还剩53页未读，
继续阅读
所属成套资源：初中数学章节知识点必考点梳理（知识点讲义）
成套系列资料，整套一键下载
初中数学 章节考点梳理：初中代数式务必掌握的20个考点 学案
展开
考点1： 代数式的定义及书写
（1）代数式的概念：用运算符号把数字与字母连接而成的式子叫做代数式，单独的一个数或
一个字母也是代数式．
（2） 代数式书写规范：①数和字母相乘，可省略乘号，并把数字写在字母的前面；②字母和字母相乘，乘
号可以省略不写或用“ · ” 表示. 一般情况下，按26个字母的顺序从左到右来写；③后面带单位的相加或相减的式子要用括号括起来；④除法运算写成分数形式，即除号改为分数线；⑤带分数与字母相乘时，带分数要写成假分数的形式；⑥当“1”与任何字母相乘时,“1”省略不写；当“-1”乘以字母时，只要在
那个字母前加上“-”号.
例题1： （1）在下列各式中（1）3a，（2）4+8＝12，（3）2a﹣5b＞0，（4）0，（5）s＝πr2，（6）a2﹣b2，（7）1+2，（8）x+2y，其中代数式的个数是（ ）
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
（2）下列各式：①114x；②2•3；③20%x；④a﹣b÷c；⑤m-n3；⑥x﹣5千克：其中符合代数式书写要求的有（ ）
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
【分析】（1）根据代数式的概念：用运算符号把数字与字母连接而成的式子叫做代数式，单独的一个数或一个字母也是代数式．依此作答即可．
（2）根据书写规则，分数不能为带分数，对各项的代数式进行判定，即可求出答案．
【解析】（1）由题，属于代数式有：（1）3a，（4）0，（6）a2﹣b2，（7）1+2，（8）x+2y，共5个，选C
（2）①114x中分数不能为带分数；②2•3数与数相乘不能用“•”；③20%x，书写正确；
④a﹣b÷c，除号应用分数线，所以书写错误；⑤m-n3书写正确；⑥x﹣5应该加括号，所以书写错误；
符合代数式书写要求的有③⑤共2个．选：D．
【小结】（1）代数式是由运算符号把数或表示数的字母连接而成的式子．单独的一个数或者一个字母也是代数式．带有“＜（≤）”“＞（≥）”“＝”“≠”等符号的不是代数式．
（2）注意代数式的书写要求：（1）在代数式中出现的乘号，通常简写成“•”或者省略不写；（2）数字与字母相乘时，数字要写在字母的前面；（3）带分数要写成假分数的形式．
变式1： 在以下各式中属于代数式的是（ ）
①S=12ah ②a+b＝b+a ③a ④1a ⑤0 ⑥a+b ⑦a+bab
A．①②③④⑤⑥⑦ B．②③④⑤⑥ C．③④⑤⑥⑦ D．①②
【分析】根据代数式是由运算符号（加、减、乘、除、乘方、开方）把数或表示数的字母连接而成的式子．单独的一个数或者一个字母也是代数式．带有“＜（≤）”“＞（≥）”“＝”“≠”等符号的不是代数式进行分析即可．
【解析】③a，④1a，⑤0，⑥a+b，⑦a+bab是代数式，选：C．
【小结】此题主要考查了代数式，关键是掌握代数式的定义．
变式2： 在式子0.5xy﹣2，3÷a，12（a+b），a•5，﹣314abc中，符合代数式书写要求的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】直接利用代数式的定义，代数式是由运算符号（加、减、乘、除、乘方、开方）把数或表示数的字母连接而成的式子．单独的一个数或者一个字母也是代数式．带有“＜（≤）”“＞（≥）”“＝”“≠”等符号的不是代数式，进而判断即可．
【解析】0.5xy﹣2，3÷a，12（a+b），a•5，﹣314abc中，符合代数式书写要求的有0.5xy﹣2，12（a+b）共2个．选：B．
【小结】此题主要考查了代数式，正确把握定义是解题关键．
变式3： 进入初中后学习数学，对于代数式书写规范，教材中指出：“在含有字母的式子中如果出现乘号“×”，通常将乘号写作“•”或者省略不写”．其实还有一些书写规范，比如，在代数式中如果出现除号“÷”，通常用分数线“﹣”来取代；数字与字母相乘时，一般数字写在前面，根据以上书写要求，将代数式（ac×4﹣b2）÷4简写为 ．
【分析】根据代数式的写法表示即可．
【解析】代数式（ac×4﹣b2）÷4简写为：4ac-b24，故答案为：4ac-b24．
【小结】此题主要考查了代数式，关键是掌握代数式的表示要求．
考点2： 列代数式（和差倍问题）
解决此类问题是要理解题意，将字母看作数字表示相应的量，列出代数式，注意代数式的书写规范.
例题2： 学校举行国庆画展，七（1）班交m件作品，七（2）班交的作品比七（1）班的2倍少6件，则七（2）班交的作品是 件．
【分析】根据“2倍”即乘以2，“少6件”即再减去6即可得．
【解析】根据题意知七（2）班交的作品数量为（2m﹣6）件，故答案为：2m﹣6．
【小结】本题主要考查列代数式，列代数式应该注意格式.
变式4： 某校报数学兴趣小组的有m人，报书法兴趣小组的人数比数学兴趣小组的人数的一半多3人，那么报书法兴趣小组的有 人．
【分析】数学兴趣小组的人数的一半是：12m，则根据“报书法兴趣小组的人比数学兴趣小组的人数的一半多3人”列出代数式．
【解析】依题意知，美术兴趣小组的人数是：12m+3．故答案是：（12m+3）．
【小结】本题考查了列代数式．解决问题的关键是读懂题意，找到所求的量的等量关系．
变式5： 某学校七年级有m人，八年级人数比七年级人数的23多10人，九年级人数比八年级人数的2倍少50人，用含m的式子表示七八九三个年级的总人数为（ ）
A．3m B．113m﹣40 C．3m﹣40 D．3m﹣20
【分析】根据题意分别表示出各年级的人数，进而利用整式的加减运算法则得出答案．
【解析】由题意可得，八年级的人数为：23m+10，九年级人数为：2（23m+10）﹣50，
故七八九三个年级的总人数为：m+23m+10+2（23m+10）﹣50＝3m﹣20．选：D．
【小结】此题主要考查了列代数式，正确表示出各年级人数是解题关键．
变式6： 我校甲、乙、丙三位同学给希望工程捐款，已知甲同学捐款x元，乙同学的捐款金额比甲同学捐款金额的3倍少8元，丙同学的捐款金额是甲、乙两同学捐款总金额的34，用含x的代数式表示甲，乙、丙三位同学的捐款总金额．
【分析】分别表示出乙、丙同学捐款总数进而得出答案．
【解析】由题意可得，乙同学捐款（3x﹣8）元，丙同学的捐款金额是：34（x+3x﹣8）＝3x﹣6（元），
故甲，乙、丙三位同学的捐款总金额为：x+3x﹣8+3x﹣6＝7x﹣14（元）．
【小结】此题主要考查了列代数式，正确表示出乙、丙同学捐款总数是解题关键．
考点3： 列代数式（数字问题）
解决此类问题是要理解题意，将字母看作数字表示相应的量，列出代数式，注意代数式的书写规范.
例题3： 一个两位数，十位上的数字为a，个位上的数字比十位上的数字少2，则这个两位数为（ ）
A．11a﹣20 B．11a+20 C．11a﹣2 D．11a+2
【分析】根据一个两位数，十位上的数字为a，个位上的数字比十位上的数字少2，可知个位数字为a﹣2，然后即可用含a的代数式表示出这个两位数．
【解析】由题意可得，这个两位数为：10a+（a﹣2）＝11a﹣2，选：C．
【小结】本题考查列代数式，解答本题的关键是明确题意，列出相应的代数式．
变式7： 设a是一个三位数，b是一个两位数，如果将这两个数顺次排成一个五位数（a在左，b在右），则这个五位数可以表示为 ．
【分析】相当于把三位数扩大了100倍，两位数的大小不变，相加即可．
【解析】∵三位数扩大了100倍，两位数的大小不变，∴这个五位数可以表示为100a+b．故答案是100a+b．
【小结】考查列代数式，得到新数中的a，b与原数中的a，b的关系是解决本题的关键．
变式8： 一个三位数为x，一个两位数为y，把这个三位数放在两位数的左边得到一个五位数M，把这个两位数放在三位数的左边又可以得到一个五位数N，则M﹣N＝ （结果用含x，y的式子表示）．
【分析】由于一个两位数为y，一个三位数为x，若把这个三位数放在两位数的左边得到一个五位数M，由此得到M＝100x+y，又把这个两位数放在三位数的左边又可以得到一个五位数N，由此得到N＝1000y+x，然后就可以求出M﹣N的值．
【解析】依题意得，M＝100x+y，N＝1000y+x，∴M﹣N＝（100x+y）﹣（1000y+x）＝99x﹣999y．
【小结】此题主要考查了列代数式，解决此类题目的关键是首先正确理解题意，然后根据题意列出代数式，同时计算时熟记去括号法则，熟练运用合并同类项的法则，这是各地中考的常考点．
变式9： 用式子表示十位上的数是x，个位上的数是y的两位数，再把这个两位数的十位上的数与个位上的数交换位置．求后来所得的数与原来的数的差是多少？
【分析】由十位上的数字乘10加上个位上的数字表示出两位数，再由个位与十位交换表示出新数，新数减去原来的数即可得到结果．
【解析】依题意有（10y+x）﹣（10x+y）＝10y+x﹣10x﹣y＝9y﹣9x．
【小结】本题主要考查列代数式，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的数量关系．
考点4： 列代数式（销售问题）
解决此类问题是要理解题意，将字母看作数字表示相应的量，列出代数式，注意代数式的书写规范.
例题4： 一件羽毛球拍先按成本价提高50%标价，再将标价打8折出售，若这件羽毛球拍的成本价是x元，那么售价可表示为 ．
【分析】直接利用成本与原价以及售价与打折的关系进而得出答案．
【解析】由题意可得：（1+50%）x×0.8＝1.2x（元）．
【小结】此题主要考查了列代数式，正确理解打折与售价的关系是解题关键．
变式10： 某商店有一种商品每件成本a元，按成本价增加20%定为售价，售出80件后，由于存积压降价，打八五折出售，又售出120件．
（1）求该商品减价后每件的售价为多少元？（2）售完200件这种商品共盈利多少元？
【分析】（1）根据一种商品每件成本a元，按成本价增加20%定为售价，后来由于存积压降价，打八五折出售，可以用含a的代数式表示出该商品减价后每件的售价为多少元；
（2）根据题意和（1）中的结果，可以计算出售完200件这种商品共盈利多少元．
【解析】（1）由题意可得，每件商品减价后的售价是：a（1+20%）×0.85＝1.02a（元），
（2）20%a×80+（1.02a﹣a）×（200﹣80）＝16a+0.02a×120＝16a+2.4a＝18.4a（元），
【小结】本题考查列代数式，解答本题的关键是明确题意，列出相应的代数式．
变式11： 小明经销一种服装，进货价为每件a元，经测算先将进货价提高200%进行标价，元旦前夕又按标价的4折销售，这件服装的实际价格（ ）
A．比进货价便宜了0.52a元 B．比进货价高了0.2a元 C．比进货价高了0.8a元 D．与进货价相同
【分析】直接利用标价以及打折之间的关系得出关系式即可．
【解析】由题意可得，这件服装的实际价格是：（1+200%）a×40%＝1.2a元．
则1.2a﹣a＝0.2a（元）比进货价高了0.2a元．选：B．
【小结】此题主要考查了列代数式，正确表示出标价是解题关键．
变式12： 张师傅下岗后做起了小生意，第一次进货时，他以每件a元的价格购进了20件甲种小商品，以每件b元的价格购进了30件乙种小商品（a＞b）．根据市场行情，他将这两种小商品都以a+b2元的价格出售．在这次买卖中，张师傅的盈亏状况为（ ）
A．赚了（25a+25b）元 B．亏了（20a+30b）元 C．赚了（5a﹣5b）元 D．亏了（5a﹣5b）元
【分析】应该比较他的总进价和总售价．分别表示出总进价为：20a+30b，总售价为a+b2×（20+30）＝25a+25b，通过作差法比较总进价和总售价的大小，判断他是赔是赚．
【解析】根据题意可知：总进价为20a+30b，总售价为a+b2×（20+30）＝25a+25b
∴25a+25b﹣（20a+30b）＝5a﹣5b，∵a＞b，∴5a﹣5b＞0，那么售价＞进价，∴他赚了．选：C．
【小结】此题考查列代数式，列代数式的关键是正确理解文字语言中的关键词，找到其中的数量关系．本题要注意应该比较他的总进价和总售价．
考点5： 列代数式（增长率问题）
解决此类问题是要理解题意，将字母看作数字表示相应的量，列出代数式，注意代数式的书写规范.
例题5： 某校去年初一招收新生a人，今年比去年增加x%，今年该校初一学生人数用式子表示为（ ）
A．（a+x%）人 B．ax%人
C．a(1+x)100人 D．a（1+x%）人
【分析】根据今年招收的新生人数＝去年初一招收的新生人数+x%×去年初一招收新生人数，即可得出答案．
【解析】∵去年初一招收新生a人，∴今年该校初一学生人数为：a（1+x%）人．选：D．
【小结】此题考查了列代数式，解决问题的关键是读懂题意，找到所求的量的等量关系．注意今年比去年增加x%和今年是去年的x%的区别．
变式13： 某校初一年级计划初中三年每年参加植树活动，2019年已经植树a亩，如果以后每年比上一年植树面积增长20%，那么2021应植树的面积为（ ）
A．a•（1+20%） B．a•（1+2×20%）
C．a•（1+20%）2 D．2a•（1+20%）
【分析】根据题意，可以用含a的代数式表示出2021年应植树的面积，本题得以解决．
【解析】由题意可得，2021应植树的面积为：a（1+20%）2，选：C．
【小结】本题考查列代数式，解答本题的关键是明确题意，列出相应的代数式．
变式14： 某企业今年1月份产值为x万元，2月份的产值比1月份减少了10%，则1月份和2月份的产值和是（ ）
A．x+（1﹣10%）x万元 B．x+（1+10%）x万元
C．（1﹣10%）x万元 D．（1+10%）x万元
【分析】根据题意表示出2月份的产值，进而得出答案．
【解析】∵今年1月份产值为x万元，2月份的产值比1月份减少了10%，
∴2月份的产量为：（1﹣10%）x，故1月份和2月份的产值和是：[x+（1﹣10%）x]万元．选：A．
【小结】此题主要考查了列代数式，正确表示出2月份的产值是解题关键．
变式15： 裕丰商店一月份的利润为50万元，二、三月份的利润平均增长率为m，则下列各式中，能正确表示这个商店第一季度的总利润的是（ ）
A．50（1+m）万元 B．50（1+m）2万元
C．[50+50（1+m）]万元 D．[50+50（1+m）+50（1+m）2]万元
【分析】根据裕丰商店一月份的利润及二、三月份的利润平均增长率，即可用含m的代数式表示出二、三月份的利润，再将三个月的利润相加即可得出结论．
【解析】∵裕丰商店一月份的利润为50万元，二、三月份的利润平均增长率为m，
∴二月份的利润为50（1+m）万元，三月份的利润为50（1+m）2，
∴这个商店第一季度的总利润是[50+50（1+m）+50（1+m）2]万元．选：D．
【小结】本题考查了列代数式，根据前三个月利润间的关系，用含m的代数式表示出二、三月份的利润是解题的关键．
考点6： 列代数式（分段计费问题）
解决此类问题是要理解题意，将字母看作数字表示相应的量，列出代数式，注意代数式的书写规范.
例题6： 东西湖区域出租汽车行驶2千米以内（包括2千米）的车费是10元，以后每行驶1千米，再加0.7元．如果某人坐出租汽车行驶了m千米（m是整数，且m≥2），则车费是（ ）
A．（10﹣0.7m）元 B．（11.4+0.7m）元
C．（8.6+0.7m）元 D．（10+0.7m）元
【分析】根据题意，可以用含m的代数式表示出需要付的车费，本题得以解决．
【解析】由题意可得，车费是：10+（m﹣2）×0.7＝（0.7m+8.6）元，选：C．
【小结】本题考查列代数式，解答本题的关键是明确题意，列出相应的代数式．
变式16： 为响应国家节能减排的号召，鼓励人们节约用电，保护能源，某市实施用电“阶梯价格”收费制度．收费标准如表：
居民每月用电量
单价（元/度）
不超过50度的部分
0.5
超过50度但不超过200度的部分
0.6
超过200度的部分
0.8
已知小刚家上半年的用电情况如下表（以200度为标准，超出200度记为正、低于200度记为负）：
一月份
二月份
三月份
四月份
五月份
六月份
﹣50
+30
﹣26
﹣45
+36
+25
根据上述数据，解答下列问题：
（1）小刚家用电量最多的是 月份，实际用电量为 度；
（2）小刚家一月份应交纳电费 元；
（3）若小刚家七月份用电量为x度，求小刚家七月份应交纳的电费（用含x的代数式表示）．
【分析】（1）根据表格中的数据可以解答本题；
（2）根据表格中的数据和题意，可以计算出小刚家一月份应交纳电费；
（3）根据表格中的数据，可以用分类讨论的方法用相应的代数式表示出小刚家七月份应交纳的电费．
【解析】（1）由表格可知，五月份用电量最多，实际用电量为：200+36＝236（度），故答案为：五，236；
（2）小刚家一月份用电：200+（﹣50）＝150（度），
小刚家一月份应交纳电费：0.5×50+（150﹣50）×0.6＝25+60＝85（元），故答案为：85；
（3）当0＜x≤50时，电费为0.5x元；
当50＜x≤200时，电费为0.5×50+（x﹣50）×0.6＝25+0.6x﹣30＝（0.6x﹣5）元；
当x＞200时，电费为0.5×50+0.6×150+（x﹣200）×0.8＝25+90+0.8x﹣160＝（0.8x﹣45）元．
【小结】本题考查列代数式，解答本题的关键是明确题意，列出相应的代数式．
变式17： 为了加强公民的节水意识，合理利用水资源，某市采用价格调控的手段达到节水的目的，该市自来水收费的价目表如下（注：水费按月份结算，表示立方米）
价目表
每月用水量
单价
不超过6m3的部分
2元/m3
超出6m3不超出10m3的部分
4元/m3
超出10m3的部分
8元/m3
请根据上表的内容解答下列问题：
（1）填空：若该户居民2月份用水5m3，则应交水费 元；3月份用水8m3，则应收水费 元；
（2）若该户居民4月份用水am3（其中a＞10m3），则应交水费多少元（用含a的代数式表示，并化简）？
（3）若该户居民5、6两个月共用水14m3（6月份用水量超过了5月份），设5月份用水xm3，直接写出该户居民5、6两个月共交水费多少元（用含x的代数式表示）．
【分析】（1）根据题意，可以计算出该居民二月份和三月份的水费；
（2）根据题意，可以用a的代数式表示出4月份的水费；
（3）根据题意，利用分类讨论的方法可以解答本题．
【解析】（1）由表格可得，若该户居民2月份用水5m3，则应交水费：2×5＝10（元），
3月份用水8m3，则应收水费：2×6+4×（8﹣6）＝12+4×2＝12+8＝20（元），故答案为：10，20；
（2）由表格可得，
该户居民4月份用水am3（其中a＞10m3），则应交水费：2×6+4×（10﹣6）+8（a﹣10）＝（8a﹣52）元，
（3）由题意可得，x＜14﹣x，得x＜7，
当6＜x＜7，该户居民5、6两个月共交水费：[2×6+（x﹣6）×4]+[2×6+（14﹣x﹣6）×4]＝32（元），
当4≤x≤6时，该户居民5、6两个月共交水费：2x+[2×6+（14﹣x）×4]＝（﹣2x+68）（元），
当0≤x＜4时，该户居民5、6两个月共交水费：2x+[2×6+（10﹣6）×4+（14﹣x）×8]＝（140﹣6x）（元）．
【小结】本题考查列代数式、有理数的混合运算，解答本题的关键是明确题意，列出相应的代数式、利用分类讨论的的方法解答．
变式18： 滴滴快车是一种便捷的出行工具，计价规则如下表：
计费项目
里程费
时长费
远途费
单价
1.8元/公里
0.45元/分钟
0.4元/公里
注：车费由里程费、时长费、远途费三部分构成，其中里程费按行车的实际里程计算：
时长费按行车的实际时间计算远途费的收取方式为：行车里程10公里以内（含10公里）不收远途费，超过10公里的，超出部分每公里收0.4元．
（1）若小东乘坐滴滴快车，行车里程为20公里，行车时间为30分钟，则需付车费 元；
（2）若小明乘坐滴滴快车，行车里程为a公里，行车时间为b分钟，则小明应付车费多少元；（用含a、b的代数式表示，并化简）
（3）小王与小张各自乘坐滴滴快车，行车里程分别为9.5公里与14.5公里，受路况情况影响，小王反而比小张乘车多用24分钟，请问谁所付车费多？
【分析】（1）根据滴滴快车计算得到得到所求即可；
（2）根据a的值在10公里以内还是超过10公里，分别写出小明应付费即可；
（3）根据题意计算出相差的车费即可．
【解析】（1）1.8×20+0.45×30+0.4×（20﹣10）＝53.5（元），故答案为：53.5；
（2）当a≤10时，小明应付费（1.8a+0.45b）元；
当a＞10时，小明应付费1.8a+0.45b+0.4（a﹣10）＝（2.2a+0.45b﹣4）元；
（3）小王与小张乘坐滴滴快车分别为a分钟、（a﹣24）分钟，
1.8×9.5+0.45a﹣[1.8×14.5+0.45（a﹣24）+0.4×（14.5﹣10）]＝0，因此，小王和小张付费相同．
【小结】此题考查了代数式求值，以及列代数式，弄清题意是解本题的关键．
考点7： 代数式求值（整体代入法）
例题7： 已知代数式x﹣2y的值是3，则代数式4y+1﹣2x的值是（ ）
A．﹣5 B．﹣3 C．﹣1 D．0
【分析】直接将原式变形进而把已知代入求出答案．
【解析】∵x﹣2y＝3，∴4y+1﹣2x＝﹣2（x+2y）+1＝﹣6+1＝﹣5．选：A．
【小结】此题主要考查了代数式求值，正确将原式变形是解题关键．
变式19： 当x＝2时，代数式px3+qx+1的值为﹣2019，求当x＝﹣2时，代数式的px3+qx+1值是（ ）
A．2018 B．2019 C．2020 D．2021
【分析】根据整体思想将已知条件用含p和q的代数式表示，再整体代入即可求解．
【解析】当x＝2时，代数式px3+qx+1的值为﹣2019，即8p+2q＝﹣2020．
当x＝﹣2时，代数式的px3+qx+1＝﹣8p﹣2q+1＝﹣（8p+2q）+1＝2020+1＝2021．选：D．
【小结】本题考查了代数式求值，解决本题的关键是利用整体思想．
变式20： 已知1﹣a2+2a＝0，则14a2-12a+54的值为（ ）
A．32 B．14 C．1 D．5
【分析】1﹣a2+2a＝0经过整理得：a2﹣2a＝1，14a2-12a+54=14（a2﹣2a）+54，
把a2﹣2a＝1代入代数式14（a2﹣2a）+54，计算求值即可．
【解析】∵1﹣a2+2a＝0，∴a2﹣2a＝1，∴14a2-12a+54=14（a2﹣2a）+54=14×1+54=32，选：A．
【小结】本题考查了代数式求值，正确掌握代数式变形，代入法，有理数混合运算法则是解题的关键．
变式21： （1）【探究】若a2+2a＝1，则代数式2a2+4a+4＝2（ ）+4＝2×（ ）+4＝ ．
【类比】若x2﹣3x＝2，则x2﹣3x﹣5的值为 ．
（2）【应用】当x＝1时，代数式px3+qx+1的值是5，求当x＝﹣1时，px3+qx+1的值；
（3）【推广】当x＝2020时，代数式ax5+bx3+cx﹣5的值为m，当x＝﹣2020时，ax5+bx3+cx﹣5的值
为 （含m的式子表示）
【分析】（1）把代数式2a2+4a+4＝2（a2+2a）+4，然后利用整体代入的方法计算；利用同样方法计算x2﹣3x﹣5的值；
（2）先用已知条件得到p+q＝4，而当x＝﹣1时，px3+qx+1＝﹣p﹣q+1＝﹣（p+q）+1，然后利用整体代入的方法计算；
（3）利用当x＝2020时，代数式ax5+bx3+cx﹣5的值为m得到20205a+20203b+2020c＝m+5，而当x＝﹣2020时，ax5+bx3+cx﹣5＝﹣20205a﹣20203b﹣2020c﹣5，然后利用整体代入的方法计算．
【解析】（1）∵a2+2a＝1，
∴2a2+4a+4＝2（a2+2a）+4＝2×（1）+4＝6；
【类比】若x2﹣3x＝2，则x2﹣3x﹣5＝2﹣5＝﹣3；
故答案为a2+2a，1，6；﹣3；、
（2）∵当x＝1时，代数式px3+qx+1的值是5，∴p+q+1＝5，∴p+q＝4，
∴当x＝﹣1时，px3+qx+1＝﹣p﹣q+1＝﹣（p+q）+1＝﹣4+1＝﹣3；
（3）∵当x＝2020时，代数式ax5+bx3+cx﹣5的值为m，
∴20205a+20203b+2020c﹣5＝m，即20205a+20203b+2020c＝m+5，
当x＝﹣2020时，ax5+bx3+cx﹣5＝（﹣2020）5a+（﹣2020）3b+（﹣2020）c﹣5
＝﹣20205a﹣20203b﹣2020c﹣5
＝﹣（20205a+20203b+2020c）﹣5
＝﹣（m+5）﹣5
＝﹣m﹣5﹣5
＝﹣m﹣10．
故答案为﹣m﹣10．
【小结】本题考查了代数式求值：求代数式的值可以直接代入、计算．如果给出的代数式可以化简，要先化简再求值．也考查了整体代入的方法．
考点8： 代数式求值（程序框图）
例题8： 根据以下程序，当输入x＝﹣2时，输出结果为（ ）
A．﹣5 B．﹣16 C．5 D．16
【分析】首先求出当x＝﹣2时，9﹣x2的值是多少，然后把所得的结果和1比较大小，判断是否输出结果即可．
【解析】当x＝﹣2时，9﹣x2＝9﹣（﹣2）2＝9﹣4＝5＞1，
当x＝5时，9﹣x2＝9﹣52＝9﹣25＝﹣16＜1，
∴当输入x＝﹣2时，输出结果为﹣16．选：B．
【小结】此题主要考查了代数式求值问题，要熟练掌握，求代数式的值可以直接代入、计算．如果给出的代数式可以化简，要先化简再求值．题型简单总结以下三种：①已知条件不化简，所给代数式化简；②已知条件化简，所给代数式不化简；③已知条件和所给代数式都要化简
变式22： 根据如图所示的计算程序，若输入x＝﹣1，则输出结果为（ ）
A．4 B．2 C．1 D．﹣1
【分析】把x＝﹣1代入程序中计算即可得到结论．
【解析】当入x＝﹣1时，﹣x2+3＝﹣1+3＝2＞1，当x＝2时，﹣x2+3＝﹣4+3＝﹣1＜1，选：D．
【小结】此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
变式23： 按如图所示的运算程序，能使运算输出的结果为6的是（ ）
A．x＝5，y＝﹣1 B．x＝2，y＝2 C．x＝2，y＝﹣1 D．x＝﹣2，y＝3
【分析】把x与y的值代入检验即可．
【解析】A、当x＝5，y＝﹣1时，输出结果为5+1＝6，符合题意；
B、当x＝2，y＝2时，输出结果为2﹣4＝﹣2，不符合题意；
C、当x＝2，y＝﹣1时，输出结果为2+1＝3，不符合题意；
D、当x＝﹣2，y＝3时，输出结果为﹣2﹣9＝﹣11，不符合题意，选：A．
【小结】此题考查了代数式求值，以及有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
变式24： 如图是一个运算程序，能使输出结果为﹣1的是（ ）
A．1，2 B．﹣1，0 C．﹣1，2 D．0，﹣1
【分析】根据筛选法将各个选项分别代入运算程序即可得结果．
【解析】A．当a＝1，b＝2时，输出结果为3，不符合题意；
B．当a＝﹣1，b＝0时，输出结果为1，不符合题意；
C．当a＝﹣1，b＝2时，输出结果为﹣1，符合题意；
根据筛选法C选项正确．选：C．
【小结】本题考查 了代数式求值、有理数的混合运算，解决本题的关键是理解运算程序．
考点9： 单项式的系数与次数
解题关键：①单项式中的数字因数称为这个单项式的系数；②一个单项式中,所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数
例题9： 4πx2y4z9的系数是 ，次数是 ．
【分析】直接利用单项式的系数与次数确定方法得出答案．
【解析】4πx2y4z9的系数是：4π9，次数是：7
【小结】此题主要考查了单项式，正确把握单项式的次数与系数确定方法是解题关键．
变式25： 单项式﹣3πxa+1y2与-102x2y39的次数相同，则a的值为 ．
【分析】根据单项式的次数相等，得到关于a的一元一次方程，求解即可．
【解析】因为-102x2y39的次数是5，又因为单项式﹣3πxa+1+y2与-102x2y39的次数相同
所以a+1+2＝5解得a＝2
【小结】本题考查了单项式次数的定义及一元一次方程的解法．通过单项式的次数相等列出关于a的方程是解决本题的关键．注意单项式的次数不包含数字和π的次数
变式26： 若单项式﹣x3yn+5的系数是m，次数是9，则m+n的值为 ．
【分析】先依据单项式的系数和次数的定义确定出m、n的值，然后求解即可．
【解析】根据题意得：m＝﹣1，3+n+5＝9，解得：m＝﹣1，n＝1，则m+n＝﹣1+1＝0
【小结】本题主要考查的是单项式的定义，掌握单项式的系数和次数的概念是概念是解题的关键．
变式27： 已知（m﹣3）x3y|m|+1是关于x，y的七次单项式，求m2﹣2m+2＝ ．
【分析】直接利用单项式的次数确定方法分析得出答案．
【解析】∵（m﹣3）x3y|m|+1是关于x，y的七次单项式，∴3+|m|+1＝7且m﹣3≠0，解得：m＝﹣3，
∴m2﹣2m+2＝9+6+2＝17
【小结】此题主要考查了单项式，正确把握单项式的次数确定方法是解题关键．
考点10： 多项式的项与次数
解题关键是熟悉几个单项式的和叫做多项式，每个单项式叫做多项式的项，其中不含字母的项叫做常数项．多项式中次数最高的项的次数叫做多项式的次数．
例题10： 关于多项式5x4y﹣3x2y+4xy﹣2，下列说法正确的是（ ）
A．三次项系数为3 B．常数项是﹣2
C．多项式的项是5x4y，3x2y，4xy，﹣2 D．这个多项式是四次四项式
【分析】根据多项式的项、次数的定义逐个判断即可．
【解析】A、多项式5x4y﹣3x2y+4xy﹣2的三次项的系数为﹣3，错误，故本选项不符合题意；
B、多项式5x4y﹣3x2y+4xy﹣2的常数项是﹣2，正确，故本选项符合题意；
C、多项式5x4y﹣3x2y+4xy﹣2的项为5x4y，﹣3x2y，4xy，﹣2，错误，故本选项不符合题意；
D、多项式5x4y﹣3x2y+4xy﹣2是5次四项式，错误，故本选项不符合题意；选：B．
【小结】本题考查了多项式的有关概念，能熟记多项式的次数和项的定义是解此题的关键．
变式28： 多项式 是一个关于x的三次四项式，它的次数最高项的系数是﹣5，二次项的系数是34，一次项的系数是﹣2，常数项是4．
【分析】直接利用多项式的次数与项数确定方法分析得出答案．
【解析】由题意可得，此多项式可以为：﹣5x3+34x2﹣2x+4．
【小结】此题主要考查了多项式，正确把握相关定义是解题关键．
变式29： 已知关于x的整式（|k|﹣3）x3+（k﹣3）x2﹣k．
（1）若整式是单项式，求k的值；（2）若整式是二次多项式，求k的值；（3）若整式是二项式，求k的值
【分析】（1）由整式为单项式，根据定义得到|k|﹣3＝0且k﹣3＝0，求出k的值；
（2）由整式为二次式，根据定义得到|k|﹣3＝0且k﹣3≠0，求出k的值；
（3）由整式为二项式，得到①|k|﹣3＝0且k﹣3≠0；②k＝0；依此即可求解．
【解析】（1）∵关于x的整式是单项式，∴|k|﹣3＝0且k﹣3＝0，解得k＝3，∴k的值是3；
（2）∵关于x的整式是二次多项式，∴|k|﹣3＝0且k﹣3≠0，解得k＝﹣3，∴k的值是﹣3；
（3）∵关于x的整式是二项式，∴①|k|﹣3＝0且k﹣3≠0，解得k＝﹣3；②k＝0．∴k的值是﹣3或0．
【小结】此题考查了单项式和多项式，解题的关键是熟悉几个单项式的和叫做多项式，每个单项式叫做多项式的项，其中不含字母的项叫做常数项．多项式中次数最高的项的次数叫做多项式的次数．
变式30： 已知关于x、y的多项式-35x2ym+1+12x2y2-3y2+8是八次四项式，单项式5xny6﹣m的次数与该多项式的次数相同，求m、n的值．
【分析】先根据多项式的次数计算出m的值，再根据单项式的次数计算出n的值即可．
【解析】∵多项式-35x2ym+1+12x2y2-3y2+8是八次四项式，所以2+m+1＝8，解得m＝5
又因为5xny6﹣m的次数与该多项式的次数相同，所以n+6﹣m＝8，即n＝7．
【小结】本题考查了多项式的次数和项、单项式的次数．掌握多项式的项和次数及单项式的次数是解决本题的关键．注意区分单项式与多项式的次数．多项式的次数是多项式中次数最高的项的次数，不是所有字母指数的和．
考点11： 与数有关的规律探索
例题11： 根据图中数字的规律，则x+y的值是（ ）
A．729 B．550 C．593 D．738
【分析】观察发现，图中第二行左边的数比第一行数的平方大1，第二行右边的数＝第二行左边的数×第一行的数+第一行的数，依此规律先求x，再求y即可．
【解析】∵5＝22+1，12＝5×2+2；
17＝42+1，72＝17×4+4；37＝62+1，228＝37×6+6；
∴x＝82+1＝65，y＝65×8+8＝528，x+y＝65+528＝593．选：C．
【小结】考查了规律型：数字的变化类，关键是由图形得到第二行左边的数比第一行数的平方大1，第二行右边的数＝第二行左边的数×第一行的数+第一行的数．
变式31： 将全体正奇数排成一个三角形数阵如下，按照以上排列的规律，第19行第11个数是（ ）
A．363 B．361 C．359 D．357
【分析】根据数字的变化类寻找每一行数字的变化规律即可求解．
【解析】观察所给数阵，得每一行的变化规律如下：
第一行的第一个数：1×0+1＝1
第二行的第一个数：2×1+1＝3
第三行的第一个数：3×2+1＝7
…
第n行的第一个数：n•（n﹣1）+1
∴第19行的第一个数：19×18+1＝343
∴第19行的第11个数：343+10×2＝363，选：A．
【小结】本题考查了数字的变化类，解决本题的关键是寻找每一行数字的变化规律．
变式32： 将全体自然数按下面的方式进行排列，按照这样的排列规律，2020应位于（ ）
A．位 B．位 C．位 D．位
【分析】观察图形不难发现，每4个数为一个循环组依次循环，因为2020是第2021个数，所以用2021除以4，再根据商和余数的情况确定2020所在的位置即可．
【解析】由图可知，每4个数为一个循环组依次循环，
∵2020是第2021个数，∴2021÷4＝505余1，
∴2020应位于第506循环组的第1个数，在A位．选：A．
【小结】本题是对数字变化规律的考查，观察出每4个数为一个循环组依次循环是解题的关键，要注意2020是第2021个数．
变式33： 按规律排列的一列数：-12，25，-38，411，-514，…，则第2020个数是 ．
【分析】先分析符号，第奇数个数据为负，第偶数个数据为正，再分析分子规律：依次为1，2，3，4，5，…连续的正整数，接着分析分母的规律：每个分母分别为对应分子的3倍少1的数，按此规律写出第2020个数便可．
【解析】-12=(-1)1×13×1-1，
25=(-1)2×23×2-1，
-38=(-1)3×33×3-1，
411=(-1)4×43×4-1，
-514=(-1)5×53×5-1，
…
由上可知第n个数为：(-1)n×n3n-1，
∴第2020个数是：(-1)2020×20203×2020-1=20206059．
【小结】此题考查了数字的变化类，让学生学会观察，及时总结，得出其中的规律是解题的关键，注意分母的变化，找出分母的变化规律是难点．
考点12： 与式有关的规律探索
例题12： 从2开始，连续n个偶数相加的合计为S，它们和的情况如下表：
（1）若n＝8时，则S的值为 ．
（2）根据表中的规律猜想：用n的式子表示S的公式为：S＝2+4+6+8+…+2n＝ ．
加数的个数n
S
1
2＝1×2
2
2+4＝6＝2×3
3
2+4+6＝12＝3×4
4
2+4+6+8＝20＝4×5
5
2+4+6+8+10＝30＝5×6
（3）根据上题的规律计算2+4+6+8+10+…+2018+2020的值．
【分析】（1）根据题意，可以求得当n＝8时，对应的S的值；
（2）根据表格中的数据，可以写出S的值；
（3）根据（2）中的结论，可以求得所求式子的值．
【解析】（1）当n＝8时，S＝2+4+6+…+16＝（2+16）×4＝18×4＝72，故答案为：72；
（2）由表格中的数据可知，S＝2+4+6+8+…+2n＝n（n+1），故答案为：n（n+1）；
（3）2+4+6+8+10+…+2018+2020＝（2020÷2）×（2020÷2+1）＝1010×1011＝1021110．
【小结】本题考查数字的变化类、列代数式，解答本题的关键是明确题意，发现题目中数字的变化规律，求出相应的数据．
变式34： 已知a是不为1的有理数，我们把11-a称为a的差倒数，如2的差倒数是11-2=-1．现已知a1=12，a2是a1的差倒数，a3是a2的差倒数，a4是a3的差倒数．
（1）求a2，a3，a4的值．
（2）根据（1）的计算结果，请猜想并写出a2018•a2019•a2020的值．
（3）计算：a1+a2+a3+…+a2018+a2019．
【分析】（1）根据题意，可以分别计算出a2，a3，a4的值；
（2）根据（1）中式子的值，可以发现数字的变化特点，从而可以求得a2018•a2019•a2020的值；
（3）根据前面发现的数字的特点，可以求得所求式子的值．
【解析】（1）∵a1=12，∴a2=11-12=2，a3=11-2=-1，a4=11-(-1)=12，
即a2，a3，a4的值分别为2，﹣1，12；
（2）∵2018÷3＝672…2，∴a2018•a2019•a2020＝2×（﹣1）×12＝﹣1；
（3）∵2019÷3＝673，12+2+（﹣1）=32，∴a1+a2+a3+…+a2018+a2019=32×673=20192．
【小结】本题考查数字的变化类，解答本题的关键是明确题意，发现题目中数字的变化特点，求出所求式子的值．
变式35： 小学的时候我们已经学过分数的加减法法则：“同分母分数相加减，分母不变，分子相加减；异分母分数相加减，先通分，转化为同分母分数，再加减．”如：12-13=32×3-22×3=3-22×3=12×3=16，反之，这个式子仍然成立，即：16=12×3=3-22×3=32×3-22×3=12-13
（1）问题发现
观察下列等式：①11×2=2-11×2=21×2-11×2=1-12，
②12×3=3-22×3=32×3-22×3=12-13，
③13×4=4-33×4=43×4-32×3=13-14，…，
猜想并写出第n个式子的结果：1n(n+1)= ．（直接写出结果，不说明理由）
（2）类比探究
将（1）中的的三个等式左右两边分别相加得：11×2+12×3+13×4=1-12+12-13+13-14=1-14=34，类比该问题的做法，请直接写出下列各式的结果：
①11×2+12×3+13×4+⋯+12019×2020= ；②11×2+12×3+13×4+⋯+1n(n+1)= ；
（3）拓展延伸 计算：11×3+13×5+15×7+⋯+199×101．
【分析】（1）根据题目中的式子可以写出第n个式子的结果；
（2）①根据题目中的式子的特点和（1）中的结果，可以求得所求式子的值；
②根据题目中的式子的特点和（1）中的结果，可以求得所求式子的值；
（3）根据题目中式子的特点，可以求得所求式子的值．
【解析】（1）由题目中的式子可得，1n(n+1)=1n-1n+1
（2）①11×2+12×3+13×4+⋯+12019×2020＝1-12+12-13+13-14+⋯+12019-12020＝1-12020
=20192020，
②11×2+12×3+13×4+⋯+1n(n+1)＝1-12+12-13+13-14+⋯+1n-1n+1＝1-1n+1=nn+1，
（3）11×3+13×5+15×7+⋯+199×101=12×（1-13+13-15+15-17+⋯+199-1101）=12×（1-1101）
=12×100101 =50101．
【小结】解答本题的关键是明确题意，发现题目中式子的变化特点，求出所求式子的值．
变式36： 阅读材料：
求1+2+22+23+24+…+22020的值．
解：设S＝1+2+22+23+24+…+22020，将等式两边同时乘以2得，
2S＝2+22+23+24+25+…+22021．
将下式减去上式，得2S﹣S＝22021﹣1，即S＝22021﹣1．
即1+2+22+23+24+…+22020＝22021﹣1
仿照此法计算：
（1）1+3+32+33+…+320；
（2）1+12+122+123+⋯+12100．
【分析】（1）仿照阅读材料中的方法求出所求即可；
（2）仿照阅读材料中的方法求出所求即可．
【解析】（1）设S＝1+3+32+33+…+320，
则2S＝3+32+33+…+321，
∴3S﹣S＝321﹣1，即S=321-12，
则1+3+32+33+…+320=321-12；
（2）设S＝1+12+122+123+⋯+12100，
则12S=12+122+123+⋯+12100+12101，
∴S-12S＝1-12101=2101-12101，即S=21101-12100，
则S＝1+12+122+123+⋯+12100=21101-12100．
【小结】此题考查了规律型：数字的变化类，以及有理数的混合运算，弄清题中的规律是解本题的关键．
考点13： 与图形排列有关的规律探索
例题13： 如图图形都是由同样大小的菱形按照一定规律所组成的，其中第①个图形中一共有3个菱形，第②个图形中一共有7个菱形，第③个图形中一共有13个菱形，…，按此规律排列下去，第⑥个图形中菱形的个数为（ ）
A．42 B．43 C．56 D．57
【分析】设第n个图形中一共有an个菱形（n为正整数），根据各图形中菱形个数的变化可得出变化规律“an＝n2+n+1（n为正整数）”，再代入n＝6即可求出结论．
【解析】设第n个图形中一共有an个菱形（n为正整数），
∵a1＝12+2＝3，a2＝22+3＝7，a3＝32+4＝13，a4＝42+5＝21，…，∴an＝n2+n+1（n为正整数），
∴a6＝62+7＝43．选：B．
【小结】本题考查了规律型：图形的变化类，根据各图形中菱形个数的变化，找出变化规律“an＝n2+n+1（n为正整数）”是解题的关键．
变式37： 观察如图所示一组图形中点的个数，其中第1个图中共有4个点，第2个图中共有10个点，第3个图中共有19个点，…按此规律第10个图中共有点的个数是（ ）
A．109个 B．136个 C．166个 D．199个
【分析】根据题目中的图形，可以发现点的个数的变化规律，从而可以得到第10个图中点的个数.
【解析】由图可得，第1个图中点的个数为：1+3×1＝4，
第2个图中点的个数为：1+3×1+3×2＝10，
第3个图中点的个数为：1+3×1+3×2+3×3＝19，…，
第10个图中点的个数为：1+3×1+3×2+3×3+…+3×10＝1+3+6+9+…+30＝166，选：C．
【小结】本题考查图形的变化类，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
变式38： 将图1中的正方形剪开得到图2，则图2中共有4个正方形；将图2中的一个正方形剪开得到图3，图3中共有7个正方形；将图3中4个较小的正方形中的一个剪开得到图4，则图4中共有10个正方形，照这个规律剪下去…
（1）根据图中的规律补全下表：
图形标号
1
2
3
4
5
6
…
n
正方形个数
1
4
7
10
…
（2）求第几幅图形中有2020个正方形？
【分析】（1）第1个图形有正方形1个，第2个图形有正方形4个，第3个图形有正方形7个，第4个图形有正方形10个，…，第n个图形有正方形（3n﹣2）个，计算出结果填上即可；
（2）由第n个图形有正方形（3n﹣2）个，得出3n﹣2＝2020，解得n＝674．
【解析】（1）第1个图形有正方形1个，第2个图形有正方形4个，第3个图形有正方形7个，第4个图形有正方形10个，…，第n个图形有正方形（3n﹣2）个，
∴第5个图形有正方形13个，第6个图形有正方形16个，
补全表如下：
（2）由第n个图形有正方形（3n﹣2）个，得出：3n﹣2＝2020，解得：n＝674，
∴第674幅图形中有2020个正方形．
【小结】本题考查了图形的变化规律，仔细观察，得出规律是解题的关键．
变式39： 某餐厅中1张餐桌可坐6人，有以下两种摆放方式：
（1）对于方式一：4张桌子拼在一起可坐 人；对于方式二，n张桌子拼在一起可坐 人；
（2）该餐厅有40张这样的长方形桌子，若按方式一每5张拼成一张大桌子，则40张桌子可拼成8张大桌子，共可坐多少人？
（3）在（2）中，若改成每8张拼成一张大桌子，按方式二的拼法，则40张桌子共可坐多少人？
（4）一天中午，该餐厅来了98位顾客共同就餐，要求用满座位，但餐厅中只有25张这样的长方形桌子可用，若你是这家餐厅的经理，你打算选择哪种方式来摆餐桌呢（不考虑场地等因素）？
【解析】（1）对于方式一：4张桌子拼在一起可坐2+4×4＝18（人），
对于方式二，n张桌子拼在一起可坐：（2n+4）人，
（2）方式一，5张拼成一张大桌子，一个大桌可坐2+4×5＝22（人），拼成8张大桌子可坐22×8＝176（人），
（3）方式二，8张拼成一张大桌子，一个大桌可坐2×8+4＝20（人），则拼成408=5张大桌子可坐20×5＝100（人），
（4）因为一张小桌可坐6人，当n＝25时，共坐6×25＝150＞98，有多空位，
以下是几张小桌拼成一张大桌的座位数列表供分析：
连拼数目座位
2张连拼
3张连拼
4张连拼
5张连拼
6张连拼
8张连拼
方式一
10
14
18
22
26
34
方式二
8
10
12
14
16
18
经分析，用单一方式摆放难以实现要求，所以可考虑两种方式搭配，观察思考可得：
将16张桌子按方式一摆成8张连拼的2个大桌，余下9张桌子按方式二摆成3张连拼的3个大桌，2×34+3×10＝98，正好坐满．（方案不唯一，或用以下方案）
设用x张桌子连拼成一个大桌摆成方式一，则用（25﹣x）张桌子连拼成一个大桌摆成方式二，则可坐人数为：4x+2+2（25﹣x）+4＝2x+56＝98，可得：x＝21，25﹣x＝4
答：按方式一，用21张桌子连拼成一大桌，按方式二，用4张桌子连拼成一大桌，即可坐满98人．
【小结】本题考查图形的变化类，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
考点14： 同类项的定义
解题关键是掌握同类项的定义：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同，这样的项叫做同类项．
例题14： 下列各组式子中是同类项的是（ ）
A．2x3与3x2 B．12ax 与8bx C．x4与a4 D．23与32
【解析】A、2x3与3x2，所含字母相同，但相同字母的指数不相同，不是同类项；B、12ax 与8bx，所含字母不相同，不是同类项；C、x4与a4，所含字母不相同，不是同类项；D、23与32，是同类项，选：D．
【小结】本题考查的是同类项的概念，所含字母相同，并且相同字母的指数也相同，这样的项叫做同类项．
变式40： ﹣2a2m+3b5与3a5bm﹣2n是同类项，则（m+n）2020的值是（ ）
A．1 B．﹣1 C．2 D．4
【分析】先根据同类项的概念得出2m+3＝5，5＝m﹣2n，解之求出m、n的值，再代入计算可得．
【解析】∵﹣2a2m+3b5与3a5bm﹣2n是同类项，∴2m+3＝5，5＝m﹣2n，解得m＝1，n＝﹣2，
则（1﹣2）2020＝（﹣1）2020＝1，选：A．
【小结】主要考查同类项，解题的关键是掌握同类项的概念：所含字母相同，并且相同字母指数也相同．
变式41： 如果单项式﹣3xay5与x3ya+b的和是单项式，那么a与b的值分别是（ ）
A．a＝3，b＝5 B．a＝5，b＝3 C．a＝3，b＝2 D．a＝2，b＝3
【分析】由单项式﹣3xay5与x3ya+b的和仍是单项式知：单项式﹣3xay5与x3ya+b是同类项，根据同类项的概念列出关于a、b的方程，解之求得a、b的值．
【解析】由题意，得a＝3，a+b＝5．所以a＝3，b＝2．选：C．
【小结】主要考查同类项，解题关键是熟练掌握同类项的概念：所含字母相同，并且相同字母指数也相同．
变式42： 如果2x3y|n|与-13xm+1y的和是单项式，则m+n的值是（ ）
A．1 B．﹣1 C．±1 D．3或1
【分析】根据同类项：所含字母相同，并且相同字母指数也相同，可得出m、n值，再代入式子计算即可
【解析】∵2x3y|n|与-13xm+1y的和是单项式，∴m+1＝3，|n|＝1，解得m＝2，n＝±1，
∴m+n＝2+1＝3或m+n＝2﹣1＝1．即m+n的值是3或1．选：D．
【小结】本题考查了同类项的知识，注意同类项中的两个相同，①所含字母相同，②相同字母的指数相同．
考点15： 合并同类项（不含某项）
解题关键是首先进行合并同类项，不含某项，则该项的系数为0，从而求得结果.
例题15： 若代数式x2﹣2kxy+y2﹣6xy+9不含xy项，则k的值为（ ）
A．3 B．-12 C．0 D．﹣3
【分析】将含xy的项进行合并，然后令其系数为0即可求出k的值．
【解析】x2﹣2kxy+y2﹣6xy+9，令﹣2k﹣6＝0，k＝﹣3．选：D．
【小结】本题考查多项式的概念，涉及一元一次方程的解法．
变式43： 若关于x的多项式x4﹣ax3+x3﹣5x2﹣bx﹣3x﹣1不存在含x的一次项和三次项，则a+b＝ ．
【分析】先确定三次项及一次项的系数，再令其为0即可得到a、b的值，再根据代数式求值，可得答案．
【解析】x4﹣ax3+x3﹣5x2﹣bx﹣3x﹣1＝x4+（1﹣a）x3﹣5x2﹣（b+3）x﹣1，
∵多项式x4﹣ax3+x3﹣5x2﹣bx﹣3x﹣1不存在含x的一次项和三次项，∴1﹣a＝0，b+3＝0，
解得a＝1，b＝﹣3，∴a+b＝1﹣3＝﹣2
【小结】本题考查了多项式，在多项式中不含哪次项，则那次项的系数为0．
变式44： 若关于x，y的多项式my3+nx2y+2y3﹣x2y+y中不含三次项，则2m+3n＝ ．
【分析】先合并同类项，根据已知得出m+2＝0，n﹣1＝0，求出m、n的值，再代入求出即可．
【解析】my3+nx2y+2y3﹣x2y+y＝（m+2）y3+（n﹣1）x2y+y，
∵关于x，y的多项式my3+nx2y+2y3﹣x2y+y中不含三次项，∴m+2＝0，n﹣1＝0，∴m＝﹣2，n＝1，
∴2m+3n＝2×（﹣2）+3×1＝﹣1
【小结】考查合并同类项法则，多项式，求代数式值，解一元一次方程等，能求出m、n值是解此题的关键
变式45： 已知代数式2x2+ax﹣y+6﹣2bx2+3x﹣5y﹣1的值与字母x的取值无关，求ab的值．
【分析】根据题意可得2﹣2b＝0，a+3＝0，解出a、b的值，进而可得ab的值．
【解析】2x2+ax﹣y+6﹣2bx2+3x﹣5y﹣1＝（2﹣2b）x2+（a+3）x﹣6y+5，
∵代数式2x2+ax﹣y+6﹣2bx2+3x﹣5y﹣1的值与字母x的取值无关，∴2﹣2b＝0，a+3＝0，
解得：b＝1，a＝﹣3，则ab＝﹣3．
【小结】主要考查合并同类项，关键是掌握合并同类项法则：把同类项系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变．
考点16： 添括号与去括号
解题关键是掌握（1）括号前是“+”，去括号后，括号里的各项都不改变符号；括号前是“﹣”，去括号后，括号里的各项都改变符号．运用这一法则去括号；
（2）添括号后，括号前是“+”，括号里的各项都不改变符号；添括号后，括号前是“﹣”，括号里的各项都改变符号．运用这一法则添括号．
例题16： 下列去括号或添括号的变形中，正确的是（ ）
A．2a﹣（5b﹣c）＝2a﹣5b﹣c B．3a+5（2b﹣1）＝3a+10b﹣1
C．4a+3b﹣2c＝4a+（3b﹣2c） D．m﹣n+a﹣2b＝m﹣（n+a﹣2b）
【分析】根据去括号和添括号法则逐个判断即可．
【解析】A、2a﹣（5b﹣c）＝2a﹣5b+c，故不符合题意；B、3a+5（2b﹣1）＝3a+10b﹣5，故不符合题意；
C、4a+3b﹣2c＝4a+（3b﹣2c），故符合题意；D、m﹣n+a﹣2b＝m﹣（n﹣a+2b），故不符合题意；选：C．
【小结】本题考查了去括号和添括号法则，能灵活运用法则内容进行变形是解此题的关键．
变式46： 在等式1﹣a2+2ab﹣b2＝1﹣（ ）中，括号里应填（ ）
A．a2﹣2ab+b2 B．a2﹣2ab﹣b2 C．﹣a2﹣2ab+b2 D．﹣a2+2ab﹣b2
【分析】根据减法的性质可知，1﹣a2+2ab﹣b2＝1﹣（a2﹣2ab+b2）解答即可．
【解析】1﹣a2+2ab﹣b2＝1﹣（a2﹣2ab+b2），选：A．
【小结】考查填括号问题，完成本题要注意分析式中各项的特点，然后利用填括号的法则进行分析解答．
变式47： 已知a﹣b＝﹣3，c+d＝2，则（b+c）﹣（a﹣d）的值为（ ）
A．1 B．5 C．﹣5 D．﹣1
【分析】先把括号去掉，重新组合后再添括号．
【解析】因为（b+c）﹣（a﹣d）＝b+c﹣a+d＝（b﹣a）+（c+d）＝﹣（a﹣b）+（c+d）…（1），
所以把a﹣b＝﹣3、c+d＝2代入（1），得：原式＝﹣（﹣3）+2＝5．选：B．
【小结】（1）括号前是“+”，去括号后，括号里的各项都不改变符号；括号前是“﹣”，去括号后，括号里的各项都改变符号．运用这一法则去括号；
（2）添括号后，括号前是“+”，括号里的各项都不改变符号；添括号后，括号前是“﹣”，括号里的各项都改变符号．运用这一法则添括号．
变式48： 不改变式子的值，把括号前的符号变成相反的符号x﹣y﹣（﹣y3+x2﹣1）＝ ．
【分析】本题添了1个括号，且所添的括号前为负号，括号内各项改变符号．
【解析】根据题意得x﹣y﹣（﹣y3+x2﹣1）＝x﹣y+（y3﹣x2+1）．
故答案为：x﹣y+（y3﹣x2+1）．
【小结】本题考查添括号的方法：添括号时，若括号前是“+”，添括号后，括号里的各项都不改变符号；若括号前是“﹣”，添括号后，括号里的各项都改变符号．
考点17： 整式的加减
例题17： 一个多项式加上12y+7x+z2等于5y+3x﹣15z2，则这个多项式是（ ）
A．﹣7y﹣4x﹣16z2 B．7y+4x+16z2
C．17y+10x﹣14z2 D．7y+4x﹣16z2
【分析】根据题意列出关系式，去括号合并即可得到结果．
【解析】（5y+3x﹣15z2）﹣（12y+7x+z2）＝5y+3x﹣15z2﹣12y﹣7x﹣z2＝﹣7y﹣4x﹣16z2，选：A．
【小结】此题考查了整式的加减，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
变式49： 设M＝x2﹣8x﹣4，N＝2x2﹣8x﹣3，那么M与N的大小关系是（ ）
A．M＞N B．M＝N C．M＜N D．无法确定
【分析】利用作差法比较即可．
【解析】∵M＝x2﹣8x﹣4，N＝2x2﹣8x﹣3，∴M﹣N＝x2﹣8x﹣4﹣2x2+8x+3＝﹣x2﹣1，
∵x2≥0，∴﹣x2≤0，即﹣x2﹣1≤﹣1＜0，∴M﹣N＜0，则M＜N，选：C．
【小结】此题考查了整式的加减，弄清作差法比较大小的方法是解本题的关键．
变式50： 【变式17-2】（2019秋•潍坊期末）一个多项式M减去多项式﹣2x2+5x﹣3，小马虎同学却误解为先加上这个多项式，结果得x2+3x+7，则多项式M是（ ）
A．3x2﹣2x+10 B．﹣x2+8x+4 C．3x2﹣x+10 D．x2﹣8x﹣4
【分析】根据题意列出关系式，去括号合并即可得到结果．
【解析】根据题意得：M＝（x2+3x+7）﹣（﹣2x2+5x﹣3）＝x2+3x+7+2x2﹣5x+3＝3x2﹣2x+10，选：A．
【小结】此题考查了整式的加减，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
变式51： 在整式的加减练习课中，已知A＝3a2b﹣2ab2+abc，小江同学错将“2A﹣B”看成“2A+B”，算得错误结果是4a2b﹣3ab2+4abc，已知．请你解决以下问题：
（1）求出整式B；
（2）求正确计算结果；
（3）若增加条件：a、b满足|a﹣4|+（b+1）2＝0，你能求出（2）中代数式的值吗？如果能，请求出最后的值；如果不能，请说明理由．
【分析】（1）将错就错列出关系式，去括号合并即可确定出B；
（2）把A与B代入2A﹣B中，去括号合并即可得到正确结果；
（3）利用非负数的性质求出a与b的值，代入（2）的化简结果计算即可求出值．
【解析】（1）由题意得：B＝4a2b﹣3ab2+4abc﹣2A
＝4a2b﹣3ab2+4abc﹣2（3a2b﹣2ab2+abc）＝4a2b﹣3ab2+4abc﹣6a2b+4ab2﹣2abc＝﹣2a2b+ab2+2abc；
（2）正确结果是：2A﹣B
＝2（3a2b﹣2ab2+abc）﹣（﹣2a2b+ab2+2abc）＝6a2b﹣4ab2+2abc+2a2b﹣ab2﹣2abc＝8a2b﹣5ab2；
（3）能算出结果，
∵a、b满足|a﹣4|+（b+1）2＝0，∴a﹣4＝0，b+1＝0，解得：a＝4，b＝﹣1，
把a＝4，b＝﹣1代入得：
8a2b﹣5ab2＝8×42×（﹣1）﹣5×4×（﹣1）2＝8×16×（﹣1）﹣5×4×1＝﹣128﹣20＝﹣148．
【小结】此题考查了整式的加减，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
考点18： 整式加减的应用
例题18： 把一个大正方形和四个相同的小正方形按图①、②两种方式摆放，则大正方形的周长与小正方形的周长的差是（ ）
A．a+2b B．a+b C．3a+b D．a+3b
【分析】根据大正方形和四个相同的小正方形按图①、②两种方式摆放，求出大正方形的周长与小正方形的周长即可．
【解析】设小正方形的边长为x，则a﹣2x＝b+2x，则4x＝a﹣b，
所以大正方形的周长﹣小正方形的周长＝4（a﹣2x）﹣4x＝4a﹣12x＝4a﹣3a+3b＝a+3b．选：D．
【小结】本题考查了整式的加减，解决本题的关键是观察图形写出代数式．
变式52： 如图，大长方形被分割成4个标号分别为（1）（2）（3）（4）的小正方形和5个小长方形，其中标号为（5）的小长方形的周长为a，则大长方形的周长为（ ）
A．3a B．4a C．5a D．6a
【分析】设标号为（5）的小长方形长为y，宽为x，然后可得小正方形（1）（2）（3）（4）的边长，进而可得大长方形的边长，然后求周长即可．
【解析】设标号为（5）的小长方形长为y，宽为x，
∵（1）（2）（3）（4）的小正方形，（1）（2）的边长均为x，（3）（4）的边长均为y，
∴大长方形的边长可表示为2x+y，2y+x，∴周长为2（2x+y+2y+x）＝6（x+y），
∵（5）的小长方形的周长为a，∴2（x+y）＝a，∴6（x+y）＝3a，选：A．
【小结】此题主要考查了整式的加减，关键是找出（5）和大长方形周长的关系．
变式53： 在矩形ABCD内，将两张边长分别为a和b（a＞b）的正方形纸片按图1，图2两种方式放置（图1，图2中两张正方形纸片均有部分重叠），矩形中未被这两张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示，设图2中阴影部分的周长与图1中阴影部分的周长的差为l，若要知道l的值，只要测量图中哪条线段的长（ ）
A．a B．b C．AD D．AB
【分析】根据平移的知识和周长的定义，列出算式l＝2AD﹣2b+4AB﹣（2AD+2AB﹣2b），再去括号，合并同类项即可求解．
【解析】图1中阴影部分的周长＝2AD+2AB﹣2b，图2中阴影部分的周长＝2AD﹣2b+4AB，
l＝2AD﹣2b+4AB﹣（2AD+2AB﹣2b）＝2AD﹣2b+4AB﹣2AD﹣2AB+2b＝2AB．
故若要知道l的值，只要测量图中线段AB的长．选：D．
【小结】考查了整式的加减，周长的定义，关键是得到图2中阴影部分的周长与图1中阴影部分的周长．
变式54： 如图，把四张大小相同的长方形卡片（如图①）按图2、图③两种方式放在一个底面为长方形（长比宽多5cm）的盒底上，底面未被卡片覆盖的部分用阴影表示，若记图②中阴影部分的周长为C1，图3中阴影部分的周长为C2，那么C1比C2大 cm．
【分析】此题要先设小长方形的长为acm，宽为bcm，再结合图形分别得出图形②的阴影周长和图形③的阴影周长，比较后即可求出答案．
【解析】设小长方形的长为acm，宽为bcm，大长方形的宽为xcm，长为（x+5）cm，
∴②阴影周长为：2（x+5+x）＝4x+10，∴③下面的周长为：2（x﹣2b+x+5﹣2b），
上面的总周长为：2（x+5﹣a+x﹣a），
∴总周长为：2（x﹣2b+x+5﹣2b）+2（x+5﹣a+x﹣a）＝4（x+5）+4x﹣4（a+2b），
又∵a+2b＝x+5，∴4（x+5）+4x﹣4（a+2b）＝4x，∴C2﹣C3＝4x+10﹣4x＝10（cm），故答案为10．
【小结】主要考查整式加减运用，要善于观察，在第②个图形中利用割补法计算，很容易计算得出结果．
考点19： 整式的化简求值（化繁为简再求值）
例题19： 先化简，再求值：2ab+6（12a2b+ab2）﹣[3a2b﹣2（1﹣ab﹣2ab2）]，其中a为最大的负整数，b为最小的正整数．
【分析】直接去括号进而合并同类项，再得出a，b的值代入求出答案．
【解析】原式＝2ab+3a2b+6ab2﹣3a2b+2﹣2ab﹣4ab2
＝（2ab﹣2ab）+2+（3a2b﹣3a2b）+（6ab2﹣4ab2）
＝2ab2+2，
∵a为最大的负整数，b为最小的正整数，∴a＝﹣1，b＝1，∴原式＝2×（﹣1）×1+2＝0．
【小结】此题主要考查了整式的加减﹣化简求值，正确合并同类项是解题关键．
变式55： 先化简再求值：3a2b﹣[2ab2﹣2（ab-32a2b）+ab]+3ab2，其中a，b满足（a+4）2+|b-12|＝0．
【分析】直接去括号进而合并同类项，进而结合偶次方以及绝对值性质得出a，b的值，即可代入得出答案．
【解析】原式＝3a2b﹣2ab2+2（ab-32a2b）﹣ab+3ab2
＝3a2b﹣2ab2+2ab﹣3a2b﹣ab+3ab2
＝（3a2b﹣3a2b）+（﹣2ab2+3ab2）+（2ab﹣ab）
＝ab2+ab，
∵（a+4）2+|b-12|＝0，∴a+4＝0，b-12=0，解得：a＝﹣4，b=12，
原式＝﹣4×（12）2+（﹣4）×12＝﹣1﹣2＝﹣3．
【小结】此题主要考查了整式的加减﹣化简求值，正确合并同类项是解题关键．
变式56： 已知代数式A＝﹣6x2y+4xy2﹣2x﹣5，B＝﹣3x2y+2xy2﹣x+2y﹣3．
（1）先化简A﹣B，再计算当x＝1，y＝﹣2时A﹣B的值；
（2）请问A﹣2B的值与x，y的取值是否有关系？试说明理由．
【分析】（1）根据去括号法则、合并同类项法则把原式化简，代入计算即可；
（2）根据去括号法则、合并同类项法则把原式化简，根据化简结果解答．
【解析】（1）A﹣B＝（﹣6x2y+4xy2﹣2x﹣5）﹣（﹣3x2y+2xy2﹣x+2y﹣3）
＝﹣6x2y+4xy2﹣2x﹣5+3x2y﹣2xy2+x﹣2y+3
＝（﹣6+3）x2y+（4﹣2）xy2+（﹣2+1）x﹣2y﹣5+3
＝﹣3x2y+2xy2﹣x﹣2y﹣2，
当x＝1，y＝﹣2时，A﹣B＝﹣3×12×（﹣2）+2×1×（﹣2）2﹣1﹣2×（﹣2）﹣2＝6+8﹣1+4﹣2＝15；
（2）A﹣2B＝（﹣6x2y+4xy2﹣2x﹣5）﹣2（﹣3x2y+2xy2﹣x+2y﹣3）
＝﹣6x2y+4xy2﹣2x﹣5+6x2y﹣4xy2+2x﹣4y+6
＝（﹣6+6）x2y+（4﹣4）xy2+（﹣2+2）x﹣4y﹣5+6
＝﹣4y+1
由化简结果可知，A﹣2B的值与x的取值没有关系，与y的取值有关系．
【小结】本题考查的是整式的化简求值，掌握整式的加减混合运算法则是解题的关键．
变式57： 已知A＝a2﹣2b2+2ab﹣3，B＝2a2﹣b2-25ab-15．
（1）求2（A+B）﹣3（2A﹣B）的值（结果用化简后的a、b的式子表示）；
（2）当|a+12|与b2互为相反数时，求（1）中式子的值．
【分析】（1）根据整式的混合运算法则计算；（2）根据非负数的性质求出a、b，代入计算．
【解析】（1）2（A+B）﹣3（2A﹣B）＝2A+2B﹣6A+3B＝﹣4A+5B
＝﹣4（a2﹣2b2+2ab﹣3）+5（2a2﹣b2-25ab-15）
＝﹣4a2+8b2﹣8ab+12+10a2﹣5b2﹣2ab﹣1
＝6a2+3b2﹣10ab+11；
（2）∵|a+12|与b2互为相反数，∴|a+12|+b2＝0，则a=-12，b＝0，6a2+3b2﹣10ab+11＝6×14+11=252．
【小结】本题考查的是整式的混合运算、非负数的性质，掌握整式的混合运算法则是解题的关键．
考点20： 整式的化简求值（整体代入求值）
例题20： 已知A＝3x2﹣x+2y﹣4xy，B＝x2﹣2x﹣y+xy
（1）求A﹣3B的值．
（2）当x+y=56，xy＝﹣1，求A﹣3B的值．
（3）若A﹣3B的值与y的取值无关，求x的值．
【分析】（1）把A与B代入A﹣3B中，去括号合并即可得到结果；
（2）把已知等式代入计算即可求出所求；
（3）把A﹣3B结果变形后，根据其值与y的取值无关，确定出x的值即可．
【解析】（1）∵A＝3x2﹣x+2y﹣4xy，B＝x2﹣2x﹣y+xy，
∴A﹣3B＝3x2﹣x+2y﹣4xy﹣3x2+6x+3y﹣3xy＝5x+5y﹣7xy；
（2）∵x+y=56，xy＝﹣1，∴A﹣3B＝5（x+y）﹣7xy=256+7=676；
（3）由A﹣3B＝5x+（5﹣7x）y的值与y的取值无关，得到5﹣7x＝0，解得：x=57．
【小结】此题考查了整式的加减﹣化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
变式58： 阅读理解：如果代数式：5a+3b＝﹣4，求代数式2（a+b）+4（2a+b）的值？小颖同学提出了一种解法如下：原式＝2a+2b+8a+4b＝10a+6b，把式子5a+3b＝﹣4两边同时乘以2，得10a+6b＝﹣8
仿照小颖同学的解题方法，完成下面的问题：
（1）如果﹣a2＝a，则a2+a+1＝ ；
（2）已知a﹣b＝﹣3，求3（a﹣b）﹣5a+5b+5的值；
（3）已知a2+2ab＝﹣2，ab﹣b2＝﹣4，求2a2+72ab+12b2的值．
【分析】（1）已知等式变形，代入所求式子计算即可求出值；
（2）原式变形后，把已知等式代入计算即可求出值；
（3）原式变形后，将已知等式代入计算即可求出值．
【解析】（1）∵﹣a2＝a，即a2+a＝0，∴原式＝1；
（2）∵a﹣b＝3，∴原式＝3（a﹣b）﹣5（a﹣b）+5＝﹣2（a﹣b）+5＝﹣2×（﹣3）+5＝11；
（3）∵a2+2ab＝﹣2，ab﹣b2＝﹣4，
∴原式＝2a2+4ab-12ab+12b2＝2（a2+2ab）-12（ab﹣b2）＝2×（﹣2）-12×（﹣4）＝﹣2．
【小结】此题考查了整式的加减﹣化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
变式59： 阅读材料：“如果代数式5a+3b的值为﹣4，那么代数式2（a+b）+4（2a+b）的值是多少？”我们可以这样来解：
原式＝2a+2b+8a+4b＝10a+6b＝2（5a+3b）＝2×（﹣4）＝﹣8
仿照上面的解题方法，完成下面的问题：
已知3a﹣7b＝﹣3，求代数式2（2a+b﹣1）﹣5（4b﹣a）﹣3b的值．
【分析】原式去括号合并整理后，把已知等式代入计算即可求出值．
【解析】当3a﹣7b＝﹣3时，
原式＝4a+2b﹣2﹣20b+5a﹣3b＝9a﹣21b﹣2＝3（3a﹣7b）﹣2＝﹣9﹣2＝﹣11．
【小结】此题考查了整式的加减﹣化简求值，利用了整体代入的思想，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
变式60： 阅读材料：我们知道，2x+3x﹣x＝（2+3﹣1）x＝4x，类似地，我们把（a+b）看成一个整体，则2（a+b）+3（a+b）﹣（a+b）＝（2+3﹣1）（a+b）＝4（a+b）．“整体思想”是中学数学解题中的一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛．
尝试应用：
（1）把（x﹣y）2看成一个整体，求将2（x﹣y）2﹣5（x﹣y）2+（x﹣y）2合并的结果；
（2）已知2m﹣3n＝4，求代数式4m﹣6n+5的值；
拓广探索：
（3）已知a﹣2b＝5，b﹣c＝﹣3，3c+d＝9，求（a+3c）﹣（2b+c）+（b+d）的值．
【分析】（1）整体思想，把（x﹣y）2看成整体，合并2（x﹣y）2﹣5（x﹣y）2+（x﹣y）2即可得到结果；
（2）原式可化为2（2m﹣3n）+5，2m﹣3n＝4整体代入即可；
（3）由（a+3c）﹣（2b+c）+（b+d）得到（a﹣2b）+（b﹣c）+（3c+d），依据a﹣2b＝5，b﹣c＝﹣3，3c+d＝9，整体代入进行计算即可．
【解析】（1）2（x﹣y）2﹣5（x﹣y）2+（x﹣y）2＝（2﹣5+1）（x﹣y）2＝﹣2（x﹣y）2；
（2）4m﹣6n+5＝2（2m﹣3n）+5＝2×4+5＝8+5＝13；
（3）（a+3c）﹣（2b+c）+（b+d）＝a+3c﹣2b﹣c+b+d＝（a﹣2b）+（b﹣c）+（3c+d），
∵a﹣2b＝5，b﹣c＝﹣3，3c+d＝9，
∴原式＝5﹣3+9＝11．
【小结】此题主要考查了整式的化简求值，关键是注意去括号时符号的变化．
考点1： 代数式的定义及书写
（1）代数式的概念：用运算符号把数字与字母连接而成的式子叫做代数式，单独的一个数或
一个字母也是代数式．
（2） 代数式书写规范：①数和字母相乘，可省略乘号，并把数字写在字母的前面；②字母和字母相乘，乘
号可以省略不写或用“ · ” 表示. 一般情况下，按26个字母的顺序从左到右来写；③后面带单位的相加或相减的式子要用括号括起来；④除法运算写成分数形式，即除号改为分数线；⑤带分数与字母相乘时，带分数要写成假分数的形式；⑥当“1”与任何字母相乘时,“1”省略不写；当“-1”乘以字母时，只要在
那个字母前加上“-”号.
例题1： （1）在下列各式中（1）3a，（2）4+8＝12，（3）2a﹣5b＞0，（4）0，（5）s＝πr2，（6）a2﹣b2，（7）1+2，（8）x+2y，其中代数式的个数是（ ）
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
（2）下列各式：①114x；②2•3；③20%x；④a﹣b÷c；⑤m-n3；⑥x﹣5千克：其中符合代数式书写要求的有（ ）
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
【分析】（1）根据代数式的概念：用运算符号把数字与字母连接而成的式子叫做代数式，单独的一个数或一个字母也是代数式．依此作答即可．
（2）根据书写规则，分数不能为带分数，对各项的代数式进行判定，即可求出答案．
【解析】（1）由题，属于代数式有：（1）3a，（4）0，（6）a2﹣b2，（7）1+2，（8）x+2y，共5个，选C
（2）①114x中分数不能为带分数；②2•3数与数相乘不能用“•”；③20%x，书写正确；
④a﹣b÷c，除号应用分数线，所以书写错误；⑤m-n3书写正确；⑥x﹣5应该加括号，所以书写错误；
符合代数式书写要求的有③⑤共2个．选：D．
【小结】（1）代数式是由运算符号把数或表示数的字母连接而成的式子．单独的一个数或者一个字母也是代数式．带有“＜（≤）”“＞（≥）”“＝”“≠”等符号的不是代数式．
（2）注意代数式的书写要求：（1）在代数式中出现的乘号，通常简写成“•”或者省略不写；（2）数字与字母相乘时，数字要写在字母的前面；（3）带分数要写成假分数的形式．
变式1： 在以下各式中属于代数式的是（ ）
①S=12ah ②a+b＝b+a ③a ④1a ⑤0 ⑥a+b ⑦a+bab
A．①②③④⑤⑥⑦ B．②③④⑤⑥ C．③④⑤⑥⑦ D．①②
【分析】根据代数式是由运算符号（加、减、乘、除、乘方、开方）把数或表示数的字母连接而成的式子．单独的一个数或者一个字母也是代数式．带有“＜（≤）”“＞（≥）”“＝”“≠”等符号的不是代数式进行分析即可．
【解析】③a，④1a，⑤0，⑥a+b，⑦a+bab是代数式，选：C．
【小结】此题主要考查了代数式，关键是掌握代数式的定义．
变式2： 在式子0.5xy﹣2，3÷a，12（a+b），a•5，﹣314abc中，符合代数式书写要求的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】直接利用代数式的定义，代数式是由运算符号（加、减、乘、除、乘方、开方）把数或表示数的字母连接而成的式子．单独的一个数或者一个字母也是代数式．带有“＜（≤）”“＞（≥）”“＝”“≠”等符号的不是代数式，进而判断即可．
【解析】0.5xy﹣2，3÷a，12（a+b），a•5，﹣314abc中，符合代数式书写要求的有0.5xy﹣2，12（a+b）共2个．选：B．
【小结】此题主要考查了代数式，正确把握定义是解题关键．
变式3： 进入初中后学习数学，对于代数式书写规范，教材中指出：“在含有字母的式子中如果出现乘号“×”，通常将乘号写作“•”或者省略不写”．其实还有一些书写规范，比如，在代数式中如果出现除号“÷”，通常用分数线“﹣”来取代；数字与字母相乘时，一般数字写在前面，根据以上书写要求，将代数式（ac×4﹣b2）÷4简写为 ．
【分析】根据代数式的写法表示即可．
【解析】代数式（ac×4﹣b2）÷4简写为：4ac-b24，故答案为：4ac-b24．
【小结】此题主要考查了代数式，关键是掌握代数式的表示要求．
考点2： 列代数式（和差倍问题）
解决此类问题是要理解题意，将字母看作数字表示相应的量，列出代数式，注意代数式的书写规范.
例题2： 学校举行国庆画展，七（1）班交m件作品，七（2）班交的作品比七（1）班的2倍少6件，则七（2）班交的作品是 件．
【分析】根据“2倍”即乘以2，“少6件”即再减去6即可得．
【解析】根据题意知七（2）班交的作品数量为（2m﹣6）件，故答案为：2m﹣6．
【小结】本题主要考查列代数式，列代数式应该注意格式.
变式4： 某校报数学兴趣小组的有m人，报书法兴趣小组的人数比数学兴趣小组的人数的一半多3人，那么报书法兴趣小组的有 人．
【分析】数学兴趣小组的人数的一半是：12m，则根据“报书法兴趣小组的人比数学兴趣小组的人数的一半多3人”列出代数式．
【解析】依题意知，美术兴趣小组的人数是：12m+3．故答案是：（12m+3）．
【小结】本题考查了列代数式．解决问题的关键是读懂题意，找到所求的量的等量关系．
变式5： 某学校七年级有m人，八年级人数比七年级人数的23多10人，九年级人数比八年级人数的2倍少50人，用含m的式子表示七八九三个年级的总人数为（ ）
A．3m B．113m﹣40 C．3m﹣40 D．3m﹣20
【分析】根据题意分别表示出各年级的人数，进而利用整式的加减运算法则得出答案．
【解析】由题意可得，八年级的人数为：23m+10，九年级人数为：2（23m+10）﹣50，
故七八九三个年级的总人数为：m+23m+10+2（23m+10）﹣50＝3m﹣20．选：D．
【小结】此题主要考查了列代数式，正确表示出各年级人数是解题关键．
变式6： 我校甲、乙、丙三位同学给希望工程捐款，已知甲同学捐款x元，乙同学的捐款金额比甲同学捐款金额的3倍少8元，丙同学的捐款金额是甲、乙两同学捐款总金额的34，用含x的代数式表示甲，乙、丙三位同学的捐款总金额．
【分析】分别表示出乙、丙同学捐款总数进而得出答案．
【解析】由题意可得，乙同学捐款（3x﹣8）元，丙同学的捐款金额是：34（x+3x﹣8）＝3x﹣6（元），
故甲，乙、丙三位同学的捐款总金额为：x+3x﹣8+3x﹣6＝7x﹣14（元）．
【小结】此题主要考查了列代数式，正确表示出乙、丙同学捐款总数是解题关键．
考点3： 列代数式（数字问题）
解决此类问题是要理解题意，将字母看作数字表示相应的量，列出代数式，注意代数式的书写规范.
例题3： 一个两位数，十位上的数字为a，个位上的数字比十位上的数字少2，则这个两位数为（ ）
A．11a﹣20 B．11a+20 C．11a﹣2 D．11a+2
【分析】根据一个两位数，十位上的数字为a，个位上的数字比十位上的数字少2，可知个位数字为a﹣2，然后即可用含a的代数式表示出这个两位数．
【解析】由题意可得，这个两位数为：10a+（a﹣2）＝11a﹣2，选：C．
【小结】本题考查列代数式，解答本题的关键是明确题意，列出相应的代数式．
变式7： 设a是一个三位数，b是一个两位数，如果将这两个数顺次排成一个五位数（a在左，b在右），则这个五位数可以表示为 ．
【分析】相当于把三位数扩大了100倍，两位数的大小不变，相加即可．
【解析】∵三位数扩大了100倍，两位数的大小不变，∴这个五位数可以表示为100a+b．故答案是100a+b．
【小结】考查列代数式，得到新数中的a，b与原数中的a，b的关系是解决本题的关键．
变式8： 一个三位数为x，一个两位数为y，把这个三位数放在两位数的左边得到一个五位数M，把这个两位数放在三位数的左边又可以得到一个五位数N，则M﹣N＝ （结果用含x，y的式子表示）．
【分析】由于一个两位数为y，一个三位数为x，若把这个三位数放在两位数的左边得到一个五位数M，由此得到M＝100x+y，又把这个两位数放在三位数的左边又可以得到一个五位数N，由此得到N＝1000y+x，然后就可以求出M﹣N的值．
【解析】依题意得，M＝100x+y，N＝1000y+x，∴M﹣N＝（100x+y）﹣（1000y+x）＝99x﹣999y．
【小结】此题主要考查了列代数式，解决此类题目的关键是首先正确理解题意，然后根据题意列出代数式，同时计算时熟记去括号法则，熟练运用合并同类项的法则，这是各地中考的常考点．
变式9： 用式子表示十位上的数是x，个位上的数是y的两位数，再把这个两位数的十位上的数与个位上的数交换位置．求后来所得的数与原来的数的差是多少？
【分析】由十位上的数字乘10加上个位上的数字表示出两位数，再由个位与十位交换表示出新数，新数减去原来的数即可得到结果．
【解析】依题意有（10y+x）﹣（10x+y）＝10y+x﹣10x﹣y＝9y﹣9x．
【小结】本题主要考查列代数式，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的数量关系．
考点4： 列代数式（销售问题）
解决此类问题是要理解题意，将字母看作数字表示相应的量，列出代数式，注意代数式的书写规范.
例题4： 一件羽毛球拍先按成本价提高50%标价，再将标价打8折出售，若这件羽毛球拍的成本价是x元，那么售价可表示为 ．
【分析】直接利用成本与原价以及售价与打折的关系进而得出答案．
【解析】由题意可得：（1+50%）x×0.8＝1.2x（元）．
【小结】此题主要考查了列代数式，正确理解打折与售价的关系是解题关键．
变式10： 某商店有一种商品每件成本a元，按成本价增加20%定为售价，售出80件后，由于存积压降价，打八五折出售，又售出120件．
（1）求该商品减价后每件的售价为多少元？（2）售完200件这种商品共盈利多少元？
【分析】（1）根据一种商品每件成本a元，按成本价增加20%定为售价，后来由于存积压降价，打八五折出售，可以用含a的代数式表示出该商品减价后每件的售价为多少元；
（2）根据题意和（1）中的结果，可以计算出售完200件这种商品共盈利多少元．
【解析】（1）由题意可得，每件商品减价后的售价是：a（1+20%）×0.85＝1.02a（元），
（2）20%a×80+（1.02a﹣a）×（200﹣80）＝16a+0.02a×120＝16a+2.4a＝18.4a（元），
【小结】本题考查列代数式，解答本题的关键是明确题意，列出相应的代数式．
变式11： 小明经销一种服装，进货价为每件a元，经测算先将进货价提高200%进行标价，元旦前夕又按标价的4折销售，这件服装的实际价格（ ）
A．比进货价便宜了0.52a元 B．比进货价高了0.2a元 C．比进货价高了0.8a元 D．与进货价相同
【分析】直接利用标价以及打折之间的关系得出关系式即可．
【解析】由题意可得，这件服装的实际价格是：（1+200%）a×40%＝1.2a元．
则1.2a﹣a＝0.2a（元）比进货价高了0.2a元．选：B．
【小结】此题主要考查了列代数式，正确表示出标价是解题关键．
变式12： 张师傅下岗后做起了小生意，第一次进货时，他以每件a元的价格购进了20件甲种小商品，以每件b元的价格购进了30件乙种小商品（a＞b）．根据市场行情，他将这两种小商品都以a+b2元的价格出售．在这次买卖中，张师傅的盈亏状况为（ ）
A．赚了（25a+25b）元 B．亏了（20a+30b）元 C．赚了（5a﹣5b）元 D．亏了（5a﹣5b）元
【分析】应该比较他的总进价和总售价．分别表示出总进价为：20a+30b，总售价为a+b2×（20+30）＝25a+25b，通过作差法比较总进价和总售价的大小，判断他是赔是赚．
【解析】根据题意可知：总进价为20a+30b，总售价为a+b2×（20+30）＝25a+25b
∴25a+25b﹣（20a+30b）＝5a﹣5b，∵a＞b，∴5a﹣5b＞0，那么售价＞进价，∴他赚了．选：C．
【小结】此题考查列代数式，列代数式的关键是正确理解文字语言中的关键词，找到其中的数量关系．本题要注意应该比较他的总进价和总售价．
考点5： 列代数式（增长率问题）
解决此类问题是要理解题意，将字母看作数字表示相应的量，列出代数式，注意代数式的书写规范.
例题5： 某校去年初一招收新生a人，今年比去年增加x%，今年该校初一学生人数用式子表示为（ ）
A．（a+x%）人 B．ax%人
C．a(1+x)100人 D．a（1+x%）人
【分析】根据今年招收的新生人数＝去年初一招收的新生人数+x%×去年初一招收新生人数，即可得出答案．
【解析】∵去年初一招收新生a人，∴今年该校初一学生人数为：a（1+x%）人．选：D．
【小结】此题考查了列代数式，解决问题的关键是读懂题意，找到所求的量的等量关系．注意今年比去年增加x%和今年是去年的x%的区别．
变式13： 某校初一年级计划初中三年每年参加植树活动，2019年已经植树a亩，如果以后每年比上一年植树面积增长20%，那么2021应植树的面积为（ ）
A．a•（1+20%） B．a•（1+2×20%）
C．a•（1+20%）2 D．2a•（1+20%）
【分析】根据题意，可以用含a的代数式表示出2021年应植树的面积，本题得以解决．
【解析】由题意可得，2021应植树的面积为：a（1+20%）2，选：C．
【小结】本题考查列代数式，解答本题的关键是明确题意，列出相应的代数式．
变式14： 某企业今年1月份产值为x万元，2月份的产值比1月份减少了10%，则1月份和2月份的产值和是（ ）
A．x+（1﹣10%）x万元 B．x+（1+10%）x万元
C．（1﹣10%）x万元 D．（1+10%）x万元
【分析】根据题意表示出2月份的产值，进而得出答案．
【解析】∵今年1月份产值为x万元，2月份的产值比1月份减少了10%，
∴2月份的产量为：（1﹣10%）x，故1月份和2月份的产值和是：[x+（1﹣10%）x]万元．选：A．
【小结】此题主要考查了列代数式，正确表示出2月份的产值是解题关键．
变式15： 裕丰商店一月份的利润为50万元，二、三月份的利润平均增长率为m，则下列各式中，能正确表示这个商店第一季度的总利润的是（ ）
A．50（1+m）万元 B．50（1+m）2万元
C．[50+50（1+m）]万元 D．[50+50（1+m）+50（1+m）2]万元
【分析】根据裕丰商店一月份的利润及二、三月份的利润平均增长率，即可用含m的代数式表示出二、三月份的利润，再将三个月的利润相加即可得出结论．
【解析】∵裕丰商店一月份的利润为50万元，二、三月份的利润平均增长率为m，
∴二月份的利润为50（1+m）万元，三月份的利润为50（1+m）2，
∴这个商店第一季度的总利润是[50+50（1+m）+50（1+m）2]万元．选：D．
【小结】本题考查了列代数式，根据前三个月利润间的关系，用含m的代数式表示出二、三月份的利润是解题的关键．
考点6： 列代数式（分段计费问题）
解决此类问题是要理解题意，将字母看作数字表示相应的量，列出代数式，注意代数式的书写规范.
例题6： 东西湖区域出租汽车行驶2千米以内（包括2千米）的车费是10元，以后每行驶1千米，再加0.7元．如果某人坐出租汽车行驶了m千米（m是整数，且m≥2），则车费是（ ）
A．（10﹣0.7m）元 B．（11.4+0.7m）元
C．（8.6+0.7m）元 D．（10+0.7m）元
【分析】根据题意，可以用含m的代数式表示出需要付的车费，本题得以解决．
【解析】由题意可得，车费是：10+（m﹣2）×0.7＝（0.7m+8.6）元，选：C．
【小结】本题考查列代数式，解答本题的关键是明确题意，列出相应的代数式．
变式16： 为响应国家节能减排的号召，鼓励人们节约用电，保护能源，某市实施用电“阶梯价格”收费制度．收费标准如表：
居民每月用电量
单价（元/度）
不超过50度的部分
0.5
超过50度但不超过200度的部分
0.6
超过200度的部分
0.8
已知小刚家上半年的用电情况如下表（以200度为标准，超出200度记为正、低于200度记为负）：
一月份
二月份
三月份
四月份
五月份
六月份
﹣50
+30
﹣26
﹣45
+36
+25
根据上述数据，解答下列问题：
（1）小刚家用电量最多的是 月份，实际用电量为 度；
（2）小刚家一月份应交纳电费 元；
（3）若小刚家七月份用电量为x度，求小刚家七月份应交纳的电费（用含x的代数式表示）．
【分析】（1）根据表格中的数据可以解答本题；
（2）根据表格中的数据和题意，可以计算出小刚家一月份应交纳电费；
（3）根据表格中的数据，可以用分类讨论的方法用相应的代数式表示出小刚家七月份应交纳的电费．
【解析】（1）由表格可知，五月份用电量最多，实际用电量为：200+36＝236（度），故答案为：五，236；
（2）小刚家一月份用电：200+（﹣50）＝150（度），
小刚家一月份应交纳电费：0.5×50+（150﹣50）×0.6＝25+60＝85（元），故答案为：85；
（3）当0＜x≤50时，电费为0.5x元；
当50＜x≤200时，电费为0.5×50+（x﹣50）×0.6＝25+0.6x﹣30＝（0.6x﹣5）元；
当x＞200时，电费为0.5×50+0.6×150+（x﹣200）×0.8＝25+90+0.8x﹣160＝（0.8x﹣45）元．
【小结】本题考查列代数式，解答本题的关键是明确题意，列出相应的代数式．
变式17： 为了加强公民的节水意识，合理利用水资源，某市采用价格调控的手段达到节水的目的，该市自来水收费的价目表如下（注：水费按月份结算，表示立方米）
价目表
每月用水量
单价
不超过6m3的部分
2元/m3
超出6m3不超出10m3的部分
4元/m3
超出10m3的部分
8元/m3
请根据上表的内容解答下列问题：
（1）填空：若该户居民2月份用水5m3，则应交水费 元；3月份用水8m3，则应收水费 元；
（2）若该户居民4月份用水am3（其中a＞10m3），则应交水费多少元（用含a的代数式表示，并化简）？
（3）若该户居民5、6两个月共用水14m3（6月份用水量超过了5月份），设5月份用水xm3，直接写出该户居民5、6两个月共交水费多少元（用含x的代数式表示）．
【分析】（1）根据题意，可以计算出该居民二月份和三月份的水费；
（2）根据题意，可以用a的代数式表示出4月份的水费；
（3）根据题意，利用分类讨论的方法可以解答本题．
【解析】（1）由表格可得，若该户居民2月份用水5m3，则应交水费：2×5＝10（元），
3月份用水8m3，则应收水费：2×6+4×（8﹣6）＝12+4×2＝12+8＝20（元），故答案为：10，20；
（2）由表格可得，
该户居民4月份用水am3（其中a＞10m3），则应交水费：2×6+4×（10﹣6）+8（a﹣10）＝（8a﹣52）元，
（3）由题意可得，x＜14﹣x，得x＜7，
当6＜x＜7，该户居民5、6两个月共交水费：[2×6+（x﹣6）×4]+[2×6+（14﹣x﹣6）×4]＝32（元），
当4≤x≤6时，该户居民5、6两个月共交水费：2x+[2×6+（14﹣x）×4]＝（﹣2x+68）（元），
当0≤x＜4时，该户居民5、6两个月共交水费：2x+[2×6+（10﹣6）×4+（14﹣x）×8]＝（140﹣6x）（元）．
【小结】本题考查列代数式、有理数的混合运算，解答本题的关键是明确题意，列出相应的代数式、利用分类讨论的的方法解答．
变式18： 滴滴快车是一种便捷的出行工具，计价规则如下表：
计费项目
里程费
时长费
远途费
单价
1.8元/公里
0.45元/分钟
0.4元/公里
注：车费由里程费、时长费、远途费三部分构成，其中里程费按行车的实际里程计算：
时长费按行车的实际时间计算远途费的收取方式为：行车里程10公里以内（含10公里）不收远途费，超过10公里的，超出部分每公里收0.4元．
（1）若小东乘坐滴滴快车，行车里程为20公里，行车时间为30分钟，则需付车费 元；
（2）若小明乘坐滴滴快车，行车里程为a公里，行车时间为b分钟，则小明应付车费多少元；（用含a、b的代数式表示，并化简）
（3）小王与小张各自乘坐滴滴快车，行车里程分别为9.5公里与14.5公里，受路况情况影响，小王反而比小张乘车多用24分钟，请问谁所付车费多？
【分析】（1）根据滴滴快车计算得到得到所求即可；
（2）根据a的值在10公里以内还是超过10公里，分别写出小明应付费即可；
（3）根据题意计算出相差的车费即可．
【解析】（1）1.8×20+0.45×30+0.4×（20﹣10）＝53.5（元），故答案为：53.5；
（2）当a≤10时，小明应付费（1.8a+0.45b）元；
当a＞10时，小明应付费1.8a+0.45b+0.4（a﹣10）＝（2.2a+0.45b﹣4）元；
（3）小王与小张乘坐滴滴快车分别为a分钟、（a﹣24）分钟，
1.8×9.5+0.45a﹣[1.8×14.5+0.45（a﹣24）+0.4×（14.5﹣10）]＝0，因此，小王和小张付费相同．
【小结】此题考查了代数式求值，以及列代数式，弄清题意是解本题的关键．
考点7： 代数式求值（整体代入法）
例题7： 已知代数式x﹣2y的值是3，则代数式4y+1﹣2x的值是（ ）
A．﹣5 B．﹣3 C．﹣1 D．0
【分析】直接将原式变形进而把已知代入求出答案．
【解析】∵x﹣2y＝3，∴4y+1﹣2x＝﹣2（x+2y）+1＝﹣6+1＝﹣5．选：A．
【小结】此题主要考查了代数式求值，正确将原式变形是解题关键．
变式19： 当x＝2时，代数式px3+qx+1的值为﹣2019，求当x＝﹣2时，代数式的px3+qx+1值是（ ）
A．2018 B．2019 C．2020 D．2021
【分析】根据整体思想将已知条件用含p和q的代数式表示，再整体代入即可求解．
【解析】当x＝2时，代数式px3+qx+1的值为﹣2019，即8p+2q＝﹣2020．
当x＝﹣2时，代数式的px3+qx+1＝﹣8p﹣2q+1＝﹣（8p+2q）+1＝2020+1＝2021．选：D．
【小结】本题考查了代数式求值，解决本题的关键是利用整体思想．
变式20： 已知1﹣a2+2a＝0，则14a2-12a+54的值为（ ）
A．32 B．14 C．1 D．5
【分析】1﹣a2+2a＝0经过整理得：a2﹣2a＝1，14a2-12a+54=14（a2﹣2a）+54，
把a2﹣2a＝1代入代数式14（a2﹣2a）+54，计算求值即可．
【解析】∵1﹣a2+2a＝0，∴a2﹣2a＝1，∴14a2-12a+54=14（a2﹣2a）+54=14×1+54=32，选：A．
【小结】本题考查了代数式求值，正确掌握代数式变形，代入法，有理数混合运算法则是解题的关键．
变式21： （1）【探究】若a2+2a＝1，则代数式2a2+4a+4＝2（ ）+4＝2×（ ）+4＝ ．
【类比】若x2﹣3x＝2，则x2﹣3x﹣5的值为 ．
（2）【应用】当x＝1时，代数式px3+qx+1的值是5，求当x＝﹣1时，px3+qx+1的值；
（3）【推广】当x＝2020时，代数式ax5+bx3+cx﹣5的值为m，当x＝﹣2020时，ax5+bx3+cx﹣5的值
为 （含m的式子表示）
【分析】（1）把代数式2a2+4a+4＝2（a2+2a）+4，然后利用整体代入的方法计算；利用同样方法计算x2﹣3x﹣5的值；
（2）先用已知条件得到p+q＝4，而当x＝﹣1时，px3+qx+1＝﹣p﹣q+1＝﹣（p+q）+1，然后利用整体代入的方法计算；
（3）利用当x＝2020时，代数式ax5+bx3+cx﹣5的值为m得到20205a+20203b+2020c＝m+5，而当x＝﹣2020时，ax5+bx3+cx﹣5＝﹣20205a﹣20203b﹣2020c﹣5，然后利用整体代入的方法计算．
【解析】（1）∵a2+2a＝1，
∴2a2+4a+4＝2（a2+2a）+4＝2×（1）+4＝6；
【类比】若x2﹣3x＝2，则x2﹣3x﹣5＝2﹣5＝﹣3；
故答案为a2+2a，1，6；﹣3；、
（2）∵当x＝1时，代数式px3+qx+1的值是5，∴p+q+1＝5，∴p+q＝4，
∴当x＝﹣1时，px3+qx+1＝﹣p﹣q+1＝﹣（p+q）+1＝﹣4+1＝﹣3；
（3）∵当x＝2020时，代数式ax5+bx3+cx﹣5的值为m，
∴20205a+20203b+2020c﹣5＝m，即20205a+20203b+2020c＝m+5，
当x＝﹣2020时，ax5+bx3+cx﹣5＝（﹣2020）5a+（﹣2020）3b+（﹣2020）c﹣5
＝﹣20205a﹣20203b﹣2020c﹣5
＝﹣（20205a+20203b+2020c）﹣5
＝﹣（m+5）﹣5
＝﹣m﹣5﹣5
＝﹣m﹣10．
故答案为﹣m﹣10．
【小结】本题考查了代数式求值：求代数式的值可以直接代入、计算．如果给出的代数式可以化简，要先化简再求值．也考查了整体代入的方法．
考点8： 代数式求值（程序框图）
例题8： 根据以下程序，当输入x＝﹣2时，输出结果为（ ）
A．﹣5 B．﹣16 C．5 D．16
【分析】首先求出当x＝﹣2时，9﹣x2的值是多少，然后把所得的结果和1比较大小，判断是否输出结果即可．
【解析】当x＝﹣2时，9﹣x2＝9﹣（﹣2）2＝9﹣4＝5＞1，
当x＝5时，9﹣x2＝9﹣52＝9﹣25＝﹣16＜1，
∴当输入x＝﹣2时，输出结果为﹣16．选：B．
【小结】此题主要考查了代数式求值问题，要熟练掌握，求代数式的值可以直接代入、计算．如果给出的代数式可以化简，要先化简再求值．题型简单总结以下三种：①已知条件不化简，所给代数式化简；②已知条件化简，所给代数式不化简；③已知条件和所给代数式都要化简
变式22： 根据如图所示的计算程序，若输入x＝﹣1，则输出结果为（ ）
A．4 B．2 C．1 D．﹣1
【分析】把x＝﹣1代入程序中计算即可得到结论．
【解析】当入x＝﹣1时，﹣x2+3＝﹣1+3＝2＞1，当x＝2时，﹣x2+3＝﹣4+3＝﹣1＜1，选：D．
【小结】此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
变式23： 按如图所示的运算程序，能使运算输出的结果为6的是（ ）
A．x＝5，y＝﹣1 B．x＝2，y＝2 C．x＝2，y＝﹣1 D．x＝﹣2，y＝3
【分析】把x与y的值代入检验即可．
【解析】A、当x＝5，y＝﹣1时，输出结果为5+1＝6，符合题意；
B、当x＝2，y＝2时，输出结果为2﹣4＝﹣2，不符合题意；
C、当x＝2，y＝﹣1时，输出结果为2+1＝3，不符合题意；
D、当x＝﹣2，y＝3时，输出结果为﹣2﹣9＝﹣11，不符合题意，选：A．
【小结】此题考查了代数式求值，以及有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
变式24： 如图是一个运算程序，能使输出结果为﹣1的是（ ）
A．1，2 B．﹣1，0 C．﹣1，2 D．0，﹣1
【分析】根据筛选法将各个选项分别代入运算程序即可得结果．
【解析】A．当a＝1，b＝2时，输出结果为3，不符合题意；
B．当a＝﹣1，b＝0时，输出结果为1，不符合题意；
C．当a＝﹣1，b＝2时，输出结果为﹣1，符合题意；
根据筛选法C选项正确．选：C．
【小结】本题考查 了代数式求值、有理数的混合运算，解决本题的关键是理解运算程序．
考点9： 单项式的系数与次数
解题关键：①单项式中的数字因数称为这个单项式的系数；②一个单项式中,所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数
例题9： 4πx2y4z9的系数是 ，次数是 ．
【分析】直接利用单项式的系数与次数确定方法得出答案．
【解析】4πx2y4z9的系数是：4π9，次数是：7
【小结】此题主要考查了单项式，正确把握单项式的次数与系数确定方法是解题关键．
变式25： 单项式﹣3πxa+1y2与-102x2y39的次数相同，则a的值为 ．
【分析】根据单项式的次数相等，得到关于a的一元一次方程，求解即可．
【解析】因为-102x2y39的次数是5，又因为单项式﹣3πxa+1+y2与-102x2y39的次数相同
所以a+1+2＝5解得a＝2
【小结】本题考查了单项式次数的定义及一元一次方程的解法．通过单项式的次数相等列出关于a的方程是解决本题的关键．注意单项式的次数不包含数字和π的次数
变式26： 若单项式﹣x3yn+5的系数是m，次数是9，则m+n的值为 ．
【分析】先依据单项式的系数和次数的定义确定出m、n的值，然后求解即可．
【解析】根据题意得：m＝﹣1，3+n+5＝9，解得：m＝﹣1，n＝1，则m+n＝﹣1+1＝0
【小结】本题主要考查的是单项式的定义，掌握单项式的系数和次数的概念是概念是解题的关键．
变式27： 已知（m﹣3）x3y|m|+1是关于x，y的七次单项式，求m2﹣2m+2＝ ．
【分析】直接利用单项式的次数确定方法分析得出答案．
【解析】∵（m﹣3）x3y|m|+1是关于x，y的七次单项式，∴3+|m|+1＝7且m﹣3≠0，解得：m＝﹣3，
∴m2﹣2m+2＝9+6+2＝17
【小结】此题主要考查了单项式，正确把握单项式的次数确定方法是解题关键．
考点10： 多项式的项与次数
解题关键是熟悉几个单项式的和叫做多项式，每个单项式叫做多项式的项，其中不含字母的项叫做常数项．多项式中次数最高的项的次数叫做多项式的次数．
例题10： 关于多项式5x4y﹣3x2y+4xy﹣2，下列说法正确的是（ ）
A．三次项系数为3 B．常数项是﹣2
C．多项式的项是5x4y，3x2y，4xy，﹣2 D．这个多项式是四次四项式
【分析】根据多项式的项、次数的定义逐个判断即可．
【解析】A、多项式5x4y﹣3x2y+4xy﹣2的三次项的系数为﹣3，错误，故本选项不符合题意；
B、多项式5x4y﹣3x2y+4xy﹣2的常数项是﹣2，正确，故本选项符合题意；
C、多项式5x4y﹣3x2y+4xy﹣2的项为5x4y，﹣3x2y，4xy，﹣2，错误，故本选项不符合题意；
D、多项式5x4y﹣3x2y+4xy﹣2是5次四项式，错误，故本选项不符合题意；选：B．
【小结】本题考查了多项式的有关概念，能熟记多项式的次数和项的定义是解此题的关键．
变式28： 多项式 是一个关于x的三次四项式，它的次数最高项的系数是﹣5，二次项的系数是34，一次项的系数是﹣2，常数项是4．
【分析】直接利用多项式的次数与项数确定方法分析得出答案．
【解析】由题意可得，此多项式可以为：﹣5x3+34x2﹣2x+4．
【小结】此题主要考查了多项式，正确把握相关定义是解题关键．
变式29： 已知关于x的整式（|k|﹣3）x3+（k﹣3）x2﹣k．
（1）若整式是单项式，求k的值；（2）若整式是二次多项式，求k的值；（3）若整式是二项式，求k的值
【分析】（1）由整式为单项式，根据定义得到|k|﹣3＝0且k﹣3＝0，求出k的值；
（2）由整式为二次式，根据定义得到|k|﹣3＝0且k﹣3≠0，求出k的值；
（3）由整式为二项式，得到①|k|﹣3＝0且k﹣3≠0；②k＝0；依此即可求解．
【解析】（1）∵关于x的整式是单项式，∴|k|﹣3＝0且k﹣3＝0，解得k＝3，∴k的值是3；
（2）∵关于x的整式是二次多项式，∴|k|﹣3＝0且k﹣3≠0，解得k＝﹣3，∴k的值是﹣3；
（3）∵关于x的整式是二项式，∴①|k|﹣3＝0且k﹣3≠0，解得k＝﹣3；②k＝0．∴k的值是﹣3或0．
【小结】此题考查了单项式和多项式，解题的关键是熟悉几个单项式的和叫做多项式，每个单项式叫做多项式的项，其中不含字母的项叫做常数项．多项式中次数最高的项的次数叫做多项式的次数．
变式30： 已知关于x、y的多项式-35x2ym+1+12x2y2-3y2+8是八次四项式，单项式5xny6﹣m的次数与该多项式的次数相同，求m、n的值．
【分析】先根据多项式的次数计算出m的值，再根据单项式的次数计算出n的值即可．
【解析】∵多项式-35x2ym+1+12x2y2-3y2+8是八次四项式，所以2+m+1＝8，解得m＝5
又因为5xny6﹣m的次数与该多项式的次数相同，所以n+6﹣m＝8，即n＝7．
【小结】本题考查了多项式的次数和项、单项式的次数．掌握多项式的项和次数及单项式的次数是解决本题的关键．注意区分单项式与多项式的次数．多项式的次数是多项式中次数最高的项的次数，不是所有字母指数的和．
考点11： 与数有关的规律探索
例题11： 根据图中数字的规律，则x+y的值是（ ）
A．729 B．550 C．593 D．738
【分析】观察发现，图中第二行左边的数比第一行数的平方大1，第二行右边的数＝第二行左边的数×第一行的数+第一行的数，依此规律先求x，再求y即可．
【解析】∵5＝22+1，12＝5×2+2；
17＝42+1，72＝17×4+4；37＝62+1，228＝37×6+6；
∴x＝82+1＝65，y＝65×8+8＝528，x+y＝65+528＝593．选：C．
【小结】考查了规律型：数字的变化类，关键是由图形得到第二行左边的数比第一行数的平方大1，第二行右边的数＝第二行左边的数×第一行的数+第一行的数．
变式31： 将全体正奇数排成一个三角形数阵如下，按照以上排列的规律，第19行第11个数是（ ）
A．363 B．361 C．359 D．357
【分析】根据数字的变化类寻找每一行数字的变化规律即可求解．
【解析】观察所给数阵，得每一行的变化规律如下：
第一行的第一个数：1×0+1＝1
第二行的第一个数：2×1+1＝3
第三行的第一个数：3×2+1＝7
…
第n行的第一个数：n•（n﹣1）+1
∴第19行的第一个数：19×18+1＝343
∴第19行的第11个数：343+10×2＝363，选：A．
【小结】本题考查了数字的变化类，解决本题的关键是寻找每一行数字的变化规律．
变式32： 将全体自然数按下面的方式进行排列，按照这样的排列规律，2020应位于（ ）
A．位 B．位 C．位 D．位
【分析】观察图形不难发现，每4个数为一个循环组依次循环，因为2020是第2021个数，所以用2021除以4，再根据商和余数的情况确定2020所在的位置即可．
【解析】由图可知，每4个数为一个循环组依次循环，
∵2020是第2021个数，∴2021÷4＝505余1，
∴2020应位于第506循环组的第1个数，在A位．选：A．
【小结】本题是对数字变化规律的考查，观察出每4个数为一个循环组依次循环是解题的关键，要注意2020是第2021个数．
变式33： 按规律排列的一列数：-12，25，-38，411，-514，…，则第2020个数是 ．
【分析】先分析符号，第奇数个数据为负，第偶数个数据为正，再分析分子规律：依次为1，2，3，4，5，…连续的正整数，接着分析分母的规律：每个分母分别为对应分子的3倍少1的数，按此规律写出第2020个数便可．
【解析】-12=(-1)1×13×1-1，
25=(-1)2×23×2-1，
-38=(-1)3×33×3-1，
411=(-1)4×43×4-1，
-514=(-1)5×53×5-1，
…
由上可知第n个数为：(-1)n×n3n-1，
∴第2020个数是：(-1)2020×20203×2020-1=20206059．
【小结】此题考查了数字的变化类，让学生学会观察，及时总结，得出其中的规律是解题的关键，注意分母的变化，找出分母的变化规律是难点．
考点12： 与式有关的规律探索
例题12： 从2开始，连续n个偶数相加的合计为S，它们和的情况如下表：
（1）若n＝8时，则S的值为 ．
（2）根据表中的规律猜想：用n的式子表示S的公式为：S＝2+4+6+8+…+2n＝ ．
加数的个数n
S
1
2＝1×2
2
2+4＝6＝2×3
3
2+4+6＝12＝3×4
4
2+4+6+8＝20＝4×5
5
2+4+6+8+10＝30＝5×6
（3）根据上题的规律计算2+4+6+8+10+…+2018+2020的值．
【分析】（1）根据题意，可以求得当n＝8时，对应的S的值；
（2）根据表格中的数据，可以写出S的值；
（3）根据（2）中的结论，可以求得所求式子的值．
【解析】（1）当n＝8时，S＝2+4+6+…+16＝（2+16）×4＝18×4＝72，故答案为：72；
（2）由表格中的数据可知，S＝2+4+6+8+…+2n＝n（n+1），故答案为：n（n+1）；
（3）2+4+6+8+10+…+2018+2020＝（2020÷2）×（2020÷2+1）＝1010×1011＝1021110．
【小结】本题考查数字的变化类、列代数式，解答本题的关键是明确题意，发现题目中数字的变化规律，求出相应的数据．
变式34： 已知a是不为1的有理数，我们把11-a称为a的差倒数，如2的差倒数是11-2=-1．现已知a1=12，a2是a1的差倒数，a3是a2的差倒数，a4是a3的差倒数．
（1）求a2，a3，a4的值．
（2）根据（1）的计算结果，请猜想并写出a2018•a2019•a2020的值．
（3）计算：a1+a2+a3+…+a2018+a2019．
【分析】（1）根据题意，可以分别计算出a2，a3，a4的值；
（2）根据（1）中式子的值，可以发现数字的变化特点，从而可以求得a2018•a2019•a2020的值；
（3）根据前面发现的数字的特点，可以求得所求式子的值．
【解析】（1）∵a1=12，∴a2=11-12=2，a3=11-2=-1，a4=11-(-1)=12，
即a2，a3，a4的值分别为2，﹣1，12；
（2）∵2018÷3＝672…2，∴a2018•a2019•a2020＝2×（﹣1）×12＝﹣1；
（3）∵2019÷3＝673，12+2+（﹣1）=32，∴a1+a2+a3+…+a2018+a2019=32×673=20192．
【小结】本题考查数字的变化类，解答本题的关键是明确题意，发现题目中数字的变化特点，求出所求式子的值．
变式35： 小学的时候我们已经学过分数的加减法法则：“同分母分数相加减，分母不变，分子相加减；异分母分数相加减，先通分，转化为同分母分数，再加减．”如：12-13=32×3-22×3=3-22×3=12×3=16，反之，这个式子仍然成立，即：16=12×3=3-22×3=32×3-22×3=12-13
（1）问题发现
观察下列等式：①11×2=2-11×2=21×2-11×2=1-12，
②12×3=3-22×3=32×3-22×3=12-13，
③13×4=4-33×4=43×4-32×3=13-14，…，
猜想并写出第n个式子的结果：1n(n+1)= ．（直接写出结果，不说明理由）
（2）类比探究
将（1）中的的三个等式左右两边分别相加得：11×2+12×3+13×4=1-12+12-13+13-14=1-14=34，类比该问题的做法，请直接写出下列各式的结果：
①11×2+12×3+13×4+⋯+12019×2020= ；②11×2+12×3+13×4+⋯+1n(n+1)= ；
（3）拓展延伸 计算：11×3+13×5+15×7+⋯+199×101．
【分析】（1）根据题目中的式子可以写出第n个式子的结果；
（2）①根据题目中的式子的特点和（1）中的结果，可以求得所求式子的值；
②根据题目中的式子的特点和（1）中的结果，可以求得所求式子的值；
（3）根据题目中式子的特点，可以求得所求式子的值．
【解析】（1）由题目中的式子可得，1n(n+1)=1n-1n+1
（2）①11×2+12×3+13×4+⋯+12019×2020＝1-12+12-13+13-14+⋯+12019-12020＝1-12020
=20192020，
②11×2+12×3+13×4+⋯+1n(n+1)＝1-12+12-13+13-14+⋯+1n-1n+1＝1-1n+1=nn+1，
（3）11×3+13×5+15×7+⋯+199×101=12×（1-13+13-15+15-17+⋯+199-1101）=12×（1-1101）
=12×100101 =50101．
【小结】解答本题的关键是明确题意，发现题目中式子的变化特点，求出所求式子的值．
变式36： 阅读材料：
求1+2+22+23+24+…+22020的值．
解：设S＝1+2+22+23+24+…+22020，将等式两边同时乘以2得，
2S＝2+22+23+24+25+…+22021．
将下式减去上式，得2S﹣S＝22021﹣1，即S＝22021﹣1．
即1+2+22+23+24+…+22020＝22021﹣1
仿照此法计算：
（1）1+3+32+33+…+320；
（2）1+12+122+123+⋯+12100．
【分析】（1）仿照阅读材料中的方法求出所求即可；
（2）仿照阅读材料中的方法求出所求即可．
【解析】（1）设S＝1+3+32+33+…+320，
则2S＝3+32+33+…+321，
∴3S﹣S＝321﹣1，即S=321-12，
则1+3+32+33+…+320=321-12；
（2）设S＝1+12+122+123+⋯+12100，
则12S=12+122+123+⋯+12100+12101，
∴S-12S＝1-12101=2101-12101，即S=21101-12100，
则S＝1+12+122+123+⋯+12100=21101-12100．
【小结】此题考查了规律型：数字的变化类，以及有理数的混合运算，弄清题中的规律是解本题的关键．
考点13： 与图形排列有关的规律探索
例题13： 如图图形都是由同样大小的菱形按照一定规律所组成的，其中第①个图形中一共有3个菱形，第②个图形中一共有7个菱形，第③个图形中一共有13个菱形，…，按此规律排列下去，第⑥个图形中菱形的个数为（ ）
A．42 B．43 C．56 D．57
【分析】设第n个图形中一共有an个菱形（n为正整数），根据各图形中菱形个数的变化可得出变化规律“an＝n2+n+1（n为正整数）”，再代入n＝6即可求出结论．
【解析】设第n个图形中一共有an个菱形（n为正整数），
∵a1＝12+2＝3，a2＝22+3＝7，a3＝32+4＝13，a4＝42+5＝21，…，∴an＝n2+n+1（n为正整数），
∴a6＝62+7＝43．选：B．
【小结】本题考查了规律型：图形的变化类，根据各图形中菱形个数的变化，找出变化规律“an＝n2+n+1（n为正整数）”是解题的关键．
变式37： 观察如图所示一组图形中点的个数，其中第1个图中共有4个点，第2个图中共有10个点，第3个图中共有19个点，…按此规律第10个图中共有点的个数是（ ）
A．109个 B．136个 C．166个 D．199个
【分析】根据题目中的图形，可以发现点的个数的变化规律，从而可以得到第10个图中点的个数.
【解析】由图可得，第1个图中点的个数为：1+3×1＝4，
第2个图中点的个数为：1+3×1+3×2＝10，
第3个图中点的个数为：1+3×1+3×2+3×3＝19，…，
第10个图中点的个数为：1+3×1+3×2+3×3+…+3×10＝1+3+6+9+…+30＝166，选：C．
【小结】本题考查图形的变化类，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
变式38： 将图1中的正方形剪开得到图2，则图2中共有4个正方形；将图2中的一个正方形剪开得到图3，图3中共有7个正方形；将图3中4个较小的正方形中的一个剪开得到图4，则图4中共有10个正方形，照这个规律剪下去…
（1）根据图中的规律补全下表：
图形标号
1
2
3
4
5
6
…
n
正方形个数
1
4
7
10
…
（2）求第几幅图形中有2020个正方形？
【分析】（1）第1个图形有正方形1个，第2个图形有正方形4个，第3个图形有正方形7个，第4个图形有正方形10个，…，第n个图形有正方形（3n﹣2）个，计算出结果填上即可；
（2）由第n个图形有正方形（3n﹣2）个，得出3n﹣2＝2020，解得n＝674．
【解析】（1）第1个图形有正方形1个，第2个图形有正方形4个，第3个图形有正方形7个，第4个图形有正方形10个，…，第n个图形有正方形（3n﹣2）个，
∴第5个图形有正方形13个，第6个图形有正方形16个，
补全表如下：
（2）由第n个图形有正方形（3n﹣2）个，得出：3n﹣2＝2020，解得：n＝674，
∴第674幅图形中有2020个正方形．
【小结】本题考查了图形的变化规律，仔细观察，得出规律是解题的关键．
变式39： 某餐厅中1张餐桌可坐6人，有以下两种摆放方式：
（1）对于方式一：4张桌子拼在一起可坐 人；对于方式二，n张桌子拼在一起可坐 人；
（2）该餐厅有40张这样的长方形桌子，若按方式一每5张拼成一张大桌子，则40张桌子可拼成8张大桌子，共可坐多少人？
（3）在（2）中，若改成每8张拼成一张大桌子，按方式二的拼法，则40张桌子共可坐多少人？
（4）一天中午，该餐厅来了98位顾客共同就餐，要求用满座位，但餐厅中只有25张这样的长方形桌子可用，若你是这家餐厅的经理，你打算选择哪种方式来摆餐桌呢（不考虑场地等因素）？
【解析】（1）对于方式一：4张桌子拼在一起可坐2+4×4＝18（人），
对于方式二，n张桌子拼在一起可坐：（2n+4）人，
（2）方式一，5张拼成一张大桌子，一个大桌可坐2+4×5＝22（人），拼成8张大桌子可坐22×8＝176（人），
（3）方式二，8张拼成一张大桌子，一个大桌可坐2×8+4＝20（人），则拼成408=5张大桌子可坐20×5＝100（人），
（4）因为一张小桌可坐6人，当n＝25时，共坐6×25＝150＞98，有多空位，
以下是几张小桌拼成一张大桌的座位数列表供分析：
连拼数目座位
2张连拼
3张连拼
4张连拼
5张连拼
6张连拼
8张连拼
方式一
10
14
18
22
26
34
方式二
8
10
12
14
16
18
经分析，用单一方式摆放难以实现要求，所以可考虑两种方式搭配，观察思考可得：
将16张桌子按方式一摆成8张连拼的2个大桌，余下9张桌子按方式二摆成3张连拼的3个大桌，2×34+3×10＝98，正好坐满．（方案不唯一，或用以下方案）
设用x张桌子连拼成一个大桌摆成方式一，则用（25﹣x）张桌子连拼成一个大桌摆成方式二，则可坐人数为：4x+2+2（25﹣x）+4＝2x+56＝98，可得：x＝21，25﹣x＝4
答：按方式一，用21张桌子连拼成一大桌，按方式二，用4张桌子连拼成一大桌，即可坐满98人．
【小结】本题考查图形的变化类，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
考点14： 同类项的定义
解题关键是掌握同类项的定义：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同，这样的项叫做同类项．
例题14： 下列各组式子中是同类项的是（ ）
A．2x3与3x2 B．12ax 与8bx C．x4与a4 D．23与32
【解析】A、2x3与3x2，所含字母相同，但相同字母的指数不相同，不是同类项；B、12ax 与8bx，所含字母不相同，不是同类项；C、x4与a4，所含字母不相同，不是同类项；D、23与32，是同类项，选：D．
【小结】本题考查的是同类项的概念，所含字母相同，并且相同字母的指数也相同，这样的项叫做同类项．
变式40： ﹣2a2m+3b5与3a5bm﹣2n是同类项，则（m+n）2020的值是（ ）
A．1 B．﹣1 C．2 D．4
【分析】先根据同类项的概念得出2m+3＝5，5＝m﹣2n，解之求出m、n的值，再代入计算可得．
【解析】∵﹣2a2m+3b5与3a5bm﹣2n是同类项，∴2m+3＝5，5＝m﹣2n，解得m＝1，n＝﹣2，
则（1﹣2）2020＝（﹣1）2020＝1，选：A．
【小结】主要考查同类项，解题的关键是掌握同类项的概念：所含字母相同，并且相同字母指数也相同．
变式41： 如果单项式﹣3xay5与x3ya+b的和是单项式，那么a与b的值分别是（ ）
A．a＝3，b＝5 B．a＝5，b＝3 C．a＝3，b＝2 D．a＝2，b＝3
【分析】由单项式﹣3xay5与x3ya+b的和仍是单项式知：单项式﹣3xay5与x3ya+b是同类项，根据同类项的概念列出关于a、b的方程，解之求得a、b的值．
【解析】由题意，得a＝3，a+b＝5．所以a＝3，b＝2．选：C．
【小结】主要考查同类项，解题关键是熟练掌握同类项的概念：所含字母相同，并且相同字母指数也相同．
变式42： 如果2x3y|n|与-13xm+1y的和是单项式，则m+n的值是（ ）
A．1 B．﹣1 C．±1 D．3或1
【分析】根据同类项：所含字母相同，并且相同字母指数也相同，可得出m、n值，再代入式子计算即可
【解析】∵2x3y|n|与-13xm+1y的和是单项式，∴m+1＝3，|n|＝1，解得m＝2，n＝±1，
∴m+n＝2+1＝3或m+n＝2﹣1＝1．即m+n的值是3或1．选：D．
【小结】本题考查了同类项的知识，注意同类项中的两个相同，①所含字母相同，②相同字母的指数相同．
考点15： 合并同类项（不含某项）
解题关键是首先进行合并同类项，不含某项，则该项的系数为0，从而求得结果.
例题15： 若代数式x2﹣2kxy+y2﹣6xy+9不含xy项，则k的值为（ ）
A．3 B．-12 C．0 D．﹣3
【分析】将含xy的项进行合并，然后令其系数为0即可求出k的值．
【解析】x2﹣2kxy+y2﹣6xy+9，令﹣2k﹣6＝0，k＝﹣3．选：D．
【小结】本题考查多项式的概念，涉及一元一次方程的解法．
变式43： 若关于x的多项式x4﹣ax3+x3﹣5x2﹣bx﹣3x﹣1不存在含x的一次项和三次项，则a+b＝ ．
【分析】先确定三次项及一次项的系数，再令其为0即可得到a、b的值，再根据代数式求值，可得答案．
【解析】x4﹣ax3+x3﹣5x2﹣bx﹣3x﹣1＝x4+（1﹣a）x3﹣5x2﹣（b+3）x﹣1，
∵多项式x4﹣ax3+x3﹣5x2﹣bx﹣3x﹣1不存在含x的一次项和三次项，∴1﹣a＝0，b+3＝0，
解得a＝1，b＝﹣3，∴a+b＝1﹣3＝﹣2
【小结】本题考查了多项式，在多项式中不含哪次项，则那次项的系数为0．
变式44： 若关于x，y的多项式my3+nx2y+2y3﹣x2y+y中不含三次项，则2m+3n＝ ．
【分析】先合并同类项，根据已知得出m+2＝0，n﹣1＝0，求出m、n的值，再代入求出即可．
【解析】my3+nx2y+2y3﹣x2y+y＝（m+2）y3+（n﹣1）x2y+y，
∵关于x，y的多项式my3+nx2y+2y3﹣x2y+y中不含三次项，∴m+2＝0，n﹣1＝0，∴m＝﹣2，n＝1，
∴2m+3n＝2×（﹣2）+3×1＝﹣1
【小结】考查合并同类项法则，多项式，求代数式值，解一元一次方程等，能求出m、n值是解此题的关键
变式45： 已知代数式2x2+ax﹣y+6﹣2bx2+3x﹣5y﹣1的值与字母x的取值无关，求ab的值．
【分析】根据题意可得2﹣2b＝0，a+3＝0，解出a、b的值，进而可得ab的值．
【解析】2x2+ax﹣y+6﹣2bx2+3x﹣5y﹣1＝（2﹣2b）x2+（a+3）x﹣6y+5，
∵代数式2x2+ax﹣y+6﹣2bx2+3x﹣5y﹣1的值与字母x的取值无关，∴2﹣2b＝0，a+3＝0，
解得：b＝1，a＝﹣3，则ab＝﹣3．
【小结】主要考查合并同类项，关键是掌握合并同类项法则：把同类项系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变．
考点16： 添括号与去括号
解题关键是掌握（1）括号前是“+”，去括号后，括号里的各项都不改变符号；括号前是“﹣”，去括号后，括号里的各项都改变符号．运用这一法则去括号；
（2）添括号后，括号前是“+”，括号里的各项都不改变符号；添括号后，括号前是“﹣”，括号里的各项都改变符号．运用这一法则添括号．
例题16： 下列去括号或添括号的变形中，正确的是（ ）
A．2a﹣（5b﹣c）＝2a﹣5b﹣c B．3a+5（2b﹣1）＝3a+10b﹣1
C．4a+3b﹣2c＝4a+（3b﹣2c） D．m﹣n+a﹣2b＝m﹣（n+a﹣2b）
【分析】根据去括号和添括号法则逐个判断即可．
【解析】A、2a﹣（5b﹣c）＝2a﹣5b+c，故不符合题意；B、3a+5（2b﹣1）＝3a+10b﹣5，故不符合题意；
C、4a+3b﹣2c＝4a+（3b﹣2c），故符合题意；D、m﹣n+a﹣2b＝m﹣（n﹣a+2b），故不符合题意；选：C．
【小结】本题考查了去括号和添括号法则，能灵活运用法则内容进行变形是解此题的关键．
变式46： 在等式1﹣a2+2ab﹣b2＝1﹣（ ）中，括号里应填（ ）
A．a2﹣2ab+b2 B．a2﹣2ab﹣b2 C．﹣a2﹣2ab+b2 D．﹣a2+2ab﹣b2
【分析】根据减法的性质可知，1﹣a2+2ab﹣b2＝1﹣（a2﹣2ab+b2）解答即可．
【解析】1﹣a2+2ab﹣b2＝1﹣（a2﹣2ab+b2），选：A．
【小结】考查填括号问题，完成本题要注意分析式中各项的特点，然后利用填括号的法则进行分析解答．
变式47： 已知a﹣b＝﹣3，c+d＝2，则（b+c）﹣（a﹣d）的值为（ ）
A．1 B．5 C．﹣5 D．﹣1
【分析】先把括号去掉，重新组合后再添括号．
【解析】因为（b+c）﹣（a﹣d）＝b+c﹣a+d＝（b﹣a）+（c+d）＝﹣（a﹣b）+（c+d）…（1），
所以把a﹣b＝﹣3、c+d＝2代入（1），得：原式＝﹣（﹣3）+2＝5．选：B．
【小结】（1）括号前是“+”，去括号后，括号里的各项都不改变符号；括号前是“﹣”，去括号后，括号里的各项都改变符号．运用这一法则去括号；
（2）添括号后，括号前是“+”，括号里的各项都不改变符号；添括号后，括号前是“﹣”，括号里的各项都改变符号．运用这一法则添括号．
变式48： 不改变式子的值，把括号前的符号变成相反的符号x﹣y﹣（﹣y3+x2﹣1）＝ ．
【分析】本题添了1个括号，且所添的括号前为负号，括号内各项改变符号．
【解析】根据题意得x﹣y﹣（﹣y3+x2﹣1）＝x﹣y+（y3﹣x2+1）．
故答案为：x﹣y+（y3﹣x2+1）．
【小结】本题考查添括号的方法：添括号时，若括号前是“+”，添括号后，括号里的各项都不改变符号；若括号前是“﹣”，添括号后，括号里的各项都改变符号．
考点17： 整式的加减
例题17： 一个多项式加上12y+7x+z2等于5y+3x﹣15z2，则这个多项式是（ ）
A．﹣7y﹣4x﹣16z2 B．7y+4x+16z2
C．17y+10x﹣14z2 D．7y+4x﹣16z2
【分析】根据题意列出关系式，去括号合并即可得到结果．
【解析】（5y+3x﹣15z2）﹣（12y+7x+z2）＝5y+3x﹣15z2﹣12y﹣7x﹣z2＝﹣7y﹣4x﹣16z2，选：A．
【小结】此题考查了整式的加减，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
变式49： 设M＝x2﹣8x﹣4，N＝2x2﹣8x﹣3，那么M与N的大小关系是（ ）
A．M＞N B．M＝N C．M＜N D．无法确定
【分析】利用作差法比较即可．
【解析】∵M＝x2﹣8x﹣4，N＝2x2﹣8x﹣3，∴M﹣N＝x2﹣8x﹣4﹣2x2+8x+3＝﹣x2﹣1，
∵x2≥0，∴﹣x2≤0，即﹣x2﹣1≤﹣1＜0，∴M﹣N＜0，则M＜N，选：C．
【小结】此题考查了整式的加减，弄清作差法比较大小的方法是解本题的关键．
变式50： 【变式17-2】（2019秋•潍坊期末）一个多项式M减去多项式﹣2x2+5x﹣3，小马虎同学却误解为先加上这个多项式，结果得x2+3x+7，则多项式M是（ ）
A．3x2﹣2x+10 B．﹣x2+8x+4 C．3x2﹣x+10 D．x2﹣8x﹣4
【分析】根据题意列出关系式，去括号合并即可得到结果．
【解析】根据题意得：M＝（x2+3x+7）﹣（﹣2x2+5x﹣3）＝x2+3x+7+2x2﹣5x+3＝3x2﹣2x+10，选：A．
【小结】此题考查了整式的加减，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
变式51： 在整式的加减练习课中，已知A＝3a2b﹣2ab2+abc，小江同学错将“2A﹣B”看成“2A+B”，算得错误结果是4a2b﹣3ab2+4abc，已知．请你解决以下问题：
（1）求出整式B；
（2）求正确计算结果；
（3）若增加条件：a、b满足|a﹣4|+（b+1）2＝0，你能求出（2）中代数式的值吗？如果能，请求出最后的值；如果不能，请说明理由．
【分析】（1）将错就错列出关系式，去括号合并即可确定出B；
（2）把A与B代入2A﹣B中，去括号合并即可得到正确结果；
（3）利用非负数的性质求出a与b的值，代入（2）的化简结果计算即可求出值．
【解析】（1）由题意得：B＝4a2b﹣3ab2+4abc﹣2A
＝4a2b﹣3ab2+4abc﹣2（3a2b﹣2ab2+abc）＝4a2b﹣3ab2+4abc﹣6a2b+4ab2﹣2abc＝﹣2a2b+ab2+2abc；
（2）正确结果是：2A﹣B
＝2（3a2b﹣2ab2+abc）﹣（﹣2a2b+ab2+2abc）＝6a2b﹣4ab2+2abc+2a2b﹣ab2﹣2abc＝8a2b﹣5ab2；
（3）能算出结果，
∵a、b满足|a﹣4|+（b+1）2＝0，∴a﹣4＝0，b+1＝0，解得：a＝4，b＝﹣1，
把a＝4，b＝﹣1代入得：
8a2b﹣5ab2＝8×42×（﹣1）﹣5×4×（﹣1）2＝8×16×（﹣1）﹣5×4×1＝﹣128﹣20＝﹣148．
【小结】此题考查了整式的加减，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
考点18： 整式加减的应用
例题18： 把一个大正方形和四个相同的小正方形按图①、②两种方式摆放，则大正方形的周长与小正方形的周长的差是（ ）
A．a+2b B．a+b C．3a+b D．a+3b
【分析】根据大正方形和四个相同的小正方形按图①、②两种方式摆放，求出大正方形的周长与小正方形的周长即可．
【解析】设小正方形的边长为x，则a﹣2x＝b+2x，则4x＝a﹣b，
所以大正方形的周长﹣小正方形的周长＝4（a﹣2x）﹣4x＝4a﹣12x＝4a﹣3a+3b＝a+3b．选：D．
【小结】本题考查了整式的加减，解决本题的关键是观察图形写出代数式．
变式52： 如图，大长方形被分割成4个标号分别为（1）（2）（3）（4）的小正方形和5个小长方形，其中标号为（5）的小长方形的周长为a，则大长方形的周长为（ ）
A．3a B．4a C．5a D．6a
【分析】设标号为（5）的小长方形长为y，宽为x，然后可得小正方形（1）（2）（3）（4）的边长，进而可得大长方形的边长，然后求周长即可．
【解析】设标号为（5）的小长方形长为y，宽为x，
∵（1）（2）（3）（4）的小正方形，（1）（2）的边长均为x，（3）（4）的边长均为y，
∴大长方形的边长可表示为2x+y，2y+x，∴周长为2（2x+y+2y+x）＝6（x+y），
∵（5）的小长方形的周长为a，∴2（x+y）＝a，∴6（x+y）＝3a，选：A．
【小结】此题主要考查了整式的加减，关键是找出（5）和大长方形周长的关系．
变式53： 在矩形ABCD内，将两张边长分别为a和b（a＞b）的正方形纸片按图1，图2两种方式放置（图1，图2中两张正方形纸片均有部分重叠），矩形中未被这两张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示，设图2中阴影部分的周长与图1中阴影部分的周长的差为l，若要知道l的值，只要测量图中哪条线段的长（ ）
A．a B．b C．AD D．AB
【分析】根据平移的知识和周长的定义，列出算式l＝2AD﹣2b+4AB﹣（2AD+2AB﹣2b），再去括号，合并同类项即可求解．
【解析】图1中阴影部分的周长＝2AD+2AB﹣2b，图2中阴影部分的周长＝2AD﹣2b+4AB，
l＝2AD﹣2b+4AB﹣（2AD+2AB﹣2b）＝2AD﹣2b+4AB﹣2AD﹣2AB+2b＝2AB．
故若要知道l的值，只要测量图中线段AB的长．选：D．
【小结】考查了整式的加减，周长的定义，关键是得到图2中阴影部分的周长与图1中阴影部分的周长．
变式54： 如图，把四张大小相同的长方形卡片（如图①）按图2、图③两种方式放在一个底面为长方形（长比宽多5cm）的盒底上，底面未被卡片覆盖的部分用阴影表示，若记图②中阴影部分的周长为C1，图3中阴影部分的周长为C2，那么C1比C2大 cm．
【分析】此题要先设小长方形的长为acm，宽为bcm，再结合图形分别得出图形②的阴影周长和图形③的阴影周长，比较后即可求出答案．
【解析】设小长方形的长为acm，宽为bcm，大长方形的宽为xcm，长为（x+5）cm，
∴②阴影周长为：2（x+5+x）＝4x+10，∴③下面的周长为：2（x﹣2b+x+5﹣2b），
上面的总周长为：2（x+5﹣a+x﹣a），
∴总周长为：2（x﹣2b+x+5﹣2b）+2（x+5﹣a+x﹣a）＝4（x+5）+4x﹣4（a+2b），
又∵a+2b＝x+5，∴4（x+5）+4x﹣4（a+2b）＝4x，∴C2﹣C3＝4x+10﹣4x＝10（cm），故答案为10．
【小结】主要考查整式加减运用，要善于观察，在第②个图形中利用割补法计算，很容易计算得出结果．
考点19： 整式的化简求值（化繁为简再求值）
例题19： 先化简，再求值：2ab+6（12a2b+ab2）﹣[3a2b﹣2（1﹣ab﹣2ab2）]，其中a为最大的负整数，b为最小的正整数．
【分析】直接去括号进而合并同类项，再得出a，b的值代入求出答案．
【解析】原式＝2ab+3a2b+6ab2﹣3a2b+2﹣2ab﹣4ab2
＝（2ab﹣2ab）+2+（3a2b﹣3a2b）+（6ab2﹣4ab2）
＝2ab2+2，
∵a为最大的负整数，b为最小的正整数，∴a＝﹣1，b＝1，∴原式＝2×（﹣1）×1+2＝0．
【小结】此题主要考查了整式的加减﹣化简求值，正确合并同类项是解题关键．
变式55： 先化简再求值：3a2b﹣[2ab2﹣2（ab-32a2b）+ab]+3ab2，其中a，b满足（a+4）2+|b-12|＝0．
【分析】直接去括号进而合并同类项，进而结合偶次方以及绝对值性质得出a，b的值，即可代入得出答案．
【解析】原式＝3a2b﹣2ab2+2（ab-32a2b）﹣ab+3ab2
＝3a2b﹣2ab2+2ab﹣3a2b﹣ab+3ab2
＝（3a2b﹣3a2b）+（﹣2ab2+3ab2）+（2ab﹣ab）
＝ab2+ab，
∵（a+4）2+|b-12|＝0，∴a+4＝0，b-12=0，解得：a＝﹣4，b=12，
原式＝﹣4×（12）2+（﹣4）×12＝﹣1﹣2＝﹣3．
【小结】此题主要考查了整式的加减﹣化简求值，正确合并同类项是解题关键．
变式56： 已知代数式A＝﹣6x2y+4xy2﹣2x﹣5，B＝﹣3x2y+2xy2﹣x+2y﹣3．
（1）先化简A﹣B，再计算当x＝1，y＝﹣2时A﹣B的值；
（2）请问A﹣2B的值与x，y的取值是否有关系？试说明理由．
【分析】（1）根据去括号法则、合并同类项法则把原式化简，代入计算即可；
（2）根据去括号法则、合并同类项法则把原式化简，根据化简结果解答．
【解析】（1）A﹣B＝（﹣6x2y+4xy2﹣2x﹣5）﹣（﹣3x2y+2xy2﹣x+2y﹣3）
＝﹣6x2y+4xy2﹣2x﹣5+3x2y﹣2xy2+x﹣2y+3
＝（﹣6+3）x2y+（4﹣2）xy2+（﹣2+1）x﹣2y﹣5+3
＝﹣3x2y+2xy2﹣x﹣2y﹣2，
当x＝1，y＝﹣2时，A﹣B＝﹣3×12×（﹣2）+2×1×（﹣2）2﹣1﹣2×（﹣2）﹣2＝6+8﹣1+4﹣2＝15；
（2）A﹣2B＝（﹣6x2y+4xy2﹣2x﹣5）﹣2（﹣3x2y+2xy2﹣x+2y﹣3）
＝﹣6x2y+4xy2﹣2x﹣5+6x2y﹣4xy2+2x﹣4y+6
＝（﹣6+6）x2y+（4﹣4）xy2+（﹣2+2）x﹣4y﹣5+6
＝﹣4y+1
由化简结果可知，A﹣2B的值与x的取值没有关系，与y的取值有关系．
【小结】本题考查的是整式的化简求值，掌握整式的加减混合运算法则是解题的关键．
变式57： 已知A＝a2﹣2b2+2ab﹣3，B＝2a2﹣b2-25ab-15．
（1）求2（A+B）﹣3（2A﹣B）的值（结果用化简后的a、b的式子表示）；
（2）当|a+12|与b2互为相反数时，求（1）中式子的值．
【分析】（1）根据整式的混合运算法则计算；（2）根据非负数的性质求出a、b，代入计算．
【解析】（1）2（A+B）﹣3（2A﹣B）＝2A+2B﹣6A+3B＝﹣4A+5B
＝﹣4（a2﹣2b2+2ab﹣3）+5（2a2﹣b2-25ab-15）
＝﹣4a2+8b2﹣8ab+12+10a2﹣5b2﹣2ab﹣1
＝6a2+3b2﹣10ab+11；
（2）∵|a+12|与b2互为相反数，∴|a+12|+b2＝0，则a=-12，b＝0，6a2+3b2﹣10ab+11＝6×14+11=252．
【小结】本题考查的是整式的混合运算、非负数的性质，掌握整式的混合运算法则是解题的关键．
考点20： 整式的化简求值（整体代入求值）
例题20： 已知A＝3x2﹣x+2y﹣4xy，B＝x2﹣2x﹣y+xy
（1）求A﹣3B的值．
（2）当x+y=56，xy＝﹣1，求A﹣3B的值．
（3）若A﹣3B的值与y的取值无关，求x的值．
【分析】（1）把A与B代入A﹣3B中，去括号合并即可得到结果；
（2）把已知等式代入计算即可求出所求；
（3）把A﹣3B结果变形后，根据其值与y的取值无关，确定出x的值即可．
【解析】（1）∵A＝3x2﹣x+2y﹣4xy，B＝x2﹣2x﹣y+xy，
∴A﹣3B＝3x2﹣x+2y﹣4xy﹣3x2+6x+3y﹣3xy＝5x+5y﹣7xy；
（2）∵x+y=56，xy＝﹣1，∴A﹣3B＝5（x+y）﹣7xy=256+7=676；
（3）由A﹣3B＝5x+（5﹣7x）y的值与y的取值无关，得到5﹣7x＝0，解得：x=57．
【小结】此题考查了整式的加减﹣化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
变式58： 阅读理解：如果代数式：5a+3b＝﹣4，求代数式2（a+b）+4（2a+b）的值？小颖同学提出了一种解法如下：原式＝2a+2b+8a+4b＝10a+6b，把式子5a+3b＝﹣4两边同时乘以2，得10a+6b＝﹣8
仿照小颖同学的解题方法，完成下面的问题：
（1）如果﹣a2＝a，则a2+a+1＝ ；
（2）已知a﹣b＝﹣3，求3（a﹣b）﹣5a+5b+5的值；
（3）已知a2+2ab＝﹣2，ab﹣b2＝﹣4，求2a2+72ab+12b2的值．
【分析】（1）已知等式变形，代入所求式子计算即可求出值；
（2）原式变形后，把已知等式代入计算即可求出值；
（3）原式变形后，将已知等式代入计算即可求出值．
【解析】（1）∵﹣a2＝a，即a2+a＝0，∴原式＝1；
（2）∵a﹣b＝3，∴原式＝3（a﹣b）﹣5（a﹣b）+5＝﹣2（a﹣b）+5＝﹣2×（﹣3）+5＝11；
（3）∵a2+2ab＝﹣2，ab﹣b2＝﹣4，
∴原式＝2a2+4ab-12ab+12b2＝2（a2+2ab）-12（ab﹣b2）＝2×（﹣2）-12×（﹣4）＝﹣2．
【小结】此题考查了整式的加减﹣化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
变式59： 阅读材料：“如果代数式5a+3b的值为﹣4，那么代数式2（a+b）+4（2a+b）的值是多少？”我们可以这样来解：
原式＝2a+2b+8a+4b＝10a+6b＝2（5a+3b）＝2×（﹣4）＝﹣8
仿照上面的解题方法，完成下面的问题：
已知3a﹣7b＝﹣3，求代数式2（2a+b﹣1）﹣5（4b﹣a）﹣3b的值．
【分析】原式去括号合并整理后，把已知等式代入计算即可求出值．
【解析】当3a﹣7b＝﹣3时，
原式＝4a+2b﹣2﹣20b+5a﹣3b＝9a﹣21b﹣2＝3（3a﹣7b）﹣2＝﹣9﹣2＝﹣11．
【小结】此题考查了整式的加减﹣化简求值，利用了整体代入的思想，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
变式60： 阅读材料：我们知道，2x+3x﹣x＝（2+3﹣1）x＝4x，类似地，我们把（a+b）看成一个整体，则2（a+b）+3（a+b）﹣（a+b）＝（2+3﹣1）（a+b）＝4（a+b）．“整体思想”是中学数学解题中的一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛．
尝试应用：
（1）把（x﹣y）2看成一个整体，求将2（x﹣y）2﹣5（x﹣y）2+（x﹣y）2合并的结果；
（2）已知2m﹣3n＝4，求代数式4m﹣6n+5的值；
拓广探索：
（3）已知a﹣2b＝5，b﹣c＝﹣3，3c+d＝9，求（a+3c）﹣（2b+c）+（b+d）的值．
【分析】（1）整体思想，把（x﹣y）2看成整体，合并2（x﹣y）2﹣5（x﹣y）2+（x﹣y）2即可得到结果；
（2）原式可化为2（2m﹣3n）+5，2m﹣3n＝4整体代入即可；
（3）由（a+3c）﹣（2b+c）+（b+d）得到（a﹣2b）+（b﹣c）+（3c+d），依据a﹣2b＝5，b﹣c＝﹣3，3c+d＝9，整体代入进行计算即可．
【解析】（1）2（x﹣y）2﹣5（x﹣y）2+（x﹣y）2＝（2﹣5+1）（x﹣y）2＝﹣2（x﹣y）2；
（2）4m﹣6n+5＝2（2m﹣3n）+5＝2×4+5＝8+5＝13；
（3）（a+3c）﹣（2b+c）+（b+d）＝a+3c﹣2b﹣c+b+d＝（a﹣2b）+（b﹣c）+（3c+d），
∵a﹣2b＝5，b﹣c＝﹣3，3c+d＝9，
∴原式＝5﹣3+9＝11．
【小结】此题主要考查了整式的化简求值，关键是注意去括号时符号的变化．
相关资料
更多
