2021年 广东省 中考数学 一轮复习备考 第17讲 相似三角形 学案
展开第17讲 相似三角形
知识梳理
1 线段的比与成比例线段
线段的比 | 两条线段长度的比叫做两条线段的比.注意：求两条线段的比时必须统一单位）． |
成比例线段 | 四条线段、、、中，如果，那么这四条线段、、、叫做成比例线段，简称比例线段． |
黄金分割
| 若线段AB上一点C把线段AB分成两条线段AC与BC（AC>BC），如果，这时称点C是AB的黄金分割点，这个比值称为黄金比，它的值为． |
2 比例的性质
基本性质 | |
合比的性质 | |
等比性质 |
3平行线分线段成比例定理
| 图形 | 几何语言 |
定理 | ∵l1∥l2∥l3， ∴，， | |
推论 | ∵DE∥BC，∴， ， |
4相似三角形的判定
预备定理 | 平行于三角形的一边的直线与其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似． |
判定1 | 有两个角对应相等的两个三角形相似． |
判定2 | 两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似． |
判定3 | 三边对应成比例的两个三角形相似 |
直角三角形的特殊判定 | 若一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似． |
5相似三角形的性质
性质1 | 相似三角形的对应边成比例，对应角相等． |
性质2 | 相似三角形的对应高的比、对应中线的比、对应角平分线之比等于相似比． |
性质3 | 相似三角形的周长比等于相似比，相似三角形的面积比等于相似比的平方． |
6位似图形
定义 | 两个相似图形，如果对应点的连线交于同一点，对应边平行或在同一直线上，像这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心，这时的相似比又称为位似比． |
性质 | 位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比都等于相似比． |
画位似图形的步骤 | （1）确定位似中心；（2）连结原图形中关键点与位似中心的线段（或延长线）；（3）按相似比进行取点；（3）顺次连接各点，所得的图形就是所求的图形． |
5年真题
命题点1 相似三角形的性质
1．（3分）（2018•广东）在△ABC中，点D、E分别为边AB、AC的中点，则△ADE与△ABC的面积之比为（ C ）
A． B．
C． D．
3年模拟
1．（2020•顺德区模拟）如图，在△ABC中，DE∥BC，AD＝8，DB＝4，AE＝6，则EC的长为（ C ）
A．1 B．2 C．3 D．4
2．（2020•江城区一模）若两个相似多边形的面积之比为1：4，则它们的周长之比为（ B ）
A．1：4 B．1：2 C．2：1 D．1：16
8．（2019•罗湖区模拟）如图，在平面直角坐标系中，已知A（﹣2，4），B（﹣6，﹣2），以原点O为位似中心，位似比为把△ABC缩小，则点B的对应点B′的坐标是（ D ）
A．（﹣3，﹣1） B．（﹣1，2）
C．（﹣1，2）或（1，﹣2）
D．（﹣3，﹣1）或（3，1）
4．（2020•新都区模拟）如图，路灯OP距地面8米，身高1.6米的小明从距离灯的底部（点O）20米的点A处，沿OA所在的直线行走14米到点B处时，人影的长度（ D ）
A．变长了1.5米 B．变短了2.5米
C．变长了3.5米 D．变短了3.5米
5．（2020•高州市模拟）如图，在菱形ABCD中，AB＝6，∠DAB＝60°，AE分别交BC、BD于点E、F，CE＝2，连结CF，以下结论：
①△ABF≌△CBF；
②点E到AB的距离是；
③△ADF与△EBF的面积比为3：2；
④△ABF的面积为，其中一定成立的个数为（ B ）
A．1 B．2 C．3 D．4
B【解析】∵四边形ABCD是菱形，AB＝6，∴BC＝AB＝6，
∵∠DAB＝60°，∴AB＝AD＝DB＝6，∠ABD＝∠DBC＝60°，
在△ABF与△CBF中，，∴△ABF≌△CBF（SAS），故①成立；
如图，过点E作EG⊥AB延长线于点G；过点F作MH⊥AB交AB，CD于点H，M，
则由菱形的对边平行可得MH⊥CD，
∵CE＝2，BC＝6，∠ABC＝120°，
∴BE＝6﹣2＝4，∠EBG＝60°∵EG⊥AB，
∴EG＝4sin60°＝42，故②不成立；
∵AD∥BE，∴△ADF∽△EBF，
∴，故③不成立；
∵△ADF∽△EBF，∴，
∵DB＝6，∴BF，∴FH＝BF•sin∠FBHsin60°，
∴S△ABFAB•FH，故④成立．综上一定成立的有①和④．故选：B．
6．（2020•潮南区模拟）△ABC与△DEF相似，其面积比为1：4，则它们的相似比为 1：2 ．
7．（2020•梅州模拟）如图，距离不远的两条电线杆高度均为3.2m．在阳光照射下，第一条电线杆在平坦广场上的影长AB＝4.8m，第二条电线杆离墙的距离CD＝3m，且第二条电线杆的部分影子投射到墙上，则投射在墙上的影子DE长度为 1.2 m．
8．（2020•海珠区一模）如图，已知△ABC中，AB＝BC＝10，tan∠ABC．（1）求边AC的长；（2）设边BC的垂直平分线EF与边AB、BC的交点分别为E，F，求的值．
解：（1）作A作AE⊥BC，如图1，
在Rt△ABD中，tan∠ABC，AB＝10，
∴AD＝6，BD＝8，
∴CD＝BC﹣BD＝10﹣8＝2，
在Rt△ACD中，根据勾股定理得：AC；
（2）如图2，连接CE，
∵EF垂直平分BC，∴BE＝CE，BF＝CF＝5，
∵tan∠EBF，∴EF，
在Rt△BEF中，根据勾股定理得：BE，
∴AE＝10，则．
9．（2020•三明模拟）如图，在平面直角坐标系中，A、B两点的坐标分别为（20，0）和（0，15），动点P从点A出发在线段AO上以每秒2cm的速度向原点O运动，动直线EF从x轴开始以每秒lcm的速度向上平行移动（即EF∥x轴），分别与y轴、线段AB交于点E、F，连接EP、FP，设动点P与动直线EF同时出发，运动时间为t秒．
（1）求t＝9时，△PEF的面积；
（2）直线EF、点P在运动过程中，是否存在这样的t使得△PEF的面积等于40cm2？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由；
（3）当t为何值时，△EOP与△BOA相似．
解：（1）∵EF∥OA，∴∠BEF＝∠BOA
又∵∠B＝∠B，∴△BEF∽△BOA，
∴，当t＝9时，OE＝9，OA＝20，OB＝15，∴EF8，
∴S△PEFEF•OE8×9＝36（cm2）；
（2）∵△BEF∽△BOA，
∴EF（15﹣t），
∴（15﹣t）×t＝40，
整理，得t2﹣15t+60＝0，
∵△＝152﹣4×1×60＜0，
∴方程没有实数根．
∴不存在使得△PEF的面积等于40cm2的t值；
（3）当∠EPO＝∠BAO时，△EOP∽△BOA，
∴，即，
解得t＝6；
当∠EPO＝∠ABO时，△EOP∽△AOB，
∴，即，
解得t．∴当t＝6或t时，△EOP与△BOA相似．
