三角函数间的关系．
变式13 已知α为锐角，sinα+cos（90°﹣α）=3，则α＝ ．
【分析】求出sinα的值即可解决问题；
【解析】∵sinα+cos（90°﹣α）=3，
∴2sinα=3，∴sinα=32，∴α＝60°，
故答案为60°．
【小结】本题考查互余两角三角函数的关系，特殊角的三角函数值等知识，记住sinA＝cos（90°﹣∠A），cosA＝sin（90°﹣∠A）是解题的关键；
变式14 若a＜60°，且sin（60°﹣a）=1215，则cos（30°+a）＝ ．
【分析】由于60°﹣α+30°+α＝90°，且α＜60°，即60°﹣α和30°+α互余，根据互余两角的三角函数的关系即可得到cos（30°+α）＝sin（60°﹣a）=45．
【解析】∵60°﹣α+30°+α＝90°，且α＜60°，
∴cos（30°+α）＝sin（60°﹣a）=45．
故答案为45．
【小结】本题考查了互余两角的三角函数的关系：若∠A+∠B＝90°，则sinA＝cosB，cosA＝sinB．
变式15 化简：(1-sin57°37')2-|cos32°23'-1|= ．
【分析】先化简二次根式和去绝对值符号，再根据互余两角三角函数的关系计算即可求解．
【解析】(1-sin57°37')2-|cos32°23'-1|
＝1﹣sin57°37′+cos32°23′﹣1
＝1﹣sin57°37′+sin57°37′﹣1
＝0．
故答案为：0．
【小结】考查了互余两角三角函数的关系，若∠A+∠B＝90°，那么sinA＝cosB或sinB＝cosA．
考点6 特殊角的三角函数值的计算
解决此类问题的关键在于熟记特殊角三角函数值：
例题6 计算：
（1）2sin30°+3cos60°﹣4tan45° （2）cos230°1+sin30°+tan260°
【分析】（1）直接利用特殊角的三角函数值进而分别代入求出答案；
（2）直接利用特殊角的三角函数值进而分别代入求出答案．
【解析】（1）原式=2×12+3×12-4×1
=1+32-4 =-32；
（2）原式=(32)1+122+(3)2
=3432+3=72．
【小结】此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键．
变式16 计算：3tan30°-1cos60°+8cos45°+(1-tan60°)2
【分析】代入特殊角的三角函数值即可．
【解析】原式＝3×33-112+8×22+(1-3)2
=3-2+2+3-1
＝23-1．
【小结】考查了特殊角的三角函数值，属于只记内容，熟练掌握特殊角的三角函数值，代入求值即可．
变式17 计算：2sin260°-cos60°tan260°+4cos45°
【分析】直接利用特殊角的三角函数值代入进而得出答案．
【解析】原式=2×(32)2-12(3)2+4×22
=13+22
=3-22(3+22)(3-22)
＝3﹣22．
【小结】此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键．
变式18 计算
（1）3tan60°﹣tan245°﹣2cos30°． （2）1-2tan30°+tan230°+2sin230°-sin45°cos45°．
【分析】（1）直接利用特殊角的三角函数值分别代入化简得出答案；
（2）直接利用特殊角的三角函数值分别代入化简得出答案．
【解析】（1）原式＝33-1﹣2×32
＝33-1-3
＝23-1；
（2）原式=(1-33)2+2×（12）2-2222
＝1-33+12-1
=-33+12．
【小结】此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键．
考点7 特殊角的三角函数值中的新定义问题
例题7 嘉琪在某次作业中得到如下结果：
sin27°+sin283°≈0.122+0.992＝0.9945，sin222°+sin268°≈0.372+0.932＝1.0018，sin229°+sin261°≈0.482+0.872＝0.9873，sin237°+sin253°≈0.602+0.802＝1.0000，sin245°+sin245°＝（22）2+（22）2＝1．
据此，嘉琪猜想：在Rt△ABC中，∠C＝90°，设∠A＝α，有sin2α+sin2（90°﹣α）＝1．
（1）当α＝30°时，验证sin2α+sin2（90°﹣α）＝1是否成立．
（2）请你对嘉琪的猜想进行证明．
【分析】（1）将α＝30°代入，根据三角函数值计算可得；
（2）设∠A＝α，则∠B＝90°﹣α，根据正弦函数的定义及勾股定理即可验证．
【解析】（1）当α＝30°时，
sin2α+sin2（90°﹣α）
＝sin230°+sin260°
＝（12）2+（32）2
=14+34 ＝1；
（2）嘉琪的猜想成立，证明如下：
如图，在△ABC中，∠C＝90°，
设∠A＝α，则∠B＝90°﹣α，
∴sin2α+sin2（90°﹣α）
＝（BCAB）2+（ACAB）2
=BC2+AC2AB2
=AB2AB2 ＝1．
【小结】本题主要考查特殊锐角的三角函数值及正弦函数的定义，熟练掌握三角函数的定义及勾股定理是解题的关键．
变式19 阅读下列材料，并完成相应的任务．初中阶段，我们所学的锐角三角函数反映了直角三角形中的边角关系：
sinα=BCAC cosα=ABAC tanα=BCAB
一般地，当α、β为任意角时，sin（α+β）与sin（α﹣β）的值可以用下面的公式求得：
sin（α+β）＝sinαcosβ+cosαsinβ
sin（α﹣β）＝sinαcosβ﹣cosαsinβ
例如sin15°＝sin（45°﹣30°）＝sin45°cos30°﹣cos45°sin30°
=22×32-22×12=6-24
根据上述材料内容，解决下列问题：
（1）计算：sin75°＝ ；
（2）在Rt△ABC中，∠A＝75°，∠C＝90°，AB＝4，请你求出AC和BC的长．
【分析】（1）根据公式可求．
（2）根据锐角的三角函数值，求AC和BC的值．
【解析】（1）sin75°＝sin（30°+45°）
＝sin30°cos45°+cos30°sin45°
=12×22+32×22 =2+64，
故答案为：2+64．
（2）Rt△ABC中，∵sin∠A＝sin75°=BCAB=2+64
∴BC＝AB×2+64=4×2+64=2+6
∵∠B＝90﹣∠A∴∠B＝15°
∵sin∠B＝sin15°=ACAB=6-24
∴AC＝AB×6-24=6-2
【小结】本题考查了同角三角函数关系，利用特殊的三角函数值求线段的长度是本题的关键．
变式20 规定：sin（﹣x）＝﹣sinx，cos（﹣x）＝cosx，sin（x+y）＝sinx•cosy+cosx•siny．据此
（1）判断下列等式成立的是 （填序号）．
①cos（﹣60°）=-12；②sin2x＝2sinx•cosx；③sin（x﹣y）＝sinx•cosy﹣cosx•siny．
（2）利用上面的规定求①sin75° ②sin15°．
【分析】（1）根据已知中的定义以及特殊角的三角函数值即可判断；
（2）利用已知进而将原式变形求出答案．
【解析】（1）①cos（﹣60°）＝cos60°=12，命题错误；
②sin2x＝sinx•cosx+cosx•sinx＝2sinx•cosx，命题正确；
③sin（x﹣y）＝sinx•cos（﹣y）+cosx•sin（﹣y）＝sinx•cosy﹣cosx•siny，命题正确．
故答案为：②③；
（2）①sin75°＝sin（30°+45°）＝sin30°•cos45°+cos30°•sin45°=12×22+32×22=24+64=6+24；
②sin15°＝sin（45°﹣30°）＝sin45°•cos30°﹣cos45°•sin30°
=22×32-22×12
=6-24．
【小结】本题考查锐角三角函数以及特殊角的三角函数值，正确理解三角函数的定义是关键．
变式21 对于钝角α，定义它的三角函数值如下：
sinα＝sin（180°﹣α），cosα＝﹣cos（180°﹣α）
（1）求sin120°，cos120°，sin150°的值；
（2）若一个三角形的三个内角的比是1：1：4，A，B是这个三角形的两个顶点，sinA，cosB是方程4x2﹣mx﹣1＝0的两个不相等的实数根，求m的值及∠A和∠B的大小．
【分析】（1）按照题目所给的信息求解即可；
（2）分三种情况进行分析：①当∠A＝30°，∠B＝120°时；②当∠A＝120°，∠B＝30°时；③当∠A＝30°，∠B＝30°时，根据题意分别求出m的值即可．
【解析】（1）由题意得，
sin120°＝sin（180°﹣120°）＝sin60°=32，
cos120°＝﹣cos（180°﹣120°）＝﹣cos60°=-12，
sin150°＝sin（180°﹣150°）＝sin30°=12；
（2）∵三角形的三个内角的比是1：1：4，
∴三个内角分别为30°，30°，120°，
①当∠A＝30°，∠B＝120°时，方程的两根为12，-12，
将12代入方程得：4×（12）2﹣m×12-1＝0，解得：m＝0，
经检验-12是方程4x2﹣1＝0的根，
∴m＝0符合题意；
②当∠A＝120°，∠B＝30°时，两根为32，32，不符合题意；
③当∠A＝30°，∠B＝30°时，两根为12，32，
将12代入方程得：4×（12）2﹣m×12-1＝0，
解得：m＝0，
经检验32不是方程4x2﹣1＝0的根．
综上所述：m＝0，∠A＝30°，∠B＝120°．
【小结】本题考查了特殊角的三角函数值，解答本题的关键是按照题目所给的运算法则求出三角函数的值和运用分类讨论的思想解题，难度一般．
考点8 解直角三角形
解决此类问题的关键在于解直角三角形（Rt△ABC,∠C＝90°）
①三边之间的关系：a2+b2=c2；②两锐角之间的关系：∠A＋∠B＝90°；③边角之间的关系；正弦（sin）等于对边比斜边， 余弦（cos）等于邻边比斜边 正切（tan）等于对边比邻边.；④解直角三角形中常见类型：①已知一边一锐角．②已知两边．
例题8 如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，BC＝14，AD＝12，sinB=45．
（1）求线段CD的长度；
（2）求cos∠C的值．
【分析】根据sinB=45，求得AB＝15，由勾股定理得BD＝9，从而计算出CD，再利用三角函数，求出cos∠C的值即可．
【解析】（1）∵AD是BC上的高，
∴∠ADB＝∠ADC＝90°．
∵sinB=45，AD＝12，
∴AB＝15，
∴BD=AB2-AD2=152-122=9，
∵BC＝14，
∴DC＝BC﹣BD＝14﹣9＝5；
（2）由（1）知，CD＝5，AD＝12，
∴AC=AD2+CD2=122+52=13，
cosC=CDAC=513．
【小结】本题考查了解直角三角形中三角函数的应用，熟练掌握好三角形边角之间的关系是解题的关键．
变式22 如图，在Rt△ABC中，设a，b，c分别为∠A，∠B，∠C的对边，∠C＝90°，b＝8，∠A的平分线AD=1633，求∠B，a，c的值．
【分析】根据锐角三角函数，可以求得∠CAD的度数，从而可以得到∠CAB的度数，然后即可得到∠B的度数，再根据锐角三角函数即可得到a、c的值．
【解析】∵∠C＝90°，b＝8，∠A的平分线AD=1633，
∴cos∠CAD=ACAD=81633=32，
∴∠CAD＝30°，
∴∠CAB＝60°，
∴∠B＝30°，
∴c＝2b＝16，a=btan30°=833=83，
即∠B＝30°，a＝83，c＝16．
【小结】本题考查解直角三角形，解答本题的关键是明确题意，利用锐角三角函数解答．
变式23 如图，Rt△ABC中，∠A＝90°，AD、AE分别是BC边的中线和高，若cosB=35，BC＝10．
（1）求AB的长； （2）求AE的长； （3）求sin∠ADB的值．
【分析】（1）在Rt△ABC中，通过解直角三角形可求出AB的长；
（2）在Rt△ABC中，利用勾股定理可求出AC的长，再利用面积法可求出AE的长；
（3）利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可求出AD的长，在Rt△AED中，利用正弦的定义可求出sin∠ADB的值．
【解析】（1）在Rt△ABC中，∠A＝90°，cosB=ABBC，BC＝10，
∴AB＝BC•cosB＝10×35=6．
（2）在Rt△ABC中，∠A＝90°，BC＝10，AB＝6，
∴AC=BC2-AB2=102-62=8．
∵AE是BC边的高，
∴12AC•AB=12BC•AE，即12×8×6=12×10AE，∴AE=245．
（3）Rt△ABC中，AD是BC边的中线，BC＝10，
∴AD=12BC＝5．
在Rt△AED中，∠AED＝90°，AD＝5，AE=245，
∴sin∠ADB=AEAD=2455=2425．
【小结】本题考查了解直角三角形以及勾股定理，解题的关键是：（1）利用余弦的定义，找出AB＝BC•cosB；（2）利用面积法，求出AE的长；（3）利用正弦的定义，求出sin∠ADB的值．
变式24 如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，cosA=35，BC＝12，D是AB的中点，过点B作直线CD的垂线，垂足为点E．
求：（1）线段CD的长； （2）cos∠ABE的值．
【分析】（1）在△ABC中根据正弦的定义得到cosA=ACAB=35，则可计算出AB＝15，然后根据直角三角形斜边上的中线性质即可得到CD=12AB=152．
（2）在Rt△ABC中先利用勾股定理计算出AC＝6，在根据三角形面积公式得到S△BDC＝S△ADC，则S△BDC=12S△ABC，即12CD•BE=12•12AC•BC，于是可计算出BE=365，然后在Rt△BDE中利用余弦的定义求解．
【解析】（1）在△ABC中，∵∠ACB＝90°，∴cosA=ACAB=35，
∴可以假设AC＝3k，AB＝5k，则BC＝4k，
而BC＝12，∴k＝3，∴AB＝15
∵D是AB中点，
∴CD=12AB=152．
（2）在Rt△ABC中，∵AB＝15，BC＝12，AC＝9，
∵D是AB中点，
∴BD=152，S△BDC＝S△ADC，
∴S△BDC=12S△ABC，即12CD•BE=12•12AC•BC，
∴BE=9×122×152=365，
在Rt△BDE中，cos∠ABE=BEBD=365152=2425，
即cos∠ABE的值为2425．
【小结】本题考查了解直角三角形：在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形．也考查了直角三角形斜边上的中线性质和三角形面积公式．
考点9 解斜三角形
解决此类问题的关键在于作垂线将斜三角形分割成两个直角三角形，进而通过解直角三角形进行求解.
例题9 如图，在△ABC中，∠BAC＝120°，AC＝6，AB＝4，则BC的长是（ ）
A．62 B．219 C．213 D．9
【分析】作CD⊥AB，根据直角三角形的性质求出AD，根据勾股定理求出CD，根据勾股定理计算，得到答案．
【解析】过点C作CD⊥AB，交BA的延长线于点D，
∵∠BAC＝120°，
∴∠DAC＝180°﹣120°＝60°，
∴∠ACD＝30°，
∴AD=12AC＝3，
∴BD＝AB+AD＝7，
由勾股定理得，CD=AC2-AD2=33，
在Rt△BCD中，BC=BD2+CD2=219，
故选：B．
【小结】本题考查的是解直角三角形，掌握含30°的直角三角形的性质、勾股定理是解题的关键．
变式25 如图，在△ABC中，∠A＝30°，tanB=34，AC＝63，求AB的长．
【分析】过点C作CD⊥AB于点D，根据∠A＝30°，tanB=34，AC＝63可求出AD与BD的长度．
【解析】如图，过点C作CD⊥AB于点D．
∵在Rt△CDA中，∠A＝30°，
∴CD＝AC•sin30°＝33，AD＝AC×cos30°＝9，
在Rt△CDB中，
∵tanB=34
∴CDBD=34
∴BD＝43，
∴AB＝AD+DB＝9+43．
【小结】本题考查解直角三角形，解题的关键是熟练运用锐角三角函数的定义，本题属于中等题型．
变式26 已知．在△ABC中，BC=2AC，∠BCA＝135°，求tanA的值．
【分析】过B点作BD⊥AC交AC的延长线于D点，根据等腰直角三角形的性质得到BD＝CD=22BC，根据正切的定义计算即可．
【解析】过B点作BD⊥AC交AC的延长线于D点，
则∠BCD＝45，∴BD＝CD=22BC，
设AC＝k，则BD＝CD＝k，AD＝2k，
tanA=BDAD=12．
【小结】本题考查的是解直角三角形，掌握等腰直角三角形的性质、正切的定义是解题的关键．
变式27 如图，在△ABC中，∠B＝45°，∠C＝75°，夹边BC的长为6．求△ABC的面积．
【分析】如图，作CD⊥AB于点D．解直角三角形求出CD，AB即可解决问题．
【解析】如图，作CD⊥AB于点D．
∵∠B＝45°，CD⊥AB，
∴∠BCD＝45°，
∵BC＝6，
∴CD=32，
在Rt△ACD中，∠ACD＝75°﹣45°＝30°，
∴tan30°=AD32，
∴AD=32×33=6，
∴S=12×(32+6)×32=9+33，
∴△ABC的面积是9+33．
【小结】本题考查解直角三角形，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造特殊三角形解决问题．
考点10 解直角三角形（作垂线）
例题10 如图，在四边形ABCD中，AB＝8，BC＝3，CD＝5，∠BCD＝120°，∠ADC+∠ABC＝180°．
（1）求△BCD的面积；
（2）求cos∠ADB．
【分析】（1）在Rt△DEC中，∠E=90°，sin∠DCE=DECD，求出DE的长度，即可求解；
（2）在Rt△DEB中，由勾股定理知：DE2+BE2＝BD2，求出BD的长度；同理在Rt△DFB中，求出DF的长度，即可求解．
【解析】（1）过点D作DE⊥BC交BC的延长线于E，
∵∠BCD＝120°，∴∠DCE＝60°，
在Rt△DEC中，∠E=90°，sin∠DCE=DECD，cos∠DCE=CECD，CD=5，
∴DE=CD⋅sin∠DCE=5×sin60°=532，CE=CD⋅cos∠DCE=5×cos60°=52，
∵BC＝3，∴S△BCD=12BC⋅DE=12×3×532=1534；
（2）过点B作BF⊥AD于F，
∵∠BCD＝120°，∠ADC+∠ABC＝180°，∴∠A＝60°，
∵在Rt△AFB中，∠AFB＝90°，sin∠A=BFAB，AB=8，∴BF=AB⋅sin∠A=8×sin60°=43，
∵BE=BC+CE=3+52=112；∵在Rt△DEB中，∠E＝90°，
由勾股定理知：DE2+BE2＝BD2，∴BD=DE2+BE2=(532)2+(112)2=7，
∵在Rt△DFB中，∠DFB＝90°，
由勾股定理知：DF2+BF2＝BD2，∴DF=BD2-BF2=72-(43)2=1，
∴在Rt△DFB中，∠DFB＝90°，cos∠ADB=DFAB=17．
【小结】此题是一个综合性很强的题目，主要考查勾股定理的运用、三角形面积计算、解直角三角形等知识点，难度很大，有利于培养同学们钻研和探索问题的精神．
变式28 已知：BD是四边形ABCD的对角线，AB⊥BC，∠C＝60°，AB＝1，BC＝3+3，CD＝23
（1）求∠ABD的值； （2）求AD的长．
【分析】（1）过点D作DE⊥BC于点E，根据∠C＝60°求出CE、DE，再求出BE，从而得到DE＝BE，然后求出∠EDB＝∠EBD＝45°，再求出∠ABD＝45°，然后根据特殊角的三角函数值解答；
（2）过点A作AF⊥BD于点F，求出BF＝AF=22，再求出BD，然后求出DF，在Rt△ADF中，利用勾股定理列式计算即可得解．
【解析】（1）过点D作DE⊥BC于点E，
∵在Rt△CDE 中，∠C＝60°，CD＝23，
∴CE=3，DE＝3，
∵BC＝3+3，
∴BE＝BC﹣CE＝3+3-3=3，
∴DE＝BE＝3，
∴在Rt△BDE 中，∠EDB＝∠EBD＝45°，
∵AB⊥BC，∠ABC＝90°，
∴∠ABD＝∠ABC﹣∠EBD＝45°；
（2）过点A作AF⊥BD于点F．
在Rt△ABF中，∠ABF＝45°，AB＝1，
∴BF＝AF=22，
∵在Rt△BDE中，DE＝BE＝3，
∴BD＝32，
∴DF＝BD﹣BF＝32-22=522，
∴在Rt△AFD 中，AD=DF2+AF2=(522)2+(22)2=13．
【小结】本题考查了勾股定理，解直角三角形，根据边的长度得到等腰直角三角形是解题的关键，难点在于作辅助线构造成直角三角形．
变式29 已知：如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°，DE⊥BC于E，连接BD，设AD＝m，DC＝n，BE＝p，DE＝q．
（1）若tanC＝2，BE＝3，CE＝2，求点B到CD的距离；
（2）若m＝n，BD=32，求四边形ABCD的面积．
【分析】（1）要求点B到CD的距离，于是作垂线构造直角三角形，又知tanC＝2，BE＝3，CE＝2，可以得到BF＝2FC，设未知数根据勾股定理列方程可以求解．
（2）m＝n，即AD＝DC，通过作垂线，构造全等三角形将问题转化为求正方形BEDG的面积即可．
【解析】（1）过点B作BF⊥CD，垂足为F，则∠BFC＝90°
∵DE⊥BC，∴∠DEC＝∠DEB＝90°，
在Rt△DEC中，∵tanC＝2，EC＝2，∴DE＝4，
在Rt△BFC中，∵tanC＝2，∴BF＝2FC，
设BF＝x，则FC=12x，∵BF2+FC2＝BC2，
∴x2+（12x）2＝（3+2）2，解得：x=25，即：BF=25，
答：点B到CD的距离是25．
（2）过点D作DG⊥AB，交BA的延长线相交于点G，
∵四边形ABCD的内角和是360°，∠ABC＝∠ADC＝90°，∴∠C+∠BAD＝180°，
又∵∠BAD+∠GAD＝180°，∴∠C＝∠GAD，
∵∠DEC＝∠G＝90°，AD＝CD
∴△DEC≌△DGA，（AAS）∴DE＝DG，
∴四边形BEDG是正方形，
∴S四边形ABCD＝S正方形BEDG=12BD2＝9．
答：四边形ABCD的面积是9．
【小结】考查解直角三角形，勾股定理、和全等三角形等知识，作垂线构造直角三角形是常用的辅助线作法，通过作辅助线将问题转化求正方形的面积．
变式30 如图，在四边形ABCD中，∠DAB＝60°，AD：AB＝2：3，BD=7，AB⊥BC．
（1）求sin∠ABD的值．
（2）若∠BCD＝120°，求CD的长．
【分析】（1）作DE⊥AB于E，CF⊥DE于F．设AE＝a．在Rt△BDE中，利用勾股定理构建方程求出a，即可解决问题；
（2）作CF⊥DE于F．首先证明四边形CFEB是矩形，解直角三角形△CFB即可解决问题；
【解析】（1）作DE⊥AB于E，设AE＝a．
在Rt△ADE中，∵∠A＝60°，AE＝a，
∴∠ADE＝30°，∴AD＝2a，DE=3a，
∵AD：AB＝2：3，∴AB＝3a，EB＝2a，
在Rt△DEB中，（3a）2+（2a）2＝（7）2，解得a＝1，
∴DE=3，BE＝2，∴sin∠ABD=DEBD=37=217．
（2）CF⊥DE于F．
∵CB⊥AB，CF⊥DE，
∴∠CFE＝∠FEB＝∠CBE＝90°，
∴四边形CFEB是矩形，
∴CF＝EB＝2，BC＝EF，
∵∠DCB＝120°，∠FCB＝90°，
∴∠DCF＝30°，
∴DF＝CF•tan30°=233，
∴CD＝2DF=433．
【小结】本题考查解直角三角形，矩形的判定和性质，直角三角形30度角性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
考点11 解直角三角形的应用（实物建模问题）
例题11 如图1，图2分别是网上某种型号拉杆箱的实物图与示意图，根据商品介绍，获得了如下信息：滑杆DE、箱长BC、拉杆AB的长度都相等，即DE＝BC＝AB，点B、F在线段AC上，点C在DE上，支杆DF＝30cm，CE：CD＝1：3，∠DCF＝45°，∠CDF＝30°．
请根据以上信息，解决下列问题；
（1）求AC的长度（结果保留根号）；
（2）求拉杆端点A到水平滑杆ED的距离（结果保留到1cm）．
参考数据：2≈1.41，3≈1.73，6≈2.45．
【分析】（1）过F作FH⊥DE于H，解直角三角形即可得到结论；
（2）过A作AG⊥ED交ED的延长线于G，根据等腰直角三角形的性质即可得到结论．
【解析】（1）过F作FH⊥DE于H．∴∠FHC＝∠FHD＝90°．
∵∠FDC＝30°，DF＝30，∴FH=12DF=15，DH=32DF=153，
∵∠FCH＝45°，∴CH＝FH＝15，
∴CD=CH+DH=15+153，
∵CE：CD＝1：3，∴DE=43CD=20+203，
∵AB＝BC＝DE，
∴AC=(40+403)cm；
（2）过A作AG⊥ED交ED的延长线于G，
∵∠ACG＝45°，∴AG=22AC=202+206，＝20×1.41+20×2.45＝77.2≈77（cm）
答：拉杆端点A到水平滑杆ED的距离为77cm．
【小结】此题考查了解直角三角形的应用，主要是三角函数的基本概念及运算，关键是用数学知识解决实际问题．
变式31 目前，各大城市都在积极推进公共自行车建设，努力为人们绿色出行带来方便．图（1）所示的是一辆自行车的实物图．图（2）是自行车的车架示意图．CE＝30cm，DE＝20cm，AD＝25cm，DE⊥AC于点E，座杆CF的长为15cm，点A，E，C，F在同一直线上，且∠CAB＝75°，公共自行车车轮的半径约为30cm，且AB与地面平行．
（1）求车架中AE的长；
（2）求车座点F到地面的距离．（结果精确到1cm．参考数据：sin75°≈0.97，cos75°≈0.26，tan75°≈3.73）
【分析】（1）由DE⊥AC及DE，AD的长，利用勾股定理即可求出AE的长；
（2）作FG⊥AB于G，延长FG交地平线于点Q，由AE，CE，CF的长可得出FA的长，通过解直角三角形可求出FG的长，再结合FQ＝FG+GQ即可求出结论．
【解析】（1）∵DE⊥AC，DE＝20，AD＝25，
∴AE=AD2-DE2=252-202=15（cm）；
（2）在图（2）中，作FG⊥AB于G，延长FG交地平线于点Q．
∵AE＝15，CE＝30，CF＝15，
∴FA＝FC+CE+EA＝15+30+15＝60．
∵sin∠CAB=FGFA，
∴FG＝FA•sin∠CAB≈60×0.97＝58.2（cm），
∴FQ＝FG+GQ＝58.2+30＝88.2≈88（cm）．
答：车座点F到地面的距离约为88cm．
【小结】本题考查了勾股定理以及解直角三角形，解题的关键是：（1）利用勾股定理求出AE的长；（2）通过解直角三角形求出FG的长．
变式32 如图是一种简易台灯的结构图，灯座为△ABC（BC伸出部分不计），A、C、D在同一直线上．量得∠ACB＝90°，∠A＝60°，AB＝16cm，∠ADE＝135°，灯杆CD长为40cm，灯管DE长为15cm．
（1）求DE与水平桌面（AB所在直线）所成的角；
（2）当E点到水平桌面（AB所在直线）的距离为45cm﹣46cm时，视线最佳，通过计算说明此时光线是否为最佳．（参考数据：sin15°＝0.26，cos15°＝0.97，tan15°＝0.27，3=1.73．）
【分析】（1）过点D作DN⊥AB于点N，过E作EM⊥AB于点M，过点D作DF∥AB，交EM于F，得到四边形DNMF是矩形，进而得出∠EDF的值；
（2）利用锐角三角函数关系得出DN以及EF的值，进而得出答案．
【解析】（1）如图所示：过点D作DN⊥AB于点N，过E作EM⊥AB于点M，过点D作DF∥AB，交EM于F，
故四边形DNMF是矩形，
则∠NDF＝90°，
∵∠A＝60°，∠AND＝90°，∴∠ADN＝30°，∴∠EDF＝135°﹣90°﹣30°＝15°，
即DE与水平桌面（AB所在直线）所成的角为15°；
（2）如图所示：
∵∠ACB＝90°，∠A＝60°，AB＝16cm，∴∠ABC＝30°，∴AC=12AB＝8cm，
∵灯杆CD长为40cm，∴AD＝48cm，∴DN＝AD•cos30°≈41.76cm，
则FM＝41.76cm，
∵灯管DE长为15cm，∴sin15°=EFDE=EF15=0.26，解得：EF＝3.9（cm），
∴E点到水平桌面（AB所在直线）的距离为：3.9+41.76≈45.7（cm），
∵45cm＜45.7cm＜46cm，∴此时光线最佳．
【小结】此题主要考查了解直角三角形的应用，正确应用锐角三角函数关系是解题关键．
变式33 有一种升降熨烫台如图1所示，其原理是通过改变两根支撑杆夹角的度数来调整熨烫台的高度．图2是这种升降熨烫台的平面示意图．AB和CD是两根相同长度的活动支撑杆，点O是它们的连接点，OA＝OC，h（cm）表示熨烫台的高度．
（1）如图2．若AO＝CO＝80cm，∠AOC＝120°，求AC的长（结果保留根号）；
（2）爱动脑筋的小明发现，当家里这种升降熨烫台的高度h为128cm时，两根支撑杆的夹角∠AOC是74°
（如图3）．求该熨烫台支撑杆AB的长度．（参考数据：sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，sin53°≈0.8，cos53°≈0.6）
【分析】（1）过点O作OE⊥AC，垂足为E，利用等腰三角形的三线合一可得出∠AOE的度数及AC＝2AE，在Rt△AEO中，通过解直角三角形可求出AE的长，再结合AC＝2AE即可求出AC的长；
（2）过点B作BF⊥AC，垂足为F，则BF＝128cm，利用等腰三角形的性质及三角形内角和定理可求出∠OAC的度数，在Rt△ABF中，通过解直角三角形即可求出AB的长．
【解析】（1）如图2，过点O作OE⊥AC，垂足为E，
∵AO＝CO，∴∠AOE=12∠AOC=12×120°＝60°，AC＝2AE．
在Rt△AEO中，AE＝AO•sin∠AOE＝80×32=403，∴AC＝2AE＝803．
（2）如图3，过点B作BF⊥AC，垂足为F，则BF＝128cm．
∵AO＝CO，∠AOC＝74°，∴∠OAC＝∠OCA=180°-74°2=53°．
在Rt△ABF中，AB=BFsin∠BAC=1280.8=160cm．
【小结】本题考查了解直角三角形的应用、等腰三角形的性质以及三角形内角和定理，解题的关键是：（1）在Rt△AEO中，通过解直角三角形求出AE的长；（2）在Rt△ABF中，通过解直角三角形求出AB的长．
考点12 解直角三角形的应用（坡度坡脚问题）
解决此类问题的关键在于掌握坡度坡脚问题：
（1）坡度是坡面的铅直高度h和水平宽度l的比，又叫做坡比，它是一个比值，反映了斜坡的陡峭程度，一般用i表示，常写成i=1：m的形式．
（2）把坡面与水平面的夹角α叫做坡角，坡度i与坡角α之间的关系为：i=h/l=tanα．
（3）在解决坡度的有关问题中，一般通过作高构成直角三角形，坡角即是一锐角，坡度实际就是一锐角的正切值，水平宽度或铅直高度都是直角边，实质也是解直角三角形问题．
例题12 水坝的横截面是梯形ABCD，现测得坝顶DC＝4m，坡面AD的坡度i为1：1，坡面BC的坡角β为60°，坝高3m，（3≈1.73）求：
（1）坝底AB的长（精确到0.1）；
（2）水利部门为了加固水坝，在保持坝顶CD不变的情况下降低AD的坡度（如图），使新坡面DE的坡度i为1：3，原水坝底部正前方2.5m处有一千年古树，此加固工程对古树是否有影响？请说明理由．
【分析】（1）分别过C、D作CF⊥AB，DH⊥AB，垂足分别为F、H，易得四边形CDHF是矩形，从而CD＝HF＝4m，DH＝CF＝3m，在Rt△ADH中，由坡度i＝1：1，易得AH＝DH＝3m，在Rt△BCF中，坡面BC的坡角β为60°，坝高3m，易得BF，则AB＝AH+HF+FB＝8.7m；
（2）由题意得，Rt△EDH中，由坡面DE坡度i为1：3，易得AE＝EH﹣AH的值进而与2.5m比较即可．
【解析】（1）如图，分别过C、D作CF⊥AB，DH⊥AB，垂足分别为F、H，
得四边形CDHF是矩形，∴CD＝HF＝4m，DH＝CF＝3m，
在Rt△ADH中，由坡度i＝1：1，得AH＝DH＝3m，
在Rt△BCF中，∠B＝60°，CF＝3m，得BF=3m，
则AB＝AH+HF+FB＝7+1.7≈8.7m；则坝底AB的长约为8.7m；
（2）由题意得，Rt△EDH中，DH：EH＝1：3，
∴EH＝33m，则AE＝EH﹣AH＝33-3≈2.2m，
2.2m＜2.5m，所以没有影响．
【小结】本题考查了解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题，解决本题的关键是掌握坡度坡角定义．
变式34 如图是某地下停车库入口的设计示意图，已知坡道AB的坡比i＝1：2.4，AC的长为7.2米，CD的长为0.4米．按规定，车库坡道口上方需张贴限高标志，根据图中所给数据，确定该车库入口的限高数值（即点D到AB的距离）．
【分析】延长CD交AB于E，根据坡度和坡角可得CE＝3，DE＝2.6，过点D作DH⊥AB于H，根据锐角三角函数即可求出DH的长．
【解析】如图，
延长CD交AB于E，
∵i＝1：2.4，
∴tan∠CAB=12.4=512，
∴CEAC=512，
∵AC＝7.2，
∴CE＝3，
∵CD＝0.4，
∴DE＝2.6，
过点D作DH⊥AB于H，
∴∠EDH＝∠CAB，
∵tan∠CAB=512，
∴cos∠EDH=cos∠CAB=1213，
DH=DE×cos∠EDH=2.6×1213=2.4，
答：该车库入口的限高数值为2.4米．
【小结】本题考查了解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题，解决本题的关键是掌握坡度坡角定义．
变式35 如图，BC是坡角为30°，长为10米的一道斜坡，在坡顶灯杆CD的顶端D处有一探射灯，射出的边缘光线DA和DB与水平路面AB所成的夹角∠DAN和∠DBN分别是45°和60°．
（1）求灯杆CD的高度；
（2）求AB的长度（结果保留根号）．
【分析】（1）延长DC交AN于H．只要证明BC＝CD即可；
（2）在Rt△BCH中，求出BH、CH，在 Rt△ADH中求出AH即可解决问题．
【解析】（1）延长DC交AN于H．
∵∠DBH＝60°，∠DHB＝90°，
∴∠BDH＝30°，
∵∠CBH＝30°，
∴∠CBD＝∠BDC＝30°，
∴BC＝CD＝10（米）．
（2）在Rt△BCH中，CH=12BC＝5，BH＝53，
∴DH＝15，
在Rt△ADH中，AH=DHtan45°=15，
∴AB＝AH﹣BH＝（15﹣53）（米）．
答：AB的长度约为（15﹣53）米．
【小结】本题考查解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．
变式36 如图，水坝的横截面是梯形ABCD，迎水坡BC的坡角α为30°，背水坡AD的坡度i为1：1.2，坝顶宽DC＝2.5米，坝高5米．求：
（1）坝底宽AB的长（结果保留根号）；
（2）在上题中，为了提高堤坝的防洪能力，市防汛指挥部决定加固堤坝，要求坝顶CD加宽0.5米，背水坡AD的坡度改为1：1.4，已知堤坝的总长度为5km，求完成该项工程所需的土方（结果保留根号）．
【分析】（1）作DF⊥AB，根据坡度的概念求出AF，根据正切的定义求出BE，得到坝底宽AB的长；
（2）作D′G⊥A′B，求出CD′、A′B，求出梯形的面积公式计算，得到答案．
【解析】（1）作DF⊥AB，垂足为F，
∵DC∥EF，DF∥CE，DF⊥AB，∴四边形DFEC为矩形，
∴FE＝DC＝2.5，DF＝CE＝5，
在Rt△AFD中，坡AD的坡度i为1：1.2，∴AF＝1.2DF＝1.2×5＝6，
在Rt△CEB中，tanα=CEEB，
∴BE=CEtan30°=53，
∴AB＝AF+FE+EB=172+53；
（2）如图，作D′G⊥A′B于G，
在Rt△A'GD′中，A′G＝1.4D′G＝7，
∴A′A＝A′G+GF﹣AF＝1.5，
∴梯形D′A′AD的面积=12×（0.5+1.5）×5＝5，
∴完成该项工程所需的土方＝5×5000＝25000，
答：完成该项工程所需的土方为25000立方米．
【小结】本题考查的是解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题，掌握坡度坡角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．
考点13 解直角三角形的应用（俯角仰角问题）
解决此类问题的关键在于掌握俯角仰角问题：
（1） 概念：仰角是向上看的视线与水平线的夹角；俯角是向下看的视线与水平线的夹角．
（2）解决此类问题要了解角之间的关系，找到与已知和未知相关联的直角三角形，当图形中没有直角三角形时，要通过作高或垂线构造直角三角形，另当问题以一个实际问题的形式给出时，要善于读懂题意，把实际问题划归为直角三角形中边角关系问题加以解决．
例题13 如图，在坡顶A处的同一水平面上有一座古塔BC，数学兴趣小组的同学在斜坡底P处测得该塔的塔顶B的仰角为45°，然后他们沿着坡度为1：2.4的斜坡AP攀行了26米，在坡顶A处又测得该塔的塔顶B的仰角为76°．求：
（1）坡顶A到地面水平线PO的距离；
（2）古塔BC的高度．（结果用非特殊角三角函数和根号表示即可）
【分析】（1）先过点A作AH⊥PO，根据斜坡AP的坡度为1：2.4，得出AHPH=512，设AH＝5k，则PH＝12k，AP＝13k，求出k的值即可．
（2）先延长BC交PO于点D，根据BC⊥AC，AC∥PO，得出BD⊥PO，四边形AHDC是矩形，再根据∠BPD＝45°，得出PD＝BD，然后设BC＝x，得出AC＝DH＝x﹣14，最后根据在Rt△ABC中，tan76°=BCAC，列出方程，求出x的值即可．
【解析】（1）过点A作AH⊥PO，垂足为点H，
∵斜坡AP的坡度为1：2.4，
∴AHPH=512，
设AH＝5k，则PH＝12k，由勾股定理，得AP＝13k，
∴13k＝26，解得k＝2，
∴AH＝10，
答：坡顶A到地面PO的距离为10米．
（2）延长BC交PO于点D，
∵BC⊥AC，AC∥PO，
∴BD⊥PO，
∴四边形AHDC是矩形，CD＝AH＝10，AC＝DH，
∵∠BPD＝45°，
∴PD＝BD，
设BC＝x，则x+10＝24+DH，
∴AC＝DH＝x﹣14，
在Rt△ABC中，tan76°=BCAC，即xx-14=tan76°．
解得x=14⋅tan76°tan76-1．
答：古塔BC的高度约为14⋅tan76°tan76°-1米．
【小结】此题考查了解直角三角形，用到的知识点是勾股定理、锐角三角函数、坡角与坡角等，关键是做出辅助线，构造直角三角形．
变式37 无影塔位于河南汝南城南，俗传冬至正午无塔影，故称无影塔；相传为唐代和尚悟颖所建，故又称“悟颖塔”，该塔应建于北宋中、早期，为豫南地区现存最古老砖塔某数学小组为了度量塔高进行了如下操作：用一架无人机在距离塔基（B）某处垂直起飞30米至点C处，测得塔基B处的俯角为75°，将无人机沿水平方向向右飞行8.6米至点D，在此处测得塔顶A的俯角为30°，请依据题中数据计算无影塔的高度．（结果精确到1cm，参考数据：sin75°≈0.97，cos75°≈0.26，tan75°≈3.73，3≈1.73）
【分析】过点C作CM⊥BO，垂足为M，过点D作DN⊥BO，垂足为N，设DC与BA的延长线交于点E，设AB为x米．由三角函数定义求出CE≈8.04，在Rt△AED中，由三角函数定义得出DE=3(30-x)，由CD＝DE﹣CE得出方程，解方程即可．
【解析】过点C作CM⊥BO，垂足为M，设DC与BA的延长线交于点E，如图：
设AB为x米．
∵∠E＝∠ABM＝∠BMC＝90°，
∴四边形EBMC为矩形，
∴MC＝BE＝30，
∵∠BCE＝75°，tan∠BCE=BECE=3.73，
∴CE≈303.73≈8.04，
在Rt△AED中，∠ADE＝30°，AE＝30﹣x，tan∠ADE=AEDE=33，
∴DE=3(30-x)，
∵CD＝DE﹣CE，
∴8.6=3(30-x)-8.04，解得：x≈20.38，
答：无影塔的高度约为20.38米．
【小结】本题考查解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，解题的关键是熟练掌握三角函数的应用．
变式38 第十一届全国少数民族传统体育运动会于2019年9月8日至16日在郑州举行，据了解，该赛事每四年举办一届，是我国规格最高、规模最大的综合性民族体育盛会，其中，花炮、押加、民族式摔跤三个项目的比赛在郑州大学主校区进行．如图，钟楼是郑州大学主校区标志性建筑物之一，是郑大的“第一高度”，寓意来自五湖四海的郑大人的团结和凝聚．小刚站在钟楼前C处测得钟楼顶A的仰角为53°，小强站在对面的教学楼三楼上的D处测得钟楼顶A的仰角为45°，此时，两人的水平距离EC为4m，已知教学楼三楼所在的高度为10m，根据测得的数据，计算钟楼AB的高度．
（参考数据：sin53°≈45，cos53°≈35，tan53°≈43）
【分析】作DF⊥AB于F，根据矩形的性质得到FB＝DE＝10，DF＝BE，根据等腰直角三角形的性质、正切的定义计算，得到答案．
【解析】作DF⊥AB于F，
设AB＝xm，
∵FB⊥EB，DE⊥EB，DF⊥AB，
∴四边形FBED为矩形，
∴FB＝DE＝10，DF＝BE，
∴AF＝10﹣x，
在Rt△AFD中，∠ADF＝45°，∴DF＝AF＝10﹣x，
在Rt△ABC中，∠ACB＝53°，tan∠ACB=ABBC，
∴BC=ABtan∠ACB≈34x，
由题意得，BE﹣BC＝CE，即10﹣x-34x＝4，解得，x=247，
答：钟楼AB的高度约为247m．
【小结】本题考查的是解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，掌握仰角俯角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．
变式39 位于河南省登封市境内的元代观星台，是中国现存最早的天文台，也是世界文化遗产之一．
某校数学社团的同学们使用卷尺和自制的测角仪测量观星台的高度．如图所示，他们在地面一条水平步道MP上架设测角仪，先在点M处测得观星台最高点A的仰角为22°，然后沿MP方向前进16m到达点N处，测得点A的仰角为45°．测角仪的高度为1.6m．
（1）求观星台最高点A距离地面的高度（结果精确到0.1m．参考数据：sin22°≈0.37，cos22°≈0.93，tan22°≈0.40，2≈1.41）；
（2）“景点简介”显示，观星台的高度为12.6m．请计算本次测量结果的误差，并提出一条减小误差的合理化建议．
【分析】（1）过A作AD⊥PM于D，延长BC交AD于E，则四边形BMNC，四边形BMDE是矩形，于是得到BC＝MN＝16m，DE＝CN＝BM＝1.6m，求得CE＝AE，设AE＝CE＝x，得到BE＝16+x，解直角三角形即可得到结论；
（2）建议为：为了减小误差可以通过多次测量取平均值的方法．
【解析】（1）过A作AD⊥PM于D，延长BC交AD于E，
则四边形BMNC，四边形BMDE是矩形，∴BC＝MN＝16m，DE＝CN＝BM＝1.6m，
∵∠AEC＝90°，∠ACE＝45°，∴△ACE是等腰直角三角形，∴CE＝AE，
设AE＝CE＝x，∴BE＝16+x，
∵∠ABE＝22°，∴tan22°=AEBE=x16+x≈0.40，∴x≈10.7（m），∴AD＝10.7+1.6＝12.3（m），
答：观星台最高点A距离地面的高度约为12.3m；
（2）∵“景点简介”显示，观星台的高度为12.6m，∴本次测量结果的误差为12.6﹣12.3＝0.3（m），
减小误差的合理化建议为：为了减小误差可以通过多次测量取平均值的方法．
【小结】本题考查了解直角三角形的应用﹣﹣仰角俯角问题，要求学生能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形．
考点14 解直角三角形的应用（方位角问题）
解决此类问题的关键在于掌握方位角问题：
（1）在辨别方向角问题中：一般是以第一个方向为始边向另一个方向旋转相应度数．
（2）在解决有关方向角的问题中，一般要根据题意理清图形中各角的关系，有时所给的方向角并不一定在直角三角形中，需要用到两直线平行内错角相等或一个角的余角等知识转化为所需要的角．
例题14 如图，在一条东西走向的公路MN的同侧有A，B两个村庄，村庄B位于村庄A的北偏东60°的方向上（∠QAB＝60°），公路旁的货站P位于村庄A的北偏东15°的方向上，已知PA平分∠BPN，AP＝2km，求村庄A，B之间的距离．（计算结果精确到0.01km，参考数据：2≈1.414，3≈1.732，6≈2.449）
【分析】延长AQ交MN于点D，则AD⊥MN，过点P作PC⊥AB于点C．根据题意可得，∠PAD＝15°．然后根据锐角三角函数即可求出村庄A，B之间的距离．
【解析】如图，延长AQ交MN于点D，
则AD⊥MN，过点P作PC⊥AB于点C．
根据题意可知：∠PAD＝15°．∴∠APD＝90°﹣∠PAD＝75°．
∵AP平分∠BPN，∴∠APD＝∠APB＝75°．
∵∠QAB＝60°，∴∠PAB＝∠QAB﹣∠PAD＝45°．
∴∠PBA＝180°﹣∠PAB﹣∠APB＝60°．
在Rt△APC中，∠ACP＝90°，∠PAC＝45°，AP＝2，
∴sin∠PAC=PCPA，即22=PC2．∴PC=2．∴AC＝PC=2，
在Rt△PCB中，∠BCP＝90°，∠PBA＝60°，PC=2，
∴tanB=PCBC，即3=2BC．∴BC=63．
∴AB=AC+BC=2+63≈1.414+2.4493≈2.23（km）．
答：村庄A，B之间的距离约为2.23 km．
【小结】本题考查了解直角三角形的应用﹣方向角问题，解决本题的关键是掌握方向角定义．
变式40 如图，一艘船由A港沿北偏东65°方向航行38km到B港，然后再沿北偏西42°方向航行至C港，已知C港在A港北偏东20°方向．
（1）直接写出∠C的度数；
（2）求A、C两港之间的距离．（结果用含非特殊角的三角函数及根式表示即可）
【分析】（1）根据两直线平行，内错角相等即可得出答案；
（2）由题意得，∠CAB＝65°﹣20°＝45°，∠ACB＝42°+20°＝62°，AB＝38，过B作BE⊥AC于E，解直角三角形即可得到答案．
【解析】（1）如图，由题意得：∠ACB＝20°+42°＝62°；
（2）由题意得，∠CAB＝65°﹣20°＝45°，∠ACB＝62°，AB＝38，
过B作BE⊥AC于E，如图所示：
∴∠AEB＝∠CEB＝90°，
在Rt△ABE中，∵∠EAB＝45°，
∴△ABE是等腰直角三角形，
∵AB＝38，∴AE＝BE=22AB＝192，
在Rt△CBE中，∵∠ACB＝62°，tan∠ACB=BECE，
∴CE=BEtan62°=192tan62°，
∴AC＝AE+CE＝192+192tan62°
∴A，C两港之间的距离为（192+192tan62°）km．
【小结】本题考查了解直角三角形的应用，方向角问题，等腰直角三角形的判定与性质等知识；熟练掌握解直角三角形，作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．
变式41 如图，一艘渔船正以3233海里/小时的速度由西向东赶鱼群，在A处看小岛C在船北偏东60°，60分钟后，渔船行至B处，此时看见小岛C在船的北偏东30°．
（1）求小岛C到航线AB的距离．
（2）已知以小岛C为中心周围20海里内为我军导弹部队军事演习的着弹危险区，问这艘渔船继续向东追赶鱼群，是否有进入危险区的可能？若渔船进去危险区，那么经过多少分钟可穿过危险区？
【分析】（1）作CD⊥AB于D，由题意得出∠CAB＝∠ACB＝30°，从而得出AB＝CB=3233，在Rt△BCD中，求得CD的长即可．
（2）利用勾股定理得出MD的长进而得出答案．
【解析】（1）作CD⊥AB于点D，如图1所示：
由题意可知：∠CAB＝90°﹣60°＝30°，∠CBD＝90°﹣30°＝60°，
∴∠ACB＝∠CBD﹣∠CAB＝30°，即∠CAB＝∠ACB，
∴AB＝CB=3233×6060=3233，
在Rt△CBD中，CD＝CB•sin∠CBD=3233×32=16；
即小岛C到航线AB的距离为16海里；
（2）∵CD＝16＜20，∴这艘渔船继续向东追赶鱼群，会有进入危险区的可能，
设M为开始进入危险区的位置，N为离开危险区的位置，如图2所示：
则CM＝CN＝20，∵CD⊥AB，∴DM＝DN，
在Rt△CMD中，DM=CM2-CD2=202-162=12，
∴MN＝2DM＝24，
∵243233=334，∴渔船进去危险区，那么经过334分钟可穿过危险区．
【小结】本题考查了解直角三角形的应用﹣﹣方向角问题、等腰三角形的判定与性质等知识；结合航海中的实际问题，将解直角三角形的相关知识有机结合，体现了数学应用于实际生活的思想．
变式42 为了丰富学生的文化生活，学校利用假期组织学生到红色文化基地A和人工智能科技馆C参观学习如图，学校在点B处，A位于学校的东北方向，C位于学校南偏东30°方向，C在A的南偏西15°方向（30+303）km处．学生分成两组，第一组前往A地，第二组前往C地，两组同学同时从学校出发，第一组乘客车，速度是40km/h，第二组乘公交车，速度是30km/h，两组同学到达目的地分别用了多长时间？哪组同学先到达目的地？请说明理由（结果保留根号）．
【分析】过点B作BD⊥AC于D，在Rt△BCD中证得BD＝CD，设BD＝x，则CD＝x，在Rt△ABD中，∠BAC＝30°，利用三角函数定义表示出AD的长，在Rt△BDC中，利用三角函数表示出CD的长，由AD+CD＝AC列出方程问题得解．
【解析】作BD⊥AC于D．
依题意得，∠BAE＝45°，∠ABC＝105°，∠CAE＝15°，
∴∠BAC＝30°，∴∠ACB＝45°．
在Rt△BCD中，∠BDC＝90°，∠ACB＝45°，
∴∠CBD＝45°，∴∠CBD＝∠DCB，∴BD＝CD，
设BD＝x，则CD＝x，
在Rt△ABD中，∠BAC＝30°，
∴AB＝2BD＝2x，tan30°=BDAD，∴33=xAD，∴AD=3x，
在Rt△BDC中，∠BDC＝90°，∠DCB＝45°，
∴sin∠DCB=BDBC=22，∴BC=2x，
∵CD+AD＝30+303，∴x+3x=30+303，∴x＝30，
∴AB＝2x＝60，BC=2x=302，
第一组用时：60÷40＝1.5（h）；第二组用时：302÷30=2（h），
∵2＜1.5，∴第二组先到达目的地，
答：第一组用时1.5小时，第二组用时2小时，第二组先到达目的地．
【小结】本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是学会添加常用辅助线面构造直角三角形解决问题．
巩固练习
1．如图，为方便行人推车过天桥，市政府在10m高的天桥两端分别修建了50m长的斜道，用科学计算器计算这条斜道的倾斜角，下列按键顺序正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【分析】先利用正弦的定义得到sinA＝0.2，然后利用计算器求锐角∠A．
【解析】sinA=1050=0.2，
所以用科学计算器求这条斜道倾斜角的度数时，
按键顺序为
故选：B．
【小结】本题考查了锐角三角函数及计算器的应用，掌握科学计算器的应用是解决本题的关键．
2．如图，△ABC中，∠B＝90°，BC＝2AB，则sinC＝（ ）
A．52 B．12 C．255 D．55
【分析】解直角三角形即可得到结论．
【解析】∵BC＝2AB，∴设AB＝a，BC＝2a，
∴AC=AB2+BC2=5a，∴sinC=ABAC=a5a=55，
故选：D．
【小结】本题考查了锐角三角函数的定义，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．
3．在Rt△ABC中，∠C＝90°，则下列式子定成立的是（ ）
A．sinA＝sinB B．cosA＝cosB C．tanA＝tanB D．sinA＝cosB
【分析】根据一个锐角的正弦等于它的余角的余弦解答．
【解析】∵∠C＝90°，
∴∠A+∠B＝90°，
∴sinA＝cosB．
故选：D．
【小结】本题考查了互余两角三角函数的关系，熟记同角（或余角）的三角函数关系式是解题的关键．
4．某屋顶示意图如图所示，现要在屋顶上开一个天窗，天窗AB在水平位置，屋顶坡面长度PQ＝QD＝4.8米，则屋顶水平跨度PD的长为（ ）米
A．245cosα B．485cosα C．245sinα D．485sinα
【分析】直接利用等腰三角形的性质得出PO＝OD，再利用锐角三角函数关系得出PO的长求出答案．
【解析】由题意可得：AB∥PD，
则∠ABC＝∠QPD＝α，
可得QO⊥PD，
则PO＝DO，
cosα=POPQ=PO4.8，
故PO=245cosα，
则PD＝2PO=485cosα．
故选：B．
【小结】此题主要考查了解直角三角形的应用，正确得出PO的长是解题关键．
5．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB的中点，若CD＝5，AC＝8，则tanA＝（ ）
A．45 B．35 C．34 D．43
【分析】直接利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出AB的长，再利用勾股定理得出BC的长，进而利用直角三角形边角关系得出答案．
【解析】∵∠ACB＝90°，D是AB的中点，CD＝5，
∴AB＝2CD＝10，
∵AC＝8，AB＝10，
∴BC=102-82=6，
∴tanA=BCAC=68=34．
故选：C．
【小结】此题主要考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、勾股定理直角三角形边角关系，正确掌握边角关系是解题关键．
6．已知12＜cosα＜sin80°，则锐角α的取值范围是（ ）
A．30°＜α＜80° B．10°＜α＜80° C．60°＜α＜80° D．10°＜α＜60°
【分析】由cos60°=12，sin80°＝cos10°，锐角α的余弦值随着α的变大而减小，可得出α的范围，从而可得答案．
【解析】∵cos60°=12，12＜cosα＜sin80°
锐角α的余弦值随着α的变大而减小，
故α＜60°
∵sin80°＝cos10°
∴10°＜α＜60°
故选：D．
【小结】本题考查了锐角三角函数的增减变化，明确锐角三角函数的增减变化以及特殊角的三角函数值，是解题的关键．
7．如图，△ABC的三个顶点均在格点上，则tanA的值为（ ）
A．12 B．55 C．2 D．255
【分析】直接利用网格结合锐角三角函数关系得出tanA=BDAD，进而得出答案．
【解析】如图所示：连接BD，
BD=12+12=2，
AD=22+22=22，
AB=12+32=10，
∵BD2+AD2＝2+8＝10＝AB2，
∴△ADB为直角三角形，
∴∠ADB＝90°，
则tanA=BDAD=222=12．
故选：A．
【小结】此题主要考查了解直角三角形，正确构造直角三角形是解题关键．
8．下列不等式不成立的是（ ）
A．sin20°＜sin40°＜sin70° B．cos20°＜cos40°＜cos70°
C．tan20°＜tan40°＜tan70° D．sin30°＜cos45°＜tan60°
【分析】根据锐角正弦函数随角的增大而增大，余弦随角的增大而减小，正切随角的增大而增大，可得答案．
【解析】A、随角的增大而增大，故A不符合题意；
B、余弦随角的增大而减小，故B符合题意；
C、正切随角的增大而增大，故D不符合题意；
D、sin30°＜cos45°＜tan60°，故D不符合题意；
故选：B．
【小结】本题考查了锐角三角函数的增减性，锐角正弦函数随角的增大而增大，余弦随角的增大而减小，正切随角的增大而增大．
9．如图，一块矩形木板ABCD斜靠在墙边（OC⊥OB，点A，B，C，D，O在同一平面内），已知AB＝a，AD＝b，∠BCO＝x，则点D到OB的距离等于（ ）
A．asinx+bsinx B．acosx+bcosx
C．asinx+bcosx D．acosx+bsinx
【分析】如图，过点D作DE⊥OC于点E，则点D到OB的距离等于OE的长．根据矩形性质及解直角三角形可得OC＝BC•cosx＝bcosx，CE＝CD•sinx＝asinx，进而可得点D到OB的距离．
【解析】如图，过点D作DE⊥OC于点E，
则点D到OB的距离等于OE的长．
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BCD＝90°，CD＝AB＝a，AD＝BC＝b，
∴∠CDE＝∠BCO＝x，
∴OC＝BC•cosx＝bcosx，
CE＝CD•sinx＝asinx，
∴OE＝OC+CE＝bcosx+asinx．
则点D到OB的距离等于bcosx+asinx．
故选：C．
【小结】本题考查了解直角三角形的应用，解决本题的关键是掌握解直角三角形．
10．已知B港口位于A观测点北偏东45°方向，且其到A观测点正北方向的距离BM的长为102km，一艘货轮从B港口沿如图所示的BC方向航行47km到达C处，测得C处位于A观测点北偏东75°方向，则此时货轮与A观测点之间的距离AC的长为（ ）km．
A．83 B．93 C．63 D．73
【分析】根据∠MAB＝45°，BM＝102和勾股定理求出AB的长，再根据tan∠BAD=BDAD，求出BD的长，即可得出AD以及CD的长，进而得出答案．
【解析】∵∠MAB＝45°，BM＝102，
∴AB=BM2+MA2=(102)2+(102)2=20km，
过点B作BD⊥AC，交AC的延长线于D，
在Rt△ADB中，∠BAD＝∠MAC﹣∠MAB＝75°﹣45°＝30°，
tan∠BAD=BDAD=33，∴AD=3BD，
BD2+AD2＝AB2，即BD2+（3BD）2＝202，∴BD＝10，∴AD＝103，
在Rt△BCD中，BD2+CD2＝BC2，BC＝47，
∴CD＝23，∴AC＝AD﹣CD＝103-23=83km，
答：此时货轮与A观测点之间的距离AC的长为83km．
故选：A．
【小结】此题主要考查了解直角三角形中方向角问题，根据题意作出辅助线，构造直角三角形，求出BD的长是解题关键．
二．填空题（共6小题）
11．△ABC中，若（sinA-12）2+|32-cosB|＝0，则∠C＝ 120° ．
【分析】直接利用偶次方的性质以及绝对值的性质得出sinA=12，cosB=32，进而利用特殊角的三角函数值得出答案．
【解析】∵（sinA-12）2+|32-cosB|＝0，
∴sinA-12=0，32-cosB＝0，
∴sinA=12，cosB=32，
∴∠A＝30°，∠B＝30°，
∴∠C＝180°﹣30°﹣30°＝120°．
故答案为：120°．
【小结】此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键．
12．某斜坡坡角α的正弦值sinα=12，则该斜坡的坡比为 1：3 ．
【分析】根据正弦的定义、勾股定理用x表示出AC，根据坡度的概念计算，得到答案．
【解答】解；如图，设BC＝x，
在Rt△ABC中，sinA=BCAB=12，
则AB＝2x，
由勾股定理得，AC=AB2-BC2=3x，
∴斜坡的坡比=BCAC=x3x=1：3，
故答案为：1：3．
【小结】本题考查的是解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题，掌握坡度的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．
13．比较sin80°与tan46°的大小，其中值较大的是 tan46° ．
【分析】由sin80°＜sin90°＝1及tan46°＞tan45°＝1求解可得．
【解析】∵sinα随α的增大而增大，且sin80°＜sin90°，
∴sin80°＜1，
∵tanα随α的增大而增大，且tan46°＞tan45°，
∴tan46°＞1，
则tan46°＞sin80°，
故答案为：tan46°．
【小结】本题主要考查锐角三角函数的增减性，解题的关键是掌握正弦函数和正切函数的增减性．
14．如图，在△ABC中，sinB=13，tanC=32，AB＝3，则AC的长为 213 ．
【分析】过A作AD垂直于BC，在直角三角形ABD中，利用锐角三角函数定义求出AD的长，在直角三角形ACD中，利用锐角三角函数定义求出CD的长，再利用勾股定理求出AC的长即可．
【解析】过A作AD⊥BC，
在Rt△ABD中，sinB=13，AB＝3，∴AD＝AB•sinB＝1，
在Rt△ACD中，tanC=32，
∴ADCD=32，即CD=233，
根据勾股定理得：AC=AD2+CD2=12+(233)2=213，
故答案为213．
【小结】此题考查了解直角三角形，涉及的知识有：锐角三角函数定义，以及勾股定理，熟练掌握各自的性质是解本题的关键．
15．如图，某建筑物的顶部有一块标识牌CD，小明在斜坡上B处测得标识牌顶部C的仰角为45°，沿斜坡走下来，在地面A处测得标识牌底部D的仰角为60°，已知斜坡AB的坡角为30°，AB＝AE＝10米．则标识牌CD的高度是 米．
【分析】过点B作BH⊥AE于点H，BF⊥CE于点F，根据题意可得∠BAH＝30°，BH＝5，AH＝53，四边形BHEF是矩形，再根据三角函数即可求得标识牌CD的高度．
【解析】如图，过点B作BH⊥AE于点H，BF⊥CE于点F，
根据题意可知：
∠BAH＝30°，AB＝AE＝10，
∴BH＝5，AH＝53，
∵CE⊥AE，
∴四边形BHEF是矩形，
∴EF＝BH＝5，
BF＝HE＝AH+AE＝53+10，
∵∠DAE＝60°，
∴DE＝AE•tan60°＝103，
∴DF＝DE﹣EF＝103-5，
∵∠CBF＝45°，
∴CF＝BF＝53+10，
∴CD＝CF﹣DF＝53+10﹣（103-5）＝15﹣53（米）．
所以标识牌CD的高度是（15﹣53）米．
故答案为：（15﹣53）．
【小结】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，坡度坡角问题，解决本题的关键是掌握特殊角三角函数值．
16．如图，在边长为1的正方形网格中，连接格点D、N和E、C，DN和EC相交于点P，tan∠CPN为 2 ．
【分析】连接格点MN、DM，可得MN∥EC，由平行线的性质得出∠DNM＝∠CPN，证出∠DMN＝90°，由三角函数定义即可得出答案．
【解析】连接格点MN、DM，如图所示：
则四边形MNCE是平行四边形，△DAM和△MBN都是等腰直角三角形，
∴EC∥MN，∠DMA＝∠NMB＝45°，DM=2AD＝22，MN=2BM=2，
∴∠CPN＝∠DNM，∴tan∠CPN＝tan∠DNM，
∵∠DMN＝180°﹣∠DMA﹣∠NMB＝180°﹣45°﹣45°＝90°，
∴tan∠CPN＝tan∠DNM=DMMN=222=2，
故答案为2．
【小结】本题考查了平行线的性质、等腰直角三角形的性质、平行四边形的判定与性质、解直角三角形、勾股定理等知识；熟练掌握等腰直角三角形的性质和勾股定理是解题的关键．
17．计算：
（1）（﹣1）2•cos30°﹣（12）2•tan60°；
（2）4sin60°﹣3tan30°+2cos45°•sin45°．
【分析】（1）直接利用特殊角的三角函数值进而代入求出答案；
（2）直接利用特殊角的三角函数值进而代入求出答案．
【解析】（1）原式=32-14×3
=32-34
=34．
（2）原式=4×32-3×33+2×22×22
=3+1．
【小结】此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键．
18．当0°＜α＜45°时，有2sin（α+45°）＝sinα+cosα．
（1）计算sin75°；
（2）如图，△ABC中，AB＝1，∠ACB＝45°，∠CAB＝α，请利用这个图形证明上述结论．
【分析】（1）根据题意，将α＝30°，代入题目中的等式，即可计算出sin75°的值；
（2）根据题意，作出合适的辅助线，然后根据锐角三角函数即可证明结论成立．
【解析】（1）∵当0°＜α＜45°时，有2sin（α+45°）＝sinα+cosα，
∴当α＝30°时，2sin（30°+45°）＝sin30°+cos30°，
∴2sin75°=12+32，解得，sin75°=2+64；
（2）作AD⊥CB交CB的延长线于点D，
∵AB＝1，∠ACB＝45°，∠CAB＝α，
∴∠ABD＝∠ACB+∠ACB＝45°+α，sin∠ABD=ADAB=AD1=AD，
∴sin（45°+α）＝AD，
又∵∠ADC＝90°，∠C＝45°，∴sinC=ADAC，
即AD＝AC•sinC＝AC×22=22AC，
∴AC=2AD=2sin（α+45°），
作BE⊥AC于点E，
∵∠CAB＝α，AB＝1，
∴sinα=BEAB=BE，cosα=AEAB=AE，
∵∠C＝45°，∠BEC＝90°，
∴∠C＝∠CBE＝45°，
∴BE＝CE，∴AC＝AE+CE＝AE+BE，
∴2sin（α+45°）＝sinα+cosα．
【小结】本题考查直角三角形、实数的运算，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
19．如图，在等腰Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，D是AC上一点，若tan∠DBA=13．
（1）求AD的长；
（2）求sin∠DBC的值．
【分析】（1）过点D作DH⊥AB于点H，根据等腰直角三角形的性质得到AH＝DH，根据正切的定义、勾股定理求出AD；
（2）根据勾股定理求出BD，根据正弦的定义计算即可．
【解析】（1）过点D作DH⊥AB于点H，
∵△ABC为等腰直角三角形，∠C＝90°，
∴∠A＝45°，AC＝BC＝8，
∴AH＝DH，
设AH＝x，则DH＝x
∵tan∠DBA=13，
∴BH＝3x，
∴AB＝4x，
由勾股定理可知：AB=AC2+BC2=82+82=82，
∴x＝22，
由勾股定理可得，AD=AH2+DH2=4；
（2）∵AD＝4，
∴DC＝AC﹣AD＝4，
由勾股定理得，DB=CD2+BC2=42+82=45，
∴sin∠DBC=CDBD=445=55．
【小结】本题考查的是解直角三角形，掌握锐角三角函数的定义、勾股定理是解题的关键．
20．如图，四边形钢板是某机器的零部件，工程人员在设计时虑到飞行的稳定性和其他保密性原则，使得边沿AD的长度是边沿BC长度的三倍，且它们所在的直线互相平行，检测员王刚参与了前期零件的基础设计，知道∠ABC＝45°，边沿CD所在直线与边沿BC所在直线相交后所成的锐角为30°（即P在BC的延长线上，∠DCP＝30°），经测量BC的长度为7米，求零件的边沿CD的长．（结果保留根号）
【分析】通过作辅助线，构造直角三角形，利用直角三角形的边角关系，用DN表示CN，MA，再根据矩形的性质，求出DN的长，进而求出答案．
【解析】如图，过点B作BM⊥AD，交DA的延长线于点M，过点D作DN⊥BC，交BC的延长线于点N，
∵BC∥AD，
∴∠ABC＝∠MAB＝45°，
又∵∠MBA＝90°﹣∠ABC＝45°，
∴MA＝MB＝DN，
又∵AD＝3BC，BC＝7，
∴AD＝21，
在Rt△CDN中，∠DCN＝30°，
∴CD＝2DN，CN=3DN，
由MD＝BN得，DN+21＝7+3DN，
解得，DN＝73+7，
∴CD＝2DN＝143+14（米）
【小结】本题考查解直角三角形的应用，掌握直角三角形的边角关系是正确解答的前提，利用方程求解是解决问题的基本方法．
21．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，sinA=45，BC＝8，D是AB中点，过点B作直线CD的垂线，垂足为点E．
（1）求cos∠ABE的值；
（2）连接AE，求四边形AEBC的面积．
【分析】（1）根据∠ACB＝90°，sinA=45，BC＝8，D是AB中点，求出CD、AC、BD的长，然后根据三角形面积求出BE的长，进而求得cos∠ABE的值；（2）根据三角形中线分出的两个三角形面积相等求出三角形BAE的面积，进而可以求出四边形AEBC的面积．
【解答】（1）在△ABC中，
∵∠ACB＝90°，
∴sinA=BCAB=45
∵BC＝8，∴AB＝10，
∵D是AB中点，
∴CD=12AB=5；
在Rt△ABC中，
∵AB＝10，BC＝8，∴AC=AB2-BC2=6，
∵D是AB中点，
∴BD＝5，S△BCD＝S△ADC=12S△ABC
即12CD⋅BE=12⋅12AC⋅BC，
∴BE=6×82×5=245
在Rt△BDE中，cos∠DBE=BEBD=2455=2425，
答：cos∠ABE的值为2425；
（2）如图，连接AE，
在Rt△BDE中，
∵BE=245，BD=5，
∴DE=BD2-BE2=75，
∴S△BDE=12BE⋅DE=12×245×75=8425，
∵D是AB中点，
∴S△BDES△BAE=BDAB=12，
∴S△BAE=2S△BDE=16825，
∵S△ABC=12AC⋅BC=12×6×8=24，
∴S四边形AEBC=S△BAE+S△ABC=16825+24=76825．
答：四边形AEBC的面积为76825．
【小结】本题考查了解直角三角形、勾股定理、三角形的面积、直角三角形斜边上的中线，解决本题的关键是综合运用以上知识．
22．如图1．点A、B在直线MN上（A在B的左侧），点P是直线MN上方一点．若∠PAN＝x°，∠PBN＝y°，记＜x，y＞为P的双角坐标．例如，若△PAB是等边三角形，则点P的双角坐标为＜60，120＞．
（1）如图2，若AB＝22cm，P＜26.6，58＞，求△PAB的面积；
（参考数据：tan26.6°≈0.50，tan58°≈1.60．）
（2）在图3中用直尺和圆规作出点P＜x，y＞，其中y＝2x且y＝x+30．（保留作图痕迹）
【分析】（1）过点P作PC⊥AB于点C，则∠PCA＝90°，根据锐角三角函数即可求解；
（2）如图3，用直尺和圆规作出点P＜x，y＞，其中y＝2x且y＝x+30．可得x＝30°，y＝60°即可．
【解析】（1）过点P作PC⊥AB于点C，则∠PCA＝90°，
在Rt△PBC中，∠PBC＝58°，
∵tan58°=PCBC，∴BC=PCtan58°，
在Rt△PAC中，∠PAC＝26.6°，
∵tan26.6°=PCAC，∴AC=PCtan26.6°，
∵AB＝AC﹣BC，
∴PCtan26.6°-PCtan58°=22，解得PC≈16（cm），
∴S△PAB=12×22×16＝176cm2；
（2）如图3，点P即为所求．
【小结】本题考查了解直角三角形、等边三角形的性质、尺规作图，解决本题的关键是掌握解直角三角形．
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