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    数学选择性必修 第一册1.2.4 二面角精品课后测评

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    这是一份数学选择性必修 第一册1.2.4 二面角精品课后测评,共12页。试卷主要包含了故选C,设平面A1ED的法向量为=,等内容,欢迎下载使用。

    一、选择题


    1.二面角的棱上有A,B两点,直线AC,BD分别在这个二面角的两个半平面内,且都垂直于AB.已知AB=4,AC=6,BD=8,CD=217,则该二面角的大小为( )


    A.150°B.45°C.60°D.120°


    【答案】C


    【解析】由条件知,CA·AB=0,AB·BD=0, CD=CA+AB+BD.


    ∴|CD|2=|CA|2+|AB|2+|BD|2+2CA·AB+2AB·BD+2CA·BD=62+42+82+2×6×8cs


    =(217)2,∴cs=-12,即=120°,∴二面角的大小为60°,故选C.


    2.(2020江西南昌二中高二月考(理))从点P引三条射线PA、PB、PC,每两条的夹角都是,则二面角B-PA-C的余弦值是( )


    A.B.C.D.


    【答案】C


    【解析】





    如图,在射线上分别取点,使,则在三棱锥中,所有的棱长都等于1.取的中点M,连MB,MC,则有,


    ,故即为二面角B-PA-C的平面角.在中,,由余弦定理得,即二面角B-PA-C的余弦值为.选C.


    3.(2020福建莆田一中高二期中)如图,将菱形ABCD沿对角线BD折起,使得C点至C',E点在线段AC'上,若二面角A-BD-E与二面角E-BD-C'的大小分别为30°和45°,则AEEC'=( )





    A.12B.66C.22D.63


    【答案】C


    【解析】取BD的中点O,连接AO,EO,C 'O,


    ∵菱形ABCD沿对角线BD折起,使得C点至C',E点在线段AC'上,


    ∴C'O⊥BD,AO⊥BD,OC'=OA,∴BD⊥平面AOC',


    ∴EO⊥BD,∵二面角A-BD-E与二面角E-BD-C'的大小分别为30°和45°,


    ∴∠AOE=30°,∠EOC'=45°,


    ∵OC'=OA,∴∠OC'E=∠OAE,


    由正弦定理得OEsin∠OC'E=EC'sin∠EOC', OEsin∠OAE=AEsin∠AOE,


    ∴EC'sin∠EOC'=AEsin∠AOE,





    ∴AEEC'=sin30°sin45°=1222=22.故选C.


    4.(2020·浙江省高二期末)在底面为锐角三角形的直三棱柱中,是棱的中点,记直线与直线所成角为,直线与平面所成角为,二面角的平面角为,则( )


    A.B.C.D.


    【答案】A


    【解析】由题可知,直三棱柱的底面为锐角三角形,是棱的中点,


    设三棱柱是棱长为的正三棱柱,以为原点,在平面中,过作的垂线为轴,为轴,为轴,建立空间直角坐标系,





    则,,,,,,,,直线与直线所成的角为,,


    ,直线与平面所成的角为,,


    平面的法向量,,,


    设平面的法向量,则,取,得,二面角的平面角为,由图可知,为锐角,即,


    ,,由于在区间上单调递减,,则.故选:A.


    5.(多选题)(2020·江西景德镇高二期末)我国古代数学名著《九章算术》中记载的“刍甍”(chumeng)是底面为矩形,顶部只有一条棱的五面体.如下图五面体是一个刍甍,其中四边形为矩形,其中,,与都是等边三角形,且二面角与相等,则长度可能为( )





    A.1B.5C.9D.13


    【答案】BC


    【解析】由于与都是等边三角形,且边长为,故高为.当和趋向于时,,如下图所示.





    当和趋向于时,,如下图所示.





    所以的取值范围是.故选:BC


    6.(多选题)(2020福建三明一中高二期末)正方体中,E、F、G、H分别为、BC、CD、BB、的中点,则下列结论正确的是( )





    A.B.平面平面


    C.面AEFD.二面角的大小为


    【答案】BC


    【解析】解:由题可知,在底面上的射影为,而不垂直,则不垂直于,则选项不正确;连接和,E、F、G、H分别为、BC、CD、BB、的中点,


    可知,所以平面,则平面平面,所以选项正确;由题知,可设正方体的棱长为2,以为原点,为轴,为轴,为轴,


    则各点坐标如下:


    ,设平面的法向量为,则,即,令,得,得平面的法向量为,所以,所以平面,则选项正确;由图可知,平面,所以是平面的法向量,则.得知二面角的大小不是,所以不正确.故选:BC.





    二、填空题


    7.(2020·浙江省绍兴市阳明中学高二期中)如图,在底面边长均为2,高为1的长方体中,E、F分别为、的中点,则异面直线、所成角的大小为_______;平面与平面所成锐二面角的余弦值为__________.





    【答案】;


    【解析】以D为原点建立如图所示空间之间坐标系:





    则,所以,


    设异面直线、所成角的大小为,所以,


    因为,所以.又,设平面的一个法向量为:,


    则,即,令,则,


    平面一个法向量为:,设平面与平面所成锐二面角为,


    所以.故答案为:①;②


    8.(2020全国高二课时练习)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,点E为BB1的中点,则平面A1ED与平面ABCD所成的二面角的余弦值为_____.


    【答案】


    【解析】





    建立空间直角坐标系如图,设正方体的棱长为2,则D(2,0,0),A1(0,0,2),E(0,2,1),则=(2,0,-2),=(0,2,-1).设平面A1ED的法向量为=(x,y,z),


    则则令y=1,得=(2,1,2).


    易知平面ABCD的法向量为=(0,0,1),则cs<>=.


    9.在空间中,已知平面α过点(3,0,0)和(0,4,0)及z轴上一点(0,0,a)(a>0),如果平面α与平面xOy的夹角为45°,则a= .


    【答案】125.


    【解析】平面xOy的一个法向量为n=(0,0,1),设平面α的一个法向量为m=(x,y,z),则-3x+4y=0,-3x+az=0,


    即3x=4y=az,取z=1,则x=a3,y=a4,∴m=a3,a4,1.由题意得|cs|=1a29+a216+1=22.


    又因为a>0,所以a=125.


    10..(2020山东泰安实验中学高二月考)如图,在四面体中,,.若为线段上的动点(不包含端点),则二面角的余弦值取值范围是__________.





    【答案】


    【解析】以AB的中点为原点,建立如图所示的空间直角坐标系,则,


    平面的一个法向量为,


    设平面的一个法向量为,


    则,则,


    令,所以平面的一个法向量为,


    所以,


    因为,所以,所以,


    所以,即二面角的余弦值的取值范围是.





    三、解答题


    11.(2020·江苏省西亭高级中学高二)如图,在以为顶点的五面体中,四边形为正方形,,,.





    (1)求异面直线BC,DF所成角的大小;


    (2)求二面角的余弦值.


    【解析】因为四边形为正方形,所以平面


    又所以,在平面内作,垂足为点O,


    以O为坐标原点,OF所在的直线为x轴,OD所在的直线为z轴建立空间直角坐


    标系(如图所示).设OF=a,因为所以


    (1)点D的坐标为,点F的坐标为,点B的坐标为


    点C的坐标为.则,


    设向量的夹角为,则,所以异面直线BC,DF所成角为


    (3)点E的坐标为,


    设平面DBE的法向量为,由得,取得平面DBE的一个法向量为,设平面CBE的法向量为,由得,取得平面DBE的一个法向量为,


    设两个法向量的夹角为,则


    由于二面角为锐二面角,所以二面角的余弦值为


    12.如图,在四棱锥P-ABCD中,PC⊥底面ABCD,四边形ABCD是直角梯形,AB⊥AD,AB∥CD,AB=2AD=2CD=2,E是PB的中点.





    若二面角P-AC-E的余弦值为33,求直线PA与平面EAC所成角的正弦值.


    【解析】如图,作CF∥DA,交AB于点F,以C为原点,CF,CD,CP分别为x轴、y轴、z轴正方向,建立空间直角坐标系,





    则C(0,0,0),A(1,1,0),B(1,-1,0).


    设P(0,0,a)(a>0),则E12,-12,a2,


    CA=(1,1,0),CP=(0,0,a),CE=12,-12,a2,


    取m=(1,-1,0),则m·CA=m·CP=0,所以m为平面PAC的一个法向量.


    设n=(x,y,z)为平面EAC的一个法向量,则n·CA=0,n·CE=0,即x+y=0,x-y+az=0,取x=a,


    可得n=(a,-a,-2),


    依题意,|cs|=|m·n||m||n|=2a2·2a2+4=33,


    则a=1(负值舍去).


    于是n=(1,-1,-2),PA=(1,1,-1).


    设直线PA与平面EAC所成的角为θ,


    则sin θ=|cs|=23,


    即直线PA与平面EAC所成角的正弦值为23.


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