【2019年高考二轮课程】数学 全国通用版 基本初等函数 教案

2019年高考二轮复习 基本初等函数
教材版本
全国通用
课时说明（建议）
2课时
知识点
二次函数，指数函数，对数函数，幂函数
复习目标
1.了解二次函数、指数函数、对数函数、幂函数的概念；
2.掌握幂与对数运算及二次函数、指数函数、对数函数、幂函数的图象与性质，会求函数的单调性、最值(值域)、单调区间等．
复习重点
二次函数、指数函数、对数函数、幂函数的图象与性质
复习难点
函数性质综合
一、高考回顾
高考对基本初等函数的考查主要体现在：1.以二次函数、指数函数、对数函数、幂函数为载体，考查函数的定义域、最值与值域、奇偶性、单调性；2.以基本初等函数为依托，考查函数与方程的关系、函数零点存在性定理.高考对本章的考查以选择、填空题为主.

二、知识清单
1.思维导图
核心方法
思维特征
关注自变量
关注因变量变化状态
指数函数图象性质
对数函数图象性质
幂函数图象性质
核心知识
基本初等函数I
利用数形结合研究性质
利用代数方程研究性质
利用数学模型研究性质
图象语言
符号化语言
描述性语言
思维载体

2.知识再现
(1)对数的性质与运算
对数的性质(a>0且a≠1)
①loga1＝0；②logaa＝1.
对数恒等式
aloga N＝N(a>0且a≠1)．
对数的换底公式
logab＝(a，c均大于零且不等于1，b>0)．
推论：①logab＝；②；③.
对数的运算性质
如果a>0且a≠1，M>0，N>0，那么
①loga(MN)＝logaM＋logaN；②loga＝logaM－logaN；③logaMn＝nlogaM(n∈R)．
(2)指对幂函数的图象与性质

指数函数
对数函数
定义


图象
0 a>1
0 a>1




定义域
R

值域

R
定点
（0，1）
（1，0）
单调性
当a＞1时，指数函数的图象呈上升趋势；
当0＜a＜1时，指数函数的图象呈下降趋势．
底数与图象关系

其中0＜c＜d＜1＜a＜b，在y轴右侧，图象从上到下相应的底数由大变小，在y轴左侧，图象从下到上相应的底数由大变小，即无论在y轴的左侧还是右侧，底数按逆时针方向变大．

其中0＜c＜d＜1＜a＜b，在直线x＝1的右侧，当a＞1时，底数越大，图象越靠近x轴；当0＜a＜1时，底数越小，图象越靠近x轴，即“底大图低”
（3）幂函数与二次函数的图象、性质及应用
五种常用幂函数的图象

五种幂函数的性质
函数
特征
性质
y＝x
y＝x2
y＝x3
y＝
y＝x－1
定义域
R
R
R
[0，＋∞)
{x|xR且x≠0}
值域
R
[0，＋∞)
R
[0，＋∞)
{y|yR且y≠0}
奇偶性
奇
偶
奇
非奇非偶
奇
单调性
增
当x[0，＋∞)时，增
当x(－∞，0]时，减
增
增
当x(0，＋∞)时，减
当x(－∞，0)时，减
定点
(1，1)
二次函数的图象与性质
函数
y＝ax2＋bx＋c(a>0)
y＝ax2＋bx＋c(a<0)
图象(抛物线)


定义域
R
值域


对称轴
x＝－
顶点坐标

奇偶性
当b＝0时是偶函数，当b≠0时是非奇非偶函数
单调性
在上是减函数；
在上是增函数
在上是增函数；
在上是减函数
最值
当x＝－时，ymin＝
当x＝－时，ymax＝

三、例题精讲
题型一 指数运算与对数运算
例1 已知函数则f(f(1))＋f的值是(　　)
A.5 B.3 C.－1 D.
【答案】A
【解析】由题意可知f(1)＝log21＝0，f(f(1))＝f(0)＝30＋1＝2，f＝+1＝2＋1＝3，所以f(f(1))＋f＝5.
【易错点】确定的范围再代入.
【思维点拨】本题较简单，分段函数计算题代入时要先确定范围，再代入函数.
例2 定义在R上的函数f(x)满足f(x)＝则f(2 019)＝(　　)
A．－1 B．0 C．1 D．2
【答案】D
【解析】∵2 019＝6×337－3，∴f(2 019)＝f(－3)＝log2(1＋3)＝2.故选D.
【易错点】转化过程
【思维点拨】x>6时可以将函数看作周期函数，得到f(2 019)＝f(3)，然后再带入3，得出f(3)＝f(－3).
题型二 指对幂函数的图象与简单性质
例1 函数f(x)＝ax－b的图象如图所示，其中a，b为常数，则下列结论正确的是(　　)
A.a>1，b<0 B.a>1，b>0
C.00 D.0 【答案】D
【解析】由f(x)＝ax－b的图象可以观察出，函数f(x)＝ax－b在定义域上单调递减，所以0 函数f(x)＝ax－b的图象是在f(x)＝ax的基础上向左平移得到的，所以b<0.
【易错点】注意b的符号
【思维点拨】(1)已知函数解析式判断其图象一般是取特殊点，判断选项中的图象是否过这些点，若不满足则排除；(2)对于有关指数型函数的图象问题，一般是从最基本的指数函数的图象入手，通过平移、伸缩、对称变换而得到．特别地，当底数a与1的大小关系不确定时应注意分类讨论．
例2 已知定义在R上的函数f(x)＝2|x－m|－1(m为实数)为偶函数，记a＝f(log0.53)，b＝f(log25)，c＝f(2m)，则a，b，c的大小关系为(　　)
A.a＜b＜c B.c＜a＜b
C.a＜c＜b D.c＜b＜a
【答案】B
【解析】由函数f(x)＝2|x－m|－1为偶函数，得m＝0，所以f(x)＝2|x|－1，
当x＞0时，f(x)为增函数，log0.53＝－log23，∴log25＞|－log23|＞0，
∴b＝f(log25)＞a＝f(log0.53)＞c＝f(2m)＝f(0)，故选B.
【易错点】①对称性的条件转化；②利用单调性或图象转化到同一单调区间比较大小.
【思维点拨】函数的图象关于对称；指对幂函数比较大小时像本题中a,b一样可以换成同底数的数，可以化为一样的底数利用单调性比较大小.
题型三 二次函数的图象与性质
例1 已知函数f(x)＝x2＋mx－1，若对于任意x∈[m，m＋1]，都有f(x)<0成立，则实数m的取值范围是________．
【答案】（－，0）
【解析】由于f(x)＝x2＋mx－1＝mx＋(x2－1)，可视f(x)为关于m的一次函数，故根据题意有
解得－ 【思维点拨】恒成立问题转化为最值问题.
例2 已知f(x)＝ax2－2x(0≤x≤1)，求f(x)的最小值．
【答案】a<1时,f(x)min=a-2；a≥1时，f(x)min=－ .
【解析】①当a＝0时，f(x)＝－2x在[0，1]上单调递减，∴f(x)min＝f(1)＝－2.
②当a>0时，f(x)＝ax2－2x的图象的开口方向向上，且对称轴为直线x＝.
当≤1，即a≥1时，f(x)＝ax2－2x的图象的对称轴在[0，1]内，
∴f(x)在上单调递减，在上单调递增．
∴f(x)min＝＝－＝－.
当>1，即0 ∴f(x)在[0，1]上单调递减．
∴f(x)min＝f(1)＝a－2.
③当a<0时，f(x)＝ax2－2x的图象的开口方向向下，且对称轴x＝<0，在y轴的左侧，
∴f(x)＝ax2－2x在[0，1]上单调递减．
∴f(x)min＝f(1)＝a－2.
综上所述，f(x)min＝
【易错点】忽略a＝0情形；对称轴不确定分类讨论
【思维点拨】二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(不妨设a>0)在区间[m，n]上的最大或最小值如下：
(1)当∈[m，n]，即对称轴在所给区间内时，f(x)的最小值在对称轴处取得，其最小值是；若≤，f(x)的最大值为f(n)；若≥，f(x)的最大值为f(m)．
(2)当∉[m，n]，即给定的区间在对称轴的一侧时，f(x)在[m，n]上是单调函数．若 (3)当不能确定对称轴是否属于区间[m，n]时，则需分类讨论，以对称轴与区间的关系确定讨论的标准，然后转化为上述(1)(2)两种情形求最值．
题型四 函数图象的综合考查
例1 函数的图象可能是(　　)

【答案】B.
【解析】法一　函的图象过点(e，1)，排除C，D；函数的图象过点(－e，－1)，排除A，选B.
法二　由已知，设，定义域为{x|x≠0}.则f(－x)＝－f(x)，故函数f(x)为奇函数，排除A，C；当x＞0时，f(x)＝ln x在(0，＋∞)上为增函数，排除D，故选B.
【思维点拨】含对数函数的图象要考虑定义域，对于含对数函数的复合函数图象题，要注意判断复合后的奇偶性，进而分析图象对称性.
例2 函数的图像大致为 （ ）

【答案】B
【解析】 由f(x)的奇偶性，排除A；f(1)>0,排除D；当x趋近于正无穷大时，f(x)趋近于正无穷大,故选B.
【易错点】忽略正无穷大时的函数值
【思维点拨】判断函数奇偶性→根据选项代入特殊值判断函数值正负→根据极限判断趋近值.
题型五 复合函数的简单性质
例1 设f(x)＝lg是奇函数，则使f(x)<0的x的取值范围是________.
【答案】(－1，0).
【解析】由f(x)是奇函数可得a＝－1，∴f(x)＝lg，定义域为(－1，1).
由f(x)<0，可得0<<1，∴－1 【易错点】奇偶性判断
【思维点拨】含对数函数的复合函数如果为奇函数，代入-x时真数部分与原真数部分互为倒数.可记住常见具有奇偶性的复合函数.
常见奇函数：或；或
常见偶函数：（如）、（如）
例2 若函数在区间上是增函数，求a的取值范围.
【答案】
【解析】令，∵函数为减函数，∴在区间上递减，且满足，∴，解得，所以，的取值范围为.
【易错点】对数型函数的定义域
【思维点拨】利用复合函数同增异减的性质得出参数需满足的不等式组.
题型六 函数性质综合
例1 设函数y＝f(x)的图象与y＝2x＋a的图象关于直线y＝－x对称，且f(－2)＋f(－4)＝1，则a＝(　　)
A．－1 B．1
C．2 D．4
【答案】C.
【解析】设(x，y)是函数y＝f(x)图象上任意一点，它关于直线y＝－x的对称点为(－y，－x)，由y＝f(x)的图象与y＝2x＋a的图象关于直线y＝－x对称，可知(－y，－x)在y＝2x＋a的图象上，即－x＝2－y＋a，解得y＝－log2(－x)＋a，所以f(－2)＋f(－4)＝－log22＋a－log24＋a＝1，解得a＝2，选C.
【易错点】关于直线对称的函数求法
例2 设函数f(x)是定义在R上的偶函数，且对任意的x∈R恒有f(x＋1)＝f(x－1)，已知当x∈[0,1]时，f(x)＝1－x，则：
①2是函数f(x)的周期；
②函数f(x)在(1,2)上递减，在(2,3)上递增；
③函数f(x)的最大值是1，最小值是0；
④当x∈(3,4)时，f(x)＝x－3.
其中所有正确命题的序号是________．
【答案】①②④
【解析】由已知条件：f(x＋2)＝f(x)，则y＝f(x)是以2为周期的周期函数，①正确；
当－1≤x≤0时，0≤－x≤1，f(x)＝f(－x)＝1＋x，函数y＝f(x)的图象如图所示：

当3 因此②④正确，③不正确．
【思维点拨】研究函数性质时一般要借助于函数图象，体现了数形结合思想．
四、成果巩固
题型一 指数运算与对数运算
1. 设函数则f(－2)＋f (log212)＝(　　)
A.3 B.6 C.9 D.12
【答案】C
【解析】因为－2＜1，log212＞log28＝3＞1，所以f(－2)＝1＋log2[2－(－2)]＝1＋log24＝3，f (log212)＝2log212－1＝2log212×2－1＝12×＝6，故f(－2)＋f (log212)＝3＋6＝9，故选C.
2. 化简：2lg 5＋lg 2(lg 2＋2lg 5)＋(lg 2)2＝________.
【答案】2.
【解析】原式＝2lg 5＋(lg 2)2＋2lg 2·lg 5＋(1－lg 5)2＝(lg 2)2＋2lg 2·lg 5＋(lg 5)2＋1＝(lg 2＋lg 5)2＋1＝2.
3.已知2x＝3，log4＝y，则x＋2y的值为____________．
【答案】3.
【解析】原式＝.
题型二 指对幂函数的图象与简单性质
1. 函数f(x)＝ax＋loga(x＋1)在[0,1]上的最大值和最小值之和为a，则a的值为(　　)
A. B. C．2 D．4
【答案】B
【解析】f(x)＝ax＋loga(x＋1)是单调递增(减)函数(原因是y＝ax与y＝loga(x＋1)的单调性相同)，且在[0,1]上的最值分别在两端点处取得，最值和为f(0)＋f(1)＝a0＋loga1＋a＋loga2＝a，
∴loga2＋1＝0，
∴a＝.
2.若a＝，b＝x2，c＝，则当x>1时，a，b，c的大小关系是(　　)
A.c C.a 【答案】A
【解析】当x>1时，所以c 3. 当0 A. B. C．(1，) D．(，2)
【答案】B
【解析】由题意得，当0 又当x＝时，＝2，即函数y＝4x的图象过点.把点代入函数y＝logax，得a＝.
若函数y＝4x的图象在函数y＝logax图象的下方，则需
当a>1时，不符合题意，舍去．所以实数a的取值范围是.
题型三 二次函数的图象与性质
1.若时恒成立,求实数a的取值范围.
【答案】
【解析】分离参数a,可得则当时，令所以f(x)在时单调递增，所以也可利用二次函数性质分类讨论.
2.设二次函数f(x)＝ax2－2ax＋c在区间[0,1]上单调递减，且f(m)≤f(0)，则实数m的取值范围是(　　)
A. B．[2，＋∞)
C．(－∞，0]∪[2，＋∞) D．[0,2]
【答案】D
【解析】二次函数f(x)＝ax2－2ax＋c在区间[0,1]上单调递减，则a≠0，f′(x)＝2a(x－1)＜0，x∈[0,1]，
所以a＞0，即函数的图象开口向上，又因为对称轴是直线x＝1.所以f(0)＝f(2)，则当f(m)≤f(0)时，有0≤m≤2.
a＞0也可利用f(x)＝ax2－2ax＋c=a(x2－2x)＋c=a(x－1)2－a＋c在对称轴左边递减得到.
3.已知函数f(x)＝x2－2ax＋5(a>1)．
(1)若f(x)的定义域和值域均是[1，a]，求实数a的值；
(2)若f(x)在区间(－∞，2]上是减函数，且对任意的x1，x2∈[1，a＋1]，总有|f(x1)－f(x2)|≤4，求实数a的取值范围．
【答案】（1）a＝2；（2）[2,3]．
【解析】(1)∵f(x)＝(x－a)2＋5－a2(a>1)，
∴f(x)在[1，a]上是减函数．
又定义域和值域均为[1，a]．
∴解得a＝2.
(2)∵f(x)在区间(－∞，2]上是减函数，
∴a≥2.
又x＝a∈[1，a＋1]，且(a＋1)－a≤a－1，
∴f(x)max＝f(1)＝6－2a，f(x)min＝f(a)＝5－a2.
∵对任意的x1，x2∈[1，a＋1]，总有|f(x1)－f(x2)|≤4，
∴f(x)max－f(x)min≤4，得－1≤a≤3.
又a≥2，∴2≤a≤3.
故实数a的取值范围是[2,3]．
题型四 函数图象的综合考查
1.函数的图象大致是（ ）

【答案】D
【解析】 从奇偶性可排除B，且易知当x>1时，原函数大于0，排除A，当x>0时，对函数求导单调性可排除C.故选D.
2.函数f(x)＝ln的图象是(　　)

【答案】B.
【解析】自变量x满足，当x＞0时，可得x＞1，当x＜0时，可得－1＜x＜0，即函数f(x)的定义域是(－1,0)∪(1，＋∞)，据此排除选项A、D；
函数y＝单调递增，故函数f(x)＝ln()在(－1,0)，(1，＋∞)上单调递增，故选B.
3.函数y＝在[－2,2]的图象大致为(　　)

【答案】D.
【解析】利用导数研究函数y＝在[0,2]上的图象，利用排除法求解．
∵f(x)＝|，x∈[－2,2]是偶函数，
又f(2)＝8－e2∈(0,1)，故排除A，B.
设g(x)＝，则g′(x)＝4x－ex.
又g′(0)<0，g′(2)>0，
∴g(x)在(0,2)内至少存在一个极值点，
∴f(x)＝在(0,2)内至少存在一个极值点，排除C.故选D.
题型五 复合函数的简单性质
1.已知函数为奇函数则实数的值为 ．
【答案】1.
【解析】由奇函数得：,,,因为,所以
2.若函数f(x)＝loga(x2－ax＋5)(a＞0，且a≠1)满足对任意的x1，x2，当x1＜x2≤时，f(x2)－f(x1)＜0，则实数a的取值范围为________．
【答案】(1,2).
【解析】 当x1＜x2≤时，f(x2)－f(x1)＜0，即函数在区间(－∞，]上为减函数，设g(x)＝x2－ax＋5，则，解得1＜a＜2.
3.函数的值域为(　　)
A．(0，＋∞) B．(1，＋∞)
C．[1，＋∞) D．(－∞，＋∞)
【答案】B
【解析】令2x＝t，则函数可化为y＝t2＋2t＋1＝(t＋1)2(t>0)．
∵函数y＝(t＋1)2在(0，＋∞)上递增，∴y>1.
∴所求值域为(1，＋∞)．故选B.
题型六 函数性质综合
1.设方程的根分别为x1，x2，则(　　)
A．0＜x1x2＜1 B．x1x2＝1
C．1＜x1x2＜2 D．x1x2≥2
【答案】A.
【解析】方程的根分别为x1，x2，所以，，可得x2＝，令f(x)＝，则f(2)f(1)＜0，所以1＜x1＜2，所以＜x1x2＜1，即0＜x1x2＜1.故选A.
2.若函数的值域是[4，＋∞)，求实数a的取值范围．
【答案】
【解析】当x≤2时，f(x)＝－x＋6，f(x)在(－∞，2]上为减函数，∴f(x)∈[4，＋∞)．当x＞2时，若a∈(0,1)，则f(x)＝3＋logax在(2，＋∞)上为减函数，f(x)∈(－∞，3＋loga2)，显然不满足题意，∴a＞1，此时f(x)在(2，＋∞)上为增函数，f(x)∈(3＋loga2，＋∞)，由题意可知(3＋loga2，＋∞)⊆[4，＋∞)，则3＋loga2≥4，即loga2≥1，∴1＜a≤2.
3.已知定义域为R的函数是奇函数．
(1)求a，b的值；
(2)若对任意的t∈R，不等式f(t2－2t)＋f(2t2－k)<0恒成立，求k的取值范围．
【答案】（1）a＝2，b＝1;（2）.
【解析】(1)因为f(x)是R上的奇函数，
所以f(0)＝0，即＝0，解得b＝1.
从而有.又由f(1)＝－f(－1)知＝－，解得a＝2.
(2)由(1)知f(x)＝＝－＋，
由上式易知f(x)在R上为减函数，又因为f(x)是奇函数，从而不等式f(t2－2t)＋f(2t2－k)<0等价于f(t2－2t)<－f(2t2－k)＝f(－2t2＋k)．
因为f(x)是R上的减函数，由上式推得t2－2t>－2t2＋k.即对一切t∈R有3t2－2t－k>0，
从而Δ＝4＋12k<0，解得k<－.
五、课堂小结
1.指数幂运算的4个原则
(1)有括号的先算括号里的，无括号的先做指数运算．
(2)先乘除后加减，负指数幂化成正指数幂的倒数．
(3)底数是负数，先确定符号，底数是小数，先化成分数，底数是带分数的，先化成假分数．
(4)若是根式，应化为分数指数幂，尽可能用幂的形式表示，运用指数幂的运算性质来解答
2.指数函数的性质及应用问题3种解题策略
(1)比较大小问题．常利用指数函数的单调性及中间值(0或1)法．
(2)简单的指数方程或不等式的求解问题．解决此类问题应利用指数函数的单调性，要特别注意底数a的取值范围，并在必要时进行分类讨论．
(3)解决指数函数的综合问题时，要把指数函数的概念和性质同函数的其他性质(如奇偶性、周期性)相结合，同时要特别注意底数不确定时，对底数的分类讨论．
3.利用对数函数的性质研究对数型函数性质，要注意以下四点：一是定义域；二是底数与1的大小关系；三是如果需将函数解析式变形，一定确保其等价性；四是复合函数的构成，即它是由哪些基本初等函数复合而成的．
4.指数、对数、幂函数值的大小比较时：
(1)底数相同，指数不同的幂用指数函数的单调性进行比较；
(2)底数相同，真数不同的对数值用对数函数的单调性比较；
(3)底数不同、指数也不同，或底数不同，真数也不同的两个数，常引入中间量或结合图象比较大小.
5.解决二次函数图象与性质问题注意：
(1)抛物线的开口、对称轴位置、定义区间三者相互制约．常见的题型中这三者有两定一不定，要注意分类讨论；
(2)要注意数形结合思想的应用，尤其是给定区间上二次函数最值问题．先“定性”(作草图)，再“定量”(看图求解)，事半功倍