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2020-2021学年湖北省十堰市郧西县九年级（上）期中数学试卷 解析版
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2020-2021学年湖北省十堰市郧西县九年级（上）期中数学试卷
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．若关于x的一元二次方程x2﹣x+m＝0的一个根是x＝1，则m的值是（ ）
A．1 B．0 C．﹣1 D．2
2．下列图形中既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
3．用配方法解方程x2+6x﹣4＝0时，配方结果正确的是（ ）
A．（x+3）2＝5 B．（x+6）2＝5 C．（x+3）2＝13 D．（x+6）2＝13
4．把抛物线y＝（x﹣1）2+2绕原点旋转180°后得到的图象的解析式为（ ）
A．y＝﹣（x+1）2﹣2 B．y＝﹣（x﹣1）2﹣2
C．y＝﹣（x﹣1）2+2 D．y＝﹣（x+1）2+2
5．对于任意实数x，多项式x2﹣5x+8的值是一个（ ）
A．非负数 B．正数 C．负数 D．无法确定
6．若A（﹣2，y1），B（1，y2），C（2，y3）是抛物线y＝﹣2（x+1）2+3上的三个点，则y1，y2，y3的大小关系是（ ）
A．y1＞y2＞y3 B．y1＞y3＞y2 C．y3＞y2＞y1 D．y3＞y1＞y2
7．如图，在⊙O中，AE是直径，半径OC垂直于弦AB于D，连接BE，若AB＝2，CD＝1，则BE的长是（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
8．函数y＝kx2﹣4x+2的图象与x轴有公共点，则k的取值范围是（ ）
A．k＜2 B．k＜2 且 k≠0 C．k≤2 D．k≤2 且 k≠0
9．如图，直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AD＝2，BC＝3，∠BCD＝45°，将腰CD以点D为中心逆时针旋转90°至ED，连结AE，CE，则△ADE的面积是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
10．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象如图，下列结论：①2a+b＝0；②若ax12+bx1＝ax22+bx2，且x1≠x2，则x1+x2＝1；③a﹣b+c＞0；④当m≠1时，a+b＞am2+bm．其中正确的有（ ）
A．①② B．②③ C．②④ D．①④
二、填空题（每小题3分，共18分）
11．若2x2+3x＝1，则2+4x2+6x＝ ．
12．某工厂七月份出口创汇200万美元，因受国际大环境的严重影响，出口创汇出现连续下滑，至九月份时出口创汇下降到只有98万美元，设该厂平均每月下降的百分率是x，则所列方程是 ．（可不必化成一般形式！）
13．在平面直角坐标系中，点A（2，3）绕原点O逆时针旋转90°的对应点的坐标为 ．
14．如图，在半径为的⊙O中，AB，CD是互相垂直的两条弦，垂足为P，且AB＝CD＝4，则OP的长为 ．
15．在实数范围内定义运算“☆”，其规则为：a☆b＝a2﹣b2，则方程（4☆3）☆x＝13的解为x＝ ．
16．如图，边长为6的等边三角形ABC中，AD⊥BC，E是AD上的一个动点，连接CE，将线段CE绕点C顺时针旋转60°得到CF，连接EF，则△CEF面积的最大值与最小值之比为 ．
三、解答题（9道题，共72分）
17．（5分）解方程：x（x+2）＝3x+6．
18．（6分）如图，将△ABC绕点B旋转得到△DBE，且A，D，C三点在同一条直线上．求证：DB平分∠ADE．
19．（7分）如图是一个隧道的横截面，它的形状是以点O为圆心的圆的一部分．如果M是⊙O中弦CD的中点，EM经过圆心O交⊙O于点E，并且CD＝4，EM＝6，求⊙O的半径．
20．（7分）用长为6米的铝合金条制成如图所示的框，若窗框的高为x米，窗户的透光面积为y平方米（铝合金条的宽度不计）．
（1）y与x之间的函数关系式为 （不要求写自变量的取值范围）；
（2）如何安排窗框的高和宽，才能使窗户的透光面积最大？并求出最大面积．
21．（7分）已知关于x的一元二次方程x2﹣2（a+3）x+a2+2＝0有实数根．
（1）求a的取值范围；
（2）设方程两根分别为x1，x2，且满足x12+x22＝x1x2+55，求a的值．
22．（8分）如图，台风中心位于点A，并沿东北方向AC移动，已知台风移动的速度为50千米/时，受影响区域的半径为130千米，B市位于点A的北偏东75°方向上，距离A点240千米处．
（1）说明本次台风会影响B市；
（2）求这次台风影响B市的时间．
23．（10分）某经销商销售一种产品，这种产品的成本价为10元/千克，已知销售价不低于成本价，且物价部门规定这种产品的销售价不高于18元/千克，市场调查发现，该产品每天的销售量y（千克）与销售价x（元/千克）之间的函数关系如图所示：
（1）求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（2）求每天的销售利润W（元）与销售价x（元/千克）之间的函数关系式；若你是商场负责人，会将销售价定为多少，来保证每天的销售利润最大？最大利润是多少？
24．（10分）如图①，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点D、E分别在AC、BC边上，DC＝EC，连接DE、AE、BD，点M、N、P分别是AE、BD、AB的中点，连接PM、PN、MN．
（1）BE与MN的数量关系是 ．
（2）将△DEC绕点C逆时针旋转到图②的位置，判断BE与MN有怎样的数量关系？写出你的猜想，并证明．
25．（12分）如图，抛物线y＝ax2+bx+6经过点A（﹣2，0），B（4，0），与y轴交于点C，点D是抛物线上的一个动点，设D的横坐标m（1＜m＜4），连接AC、BD、DC．
（1）求该抛物线的函数解析式；
（2）当CD∥AB时，求D点坐标；
（3）连接BC，求△BCD面积的最大值及此时点D的坐标．
2020-2021学年湖北省十堰市郧西县九年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．若关于x的一元二次方程x2﹣x+m＝0的一个根是x＝1，则m的值是（ ）
A．1 B．0 C．﹣1 D．2
【分析】根据一元二次方程的解的定义，把x＝1代入一元二次方程可得到关于m的一元一次方程，然后解一元一次方程即可．
【解答】解：把x＝1代入x2﹣x﹣m＝0得1﹣1﹣m＝0，
解得m＝0．
故选：B．
2．下列图形中既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
【解答】解：A、不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项错误；
B、是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项错误；
C、不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项错误；
D、是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项正确；
故选：D．
3．用配方法解方程x2+6x﹣4＝0时，配方结果正确的是（ ）
A．（x+3）2＝5 B．（x+6）2＝5 C．（x+3）2＝13 D．（x+6）2＝13
【分析】利用配方法把原式变形．
【解答】解：x2+6x﹣4＝0
x2+6x＝4
x2+6x+9＝13
（x+3）2＝13
故选：C．
4．把抛物线y＝（x﹣1）2+2绕原点旋转180°后得到的图象的解析式为（ ）
A．y＝﹣（x+1）2﹣2 B．y＝﹣（x﹣1）2﹣2
C．y＝﹣（x﹣1）2+2 D．y＝﹣（x+1）2+2
【分析】求出原抛物线的顶点坐标以及绕原点旋转180°后的抛物线的顶点坐标，再根据旋转后抛物线开口方向向下，利用顶点式解析式写出即可．
【解答】解：∵抛物线y＝（x﹣1）2+2的顶点坐标为（1，2），
∴绕原点旋转180°后的抛物线的顶点坐标为（﹣1，﹣2），
∴所得到的图象的解析式为y＝﹣（x+1）2﹣2．
故选：A．
5．对于任意实数x，多项式x2﹣5x+8的值是一个（ ）
A．非负数 B．正数 C．负数 D．无法确定
【分析】根据完全平方公式，将x2﹣5x+8转化为完全平方的形式，再进一步判断．
【解答】解：x2﹣5x+8＝x2﹣5x++＝（x﹣）2+，
任意实数的平方都是非负数，其最小值是0，
所以（x﹣）2+的最小值是，
故多项式x2﹣5x+8的值是一个正数，
故选：B．
6．若A（﹣2，y1），B（1，y2），C（2，y3）是抛物线y＝﹣2（x+1）2+3上的三个点，则y1，y2，y3的大小关系是（ ）
A．y1＞y2＞y3 B．y1＞y3＞y2 C．y3＞y2＞y1 D．y3＞y1＞y2
【分析】先求出抛物线的对称轴和开口方向，根据二次函数的性质比较即可．
【解答】解：抛物线y＝﹣2（x+1）2+3的开口向下，对称轴是直线x＝﹣1，当x＞﹣1时，y随x的增大而减小，
∵A（﹣2，y1），B（1，y2），C（2，y3）是抛物线y＝﹣2（x+1）2+3上的三个点，
∴点A关于对称轴x＝﹣1的对称点是（0，y1），
∴y1＞y2＞y3，
故选：A．
7．如图，在⊙O中，AE是直径，半径OC垂直于弦AB于D，连接BE，若AB＝2，CD＝1，则BE的长是（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【分析】根据垂径定理求出AD，根据勾股定理列式求出OD，根据三角形中位线定理计算即可．
【解答】解：∵半径OC垂直于弦AB，
∴AD＝DB＝AB＝，
在Rt△AOD中，OA2＝（OC﹣CD）2+AD2，即OA2＝（OA﹣1）2+（）2，
解得，OA＝4
∴OD＝OC﹣CD＝3，
∵AO＝OE，AD＝DB，
∴BE＝2OD＝6，
故选：B．
8．函数y＝kx2﹣4x+2的图象与x轴有公共点，则k的取值范围是（ ）
A．k＜2 B．k＜2 且 k≠0 C．k≤2 D．k≤2 且 k≠0
【分析】先根据二次函数的定义得到k≠0，再根据抛物线与x轴的交点问题得到△＝（﹣4）2﹣4k×2≥0，然后解不等式即可得到k的值．
【解答】解：∵函数y＝kx2﹣4x+2，
∴当k＝0时，函数y＝kx2﹣4x+2是一次函数，与x轴有一个交点为（，0），
当k≠0时，函数y＝kx2﹣4x+2是二次函数，
∵二次函数y＝kx2﹣4x+2的图象与x轴有公共点，
∴△＝（﹣4）2﹣4k×2≥0，解得k≤2，
综上所述，k的取值范围是 k≤2．
故选：C．
9．如图，直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AD＝2，BC＝3，∠BCD＝45°，将腰CD以点D为中心逆时针旋转90°至ED，连结AE，CE，则△ADE的面积是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】作DH⊥BC于H，EF⊥AD于F，如图，则四边形ABHD为矩形，则BH＝AD＝2，CH＝BC﹣BH＝1，再利用旋转的性质得DE＝DC，∠EDC＝90°，接着证明△EDF≌△CDH得到EF＝CH＝1，然后根据三角形面积公式计算即可．
【解答】解：作DH⊥BC于H，EF⊥AD于F，如图，则四边形ABHD为矩形，
∴BH＝AD＝2，
∴CH＝BC﹣BH＝3﹣2＝1，
∵腰CD以点D为中心逆时针旋转90°至ED，
∴DE＝DC，∠EDC＝90°，
∵∠EDF+∠CDF＝90°，∠CDF+∠CDH＝90°，
∴∠EDF＝∠HDC，
在△EDF和△CDH中
，
∴△EDF≌△CDH，
∴EF＝CH＝1，
∴△ADE的面积＝×2×1＝1．
故选：A．
10．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象如图，下列结论：①2a+b＝0；②若ax12+bx1＝ax22+bx2，且x1≠x2，则x1+x2＝1；③a﹣b+c＞0；④当m≠1时，a+b＞am2+bm．其中正确的有（ ）
A．①② B．②③ C．②④ D．①④
【分析】根据抛物线开口方向得a＜0，由抛物线对称轴为直线x＝﹣＝1，得到b＝﹣2a＞0，即2a+b＝0；把ax12+bx1＝ax22+bx2先移项，再分解因式得到（x1﹣x2）[a（x1+x2）+b]＝0，而x1≠x2，则a（x1+x2）+b＝0，即x1+x2＝﹣，然后把b＝﹣2a代入计算得到x1+x2＝2；根据抛物线的对称性得到抛物线与x轴的另一个交点在（﹣1，0）的右侧，则当x＝﹣1时，y＜0，所以a﹣b+c＜0；由抛物线与根据二次函数的性质得当x＝1时，函数有最大值a+b+c，则当m≠1时，a+b+c＞am2+bm+c，即a+b＞am2+bm．
【解答】解：∵抛物线开口向下，
∴a＜0，
∵抛物线对称轴为直线x＝﹣＝1，
∴b＝﹣2a＞0，即2a+b＝0，所以①正确；
∵ax12+bx1＝ax22+bx2，
∴ax12+bx1﹣ax22﹣bx2＝0，
∴a（x1+x2）（x1﹣x2）+b（x1﹣x2）＝0，
∴（x1﹣x2）[a（x1+x2）+b]＝0，
而x1≠x2，
∴a（x1+x2）+b＝0，即x1+x2＝﹣，
∵b＝﹣2a，
∴x1+x2＝2，所以②错误．
∵抛物线与x轴的一个交点在（3，0）的左侧，而对称轴为直线x＝1，
∴抛物线与x轴的另一个交点在（﹣1，0）的右侧，
∴当x＝﹣1时，y＜0，
∴a﹣b+c＜0，所以③错误；
∵抛物线对称轴为直线x＝1，
∴函数的最大值为a+b+c，
∴当m≠1时，a+b+c＞am2+bm+c，即a+b＞am2+bm，所以④正确；
故选：D．
二、填空题（每小题3分，共18分）
11．若2x2+3x＝1，则2+4x2+6x＝ 4 ．
【分析】将2+4x2+6x变形为2（2x2+3x）+2，再整体代入计算即可．
【解答】解：∵2x2+3x＝1，
∴2+4x2+6x＝2（2x2+3x）+2＝2+2＝4，
故答案为：4．
12．某工厂七月份出口创汇200万美元，因受国际大环境的严重影响，出口创汇出现连续下滑，至九月份时出口创汇下降到只有98万美元，设该厂平均每月下降的百分率是x，则所列方程是 200（1﹣x）2＝98 ．（可不必化成一般形式！）
【分析】设该厂平均每月下降的百分率是x，根据该厂七月份及九月份出口创汇的金额，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
【解答】解：设该厂平均每月下降的百分率是x，
根据题意得：200（1﹣x）2＝98．
故答案为：200（1﹣x）2＝98．
13．在平面直角坐标系中，点A（2，3）绕原点O逆时针旋转90°的对应点的坐标为 （﹣3，2） ．
【分析】利用旋转的性质画出旋转前后的图形，然后写出A′点的坐标，则可判断点A′在平面直角坐标系中的位置．
【解答】解：如图，线段OA绕原点O逆时针旋转90°得到OA′，则点A′的坐标为（﹣3，2），点A′在第二象限．
故答案为（﹣3，2）．
14．如图，在半径为的⊙O中，AB，CD是互相垂直的两条弦，垂足为P，且AB＝CD＝4，则OP的长为 ．
【分析】作OE⊥AB于E，OF⊥CD于F，连结OD、OB，根据垂径定理得到AE＝BE＝AB＝2，DF＝CF＝CD＝2，根据勾股定理计算出OE＝1，同理可得OF＝1，证明四边形OEPF为正方形，于是得到OP＝OE＝．
【解答】解：作OE⊥AB于E，OF⊥CD于F，连结OD、OB，
则AE＝BE＝AB＝2，DF＝CF＝CD＝2，
在Rt△OBE中，OB＝，BE＝2，
∴OE＝＝1，
同理可得OF＝1，
∵AB⊥CD，OE⊥AB，OF⊥CD，
∴四边形OEPF为矩形，
∵OE＝OF＝1，
∴四边形OEPF为正方形，
∴OP＝OE＝，
故答案为：．
15．在实数范围内定义运算“☆”，其规则为：a☆b＝a2﹣b2，则方程（4☆3）☆x＝13的解为x＝ ±6 ．
【分析】按照题中给出的规则运算．其规则为：a☆b＝a2﹣b2．
【解答】解：其规则为：a☆b＝a2﹣b2，
则方程（4☆3）☆x＝13解的步骤为：
（42﹣32）☆x＝13，
7☆x＝13，
49﹣x2＝13，
x2＝36，
∴x＝±6．
16．如图，边长为6的等边三角形ABC中，AD⊥BC，E是AD上的一个动点，连接CE，将线段CE绕点C顺时针旋转60°得到CF，连接EF，则△CEF面积的最大值与最小值之比为 4：1 ．
【分析】根据等边三角形的面积＝×边长2，可知点E与A重合时，△CEF面积最大；点E与D重合时，△CEF面积最小．根据含30°角的直角三角形的性质，得出AC＝2CD，根据相似三角形面积比等于相似比的平方即可求解．
【解答】解：∵等边三角形ABC中，AD⊥BC，
∴∠CAD＝30°，
∴AC＝2CD．
∵E是AD上的一个动点，连接CE，将线段CE绕点C顺时针旋转60°得到CF，连接EF，
∴点E与A重合时，△CEF面积最大；点E与D重合时，△CEF面积最小．
∵CE＝CF，∠ECF＝60°，
∴△CEF是等边三角形，
而所有的等边三角形都相似，
∴△CEF面积的最大值与最小值之比＝（AC：CD）2＝4：1．
故答案为4：1．
三、解答题（9道题，共72分）
17．（5分）解方程：x（x+2）＝3x+6．
【分析】先变形得到x（x+2）﹣3（x+2）＝0，然后利用因式分解法解方程．
【解答】解：x（x+2）﹣3（x+2）＝0，
（x+2）（x﹣3）＝0，
x+2＝0或x﹣3＝0，
所以x1＝﹣2，x2＝3．
18．（6分）如图，将△ABC绕点B旋转得到△DBE，且A，D，C三点在同一条直线上．求证：DB平分∠ADE．
【分析】根据旋转的性质得到△ABC≌△DBE，进一步得到BA＝BD，从而得到∠A＝∠ADB，根据∠A＝∠BDE得到∠ADB＝∠BDE，从而证得结论．
【解答】证明：∵将△ABC绕点B旋转得到△DBE，
∴△ABC≌△DBE
∴BA＝BD．
∴∠A＝∠ADB．
∵∠A＝∠BDE，
∴∠ADB＝∠BDE．
∴DB平分∠ADE．
19．（7分）如图是一个隧道的横截面，它的形状是以点O为圆心的圆的一部分．如果M是⊙O中弦CD的中点，EM经过圆心O交⊙O于点E，并且CD＝4，EM＝6，求⊙O的半径．
【分析】因为M是⊙O弦CD的中点，根据垂径定理，EM⊥CD，则CM＝DM＝2，在Rt△COM中，有OC2＝CM2+OM2，进而可求得半径OC．
【解答】解：连接OC，
∵M是⊙O弦CD的中点，
根据垂径定理：EM⊥CD，
又CD＝4则有：CM＝CD＝2，
设圆的半径是x米，
在Rt△COM中，有OC2＝CM2+OM2，
即：x2＝22+（6﹣x）2，
解得：x＝，
所以圆的半径长是．
20．（7分）用长为6米的铝合金条制成如图所示的框，若窗框的高为x米，窗户的透光面积为y平方米（铝合金条的宽度不计）．
（1）y与x之间的函数关系式为 y＝﹣x2+3x（0＜x＜2） （不要求写自变量的取值范围）；
（2）如何安排窗框的高和宽，才能使窗户的透光面积最大？并求出最大面积．
【分析】（1）根据题意和图形即可求解；
（2）根据二次函数的性质即可求解．
【解答】解：（1）根据题意，得
窗框的高为x米，则长为（6﹣3x），
所以y＝（6﹣3x）•x＝﹣x2+3x，
因为x＞0，6﹣3x＞0，
所以0＜x＜2．
故答案为y＝﹣x2+3x（0＜x＜2）．
（2）y＝﹣x2+3x＝﹣（x﹣1）2+，
∵﹣＜0，
∴当x＝1时，y有最大值，
即窗框的高为1米，宽为1.5米，才能使窗户的透光面积最大，最大面积是1.5平方米，
答：窗框的高为1米，宽为1.5米，才能使窗户的透光面积最大，最大面积是1.5平方米．
21．（7分）已知关于x的一元二次方程x2﹣2（a+3）x+a2+2＝0有实数根．
（1）求a的取值范围；
（2）设方程两根分别为x1，x2，且满足x12+x22＝x1x2+55，求a的值．
【分析】（1）利用判别式的意义得到△＝4（a+3）2﹣4（a2+2）≥0，然后解不等式即可；
（2）利用根与系数的关系得到x1+x2＝2（a+3），x1x2＝a2+2，把x12+x22＝x1x2+55变形为（x1+x2）2﹣3x1x2﹣55＝0，则4（a+3）2﹣3（a2+2）﹣55＝0，然后解关于a的方程，最后利用a的范围确定a的值．
【解答】解：（1）根据题意得△＝4（a+3）2﹣4（a2+2）≥0，
解得a≥﹣；
（2）根据题意得x1+x2＝2（a+3），x1x2＝a2+2，
∵x12+x22＝x1x2+55，
∴（x1+x2）2﹣2x1x2＝x1x2+55，
即（x1+x2）2﹣3x1x2﹣55＝0，
∴4（a+3）2﹣3（a2+2）﹣55＝0，
整理得a2+24a﹣25＝0，解得a1＝﹣25，a2＝1，
∵a≥﹣，
∴a＝1．
22．（8分）如图，台风中心位于点A，并沿东北方向AC移动，已知台风移动的速度为50千米/时，受影响区域的半径为130千米，B市位于点A的北偏东75°方向上，距离A点240千米处．
（1）说明本次台风会影响B市；
（2）求这次台风影响B市的时间．
【分析】（1）作BD⊥AC于点D，在Rt△ABD中，利用特殊角的三角函数值求出BD的长与130千米相比较即可．
（2）以B为圆心，以130为半径作圆交AC于E，F两点，根据垂径定理即可求出BE＝BF＝130，然后由勾股定理求得EF的长度，进而求出台风影响B市的时间．
【解答】解：（1）如图，作BD⊥AC于点D．
在Rt△ABD中，由条件知，AB＝240，∠BAC＝75°﹣45°＝30°，
∴BD＝240×＝120＜130，
∴本次台风会影响B市．
（2）如图，以点B为圆心，以130为半径作圆交AC于E，F，
若台风中心移动到E时，台风开始影响B市，台风中心移动到F时，台风影响结束．
由（1）得BD＝240，由条件得BE＝BF＝130，
∴EF＝2＝100，
∴台风影响的时间t＝＝2（小时）．
故B市受台风影响的时间为2小时．
23．（10分）某经销商销售一种产品，这种产品的成本价为10元/千克，已知销售价不低于成本价，且物价部门规定这种产品的销售价不高于18元/千克，市场调查发现，该产品每天的销售量y（千克）与销售价x（元/千克）之间的函数关系如图所示：
（1）求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（2）求每天的销售利润W（元）与销售价x（元/千克）之间的函数关系式；若你是商场负责人，会将销售价定为多少，来保证每天的销售利润最大？最大利润是多少？
【分析】（1）由图象可知y与x之间是一次函数关系，可设y＝kx+b，把（10，40），（18，24）代入可得；
（2）根据：销售利润W＝该产品每千克利润×销售量，列出函数关系式，配成二次函数顶点式，结合自变量取值范围可得其最值．
【解答】解：（1）设y与x之间的函数关系式：y＝kx+b，
把（10，40），（18，24）代入得：
，
解得：，
∴y与x之间的函数关系式y＝﹣2x+60（10≤x≤18）；
（2）W＝（x﹣10）（﹣2x+60）
＝﹣2x2+80x﹣600
＝﹣2（x﹣20）2+200，
∴当x＜20时，w随着x的增大而增大，
∵10≤x≤18，
∴当x＝18时，W最大，最大为192．
即当销售价为18元时，每天的销售利润最大，最大利润是192元．
24．（10分）如图①，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点D、E分别在AC、BC边上，DC＝EC，连接DE、AE、BD，点M、N、P分别是AE、BD、AB的中点，连接PM、PN、MN．
（1）BE与MN的数量关系是 BE＝MN ．
（2）将△DEC绕点C逆时针旋转到图②的位置，判断BE与MN有怎样的数量关系？写出你的猜想，并证明．
【分析】（1）如图①中，只要证明△PMN的等腰直角三角形，再利用三角形的中位线定理即可解决问题．
（2）如图②中，结论仍然成立．连接AD，延长BE交AD于点H．由△ECB≌△DCA，推出BE＝AD，∠DAC＝∠EBC，即可推出BH⊥AD，由M、N、P分别为AE、BD、AB的中点，推出PM∥BE，PM＝BE，PN∥AD，PN＝AD，推出PM＝PN，∠MPN＝90°，可得BE＝2PM＝2×MN＝MN．
【解答】解：（1）如图①中，
∵点M、N、P分别是AE、BD、AB的中点，
∴AM＝ME，AP＝PB，
∴PM∥BE，PM＝BE，
∵BN＝DN，AP＝PB，
∴PN∥AD，PN＝AD，
∵AC＝BC，CD＝CE，
∴AD＝BE，
∴PM＝PN，
∵∠ACB＝90°，
∴AC⊥BC，
∵PM∥BC，PN∥AC，
∴PM⊥PN，
∴△PMN是等腰直角三角形，
∴MN＝PM，
∴MN＝•BE，
∴BE＝MN，
故答案为：BE＝MN．
（2）BE＝MN．
理由：如图②，连接AD，延长BE交AD于点H．
∵△ABC和△CDE是等腰直角三角形，
∴CD＝CE，CA＝CB，∠ACB＝∠DCE＝90°，
∵∠ACB﹣∠ACE＝∠DCE﹣∠ACE，
∴∠ACD＝∠ECB，
在△ECB和△DCA中，
，
∴△ECB≌△DCA（SAS），
∴BE＝AD，∠DAC＝∠EBC，
∵∠AHB＝180°﹣（∠HAB+∠ABH）＝180°﹣（45°+∠HAC+∠ABH）＝∠180°﹣（45°+∠HBC+∠ABH）＝180°﹣90°＝90°，
∴BH⊥AD，
∵M、N、P分别为AE、BD、AB的中点，
∴PM∥BE，PM＝BE，PN∥AD，PN＝AD，
∴PM＝PN，∠MPN＝90°，
∴△PMN是等腰直角三角形，
∴PM＝MN，
∴BE＝2PM＝2×MN＝MN．
25．（12分）如图，抛物线y＝ax2+bx+6经过点A（﹣2，0），B（4，0），与y轴交于点C，点D是抛物线上的一个动点，设D的横坐标m（1＜m＜4），连接AC、BD、DC．
（1）求该抛物线的函数解析式；
（2）当CD∥AB时，求D点坐标；
（3）连接BC，求△BCD面积的最大值及此时点D的坐标．
【分析】（1）用待定系数法即可求解；
（2）当CD∥AB时，点C、D关于抛物线的对称轴对称，即可求解；
（3）s＝S△HDC+S△DHB＝×HD×OB＝×4×（﹣x2+x+6+x﹣6）＝﹣x2+6x，即可求解．
【解答】解：（1）设抛物线的表达式为y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）＝a（x+2）（x﹣4）＝a（x2﹣2x﹣8）＝ax2﹣2ax﹣8a，
故﹣8a＝6，解得a＝﹣，
故抛物线的表达式为y＝﹣x2+x+6；
（2）当CD∥AB时，点C、D关于抛物线的对称轴对称，
抛物线的对称轴为x＝（4﹣2）＝1，
故点D的坐标为（2，6）；
（3）过点D作y轴的平行线交BC于点H，
由抛物线的表达式知，点C（0，6），
设直线BC的表达式为y＝kx+m，则，解得，
故直线BC的表达式为y＝﹣x+6，
设点D（x，﹣x2+x+6），则点H（x，﹣x+6），
则设△BCD面积为s，
则s＝S△HDC+S△DHB＝×HD×OB＝×4×（﹣x2+x+6+x﹣6）＝﹣x2+6x，
∵﹣＜0，故s有最大值，
当x＝2时，s的最大值为6，
当x＝2时，y＝﹣x2+x+6＝6，
故点D（2，6）．
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．若关于x的一元二次方程x2﹣x+m＝0的一个根是x＝1，则m的值是（ ）
A．1 B．0 C．﹣1 D．2
2．下列图形中既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
3．用配方法解方程x2+6x﹣4＝0时，配方结果正确的是（ ）
A．（x+3）2＝5 B．（x+6）2＝5 C．（x+3）2＝13 D．（x+6）2＝13
4．把抛物线y＝（x﹣1）2+2绕原点旋转180°后得到的图象的解析式为（ ）
A．y＝﹣（x+1）2﹣2 B．y＝﹣（x﹣1）2﹣2
C．y＝﹣（x﹣1）2+2 D．y＝﹣（x+1）2+2
5．对于任意实数x，多项式x2﹣5x+8的值是一个（ ）
A．非负数 B．正数 C．负数 D．无法确定
6．若A（﹣2，y1），B（1，y2），C（2，y3）是抛物线y＝﹣2（x+1）2+3上的三个点，则y1，y2，y3的大小关系是（ ）
A．y1＞y2＞y3 B．y1＞y3＞y2 C．y3＞y2＞y1 D．y3＞y1＞y2
7．如图，在⊙O中，AE是直径，半径OC垂直于弦AB于D，连接BE，若AB＝2，CD＝1，则BE的长是（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
8．函数y＝kx2﹣4x+2的图象与x轴有公共点，则k的取值范围是（ ）
A．k＜2 B．k＜2 且 k≠0 C．k≤2 D．k≤2 且 k≠0
9．如图，直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AD＝2，BC＝3，∠BCD＝45°，将腰CD以点D为中心逆时针旋转90°至ED，连结AE，CE，则△ADE的面积是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
10．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象如图，下列结论：①2a+b＝0；②若ax12+bx1＝ax22+bx2，且x1≠x2，则x1+x2＝1；③a﹣b+c＞0；④当m≠1时，a+b＞am2+bm．其中正确的有（ ）
A．①② B．②③ C．②④ D．①④
二、填空题（每小题3分，共18分）
11．若2x2+3x＝1，则2+4x2+6x＝ ．
12．某工厂七月份出口创汇200万美元，因受国际大环境的严重影响，出口创汇出现连续下滑，至九月份时出口创汇下降到只有98万美元，设该厂平均每月下降的百分率是x，则所列方程是 ．（可不必化成一般形式！）
13．在平面直角坐标系中，点A（2，3）绕原点O逆时针旋转90°的对应点的坐标为 ．
14．如图，在半径为的⊙O中，AB，CD是互相垂直的两条弦，垂足为P，且AB＝CD＝4，则OP的长为 ．
15．在实数范围内定义运算“☆”，其规则为：a☆b＝a2﹣b2，则方程（4☆3）☆x＝13的解为x＝ ．
16．如图，边长为6的等边三角形ABC中，AD⊥BC，E是AD上的一个动点，连接CE，将线段CE绕点C顺时针旋转60°得到CF，连接EF，则△CEF面积的最大值与最小值之比为 ．
三、解答题（9道题，共72分）
17．（5分）解方程：x（x+2）＝3x+6．
18．（6分）如图，将△ABC绕点B旋转得到△DBE，且A，D，C三点在同一条直线上．求证：DB平分∠ADE．
19．（7分）如图是一个隧道的横截面，它的形状是以点O为圆心的圆的一部分．如果M是⊙O中弦CD的中点，EM经过圆心O交⊙O于点E，并且CD＝4，EM＝6，求⊙O的半径．
20．（7分）用长为6米的铝合金条制成如图所示的框，若窗框的高为x米，窗户的透光面积为y平方米（铝合金条的宽度不计）．
（1）y与x之间的函数关系式为 （不要求写自变量的取值范围）；
（2）如何安排窗框的高和宽，才能使窗户的透光面积最大？并求出最大面积．
21．（7分）已知关于x的一元二次方程x2﹣2（a+3）x+a2+2＝0有实数根．
（1）求a的取值范围；
（2）设方程两根分别为x1，x2，且满足x12+x22＝x1x2+55，求a的值．
22．（8分）如图，台风中心位于点A，并沿东北方向AC移动，已知台风移动的速度为50千米/时，受影响区域的半径为130千米，B市位于点A的北偏东75°方向上，距离A点240千米处．
（1）说明本次台风会影响B市；
（2）求这次台风影响B市的时间．
23．（10分）某经销商销售一种产品，这种产品的成本价为10元/千克，已知销售价不低于成本价，且物价部门规定这种产品的销售价不高于18元/千克，市场调查发现，该产品每天的销售量y（千克）与销售价x（元/千克）之间的函数关系如图所示：
（1）求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（2）求每天的销售利润W（元）与销售价x（元/千克）之间的函数关系式；若你是商场负责人，会将销售价定为多少，来保证每天的销售利润最大？最大利润是多少？
24．（10分）如图①，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点D、E分别在AC、BC边上，DC＝EC，连接DE、AE、BD，点M、N、P分别是AE、BD、AB的中点，连接PM、PN、MN．
（1）BE与MN的数量关系是 ．
（2）将△DEC绕点C逆时针旋转到图②的位置，判断BE与MN有怎样的数量关系？写出你的猜想，并证明．
25．（12分）如图，抛物线y＝ax2+bx+6经过点A（﹣2，0），B（4，0），与y轴交于点C，点D是抛物线上的一个动点，设D的横坐标m（1＜m＜4），连接AC、BD、DC．
（1）求该抛物线的函数解析式；
（2）当CD∥AB时，求D点坐标；
（3）连接BC，求△BCD面积的最大值及此时点D的坐标．
2020-2021学年湖北省十堰市郧西县九年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．若关于x的一元二次方程x2﹣x+m＝0的一个根是x＝1，则m的值是（ ）
A．1 B．0 C．﹣1 D．2
【分析】根据一元二次方程的解的定义，把x＝1代入一元二次方程可得到关于m的一元一次方程，然后解一元一次方程即可．
【解答】解：把x＝1代入x2﹣x﹣m＝0得1﹣1﹣m＝0，
解得m＝0．
故选：B．
2．下列图形中既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
【解答】解：A、不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项错误；
B、是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项错误；
C、不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项错误；
D、是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项正确；
故选：D．
3．用配方法解方程x2+6x﹣4＝0时，配方结果正确的是（ ）
A．（x+3）2＝5 B．（x+6）2＝5 C．（x+3）2＝13 D．（x+6）2＝13
【分析】利用配方法把原式变形．
【解答】解：x2+6x﹣4＝0
x2+6x＝4
x2+6x+9＝13
（x+3）2＝13
故选：C．
4．把抛物线y＝（x﹣1）2+2绕原点旋转180°后得到的图象的解析式为（ ）
A．y＝﹣（x+1）2﹣2 B．y＝﹣（x﹣1）2﹣2
C．y＝﹣（x﹣1）2+2 D．y＝﹣（x+1）2+2
【分析】求出原抛物线的顶点坐标以及绕原点旋转180°后的抛物线的顶点坐标，再根据旋转后抛物线开口方向向下，利用顶点式解析式写出即可．
【解答】解：∵抛物线y＝（x﹣1）2+2的顶点坐标为（1，2），
∴绕原点旋转180°后的抛物线的顶点坐标为（﹣1，﹣2），
∴所得到的图象的解析式为y＝﹣（x+1）2﹣2．
故选：A．
5．对于任意实数x，多项式x2﹣5x+8的值是一个（ ）
A．非负数 B．正数 C．负数 D．无法确定
【分析】根据完全平方公式，将x2﹣5x+8转化为完全平方的形式，再进一步判断．
【解答】解：x2﹣5x+8＝x2﹣5x++＝（x﹣）2+，
任意实数的平方都是非负数，其最小值是0，
所以（x﹣）2+的最小值是，
故多项式x2﹣5x+8的值是一个正数，
故选：B．
6．若A（﹣2，y1），B（1，y2），C（2，y3）是抛物线y＝﹣2（x+1）2+3上的三个点，则y1，y2，y3的大小关系是（ ）
A．y1＞y2＞y3 B．y1＞y3＞y2 C．y3＞y2＞y1 D．y3＞y1＞y2
【分析】先求出抛物线的对称轴和开口方向，根据二次函数的性质比较即可．
【解答】解：抛物线y＝﹣2（x+1）2+3的开口向下，对称轴是直线x＝﹣1，当x＞﹣1时，y随x的增大而减小，
∵A（﹣2，y1），B（1，y2），C（2，y3）是抛物线y＝﹣2（x+1）2+3上的三个点，
∴点A关于对称轴x＝﹣1的对称点是（0，y1），
∴y1＞y2＞y3，
故选：A．
7．如图，在⊙O中，AE是直径，半径OC垂直于弦AB于D，连接BE，若AB＝2，CD＝1，则BE的长是（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【分析】根据垂径定理求出AD，根据勾股定理列式求出OD，根据三角形中位线定理计算即可．
【解答】解：∵半径OC垂直于弦AB，
∴AD＝DB＝AB＝，
在Rt△AOD中，OA2＝（OC﹣CD）2+AD2，即OA2＝（OA﹣1）2+（）2，
解得，OA＝4
∴OD＝OC﹣CD＝3，
∵AO＝OE，AD＝DB，
∴BE＝2OD＝6，
故选：B．
8．函数y＝kx2﹣4x+2的图象与x轴有公共点，则k的取值范围是（ ）
A．k＜2 B．k＜2 且 k≠0 C．k≤2 D．k≤2 且 k≠0
【分析】先根据二次函数的定义得到k≠0，再根据抛物线与x轴的交点问题得到△＝（﹣4）2﹣4k×2≥0，然后解不等式即可得到k的值．
【解答】解：∵函数y＝kx2﹣4x+2，
∴当k＝0时，函数y＝kx2﹣4x+2是一次函数，与x轴有一个交点为（，0），
当k≠0时，函数y＝kx2﹣4x+2是二次函数，
∵二次函数y＝kx2﹣4x+2的图象与x轴有公共点，
∴△＝（﹣4）2﹣4k×2≥0，解得k≤2，
综上所述，k的取值范围是 k≤2．
故选：C．
9．如图，直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AD＝2，BC＝3，∠BCD＝45°，将腰CD以点D为中心逆时针旋转90°至ED，连结AE，CE，则△ADE的面积是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】作DH⊥BC于H，EF⊥AD于F，如图，则四边形ABHD为矩形，则BH＝AD＝2，CH＝BC﹣BH＝1，再利用旋转的性质得DE＝DC，∠EDC＝90°，接着证明△EDF≌△CDH得到EF＝CH＝1，然后根据三角形面积公式计算即可．
【解答】解：作DH⊥BC于H，EF⊥AD于F，如图，则四边形ABHD为矩形，
∴BH＝AD＝2，
∴CH＝BC﹣BH＝3﹣2＝1，
∵腰CD以点D为中心逆时针旋转90°至ED，
∴DE＝DC，∠EDC＝90°，
∵∠EDF+∠CDF＝90°，∠CDF+∠CDH＝90°，
∴∠EDF＝∠HDC，
在△EDF和△CDH中
，
∴△EDF≌△CDH，
∴EF＝CH＝1，
∴△ADE的面积＝×2×1＝1．
故选：A．
10．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象如图，下列结论：①2a+b＝0；②若ax12+bx1＝ax22+bx2，且x1≠x2，则x1+x2＝1；③a﹣b+c＞0；④当m≠1时，a+b＞am2+bm．其中正确的有（ ）
A．①② B．②③ C．②④ D．①④
【分析】根据抛物线开口方向得a＜0，由抛物线对称轴为直线x＝﹣＝1，得到b＝﹣2a＞0，即2a+b＝0；把ax12+bx1＝ax22+bx2先移项，再分解因式得到（x1﹣x2）[a（x1+x2）+b]＝0，而x1≠x2，则a（x1+x2）+b＝0，即x1+x2＝﹣，然后把b＝﹣2a代入计算得到x1+x2＝2；根据抛物线的对称性得到抛物线与x轴的另一个交点在（﹣1，0）的右侧，则当x＝﹣1时，y＜0，所以a﹣b+c＜0；由抛物线与根据二次函数的性质得当x＝1时，函数有最大值a+b+c，则当m≠1时，a+b+c＞am2+bm+c，即a+b＞am2+bm．
【解答】解：∵抛物线开口向下，
∴a＜0，
∵抛物线对称轴为直线x＝﹣＝1，
∴b＝﹣2a＞0，即2a+b＝0，所以①正确；
∵ax12+bx1＝ax22+bx2，
∴ax12+bx1﹣ax22﹣bx2＝0，
∴a（x1+x2）（x1﹣x2）+b（x1﹣x2）＝0，
∴（x1﹣x2）[a（x1+x2）+b]＝0，
而x1≠x2，
∴a（x1+x2）+b＝0，即x1+x2＝﹣，
∵b＝﹣2a，
∴x1+x2＝2，所以②错误．
∵抛物线与x轴的一个交点在（3，0）的左侧，而对称轴为直线x＝1，
∴抛物线与x轴的另一个交点在（﹣1，0）的右侧，
∴当x＝﹣1时，y＜0，
∴a﹣b+c＜0，所以③错误；
∵抛物线对称轴为直线x＝1，
∴函数的最大值为a+b+c，
∴当m≠1时，a+b+c＞am2+bm+c，即a+b＞am2+bm，所以④正确；
故选：D．
二、填空题（每小题3分，共18分）
11．若2x2+3x＝1，则2+4x2+6x＝ 4 ．
【分析】将2+4x2+6x变形为2（2x2+3x）+2，再整体代入计算即可．
【解答】解：∵2x2+3x＝1，
∴2+4x2+6x＝2（2x2+3x）+2＝2+2＝4，
故答案为：4．
12．某工厂七月份出口创汇200万美元，因受国际大环境的严重影响，出口创汇出现连续下滑，至九月份时出口创汇下降到只有98万美元，设该厂平均每月下降的百分率是x，则所列方程是 200（1﹣x）2＝98 ．（可不必化成一般形式！）
【分析】设该厂平均每月下降的百分率是x，根据该厂七月份及九月份出口创汇的金额，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
【解答】解：设该厂平均每月下降的百分率是x，
根据题意得：200（1﹣x）2＝98．
故答案为：200（1﹣x）2＝98．
13．在平面直角坐标系中，点A（2，3）绕原点O逆时针旋转90°的对应点的坐标为 （﹣3，2） ．
【分析】利用旋转的性质画出旋转前后的图形，然后写出A′点的坐标，则可判断点A′在平面直角坐标系中的位置．
【解答】解：如图，线段OA绕原点O逆时针旋转90°得到OA′，则点A′的坐标为（﹣3，2），点A′在第二象限．
故答案为（﹣3，2）．
14．如图，在半径为的⊙O中，AB，CD是互相垂直的两条弦，垂足为P，且AB＝CD＝4，则OP的长为 ．
【分析】作OE⊥AB于E，OF⊥CD于F，连结OD、OB，根据垂径定理得到AE＝BE＝AB＝2，DF＝CF＝CD＝2，根据勾股定理计算出OE＝1，同理可得OF＝1，证明四边形OEPF为正方形，于是得到OP＝OE＝．
【解答】解：作OE⊥AB于E，OF⊥CD于F，连结OD、OB，
则AE＝BE＝AB＝2，DF＝CF＝CD＝2，
在Rt△OBE中，OB＝，BE＝2，
∴OE＝＝1，
同理可得OF＝1，
∵AB⊥CD，OE⊥AB，OF⊥CD，
∴四边形OEPF为矩形，
∵OE＝OF＝1，
∴四边形OEPF为正方形，
∴OP＝OE＝，
故答案为：．
15．在实数范围内定义运算“☆”，其规则为：a☆b＝a2﹣b2，则方程（4☆3）☆x＝13的解为x＝ ±6 ．
【分析】按照题中给出的规则运算．其规则为：a☆b＝a2﹣b2．
【解答】解：其规则为：a☆b＝a2﹣b2，
则方程（4☆3）☆x＝13解的步骤为：
（42﹣32）☆x＝13，
7☆x＝13，
49﹣x2＝13，
x2＝36，
∴x＝±6．
16．如图，边长为6的等边三角形ABC中，AD⊥BC，E是AD上的一个动点，连接CE，将线段CE绕点C顺时针旋转60°得到CF，连接EF，则△CEF面积的最大值与最小值之比为 4：1 ．
【分析】根据等边三角形的面积＝×边长2，可知点E与A重合时，△CEF面积最大；点E与D重合时，△CEF面积最小．根据含30°角的直角三角形的性质，得出AC＝2CD，根据相似三角形面积比等于相似比的平方即可求解．
【解答】解：∵等边三角形ABC中，AD⊥BC，
∴∠CAD＝30°，
∴AC＝2CD．
∵E是AD上的一个动点，连接CE，将线段CE绕点C顺时针旋转60°得到CF，连接EF，
∴点E与A重合时，△CEF面积最大；点E与D重合时，△CEF面积最小．
∵CE＝CF，∠ECF＝60°，
∴△CEF是等边三角形，
而所有的等边三角形都相似，
∴△CEF面积的最大值与最小值之比＝（AC：CD）2＝4：1．
故答案为4：1．
三、解答题（9道题，共72分）
17．（5分）解方程：x（x+2）＝3x+6．
【分析】先变形得到x（x+2）﹣3（x+2）＝0，然后利用因式分解法解方程．
【解答】解：x（x+2）﹣3（x+2）＝0，
（x+2）（x﹣3）＝0，
x+2＝0或x﹣3＝0，
所以x1＝﹣2，x2＝3．
18．（6分）如图，将△ABC绕点B旋转得到△DBE，且A，D，C三点在同一条直线上．求证：DB平分∠ADE．
【分析】根据旋转的性质得到△ABC≌△DBE，进一步得到BA＝BD，从而得到∠A＝∠ADB，根据∠A＝∠BDE得到∠ADB＝∠BDE，从而证得结论．
【解答】证明：∵将△ABC绕点B旋转得到△DBE，
∴△ABC≌△DBE
∴BA＝BD．
∴∠A＝∠ADB．
∵∠A＝∠BDE，
∴∠ADB＝∠BDE．
∴DB平分∠ADE．
19．（7分）如图是一个隧道的横截面，它的形状是以点O为圆心的圆的一部分．如果M是⊙O中弦CD的中点，EM经过圆心O交⊙O于点E，并且CD＝4，EM＝6，求⊙O的半径．
【分析】因为M是⊙O弦CD的中点，根据垂径定理，EM⊥CD，则CM＝DM＝2，在Rt△COM中，有OC2＝CM2+OM2，进而可求得半径OC．
【解答】解：连接OC，
∵M是⊙O弦CD的中点，
根据垂径定理：EM⊥CD，
又CD＝4则有：CM＝CD＝2，
设圆的半径是x米，
在Rt△COM中，有OC2＝CM2+OM2，
即：x2＝22+（6﹣x）2，
解得：x＝，
所以圆的半径长是．
20．（7分）用长为6米的铝合金条制成如图所示的框，若窗框的高为x米，窗户的透光面积为y平方米（铝合金条的宽度不计）．
（1）y与x之间的函数关系式为 y＝﹣x2+3x（0＜x＜2） （不要求写自变量的取值范围）；
（2）如何安排窗框的高和宽，才能使窗户的透光面积最大？并求出最大面积．
【分析】（1）根据题意和图形即可求解；
（2）根据二次函数的性质即可求解．
【解答】解：（1）根据题意，得
窗框的高为x米，则长为（6﹣3x），
所以y＝（6﹣3x）•x＝﹣x2+3x，
因为x＞0，6﹣3x＞0，
所以0＜x＜2．
故答案为y＝﹣x2+3x（0＜x＜2）．
（2）y＝﹣x2+3x＝﹣（x﹣1）2+，
∵﹣＜0，
∴当x＝1时，y有最大值，
即窗框的高为1米，宽为1.5米，才能使窗户的透光面积最大，最大面积是1.5平方米，
答：窗框的高为1米，宽为1.5米，才能使窗户的透光面积最大，最大面积是1.5平方米．
21．（7分）已知关于x的一元二次方程x2﹣2（a+3）x+a2+2＝0有实数根．
（1）求a的取值范围；
（2）设方程两根分别为x1，x2，且满足x12+x22＝x1x2+55，求a的值．
【分析】（1）利用判别式的意义得到△＝4（a+3）2﹣4（a2+2）≥0，然后解不等式即可；
（2）利用根与系数的关系得到x1+x2＝2（a+3），x1x2＝a2+2，把x12+x22＝x1x2+55变形为（x1+x2）2﹣3x1x2﹣55＝0，则4（a+3）2﹣3（a2+2）﹣55＝0，然后解关于a的方程，最后利用a的范围确定a的值．
【解答】解：（1）根据题意得△＝4（a+3）2﹣4（a2+2）≥0，
解得a≥﹣；
（2）根据题意得x1+x2＝2（a+3），x1x2＝a2+2，
∵x12+x22＝x1x2+55，
∴（x1+x2）2﹣2x1x2＝x1x2+55，
即（x1+x2）2﹣3x1x2﹣55＝0，
∴4（a+3）2﹣3（a2+2）﹣55＝0，
整理得a2+24a﹣25＝0，解得a1＝﹣25，a2＝1，
∵a≥﹣，
∴a＝1．
22．（8分）如图，台风中心位于点A，并沿东北方向AC移动，已知台风移动的速度为50千米/时，受影响区域的半径为130千米，B市位于点A的北偏东75°方向上，距离A点240千米处．
（1）说明本次台风会影响B市；
（2）求这次台风影响B市的时间．
【分析】（1）作BD⊥AC于点D，在Rt△ABD中，利用特殊角的三角函数值求出BD的长与130千米相比较即可．
（2）以B为圆心，以130为半径作圆交AC于E，F两点，根据垂径定理即可求出BE＝BF＝130，然后由勾股定理求得EF的长度，进而求出台风影响B市的时间．
【解答】解：（1）如图，作BD⊥AC于点D．
在Rt△ABD中，由条件知，AB＝240，∠BAC＝75°﹣45°＝30°，
∴BD＝240×＝120＜130，
∴本次台风会影响B市．
（2）如图，以点B为圆心，以130为半径作圆交AC于E，F，
若台风中心移动到E时，台风开始影响B市，台风中心移动到F时，台风影响结束．
由（1）得BD＝240，由条件得BE＝BF＝130，
∴EF＝2＝100，
∴台风影响的时间t＝＝2（小时）．
故B市受台风影响的时间为2小时．
23．（10分）某经销商销售一种产品，这种产品的成本价为10元/千克，已知销售价不低于成本价，且物价部门规定这种产品的销售价不高于18元/千克，市场调查发现，该产品每天的销售量y（千克）与销售价x（元/千克）之间的函数关系如图所示：
（1）求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（2）求每天的销售利润W（元）与销售价x（元/千克）之间的函数关系式；若你是商场负责人，会将销售价定为多少，来保证每天的销售利润最大？最大利润是多少？
【分析】（1）由图象可知y与x之间是一次函数关系，可设y＝kx+b，把（10，40），（18，24）代入可得；
（2）根据：销售利润W＝该产品每千克利润×销售量，列出函数关系式，配成二次函数顶点式，结合自变量取值范围可得其最值．
【解答】解：（1）设y与x之间的函数关系式：y＝kx+b，
把（10，40），（18，24）代入得：
，
解得：，
∴y与x之间的函数关系式y＝﹣2x+60（10≤x≤18）；
（2）W＝（x﹣10）（﹣2x+60）
＝﹣2x2+80x﹣600
＝﹣2（x﹣20）2+200，
∴当x＜20时，w随着x的增大而增大，
∵10≤x≤18，
∴当x＝18时，W最大，最大为192．
即当销售价为18元时，每天的销售利润最大，最大利润是192元．
24．（10分）如图①，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点D、E分别在AC、BC边上，DC＝EC，连接DE、AE、BD，点M、N、P分别是AE、BD、AB的中点，连接PM、PN、MN．
（1）BE与MN的数量关系是 BE＝MN ．
（2）将△DEC绕点C逆时针旋转到图②的位置，判断BE与MN有怎样的数量关系？写出你的猜想，并证明．
【分析】（1）如图①中，只要证明△PMN的等腰直角三角形，再利用三角形的中位线定理即可解决问题．
（2）如图②中，结论仍然成立．连接AD，延长BE交AD于点H．由△ECB≌△DCA，推出BE＝AD，∠DAC＝∠EBC，即可推出BH⊥AD，由M、N、P分别为AE、BD、AB的中点，推出PM∥BE，PM＝BE，PN∥AD，PN＝AD，推出PM＝PN，∠MPN＝90°，可得BE＝2PM＝2×MN＝MN．
【解答】解：（1）如图①中，
∵点M、N、P分别是AE、BD、AB的中点，
∴AM＝ME，AP＝PB，
∴PM∥BE，PM＝BE，
∵BN＝DN，AP＝PB，
∴PN∥AD，PN＝AD，
∵AC＝BC，CD＝CE，
∴AD＝BE，
∴PM＝PN，
∵∠ACB＝90°，
∴AC⊥BC，
∵PM∥BC，PN∥AC，
∴PM⊥PN，
∴△PMN是等腰直角三角形，
∴MN＝PM，
∴MN＝•BE，
∴BE＝MN，
故答案为：BE＝MN．
（2）BE＝MN．
理由：如图②，连接AD，延长BE交AD于点H．
∵△ABC和△CDE是等腰直角三角形，
∴CD＝CE，CA＝CB，∠ACB＝∠DCE＝90°，
∵∠ACB﹣∠ACE＝∠DCE﹣∠ACE，
∴∠ACD＝∠ECB，
在△ECB和△DCA中，
，
∴△ECB≌△DCA（SAS），
∴BE＝AD，∠DAC＝∠EBC，
∵∠AHB＝180°﹣（∠HAB+∠ABH）＝180°﹣（45°+∠HAC+∠ABH）＝∠180°﹣（45°+∠HBC+∠ABH）＝180°﹣90°＝90°，
∴BH⊥AD，
∵M、N、P分别为AE、BD、AB的中点，
∴PM∥BE，PM＝BE，PN∥AD，PN＝AD，
∴PM＝PN，∠MPN＝90°，
∴△PMN是等腰直角三角形，
∴PM＝MN，
∴BE＝2PM＝2×MN＝MN．
25．（12分）如图，抛物线y＝ax2+bx+6经过点A（﹣2，0），B（4，0），与y轴交于点C，点D是抛物线上的一个动点，设D的横坐标m（1＜m＜4），连接AC、BD、DC．
（1）求该抛物线的函数解析式；
（2）当CD∥AB时，求D点坐标；
（3）连接BC，求△BCD面积的最大值及此时点D的坐标．
【分析】（1）用待定系数法即可求解；
（2）当CD∥AB时，点C、D关于抛物线的对称轴对称，即可求解；
（3）s＝S△HDC+S△DHB＝×HD×OB＝×4×（﹣x2+x+6+x﹣6）＝﹣x2+6x，即可求解．
【解答】解：（1）设抛物线的表达式为y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）＝a（x+2）（x﹣4）＝a（x2﹣2x﹣8）＝ax2﹣2ax﹣8a，
故﹣8a＝6，解得a＝﹣，
故抛物线的表达式为y＝﹣x2+x+6；
（2）当CD∥AB时，点C、D关于抛物线的对称轴对称，
抛物线的对称轴为x＝（4﹣2）＝1，
故点D的坐标为（2，6）；
（3）过点D作y轴的平行线交BC于点H，
由抛物线的表达式知，点C（0，6），
设直线BC的表达式为y＝kx+m，则，解得，
故直线BC的表达式为y＝﹣x+6，
设点D（x，﹣x2+x+6），则点H（x，﹣x+6），
则设△BCD面积为s，
则s＝S△HDC+S△DHB＝×HD×OB＝×4×（﹣x2+x+6+x﹣6）＝﹣x2+6x，
∵﹣＜0，故s有最大值，
当x＝2时，s的最大值为6，
当x＝2时，y＝﹣x2+x+6＝6，
故点D（2，6）．
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