2021年 广东省 中考数学 一轮复习备考 第20讲 解直角三角形 学案
展开第20讲 解直角三角形
知识梳理
1.解直角三角形
(1)解直角三角形的概念
在直角三角形中,除直角外,一共有5个元素,即3条边和2个锐角,由直角三角形中除直角外的已知元素求出所有未知元素的过程,叫做解直角三角形.
(2)直角三角形的边角关系
如图，直角三角形的边角关系可以从以下几个方面加以归纳：
（1）三边之间的关系： (勾股定理)；
（2）锐角之间的关系：；
（3）边角之间的关系：.
2.与解直角三角形有关的名词、术语
仰角与俯角 | 它们都是同一铅垂面内视线与水平线间的夹角；视线与水平面上方的角叫做仰角；在水平面下方的角叫做俯角．（如图1） |
坡角与坡度 | 坡面的铅垂高度（）和水平长度（）的比叫做坡面的坡度（或坡比）记作，坡度通常写成．坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作，有．（如图2） |
方向角 | 一般以观测者的位置为中心，将正北或正南的方向和为起始方向，旋转到目标的方向所成的角（一般指锐角），通常表达成北（南）偏东（西）多少度． |
（图1） （图2） | |
5年真题
命题点1 仰角与俯角问题
1．（4分）（2019•广东）如图，某校教学楼AC与实验楼BD的水平间距CD＝15米，在实验楼顶部B点测得教学楼顶部A点的仰角是30°，底部C点的俯角是45°，则教学楼AC的高度是 （15+15） 米（结果保留根号）．
（15）【解析】过点B作BE⊥AB于点E，
在Rt△BEC中，∠CBE＝45°，BE＝15；可得CE＝BE×tan45°＝15米．
在Rt△ABE中，∠ABE＝30°，BE＝15，可得AE＝BE×tan30°＝15米．
故教学楼AC的高度是AC＝15米．答：教学楼AC的高度是（15）米．
三年模拟
1．（2020•中山市一模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝4，cosB，点M是AB的中点，则CM的长为（ C ）
A．2 B．3 C．4 D．6
2．（2020•福田区一模）如图，一棵珍贵的树倾斜程度越来越厉害了．出于对它的保护，需要测量它的高度，现采取以下措施：在地面上选取一点C，测得∠BCA＝37°，AC＝28米，∠BAC＝45°，则这棵树的高AB约为（ C ）（参考数据：sin37°，tan37°，1.4）
A．14米 B．15米 C．17米 D．18米
C【解析】如图，作BH⊥AC于H．
∵∠BCH＝37°，∠BHC＝90°，
设BH＝xm，∴CH，
∵∠A＝45°，∴AH＝BH＝x，
∴xx＝28，∴x＝12，
∴ABAH12≈17（m）故选：C．
3．（2020•高州市模拟）如图是某商场一楼与二楼之间的手扶电梯示意图，其中AB、CD分别表示一楼、二楼地面的水平线，∠ABC＝150°，如果顾客乘地铁从点B到点C上升的高度为5m，则电梯BC的长是（ C ）
A．5cm B．5cm C．10m D．m
C【解析】如图所示：过点C作CE⊥AB延长线于点E，∵∠ABC＝150°，∴∠CBE＝30°，
∵从点B到点C上升的高度为5m，
∴电梯BC的长是10m．故选：C．
4．（2020•深圳模拟）如图，已知灯塔M方圆一定范围内有镭射辅助信号，一艘轮船在海上从南向北方向以一定的速度匀速航行，轮船在A处测得灯塔M在北偏东30°方向，行驶1小时后到达B处，此时刚好进入灯塔M的镭射信号区，测得灯塔M在北偏东45°方向，则轮船通过灯塔M的镭射信号区的时间为（ ）
A．（1）小时 B．（1）小时 C．2小时 D．小时
B【解析】连接MC，过M点作MD⊥AC于D．
在Rt△ADM中，∵∠MAD＝30°，∴ADMD，在Rt△BDM中，∵∠MBD＝45°，∴BD＝MD，∴BC＝2MD，∴BC：AB＝2MD：（1）MD＝2：1．故轮船通过灯塔M的镭射信号区的时间为（1）小时．故选：B．
5．（2020•佛山模拟）如图，某景区门口的柱子上方挂着一块景点宣传牌CD，宣传牌的一侧用绳子AD和BC牵引着两排小风车，经过测量得到如下数据：AM＝2米，AB＝4米，∠MAD＝45°，∠MBC＝30°，则CD的长度约为 1.5 米．（1.73，结果精确到0.1米）
1.5【解析】在Rt△AMD中，∠MAD＝45°，
∴DM＝AM⋅tan45°＝2（m），在Rt△BMC中，∠MBC＝30°，∴CM＝BM⋅tan30°，∵BM＝AM+AB＝2+4＝6（m），∴CM＝63.46（m），∴CD＝CM﹣DM＝3.46﹣2≈1.5（米），答：警示牌的高CD为1.5米．
6．（2020•广东二模）如图所示，某施工队要测量隧道长度BC，AD＝600米，AD⊥BC，施工队站在点D处看向B，测得∠ADB＝45°，再由D走到E处测量，DE∥AC，ED＝500米，作EM⊥AC与M，测得∠MEC＝53°，求隧道BC长．（sin53°，cos53°，tan53°）
700【解析】∵在Rt△ABD中，∠BAD＝90°，∠ADB＝45°，∴AB＝AD＝600，∵AD⊥BC，EM⊥AC，∴AD∥ME，又∵DE∥AC，∴四边形ADEM是平行四边形，∴AD＝ME＝600，AM＝DE＝500，∴BM＝AB﹣AM＝600﹣500＝100，在Rt△CEM中，tan53°，∴CM＝800，∴BC＝CM﹣BM＝800﹣100＝700（米）．答：隧道BC长为700米．
7．（2020•龙华区二模）在“停课不停学”期间，小明用电脑在线上课，图1是他的电脑液晶显示器的侧面图，显示屏AB可以绕O点旋转一定角度．研究表明：当眼睛E与显示屏顶端A在同一水平线上，且望向显示器屏幕形成一个18°俯角（即望向屏幕中心P的的视线EP与水平线EA的夹角∠AEP）时，对保护眼睛比较好，而且显示屏顶端A与底座C的连线AC与水平线CD垂直时（如图2）时，观看屏幕最舒适，此时测得∠BCD＝30°，∠APE＝90°，液晶显示屏的宽AB为32cm．
（1）求眼睛E与显示屏顶端A的水平距离AE；（结果精确到1cm）
（2）求显示屏顶端A与底座C的距离AC．（结果精确到1cm）
（参考数据：sin18°≈0.3，cos18°≈0.9，1.4，1.7）
解：（1）由已知得AP＝BPAB＝16cm，
在Rt△APE中，∵sin∠AEP，
∴AE53，
答：眼睛E与显示屏顶端A的水平距离AE约为53km；
（2）如图，过点B作BF⊥AC于点F，
∵∠EAB+∠BAF＝90°，∠EAB+∠AEP＝90°，∴∠BAF＝∠AEP＝18°，
在Rt△ABF中，
AF＝AB•cos∠BAF＝32×cos18°≈32×0.9≈28.8，
BF＝AB•sin∠BAF＝32×sin18°≈32×0.3≈9.6，
∵BF∥CD，
∴∠CBF＝∠BCD＝30°，
∴CF＝BF•tan∠CBF＝9.6×tan30°＝9.65.44，
∴AC＝AF+CF＝28.8+5.44≈34（cm）．
答：显示屏顶端A与底座C的距离AC约为34cm．
