人教A版 (2019)2.2 直线的方程一等奖教学设计及反思

这是一份人教A版 (2019)2.2 直线的方程一等奖教学设计及反思，共5页。教案主要包含了内容和内容解析，目标和目标解析，教学问题诊断分析，教学过程设计等内容，欢迎下载使用。




一、内容和内容解析


1.内容


直线的两点式方程、截距式方程.


2.内容解析


两点式方程是点斜式方程的“变式”表达或推论，变化的依据是两点确定一条直线可以转化为一点和斜率唯一确定一条直线，而斜率可以由过这两个已知点的坐标求得.转化的关键是处理直线上任意一点的坐标（x，y）与两个已知点P1，P2的坐标之间的关系，从而建立直线的两点式方程.


在两点式方程中，截距式方程是其特例，其特别之处在于这两点是直线与两条坐标轴的交点，它在具体问题中应用广泛.


结合以上分析，确定本节课的教学重点：直线的两点式方程.


二、目标和目标解析


1.目标


（1）能根据两定点的坐标，由点斜式方程推导建立直线的两点式方程；能由一般到特殊，由两点式方程推导出截距式方程.


（2）能从代数方程的角度认识直线方程四种不同形式本质上的共性.


2.目标解析


（1）学生经历由直线的点斜式方程自主探究建立直线的两点式方程、截距式方程的过程，知道两点式方程是直线点斜式方程的一种变式表达；知道截距式方程是两点式方程的特例；会根据两点坐标写出直线的两点式方程.


（2）学生会根据确定直线的几何要素写出直线方程，能说出直线的点斜式、斜截式、两点式、截距式方程中相关要素的几何意义，知道点斜式方程是其它所有形式方程的基础，能进行不同形式方程的转化.


三、教学问题诊断分析


通过前一小节的学习，学生能体会到斜率在建立直线方程的过程中居于核心地位.在本小节中，斜率是搭建点斜式方程和两点式方程之间的桥梁.教学时，要引导学生分析两点确定一条直线，与一点和斜率确定一条直线之间的联系，把两点确定一条直线转化为一点和斜率确定一条直线.


直线的两点式方程形式很美，但是不太好记忆.教学时不要求学生死记两点式方程的形式，而是加强理解，在理解的基础上记忆.


上一小节，已经介绍直线与y轴交点的纵坐标称为直线在y轴上的截距.本小节，通过例3建立了两点式方程的一个特例：截距式方程.特殊在这两点是直线与两条坐标轴的交点（a，0），（0，b），把a称为直线在x轴上的截距，由两个截距a，b确定的方程称为直线的截距式方程，教学时要注意强调a，b都不能为0，方程的右边是1，不是0.


直线的点斜式、斜截式、两点式、截距式方程都有明确的几何意义，都涉及确定直线位置的两个基本要素：两个点或一点和斜率.这些直线的方程，虽然形式不同，但是本质一致，它们都是对直线的代数刻画.在解决具体问题的时候，学生要根据题目条件及个人偏好灵活选择.


四、教学过程设计


（一）复习引入


1.已知点P1（x1，y1），P2（x2，y2），x1≠x2，如何求直线AB的斜率？


师生活动：.直线的点斜式方程是经过两点的斜率公式的一种变式表达.


2.经过点P0（x0，y0），且斜率为k的直线l的方程是什么？


师生活动：直线的方程一方面表示直线上点的坐标都满足这个方程，另一方面表示满足这个方程的解为坐标的点都在这条直线上.


3.什么叫直线在y轴上的截距？


师生活动：直线l与y轴的交点（0，b）的纵坐标b叫做直线l在y轴上的截距.


设计意图：为本小节的学习做好准备.


（二）探究新知


思考：已知直线l经过两点P1（x1，y1），P2（x2，y2）（x1≠x2，y1≠y2），因为两点确定一条直线，所以直线l是唯一确定的.也就是说，对于直线l上的任意一点P（x，y），它的坐标与点P1，P2的坐标之间具有唯一确定的关系.这一关系是什么呢？


师生活动：当x1≠x2时，经过两点P1（x1，y1），P2（x2，y2）的直线的斜率


任取P1，P2中的一点，例如取点P1（x1，y1），由直线的点斜式方程，得.


当y1≠y2时，上式可写为.称为直线的两点式方程，简称两点式.


追问1：不利用点斜式方程，你能求出两点式方程吗？





师生活动：直线l上的任意一点P（x，y），，即，可以变形为.





设计意图：进一步体会斜率在求直线的方程中的核心地位.


追问2： 在P1（x1，y1），P2（x2，y2）中，如果x1=x2或y1=y2，直线的方程是什么？





师生活动：如果x1=x2或y1=y2，直线没有两点式方程.当x1=x2时，直线P1P2垂直于x轴，直线方程为，即.当y1=y2时，直线P1P2垂直于y轴，直线方程为，即.


练习1 求经过两点 P1（2，1），P2（0，3）的直线的两点式方程.


师生活动：将两点P1（2，1），P2（0，3）的坐标代入两点式，得.


例3 如图，已知直线l与x轴的交点为A（a，0），与y轴的交点B（0，b），其中a≠0，b≠0.求直线l的方程.





师生活动：将两点A（a，0），B（0，b）的坐标代入两点式，得，即.


直线l与x轴的交点（a，0）的横坐标a叫做直线在x轴上截距.直线l在y轴上的截距为b，由a，b确定的方程称为直线的截距式方程.


练习2 直线在x轴、y轴上的截距分别是－5，6，求直线的截距式方程，并画出图形.


师生活动：将a=－5，b=6代入截距式，得.


设计意图：巩固所学的截距式方程，并体会截距式方程在画直线时的几何意义.


例4 已知△ABC的三个顶点A（－5，0），B（3，－3），C（0，2），求边BC所在直线的方程，以及这条边上的中线AM所在直线的方程.


师生活动：过B（3，－3），C（0，2）的两点式方程为，整理得.


就是边BC所在直线的方程.如图，边BC上的中线是顶点A与边BC中点M所连线段，由中点坐标公式，可得点M的坐标为，即.过点A（－5，0），M两点的直线方程为，整理得.这就是边BC上中线AM所在直线的方程.














请同学们写出直线方程的四种形式，它们之间有什么联系？


直线的点斜式方程





直线的两点式方程





直线的斜截式方程





直线的截距式方程





师生活动：
































当已知直线的斜率k和直线上一点（x0，y0）时，得到直线的点斜式方程，


当点（x0，y0）特殊为（0，b）时，我们得到斜截式方程，已知条件为直线过两点（x1，y1），（x2，y2）时，我们可以先确定斜率，再写出点斜式方程，适当变形后我们得到了直线的两点式方程，当这两个点特殊为直线与两坐标轴的交点时，得到直线的截距式方程.


设计意图：帮助学生梳理直线方程学习的基本过程与思路：根据确定直线位置的几何要素，从给定一点与方向到两个点，分别建立直线的点斜式方程和两点式方程，并给出了它们的特殊形式.明确直线的点斜式方程、斜截式方程、两点式方程以及截距式方程的不同特点，使学生在问题解决中能灵活应用.并为下一小节从方程的一般特点入手得到直线的一般式方程做好铺垫.


（三）巩固提升


1．求经过点（2，3），并且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程.


设直线在两坐标轴上的截距均为a.


当a≠0时，将点（2，3）的坐标代入截距式，解得a=5，直线方程化简为.


当a=0时，将点（0，0）和（2，3）的坐标代入两点式，得，即.


设计意图：注意截距式的适用条件，全面理解直线在两坐标轴上的截距相等的含义.


2．一条光线从点P（6，4）射出，与x轴相交于点Q（2，0），经x轴反射，求入射光线和反射光线所在直线的方程．


将点P（6，4），Q（2，0）的坐标代入两点式，得，化简为.这就是入射光线所在直线的方程.


如图，由于入射角等于反射角，反射光线所在直线的倾斜角与入射光线所在直线的倾斜角互补，它们的斜率互为相反数.


反射光线所在直线的方程为.化简为.








（四）课堂小结，布置作业


教师引导学生回顾本小节学习内容，并回答下列问题：


（1）我们学到了直线方程的哪些不同形式？产生不同形式的原因是什么？


（2）在直角坐标系中直线如何用方程表示？代数表示的意义是什么


（3）运用直线的点斜式方程、两点式方程时要注意什么适用条件？


作业：教科书64页 练习 第3题.67页，习题2.2 第4题，第6题.