【2019年高考二轮课程】数学理科 全国通用版 概率与统计 教案

2019年高考二轮复习 概率与统计

一、高考回顾

概率与统计是高考考查的核心内容之一，在高考中一般有1～2个选择或者填空题，一个解答题．选择或者填空题有针对性地考查古典概型及其二项式定理，二项式定理主要考查求特定项或系数或求参数等，试题的难度一般不大；解答题考查多在概率与统计的综合问题，重点考查随机变量的期望与方差．

二、知识清单

1.思维导图

2.知识再现

1.排列

排列数公式：

2.组合

(1)组合数公式：.由于，所以.

(2)组合数的性质

；.

3.二项式定理

(1)二项展开式：

通项：

(2)二项式系数的有关性质：

①二项展开式中，偶数项的二项式系数的和等于奇数

项的二项式系数的和，即；

②若则展开式中的各项系数和为，

奇数项系数和为，

偶数项系数之和为.

4.三种抽样方法的特点

简单随机抽样:操作简便、适当,总体个数较少

分层抽样:按比例抽样

系统抽样:等距抽样

5.   必记公式——数据的数字特征公式：

（1）平均数：

（2）方差：

（3）标准差：

6.重要性质及结论

(1)频率分布直方图的三个结论

①小长方形的面积频率;②各小长方形的面积之和等于;③小长方形的高.

(2)回归直线方程:一组具有线性相关关系的数据其回归方程，其过样本中心点.

(3)独立性检验（其中为样本容量）.

7.随机事件的概率：(1)随机事件的概率范围：.(2)必然事件的概率为.(3)不可能事件的概率为.

8.互斥事件、对立事件的概率公式:(1).(2)若为对立事件，则.

9.古典概型的概率公式：.

10.几何概型的概率公式：.

11.相互独立事件同时发生的概率：.

12.独立重复试验与二项分布:如果事件在一次试验中发生的概率是，那么它在次独立重复试验中恰好发生次的概率为，用表示事件在次独立重复试验中发生的次数，则服从二项分布，即且.

13.超几何分布：在含有件次品的件产品中，任取件，其中恰有件次品，则，其中，且.此时称随机变量服从超几何分布.超几何分布的模型是不放回抽样.

14.离散型随机变量的均值、方差

(1)离散型随机变量的分布列为

离散型随机变量的分布列具有两个性质：①；②.

(2)   为随机变量的数学期望或均值.

叫做随机变量的方差.

性质：①，；

②，则，；,则;

③服从两点分布，则,.

三、例题精讲

题型一  古典概型与几何概型

例1、某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯交替出现，红灯持续时间为秒.若一名行人来到该路口遇到红灯，则至少需要等待秒才出现绿灯的概率为           .

【答案】

【解析】因为红灯持续时间为秒.所以这名行人至少需要等待秒才出现绿灯的概率为.

例2、市政府为调查市民对本市某项调控措施的态度，随机抽取了名市民，统计了他们的月收入频率分布和对该项措施的赞成人数，统计结果如下表所示：

(1)用样本估计总体的思想比较该市月收入低于(百元)和不低于(百元)的两类人群在该项措施的态度上有何不同；

(2)现从样本中月收入在和的市民中各随机抽取一个人进行跟踪调查，求抽取的两个人恰好对该措施一个赞成一个不赞成的概率．

【答案】（1）详见解析；（2）.

【解析】(1)由表知，样本中月收入低于(百元)的共有人，其中持赞成态度的共有人，故赞成人数的频率为，月收入不低于(百元)的共有人，其中持赞成态度的共有人，故赞成人数的频率为，

∵，∴根据样本估计总体的思想可知月收入不低于(百元)的人群对该措施持赞成态度的比月收入低于(百元)的人群持赞成态度的比例要高．

(3)    将月收入在内，不赞成的人记为，赞成的人记为，将月收入在内，不赞成的人记为，赞成的人记为从月收入在和内的人中各随机抽取人，基本事件总数，其中事件“抽取的两个人恰好对该措施一个赞成一个不赞成”包含的基本事件有共个，∴抽取的两个人恰好对该措施一个赞成一个不赞成的概率.

【易错点】求解古典概型问题的关键：先求出基本事件的总数，再确定所求目标事件包含基本事件的个数，结合古典概型概率公式求解．一般涉及“至多”“至少”等事件的概率计算问题时，可以考虑其对立事件的概率，从而简化运算．

【思维点拨】

1. 求复杂互斥事件概率的方法

一是直接法，将所求事件的概率分解为一些彼此互斥事件概率的和，运用互斥事件的求和公式计算；二是间接法，先求此事件的对立事件的概率，再用公式，即运用逆向思维的方法(正难则反)求解，应用此公式时，一定要分清事件的对立事件到底是什么事件，不能重复或遗漏．特别是对于含“至多”“至少”等字眼的题目，用第二种方法往往显得比较简便．

2.求古典概型的概率的基本步骤:算出所有基本事件的个数；求出事件包含的基本事件个数；代入公式，求出；几何概型的概率是几何度量之比,主要使用面积、体积之比与长度之比. 

题型二  统计与统计案例

例1、某大学艺术专业名学生参加某次测评，根据男女学生人数比例，使用分层抽样的方法从中随机抽取了名学生，记录他们的分数，将数据分成组：并整理得到如下频率分布直方图：

（Ⅰ）从总体的名学生中随机抽取一人，估计其分数小于的概率；

（Ⅱ）已知样本中分数小于的学生有人，试估计总体中分数在区间内的人数；

（Ⅲ）已知样本中有一半男生的分数不小于，且样本中分数不小于的男女生人数相等．试估计总体中男生和女生人数的比例．

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）；（Ⅲ）.

【解析】（Ⅰ）根据频率分布直方图可知，样本中分数不小于的频率为，所以样本中分数小于的频率为.

（Ⅱ）根据题意，样本中分数不小于的频率为，分数在区间内的人数为.

所以总体中分数在区间内的人数估计为.

（Ⅲ）由题意可知，样本中分数不小于的学生人数为，所以样本中分数不小于的男生人数为.所以样本中的男生人数为，女生人数为，男生和女生人数的比例为，所以根据分层抽样的原理，总体中男生和女生人数的比例估计为.

【易错点】求解统计图表问题，重要的是认真观察图表，发现有用信息和数据．对于频率分布直方图，应注意图中的每一个小矩形的面积是落在该区间上的频率，所有小矩形的面积和为，当小矩形等高时，说明频率相等，计算时不要漏掉其中一个．

【思维点拨】

1．简单随机抽样特点是从总体中逐个抽取．适用范围：总体中的个体较少．

2．系统抽样特点是将总体均分成几部分，按事先确定的规则在各部分中抽取．适用范围：总体中的个体数较多．

3．分层抽样特点是将总体分成几层，分层进行抽取．适用范围：总体由差异明显的几部分组成．

4．利用频率分布直方图求众数、中位数与平均数

利用频率分布直方图求众数、中位数和平均数时易出错，应注意区分这三者．在频率分布直方图中：

(1)最高的小长方形底边中点的横坐标即是众数；

(2)中位数左边和右边的小长方形的面积和是相等的；

(3)平均数是频率分布直方图的“重心”，等于频率分布直方图中每个小长方形的面积乘以小长方形底边中点的横坐标之和．

5.求回归直线方程的关键

①正确理解计算的公式和准确的计算．

②在分析实际中两个变量的相关关系时，可根据样本数据作出散点图来确定两个变量之间是否具有相关关系，若具有线性相关关系，则可通过线性回归方程估计和预测变量的值．

6.独立性检验的关键

①根据列联表准确计算，若列联表没有列出来，要先列出此表．

②的观测值越大，对应假设事件成立的概率越小，不成立的概率越大．

题型三 概率、随机变量及其分布

例1、“过大年，吃水饺”是我国不少地方过春节的一大习俗．年春节前夕， 市某质检部门随机抽取了包某种品牌的速冻水饺，检测其某项质量指标，

（1）求所抽取的包速冻水饺该项质量指标值的样本平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；

（2）①由直方图可以认为，速冻水饺的该项质量指标值服从正态分布，利用该正态分布，求落在内的概率；

②将频率视为概率，若某人从某超市购买了包这种品牌的速冻水饺，记这包速冻水饺中这种质量指标值位于内的包数为，求的分布列和数学期望．

附：①计算得所抽查的这包速冻水饺的质量指标的标准差为；

②若，则， ．

【答案】(1) (2) （3）的分布列为

；．

【解析】（1）所抽取的包速冻水饺该项质量指标值的样本平均数为

．

（2）①∵服从正态分布，且， ，

∴，

∴落在内的概率是．

②根据题意得，

； ； ； ； ．

∴的分布列为

∴．

例2、为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取个零件，并测量其尺寸(单位：)．根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布．

(1)假设生产状态正常，记表示一天内抽取的个零件中其尺寸在之外的零件数，求及的数学期望；

(2)一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查．

(ⅰ)试说明上述监控生产过程方法的合理性；

(ⅱ)下面是检验员在一天内抽取的个零件的尺寸：

经计算得，，其中为抽取的第个零件的尺寸，用样本平均数作为的估计值，用样本标准差作为的估计值，利用估计值判断是否需对当天的生产过程进行检查？剔除之外的数据，用剩下的数据估计和(精确到)．

附：若随机变量服从正态分布，则,.

【答案】（1）；；（2）需要；的估计值为，的估计值为.

【解析】（1）抽取的一个零件的尺寸在之内的概率为，从而零件的尺寸在之外的概率为，故因此.的数学期望为.

(2)(ⅰ)如果生产状态正常，一个零件尺寸在之外的概率只有，一天内抽取的个零件中，出现尺寸在之外的零件的概率只有，发生的概率很小．因此一旦发生这种情况，就有理由认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查，可见上述监控生产过程的方法是合理的. (ⅱ)由，得的估计值为，的估计值为，由样本数据可以看出有一个零件的尺寸在之外，因此需对当天的生产过程进行检查．剔除之外的数据，剩下数据的平均.因此的估计值为，剔除之外的数据，剩下数据的样本方差为，因此的估计值为.

【易错点】1．正确阅读理解，弄清题意：与概率统计有关的应用问题经常以实际生活为背景，且常考常新，而解决问题的关键是理解题意，弄清本质，将问题转化为离散型随机变量分布列求解问题，如本题第(1)问就是利用正态分布求出，进而求出.

2．注意利用第(1)问的结果：在题设条件下，如果第(1)问的结果第(2)问能用得上，要可以直接用，有些题目不用第(1)问的结果甚至无法解决，如本题即是在第(1)问的基础上利用小概率问题，说明监控生产过程方法的合理性．

3．注意规范答题：解题时要写准每一小题的解题过程，尤其是解题得分点要准确、规范，需要文字表达的，不要惜墨，但也不能过于啰嗦，恰到位置就好，本题就需要用文字表达，准确说明是解题关键．

【思维点拨】

1.条件概率的两种求解方法: (2)基本事件法,借助古典概型概率公式,先求事件包含的基本事件数,再求事件所包含的基本事件数,得.

2.判断相互独立事件的三种常用方法:

(1)利用定义,事件相互独立⇔.

（2）利用性质,与相互独立,则与与,也都相互独立.

(3)具体背景下,①有放回地摸球,每次摸球的结果是相互独立的.

②当产品数量很大时,不放回抽样也可近似看作独立重复试验.

3. 求离散型随机变量的分布列,首先要根据具体情况确定的取值情况,然后利用排列、组合与概率知识求出取各个值的概率.

4. 利用独立重复试验概率公式可以简化求概率的过程,但需要注意检验该概率模型是否满足公式的三个条件:(1)在一次试验中某事件发生的概率是一个常数;(2)次试验不仅是在完全相同的情况下进行的重复试验,而且各次试验的结果是相互独立的;(3)该公式表示次试验中事件恰好发生了次的概率.

5. 求离散型随机变量的均值与方差的基本方法有:

(1)已知随机变量的分布列求它的均值、方差和标准差,可直接按定义(公式)求解;

(2)已知随机变量的均值、方差,求的线性函数的均值、方差,可直接用均值、方差的性质求解,即,(为常数).

(3)如能分析所给随机变量服从常用的分布,可直接利用它们的均值、方差公式求解,即若服从两点分布,则,;若，则，.

四、成果巩固

题型一  古典概型与几何概型

1.已知，，则函数在区间上为增函数的概率是（    ）

.       .       .       .

【答案】

【解析】①当时，，情况为符合要求的只有一种；

②当时，则讨论二次函数的对称轴要满足题意则产生的情况表示：

，8种情况满足的只有4种;

综上所述得：使得函数在区间为增函数的概率为：.

2.在区间上任取一数，则的概率是（   ）

．                   ．                  .                     ．

【答案】

【解析】由题设可得,即;所以,则由几何概型的概率公式.故应选.

3.某汽车美容公司为吸引顾客，推出优惠活动：对首次消费的顾客，按元/次收费，并注册成为会员，对会员逐次消费给予相应优惠，标准如下表：

该公司从注册的会员中，随机抽取了位进行统计，得到统计数据如下表：

假设汽车美容一次，公司成本为元，根据所给数据，解答下列问题：

(1)估计该公司一位会员至少消费两次的概率；

(2)某会员仅消费两次，求这两次消费中，公司获得的平均利润；

(3)该公司要从这位里至少消费两次的顾客中按消费次数用分层抽样方法抽出人，再从这人中抽出人发放纪念品，求抽出的人中恰有人消费两次的概率．

【答案】(1) 0.4；(2) 45；（3）.

【解析】(1)位会员中，至少消费两次的会员有位，所以估计一位会员至少消费两次的概率为.

(2)该会员第次消费时，公司获得的利润为

第次消费时，公司获得的利润为，所以，公司获得的平均利润为.

（3）因为，所以用分层抽法抽出的人中，消费次的有人，分别为，消费次的有人，分别设为,消费次和次及以上的各有人，分别设为从中抽出人，抽到的有，共种；去掉后，抽到的有

共种；……；去掉后，抽到的有：，共种，总的抽取方法有，其中恰有人消费两次的抽取方法有，所以，抽出的两人中恰有人消费两次的概率为.

考向二  统计与统计案例

1.为考查某种疫苗预防疾病的效果,进行动物实验,得到统计数据如下：

现从所有试验动物中任取一只,取到“注射疫苗”动物的概率为．

（Ⅰ）求列联表中的数据,,,的值；

（Ⅱ）绘制发病率的条形统计图,并判断疫苗是否有效？

（Ⅲ）能够有多大把握认为疫苗有效？

附：

【答案】（Ⅰ）,,,；（Ⅱ）详见解析；（Ⅲ）至少有的把握认为疫苗有效.

【解析】（Ⅰ）设“从所有试验动物中任取一只,取到“注射疫苗”动物”为事件A,

由已知得,所以,,,．

（Ⅱ）未注射疫苗发病率为,注射疫苗发病率为．

发病率的条形统计图如图所示,由图可以看出疫苗影响到发病率．

（Ⅲ）．

所以至少有的把握认为疫苗有效.

2.在“新零售”模式的背景下，某大型零售公司为推广线下分店，计划在市的区开设分店．为了确定在该区开设分店的个数，该公司对该市已开设分店的其他区的数据作了初步处理后得到下列表格．记表示在各区开设分店的个数， 表示这个分店的年收入之和．

（Ⅰ）该公司已经过初步判断，可用线性回归模型拟合与的关系，求关于的线性回归方程；

（Ⅱ）假设该公司在区获得的总年利润（单位：百万元）与之间的关系为，请结合（Ⅰ）中的线性回归方程，估算该公司应在区开设多少个分店，才能使区平均每个分店的年利润最大？

参考公式：

， ， ．

【答案】（1）；（2）公司应在区开设个分店，才能使区平均每个分店的年利润最大．

【解析】（1），，

关于的线性回归方程.

（2） ，

区平均每个分店的年利润 ，

∴时， 取得最大值，

故该公司应在区开设个分店，才能使区平均每个分店的年利润最大．

3. 某商场对商品天的日销售量(件)与时间(天)的销售情况进行整理，得到如下数据，经统计分析，日销售量(件)与时间(天)之间具有线性相关关系．

(1)请根据表中提供的数据，用最小二乘法求出关于的线性回归方程.

(2)已知商品天内的销售价格(元)与时间t(天)的关系为根据(1)中求出的线性回归方程，预测为何值时，商品的日销售额最大．参考公式：，.

【答案】(1)；(2)预测当时，商品的日销售额最大，最大值为元．

【解析】(1)根据题意，，，

，，

所以回归系数为，，

故所求的线性回归方程为.

（2）由题意得日销售额为

当时，，

所以当

当时，，

所以当

综上所述，预测当时，商品的日销售额最大，最大值为元.

题型三 概率、随机变量及其分布

1.在心理学研究中，常采用对比试验的方法评价不同心理暗示对人的影响，具体方法如下：将参加试验的志愿者随机分成两组，一组接受甲种心理暗示，另一组接受乙种心理暗示，通过对比这两组志愿者接受心理暗示后的结果来评价两种心理暗示的作用，现有名男志愿者和名女志愿者，从中随机抽取人接受甲种心理暗示，另人接受乙种心理暗示.

（I）求接受甲种心理暗示的志愿者中包含但不包含的频率。

（II）用X表示接受乙种心理暗示的女志愿者人数，求的分布列与数学期望EX.

【答案】（I）(II)的分布列为

X的数学期望是.

【解析】（I）记接受甲种心理暗示的志愿者中包含但不包含的事件为,则；

(II)由题意知可取的值为：，则,,

,,,

因此的分布列为

的数学期望是

=

2.某市医疗保险实行定点医疗制度，按照“就近就医、方便管理” 的原则，规定参加保险人员可自主选择四家医疗保险定点医院和一家社区医院作为就诊的医疗机构.若甲、乙、丙、丁名参加保险人员所在地区附近有三家社区医院，并且他们的选择是等可能的、相互独立的.

（1）求甲、乙两人都选择社区医院的概率；

（2）求甲、乙两人不选择同一家社区医院的概率；

（3）设在名参加保险人员中选择社区医院的人数为，求的分布列和数学期望及方差.

【答案】(1) ；(2) ；(3)答案见解析.

【解析】（1）设“甲、乙两人都选择社区医院”为时间,那么,所以甲、乙两人都选择社区医院的概率为.

(2)    设“甲、乙两人选择同一家社区医院”为事件，那么,所以甲、乙两人不选择同一家社区医院的概率.

依题意，所以.

故的分布列为

所以的数学期望,方差.

3.袋中有大小相同的个红球和个白球,现从袋中每次取出一个球,若取出的是红球，则放回袋中,继续取一个球,若取出的是白球,则不放回,再从袋中取一球,直到取出两个白球或者取球次,则停止取球,设取球次数为,

(1)求取球次则停止取球的概率;

(2)求随机变量的分布列.

【答案】（1）；（2）见解析.

【解析】（1）记“取球次停止”为事件， 则；

（3）由题意，可能的取值为，;;

其分布表如下：

五、课堂小结

1、解答概率与统计综合题的个注意点：

(1)明确频率与概率的关系，频率可近似替代概率．

(2)此类问题中的概率模型多是古典概型，在求解时，要明确基本事件的构成．

2、用样本估计总体是统计的基本思想，而利用频率分布表和频率分布直方图来估计总体则是用样本的频率分布去估计总体分布的两种主要方法.分布表在数量表示上比较准确，直方图比较直观.

3、频率分布表中的频数之和等于样本容量，各组中的频率之和等于；在频率分布直方图中，各小长方形的面积表示相应各组的频率，所以，所有小长方形的面积的和等于.

4、对于离散型随机变量,它的分布列指出了随机变量的取值范围以及取这些值的概率.

5、古典概型中,在发生的条件下发生的条件概率公式为.

6、相互独立事件与互斥事件的区别.

相互独立事件是指两个事件发生的概率互不影响,计算公式为.互斥事件是指在同一试验中,两个事件不会同时发生,计算公式为.

7、对于二项分布,如果在一次试验中某事件发生的概率是,那么在次独立重复试验中这个事件恰好发生次的概率是.其中

8、若服从正态分布,即,要充分利用正态曲线关于直线对称和正态曲线与轴之间的面积为.

9、求离散型随机变量的均值与方差的三种基本方法:

(1)已知随机变量的分布列可直接按定义(公式)求解;

(2)已知随机变量的均值、方差,求的均值、方差可直接用均值、方差的性质求解.

(3)若随机变量服从常用的分布,可直接利用常用分布的均值、方差公式求解