2021年 广东省 中考数学 一轮复习备考 第18讲 等腰三角形、等边三角形、直角三角形 学案
展开第18讲 等腰三角形、等边三角形、直角三角形
知识梳理
1.等腰三角形
（1）等腰三角形
定义 | 有两边 相等 的三角形叫做等腰三角形，相等的两边叫做腰，第三边为底． |
性质 | （1）它是轴对称图形，它有一条对称轴． （2）等腰三角形的两个底角 相等 (简称“等边对等角”)； （3）三线合一（等腰三角形顶角的角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合）． |
判定 | （1）有两边相等的三角形是等腰三角形；（2）等角对等边． |
特别提示：
（1）若题目中没明确边是底还是腰，角没有明确是顶角还底角，就需要进行分类讨论；
（2）在进行边的讨论是要注意任意两边之和大于第三边这个隐含条件．
（2）等边三角形
定义 | 三边相等的三角形是等边三角形 |
性质 | （1）具有等腰三角形的一切性质； （2）它是轴对称图形，它有三条对称轴． （3）等边三角形的三个角都相等，并且每个有都等于60°． |
判定 | （1）三边都相等的三角形是等边三角形； （2）三个角都相等的三角形是等边三角形； （3）有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形． |
2 直角三角形
定义 | 有一个角是直角的三角形叫做直角三角形 |
性质 | （1）直角三角形的两锐角互余； （2）在直角三角形中，30°的角所对的直角边等于斜边的一半； （3）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半； （4）勾股定理：两直角边、的平方和等于斜边的平方，即． （5）设为直角边，为斜边，为内切圆半径，为外接圆半径，那么，． |
判定 | （1）有一角是直角的三角形的直角三角形； （2）两锐角的和等于90°的三角形是直角三角形； （3）勾股定理的逆定理：如果一个三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形． |
特 别 提示
| （1）常见的勾股数：①3，4，5；②5，12，13，③6，8，10，④7，24，25；⑤8，15，17；⑥9，40，41； （2）勾股数的倍数也是勾股数； （3）勾股定理的逆定理是判断一个三角形是直角三角形或证明线段垂直的主要依据，这种方法在解决函数相关问题是应用较多． |
3 线段的垂直平分线与角的平分线
线段的垂直平分线 | 性质 | 线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等． |
判定 | 到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上． | |
角的平分线 | 性质 | 角平分线上的点到角两边的距离相等． |
判定 | 到角两边距离相等的点在这个角的平分线上． |
5年真题
命题点1 直角三角形
1．（7分）（2019•广东）在如图所示的网格中，每个小正方形的边长为1，每个小正方形的顶点叫格点，△ABC的三个顶点均在格点上，以点A为圆心的与BC相切于点D，分别交AB、AC于点E、F．
（1）求△ABC三边的长；
（2）求图中由线段EB、BC、CF及所围成的阴影部分的面积．
解：（1）AB2，AC2，BC4；
（2）由（1）得，AB2+AC2＝BC2，∴∠BAC＝90°，连接AD，AD2，
∴S阴＝S△ABC﹣S扇形AEFAB•ACπ•AD2＝20﹣5π．
2．（7分）（2016•广东）如图，Rt△ABC中，∠B＝30°，∠ACB＝90°，CD⊥AB交AB于D，以CD为较短的直角边向△CDB的同侧作Rt△DEC，满足∠E＝30°，∠DCE＝90°，再用同样的方法作Rt△FGC，∠FCG＝90°，继续用同样的方法作Rt△HIC，∠HCI＝90°．若AC＝a，求CI的长．
解：解法一：在Rt△ACB中，∠B＝30°，∠ACB＝90°，∴∠A＝90°﹣30°＝60°，
∵CD⊥AB，∴∠ADC＝90°，∴∠ACD＝30°，
在Rt△ACD中，AC＝a，∴ADa，由勾股定理得：CD，
同理得：FC，CH，在Rt△HCI中，∠I＝30°，
∴HI＝2HC，由勾股定理得：CI，
解法二：∠DCA＝∠B＝30°，在Rt△DCA中，cos30°，∴CD＝AC•cos30°a，
在Rt△CDF中，cos30°，CFa，同理得：CH＝cos30°CFa，
在Rt△HCI中，∠HIC＝30°，tan30°，CIa；答：CI的长为．
3年模拟
1．（2020•东莞市一模）等腰三角形的一边长为5，周长为20．则这个等腰三角形的底边长为（ A ）
A．5 B．10 C．5或10 D．5或7.5
2．（2020•光明区一模）如图，AB∥CE，∠A＝40°，CE＝DE，则∠C＝（ C ）
A．40° B．30° C．20° D．15°
3．（2020•龙华区二模）如图，直线a∥b∥c，等边三角形△ABC的顶点A、B、C分别在直线a、b、c上，边BC与直线c所夹的角∠1＝25°，则∠2的度数为（ C ）
A．25° B．30° C．35° D．45°
4．（2019•福田区校级模拟）下列性质中，直角三角形具有而等腰三角形不一定具有的是（ C ）
A．两边之和大于第三边
B．内角和等于180°
C．有两个锐角的和等于90°
D．有一个角的平分线垂直于这个角的对边
4．（2020•顺德区模拟）判断下列几组数能作为直角三角形的三边长的是（ D ）
A．8，10，7 B．2，3，4 C．12，15，20 D．，1，2
5．（2020•英德市一模）如图，在直角三角形ABC中，∠C＝90°，点E、F分别为AC和AB的中点，AF＝5，AE＝4，则BC＝（ B ）
A．3 B．6 C．8 D．10
6．（2020•南海区二模）如图，在△ABC中，AB＝AC＝3，BC＝4，AE平分∠BAC交BC于点E，点D为AB的中点，连接DE，则△BDE的周长是（ C ）
A．3 B．4 C．5 D．6
7．（2019•新会区一模）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠CAB的平分线交BC于点D，DE恰好是AB的垂直平分线，垂足为E．若BC＝6，则AB的长为（ B ）
A．3 B．4 C．8 D．10
8．（2019•罗湖区一模）由三角函数定义，对于任意锐角A，有sinA＝cos（90°﹣A）及sin2A+cos2A＝1成立．如图，在△ABC中，∠A，∠B是锐角，BC＝a，AC＝b，AB＝c．CD⊥AB于D，DE∥AC交BC于E，设CD＝h，BE＝a'，DE＝b'，BD＝c'，则下列条件中能判定△ABC是直角三角形的个数是（ D ）
①a2+b2＝c2；②aa'+bb'＝cc'；③sin2A+sin2B＝1；④．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
D【解析】∵a2+b2＝c2，
∴∠ACB＝90°，
∴△ABC是直角三角形，故①正确，
∵DE∥AC，
∴△DEB∽△ACB，
∴，
∴，不妨设k，
则a′＝ak，b′＝bk，c′＝ck，
∵aa'+bb'＝cc'，
∴a2k+b2k＝c2k，
∴a2+b2＝c2，
∴△ABC是直角三角形，故②正确，
∵sin2A+sin2B＝1，sin2A+cos2A＝1，
∴sin2B＝cos2A，
∴sinB＝cosA，
∵sinA＝cos（90°﹣A），
∴90°﹣∠B＝∠A，
∴∠A+∠B＝90°，
∴△ABC是直角三角形，故③正确，
∵，
∴1，
∴sin2B+sin2A＝1，
∴△ABC是直角三角形，故④正确．
故选：D．
9．（2019•天河区模拟）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，AB＝5，点P是AC上的动点，连接BP，以BP为边作等边△BPQ，连接CQ，则点P在运动过程中，线段CQ长度的最小值是 ．
【解析】如图，取AB的中点E，连接CE，PE．
∵∠ACB＝90°，∠A＝30°，
∴∠CBE＝60°，∵BE＝AE，
∴CE＝BE＝AE，
∴△BCE是等边三角形，∴BC＝BE，
∵∠PBQ＝∠CBE＝60°，
∴∠QBC＝∠PBE，∵QB＝PB，CB＝EB，
∴△QBC≌△PBE（SAS），∴QC＝PE，
∴当EP⊥AC时，QC的值最小，
在Rt△AEP中，∵AE，∠A＝30°，
∴PEAE，∴CQ的最小值为．
10．（2020•龙岗区模拟）如图，在△ABC中，AD⊥BC于D，BE⊥AC于E，M为AB边的中点，连结ME、MD、ED，设AB＝10，∠DBE＝30°，则△EDM的面积为 ．
【解析】∵在△ABC中，AD⊥BC，垂足为点D，BE⊥AC，垂足为点E，
∴△ABE，△ADB是直角三角形，
∴EM，DM分别是它们斜边上的中线，
∴EM＝DMAB＝5，
∵MEAB＝MA，
∴∠MAE＝∠MEA，
∴∠BME＝2∠MAE，
同理，MDAB＝MA，
∴∠MAD＝∠MDA，
∴∠BMD＝2∠MAD，
∴∠EMD＝∠BME﹣∠BMD＝2∠MAE﹣2∠MAD＝2∠DAC＝60°，
∴△EDM是边长为5的等边三角形，
∴S△EDM52．
故答案为：．
11．（2020•宝安区校级一模）如图，在等腰Rt△OAA1中，∠OAA1＝90°，OA＝1，以OA1为直角边作等腰Rt△OA1A2，以OA2为直角边作等腰Rt△OA2A3，…则OA8的长度为 16 ．
16【解析】∵△OAA1为等腰直角三角形，OA＝1，∴AA1＝OA＝1，OA1OA；
∵△OA1A2为等腰直角三角形，
∴A1A2＝OA1，OA2OA1＝2；
∵△OA2A3为等腰直角三角形，
∴A2A3＝OA2＝2，OA3OA2＝2；
∵△OA3A4为等腰直角三角形，
∴A3A4＝OA3＝2，OA4OA3＝4．
∵△OA4A5为等腰直角三角形，
∴A4A5＝OA4＝4，OA5OA4＝4．
∵△OA5A6为等腰直角三角形，
∴A5A6＝OA5＝4，OA6OA5＝8．
∴OA8的长度为16．故答案为：16．
12．（2019•潮州模拟）如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC＝4．一动点P从点B出发，沿BC方向以每秒1个单位长度的速度匀速运动，到达点C即停止，在整个运动过程中，过点P作PD⊥BC与Rt△ABC的直角边相交于点D，延长PD至点Q，使得PD＝QD，以PQ为斜边在PQ左侧作等腰直角三角形PQE．设运动时间为t秒（t＞0）
（1）在整个运动过程中，判断PE与AB的位置关系是
（2）如图2，当点D在线段AB上时，连接AQ、AP，是否存在这样的b，使得AP＝PQ？若存在，求出对应的t的值；若不存在，请说明理由；
（3）当t＝4时，点D经过点A：当t时，点E在边AB上．设△ABC与△PQE重叠部分的面积为S，请求出在整个运动过程中S与t之间的函数关系式，以及写出相应的自变量t的取值范围，并求出当4＜t时S的最大值．
解：（1）结论：PE与AB互相垂直．
理由：如图1中，设PE交AB于K．
∵△ABC，△PQE都是等腰直角三角形，
∴∠B＝∠EPQ＝45°，∵PQ⊥BC，
∴∠BPQ＝90°，∴∠EPB＝90°，
∴∠B+∠EPB＝90°，∴∠PKB＝90°，
∴PE⊥AB．
（2）如图2中，过点A作AH⊥BC于点H．
∵Rt△ABC中，AB＝AC＝4
∴BC8，
∴AH＝BH＝CH＝4，
依题意得BP＝t．PH＝BH﹣BP＝4﹣t，
∴PA，
∵PD⊥BC，∠B＝45°，
∴PD＝BP＝t，PQ＝2PD＝2t，∵PQ＝AP，
∴2t，
解得：t或（舍弃），
∴t的值为．
（3）如图3﹣1中，△ABC与△PQE的重叠部分为△PFD．
由题意可得△PFD、△BPD为等腰直角三角形，∴BP＝PD＝t，
∴PF＝DF＝PD•cos45°t，
∴S•PF•DF（0＜t≤4）．
如图3﹣2中，△ABC与△PQE的重叠部分为四边形PDAF．
由题意可得△PFB、△PDC为等腰直角三角形，
∵BP＝t，PC＝BC﹣PB＝8﹣t，
∴BF＝PFt，DP＝PC＝8﹣t，
∴S＝S△ABC﹣S△PFB﹣S△PDC
44•（8﹣t）•（8﹣t）t2+8t﹣16（4＜t）
（t）2，
∵0，∴当t时，S有最大值．
如图3﹣3中，△ABC与△PQE的重叠部分为四边形FEPD．
∵CP＝PD＝8﹣t，∴QD＝PD＝8﹣t，PQ＝16﹣2t，由题意可得△QDF为等腰直角三角形,
∴QF（8﹣t），QE（16﹣2t），
∴S＝S△PQE﹣S△QDF
（16﹣2t）•（16﹣2t）（8﹣t）（8﹣t）
t2﹣12t+48（t≤8）．
