五年级思维专项训练17 等积变形(原卷+解析版)全国通用
展开五年级思维训练17 等积变形
例1.长方形ABCD的面积是40平方厘米，E、F、G、H分别为AD、AH、DH、BC的中点，三角形EFG的面积是 平方厘米
例2.梯形ABCD中，AE与DC平行，=15，= .
例3。如下图所示，长方形ABCD内的阴影部分的面积之和为70，AB=8，AD= 15.四边EFGO的面积为 。
例4.如下图所示，在平行四边形ABCD中，已知三角形ABP.BPC的面积分别是73、100，求三角形BPD的面积．
例5.如下图所示，BD是平行四边形ABCD的对角线，EF平行于BD，如果三角形ABE的面积是12平方厘米，那么三角形AFD的面积是 平方厘米。
例6.如下图所示，已知AE=EC，CD=DB，=60，求四边形FDCE的面积．
例7.如右图所示，正方形ABCD和正方形ECGF并排放置，BF与CD
相交于点H,已知AB=6厘米，则阴影部分的面积是 平方厘米．
例8.如下图所示，E、F、G、H分别是四边形ABCD各边的中点，EG与FH交于点O,、、及分别表示4个小四边形的面积．试比较+与+的大小．
例9.将长15厘米、宽9厘米的长方形的长和宽都分成三等份，长方形内任意一点与分点及顶点连结，如右图所示，则阴影部分的面积是 平方厘米．
例10.右图所示ABCD是个直角梯形（∠DAB=∠ABC= ），以 ，
AD为一边向外作长方形ADEF，其面积为6.36平方厘米，连接BE交
AD于P，再连接PC．则图中阴影部分的面积是 平方厘米。
A.6.36 B.3.18
C.2.12 D.1.59
例11.如下图所示，平行四边形内有两个大小一样的正六边形，那么阴影部分的面积占平行四边形面积的 。
A． B． C． D．
例12.如下图所示，矩形ABCD的面积是24平方厘米，三角形ADM与三角形BCN的面积之和是7.8平方厘米，则四边形PMON的面积是 平方厘米．
例13.一个矩形分成4个不同的三角形（如下图），绿色三角形面积占矩形面积的15%，黄色三角形的面积是21平方厘米．问：矩形的面积是多少平方厘米？
例14.如下图所示，正方形每条边上的三个点（端点除外）都是这条边的四等分点，则阴影部分的面积是正方形面积的 。
例15.如下图所示，梯形ABCD的面积是48,E是下底BC上的一点，F是腰CD的中点，并且甲、乙、丙三个三角形面积相等，则图中阴影部分的面积是 。
例16.如下图所示，这是一个正方形，图中所标数的单位是厘米．问：阴影部分的面积是多少平方厘米？
例17.请画出6个边长是2厘米的正三角形，再分别将这6个三角形分成形状、大小完全一样的3个、4个、6个、8个、9个、12个图形．请用图形表示出来．
例18.如下图所示，长方形ADEH由上、中、下三个小长方形组成，已知AB+CD=BC，三角形ABI的面积为3，四边形GIJF的面积为12，求四边形CDEJ的面积。
例19.如下图所示，点D.E.F在线段CG上，已知CD=2厘米，DE=8厘
米，EF=20厘米，FG=4厘米，AB将整个图形分成上下两部分.下边部分面积是67平方厘米，上边部分面积是166平方厘米，则三角形ADG的面积是 平方厘米．
例20.如下图所示的大正方形隔板是由81个l平方厘米的小正方形铺成，B、C是两个格点，若请你在其他的格点中标出一点A，使得△ABC的面积恰等于3平方厘米，则这样的A点共有 个。
A.6 B．5 C．8 D．10
例21.如下图所示，四边形ABCD的面积是10，对角线AC.BD交于E．已知AF=CE,BG=DE.则△EFG的面积是 。
例22.如下图所示，左下角是一个边长为12厘米的正方形，右上角是一个边长为6厘米的正方形，阴影部分的面积为 平方厘米。
例23.如下图所示，长方形ABCD周长为16米，在它的每条边上各画一个以该边为边长的正方形，已知这四个正方形的面积和是68平方米，求长方形ABCD的面积。
例24.用面积为1、2、3、4的4张长方形纸片拼成如下图所示的一个大长方形，问：图中阴影部分面积是多少？
例25.下图是一个由两个正方形拼合而成的图形，它们的边长分别是m厘米及n厘米，且C、D.E三点在同一条直线上．已知m和n都是两位数，且=2n．若三角形ABC的面积等于a平方厘米，求a的最大值．
例26.如下图所示，在六边形ABCDEF中，对边平行且相等，已知六边形GHIJKL的面积是30平方厘米，那么阴影部分面积为 平方厘米．
例27.下图所示是一个正六边形的图案，已知正六边形的面积为54平方厘米，则阴影部分的面积是 平方厘米．
例28.下图所示长方形ABCD被分成4块甲、乙、丙、丁．其面积关系如下：
甲十乙=162平方厘米；
乙十丙=208平方厘米；
丙十丁=126平方厘米；
已知c与a的长度之差为4厘米，请问d与b的长度之差是多少？
例29.如下图a），线段MN将长方形纸分成面积相等的两部分．沿MN将这张长方形纸对折后得到图b）,将图b）沿对称轴对折，得到图c），，已知图c)所覆盖的面积占长方形纸面积的，阴影部分面积为6平方厘米．长方形的面积是多少？
例30.如下图所示，正方形ABCD的面积为12, AE=ED，且EF=2FC，则三角形ABF的面积等于 。
例31.如下图所示，P是等边三角形ABC内一点，PD ⊥ BC，PF⊥AB，PE⊥AC，三角形ABC的面积是2011．三个阴影三角形中，甲的面积是286，那么乙、丙两个三角形的面积和是 。
|X|例32.如下图所示，4个正六边形拼成一个大图形，每个正六边形的面积都是6，那么三角形ABC的面积是 。
五年级思维训练17 等积变形
参考答案
例1.长方形ABCD的面积是40平方厘米，E、F、G、H分别为AD、AH、DH、BC的中点，三角形EFG的面积是 平方厘米
【答案】5
【分析】 三角形EFG的面积是三角形AHD的，三角形AHD的面积是长方形ABCD面积的，故三角形EFG的面积是长方形ABCD面积的，三角形EFG的面积为40×=5（平方厘米）．
例2.梯形ABCD中，AE与DC平行，=15，= .
【答案】 15
【分析】如右图所示，连接DE，三角形ABF的面积和三角形DEF的面积相等，三角形DEF的面积和三角形CEF的面积相等，所以三角形ABE的面积和三角形BCF的面积相等．
例3。如下图所示，长方形ABCD内的阴影部分的面积之和为70，AB=8，AD= 15.四边EFGO的面积为 。
【答案】 10
【分析】=,所以阴影部分面积等于长方形面积的一半加四边形EFGO的面积，故四边形EFGO面积等于70-15×8÷2=10.
例4.如下图所示，在平行四边形ABCD中，已知三角形ABP.BPC的面积分别是73、100，求三角形BPD的面积．
【答案】27
【分析】根据平行四边形的一半模型可知，，所以有，那么三角形BPD的面积等于100-73=27．
例5.如下图所示，BD是平行四边形ABCD的对角线，EF平行于BD，如果三角形ABE的面积是12平方厘米，那么三角形AFD的面积是 平方厘米。
【答案】l2
【分析】如下图所示，连接DE、BF，等积变形，（平方厘米）
例6.如下图所示，已知AE=EC，CD=DB，=60，求四边形FDCE的面积．
【答案】20
【分析】如右图所示，连接FC，AE=EC，有，所以,同理，，所以==
=20，,]
所以，.
例7.如右图所示，正方形ABCD和正方形ECGF并排放置，BF与CD
相交于点H,已知AB=6厘米，则阴影部分的面积是 平方厘米．
【答案】18
【分析】如右图所示，连接DF、CF，那么显然△DHG与△DHF同
底等高，两者面积相等，我们容易知道BD∥cF，可知△DHF与△BHC面积相等，那么阴影部分的面积等于△BCD的面积，恰好为正方形ABCD的一半，即6×6÷2=18（平方厘米）．
例8.如下图所示，E、F、G、H分别是四边形ABCD各边的中点，EG与FH交于点O,、、及分别表示4个小四边形的面积．试比较+与+的大小．
【答案】相等
【分析】如右图所示，连接AO、BO,CO,DO，则可判断出，每条边与0点所构成的三角形都被分为面积相等的两部分，且每个三角形中的两部分都分属于、这两个不同的组合，所以可知=
例9.将长15厘米、宽9厘米的长方形的长和宽都分成三等份，长方形内任意一点与分点及顶点连结，如右图所示，则阴影部分的面积是 平方厘米．
【答案】67.5
【分析】给图上标上字母．连接辅助线如右图所示，可知，,所以+=+)=×
×,=,=,所以+=+=××，所以阴影部分是长
方形面积的一半，为15×9÷2=67.5（平方厘米）．
例10.右图所示ABCD是个直角梯形（∠DAB=∠ABC= ），以 ，
AD为一边向外作长方形ADEF，其面积为6.36平方厘米，连接BE交
AD于P，再连接PC．则图中阴影部分的面积是 平方厘米。
A.6.36 B.3.18 C.2.12 D.1.59
【答案】B
【分析】如下图所示，连接AE.BD．因为AD∥BC，则：=，
又AB∥ED，则：=．
所以，=====
=×6.36=3.18(平方厘米）
说明：答案和直角梯形形状无关，可以让BC边趋近AD
边，直到和AD边重合，此时，P与A重合，PE是长方形 B-
ADEF的对角线，所以，阴影部分的面积是长方形ADEF面积
的一半，等于3.18平方厘米．
例11.如下图所示，平行四边形内有两个大小一样的正六边形，那么阴影部分的面积占平行四边形面积的 。
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】如右图所示，每个空白正六边形能分成6个相同的正三角形’所以空白部分总共包含12个这样的正三角形；而整个大平行四边形能分成24个这样的正三角形，所以空白部分占整个平行四边形的一半，那么阴影部分也占整个平行四边形的一半，所以选A．
例12.如下图所示，矩形ABCD的面积是24平方厘米，三角形ADM与三角形BCN的面积之和是7.8平方厘米，则四边形PMON的面积是 平方厘米．
【答案】1.8
【分析】=,
,所以=7.8-24÷4=1.8(平方厘米)．
例13.一个矩形分成4个不同的三角形（如下图），绿色三角形面积占矩形面积的15%，黄色三角形的面积是21平方厘米．问：矩形的面积是多少平方厘米？
【答案】60平方厘米
【分析】黄色三角形与绿色三角形面积之和是矩形面积的50%，而绿色三角形面积占矩形面积的15%，所以黄色三角形面积占矩形面积的50% -15% =35%，已知黄色三角形面枳是21平方厘米，所以矩形面积等于21÷35%=60（平方厘米）．
例14.如下图所示，正方形每条边上的三个点（端点除外）都是这条边的四等分点，则阴影部分的面积是正方形面积的 。
【答案】
【分析】将阴影部分的上半部分翻下来，根据四等分点的条件，不难算出阴影是大正方形面积的．
例15.如下图所示，梯形ABCD的面积是48,E是下底BC上的一点，F是腰CD的中点，并且甲、乙、丙三个三角形面积相等，则图中阴影部分的面积是 。
【答案】19.2
【分析】 因为三角形乙、丙的面积相等，且DF= FC，所以三角形乙、丙的高相等，于是AE／／DC，四边形AECD是平行四边形，易知.，因此，阴影部分的面积是48÷5×2=19.2．
例16.如下图所示，这是一个正方形，图中所标数的单位是厘米．问：阴影部分的面积是多少平方厘米？
【答案】平方厘米
【分析】方法一：如下图所示，E、F分别是CD、AD的中点，所以，.=10×20÷2—100，所以空白部分面积等于100÷3×4=（平方厘米）．
阴影部分面积等于20×20一=（平方厘米）．
方法二：将△CEG的面积当做1份，，直接把总面积分成3×4=12份，阴影占其中的12 -4=8（份），也就是20×20×=（平方厘米）．
例17.请画出6个边长是2厘米的正三角形，再分别将这6个三角形分成形状、大小完全一样的3个、4个、6个、8个、9个、12个图形．请用图形表示出来．
【答案】如下图
例18.如下图所示，长方形ADEH由上、中、下三个小长方形组成，已知AB+CD=BC，三角形ABI的面积为3，四边形GIJF的面积为12，求四边形CDEJ的面积。
【答案】9
【分析】因为AB+CD=BC，所以长方形BCFG的面积等于长方形ADEH面积的一半，即，又，所以，故四边形CDEJ的面积是12 -3=9．
例19.如下图所示，点D.E.F在线段CG上，已知CD=2厘米，DE=8厘
米，EF=20厘米，FG=4厘米，AB将整个图形分成上下两部分.下边部分面积是67平方厘米，上边部分面积是166平方厘米，则三角形ADG的面积是 平方厘米．
【答案】128
【分析】方法一：由图可知，与的高相等，是的高，故设的高为；同理可得，的高为．由此列式:+=67，+=166;代入面积公式可得：24×+20×=166×2，8×+10×=67×2；解得：=8．所以，三角形ADG的面积是(8+20+4)×8÷2=128（平方厘米）．
方法二：因为ED=8，EG=24，所以有=3；因为EC=10，EF=20，所以有=2，都有2倍，故三角形ADE的面积等于166-67×2=32(平方厘米)，那么三角形ADG的面积是32×4=128（平方厘米）．
例20.如下图所示的大正方形隔板是由81个l平方厘米的小正方形铺成，B、C是两个格点，若请你在其他的格点中标出一点A，使得△ABC的面积恰等于3平方厘米，则这样的A点共有 个。
A.6 B．5 C．8 D．10
【答案】．C
【分析】如上图所示，找一个能够使三角形面积为3的点，比如A点，然后根据等积变换，底相等、高相等，即面积相等．可以做平行线，在下方也可以继续做平行线．得出共8个点．
例21.如下图所示，四边形ABCD的面积是10，对角线AC.BD交于E．已知AF=CE,BG=DE.则△EFG的面积是 。
【答案】．10
【分析】如右图所示，连接AG、CG.由“等底等高的三角形面积相等”，可得
,,
所以
=
=
=
所以△EFG的面积等于10.
例22.如下图所示，左下角是一个边长为12厘米的正方形，右上角是一个边长为6厘米的正方形，阴影部分的面积为 平方厘米。
【答案】．72
【分析】如右图所示，将原图补成一个边长是(12+6)厘米的大正方形，则阴影部分的面积为18×18—18×12÷2—12×12÷2—18×6÷2-6×6÷2—72（平方厘米）．
例23.如下图所示，长方形ABCD周长为16米，在它的每条边上各画一个以该边为边长的正方形，已知这四个正方形的面积和是68平方米，求长方形ABCD的面积。
【答案】15平方米
【分析】如右图所示，将向右延长，向上延长，交于E点，那么正方形BE的面积，等于长方形ABCD周长一半的平方，即
64平方米．长方形ABCD与DE面积相等，而正方形DA
与DC的面积之和，等于题中已给的4个正方形面积和的一半，
即×68=34（平方米）．
64-34=30（平方米）应等于长方形ABCD面积的2倍．所以长
方形ABCD的面积是×30=15（平方米）．
例24.用面积为1、2、3、4的4张长方形纸片拼成如下图所示的一个大长方形，问：图中阴影部分面积是多少？
【答案】
【分析】如右图所示，大长方形面积为l+2+3+4—10，延长RA交底边于Q，延长SB交底边于P，矩形ABPR面积是上部阴影三角形面积的2倍,矩形ABSQ是下部阴影三角形面积的2倍，所以矩形RQSP的面积是阴影部分面积的两倍．
易知CA=CD，CB=CD．
．．．AB=CB - CA=CD一CD=CD．
因此短形RQSP的面积是大矩形面积的，阴影部分面积是大矩
形面积的，阴影部分面积×10=．
例25.下图是一个由两个正方形拼合而成的图形，它们的边长分别是m厘米及n厘米，且C、D.E三点在同一条直线上．已知m和n都是两位数，且=2n．若三角形ABC的面积等于a平方厘米，求a的最大值．
【答案】98厘米
【分析】如右图所示，连接BD，△ABC与△ABD同底等高,所以
当m最大时a取最大值，由于n是两位数，故n< 100，所以
=2n<200，由此可得m的最大值为14，此时a=98（厘米）．
例26.如下图所示，在六边形ABCDEF中，对边平行且相等，已知六边形GHIJKL的面积是30平方厘米，那么阴影部分面积为 平方厘米．
【答案】30
【分析】如右图所示，构造三个平行四边形，得到三角形AEC的面积为整个六边形面积的一半，同理三角形BDF的面积也为整个六边形面积的一半，所以阴影三角形面积和等于中间六边形的面积，为30平方厘米
例27.下图所示是一个正六边形的图案，已知正六边形的面积为54平方厘米，则阴影部分的面积是 平方厘米．
【答案】18
【分析】如右图所示作辅助线，将正六边形分成6个正三角形， 在每个正三角形里，阴影部分都占，所以阴影部分占总面积的 ，为54×=18（平方厘米）．
例28.下图所示长方形ABCD被分成4块甲、乙、丙、丁．其面积关系如下：
甲十乙=162平方厘米；
乙十丙=208平方厘米；
丙十丁=126平方厘米；
已知c与a的长度之差为4厘米，请问d与b的长度之差是多少？
【答案】4厘米
【分析】如下图所示，由于c大于a，在CD上取点E，使得CE
=AH=a，过E作GH的平行线EF.
根据题意，可得到长方形ABCD的面积为：甲十乙十丙十丁=162+126=288(平方厘米)．而由于乙十丙的面积为208平方厘米，则可以得到甲十丁的面积为288-208=80（平方厘米）．则阴影部分EFHG的面积为：208-80=128（平方厘米）．而c-a=4厘米．所以AD=128
÷4=32（厘米）．对应的长方形的宽AB为288÷32=9（厘米）．
同理，在BM上取一点Q，使得BQ=ND，这样QM即为J与b的差．
而甲十乙的面积较丙十丁的面积大162-126 =36（平方厘米）．即阴影部分PNMQ的面积为36平方厘米．而AB=9厘米．所以QM=36÷9=4（厘米）．即d与b的差为4厘米．
例29.如下图a），线段MN将长方形纸分成面积相等的两部分．沿MN将这张长方形纸对折后得到图b）,将图b）沿对称轴对折，得到图c），，已知图c)所覆盖的面积占长方形纸面积的，阴影部分面积为6平方厘米．长方形的面积是多少？
【答案】60平方厘米
【分析】如图c）所示，阴影部分是2层，空白部分是4层，如果将阴影部分缩小一半，即变为3平方厘米，那么阴影部分也变成4层，此时覆盖的面积占长方形纸片面积的，即缩小的3平方厘米相
当于长方形纸片面积的（-），所以长方形纸片面积为3÷（-）=60（平方厘米）．
例30.如下图所示，正方形ABCD的面积为12, AE=ED，且EF=2FC，则三角形ABF的面积等于 。
【答案】5
【分析】如右图所示，连接DF，容易得到因为AE=ED，所以．又因为EF=2FC，所以
.所
例31.如下图所示，P是等边三角形ABC内一点，PD ⊥ BC，PF⊥AB，PE⊥AC，三角形ABC的面积是2011．三个阴影三角形中，甲的面积是286，那么乙、丙两个三角形的面积和是 。
【答案】719.5
【分析】如有图所示，过点P分别作AB、BC、AC的平行线，得到3个平行四边形和ABC等边三角形，每个图形中阴影部分与空白部分面积相等，阴影部分占△ABC面积的一半，即2011÷2=1005.5，而甲的面积是286，听以乙、丙两个小三角形面积之和是1005.5 - 286=719.5.
例32.如下图所示，4个正六边形拼成一个大图形，每个正六边形的面积都是6，那么三角形ABC的面积是 。
【答案】13
【分析】如下图所示，连接每个小正六边形的对角线，将每个正六边形平均分成6个小的正三角形，那么每个小正三角形的面积都是1．
由图看出，△ABC是由△DEF、△ABE、△BDC和△CFA组成的．其中△DEF的面积为4，而其他的三个三角形的面积都相等．△ABE正好是它占所在平行四边形面积的一半，而平行四边形的面积是6，因此，△ABE的面积是3．因此，三角形ABC的面积是4+3×3=13.
