【2019年高考二轮课程】数学理科 全国通用版 集合与简易逻辑 教案

2019年高考二轮复习  集合与简易逻辑

一、高考回顾

集合与简易逻辑在往年的高考中，都是以小题的形式出现，集合的考查往往是第一题，选择或填空都是各占5分，难度稍小。高考对本章的考查会保持相对稳定，即在题型、题量、难度、重点考查内容等方面不会有太大的变化。

二、知识清单

1.思维导图

2.知识再现

考点1元素与集合

(1)集合元素的特性：确定性、互异性、无序性．

(2)集合与元素的关系：若a属于集合A，记作；若b不属于集合A，记作．

(3)集合的表示方法：列举法、描述法、图示法．

(4)常见数集及其符号表示

考点2集合间的基本关系:学科网ZXXK]

（1）子集：对于两个集合A与B，如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，我们就说集合A包含于集合B，或集合B包含集合A，也说集合A是集合B的子集。记为或．

（2）真子集：对于两个集合A与B，如果，且集合B中至少有一个元素不属于集合A，则称集合A是集合B的真子集。记为．

（3）空集是任何集合的子集， 空集是任何非空集合的真子集．

（4）若一个集合含有n个元素，则子集个数为个，真子集个数为．

考点3集合的运算

(1)三种基本运算的概念及表示

（2）三种运算的常见性质

， ， ，，，．

，，．

, , , ．

考点4  命题及其关系

1.四种命题

2．四种命题间的逆否关系

3．四种命题的真假关系

(1)两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；

(2)两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系．

考点5  充分条件、必要条件与充要条件

1．如果pq，则p是q的充分条件，q是p的必要条件．

2．如果pq，qp，则p是q的充要条件．

3. 充分条件与必要条件的判定方法：

 (1)利用定义判断

①若p⇒q，则p是q的充分条件；

②若q⇒p，则p是q的必要条件；

③若p⇒q且q⇒p，则p是q的充要条件；

④若p⇒q且qp，则p是q的充分不必要条件；

⑤若pq且q⇒p，则p是q的必要不充分条件；

⑥若pq且qp，则p是q的既不充分也不必要条件

(2) 利用集合判断

记条件p、q对应的集合分别为A、B，则：

若A⊆B，则p是q的充分条件，同时q是p的必要条件；

若，则p是q的充分不必要条件，同时q是p的必要不充分条件；

若A＝B，则p是q的充要条件；

若AB，且A⊉B，则p是q的既不充分也不必要条件．

考点6  简单的逻辑联接词

 命题p∧q，p∨q，的真假判断：p∧q中p、q有一假为假，p∨q有一真为真，p与非p必定是一真一假．

考点7  全称量词与存在性量词

1．含有一个量词的命题的否定

2.一些常用正面叙述的词语及它的否定词语列表如下：

三、例题精讲

题型一  集合的基本题型

【例题1】若，集合，求的值________．

【答案】2

【例题2】设P、Q为两个非空集合，定义集合．若，则中元素的个数是(　　)

A．9      B．8      C．7      D．6

【答案】B

【解析】＝，故中元素的个数是8

题型二  利用集合的关系或运算解决参数问题

【例题1】若集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，且B⊆A，则m的可取值组成的集合为_____．

【答案】

【解析】当，即时，，满足；                         

若，且满足，如图所示，

则即∴．                         

故或，即所求集合为． 

【例题2】已知集合, ,且,若,则实数的取值范围是(　　)

A．       B．     C．         D．

【答案】D

【解析】由于,所以,又因为B≠,所以有解得,故选D.

题型三  命题

【例题1】命题中①“若，则不全为零”的否命题；②“正多边形都相似”的逆命题；③“若，则有实根”的逆否命题；④“若是有理数，则是有理数”的逆否命题，正确的是_____.

【答案】①③④

【解析】　①中否命题为“若，则”，正确；③中,，当时，，原命题正确，故其逆否命题正确；②中逆命题不正确；④中原命题正确故逆否命题正确．

题型四  充要条件

【例题1】已知命题，命题，若是的必要不充分条件，则实数的取值范围是    ．

【答案】[－2，5]

【解析】，，因为是的必要不充分条件，所以是的真子集，即

【例题3】“三个数，，成等比数列”是“”的      条件．（填“充分不必要、充要、必要不充分、既不充分也不必要”）

【答案】充分不必要

题型五  简单逻辑连结词连结的命题的真假判断

【例题1】已知命题，命题，则在命题，，，中真命题是　　　　　　　　.

【答案】和

题型六  全称命题与存在命题的否定

【例题1】命题“”的否定是      ．

【答案】

【例题2】命题“，”的否定是      ．

【答案】，

四、成果巩固

题型一  集合的基本题型

1.【2017河北唐山二模】已知集合， ，则集合中元素个数为（　　）

A. 1    B. 2    C. 3    D. 4

【答案】C

【解析】由题意，得， ，则集合中元素个数为3；故选C.

2.设集合，对任意实数x恒成立，且，则下列关系中成立的是(　　)

A．         B．        C．           D．

【答案】A

【解析】，或．

∴．∴．∴．

3.已知集合，集合，且，则＝________，＝________.

【答案】　－1　1

【解析】　由题意，知．因为，

，结合数轴，如图．[来源:学科网ZXXK]

所以.

题型二  集合中的求参数问题

1.【2017四川适应性测试】设集合，集合，则使得的的所有取值构成的集合是（    ）

A．         B．       C．        D．

【答案】D

【解析】：因为，所以，因此，选D.

2.已知集合，，若，则实数的取值范围是(　　)

A．(0,1]  B．[1，＋∞)   C．(0,1) D．(1，＋∞)

【答案】　B

3.设集合A＝{x|x2－3x＋2＝0}，B＝{x|x2＋2(a＋1)x＋(a2－5)＝0}．

(1)若，求实数a的值；

(2)若A∪B＝A，求实数a的取值范围．

【解析】由，得或，故集合．

(1)∵，∴，代入中的方程，得或，当时，，满足条件；当时，，满足条件，综上，的值为或．

（2）对于集合，．∵A∪B＝A，∴．

①当，即时，，满足条件；

②当，即时，，满足条件；

③当，即时，才能满足条件，

则由根与系数的关系得， 矛盾；

综上，的取值范围是．

题型三  命题

1.(2014·高考陕西卷)原命题为“若，互为共轭复数，则||＝||”，关于其逆命题，否命题，逆否命题真假性的判断依次如下，正确的是(　　)

A．真，假，真   B．假，假，真

C．真，真，假   D．假，假，假

【答案】　B

【解析】原命题正确，所以逆否命题正确．模相等的两复数不一定互为共轭复数，同时因为逆命题与否命题互为逆否命题，所以逆命题和否命题错误．故选B．

2.已知命题p：“正数a的平方不等于0”，命题q：“若a不是正数，则它的平方等于0”，则p是q的________．(从“逆命题，否命题，逆否命题，否定”中选一个填空)

【答案】否命题

【解析】命题p的逆命题：“若a的平方不等于0，则a是正数”；

命题p的否命题：“若a不是正数，则它的平方等于0”；

命题p的逆否命题：“若a的平方等于0，则a不是正数”；

命题p的否定：“至少有一个正数的平方等于0”．

所以p是q的否命题．

3．有下列几个命题：

①“若a＞b，则＞”的否命题；

②“若x＋y＝0，则x，y互为相反数”的逆命题；

③“若＜4，则－2＜x＜2”的逆否命题．

其中真命题的序号是________．

【答案】②③

【解析】①原命题的否命题为“若a≤b，则≤”，错误．

②原命题的逆命题为：“若x，y互为相反数，则x＋y＝0”，正确．

③原命题的逆否命题为“若x≥2或x≤－2，则≥4”，正确．

题型四  充要条件

1.（2016高考北京卷）设，是向量，则“||=||”是“|+|=|﹣|”的（ ）

A、充分而不必要条 B、必要而不充分条件 C、充分必要条件 D、既不充分也不必要条件

【答案】D．

2.已知向量a＝(sin α，cos α)，b＝(cos β，sin β)，且a与b的夹角为θ，则“|a－b|＝1”是“θ＝60°”的(　　)

A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充分必要条件

D．既不充分也不必要条件

【答案】C．

【解析】由条件可知|a|＝|b|＝1，若|a－b|＝1，则(a－b)2＝1，即a2＋b2－2a·b＝1，所以1＋1－2cos θ＝1，即cos θ＝，故θ＝60°．同理，若θ＝60°，则|a－b|＝1也成立．故“|a－b|＝1”是“θ＝60°”的充分必要条件．

3.已知集合A＝{x|＜2x＜8，x∈R}，B＝{x|－1＜x＜m＋1，x∈R}，若x∈B成立的一个充分不必要的条件是x∈A，则实数m的取值范围是________．

【答案】(2，＋∞)

【解析】A＝{x|＜2x＜8，x∈R}＝{x|－1＜x＜3}，

∵x∈B成立的一个充分不必要条件是x∈A，

∴，∴m＋1＞3，即m＞2．

题型五  简单逻辑连结词连结的命题的真假判断

1．(2014·高考辽宁卷)设a，b，c是非零向量．已知命题p：若a·b＝0，b·c＝0，则a·c＝0；命题q：若a∥b，b∥c，则a∥c．则下列命题中真命题是(　　)

A．p∨q   B．p∧q

C．(p)∧(q)   D．p∨(q)

【答案】A．

【解析】由题意知命题p为假命题，命题q为真命题，所以p∨q为真命题．故选A．

2. (2017·高考重庆卷)已知命题p：对任意x∈R，总有|x|≥0；q：x＝1是方程x＋2＝0的根．

则下列命题为真命题的是(　　)

A．p∧q   B．p∧q

C．p∧q   D．p∧q

【答案】　A

【解析】　由题意知命题p是真命题，命题q是假命题，故綈p是假命题，綈q是真命题，由含有逻辑联结词的命题的真值表可知p∧綈q是真命题．故选A．

3.(2018·北京西城区模拟)已知命题p：函数y＝(c－1)x＋1在R上单调递增；命题q：不等式－x＋c≤0的解集是∅．若p且q为真命题，则实数c的取值范围是________．

【答案】(1，＋∞)

【解析】若命题p是真命题，则c－1>0，c>1；若命题q是真命题，则Δ＝1－4c<0，c>．因此，由p且q是真命题得即c>1，即实数c的取值范围是(1，＋∞)．

题型六  全称命题与存在命题的否定

1. 命题：“对任意k>0，方程有实根”的否定是________．

【答案】存在k>0，方程无实根

【解析】全称命题的否定是特称命题，故原命题的否定是“存在k>0，方程无实根”．

2．命题p的否定是“对所有正数x，”，则命题p是________．

【答案】

【解析】因为p是的否定，所以只需将全称命题变为特称命题，再对结论否定即可．

五、课堂小结

1.我们学习集合的时候，空集的特殊地位不容忽视，是我们学习中特别要注意的。

2.集合间的基本运算用数轴法比较直观简单。

3.充分条件、必要条件、充分必要条件的判断方法中用定义判断和集合判断两种方法

4.正确理解逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义是关键，解题时应根据组成各个复合命题的语句中所出现的逻辑联结词进行命题结构与真假的判断．

5.全称命题与存在命题的否定要注意不仅否定结论，好要改变前面的量词