数学选择性必修 第一册2.2 直线的方程教案设计

2.2.2　直线的两点式方程

基础达标练

1.(多选题)下列语句中不正确的是(　　)

A.经过定点P(x0,y0)的直线都可以用方程y-y0=k(x-x0)表示

B.经过任意两个不同点P(x1,y1),Q(x2,y2)的直线都可以用方程(y-y1)(x2-x1)=(x-x1)(y2-y1)表示

C.不经过原点的直线都可以用方程=1表示

D.经过定点的直线都可以用y=kx+b表示

解析A不正确,该方程无法表示直线x=x0;C不正确,该方程无法表示与坐标轴平行的直线;D不正确,该方程无法表示与x轴垂直的直线,B正确.

答案ACD

2.两条直线=1与=1在同一平面直角坐标系中的图象是下图中的(　　)

解析两直线的方程分别化为y=x-n,y=x-m,易知两直线的斜率符号相同.

答案B

3.过点P(3,4)且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程是(　　)

A.x-y+1=0

B.x-y+1=0或4x-3y=0

C.x+y-7=0

D.x+y-7=0或4x-3y=0

解析当直线过原点时,直线方程为y=x,即4x-3y=0;排除A、C;当直线不过原点时,设直线方程为=1,因为该直线过点P(3,4),所以=1,解得a=7.所以直线方程为x+y-7=0.所以过点P(3,4)且在两坐标轴上截距相等的直线方程为4x-3y=0或x+y-7=0.故选D.

答案D

4.直线l过点(-1,-1)和(2,5),点(1 010,b)在直线l上,则b的值为(　　)

A.2 019 B.2 020 C.2 021 D.2 022

解析直线l的两点式方程为,化简得y=2x+1,将x=1010代入,得b=2021.

答案C

5.经过点A(1,3)和B(a,4)的直线方程为　. 

解析当a=1时,直线AB的斜率不存在,所求直线的方程为x=1;

当a≠1时,由两点式,得,

整理,得x-(a-1)y+3a-4=0,

在这个方程中,当a=1时方程也为x=1,

所以,所求的直线方程为x-(a-1)y+3a-4=0.

答案x-(a-1)y+3a-4=0

6.斜率为,且与两坐标轴围成的三角形的面积为4的直线方程为　　　　　　　　　　. 

解析设直线方程为y=x+b,令x=0,得y=b;令y=0,得x=-2b.所以直线与坐标轴所围成的三角形的面积为S=|b|·|-2b|=b2.

由b2=4,得b=±2.所以直线方程为y=x±2,

即x-2y+4=0或x-2y-4=0.

答案x-2y+4=0或x-2y-4=0

7.已知三角形三个顶点分别是A(-3,0),B(2,-2),C(0,1),求这个三角形三边各自所在直线的方程.

解由两点式方程得AB:,

即AB方程为y=-×-.

由两点式方程得BC:,

即BC方程为y=-x+1.

由截距式方程,得AC:=1.

即AC方程为y=x+1.

能力提升练

1.直线x-y+1=0关于y轴对称的直线的方程为(　　)

A.x-y-1=0 B.x-y-2=0

C.x+y-1=0 D.x+y+1=0

解析令y=0,则x=-1,令x=0,则y=1,∴直线x-y+1=0关于y轴对称的直线过点(0,1)和(1,0),由直线的截距式方程可知,直线x-y+1=0关于y轴对称的直线方程是x+y=1,即x+y-1=0.

答案C

2.(多选题)经过点(2,1),且与两坐标轴围成等腰直角三角形的直线方程可以是(　　)

A.x+y-3=0 B.x+y+3=0

C.x-y-1=0 D.x-y+1=0

解析由题意设直线方程为=1或=1,

把点(2,1)代入直线方程得=1或=1,

解得a=3或a=1,∴所求直线的方程为=1或=1,即x+y-3=0或x-y-1=0.

答案AC

3.已知两点A(3,0),B(0,4),动点P(x,y)在线段AB上运动,则xy(　　)

A.无最小值,且无最大值

B.无最小值,但有最大值

C.有最小值,但无最大值

D.有最小值,且有最大值

解析线段AB的方程为=1(0≤x≤3),于是y=41-(0≤x≤3),从而xy=4x1-=-x-2+3,显然当x=∈[0,3]时,xy取最大值为3;当x=0或3时,xy取最小值0.

答案D

4.已知直线l过点P(2,1),且与x轴,y轴的正半轴分别交于A,B两点,O为坐标原点,则三角形OAB面积的最小值为　　　　　. 

解析设直线l的截距式方程为=1,依题意,a>0,b>0,又因为点P(2,1)在直线l上,

所以=1,即2b+a=ab.

又因为△OAB面积S=|OA|•|OB|=ab,

所以S=ab=(2b+a)≥,

当且仅当2b=a时等号成立,所以ab≥,解这个不等式,得ab≥8.

从而S=ab≥4,当且仅当2b=a时,S取最小值4.

答案4

5.已知直线l过点P(4,1),

(1)若直线l过点Q(-1,6),求直线l的方程;

(2)若直线l在y轴上的截距是在x轴上的截距的2倍,求直线l的方程.

解(1)∵直线l过点P(4,1),Q(-1,6),所以直线l的方程为,即x+y-5=0.

(2)由题意知,直线l的斜率存在且不为0,所以设直线l的斜率为k,则其方程为y-1=k(x-4).

令x=0得,y=1-4k;令y=0得,x=4-.

∴1-4k=24-,解得k=或k=-2.

∴直线l的方程为y-1=(x-4)或y-1=-2(x-4),即y=x或2x+y-9=0.

6.如图,已知点A(2,5)与点B(4,-7),试在y轴上找一点P,使得|PA|+|PB|的值最小.

解先求出点A关于y轴的对称点A'(-2,5),则|PA|=|PA'|.若使|PA|+|PB|的值最小,则P点为直线A'B与y轴的交点.由两点式得直线A'B的方程为,化简为2x+y-1=0,令x=0,得y=1,故所求点P坐标为P(0,1).

素养培优练

直线过点P,2且与x轴、y轴的正半轴分别交于A,B两点,O为坐标原点,是否存在这样的直线同时满足下列条件:

(1)△AOB的周长为12;

(2)△AOB的面积为6.

若存在,求出直线的方程;若不存在,请说明理由.

解设直线方程为=1(a>0,b>0),

若满足条件(1),则a+b+=12. ①

又∵直线过点P,2,∴=1. ②

由①②可得5a2-32a+48=0,

解得

∴所求直线的方程为=1或=1,

即3x+4y-12=0或15x+8y-36=0.

若满足条件(2),则ab=12, ③

由题意得=1, ④

由③④整理得a2-6a+8=0,

解得

∴所求直线的方程为=1或=1,

即3x+4y-12=0或3x+y-6=0.

综上所述,存在同时满足(1)(2)两个条件的直线方程,为3x+4y-12=0.