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2019届高三理科数学二轮复习配套教案：考前回扣
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考前回扣
(对应学生用书第72~84页)
一、集合、复数与常用逻辑用语
知识方法
1.集合的概念、关系及运算
(1)集合中元素的特性:确定性、互异性、无序性,求解含参数的集合问题时要根据互异性进行检验.
(2)集合与集合之间的关系:A⊆B,B⊆C⇒A⊆C,空集是任何集合的子集,含有n个元素的集合的子集数为2n,真子集数为2n-1,非空真子集数为2n-2.
(3)集合的基本运算
①交集:A∩B={x|x∈A,且x∈B}.
②并集:A∪B={x|x∈A,或x∈B}.
③补集:∁UA={x|x∈U,且x∉A}.
重要结论:A∩B=A⇔A⊆B;
A∪B=A⇔B⊆A.
2.四种命题的关系
(1)逆命题与否命题互为逆否命题;
(2)互为逆否命题的两个命题同真假;
(3)当判断原命题的真假比较困难时,可以转化为判断它的逆否命题的真假.
3.充分、必要条件
若p⇒q,则p是q的充分条件,q是p的必要条件;若p⇔q,则p,q互为充要条件.
4.简单的逻辑联结词
命题p∨q,只要p,q有一真,即为真;命题p∧q,只有p,q均为真,才为真;?p和p为真假对立的命题.
5.全称命题与特称命题
(1)全称命题p:∀x∈M,p(x),它的否定?p:∃x0∈M,?p(x0).
(2)特称命题p:∃x0∈M,p(x0),它的否定?p:∀x∈M,?p(x).
6.复数
(1)复数的有关概念
(2)运算法则
加减法:(a+bi)±(c+di)=(a±c)+(b±d)i.
乘法:(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i.
除法:==.
易忘提醒
1.求解集合运算时,要注意集合端点值的取舍,涉及含参数的集合运算时,要注意集合中元素的“互异性”.
2.判断一些命题的真假时,如果不能直接判断,可以转化为判断其逆否命题的真假.
3.否命题是既否定条件,又否定结论;而命题的否定是只否定命题的结论.在否定结论时,应将“且”改成“或”,将“或”改成“且”.
4.A是B的充分不必要条件(A⇒B且B⇒/ A)与A的充分不必要条件是B(B⇒A,且A⇒/ B)两者的不同.
5.只有当两个复数全是实数时,两复数才能比较大小,即当z1,z2∈C时,若z1,z2能比较大小,它们的虚部均为0.
习题回扣(命题人推荐)
1.(集合的运算)若集合M=xy=,N={y|y=},则M∩∁RN= .
答案:{x|x<0}
2.(复数的概念与运算)+1= .
答案:
3.(复数相等)若x,y∈R,且(x-3y)+(2x+3y)i=5+i,则x-y= .
答案:3
4.(充要条件)两直线斜率相等是两直线平行的 条件.
答案:既不充分又不必要
5.(命题真假判断)下列命题是真命题的序号是 .
①“空集是集合A的子集”的否定;②有些整数只有两个正因数;③∃x是无理数,x2也是无理数;④“任意两个等边三角形都是相似”的否定.
答案:②③
二、平面向量、框图与合情推理
知识方法
1.平面向量
(1)平面向量的两个重要定理
①向量共线定理:向量a(a≠0)与b共线当且仅当存在唯一一个实数λ,使b=λa.
②平面向量基本定理:如果e1,e2是同一平面内的两个不共线向量,那么对这一平面内的任一向量a,有且只有一对实数λ1,λ2,使a=λ1e1+λ2e2,其中e1,e2是一组基底.
(2)两个非零向量平行、垂直的充要条件
若两个非零向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),则:
①a∥b⇔a=λb(λ≠0)⇔x1y2-x2y1=0.
②a⊥b⇔a·b=0⇔x1x2+y1y2=0.
(3)平面向量的三个性质
①若a=(x,y),则|a|==.
②若A(x1,y1),B(x2,y2),则||=.
③若a=(x1,y1),b=(x2,y2),θ为a与b的夹角,则cos θ==.
(4)常用的重要结论:
①若直线l的斜率为k,则(1,k)是直线l的一个方向向量;
②若=λ+μ(λ,μ为常数),则A,B,C三点共线的充要条件是λ+μ=1.
2.框图
程序框图的三种基本逻辑结构
(1)顺序结构:如图(1)所示;
(2)条件结构:如图(2)和(3)所示;
(3)循环结构:如图(4)和(5)所示.
3.合情推理
合情推理包括归纳推理和类比推理.归纳推理是由部分到整体,由个别到一般的推理;而类比推理是由特殊到特殊的推理.
易忘提醒
1.注意向量平行与三点共线的区别与联系,当两向量平行且有公共点时,才能得出三点共线;另外,利用向量平行证明向量所在直线平行,必须说明这两条直线不重合.
2.向量相等具有传递性,向量平行不具有传递性.
如a∥b,b∥c,只有b≠0时,a∥c.
3.a·b=0不能推出a=0或b=0,因为a·b=0时,有可能a⊥b.
4.a·b>0是两个向量a,b夹角为锐角的必要不充分条件.
5.利用循环结构表示算法,第一要准确地选择表示累计的变量,第二要注意在哪一步开始循环,满足什么条件不再执行循环体.
6.直到型循环是先执行再判断,直到条件满足才结束循环;当型循环是先判断再执行,若满足条件则进入循环体,否则结束循环.
7.合情推理的结论不一定是正确的,要确定其结论的正确性还需证明.
习题回扣(命题人推荐)
1.(程序框图)执行如图所示的程序框图,如果输入的t∈[-1,3],则输出的s属于( A )
(A)[-3,4] (B)[-5,2]
(C)[-4,3] (D)[-2,5]
2.(共线向量)设平面向量a=(1,2),b=(-2,y),若a∥b,则|2a-b|= .
答案:4
3.(数量积的应用)已知向量a,b满足|a|=1,|b|=4,且a·b=2,则a与b的夹角为 .
答案:
4.(数量积的应用)设Ox,Oy是平面内相交成60°角的两条数轴,e1,e2分别是与x轴、y轴正方向同向的单位向量,若向量=xe1+ye2,则把有序数对(x,y)叫做向量在坐标系xOy下的坐标.假设=3e1+2e2,则||= .
答案:
5.(类比推理)设P是△ABC内一点,△ABC三边上的高分别为hA,hB,hC,P到三边的距离依次为la,lb,lc,则有++=1;类比到空间,设P是四面体ABCD内一点,四顶点到对面的距离分别是hA,hB,hC,hD,P到这四个面的距离依次是la,lb,lc,ld,则有 .
答案:+++=1
三、不等式与线性规划、计数原理与二项式定理
知识方法
1.一元二次不等式的解法
先化为一般形式ax2+bx+c>0(a≠0),再求相应一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根,最后根据相应二次函数图象与x轴的位置关系,确定一元二次不等式的解集.
2.线性规划
(1)判断二元一次不等式表示的平面区域的方法.在直线Ax+By+C=0(A2+B2≠0)的某一侧任取一点(x0,y0),通过Ax0+By0+C的符号来确定Ax+By+C>0(或Ax+By+C<0)所表示的区域.
(2)解不含实际背景的线性规划问题的一般步骤:①画出可行域;②根据线性目标函数的几何意义确定其取得最优解的点;③求出目标函数的最大值或者最小值.
(3)求解实际生活中线性规划问题时,应根据条件确定可行域及目标函数,根据可行域及目标函数特征求最值.
3.基本不等式
(1)已知x,y∈(0,+∞),如果积xy是定值P,那么当x=y时,和x+y有最小值2;
(2)已知x,y∈(0,+∞),如果和x+y是定值S,那么当x=y时积xy有最大值.
4.排列与组合
(1)分类加法计数原理和分步乘法计数原理
如果每种方法都能将规定的事件完成,则要用分类加法计数原理将方法种数相加;如果需要通过若干步才能将规定的事件完成,则要用分步乘法计数原理将各步的方法种数相乘.
(2)排列数、组合数的公式及性质
公式
①=n(n-1)(n-2)…(n-m+1)=
②==
=
性质
①0!=1;=n!
②=;=+
5.二项式定理
(1)二项式定理
二项式定理
(a+b)n=an+an-1b1+…+an-kbk+…+bn(n∈N*)
二项展开式
的通项公式
Tk+1=an-kbk,它表示第k+1项
二项式系数
二项展开式中各项的系数(k∈{0,1,2,…,n})
(2)二项式系数的性质
①0≤k≤n时,与的关系是=.
②二项式系数先增后减中间项最大.当n为偶数时,第+1项的二项式系数最大,最大值为;当n为奇数时,第项和项的二项式系数最大,最大值为和.
③各二项式系数和:+++…+=2n,+++…=+++…=2n-1.
易忘提醒
1.求解形如ax2+bx+c>0(a≠0)的一元二次不等式时,易忽视对系数a的讨论导致漏解或错解,应分a>0,a<0进行讨论.在填空题中不等式的解集一定要写成集合或区间的形式.
2求解线性规划问题时应明确:“直线定界,特殊点定域”,定界时注意是否包含边界.
3.求线性目标函数最值时,应将z=ax+by转化为y=-x+.要注意b>0或b<0对目标函数最值的影响,且应注意正切函数y=tan α在,π时,函数是增函数.
4.使用基本不等式≥时应注意“一正、二定、三相等”的条件,在多次使用基本不等式求最值时,应注意取“等号”的条件是否一致.
习题回扣(命题人推荐)
1.(不等式的解法)函数y=的定义域为R,则m的取值范围是 .
答案:,+∞
2.(线性规划)若x,y满足约束条件则z=2x+3y的最大值为 .
答案:70
3.(基本不等式单调性法)(1)函数f(x)=的最小值为 ;
(2)函数f(x)=的最小值为 .
答案:(1)2 (2)
4.(不等式性质)已知则2x+y的取值范围是 .
答案:[1,5]
四、函数图象与性质、函数与方程
知识方法
1.函数的三个性质
(1)单调性
对于函数y=f(x)定义域内某一区间D上的任意x1,x2,(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]>0(<0)⇔f(x)在D上是增(减)函数;对于函数y=f(x)定义域内某一区间D上的任意x1,x2,>0(<0)⇔f(x)在D上是增(减)函数.
(2)奇偶性
对于定义域(关于原点对称)内的任意x,f(x)+f(-x)=0⇔f(x)是奇函数;对于定义域(关于原点对称)内的任意x,f(x)-f(-x)=0⇔f(x)是偶函数.
(3)周期性
设函数y=f(x),x∈D.
若T为f(x)的一个周期,则nT(n≠0,n∈Z)也是f(x)的周期.
2.关于函数性质常见结论
(1)常见抽象函数的周期.(设函数y=f(x),定义域为D)
①若∀x∈D,且f(x+a)=-f(x),则T=2|a|;(a≠0,下同)
②若∀x∈D,且f(x+a)=±,则T=2|a|;
③若∀x∈D,且f(x+a)=f(x+b),则T=|b-a|(a≠b).
(2)抽象函数对称性.(y=f(x),定义域为D)
①若对∀x∈D,且f(a+x)=f(b-x),则函数f(x)的图象关于直线x=对称;特别地,当a=b,即f(a+x)=f(a-x)时,函数f(x)的图象关于直线x=a对称;
②若对∀x∈D,f(a+x)=-f(b-x)(即f(x+a+b)=-f(-x)),则函数图象关于点,0中心对称,特别地,当a=b时,即f(a+x)=-f(a-x),则函数图象关于点(a,0)中心对称.
(3)关于奇偶性结论
①若奇函数y=f(x)在原点处有定义,则一定有f(0)=0;
②若函数y=f(x)是偶函数,则f(x)=f(-x)=f(|x|);
③奇函数在关于原点对称的区间有相同的单调性,偶函数在关于原点对称的区间单调性相反.
3.关于指数与对数式的七个运算公式
(1)am·an=am+n;
(2)(am)n=amn;
(3)loga(MN)=logaM+logaN;
(4)loga=logaM-logaN;
(5)logaMn=nlogaM;
(6)=N;
(7)logaN=(a>0且a≠1,b>0且b≠1,M>0,N>0).
4.指数函数与对数函数的图象和性质
指数函数
对数函数
图象
单调性
01时,在R上单调递增
a>1时,在(0,+∞)上单调递增;0
性质
0
当x>0时,01
当x>1时,y<0,
当00
a>1
当x>0时,y>1;
当x<0时,0
当0
5.函数的零点
(1)函数的零点及其与方程根的关系
对于函数f(x),使f(x)=0的实数x叫做函数f(x)的零点,函数F(x)=f(x)-g(x)的零点就是方程f(x)=g(x)的根,即函数y=f(x)的图象与函数y=g(x)的图象交点的横坐标.
(2)零点存在性定理
如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线,并且有f(a)·f(b)<0,那么函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点,即存在c∈(a,b),使得f(c)=0,这个c也就是方程f(x)=0的根.
易忘提醒
1.判断函数奇偶性时,首先考虑函数定义域是否关于原点对称.
2.函数有多个单调区间时,易错误地在多个单调区间之间添加符号“∪”和“或”,它们之间一般用“,”隔开或者用“和”字连接.
3.底数含参数的指数、对数函数单调性,要分底数a>1和0
习题回扣(命题人推荐)
1.(函数的定义域)函数f(x)=的定义域为 .
答案:(-∞,-2)∪(4,+∞)
2.(函数的奇偶性)函数f(x)=x2+(a-1)x+b在定义域(-5,b+2)上是偶函数,则a+b= .
答案:4
3.(指数函数的图象和性质)函数f(x)=3+(a-1)x-2(a>1且a≠2)必过定点 .
答案:(2,4)
4.(对数的运算)(lg 5)2+lg 50·lg 2= .
答案:1
5.(函数的零点)函数f(x)=3x-7+ln x的零点位于区间(n,n+1)(n∈N*)内,则n= .
答案:2
五、导数的简单应用与定积分
知识方法
1.导数的几何意义
(1)函数y=f(x)在x=x0处的导数f'(x0)就是曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处切线的斜率,即k=f'(x0).
(2)曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处的切线方程为y-f(x0)=f'(x0)(x-x0).
2.函数的单调性
(1)在某个区间(a,b)内,如果f'(x)>0(f'(x)<0),那么函数y=f(x)在这个区间内单调递增(单调递减).
(2)利用导数求函数f(x)的单调区间的一般步骤
①确定函数f(x)的定义域;
②求导数f'(x);
③在函数f(x)的定义域内解不等式f'(x)>0和f'(x)<0;
④根据③的结果确定函数f(x)的单调区间.
3.函数的极值
设函数y=f(x)在点x0附近有定义,如果对x0附近所有的点x都有f(x)f(x0),那么f(x0)是函数的一个极小值,记作y极小值=f(x0).极大值与极小值统称为极值.
4.函数的最值
将函数y=f(x)在[a,b]内的各极值与端点处的函数值f(a),f(b)比较,其中最大的一个是最大值,最小的一个是最小值.
5.定积分
(1)定积分的性质
①kf(x)dx=kf(x)dx;
②[f1(x) ±f2(x)]dx=f1(x)dx±f2(x)dx;
③f(x)dx=f(x)dx+f(x)dx.(其中a
一般地,如果f(x)是区间[a,b]上的连续函数,并且F'(x)=f(x),那么f(x)dx=F(b)-F(a).
易忘提醒
1.曲线y=f(x)“在点P(x0,y0)处的切线”与“过点P(x0,y0)的切线”是不同的.前者只有一条,后者则可能有多条.
2.求复合函数y=f(ax+b)的导数时应注意复合函数求导法则,其导数为y'=af'(ax+b).
3.利用导数研究函数的单调性,首先确定函数的定义域.
4.已知单调性求参数时,应明确f'(x)>0在(a,b)上成立是f(x)在(a,b)上是增函数的充分条件.当f(x)在(a,b)上是增函数时,应有f'(x)≥0恒成立(其中满足f'(x)=0的x只有有限个),否则答案不全面.
5.可导函数y=f(x)在x=x0处的导数f'(x0)=0是y=f(x)在x=x0处取得极值的必要不充分条件.
6.求定积分时应明确定积分结果可负,但曲边形的面积非负.
习题回扣(命题人推荐)
1.(导数的运算)函数f(x)=xsin x的导数为f'(x)= .
答案:sin x+xcos x
2.(导数几何意义)曲线y=x2+ax+b在点(0,b)处的切线方程是x-y+1=0,则a+b= .
答案:2
3.(函数的单调性与导数)函数f(x)=2x3-6x2+7的单调递增区间是 .
答案:(-∞,0),(2,+∞)
4.(函数的极值与导数)函数f(x)=x3-4x+在x= 处取极大值,其值是 .
答案:-2
5.(定积分)x+dx= .
答案:4+ln 3
六、导数的综合应用
知识方法
1.利用导数解决与函数有关的方程根问题
(1)利用导数研究高次式、分式、指数式、对数式方程根的个数问题的一般思路:
①将问题转化为函数零点的个数问题,进而转化为函数图象交点的个数问题;
②利用导数研究该函数在给定区间上的单调性、极值(最值)、端点值等;
③画出函数的大致图象;
④结合图象求解.
(2)证明复杂方程在某区间上有且仅有一解的步骤:
①在该区间上构造与方程相应的函数;
②利用导数研究该函数在该区间上的单调性;
③判断该函数在该区间端点处的函数值异号;
④作出结论.
2.利用导数证明不等式
不等式的证明可转化为利用导数研究函数的单调性、极值和最值,再由单调性或最值来证明不等式,其中构造一个可导函数是用导数证明不等式的关键.
易忘提醒
在解决导数的综合问题时,应注意:
(1)树立定义域优先的原则.
(2)熟练掌握基本初等函数的求导公式和求导法则.
(3)理解与不等式有关的导数综合问题化为函数最值问题的转化过程.
(4)理解含参导数的综合问题中分类讨论思想的应用.
(5)存在性问题与恒成立问题容易混淆,它们既有区别又有联系:
若f(x)≤m恒成立,则f(x)max≤m;
若f(x)≥m恒成立,则f(x)min≥m.
若f(x)≤m有解,则f(x)min≤m;
若f(x)≥m有解,则f(x)max≥m.
七、三角函数的图象与性质、三角恒等变换
知识方法
1.三角函数定义及诱导公式
(1)三角函数的定义
设α是一个任意角,它的终边与单位圆交于点P(x,y),则sin α=y,cos α=x,tan α=.各象限角的三角函数值的符号;一全正,二正弦,三正切,四余弦.
(2)诱导公式及记忆
对于“±α,k∈Z的三角函数值”与“α角的三角函数值”的关系可按下面口诀记忆:奇变偶不变,符号看象限.
2.“牢记”五组公式
(1)同角三角函数关系式
①平方关系:sin2α+cos2α=1;
②商数关系:tan α=.
(2)两角和与差的正弦、余弦、正切公式
sin(α±β)=sin αcos β±cos αsin β;
cos(α±β)=cos αcos β∓sin αsin β;
tan(α±β)=.
(3)二倍角的正弦、余弦、正切公式
sin 2α=2sin αcos α;
cos 2α=cos2α-sin2α=2cos2α-1=1-2sin2α;
tan 2α=;
cos2α=,sin2α=.
(4)辅助角公式
asin α+bcos α=sin(α+φ)tan φ=.
(5)关于α与的正弦、正切、余弦公式
①tan ===±.
②sin α=,cos α=.
3.“明确”三种三角函数图象、性质及两种图象变换
(1)三种函数的图象和性质
函
数
y=sin x
y=cos x
y=tan x
图
象
单
调
性
在-+2kπ,+2kπ(k∈Z)上单调递增;在+2kπ,+2kπ(k∈Z)上单调递减
在[-π+2kπ,2kπ](k∈Z)上单调递增;在[2kπ,π+2kπ](k∈Z)上单调递减
在-+kπ,+kπ(k∈Z)上单调递增
对
称
性
对称中心:(kπ,0)(k∈Z);对称轴:x=+kπ(k∈Z)
对称中心:+kπ,0(k∈Z);对称轴:x=kπ(k∈Z)
对称中心:
,0(k∈Z);无对称轴
(2)两种三角函数图象变换(以y=sin x变为y=sin (ωx+φ)(ωφ≠0)为例)
①先平移后伸缩:y=sin xy=sin(x+φ)y=sin(ωx+φ)y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0).
②先伸缩后平移:y=sin xy=sin ωxy=sin(ωx+φ)y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0).
易忘提醒
1.使用诱导公式时,要根据“口诀”确定符号.
2.研究形如y=Asin(ωx+φ)(ωφ≠0)的性质时,要将ωx+φ作为一个整体考虑,而当ω<0时,求y=Asin(ωx+φ)的单调性,应先利用诱导公式将x系数变为正数后再求其单调区间,要注意单调区间一定写成“区间”的形式,且角度制与弧度制不能混用,并且k∈Z.
3.由函数y=Asin ωx(ω≠0)的图象得到y=Asin(ωx+φ)的图象时,平移长度是,而不是|φ|.
4.三角函数平移时,若两三角函数名称不一致,需利用诱导公式化为同名函数后再平移.
5.利用三角恒等变换公式研究给角求值或给值求角时,不要忽视角的范围.
习题回扣(命题人推荐)
1.(定义转化法)若α是第二象限角且cos =-cos ,则是第 象限角.
答案:三
2.(转化法)若<α<π,则-= .
答案:-2tan α
3.(数形结合、定义法)函数y=|cos 2x|的最小正周期T= .
答案:
八、解三角形
知识方法
1.正弦定理
===2R(2R为△ABC外接圆的直径).
变形:a=2Rsin A,b=2Rsin B,c=2Rsin C.
sin A=,sin B=,sin C=.
a∶b∶c=sin A∶sin B∶sin C.
2.余弦定理
a2=b2+c2-2bccos A,b2=a2+c2-2accos B,
c2=a2+b2-2abcos C.
推论:cos A=,
cos B=,
cos C=.
3.面积公式
S△ABC=bcsin A=acsin B=absin C.
4.常用结论
(1)三角形内角和A+B+C=π;
(2)a>b>c⇔A>B>C⇔sin A>sin B>sin C;
(3)sin(A+B)=sin C,cos(A+B)=-cos C.
易忘提醒
1.根据正弦值求角时,应分类讨论.
2.判断三角形形状时,应注意等式两边不要约分.
3.已知两边及一边的对角,利用正、余弦定理求解时,解的情况可能不唯一.
习题回扣(命题人推荐)
1.(解三角形)在三角形ABC中,分别根据下列条件解三角形,其中有两个解的序号是 .
①a=30,b=40,A=30°
②a=25,b=30,A=150°
③a=8,b=16,A=30°
④a=72,b=60,A=135°
答案:①
2.
(实际应用)一只船以均匀的速度由A点向正北方向航行,如图,开始航行时,灯塔C在点A的北偏东30°方向,行驶60海里后,测灯塔C在点B的北偏东45°方向,则A到C的距离为 海里.
答案:(60+60)
3.(公式变形)△ABC中,sin A∶sin B∶sin C=11∶8∶5,则cos B= .
答案:
4.(解三角形)△ABC中,角A,B,C所对边分别为a,b,c,若A=,a=1,b=,则B= .
答案:或
九、等差数列与等比数列
知识方法
1.等差数列
(1)基本公式:通项公式、前n项和公式.
(2)项的性质:m+n=p+q(m,n,p,q∈N*)时,am+an=ap+aq,当p=q时,am+an=2ap.
(3)基本方法:①基本量方法;②定义法证明数列{an}为等差数列,其他证明方法均为定义法的延伸;③函数方法处理等差数列的前n项和问题.
2.等比数列
(1)基本公式:通项公式、前n项和公式(分公比等于1和不等于1).
(2)项的性质:m+n=p+q(m,n,p,q∈N*)时,aman=apaq,当p=q时,aman=.
(3)基本方法:①基本量方法;②定义法证明数列{an}为等比数列,其他证明方法均为定义法的延伸.
易忘提醒
1.b2=ac是a,b,c为等比数列的必要不充分条件;
2.当等比数列的公比不确定时,求前n项和要分公比等于1和不等于1分别进行计算.
习题回扣(命题人推荐)
1.(等差数列的判定)已知数列{an}满足如下条件:①an=an+b(a,b为常数);②2an+1=an+an+2对∀n∈N*恒成立;③前n项和Sn=2n2+3n+2.在上述条件中能够判定{an}为等差数列的是 .
答案:①②
2.(等差数列的基本运算)已知等差数列{an}的前n项和为Sn,若S10=310,S20=1 220,则Sn= .
答案:3n2+n
3.(等比数列的基本运算)已知等比数列{an}的前n项和为Sn,若S5=10,S10=50,则S15= .
答案:210
4.(等比数列的判定)已知数列{an},{bn}均为等比数列,则数列:①{an+bn};②{kan}(k为非零常数);③{anbn};④;⑤{b3n-2}中一定为等比数列的是 .
答案:②③④⑤
5.(等差、等比数列的综合)已知{an}是公差为d的等差数列,其前n项和为Sn;{bn}是公比为q的等比数列,其前n项和为Tn.有下列结论:①=d;②=qm-n;③Sk,S2k-Sk,S3k-S2k为等差数列;④Tk,T2k-Tk,T3k-T2k为等比数列(其中m,n,k为正整数).其中正确结论的序号是 .
解析:④中,当k为偶数时,有Tk=0的可能,如果k为奇数,则④的结论也正确.
答案:①②③
十、数列求和及简单应用
知识方法
1.an,Sn的关系
an=
2.基本公式
等差数列、等比数列求和公式.
3.常用裂项公式
(1)=-;
(2)=-;
(3)=-(n≥2);
(4)=-等.
4.基本递推关系
(1)an+1=an+f(n)(叠加法);
(2)=f(n)(叠乘法);
(3)an+1=can+d(c≠0,1,d≠0)(转化为an+1+λ=c(an+λ));
(4)an+1-qan=p·qn+1(p≠0,q≠0,1)转化为-=p等.
易忘提醒
1.根据Sn求通项时,不要忘记分类求解.
2.裂项求和时注意验证裂项前后的等价性;错位相减求和时,不要忘记检验第一项与后面的项是否组成等比数列,不要忘记最后一项.
习题回扣(命题人推荐)
1.(由an与Sn的关系求an)已知数列{an}的前n项和Sn=n2+n+1,则an= .
答案:
2.(逆推数列求和)已知数列{an}中,a1=1,a2=2,an+2=an+1+an,则该数列的前6项之和是 .
答案:32
3.(转化为等比数列求和)已知数列{an}满足a1=1,an+1=4an+3,则该数列的前n项和Sn= .
解析:an+1+1=4(an+1),an=2×4n-1-1,
所以Sn=-n=·4n-n-.
答案:·4n-n-
4.(裂项相消法求和)数列的前2 017项的和是 .
答案:
十一、空间几何体的三视图、表面积与体积
知识方法
1.棱柱、棱锥
(1)棱柱的性质
侧棱都相等,侧面是平行四边形;两个底面与平行于底面的截面是全等的多边形;过不相邻的两条侧棱的截面是平行四边形;直棱柱的侧棱长与高相等且侧面与对角面是矩形.
(2)正棱锥的性质
侧棱相等,侧面是全等的等腰三角形,斜高(侧面等腰三角形底边上的高)相等;棱锥的高、斜高和斜高在底面内的射影构成一个直角三角形;棱锥的高、侧棱和侧棱在底面内的射影也构成一个直角三角形;某侧面上的斜高、侧棱及底面边长的一半也构成一个直角三角形;侧棱在底面内的射影、斜高在底面内的射影及底面边长的一半也构成一个直角三角形.
2.三视图
(1)正视图、侧视图、俯视图分别是从几何体的正前方、正左方、正上方观察几何体得到的投影图.画三视图的基本要求:正俯一样长,俯侧一样宽,正侧一样高;
(2)三视图排列规则:俯视图放在正视图的下面,长度与正视图一样;侧视图放在正视图的右面,高度和正视图一样,宽度与俯视图一样.
3.几何体的切接问题
(1)解决球的内接长方体、正方体、正四棱柱等问题的关键是把握球的直径即是棱柱的体对角线.
(2)解决柱、锥的内切球问题的关键是找准切点位置,化归为平面几何问题.
4.柱体、锥体、台体和球的表面积与体积(不要求记忆)
(1)表面积公式
①圆柱的表面积S=2πr(r+l);
②圆锥的表面积S=πr(r+l);
③圆台的表面积S=π(r'2+r2+r'l+rl);
④球的表面积S=4πR2.
(2)体积公式
①柱体的体积V=Sh;
②锥体的体积V=Sh;
③台体的体积V=(S'++S)h;
④球的体积V=πR3.
易忘提醒
在有关体积、表面积的计算应用中注意等积法的应用.
习题回扣(命题人推荐)
1.(直观图的面积)一个水平放置的平面图形,其直观图的面积是,则原图形的面积是 .
答案:4
2.(多面体)构成多面体的面最少是 .
答案:四个
3.(三视图求体积)某三棱锥的侧视图和俯视图如图所示,则该三棱锥的体积为 .
答案:4
4.(球的有关计算)如果两个球的体积之比为8∶27,那么这两个球的表面积之比为 .
答案:4∶9
5.(棱台的体积计算)已知棱台的上下底面面积分别为4,16,高为3,则该棱台的体积为 .
答案:28
十二、点、直线、平面之间的位置关系
知识方法
1.直线与平面平行的判定和性质
(1)判定
①判定定理:a∥b,b⊂α,a⊄α⇒a∥α.
②面面平行的性质:α∥β,a⊂α⇒a∥β.
③a⊥b,α⊥b,a⊄α,则a∥α.
(2)性质:l∥α,l⊂β,α∩β=m⇒l∥m.
2.直线和平面垂直的判定和性质
(1)判定
①判定定理:a⊥b,a⊥c,b,c⊂α,b∩c=O ⇒a⊥α.
②a∥b,a⊥α⇒b⊥α.
③l⊥α,α∥β⇒l⊥β.
④α⊥β,α∩β=l,a⊂α,a⊥l⇒a⊥β.
(2)性质
①l⊥α,a⊂α⇒l⊥a.
②l⊥α,m⊥α⇒l∥m.
3.两个平面平行的判定和性质
(1)判定
①判定定理:a⊂β,b⊂β,a∩b=P,a∥α,b∥α⇒β∥α.
②l⊥α,l⊥β⇒α∥β.
③α∥γ,α∥β⇒β∥γ.
(2)性质:α∥β,γ∩α=a,γ∩β=b⇒a∥b.
4.两个平面垂直的判定和性质
(1)判定:a⊂α,a⊥β⇒α⊥β.
(2)性质:α⊥β,α∩β=l,a⊂α,a⊥l⇒a⊥β.
易忘提醒
1.平行问题的转化关系
2.垂直关系的转化
习题回扣(命题人推荐)
1.(面面位置关系)三个平面两两相交有三条交线,这三条直线的位置关系是 .
答案:交于一点或者互相平行
2.(面面位置关系)如果α∥β,β⊥γ,那么α,γ的位置关系是 .
答案:α⊥γ
3.(线面位置关系)如果α⊥γ,β⊥γ,α∩β=l,则l与γ的位置关系是 .
答案:l⊥γ
4.(线面位置关系)已知直线a在平面β外,平面α∥平面β,a∥平面α,则直线a与平面β的位置关系是 .
答案:平行
5.
(面面平行的性质)如图,已知三个平面α,β,γ互相平行,a,b是异面直线,a与α,β,γ分别交于A,B,C三点,b与α,β,γ分别交于D,E,F三点,连接AF交平面β于G,连接CD交平面β于H,则四边形BGEH必为 .
答案:平行四边形
十三、立体几何中的向量方法
知识方法
1.直线与平面、平面与平面的平行与垂直的向量方法
设直线l的方向向量为a=(a1,b1,c1),平面α,β的法向量分别为μ=(a2,b2,c2),v=(a3,b3,c3).
(1)线面平行
l∥α⇔a⊥μ⇔a·μ=0⇔a1a2+b1b2+c1c2=0.
(2)线面垂直
l⊥α⇔a∥μ⇔a=kμ⇔a1=ka2,b1=kb2,c1=kc2.
(3)面面平行
α∥β⇔μ∥v⇔μ=λv⇔a2=λa3,b2=λb3,c2=λc3.
(4)面面垂直
α⊥β⇔μ⊥v⇔μ·v=0⇔a2a3+b2b3+c2c3=0.
2. 空间角的计算
(1)两条异面直线所成角的求法
设直线a,b的方向向量为a,b,其夹角为θ,则
cos φ=|cos θ|=(其中φ为异面直线a,b所成的角).
(2)直线和平面所成角的求法
如图所示,设直线l的方向向量为e,平面α的法向量为n,直线l与平面α所成的角为φ,两向量e与n的夹角为θ,则有sin φ=|cos θ|=.
(3)二面角的求法
①利用向量求二面角的大小,可以不作出平面角,如图所示,即为所求二面角αABβ的平面角.
②对于易于建立空间直角坐标系的几何体,求二面角的大小时,可以利用这两个平面的法向量的夹角来求.
如图所示,二面角αlβ,平面α的法向量为n1,平面β的法向量为n2,=θ,则二面角αlβ的大小为θ或π-θ.
易忘提醒
异面直线所成角的范围是0,,线面角的范围是0,,二面角的范围是[0,π].
习题回扣(命题人推荐)
1.(直线的方向向量和平面的法向量)平面α的一个法向量n=(0,1,-1),如果直线l⊥平面α,则直线l的单位方向向量是 .
答案:±0,,-
2.(平面的法向量)已知A(1,0,0),B(0,1,0),C(0,0,1),则平面ABC中的单位法向量是 .
答案:±,,
3.(空间向量的计算)已知A(4,-7,1),B(6,2,z),若||=11,则z= .
答案:7或-5
4.(向量法求线线角)在正方体ABCDA1B1C1D1中,E是C1D1的中点,则异面直线DE与AC所成的角的余弦值为 .
答案:
5.(向量法求线面角)已知正三棱柱ABCA1B1C1的侧棱长与底面边长相等,则AB1与侧面ACC1A1所成角的正弦值等于 .
答案:
十四、直线与圆、圆锥曲线的概念、方程与性质
知识方法
1.直线:直线的倾斜角和斜率、直线方程的四种特殊形式、直线方程的一般形式、两直线平行关系和垂直关系的判断、点到直线的距离公式、两平行线间的距离公式.
2.圆:圆的定义、标准方程和一般方程、一般的二元二次方程表示圆的充要条件、直线与圆的位置关系(三种,距离判断方法)、圆与圆的位置关系(距离判断方法).
3.圆锥曲线
圆锥曲线的定义、标准方程与几何性质
名称
椭圆
双曲线
抛物线
定义
|PF1|+|PF2|=2a(2a>
|F1F2|)
||PF1|-|PF2||=2a(2a<
|F1F2|)
|PF|=|PM|,
点F不在直线l上,PM⊥l于M
标准方程
+=1
(a>b>0)
-=1
(a>0,
b>0)
y2=2px
(p>0)
图形
范围
|x|≤a,
|y|≤b
|x|≥a
x≥0
顶点
(±a,0)
(0,±b)
(±a,0)
(0,0)
对称性
关于x轴、y轴和原点对称
关于x轴对称
焦点
(±c,0)
,0
续表
名称
椭圆
双曲线
抛物线
轴
长轴长2a,
短轴长2b
实轴长2a,
虚轴长2b
离心率
e=
=
(0
=
(e>1)
e=1
准线
x=-
渐近线
y=±x
易忘提醒
1.椭圆、双曲线的很多问题有相似之处,在复习中要注意应用类比的方法,但一定要把握好它们的区别和联系.
2.双曲线的几何性质的实质是围绕双曲线中的“六点”(两个焦点、两个顶点、虚轴的两个端点),“四线”(两条对称轴、两渐近线),“两形”(中心、焦点以及虚轴端点构成的三角形、双曲线上的点与两焦点构成的三角形)来研究它们之间的关系.
3.涉及抛物线有关的最值问题,一般情况下都与抛物线的定义有关.由于抛物线的定义在运用上有较大的灵活性,因此此类问题也有一定的难度.“看到准线想焦点,看到焦点想准线”,这是解决抛物线焦点弦有关问题的重要途径.
4.有关直线与抛物线的弦长问题,要注意直线是否过抛物线的焦点,若过抛物线的焦点,可直接使用公式|AB|=x1+x2+p,若不过焦点,则必须用一般弦长公式.
习题回扣(命题人推荐)
1.(直线与圆相交)已知直线x+y=a与圆O:x2+y2=4交于A,B两点,且∠AOB=120°,则实数a的值等于 .
答案:±
2.(直线与圆相切)“直线x-y+k=0与圆x2+y2=2相切”的充要条件是 .
答案:k=±2
3.(椭圆的离心率)已知椭圆+=1的左焦点为F1,右顶点为A,上顶点为B.若∠F1BA=90°,则椭圆的离心率是 .
答案:
4.(双曲线的渐近线)已知双曲线-=1的实轴长为2,焦距为4,则该双曲线的渐近线方程是 .
答案:y=±x
5.(抛物线方程)设抛物线的顶点在原点,准线方程为x=-2,则抛物线的方程是 .
答案:y2=8x
十五、直线与圆锥曲线的位置关系
知识方法
1.直线与圆锥曲线的位置关系的判定方法
将直线方程与圆锥曲线方程联立,消去一个未知数借助判别式Δ与0的关系确定直线与圆锥曲线的关系,特别地,当直线与双曲线的渐近线平行时,该直线与双曲线只有一个交点;当直线与抛物线的对称轴平行时,该直线与抛物线只有一个交点.
2.有关弦长问题
有关弦长问题应注意运用弦长公式及根与系数的关系,“设而不求”;有关焦点弦长问题要重视圆锥曲线定义的运用,以简化运算.
(1)斜率为k的直线与圆锥曲线交于两点P1(x1,y1),P2(x2,y2),则所得弦长|P1P2|=|x2-x1|或|P1P2|=|y2-y1|,其中求|x2-x1|与|y2-y1|时通常使用根与系数的关系,即作如下变形:
|x2-x1|=,
|y2-y1|=.
(2)当斜率k不存在时,可求出交点坐标,直接计算弦长.
3.弦的中点问题
有关弦的中点问题应灵活运用“点差法”“设而不求法”来简化运算.
易忘提醒
1.若涉及直线过圆锥曲线焦点的弦问题,一般可利用圆锥曲线的定义去解决.
2.在直线与圆锥曲线的问题中,要充分重视根与系数的关系和判别式的运用.
3.涉及直线与抛物线x2=±2py(p>0)相切问题时,可以借助导数求解.
习题回扣(命题人推荐)
1.(椭圆的方程)椭圆两焦点为F1(-4,0),F2(4,0),P在椭圆上,若△PF1F2的面积的最大值为12,则椭圆方程为 .
答案:+=1
2.(直线与抛物线)过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F且倾斜角为60°的直线l与抛物线在第一、四象限分别交于A,B两点,则= .
答案:3
3.(直线与抛物线)在直角坐标系xOy中,点B与点A(-1,0)关于原点O对称.点P(x0,y0)在抛物线y2=4x上,且直线AP与BP的斜率之积等于2,则x0= .
答案:1+
4.(直线与抛物线)已知抛物线方程x2=4y,过点M(0,m)的直线交抛物线于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,且x1x2=-4,则m的值为 .
答案:1
5.(双曲线的离心率)已知双曲线C:-=1(a>0,b>0),P为x轴上一动点,经过P的直线y=2x+m(m≠0)与双曲线C有且只有一个交点,则双曲线C的离心率为 .
答案:
十六、圆锥曲线的综合问题
知识方法
曲
线
与
方
程
概
念
曲线C上点的坐标都是方程f(x,y)=0的解,以f(x,y)=0的解为坐标的点都在曲线C上,则称曲线C为方程f(x,y)=0的曲线、方程f(x,y)=0为曲线C的方程
求
法
直接法
把动点坐标直接代入已知几何条件的方法
定义法
已知曲线类型,求出确定曲线的系数得出曲线方程的方法(待定系数法)
代入法
动点P(x,y)随动点Q(x0,y0)运动,Q在曲线C:f(x,y)=0上,以x,y表示x0,y0,代入曲线C的方程得到动点P轨迹方程的方法
参数法
把动点坐标(x,y)用参数t进行表达的方法.此时消掉t即得动点轨迹方程
交轨法
轨迹是由两动直线(或曲线)交点构成的,在两动直线(曲线)中消掉参数即得轨迹方程的方法
热
点
问
题
定
点
含义
含有可变参数的曲线系所经过的点中不随参数变化的某个或某几个点
解
法
以曲线系方程对任意参数恒成立的方程组的解为坐标的点即为曲线系恒过的定点
定
值
含义
不随其他量的变化而发生数值变化的量
解法
建立这个量关于其他量的关系式,最后的结果是与其他变化的量无关
范
围
含义
一个量变化时的变化范围
解法
建立这个量关于其他量的函数关系式或者不等式,求解这个函数的变化范围或者解不等式
最
值
含义
一个量在变化时的最大值和最小值
解法
建立目标函数求解
易忘提醒
1.参数法求轨迹方程时不要忽视参数范围对曲线范围的影响.
2.定点、定值、范围、最值问题均与参数有关,不要忽视参数范围的讨论.
习题回扣(命题人推荐)
1.(双曲线方程)方程-=1表示双曲线,则m的取值范围是 .
答案:{m|2
答案:2
3.(直线与抛物线)已知直线l1:4x-3y+6=0和直线l2:x=-1,抛物线y2=4x上一动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是 .
答案:2
4.(直线与椭圆)已知直线x=t与椭圆+=1交于P,Q两点,若点F为该椭圆的左焦点,则· 取最小值的t值为 .
答案:-
十七、概率、随机变量及其分布列
知识方法
1.随机事件的概率
(1)事件的概率范围:0≤P(A)≤1;必然事件的概率为1;不可能事件的概率为0.
(2)古典概型的概率
P(A)=.
(3)几何概型的概率
P(A)=.
2.互斥事件与对立事件
(1)对立事件是互斥事件,互斥事件未必是对立事件;
(2)如果事件A,B互斥,那么事件A∪B发生(即A,B中有一个发生)的概率,等于事件A,B分别发生的概率的和,即P(A∪B)=P(A)+P(B).这个公式称为互斥事件的概率加法公式.
(3)在一次试验中,对立事件A和不会同时发生,但一定有一个发生,因此有P()=1-P(A).
3.条件概率
在事件A发生的条件下事件B发生的概率:P(B|A)=.
4.相互独立事件同时发生的概率
若A,B为相互独立事件,则P(AB)=P(A)P(B).
5.独立重复试验
如果事件A在一次试验中发生的概率是p,那么它在n次独立重复试验中恰好发生k次的概率为Pn(k)=pk(1-p)n-k,k=0,1,2,…,n.
6.超几何分布
在含有M件次品的N件产品中,任取n件,其中恰有X件次品,则P(X=k)=,k=0,1,2,…,m,其中m=min{M,n},且n≤N,M≤N,n,M,N∈N*.此时称随机变量X服从超几何分布.超几何分布的模型是不放回抽样,超几何分布中的参数是M,N,n.
7.离散型随机变量的分布列
(1)设离散型随机变量X可能取的值为x1,x2,…,xi,…,xn,X取每一个值xi的概率为P(X=xi)=pi,则称表:
X
x1
x2
x3
…
xi
…
xn
P
p1
p2
p3
…
pi
…
pn
为离散型随机变量X的分布列.
(2)离散型随机变量X的分布列具有两个性质:
①pi≥0,②p1+p2+…+pi+…+pn=1(i=1,2,3,…,n).
(3)E(X)=x1p1+x2p2+…+xipi+…+xnpn为X的均值或数学期望(简称期望),反映X的平均水平.
(4)D(X)=[xi-E(X)]2·pi为随机变量X的方差.
叫标准差,它们均反映X的离散程度.
(5)性质
①E(aX+b)=aE(X)+b;D(aX+b)=a2D(X)(a,b为常数);
②X~B(n,p),则E(X)=np,D(X)=np(1-p);
③X服从两点分布,则E(X)=p,D(X)=p(1-p).
8.正态分布
一般地,如果对于任意实数a,b(a
1.事件互斥与事件相互独立的区别
事件互斥是指在一次试验中,两个事件或多个事件不可能同时发生,而事件的相互独立,只要它们互不影响就可以称为相互独立.
2.独立重复试验的条件
满足独立重复试验的条件有两个,一是每一次试验的结果只有两个,二是在相同条件下,试验可以重复.
3.正态分布的计算主要是通过3σ原则以及正态曲线的性质:曲线关于x=μ对称进行计算.
习题回扣(命题人推荐)
1.(条件概率)100件产品中有5件次品,不放回地抽取2次,每次抽1件,已知第一次抽出的是次品,则第二次抽出正品的概率是 .
解析:事件A:第一次抽出的是次品,事件B:第二次抽出的是正品,则所求概率为P(B|A)===.
答案:
2.(相互独立试验的概率)天气预报,在元旦假期甲地的降雨概率是0.2,乙地的降雨概率是0.3.假定在这段时间内两地是否降雨相互之间没有影响,则在这段时间内至少有一个地方降雨的概率是 .
解析:事件A:甲地降雨,事件B:乙地降雨,则至少有一个地方降雨的概率为P(AB)+P(A)+P(B)
=0.2×0.3+0.2×(1-0.3)+(1-0.2)×0.3
=0.44.
答案:0.44
3.(数学期望)现要发行10 000张彩票,其中中奖金额为2元的彩票1 000张,10元的彩票200张,50元的彩票50张,100元的彩票50张,1 000元的彩票5张,1张彩票可能中奖金额的均值是 元.
解析:设X表示1张彩票的中奖金额,则它的分布列为
X
0
2
10
50
100
1 000
P
0.869 5
0.1
0.02
0.005
0.005
0.000 5
所以E(X)=0×0.869 5+2×0.1+10×0.02+50×0.005+100×0.005+1 000×0.000 5=1.65.
答案:1.65
十八、统计案例
知识方法
1.抽样方法
抽样方法主要有简单随机抽样、系统抽样和分层抽样三种,这三种抽样方法各自适用不同特点的总体,但无论哪种抽样方法,每一个个体被抽到的概率都是相等的,都等于样本容量和总体容量的比值,并且都是不放回的抽样.
2.频率分布直方图
(1)小长方形的高=,小长方形的面积=组距×=频率;
(2)各小长方形的面积之和等于1.
3.用样本的数字特征估计总体的数字特征
(1)众数、中位数、平均数
数字特征
样本数据
频率分布直方图
众数
出现次数最多的数据
取最高的小长方形底边中点的横坐标
中位数
将数据按大小依次排列,处在最中间位置的一个数据(或最中间两个数据的平均数)
把频率分布直方图划分左右两个面积相等的分界线与x轴交点的横坐标
平均数
样本数据的算术平均数
每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标之和
(2)方差:s2=[(x1-)2+(x2-)2+…+(xn-)2].
标准差:
s=.
4.线性回归方程
对n个样本数据(x1,y1),(x2,y2),…,(xn,yn),
其线性回归方程为=x+,其中
=,=-,,分别是{xi}、{yi}的平均数.
5.独立性检验
利用独立性检验来考查两个分类变量是否有关系,并且能较为准确地给出这种判断的可靠程度,具体的做法是根据观测数据计算,由公式K2=所给出的检验随机变量K2的观测值k,并且k的值越大,说明“X与Y有关系”成立的可能性就越大.
易忘提醒
1.随机抽样的方法有三种,其中简单随机抽样适用于总体中的个体数量不多的情况,当总体中的个体数量较多且差别不大时要使用系统抽样,当总体中的个体具有明显的层次时使用分层抽样.系统抽样最重要的特征是“等距”,分层抽样最重要的特征是总体中个体有明显的“层次”,各层抽样比相等.
2.线性回归方程=x+经过样本点的中心(,).
习题回扣(命题人推荐)
1.(抽样)一支田径队有男运动员56人,女运动员42人,从中抽出一个容量为28的样本,则男运动员抽取 人.
解析:56×=16(人).
答案:16
2.(数据的数字特征)甲乙两台机床同时生产一种零件,10天中,两台机床每天出的次品数分别是
甲 0 1 0 2 2 0 3 1 2 4
乙 2 3 1 1 0 2 1 1 0 1
通过计算这两组数据的平均数与标准差进行比较, 台机床的性能较好.
解析:=1.5>=1.2,
且s甲≈1.284 5>s乙≈0.871 8,
所以乙机床生产出的次品比甲机床少,而且更为稳定,
所以乙机床的性能较好.
答案:乙
3.(线性回归方程)有人收集了10年中某城市的居民年收入x亿元与某种商品的销售额y万元的有关数据,由调查数据得到y对x的回归直线方程是=1.447x-15.843.若这座城市居民的年收入达到40亿元,则这种商品的销售额估计是 万元.
解析:当x=40时,=1.447×40-15.843=42.037.
答案:42.037
4.(独立性检验)为考察某种药物预防疾病的效果,进行动物试验,得到如下列联表:
患病
未患病
总计
服用药
10
45
55
没服用药
20
30
50
总计
30
75
105
通过计算K2说明可有 的把握认为药物有效(P(K2≥5.024)≈0.025).
解析:K2的观测值k=
≈6.109 1>5.024,
所以有97.5%的把握认为药物有效.
答案:97.5%
十九、选修4系列
知识方法
1.坐标系与参数方程
(1)直角坐标与极坐标的互化
把直角坐标系的原点作为极点,x轴正半轴作为极轴,并在两坐标系中取相同的长度单位.设M是平面内任意一点,它的直角坐标是(x,y),极坐标是(ρ,θ),则
(2)圆的极坐标方程
若圆心为M(ρ0,θ0),半径为r,则圆的方程为ρ2-2ρ0ρcos(θ-θ0)+-r2=0.
几个特殊位置的圆的极坐标方程:
①当圆心位于极点,半径为r:ρ=r;
②当圆心位于M(a,0),半径为a:ρ=2acos θ;
③当圆心位于Ma,,半径为a:ρ=2asin θ.
(3)直线的极坐标方程
若直线过点M(ρ0,θ0),且与极轴所成的角为α,则它的方程为ρsin(θ-α)=ρ0sin(θ0-α).
几个特殊位置的直线的极坐标方程:
①直线过极点:θ=θ0和θ=π-θ0;
②直线过点M(a,0)且垂直于极轴:ρcos θ=a;
③直线过Mb,且平行于极轴:ρsin θ=b.
(4)几种常见曲线的参数方程
①直线
经过点P0(x0,y0),倾斜角为α的直线的参数方程是其中t是参数.
②圆
以O'(a,b)为圆心,r为半径的圆的参数方程是其中α是参数.
当圆心为(0,0)时,方程为其中α是参数.
③椭圆
椭圆+=1(a>b>0)的参数方程是其中φ是参数.
椭圆+=1(a>b>0)的参数方程是其中φ是参数.
2.不等式选讲
(1)绝对值不等式
定理1:如果a,b是实数,则|a+b|≤|a|+|b|,当且仅当ab≥0时,等号成立.
定理2:如果a,b,c是实数,那么|a-c|≤|a-b|+|b-c|,当且仅当(a-b)(b-c)≥0时,等号成立.
(2)|ax+b|≤c(c>0)和|ax+b|≥c(c>0)型不等式的解法
①|ax+b|≤c(c>0)⇔-c≤ax+b≤c.
②|ax+b|≥c(c>0)⇔ax+b≥c或ax+b≤-c.
(3)|x-a|+|x-b|≥c(c>0)和|x-a|+|x-b|≤c(c>0)型不等式的解法
①利用绝对值不等式几何意义求解,体现数形结合思想.
②利用“零点分段法”求解,体现分类讨论思想.
③通过构建函数,利用函数图象求解,体现函数与方程思想.
(4)证明不等式的基本方法
①比较法;②综合法;③分析法;④反证法;⑤放缩法.
(5)二维形式的柯西不等式
若a,b,c,d都是实数,则(a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2,当且仅当ad=bc时,等号成立.
易忘提醒
1.将曲线的参数方程化为普通方程主要消去参数,简称为“消参”.把参数方程化为普通方程后,很容易改变变量的取值范围,从而使得两种方程所表示的曲线不一致,因此我们要注意参数方程与普通方程的等价性.
2.“零点分段法”是解绝对值不等式的最基本方法,一般步骤是:(1)令每个绝对值符号里的代数式等于零,求出相应的根;(2)把这些根按由小到大进行排序,n个根把数轴分为n+1个区间;(3)在各个区间上,去掉绝对值符号组成若干个不等式,解这些不等式,求出它们的解集;(4)这些不等式解集的并集就是原不等式的解集.
(对应学生用书第72~84页)
一、集合、复数与常用逻辑用语
知识方法
1.集合的概念、关系及运算
(1)集合中元素的特性:确定性、互异性、无序性,求解含参数的集合问题时要根据互异性进行检验.
(2)集合与集合之间的关系:A⊆B,B⊆C⇒A⊆C,空集是任何集合的子集,含有n个元素的集合的子集数为2n,真子集数为2n-1,非空真子集数为2n-2.
(3)集合的基本运算
①交集:A∩B={x|x∈A,且x∈B}.
②并集:A∪B={x|x∈A,或x∈B}.
③补集:∁UA={x|x∈U,且x∉A}.
重要结论:A∩B=A⇔A⊆B;
A∪B=A⇔B⊆A.
2.四种命题的关系
(1)逆命题与否命题互为逆否命题;
(2)互为逆否命题的两个命题同真假;
(3)当判断原命题的真假比较困难时,可以转化为判断它的逆否命题的真假.
3.充分、必要条件
若p⇒q,则p是q的充分条件,q是p的必要条件;若p⇔q,则p,q互为充要条件.
4.简单的逻辑联结词
命题p∨q,只要p,q有一真,即为真;命题p∧q,只有p,q均为真,才为真;?p和p为真假对立的命题.
5.全称命题与特称命题
(1)全称命题p:∀x∈M,p(x),它的否定?p:∃x0∈M,?p(x0).
(2)特称命题p:∃x0∈M,p(x0),它的否定?p:∀x∈M,?p(x).
6.复数
(1)复数的有关概念
(2)运算法则
加减法:(a+bi)±(c+di)=(a±c)+(b±d)i.
乘法:(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i.
除法:==.
易忘提醒
1.求解集合运算时,要注意集合端点值的取舍,涉及含参数的集合运算时,要注意集合中元素的“互异性”.
2.判断一些命题的真假时,如果不能直接判断,可以转化为判断其逆否命题的真假.
3.否命题是既否定条件,又否定结论;而命题的否定是只否定命题的结论.在否定结论时,应将“且”改成“或”,将“或”改成“且”.
4.A是B的充分不必要条件(A⇒B且B⇒/ A)与A的充分不必要条件是B(B⇒A,且A⇒/ B)两者的不同.
5.只有当两个复数全是实数时,两复数才能比较大小,即当z1,z2∈C时,若z1,z2能比较大小,它们的虚部均为0.
习题回扣(命题人推荐)
1.(集合的运算)若集合M=xy=,N={y|y=},则M∩∁RN= .
答案:{x|x<0}
2.(复数的概念与运算)+1= .
答案:
3.(复数相等)若x,y∈R,且(x-3y)+(2x+3y)i=5+i,则x-y= .
答案:3
4.(充要条件)两直线斜率相等是两直线平行的 条件.
答案:既不充分又不必要
5.(命题真假判断)下列命题是真命题的序号是 .
①“空集是集合A的子集”的否定;②有些整数只有两个正因数;③∃x是无理数,x2也是无理数;④“任意两个等边三角形都是相似”的否定.
答案:②③
二、平面向量、框图与合情推理
知识方法
1.平面向量
(1)平面向量的两个重要定理
①向量共线定理:向量a(a≠0)与b共线当且仅当存在唯一一个实数λ,使b=λa.
②平面向量基本定理:如果e1,e2是同一平面内的两个不共线向量,那么对这一平面内的任一向量a,有且只有一对实数λ1,λ2,使a=λ1e1+λ2e2,其中e1,e2是一组基底.
(2)两个非零向量平行、垂直的充要条件
若两个非零向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),则:
①a∥b⇔a=λb(λ≠0)⇔x1y2-x2y1=0.
②a⊥b⇔a·b=0⇔x1x2+y1y2=0.
(3)平面向量的三个性质
①若a=(x,y),则|a|==.
②若A(x1,y1),B(x2,y2),则||=.
③若a=(x1,y1),b=(x2,y2),θ为a与b的夹角,则cos θ==.
(4)常用的重要结论:
①若直线l的斜率为k,则(1,k)是直线l的一个方向向量;
②若=λ+μ(λ,μ为常数),则A,B,C三点共线的充要条件是λ+μ=1.
2.框图
程序框图的三种基本逻辑结构
(1)顺序结构:如图(1)所示;
(2)条件结构:如图(2)和(3)所示;
(3)循环结构:如图(4)和(5)所示.
3.合情推理
合情推理包括归纳推理和类比推理.归纳推理是由部分到整体,由个别到一般的推理;而类比推理是由特殊到特殊的推理.
易忘提醒
1.注意向量平行与三点共线的区别与联系,当两向量平行且有公共点时,才能得出三点共线;另外,利用向量平行证明向量所在直线平行,必须说明这两条直线不重合.
2.向量相等具有传递性,向量平行不具有传递性.
如a∥b,b∥c,只有b≠0时,a∥c.
3.a·b=0不能推出a=0或b=0,因为a·b=0时,有可能a⊥b.
4.a·b>0是两个向量a,b夹角为锐角的必要不充分条件.
5.利用循环结构表示算法,第一要准确地选择表示累计的变量,第二要注意在哪一步开始循环,满足什么条件不再执行循环体.
6.直到型循环是先执行再判断,直到条件满足才结束循环;当型循环是先判断再执行,若满足条件则进入循环体,否则结束循环.
7.合情推理的结论不一定是正确的,要确定其结论的正确性还需证明.
习题回扣(命题人推荐)
1.(程序框图)执行如图所示的程序框图,如果输入的t∈[-1,3],则输出的s属于( A )
(A)[-3,4] (B)[-5,2]
(C)[-4,3] (D)[-2,5]
2.(共线向量)设平面向量a=(1,2),b=(-2,y),若a∥b,则|2a-b|= .
答案:4
3.(数量积的应用)已知向量a,b满足|a|=1,|b|=4,且a·b=2,则a与b的夹角为 .
答案:
4.(数量积的应用)设Ox,Oy是平面内相交成60°角的两条数轴,e1,e2分别是与x轴、y轴正方向同向的单位向量,若向量=xe1+ye2,则把有序数对(x,y)叫做向量在坐标系xOy下的坐标.假设=3e1+2e2,则||= .
答案:
5.(类比推理)设P是△ABC内一点,△ABC三边上的高分别为hA,hB,hC,P到三边的距离依次为la,lb,lc,则有++=1;类比到空间,设P是四面体ABCD内一点,四顶点到对面的距离分别是hA,hB,hC,hD,P到这四个面的距离依次是la,lb,lc,ld,则有 .
答案:+++=1
三、不等式与线性规划、计数原理与二项式定理
知识方法
1.一元二次不等式的解法
先化为一般形式ax2+bx+c>0(a≠0),再求相应一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根,最后根据相应二次函数图象与x轴的位置关系,确定一元二次不等式的解集.
2.线性规划
(1)判断二元一次不等式表示的平面区域的方法.在直线Ax+By+C=0(A2+B2≠0)的某一侧任取一点(x0,y0),通过Ax0+By0+C的符号来确定Ax+By+C>0(或Ax+By+C<0)所表示的区域.
(2)解不含实际背景的线性规划问题的一般步骤:①画出可行域;②根据线性目标函数的几何意义确定其取得最优解的点;③求出目标函数的最大值或者最小值.
(3)求解实际生活中线性规划问题时,应根据条件确定可行域及目标函数,根据可行域及目标函数特征求最值.
3.基本不等式
(1)已知x,y∈(0,+∞),如果积xy是定值P,那么当x=y时,和x+y有最小值2;
(2)已知x,y∈(0,+∞),如果和x+y是定值S,那么当x=y时积xy有最大值.
4.排列与组合
(1)分类加法计数原理和分步乘法计数原理
如果每种方法都能将规定的事件完成,则要用分类加法计数原理将方法种数相加;如果需要通过若干步才能将规定的事件完成,则要用分步乘法计数原理将各步的方法种数相乘.
(2)排列数、组合数的公式及性质
公式
①=n(n-1)(n-2)…(n-m+1)=
②==
=
性质
①0!=1;=n!
②=;=+
5.二项式定理
(1)二项式定理
二项式定理
(a+b)n=an+an-1b1+…+an-kbk+…+bn(n∈N*)
二项展开式
的通项公式
Tk+1=an-kbk,它表示第k+1项
二项式系数
二项展开式中各项的系数(k∈{0,1,2,…,n})
(2)二项式系数的性质
①0≤k≤n时,与的关系是=.
②二项式系数先增后减中间项最大.当n为偶数时,第+1项的二项式系数最大,最大值为;当n为奇数时,第项和项的二项式系数最大,最大值为和.
③各二项式系数和:+++…+=2n,+++…=+++…=2n-1.
易忘提醒
1.求解形如ax2+bx+c>0(a≠0)的一元二次不等式时,易忽视对系数a的讨论导致漏解或错解,应分a>0,a<0进行讨论.在填空题中不等式的解集一定要写成集合或区间的形式.
2求解线性规划问题时应明确:“直线定界,特殊点定域”,定界时注意是否包含边界.
3.求线性目标函数最值时,应将z=ax+by转化为y=-x+.要注意b>0或b<0对目标函数最值的影响,且应注意正切函数y=tan α在,π时,函数是增函数.
4.使用基本不等式≥时应注意“一正、二定、三相等”的条件,在多次使用基本不等式求最值时,应注意取“等号”的条件是否一致.
习题回扣(命题人推荐)
1.(不等式的解法)函数y=的定义域为R,则m的取值范围是 .
答案:,+∞
2.(线性规划)若x,y满足约束条件则z=2x+3y的最大值为 .
答案:70
3.(基本不等式单调性法)(1)函数f(x)=的最小值为 ;
(2)函数f(x)=的最小值为 .
答案:(1)2 (2)
4.(不等式性质)已知则2x+y的取值范围是 .
答案:[1,5]
四、函数图象与性质、函数与方程
知识方法
1.函数的三个性质
(1)单调性
对于函数y=f(x)定义域内某一区间D上的任意x1,x2,(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]>0(<0)⇔f(x)在D上是增(减)函数;对于函数y=f(x)定义域内某一区间D上的任意x1,x2,>0(<0)⇔f(x)在D上是增(减)函数.
(2)奇偶性
对于定义域(关于原点对称)内的任意x,f(x)+f(-x)=0⇔f(x)是奇函数;对于定义域(关于原点对称)内的任意x,f(x)-f(-x)=0⇔f(x)是偶函数.
(3)周期性
设函数y=f(x),x∈D.
若T为f(x)的一个周期,则nT(n≠0,n∈Z)也是f(x)的周期.
2.关于函数性质常见结论
(1)常见抽象函数的周期.(设函数y=f(x),定义域为D)
①若∀x∈D,且f(x+a)=-f(x),则T=2|a|;(a≠0,下同)
②若∀x∈D,且f(x+a)=±,则T=2|a|;
③若∀x∈D,且f(x+a)=f(x+b),则T=|b-a|(a≠b).
(2)抽象函数对称性.(y=f(x),定义域为D)
①若对∀x∈D,且f(a+x)=f(b-x),则函数f(x)的图象关于直线x=对称;特别地,当a=b,即f(a+x)=f(a-x)时,函数f(x)的图象关于直线x=a对称;
②若对∀x∈D,f(a+x)=-f(b-x)(即f(x+a+b)=-f(-x)),则函数图象关于点,0中心对称,特别地,当a=b时,即f(a+x)=-f(a-x),则函数图象关于点(a,0)中心对称.
(3)关于奇偶性结论
①若奇函数y=f(x)在原点处有定义,则一定有f(0)=0;
②若函数y=f(x)是偶函数,则f(x)=f(-x)=f(|x|);
③奇函数在关于原点对称的区间有相同的单调性,偶函数在关于原点对称的区间单调性相反.
3.关于指数与对数式的七个运算公式
(1)am·an=am+n;
(2)(am)n=amn;
(3)loga(MN)=logaM+logaN;
(4)loga=logaM-logaN;
(5)logaMn=nlogaM;
(6)=N;
(7)logaN=(a>0且a≠1,b>0且b≠1,M>0,N>0).
4.指数函数与对数函数的图象和性质
指数函数
对数函数
图象
单调性
0
a>1时,在(0,+∞)上单调递增;0
性质
0
当x>0时,0
当x>1时,y<0,
当0
a>1
当x>0时,y>1;
当x<0时,0
当0
5.函数的零点
(1)函数的零点及其与方程根的关系
对于函数f(x),使f(x)=0的实数x叫做函数f(x)的零点,函数F(x)=f(x)-g(x)的零点就是方程f(x)=g(x)的根,即函数y=f(x)的图象与函数y=g(x)的图象交点的横坐标.
(2)零点存在性定理
如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线,并且有f(a)·f(b)<0,那么函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点,即存在c∈(a,b),使得f(c)=0,这个c也就是方程f(x)=0的根.
易忘提醒
1.判断函数奇偶性时,首先考虑函数定义域是否关于原点对称.
2.函数有多个单调区间时,易错误地在多个单调区间之间添加符号“∪”和“或”,它们之间一般用“,”隔开或者用“和”字连接.
3.底数含参数的指数、对数函数单调性,要分底数a>1和0
习题回扣(命题人推荐)
1.(函数的定义域)函数f(x)=的定义域为 .
答案:(-∞,-2)∪(4,+∞)
2.(函数的奇偶性)函数f(x)=x2+(a-1)x+b在定义域(-5,b+2)上是偶函数,则a+b= .
答案:4
3.(指数函数的图象和性质)函数f(x)=3+(a-1)x-2(a>1且a≠2)必过定点 .
答案:(2,4)
4.(对数的运算)(lg 5)2+lg 50·lg 2= .
答案:1
5.(函数的零点)函数f(x)=3x-7+ln x的零点位于区间(n,n+1)(n∈N*)内,则n= .
答案:2
五、导数的简单应用与定积分
知识方法
1.导数的几何意义
(1)函数y=f(x)在x=x0处的导数f'(x0)就是曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处切线的斜率,即k=f'(x0).
(2)曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处的切线方程为y-f(x0)=f'(x0)(x-x0).
2.函数的单调性
(1)在某个区间(a,b)内,如果f'(x)>0(f'(x)<0),那么函数y=f(x)在这个区间内单调递增(单调递减).
(2)利用导数求函数f(x)的单调区间的一般步骤
①确定函数f(x)的定义域;
②求导数f'(x);
③在函数f(x)的定义域内解不等式f'(x)>0和f'(x)<0;
④根据③的结果确定函数f(x)的单调区间.
3.函数的极值
设函数y=f(x)在点x0附近有定义,如果对x0附近所有的点x都有f(x)
4.函数的最值
将函数y=f(x)在[a,b]内的各极值与端点处的函数值f(a),f(b)比较,其中最大的一个是最大值,最小的一个是最小值.
5.定积分
(1)定积分的性质
①kf(x)dx=kf(x)dx;
②[f1(x) ±f2(x)]dx=f1(x)dx±f2(x)dx;
③f(x)dx=f(x)dx+f(x)dx.(其中a
一般地,如果f(x)是区间[a,b]上的连续函数,并且F'(x)=f(x),那么f(x)dx=F(b)-F(a).
易忘提醒
1.曲线y=f(x)“在点P(x0,y0)处的切线”与“过点P(x0,y0)的切线”是不同的.前者只有一条,后者则可能有多条.
2.求复合函数y=f(ax+b)的导数时应注意复合函数求导法则,其导数为y'=af'(ax+b).
3.利用导数研究函数的单调性,首先确定函数的定义域.
4.已知单调性求参数时,应明确f'(x)>0在(a,b)上成立是f(x)在(a,b)上是增函数的充分条件.当f(x)在(a,b)上是增函数时,应有f'(x)≥0恒成立(其中满足f'(x)=0的x只有有限个),否则答案不全面.
5.可导函数y=f(x)在x=x0处的导数f'(x0)=0是y=f(x)在x=x0处取得极值的必要不充分条件.
6.求定积分时应明确定积分结果可负,但曲边形的面积非负.
习题回扣(命题人推荐)
1.(导数的运算)函数f(x)=xsin x的导数为f'(x)= .
答案:sin x+xcos x
2.(导数几何意义)曲线y=x2+ax+b在点(0,b)处的切线方程是x-y+1=0,则a+b= .
答案:2
3.(函数的单调性与导数)函数f(x)=2x3-6x2+7的单调递增区间是 .
答案:(-∞,0),(2,+∞)
4.(函数的极值与导数)函数f(x)=x3-4x+在x= 处取极大值,其值是 .
答案:-2
5.(定积分)x+dx= .
答案:4+ln 3
六、导数的综合应用
知识方法
1.利用导数解决与函数有关的方程根问题
(1)利用导数研究高次式、分式、指数式、对数式方程根的个数问题的一般思路:
①将问题转化为函数零点的个数问题,进而转化为函数图象交点的个数问题;
②利用导数研究该函数在给定区间上的单调性、极值(最值)、端点值等;
③画出函数的大致图象;
④结合图象求解.
(2)证明复杂方程在某区间上有且仅有一解的步骤:
①在该区间上构造与方程相应的函数;
②利用导数研究该函数在该区间上的单调性;
③判断该函数在该区间端点处的函数值异号;
④作出结论.
2.利用导数证明不等式
不等式的证明可转化为利用导数研究函数的单调性、极值和最值,再由单调性或最值来证明不等式,其中构造一个可导函数是用导数证明不等式的关键.
易忘提醒
在解决导数的综合问题时,应注意:
(1)树立定义域优先的原则.
(2)熟练掌握基本初等函数的求导公式和求导法则.
(3)理解与不等式有关的导数综合问题化为函数最值问题的转化过程.
(4)理解含参导数的综合问题中分类讨论思想的应用.
(5)存在性问题与恒成立问题容易混淆,它们既有区别又有联系:
若f(x)≤m恒成立,则f(x)max≤m;
若f(x)≥m恒成立,则f(x)min≥m.
若f(x)≤m有解,则f(x)min≤m;
若f(x)≥m有解,则f(x)max≥m.
七、三角函数的图象与性质、三角恒等变换
知识方法
1.三角函数定义及诱导公式
(1)三角函数的定义
设α是一个任意角,它的终边与单位圆交于点P(x,y),则sin α=y,cos α=x,tan α=.各象限角的三角函数值的符号;一全正,二正弦,三正切,四余弦.
(2)诱导公式及记忆
对于“±α,k∈Z的三角函数值”与“α角的三角函数值”的关系可按下面口诀记忆:奇变偶不变,符号看象限.
2.“牢记”五组公式
(1)同角三角函数关系式
①平方关系:sin2α+cos2α=1;
②商数关系:tan α=.
(2)两角和与差的正弦、余弦、正切公式
sin(α±β)=sin αcos β±cos αsin β;
cos(α±β)=cos αcos β∓sin αsin β;
tan(α±β)=.
(3)二倍角的正弦、余弦、正切公式
sin 2α=2sin αcos α;
cos 2α=cos2α-sin2α=2cos2α-1=1-2sin2α;
tan 2α=;
cos2α=,sin2α=.
(4)辅助角公式
asin α+bcos α=sin(α+φ)tan φ=.
(5)关于α与的正弦、正切、余弦公式
①tan ===±.
②sin α=,cos α=.
3.“明确”三种三角函数图象、性质及两种图象变换
(1)三种函数的图象和性质
函
数
y=sin x
y=cos x
y=tan x
图
象
单
调
性
在-+2kπ,+2kπ(k∈Z)上单调递增;在+2kπ,+2kπ(k∈Z)上单调递减
在[-π+2kπ,2kπ](k∈Z)上单调递增;在[2kπ,π+2kπ](k∈Z)上单调递减
在-+kπ,+kπ(k∈Z)上单调递增
对
称
性
对称中心:(kπ,0)(k∈Z);对称轴:x=+kπ(k∈Z)
对称中心:+kπ,0(k∈Z);对称轴:x=kπ(k∈Z)
对称中心:
,0(k∈Z);无对称轴
(2)两种三角函数图象变换(以y=sin x变为y=sin (ωx+φ)(ωφ≠0)为例)
①先平移后伸缩:y=sin xy=sin(x+φ)y=sin(ωx+φ)y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0).
②先伸缩后平移:y=sin xy=sin ωxy=sin(ωx+φ)y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0).
易忘提醒
1.使用诱导公式时,要根据“口诀”确定符号.
2.研究形如y=Asin(ωx+φ)(ωφ≠0)的性质时,要将ωx+φ作为一个整体考虑,而当ω<0时,求y=Asin(ωx+φ)的单调性,应先利用诱导公式将x系数变为正数后再求其单调区间,要注意单调区间一定写成“区间”的形式,且角度制与弧度制不能混用,并且k∈Z.
3.由函数y=Asin ωx(ω≠0)的图象得到y=Asin(ωx+φ)的图象时,平移长度是,而不是|φ|.
4.三角函数平移时,若两三角函数名称不一致,需利用诱导公式化为同名函数后再平移.
5.利用三角恒等变换公式研究给角求值或给值求角时,不要忽视角的范围.
习题回扣(命题人推荐)
1.(定义转化法)若α是第二象限角且cos =-cos ,则是第 象限角.
答案:三
2.(转化法)若<α<π,则-= .
答案:-2tan α
3.(数形结合、定义法)函数y=|cos 2x|的最小正周期T= .
答案:
八、解三角形
知识方法
1.正弦定理
===2R(2R为△ABC外接圆的直径).
变形:a=2Rsin A,b=2Rsin B,c=2Rsin C.
sin A=,sin B=,sin C=.
a∶b∶c=sin A∶sin B∶sin C.
2.余弦定理
a2=b2+c2-2bccos A,b2=a2+c2-2accos B,
c2=a2+b2-2abcos C.
推论:cos A=,
cos B=,
cos C=.
3.面积公式
S△ABC=bcsin A=acsin B=absin C.
4.常用结论
(1)三角形内角和A+B+C=π;
(2)a>b>c⇔A>B>C⇔sin A>sin B>sin C;
(3)sin(A+B)=sin C,cos(A+B)=-cos C.
易忘提醒
1.根据正弦值求角时,应分类讨论.
2.判断三角形形状时,应注意等式两边不要约分.
3.已知两边及一边的对角,利用正、余弦定理求解时,解的情况可能不唯一.
习题回扣(命题人推荐)
1.(解三角形)在三角形ABC中,分别根据下列条件解三角形,其中有两个解的序号是 .
①a=30,b=40,A=30°
②a=25,b=30,A=150°
③a=8,b=16,A=30°
④a=72,b=60,A=135°
答案:①
2.
(实际应用)一只船以均匀的速度由A点向正北方向航行,如图,开始航行时,灯塔C在点A的北偏东30°方向,行驶60海里后,测灯塔C在点B的北偏东45°方向,则A到C的距离为 海里.
答案:(60+60)
3.(公式变形)△ABC中,sin A∶sin B∶sin C=11∶8∶5,则cos B= .
答案:
4.(解三角形)△ABC中,角A,B,C所对边分别为a,b,c,若A=,a=1,b=,则B= .
答案:或
九、等差数列与等比数列
知识方法
1.等差数列
(1)基本公式:通项公式、前n项和公式.
(2)项的性质:m+n=p+q(m,n,p,q∈N*)时,am+an=ap+aq,当p=q时,am+an=2ap.
(3)基本方法:①基本量方法;②定义法证明数列{an}为等差数列,其他证明方法均为定义法的延伸;③函数方法处理等差数列的前n项和问题.
2.等比数列
(1)基本公式:通项公式、前n项和公式(分公比等于1和不等于1).
(2)项的性质:m+n=p+q(m,n,p,q∈N*)时,aman=apaq,当p=q时,aman=.
(3)基本方法:①基本量方法;②定义法证明数列{an}为等比数列,其他证明方法均为定义法的延伸.
易忘提醒
1.b2=ac是a,b,c为等比数列的必要不充分条件;
2.当等比数列的公比不确定时,求前n项和要分公比等于1和不等于1分别进行计算.
习题回扣(命题人推荐)
1.(等差数列的判定)已知数列{an}满足如下条件:①an=an+b(a,b为常数);②2an+1=an+an+2对∀n∈N*恒成立;③前n项和Sn=2n2+3n+2.在上述条件中能够判定{an}为等差数列的是 .
答案:①②
2.(等差数列的基本运算)已知等差数列{an}的前n项和为Sn,若S10=310,S20=1 220,则Sn= .
答案:3n2+n
3.(等比数列的基本运算)已知等比数列{an}的前n项和为Sn,若S5=10,S10=50,则S15= .
答案:210
4.(等比数列的判定)已知数列{an},{bn}均为等比数列,则数列:①{an+bn};②{kan}(k为非零常数);③{anbn};④;⑤{b3n-2}中一定为等比数列的是 .
答案:②③④⑤
5.(等差、等比数列的综合)已知{an}是公差为d的等差数列,其前n项和为Sn;{bn}是公比为q的等比数列,其前n项和为Tn.有下列结论:①=d;②=qm-n;③Sk,S2k-Sk,S3k-S2k为等差数列;④Tk,T2k-Tk,T3k-T2k为等比数列(其中m,n,k为正整数).其中正确结论的序号是 .
解析:④中,当k为偶数时,有Tk=0的可能,如果k为奇数,则④的结论也正确.
答案:①②③
十、数列求和及简单应用
知识方法
1.an,Sn的关系
an=
2.基本公式
等差数列、等比数列求和公式.
3.常用裂项公式
(1)=-;
(2)=-;
(3)=-(n≥2);
(4)=-等.
4.基本递推关系
(1)an+1=an+f(n)(叠加法);
(2)=f(n)(叠乘法);
(3)an+1=can+d(c≠0,1,d≠0)(转化为an+1+λ=c(an+λ));
(4)an+1-qan=p·qn+1(p≠0,q≠0,1)转化为-=p等.
易忘提醒
1.根据Sn求通项时,不要忘记分类求解.
2.裂项求和时注意验证裂项前后的等价性;错位相减求和时,不要忘记检验第一项与后面的项是否组成等比数列,不要忘记最后一项.
习题回扣(命题人推荐)
1.(由an与Sn的关系求an)已知数列{an}的前n项和Sn=n2+n+1,则an= .
答案:
2.(逆推数列求和)已知数列{an}中,a1=1,a2=2,an+2=an+1+an,则该数列的前6项之和是 .
答案:32
3.(转化为等比数列求和)已知数列{an}满足a1=1,an+1=4an+3,则该数列的前n项和Sn= .
解析:an+1+1=4(an+1),an=2×4n-1-1,
所以Sn=-n=·4n-n-.
答案:·4n-n-
4.(裂项相消法求和)数列的前2 017项的和是 .
答案:
十一、空间几何体的三视图、表面积与体积
知识方法
1.棱柱、棱锥
(1)棱柱的性质
侧棱都相等,侧面是平行四边形;两个底面与平行于底面的截面是全等的多边形;过不相邻的两条侧棱的截面是平行四边形;直棱柱的侧棱长与高相等且侧面与对角面是矩形.
(2)正棱锥的性质
侧棱相等,侧面是全等的等腰三角形,斜高(侧面等腰三角形底边上的高)相等;棱锥的高、斜高和斜高在底面内的射影构成一个直角三角形;棱锥的高、侧棱和侧棱在底面内的射影也构成一个直角三角形;某侧面上的斜高、侧棱及底面边长的一半也构成一个直角三角形;侧棱在底面内的射影、斜高在底面内的射影及底面边长的一半也构成一个直角三角形.
2.三视图
(1)正视图、侧视图、俯视图分别是从几何体的正前方、正左方、正上方观察几何体得到的投影图.画三视图的基本要求:正俯一样长,俯侧一样宽,正侧一样高;
(2)三视图排列规则:俯视图放在正视图的下面,长度与正视图一样;侧视图放在正视图的右面,高度和正视图一样,宽度与俯视图一样.
3.几何体的切接问题
(1)解决球的内接长方体、正方体、正四棱柱等问题的关键是把握球的直径即是棱柱的体对角线.
(2)解决柱、锥的内切球问题的关键是找准切点位置,化归为平面几何问题.
4.柱体、锥体、台体和球的表面积与体积(不要求记忆)
(1)表面积公式
①圆柱的表面积S=2πr(r+l);
②圆锥的表面积S=πr(r+l);
③圆台的表面积S=π(r'2+r2+r'l+rl);
④球的表面积S=4πR2.
(2)体积公式
①柱体的体积V=Sh;
②锥体的体积V=Sh;
③台体的体积V=(S'++S)h;
④球的体积V=πR3.
易忘提醒
在有关体积、表面积的计算应用中注意等积法的应用.
习题回扣(命题人推荐)
1.(直观图的面积)一个水平放置的平面图形,其直观图的面积是,则原图形的面积是 .
答案:4
2.(多面体)构成多面体的面最少是 .
答案:四个
3.(三视图求体积)某三棱锥的侧视图和俯视图如图所示,则该三棱锥的体积为 .
答案:4
4.(球的有关计算)如果两个球的体积之比为8∶27,那么这两个球的表面积之比为 .
答案:4∶9
5.(棱台的体积计算)已知棱台的上下底面面积分别为4,16,高为3,则该棱台的体积为 .
答案:28
十二、点、直线、平面之间的位置关系
知识方法
1.直线与平面平行的判定和性质
(1)判定
①判定定理:a∥b,b⊂α,a⊄α⇒a∥α.
②面面平行的性质:α∥β,a⊂α⇒a∥β.
③a⊥b,α⊥b,a⊄α,则a∥α.
(2)性质:l∥α,l⊂β,α∩β=m⇒l∥m.
2.直线和平面垂直的判定和性质
(1)判定
①判定定理:a⊥b,a⊥c,b,c⊂α,b∩c=O ⇒a⊥α.
②a∥b,a⊥α⇒b⊥α.
③l⊥α,α∥β⇒l⊥β.
④α⊥β,α∩β=l,a⊂α,a⊥l⇒a⊥β.
(2)性质
①l⊥α,a⊂α⇒l⊥a.
②l⊥α,m⊥α⇒l∥m.
3.两个平面平行的判定和性质
(1)判定
①判定定理:a⊂β,b⊂β,a∩b=P,a∥α,b∥α⇒β∥α.
②l⊥α,l⊥β⇒α∥β.
③α∥γ,α∥β⇒β∥γ.
(2)性质:α∥β,γ∩α=a,γ∩β=b⇒a∥b.
4.两个平面垂直的判定和性质
(1)判定:a⊂α,a⊥β⇒α⊥β.
(2)性质:α⊥β,α∩β=l,a⊂α,a⊥l⇒a⊥β.
易忘提醒
1.平行问题的转化关系
2.垂直关系的转化
习题回扣(命题人推荐)
1.(面面位置关系)三个平面两两相交有三条交线,这三条直线的位置关系是 .
答案:交于一点或者互相平行
2.(面面位置关系)如果α∥β,β⊥γ,那么α,γ的位置关系是 .
答案:α⊥γ
3.(线面位置关系)如果α⊥γ,β⊥γ,α∩β=l,则l与γ的位置关系是 .
答案:l⊥γ
4.(线面位置关系)已知直线a在平面β外,平面α∥平面β,a∥平面α,则直线a与平面β的位置关系是 .
答案:平行
5.
(面面平行的性质)如图,已知三个平面α,β,γ互相平行,a,b是异面直线,a与α,β,γ分别交于A,B,C三点,b与α,β,γ分别交于D,E,F三点,连接AF交平面β于G,连接CD交平面β于H,则四边形BGEH必为 .
答案:平行四边形
十三、立体几何中的向量方法
知识方法
1.直线与平面、平面与平面的平行与垂直的向量方法
设直线l的方向向量为a=(a1,b1,c1),平面α,β的法向量分别为μ=(a2,b2,c2),v=(a3,b3,c3).
(1)线面平行
l∥α⇔a⊥μ⇔a·μ=0⇔a1a2+b1b2+c1c2=0.
(2)线面垂直
l⊥α⇔a∥μ⇔a=kμ⇔a1=ka2,b1=kb2,c1=kc2.
(3)面面平行
α∥β⇔μ∥v⇔μ=λv⇔a2=λa3,b2=λb3,c2=λc3.
(4)面面垂直
α⊥β⇔μ⊥v⇔μ·v=0⇔a2a3+b2b3+c2c3=0.
2. 空间角的计算
(1)两条异面直线所成角的求法
设直线a,b的方向向量为a,b,其夹角为θ,则
cos φ=|cos θ|=(其中φ为异面直线a,b所成的角).
(2)直线和平面所成角的求法
如图所示,设直线l的方向向量为e,平面α的法向量为n,直线l与平面α所成的角为φ,两向量e与n的夹角为θ,则有sin φ=|cos θ|=.
(3)二面角的求法
①利用向量求二面角的大小,可以不作出平面角,如图所示,
②对于易于建立空间直角坐标系的几何体,求二面角的大小时,可以利用这两个平面的法向量的夹角来求.
如图所示,二面角αlβ,平面α的法向量为n1,平面β的法向量为n2,
易忘提醒
异面直线所成角的范围是0,,线面角的范围是0,,二面角的范围是[0,π].
习题回扣(命题人推荐)
1.(直线的方向向量和平面的法向量)平面α的一个法向量n=(0,1,-1),如果直线l⊥平面α,则直线l的单位方向向量是 .
答案:±0,,-
2.(平面的法向量)已知A(1,0,0),B(0,1,0),C(0,0,1),则平面ABC中的单位法向量是 .
答案:±,,
3.(空间向量的计算)已知A(4,-7,1),B(6,2,z),若||=11,则z= .
答案:7或-5
4.(向量法求线线角)在正方体ABCDA1B1C1D1中,E是C1D1的中点,则异面直线DE与AC所成的角的余弦值为 .
答案:
5.(向量法求线面角)已知正三棱柱ABCA1B1C1的侧棱长与底面边长相等,则AB1与侧面ACC1A1所成角的正弦值等于 .
答案:
十四、直线与圆、圆锥曲线的概念、方程与性质
知识方法
1.直线:直线的倾斜角和斜率、直线方程的四种特殊形式、直线方程的一般形式、两直线平行关系和垂直关系的判断、点到直线的距离公式、两平行线间的距离公式.
2.圆:圆的定义、标准方程和一般方程、一般的二元二次方程表示圆的充要条件、直线与圆的位置关系(三种,距离判断方法)、圆与圆的位置关系(距离判断方法).
3.圆锥曲线
圆锥曲线的定义、标准方程与几何性质
名称
椭圆
双曲线
抛物线
定义
|PF1|+|PF2|=2a(2a>
|F1F2|)
||PF1|-|PF2||=2a(2a<
|F1F2|)
|PF|=|PM|,
点F不在直线l上,PM⊥l于M
标准方程
+=1
(a>b>0)
-=1
(a>0,
b>0)
y2=2px
(p>0)
图形
范围
|x|≤a,
|y|≤b
|x|≥a
x≥0
顶点
(±a,0)
(0,±b)
(±a,0)
(0,0)
对称性
关于x轴、y轴和原点对称
关于x轴对称
焦点
(±c,0)
,0
续表
名称
椭圆
双曲线
抛物线
轴
长轴长2a,
短轴长2b
实轴长2a,
虚轴长2b
离心率
e=
=
(0
=
(e>1)
e=1
准线
x=-
渐近线
y=±x
易忘提醒
1.椭圆、双曲线的很多问题有相似之处,在复习中要注意应用类比的方法,但一定要把握好它们的区别和联系.
2.双曲线的几何性质的实质是围绕双曲线中的“六点”(两个焦点、两个顶点、虚轴的两个端点),“四线”(两条对称轴、两渐近线),“两形”(中心、焦点以及虚轴端点构成的三角形、双曲线上的点与两焦点构成的三角形)来研究它们之间的关系.
3.涉及抛物线有关的最值问题,一般情况下都与抛物线的定义有关.由于抛物线的定义在运用上有较大的灵活性,因此此类问题也有一定的难度.“看到准线想焦点,看到焦点想准线”,这是解决抛物线焦点弦有关问题的重要途径.
4.有关直线与抛物线的弦长问题,要注意直线是否过抛物线的焦点,若过抛物线的焦点,可直接使用公式|AB|=x1+x2+p,若不过焦点,则必须用一般弦长公式.
习题回扣(命题人推荐)
1.(直线与圆相交)已知直线x+y=a与圆O:x2+y2=4交于A,B两点,且∠AOB=120°,则实数a的值等于 .
答案:±
2.(直线与圆相切)“直线x-y+k=0与圆x2+y2=2相切”的充要条件是 .
答案:k=±2
3.(椭圆的离心率)已知椭圆+=1的左焦点为F1,右顶点为A,上顶点为B.若∠F1BA=90°,则椭圆的离心率是 .
答案:
4.(双曲线的渐近线)已知双曲线-=1的实轴长为2,焦距为4,则该双曲线的渐近线方程是 .
答案:y=±x
5.(抛物线方程)设抛物线的顶点在原点,准线方程为x=-2,则抛物线的方程是 .
答案:y2=8x
十五、直线与圆锥曲线的位置关系
知识方法
1.直线与圆锥曲线的位置关系的判定方法
将直线方程与圆锥曲线方程联立,消去一个未知数借助判别式Δ与0的关系确定直线与圆锥曲线的关系,特别地,当直线与双曲线的渐近线平行时,该直线与双曲线只有一个交点;当直线与抛物线的对称轴平行时,该直线与抛物线只有一个交点.
2.有关弦长问题
有关弦长问题应注意运用弦长公式及根与系数的关系,“设而不求”;有关焦点弦长问题要重视圆锥曲线定义的运用,以简化运算.
(1)斜率为k的直线与圆锥曲线交于两点P1(x1,y1),P2(x2,y2),则所得弦长|P1P2|=|x2-x1|或|P1P2|=|y2-y1|,其中求|x2-x1|与|y2-y1|时通常使用根与系数的关系,即作如下变形:
|x2-x1|=,
|y2-y1|=.
(2)当斜率k不存在时,可求出交点坐标,直接计算弦长.
3.弦的中点问题
有关弦的中点问题应灵活运用“点差法”“设而不求法”来简化运算.
易忘提醒
1.若涉及直线过圆锥曲线焦点的弦问题,一般可利用圆锥曲线的定义去解决.
2.在直线与圆锥曲线的问题中,要充分重视根与系数的关系和判别式的运用.
3.涉及直线与抛物线x2=±2py(p>0)相切问题时,可以借助导数求解.
习题回扣(命题人推荐)
1.(椭圆的方程)椭圆两焦点为F1(-4,0),F2(4,0),P在椭圆上,若△PF1F2的面积的最大值为12,则椭圆方程为 .
答案:+=1
2.(直线与抛物线)过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F且倾斜角为60°的直线l与抛物线在第一、四象限分别交于A,B两点,则= .
答案:3
3.(直线与抛物线)在直角坐标系xOy中,点B与点A(-1,0)关于原点O对称.点P(x0,y0)在抛物线y2=4x上,且直线AP与BP的斜率之积等于2,则x0= .
答案:1+
4.(直线与抛物线)已知抛物线方程x2=4y,过点M(0,m)的直线交抛物线于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,且x1x2=-4,则m的值为 .
答案:1
5.(双曲线的离心率)已知双曲线C:-=1(a>0,b>0),P为x轴上一动点,经过P的直线y=2x+m(m≠0)与双曲线C有且只有一个交点,则双曲线C的离心率为 .
答案:
十六、圆锥曲线的综合问题
知识方法
曲
线
与
方
程
概
念
曲线C上点的坐标都是方程f(x,y)=0的解,以f(x,y)=0的解为坐标的点都在曲线C上,则称曲线C为方程f(x,y)=0的曲线、方程f(x,y)=0为曲线C的方程
求
法
直接法
把动点坐标直接代入已知几何条件的方法
定义法
已知曲线类型,求出确定曲线的系数得出曲线方程的方法(待定系数法)
代入法
动点P(x,y)随动点Q(x0,y0)运动,Q在曲线C:f(x,y)=0上,以x,y表示x0,y0,代入曲线C的方程得到动点P轨迹方程的方法
参数法
把动点坐标(x,y)用参数t进行表达的方法.此时消掉t即得动点轨迹方程
交轨法
轨迹是由两动直线(或曲线)交点构成的,在两动直线(曲线)中消掉参数即得轨迹方程的方法
热
点
问
题
定
点
含义
含有可变参数的曲线系所经过的点中不随参数变化的某个或某几个点
解
法
以曲线系方程对任意参数恒成立的方程组的解为坐标的点即为曲线系恒过的定点
定
值
含义
不随其他量的变化而发生数值变化的量
解法
建立这个量关于其他量的关系式,最后的结果是与其他变化的量无关
范
围
含义
一个量变化时的变化范围
解法
建立这个量关于其他量的函数关系式或者不等式,求解这个函数的变化范围或者解不等式
最
值
含义
一个量在变化时的最大值和最小值
解法
建立目标函数求解
易忘提醒
1.参数法求轨迹方程时不要忽视参数范围对曲线范围的影响.
2.定点、定值、范围、最值问题均与参数有关,不要忽视参数范围的讨论.
习题回扣(命题人推荐)
1.(双曲线方程)方程-=1表示双曲线,则m的取值范围是 .
答案:{m|2
答案:2
3.(直线与抛物线)已知直线l1:4x-3y+6=0和直线l2:x=-1,抛物线y2=4x上一动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是 .
答案:2
4.(直线与椭圆)已知直线x=t与椭圆+=1交于P,Q两点,若点F为该椭圆的左焦点,则· 取最小值的t值为 .
答案:-
十七、概率、随机变量及其分布列
知识方法
1.随机事件的概率
(1)事件的概率范围:0≤P(A)≤1;必然事件的概率为1;不可能事件的概率为0.
(2)古典概型的概率
P(A)=.
(3)几何概型的概率
P(A)=.
2.互斥事件与对立事件
(1)对立事件是互斥事件,互斥事件未必是对立事件;
(2)如果事件A,B互斥,那么事件A∪B发生(即A,B中有一个发生)的概率,等于事件A,B分别发生的概率的和,即P(A∪B)=P(A)+P(B).这个公式称为互斥事件的概率加法公式.
(3)在一次试验中,对立事件A和不会同时发生,但一定有一个发生,因此有P()=1-P(A).
3.条件概率
在事件A发生的条件下事件B发生的概率:P(B|A)=.
4.相互独立事件同时发生的概率
若A,B为相互独立事件,则P(AB)=P(A)P(B).
5.独立重复试验
如果事件A在一次试验中发生的概率是p,那么它在n次独立重复试验中恰好发生k次的概率为Pn(k)=pk(1-p)n-k,k=0,1,2,…,n.
6.超几何分布
在含有M件次品的N件产品中,任取n件,其中恰有X件次品,则P(X=k)=,k=0,1,2,…,m,其中m=min{M,n},且n≤N,M≤N,n,M,N∈N*.此时称随机变量X服从超几何分布.超几何分布的模型是不放回抽样,超几何分布中的参数是M,N,n.
7.离散型随机变量的分布列
(1)设离散型随机变量X可能取的值为x1,x2,…,xi,…,xn,X取每一个值xi的概率为P(X=xi)=pi,则称表:
X
x1
x2
x3
…
xi
…
xn
P
p1
p2
p3
…
pi
…
pn
为离散型随机变量X的分布列.
(2)离散型随机变量X的分布列具有两个性质:
①pi≥0,②p1+p2+…+pi+…+pn=1(i=1,2,3,…,n).
(3)E(X)=x1p1+x2p2+…+xipi+…+xnpn为X的均值或数学期望(简称期望),反映X的平均水平.
(4)D(X)=[xi-E(X)]2·pi为随机变量X的方差.
叫标准差,它们均反映X的离散程度.
(5)性质
①E(aX+b)=aE(X)+b;D(aX+b)=a2D(X)(a,b为常数);
②X~B(n,p),则E(X)=np,D(X)=np(1-p);
③X服从两点分布,则E(X)=p,D(X)=p(1-p).
8.正态分布
一般地,如果对于任意实数a,b(a
1.事件互斥与事件相互独立的区别
事件互斥是指在一次试验中,两个事件或多个事件不可能同时发生,而事件的相互独立,只要它们互不影响就可以称为相互独立.
2.独立重复试验的条件
满足独立重复试验的条件有两个,一是每一次试验的结果只有两个,二是在相同条件下,试验可以重复.
3.正态分布的计算主要是通过3σ原则以及正态曲线的性质:曲线关于x=μ对称进行计算.
习题回扣(命题人推荐)
1.(条件概率)100件产品中有5件次品,不放回地抽取2次,每次抽1件,已知第一次抽出的是次品,则第二次抽出正品的概率是 .
解析:事件A:第一次抽出的是次品,事件B:第二次抽出的是正品,则所求概率为P(B|A)===.
答案:
2.(相互独立试验的概率)天气预报,在元旦假期甲地的降雨概率是0.2,乙地的降雨概率是0.3.假定在这段时间内两地是否降雨相互之间没有影响,则在这段时间内至少有一个地方降雨的概率是 .
解析:事件A:甲地降雨,事件B:乙地降雨,则至少有一个地方降雨的概率为P(AB)+P(A)+P(B)
=0.2×0.3+0.2×(1-0.3)+(1-0.2)×0.3
=0.44.
答案:0.44
3.(数学期望)现要发行10 000张彩票,其中中奖金额为2元的彩票1 000张,10元的彩票200张,50元的彩票50张,100元的彩票50张,1 000元的彩票5张,1张彩票可能中奖金额的均值是 元.
解析:设X表示1张彩票的中奖金额,则它的分布列为
X
0
2
10
50
100
1 000
P
0.869 5
0.1
0.02
0.005
0.005
0.000 5
所以E(X)=0×0.869 5+2×0.1+10×0.02+50×0.005+100×0.005+1 000×0.000 5=1.65.
答案:1.65
十八、统计案例
知识方法
1.抽样方法
抽样方法主要有简单随机抽样、系统抽样和分层抽样三种,这三种抽样方法各自适用不同特点的总体,但无论哪种抽样方法,每一个个体被抽到的概率都是相等的,都等于样本容量和总体容量的比值,并且都是不放回的抽样.
2.频率分布直方图
(1)小长方形的高=,小长方形的面积=组距×=频率;
(2)各小长方形的面积之和等于1.
3.用样本的数字特征估计总体的数字特征
(1)众数、中位数、平均数
数字特征
样本数据
频率分布直方图
众数
出现次数最多的数据
取最高的小长方形底边中点的横坐标
中位数
将数据按大小依次排列,处在最中间位置的一个数据(或最中间两个数据的平均数)
把频率分布直方图划分左右两个面积相等的分界线与x轴交点的横坐标
平均数
样本数据的算术平均数
每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标之和
(2)方差:s2=[(x1-)2+(x2-)2+…+(xn-)2].
标准差:
s=.
4.线性回归方程
对n个样本数据(x1,y1),(x2,y2),…,(xn,yn),
其线性回归方程为=x+,其中
=,=-,,分别是{xi}、{yi}的平均数.
5.独立性检验
利用独立性检验来考查两个分类变量是否有关系,并且能较为准确地给出这种判断的可靠程度,具体的做法是根据观测数据计算,由公式K2=所给出的检验随机变量K2的观测值k,并且k的值越大,说明“X与Y有关系”成立的可能性就越大.
易忘提醒
1.随机抽样的方法有三种,其中简单随机抽样适用于总体中的个体数量不多的情况,当总体中的个体数量较多且差别不大时要使用系统抽样,当总体中的个体具有明显的层次时使用分层抽样.系统抽样最重要的特征是“等距”,分层抽样最重要的特征是总体中个体有明显的“层次”,各层抽样比相等.
2.线性回归方程=x+经过样本点的中心(,).
习题回扣(命题人推荐)
1.(抽样)一支田径队有男运动员56人,女运动员42人,从中抽出一个容量为28的样本,则男运动员抽取 人.
解析:56×=16(人).
答案:16
2.(数据的数字特征)甲乙两台机床同时生产一种零件,10天中,两台机床每天出的次品数分别是
甲 0 1 0 2 2 0 3 1 2 4
乙 2 3 1 1 0 2 1 1 0 1
通过计算这两组数据的平均数与标准差进行比较, 台机床的性能较好.
解析:=1.5>=1.2,
且s甲≈1.284 5>s乙≈0.871 8,
所以乙机床生产出的次品比甲机床少,而且更为稳定,
所以乙机床的性能较好.
答案:乙
3.(线性回归方程)有人收集了10年中某城市的居民年收入x亿元与某种商品的销售额y万元的有关数据,由调查数据得到y对x的回归直线方程是=1.447x-15.843.若这座城市居民的年收入达到40亿元,则这种商品的销售额估计是 万元.
解析:当x=40时,=1.447×40-15.843=42.037.
答案:42.037
4.(独立性检验)为考察某种药物预防疾病的效果,进行动物试验,得到如下列联表:
患病
未患病
总计
服用药
10
45
55
没服用药
20
30
50
总计
30
75
105
通过计算K2说明可有 的把握认为药物有效(P(K2≥5.024)≈0.025).
解析:K2的观测值k=
≈6.109 1>5.024,
所以有97.5%的把握认为药物有效.
答案:97.5%
十九、选修4系列
知识方法
1.坐标系与参数方程
(1)直角坐标与极坐标的互化
把直角坐标系的原点作为极点,x轴正半轴作为极轴,并在两坐标系中取相同的长度单位.设M是平面内任意一点,它的直角坐标是(x,y),极坐标是(ρ,θ),则
(2)圆的极坐标方程
若圆心为M(ρ0,θ0),半径为r,则圆的方程为ρ2-2ρ0ρcos(θ-θ0)+-r2=0.
几个特殊位置的圆的极坐标方程:
①当圆心位于极点,半径为r:ρ=r;
②当圆心位于M(a,0),半径为a:ρ=2acos θ;
③当圆心位于Ma,,半径为a:ρ=2asin θ.
(3)直线的极坐标方程
若直线过点M(ρ0,θ0),且与极轴所成的角为α,则它的方程为ρsin(θ-α)=ρ0sin(θ0-α).
几个特殊位置的直线的极坐标方程:
①直线过极点:θ=θ0和θ=π-θ0;
②直线过点M(a,0)且垂直于极轴:ρcos θ=a;
③直线过Mb,且平行于极轴:ρsin θ=b.
(4)几种常见曲线的参数方程
①直线
经过点P0(x0,y0),倾斜角为α的直线的参数方程是其中t是参数.
②圆
以O'(a,b)为圆心,r为半径的圆的参数方程是其中α是参数.
当圆心为(0,0)时,方程为其中α是参数.
③椭圆
椭圆+=1(a>b>0)的参数方程是其中φ是参数.
椭圆+=1(a>b>0)的参数方程是其中φ是参数.
2.不等式选讲
(1)绝对值不等式
定理1:如果a,b是实数,则|a+b|≤|a|+|b|,当且仅当ab≥0时,等号成立.
定理2:如果a,b,c是实数,那么|a-c|≤|a-b|+|b-c|,当且仅当(a-b)(b-c)≥0时,等号成立.
(2)|ax+b|≤c(c>0)和|ax+b|≥c(c>0)型不等式的解法
①|ax+b|≤c(c>0)⇔-c≤ax+b≤c.
②|ax+b|≥c(c>0)⇔ax+b≥c或ax+b≤-c.
(3)|x-a|+|x-b|≥c(c>0)和|x-a|+|x-b|≤c(c>0)型不等式的解法
①利用绝对值不等式几何意义求解,体现数形结合思想.
②利用“零点分段法”求解,体现分类讨论思想.
③通过构建函数,利用函数图象求解,体现函数与方程思想.
(4)证明不等式的基本方法
①比较法;②综合法;③分析法;④反证法;⑤放缩法.
(5)二维形式的柯西不等式
若a,b,c,d都是实数,则(a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2,当且仅当ad=bc时,等号成立.
易忘提醒
1.将曲线的参数方程化为普通方程主要消去参数,简称为“消参”.把参数方程化为普通方程后,很容易改变变量的取值范围,从而使得两种方程所表示的曲线不一致,因此我们要注意参数方程与普通方程的等价性.
2.“零点分段法”是解绝对值不等式的最基本方法,一般步骤是:(1)令每个绝对值符号里的代数式等于零,求出相应的根;(2)把这些根按由小到大进行排序,n个根把数轴分为n+1个区间;(3)在各个区间上,去掉绝对值符号组成若干个不等式,解这些不等式,求出它们的解集;(4)这些不等式解集的并集就是原不等式的解集.
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