五年级思维专项训练21 质数与合数(原卷+解析版)全国通用

五年级思维训练21   质数与合数

1、华罗庚爷爷出生于1910年11月12日．将这些数字排成一个整数，并且分解成19101112—1163×16424．请问这两个数1163和16424中有质数吗？

2、2008006共有    个质因数．

    A．4    B．5    C．6    D．7

3、 有些三位数，它的各位数字之积为质数，这样的三位数最小是    ，最大是     .

4、 一个两位数，数字和是质数，而且，这个两位数分别乘以3，5，7之后，得到的数的数字和都仍为质数．满足条件的两位数为      .

5、当p和p3 +5都是质数时，p5 +5=      .

6、 求三个质数，使它们的积为它们的和的5倍．

7、 3个质数的倒数之和是，则这3个质数之和为多少？

8、设p、a、6、c均为互不相等的质数，且满足p=a4 +b4 +C4－3，则满足条件的p的和为多少？

9、已知n，n+6，n+84，n+102，n+218都是质数，那么n=       .

10、从20以内的质数中选出6个数，写在一个正方体的六个面上，使两个相对面的和都相等，所选的6个数是                     .

11、个位数、十位数都是质数的所有两位质数的数码和是         .

12、已知p为50以内的一个两位质数，且2p+l也是质数．若所有p的和是x，求x的值．

13、请将1、2、3、…、99、100这一百个自然数中既是奇数又是合数的自然数排成一行，使每两个相邻的数都不互质（若一行写不下，可移至第二行接着写，若第二行仍写不下，可移至第三行接着写）．

14、在10个连续自然数中，最多有   个质数．

15、9个连续的自然数，它们都大于80，那么其中质数至多有    个．

16、五个连续的自然数，每个数都是合数，这五个连续自然数的和最小是         .

17、 哥德巴赫猜想是说：“每个大于2的偶数都可以表示成两个质数之和．”问：168是哪两个两位数的质数之和，并且其中一个的个位数字是1？

18、有三张卡片，在它们上面各写有一个数字（如下图所示）．从中抽出一张、二张、三张，接任意次序排起来，可以得到不同的一位数、二位数、三位数．请你将其中的质数都写出来．

 19、用数字卡片1、1、2、2、3、3、4、4、5、5、6、7、9、9（不允许把6倒过来当做9，也不许把9倒过来当做6）组成七个不同的两位质数，这七个质数之和等于    。

20、用1、3、5、7、9这五个数字组成若干个合数，每个数字恰好用一次；那么，这些合数的总和最小是       .

21、 121×122 ×123×124×…×2004×2005×2006的乘积的末尾有    个零．

22、将6个自然数14、20、33、117、143、175分组，如果要求每组中的任意两个数都互质，则至少需要将这些数分成    组．

23、如下图所示，点B是线段AD的中点，由A、B、c、D四个点所构成的所有线段的长度均为整数，若这些线段的长度之积为10500，则线段AB的长度是        。

    A               B    C     D

24、甲、乙两个自然数的乘积比甲数的平方数小1999，乙数是    ．

25、张老师带领六(l)班的学生种树，学生恰好可平均分成5组，已知师生每人种的树一样多，共种树527棵，则六(1)班的学生有    人．

26、 有一群猴子正要分56个桃子．每只猴子可以分到同样个数的桃子．这时．又窜来4只猴子．只好重新分配，但要使每只猴子分到同样个数的桃子，必须扔掉一个桃子则最后每只猴子分到桃子            多少个．

27、一个长方体的长、宽、高是连续的三个自然数，它的体积是39270立方厘米，那么这个长方体的表面积是    平方厘米．

28、有四个连续整数的乘积为9口口口4（口中数字不知道），求这四个数中的最大数．

29、教数学的王老师准备去拜访一位朋友，出发前王老师先和这位朋友通电话，朋友家的电话号码是27433619，当王老师打完电话之后，发现这个电话号码恰好是4个连续质数的乘积．问：这4个质数的总和是           。

30、已知3个合数A、B、C两两互质，且A×B×C=11011×28，那么A+B+C的最大值为           。

31、构成自然数A的所有数字互不相同，这些数字的乘积等于360.求A的最大值．

32、已知，a、b、c、d、e这5个质数互不相同，并且符合下面的算式：(a+b)(c+d)e=2890，那么，这5个数当中最大的数是      。

33、试将1、2、3、4、5、6、7分别填入下图的方框中，每个数字只用一次：

  （这是一个三位数）

  □□□（这是一个三位数）

       □（这是一个一位数）

  使得这3个数中任意两个都互质．其中一个三位数已填好，它是714.

34、今天是2011年12月17日，在这个日期中有4个1,2个2,1个0,1个7．用这8个数字组成若干个合数（每个数字恰用一次，首位数字不能为0），这些合数的和的最小值是    ．

35、形如1（其中，k≥1且k是自然数）这样的自然数中有多少个质数？

. 

五年级思维训练21   质数与合数

参考答案

1、华罗庚爷爷出生于1910年11月12日．将这些数字排成一个整数，并且分解成19101112—1163×16424．请问这两个数1163和16424中有质数吗？

【答案】1163是质数   

【分析】16424一定是合数，判断1163是否为合数，找到最接近1163的完全平方数342=156，只需验证小于34的质数能否整除1163，一一验证发现均不能整除，所以1163是质数．

2、2008006共有    个质因数．

    A．4    B．5    C．6    D．7

【答案】c  

【分析】因为2008006=2006×1000+2006=2006×1001 =（2×17×59）×（7×11×13)，所以2008006有6个质因数。

3、 有些三位数，它的各位数字之积为质数，这样的三位数最小是    ，最大是     .

【答案】112，711   

【分析】三位数各位数字之积为质数，由于质数除了1和它本身无其他因数，因此三位数必有两位为1，另外一位应为质数．最小的一位质数为2，最大的一位质数为7，所以这样的三位数最小为112，最大为711.

4、 一个两位数，数字和是质数，而且，这个两位数分别乘以3，5，7之后，得到的数的数字和都仍为质数．满足条件的两位数为      .

【答案】67   

【分析】两位数乘以3之后，数字和一定被3整除．又因为是质数，所以数字和只能是3.有102 、111、120 、201、210这五种情况．依次分析：

    3倍 原数 数字和   5倍  数字和    7倍  数字和

    102  34  7（质）   170  8（合）

    111  37  10（合）

    120  40  4（合）

    201  67  13（质）  335   11（质）  469  19（质）

    210  70  7（质）   350   8（合）

所以满足条件的两位数为67.

5、当p和p3 +5都是质数时，p5 +5=      .

【答案】37

【分析】p和p3+5奇偶性不同，又都为质数，那么较小的p一定是2，所以p5+5=37.

6、 求三个质数，使它们的积为它们的和的5倍．

【答案】2、5、7

【分析】设三个质数分别为a、b、c，由题意，abc=5（a+b+c）。容易判断，a、b、c中必有一个是5，不妨设c=5，则ab=a+b+5，因而ab-(a+b)=5→(a-1)(b-1)=6，不妨设a<b，则或，解得或（舍去），所以这三个质数是2、5、7

7、 3个质数的倒数之和是，则这3个质数之和为多少？

【答案】336

【分析】设这3个质数从小到大为a、b、c，它们的倒数分别为、、，计算它们的和时需通分，且通分后的分母为a×b×c,求和得到的分数为，如果这个分数能够约分，那么得到的分数的分母为a、b、c或它们之间的积。现在和为，1986=2×3×331，所以一定是a=2，b=3,c=331,检验满足。所以这3个质数的和为2+3+331=336.

8、设p、a、6、c均为互不相等的质数，且满足p=a4 +b4 +C4－3，则满足条件的p的和为多少？

【答案】719

【分析】显然a,b,c中必有2.否则若a,b,c均为奇数，则p为非零偶数。

不妨设 c=2，则p=a4+b4+13,如果a,b都不等于3，则a,b都可以写成6n±1的形式，因而a4+b4=6m+2→p=6m+15,此时p显然是合数，矛盾！所以a,b中必有3.

 不妨设b=3,则p=a4+94,由于a必为奇数，其个位数只能是1，3，5，7，9，除了5之外，其余四个数的四次方的个位数都是1，与94相加后个位数为5，显然导致p为合数，所以a的个位为5，因为a为质数，所以a=5。

综上，p只有1个，p=719.

注意：因为大于3的任意整数都可以写成6n,6n+1,6n+2,6n+3,6n+4和6n+5这六种形式之一，其中6n,6n+2,6n+3和6n+4四种显然是合数，那么把一个质数写成6n+k(0≤k≤5)的形式只能是6n+1、6n+5两种形式或其中的一种形式，但实例证明，两种形式都有可能。所以用6去除大于3的质数，余数一定是1或5.

9、已知n，n+6，n+84，n+102，n+218都是质数，那么n=       .

【答案】5

【分析】由于6、84、102、218除以5的余数分别为1，4，2，3，所以n,n+6,n+84,n+102,n+218这5个数除以5的余数互不相同，那么其中必然有除以5余0的，也就是有5的倍数，而这5个数都是质数，那么只能是5.由于n+6,n+84,n+102,n+218都比5大，所以n为5.

10、从20以内的质数中选出6个数，写在一个正方体的六个面上，使两个相对面的和都相等，所选的6个数是                     .

【答案】5、7、11、13、17、19

【分析】20以内的质数有：2，3，5，7，11，13，17，19.

首先2不能入选，否则会出现有的和为奇数，有的和为偶数的情况，那么还剩下3、5、7、11、13、17、19这7个数。从中选择6个，相当于从中剔除1个。

    由于这7个数的和为3+5+7+11+13+17+19=75，是3的倍数，而选 出的6个数之和也是3的倍数，所以被剔除的那个数也是3的倍数，只能是3.所以选 出的6个数是：5、7、11、13、17、19.

11、个位数、十位数都是质数的所有两位质数的数码和是         .

【答案】33   

【分析】一位质数有2、3、5、7，个位数、十位数都是质数的两位质数个位只能是3或7，所以满足条件的数有23、53、73和37，它们的数码和是33。

12、已知p为50以内的一个两位质数，且2p+l也是质数．若所有p的和是x，求x的值．

【答案】104

【分析】p的可能值及其2倍加1的值如下表所示：

其中2p+1为质数的有23、47、59、83，所以p=11、23、29和41，因此所有p的和为x= 11+23+29+41=104.   

13、请将1、2、3、…、99、100这一百个自然数中既是奇数又是合数的自然数排成一行，使每两个相邻的数都不互质（若一行写不下，可移至第二行接着写，若第二行仍写不下，可移至第三行接着写）．

【答案】9,21, 27,33,39,45,51,57,63,69,75 ,81,87,93,99,15,25,55,65,85，95，35，49,77，91.（答案不唯一）

【分析】本题考查运用奇数、合数和互质的概念，以及构造数列的能力。

  奇合数有25个：9,15，21,25,27,33,35,39,45,49，51,55,57,63,65,69,75,77 ,81,85,87，91，93，95，99.

  符合条件的排列不唯一，下面给出一种排列：

  9,21,27 ,33,39,45 ,51,57,63,69,75 ,81,87,93,99,15(3的倍数)，

  25，55，65，85，95(5的倍数)，

  35，49，77，91（7的倍数）．

14、在10个连续自然数中，最多有    个质数．

【答案】5   

【分析】10个连续自然数有5个奇数，另外要使10个连续自然数中质数个数最多，只能取2至11，其中有5个质数．

15、9个连续的自然数，它们都大于80，那么其中质数至多有    个．

【答案】4   

【分析】大于80的9个连续自然数中，至多有5个连续的奇数．因为大于80的质数必为奇数（偶质数只有一个是2），于是质数只可能在这5个连续的奇数之中．又由于“在连续3个奇数中一定有一个数是3的倍数”，我们分三种情况加以说明：

    当第一个奇数恰好是3的倍数时，结论显然正确；

    当第一个奇数被3除余数是1时，因为第二个奇数比第一个奇数大2，则第二个奇数恰好是3的倍数；   

    当第一个奇数被3除余数是2时，因为第三个奇数比第一个奇数大4，则第三个奇数恰好是3的倍数。而且大于80的3的倍数都是合数，所以，在这5个连续的奇数之中至多有4个是质数。

    另一方面，在101至109这9个连续自然数中，有101、103 、107 、109是质数．这就是说，在9个连续的自然数中可以有4个质数。

    综上所述，在大于80的9个连续自然数中至多有4个质数。

16、五个连续的自然数，每个数都是合数，这五个连续自然数的和最小是         .

【答案】130

【分析】从质数开始考虑，质数从小到大有：2、3、5、7、11、13 、17、19 、23 、29…在23与29之间有5个数，所以这5个连续的自然数之和为 24+25+26+27+28=26× 5=130.

17、 哥德巴赫猜想是说：“每个大于2的偶数都可以表示成两个质数之和．”问：168是哪两个两位数的质数之和，并且其中一个的个位数字是1？

【答案】168=71+ 97

【分析】个位数字是1的两位质数有：11，31，41，61，71

其中168-11= 157，168- 31= 137，168 - 41= 127，168 - 61= 107，都不是两位数，只有168-71=97是两位数，而且是质数，所以168=71+97是唯一的解．

18、有三张卡片，在它们上面各写有一个数字（如下图所示）．从中抽出一张、二张、三张，接任意次序排起来，可以得到不同的一位数、二位数、三位数．请你将其中的质数都写出来．

【答案】2、3、13、23、31

【分析】因为三张卡片上的数字和为6，能被3整除，所以用这三个数字任意排成的三位数

都能被3整除，因此不可能是质数，根据同样的道理，用1、2组成的二位数也能被3整除，因此也不是质数．这样剩下要讨论的二位数只有13、31、23、32，其中13、31和23都是质数，而32不是质数；最后，一位数有三个：1，2，3；1不是质数，2和3都是质数，所以本题中的质数共有五个：2、3、13、23、31．

 19、用数字卡片1、1、2、2、3、3、4、4、5、5、6、7、9、9（不允许把6倒过来当做9，也不许把9倒过来当做6）组成七个不同的两位质数，这七个质数之和等于    。

【答案】313

【分析】当两位数的个位数字为2、4、5、6时，都不是质数，所以2、4、5，6都不能出现在个位，那么数字卡片中的2、4、5、6都只能出现在十位上，它们恰好有7个，其中2、4、5各两个，6只有一

个；那么剩下的7张卡片都出现在个位上，其中1，3，9各有两个，7只有一个，现在还不知道所组成的7个不同质数都是哪些数，但是已经知道了哪些数字在十位上，哪些数字在个位上，所以可以进行求和：(2+2+4+4+5+5+6)×10+(1+1+3+3+7+9+9)= 313．

同时可以构造出7个两位质数：23，23，41，41，59，59，67．

20、用1、3、5、7、9这五个数字组成若干个合数，每个数字恰好用一次；那么，这些合数的总和最小是       .

【答案】214

【分析】能单独做合数的只有9，所以最小的是两个两位数和一个9，但凑不出来；次小的就是一个一百多的三位数和一个两位数，两个数的十位是3、5的没有，接下来十位数是3和7的，发现可以是175和39，和是214．

21、 121×122 ×123×124×…×2004×2005×2006的乘积的末尾有    个零．

【答案】472

【分析】质因数2的个数远多于5的个数，所以乘积末尾零的个数取决于质因数5的个数．

2006！中含有5的个数为：[]+[]+[]+[] =401+80+16+3=500

120!中含有5的个数为：

 [] +[] =24+4=28

 所以121×122×123×124×……×2004×2005×2006的乘积末尾有500-28=472个零．

22、将6个自然数14、20、33、117、143、175分组，如果要求每组中的任意两个数都互质，则至少需要将这些数分成    组．

【答案】3

【分析】先将所有数都分解质因数得：

    14=2×7

    20=2×2×5

    33=3×11

    117=3×3x13

    143=11×13

175=5×5×7

注意到33、117、143两两都不互质，所以至少应该分成3组，同样14、20、175也必须分为3组，互相配合就行。如：（14，143）、（20，33）、（117，175）。

23、如下图所示，点B是线段AD的中点，由A、B、c、D四个点所构成的所有线段的长度均为整数，若这些线段的长度之积为10500，则线段AB的长度是        。

    A               B    C     D

【答案】5

【分析】如下图所示，线段所有长度包括AB、BC、CD、AC、BD、AD。由于最后要求的是AB，我们可用AB和BC来表示这所有线段之积

A                   B     C       D

10500=AB×BC×(AB-BC)×(AB+BC)×AB×2AB=2AB3×BC×(AB+BC)×(AB-BC)之积为10500，对10500进行分解质因式，可得10500=22×3×53×7，所以AB长度为5．

24、甲、乙两个自然数的乘积比甲数的平方数小1999，乙数是    ．

【答案】1998   

【分析】甲2-甲×乙：1999→甲×（甲一乙）=1999，1999是质数，所以只能甲=1999，甲-乙=1，所以乙数=1999 -1=1998.

25、张老师带领六(l)班的学生种树，学生恰好可平均分成5组，已知师生每人种的树一样多，共种树527棵，则六(1)班的学生有    人．

【答案】30  

【分析】527=17 × 31．由于学生恰好可以平均分成5组，则学生总数必然是 5的倍数．而31=5×6+1，所以六(1)班学生共有30人。

26、 有一群猴子正要分56个桃子．每只猴子可以分到同样个数的桃子．这时．又窜来4只猴子．只好重新分配，但要使每只猴子分到同样个数的桃子，必须扔掉一个桃子则最后每只猴子分到桃子            多少个．

【答案】5  

【分析】因为56 =1×56 =2×28=4×14=7×8;55=1×55=5×11，其中只有11-7 =4所以原来有7只猴子，后来又来4只，有11只猴子，每只猴子分到5个桃子．

27、一个长方体的长、宽、高是连续的三个自然数，它的体积是39270立方厘米，那么这个长方体的表面积是    平方厘米．

【答案】6934

【分析】首先把39270分解质因数，得39270=2×3×5×7X11×17。

经试验得39270=(3×11)×(2×17)×(5×7)=33×34×35。因此，这个长方体的长、宽、高分别是33厘米、34厘米、35厘米．所以，它的表面积是(33×34+33×35+34×35)×2=6934（平方厘米。

28、有四个连续整数的乘积为9口口口4（口中数字不知道），求这四个数中的最大数．

【答案】19   

【分析】因为乘积的末位是4，这4个数中不能有o或5，它们的末位只能有2种选择分别是1、2、3、4和6、7、8、9，这两组乘积的末位数都是4,11×12×13×14=24024．而16×17×18×19=93024.所以，这四个数中最大数是19.

29、教数学的王老师准备去拜访一位朋友，出发前王老师先和这位朋友通电话，朋友家的电话号码是27433619，当王老师打完电话之后，发现这个电话号码恰好是4个连续质数的乘积．问：这4个质数的总和是           。

【答案】290  

【分析】本题考查质数的概念及估算法在分解因数中的应用．先估算，704= 24010000，804 =40960000，所以这4个连续质数应在70附近，经验证可得27433619=67×71× 73×79，所以这四个质数的和为67+71+73+79=290。

30、已知3个合数A、B、C两两互质，且A×B×C=11011×28，那么A+B+C的最大值为           。

【答案】1626  

【分析】分解质因数：A×B × c=11011×28=11×1001×28=22× 72×112×13，由于A,B,C两两互质，并且A+B+C要最大，则大数应尽量的大，所以三个数分别为：4、49、1573，则A+B+C的最大值为1626.

31、构成自然数A的所有数字互不相同，这些数字的乘积等于360.求A的最大值．

【答案】95421

【分析】360=23×32×5=1×2×4×5×9，所以A的最大值为95421.

32、已知，a、b、c、d、e这5个质数互不相同，并且符合下面的算式：(a+b)(c+d)e=2890，那么，这5个数当中最大的数是      。

【答案】29

【分析】(a+b) (c+d)e=2890=2×5×172，所以a+b、c+d、e中只有一个偶数．如果a、b、c、d中没有2，那么a+b、c+d均为偶数，矛盾，所以a、b、c、d中有一个为2，不妨设a=2，那么e只能为5或17．如果e=5，那么(2+6)(c+d)=2×172，而2×172 =1×(2×17) =2×289=17×34，由于2+b、c+d均大于2，只有分解成17×34才有可能，但此时2+b=17，得b=15为合数，与题意不符；如果e= 17，那么(2+b)(c+d)=2×5×17，可能为10×17和5×34．若为前者，b将为合数，所以只能是后者，得2+b=5，c+d=34，那么b=3，c、d至少为5，所以最大为34-5 =29．

33、试将1、2、3、4、5、6、7分别填入下图的方框中，每个数字只用一次：

  （这是一个三位数）

  □□□（这是一个三位数）

       □（这是一个一位数）

  使得这3个数中任意两个都互质．其中一个三位数已填好，它是714.

【答案】

 【分析】714=2×3×7×17.

    由此可以看出，要使最下面方框中的数与714互质，在剩下未填的数字2、3、5、6中只能选5，也就是说，第三行的一位数只能填5．现在来讨论第二行的三个方框中2，3、6这三个数字的顺序．因为任意两个偶数都有公因数2，而714是偶数，所以第二行的三位数不能是偶数，因此个位数字只能是3．这样一来，第二行的三位数只能是263或623.但是623能被7整除，所以623与714不互质．最后来看263，这个数通过检验可知：714的质因数2、3、7和17都不是263的因数．所以714与263这两个数互质，显然，263与5也互质，因此714、263和5这三个数两两互质．于是填法是：

34、今天是2011年12月17日，在这个日期中有4个1,2个2,1个0,1个7．用这8个数字组成若干个合数（每个数字恰用一次，首位数字不能为0），这些合数的和的最小值是    ．

【答案】231

【分析】因为0、1、2、7都不是合数，所以这些数组成的合数至少是两位数．若组成4个两位合数，由于11是质数．从而4个1必须分别位于四个两位合数中，其中必有1个1和7在同一个合数中，而17、71都是质数，矛盾！所以至少有一个合数是三位数或以上．若组成的合数中最大的为三位数，还剩5个数字，数字个数为奇数，不可能使剩下的合数全为两位数，所以还有一个合数也为三位数，设组成的合数为、、则有++= 100×(A+D)+10×(B+E+G)+C+F+H≥100×(1+1)+10×(0+1+1)+2+2+7=231，另一方面，这三个合数可以是102、117、12.

35、形如1（其中，k≥1且k是自然数）这样的自然数中有多少个质数？

【答案】只有1个，就是101

【分析】1 =1+100+10000+…+100k，令S=1+100+10000+…+100k，利用错位相减法，那么

    100S=100+10000+…+100k+1，两式相减得100S-S=100k-1，所以S=

    ①如果k+1为偶数时，（）一定是99的倍数，那么在k+1=2时即原数为101时，=1，此时S为质数，k取其他值时，S-定都为合数；

    ②如果k+1为奇数时，（） 一定是11的倍数，而（）一定是9的倍数，在k≥1时使得S都是合数．

    所以形如1的数中只有一个质数，即101.