2020-2021学年四川省成都市高二（上）期中数学试卷（文科）人教A版

这是一份2020-2021学年四川省成都市高二（上）期中数学试卷（文科）人教A版，共11页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


1. 若直线a⊥平面α，直线b⊥平面α，则直线a与直线b的位置关系为（ ）
A.异面B.相交C.平行D.平行或异面

2. 已知直线l经过点A(1, −1)，B(2, m)，若直线l的斜率为1，则m的值为（ ）
A.0B.1C.−1D.2

3. 某校高一、高二、高三共有2800名学生，为了解暑假学生在家的每天学习情况，计划用分层抽样的方法抽取一个容量为56人的样本，已知从高二学生中抽取的人数为19人，则该校高二学生人数为（ ）
A.900B.950C.1000D.1050

4. 已知点A(1, 0)，直线l:x−y+1＝0，则点A到直线l的距离为（ ）
A.1B.2C.D.2

5. 若直线x−2y+a＝0经过圆x2+y2−4x+4y＝0的圆心，则a的值为（ ）
A.4B.6C.−6D.−2

6. 设α、β是互不重合的平面，1、m、n是互不重合的直线，下列命题正确的是（ ）
A.若m⊂α，n⊂α，l⊥m，l⊥n，则l⊥α
B.若l⊥n，m⊥n，则l // m
C.若m // α，n // β，α⊥β，则m⊥n
D.若l⊥α，l // β，则α⊥β

7. 若实数x，y满足约束条件，则z＝3x−y的最小值为（ ）
A.−6B.−5C.−4D.−2

8. 如图，在以下四个正方体中，直线MN与平面ABC平行的是（ ）
A.B.
C.D.

9. 直线2y−x+1＝0关于y−x＝0对称的直线方程是（ ）
A.y−2x−1＝0B.y+2x−1＝0C.y+2x+1＝0D.2y+x+1＝0

10. 如图，在三棱锥S−ABC中，SA⊥平面ABC，SA＝2，AC＝2，BC＝1，∠ACB＝90∘，则直线SC与平面SAB所成角的正弦值为（ ）

A.B.C.D.

11. 已知圆C：(x−1)2+(y−1)2＝r2(r>0)，若圆C上恰有3个点到直线x+y+2＝0的距离为，则实数r的值为（ ）
A.2B.3C.6D.4

12. 如图，在四棱锥P−ABCD中，PB＝BC，PA＝AB，AM⊥平面PBC，垂足M在直线PB上，若PC上存在一点N使得平面PCD⊥平面AMN，则＝（ ）

A.1B.C.D.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

某次物理考试，小明所在的学习小组六名同学的分数茎叶图如图所示，发现有一个数字（茎叶图中的x）模糊不清，已知该组的物理平均分为88分，则数字x的值为________．


已知直线l1:mx+y+1＝0，l2:x+(m−1)y+2＝0，若l1⊥l2，则m值为________．

已知圆C：(x+4)2+y2＝4，过点(−6, 3)与圆C相切的直线方程为________．

在长方体ABCD−A1B1C1D1中，AD＝AA1＝2，P为BC的中点，点Q为侧面ADD1A1内的一点，当B1P⊥AQ，△CDQ的面积最小值为2，则棱AB的长为________．
三、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

在△ABC中，已知A(−1, 2)，BC边所在直线方程为2x+y−15＝0．
（1）求BC边上的高AD所在直线的方程；

（2）若AB，AC边的中点分别为E，F，求直线EF的方程．

已知圆C经过点A(1, 0)和B(−1, −2)，且圆心C在直线3x−4y−11＝0上．
（1）求圆C的方程；

（2）判断圆C与圆M:x2+y2+4x−4y−8＝0的位置关系．

如图，四面体ABCD中，点E，F分别为线段AC，AD的中点，平面EFNM∩平面BCD＝MN，∠CDA＝∠CDB＝90∘，DH⊥AB，垂足为H．

（1）求证：EF // MN；

（2）求证：平面CDH⊥平面ABC．

成都是全国闻名的旅游城市，有许多很有特色的旅游景区．某景区为了提升服务品质，对过去100天每天的游客数进行了统计分析，发现这100天每天的游客数都没有超出八千人，统计结果见下面的频率分布直方图：

（1）估计该景区每天游客数的中位数和平均数；

（2）为了研究每天的游客数是否和当天的最高气温有关，从这一百天中随机抽取了5天，统计出这5天的游客数（千人）分别为0.8、3.7、5.1、5.6、6.8，已知这5天的最高气温(​∘C)依次为8、18、22、24、28．
(ⅰ)根据以上数据，求游客数y关于当天最高气温x的线性回归方程（系数保留一位小数）；
(ⅱ)根据(ⅰ)中的回归方程，估计该景区这100天中最高气温在20​∘C∼26​∘C内的天数（保留整数）
参考公式：由最小二乘法所得回归直线的方程是＝x+；
其中：＝）＝，＝−b．
本题参考数据：(xi−）(yi−）＝70，(xi−）​2＝232．

如图，六面体ABCDEFGH中，平面ABCD // 平面EFGH．

（1）求证：∠BAD＝∠FEH；

（2）若AE⊥EF，平面ABFE⊥平面EFGH，∠FEH＝120∘，AB＝AE＝1，EH＝EF＝2，求四棱锥H−ABFE的体积．

已知圆C：(x+3)2+(y−4)2＝16，直线l：(2m+1)x+(m−2)y−3m−4＝0(m∈R)．
（1）若圆C截直线l所得弦AB的长为2，求m的值；

（2）若圆C与直线l相离，设MN为圆C的动直径，作MP⊥l，NQ⊥l，垂足分别为P，Q，当m变化时，求四边形MPQN面积的最大值．
参考答案与试题解析
2020-2021学年四川省成都市高二（上）期中数学试卷（文科）
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.
【答案】
C
【考点】
空间中直线与直线之间的位置关系
【解析】
由直线a⊥平面α，直线b⊥平面α，利用反证法证明a // b．
【解答】
若直线a⊥平面α，直线b⊥平面α．
原因如下：
若a与b相交，设交点为O，与过一点有且只有一条直线与已知平面垂直矛盾；
若a与b异面，如图，
设b∩α＝O，则由a与O可确定平面β，则c⊥α，过O有两条直线b与c与α垂直，
也与过一点有且只有一条直线与已知平面垂直矛盾．
2.
【答案】
A
【考点】
直线的斜率
【解析】
由题意利用直线的斜率公式，计算求得结果．
【解答】
直线l经过点A(1, −1)，m)，
则 ＝8，
3.
【答案】
B
【考点】
分层抽样方法
【解析】
由题意利用分层抽样的定义和方法，求出高二年级的人数．
【解答】
抽样的比例为 ，则高二年级的人数为2800×，
4.
【答案】
C
【考点】
点到直线的距离公式
【解析】
由题意利用点到直线的距离公式，求得结果．
【解答】
∵ 点A(1, 0)，则点A到直线l的距离为 ＝，
5.
【答案】
C
【考点】
直线与圆相交的性质
【解析】
化圆的方程为标准方程，求出圆心坐标，代入直线方程求得a值．
【解答】
化圆x2+y2−4x+4y＝0为(x−2)2+(y+2)6＝8，
可得圆心坐标为(2, −7)，
则1×2+8×2+a＝0，即a＝−6．
6.
【答案】
D
【考点】
空间中直线与平面之间的位置关系
空间中直线与直线之间的位置关系
命题的真假判断与应用
【解析】
由直线与平面垂直的判定判断A；由垂直于同一条直线的两直线的位置关系判断B，由线面平行即面面垂直的定义判断C，由线面平行的性质及面面垂直的判定判断D．
【解答】
对于A，若m⊂α，l⊥m，则l⊥α，满足条件m与n相交时正确，l不一定垂直于α；
对于B，若l⊥n，则l // m或l与m相交或l与m异面；
对于C，若m // α，α⊥β，相交与异面时也不一定垂直；
对于D，若l // β，又l⊥α，而m⊂β，故D正确．
7.
【答案】
B
【考点】
简单线性规划
【解析】
由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案．
【解答】
由约束条件作出可行域如图，
联立，解得A(−1，
化目标函数z＝3x−y，得y＝5x−z，当直线y＝3x−z过A时，
直线在y轴上的截距最大，z有最小值为3×(−7)−2＝−5．
8.
【答案】
D
【考点】
直线与平面平行
【解析】
证明直线与平面垂直判定A；由直线与平面相交的定义判断B与C；由直线与平面平行的判定判断D．
【解答】
A中，
连接MG，可得MG⊥BC，
又NG∩MG＝G，∴ BC⊥平面MNG，同理可得，
又AB∩BC＝B，∴ MN⊥平面ABC；
B中，
∵ AC // BN，则平面ABC与平面ANBC为同一平面，M∉平面ANBC，
则直线MN与平面ABC相交；
C中，
∵ BC // AN，则平面ABC与平面ANBC为同一平面，M∉平面ANBC，
则直线MN与平面ABC相交；
D中，
由CM＝AN，CM // AN，得MN // CA，
∵ CA⊂平面ABC，MN⊄平面ABC．
9.
【答案】
A
【考点】
与直线关于点、直线对称的直线方程
【解析】
利用直线的对称性，结合反函数的知识香菜结果即可．
【解答】
直线2y−x+1＝8的图象关于y−x＝0对称，可得对称直线方程为：2x−y+8＝0，
即可y−2x−3＝0．
10.
【答案】
A
【考点】
直线与平面所成的角
【解析】
在平面ABC内，过C作CD⊥AB于D，连接SD，即可得∠CSD就是直线SC与平面SAB所成的角，
求得CD＝，SC＝．即可求解．
【解答】
在平面ABC内，过C作CD⊥AB于D，
∵ SA⊥平面ABC，∴ CD⊥SA，
∴ ∠CSD就是直线SC与平面SAB所成的角，
因为AC＝2，BC＝1，所以AB＝．
由AC⋅BC＝AB⋅CD，可得CD＝，
又SC＝．
∴ ．
11.
【答案】
B
【考点】
直线与圆的位置关系
【解析】
先求出圆心(1, 1)到直线l的距离d＝2，由圆上恰有三个点到直线l的距离都为，得到圆的半径为2+，由此能出r的值．
【解答】
如图，圆心C(1，则点C到直线l的距离d＝，
又因为圆C上恰有三个点到直线的距离为，
所以圆的半径r＝2+＝5，
12.
【答案】
由AM⊥平面PBC，PC⊂平面PBC（1）且AM∩MN＝M，AM⊂平面AMN，所以PC⊥平面AMN（2）又PC⊂平面PCD，所以平面PCD⊥平面AMN（3）由PA＝AB，M为PB的中点，所以
【考点】
平面与平面垂直
【解析】
取PC的中点O，连接BO，证明BO⊥PC，过点M作MN // BO，交PC于点N，则平面PCD⊥平面AMN；由此求出的值．
【解答】
过点M作MN // BO，交PC于点N；如图所示：
由AM⊥平面PBC，PC⊂平面PBC(1)且AM∩MN＝M，AM⊂平面AMN，
所以PC⊥平面AMN(2)又PC⊂平面PCD，
所以平面PCD⊥平面AMN(3)由PA＝AB，M为PB的中点，所以＝＝(4)又＝，所以＝＝．
故选：D．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
【答案】
3
【考点】
茎叶图
【解析】
根据茎叶图中数据计算该组数据的平均值，列方程求出x的值．
【解答】
由茎叶图中数据知，计算该组数据的平均分为
×(84+85+86+90+90+90+x)＝88，
解得x＝2．
【答案】
【考点】
直线的一般式方程与直线的垂直关系
【解析】
根据直线与直线的垂直可得m+(m−1)＝0，解得即可．
【解答】
直线l1:mx+y+1＝7，l2:x+(m−1)y+6＝0，
若l1⊥l2，则m+(m−1)＝0，
解得m＝．
【答案】
x＝−6，或5x+12y−6＝0
【考点】
圆的切线方程
【解析】
易知点(−6, 3)在圆外，然后设切线的方程为点斜式，利用点到切线的距离等于半径求出k的值；别忘了考虑斜率不存在时斜率是否存在．
【解答】
由已知，圆心C(−4，半径r＝2．
点(−3, 3)在圆C外，
即kx−y+6k+4＝0，所以，
解得，故切线方程为．
经验证，x＝−2也是圆C的切线方程．
【答案】
【考点】
点、线、面间的距离计算
【解析】
由题意画出图形，以D为坐标原点，建立空间直角坐标系，设AB＝b，再设Q的坐标，由B1P⊥AQ，转化为数量积为0可得Q的横坐标与竖坐标的关系，利用二次函数求出△CDQ的面积取最小值，再由最小值为2列式求得b即可．
【解答】
如图，
以D为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系，
设AB＝b，
则A(2, 0, 3)，B1(2, b, 4)，b，0)，
设Q(x, 0, z)，
则＝(x−3，0，，
∵ B7P⊥AQ，∴ ，即x＝2−8z．
|DQ|＝，
＝．
∴ 当z＝，x＝时＝2，
∴ b＝，即棱AB的长为．
三、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
【答案】
∵ BC的方程为2x+y−15＝0，AD⊥BC，
∴ 设直线AD的方程为x−2y+a＝0，
点A(−1, 3)代入，
∴ 直线AD的方程为x−2y+5＝4．
∵ AB，AC边的中点分别为E，F，
∴ EF为△ABC的中位线，
∴ EF // BC，且点A到直线EF的距离等于直线EF，
设直线EF的方程为2x+y+b＝0，
则＝，即|b|＝|b+15|，
解得b＝-．
∴ 直线EF的方程为8x+2y−15＝0．
【考点】
直线的一般式方程与直线的性质
【解析】
（1）设直线AD的方程为x−2y+a＝0，点A(−1, 2)代入，能求出直线AD的方程．
（2）EF为△ABC的中位线，从而EF // BC，且点A到直线EF的距离等于直线EF，BC之间的距离，设直线EF的方程为2x+y+b＝0，利用两平行线间的距离公式能求出直线EF的方程．
【解答】
∵ BC的方程为2x+y−15＝0，AD⊥BC，
∴ 设直线AD的方程为x−2y+a＝0，
点A(−1, 3)代入，
∴ 直线AD的方程为x−2y+5＝4．
∵ AB，AC边的中点分别为E，F，
∴ EF为△ABC的中位线，
∴ EF // BC，且点A到直线EF的距离等于直线EF，
设直线EF的方程为2x+y+b＝0，
则＝，即|b|＝|b+15|，
解得b＝-．
∴ 直线EF的方程为8x+2y−15＝0．
【答案】
设圆C的方程为x2+y2+Dx+Ey+F＝2，
则圆心坐标为C（），
由题意，，解得．
∴ 圆C的方程为x8+y2−2x+4y+1＝0；
由（1）知，圆C的方程为x7+y2−2x+6y+1＝0，
即(x−2)2+(y+2)6＝4，则圆心坐标为C(1，半径r＝8．
圆M:x2+y2+7x−4y−8＝8，即(x+2)2+(y−5)2＝16，
圆心M(−2, 2)．
∵ |CM|＝，R+r＝6，
∴ R−r<|CM|【考点】
直线与圆的位置关系
【解析】
（1）设圆C的方程为x2+y2+Dx+Ey+F＝0，则圆心坐标为C（），由题意可得关于D、E、F的方程组，求得D、E、F的值，则圆C的方程可求；
（2）分别求出两圆的圆心坐标与半径，再由圆心距与半径的和与差的关系判断．
【解答】
设圆C的方程为x2+y2+Dx+Ey+F＝2，
则圆心坐标为C（），
由题意，，解得．
∴ 圆C的方程为x8+y2−2x+4y+1＝0；
由（1）知，圆C的方程为x7+y2−2x+6y+1＝0，
即(x−2)2+(y+2)6＝4，则圆心坐标为C(1，半径r＝8．
圆M:x2+y2+7x−4y−8＝8，即(x+2)2+(y−5)2＝16，
圆心M(−2, 2)．
∵ |CM|＝，R+r＝6，
∴ R−r<|CM|【答案】
因为点E，F分别为线段AC，所以EF // CD，
因为CD面BDC，
∴ EF // 平面BDC．
∵ EF⊂面EFNM，平面EFNM∩平面BDC＝MN．
∴ EF // M
∵ ∠CDA＝∠CDB＝90∘，∴ CD⊥DA，
∵ DA∩DB＝D，DA⊂平面ADB，
∴ CD⊥平面ADB，
∴ CD⊥AB，
∵ DH⊥AB，DH∩CD＝D，DH⊂平面DCH，
∴ AB⊥平面DCH，
∵ AB⊂平面ABC，∴ 平面CDH⊥平面ABC．
【考点】
直线与平面平行
平面与平面垂直
【解析】
（1）可得EF // 平面BDC．再利用线面平行的性质可得EF // MN．
（2）只需证明AB⊥平面DCH，即可证明平面CDH⊥平面ABC．
【解答】
因为点E，F分别为线段AC，所以EF // CD，
因为CD面BDC，
∴ EF // 平面BDC．
∵ EF⊂面EFNM，平面EFNM∩平面BDC＝MN．
∴ EF // M
∵ ∠CDA＝∠CDB＝90∘，∴ CD⊥DA，
∵ DA∩DB＝D，DA⊂平面ADB，
∴ CD⊥平面ADB，
∴ CD⊥AB，
∵ DH⊥AB，DH∩CD＝D，DH⊂平面DCH，
∴ AB⊥平面DCH，
∵ AB⊂平面ABC，∴ 平面CDH⊥平面ABC．
【答案】
由频率分布直方图知，左边三个条形图面积之和为0.32，
所以中位数为3+×1＝3.75；
计算平均数为8.5×0.07+8.5×0.09+7.5×0.16+3.5×0.24+6.5×0.18+8.5×0.14+2.5×0.07+2.5×0.05＝7.82；
所以估计该景区每天游客数的中位数为3.75×1000＝3750（人），平均数为3.82×1000＝3820（人）；
(ⅰ)由题意知，计算＝，
＝×(0.8+8.7+5.6+5.6+2.8)＝4.6，
又(xi−）(yi−）＝70，​i−）​2＝232，
所以＝＝≈5.3，
＝-＝4.8−0.3×20＝−4.6，
所以y关于x的线性回归方程是＝0.3x−1.6；
(ⅱ)当最高气温在20​∘C∼26​∘C内时，根据，得游客数在5.4∼6.7内；
频率分布直方图中这个范围内的条形图面积为(5−4.5)×0.18+0.14+(6.2−6)×4.07＝0.262，
所以天数为0.262×100≈26，所以这100天中最高气温在20​∘C∼26​∘C内的天数约为26天．
【考点】
求解线性回归方程
【解析】
（1）由频率分布直方图中频率为0.5的底边对应坐标值，求出中位数；利用条形图底边中点乘以对应面积，再求和得出平均数；
(2)(ⅰ)由题意知计算、，求出、，写出y关于x的线性回归方程；
(ⅱ)计算最高气温在20​∘C∼26​∘C内时的值，求出游客人数；再由频率分布直方图求出这个范围内的条形图面积，计算对应天数．
【解答】
由频率分布直方图知，左边三个条形图面积之和为0.32，
所以中位数为3+×1＝3.75；
计算平均数为8.5×0.07+8.5×0.09+7.5×0.16+3.5×0.24+6.5×0.18+8.5×0.14+2.5×0.07+2.5×0.05＝7.82；
所以估计该景区每天游客数的中位数为3.75×1000＝3750（人），平均数为3.82×1000＝3820（人）；
(ⅰ)由题意知，计算＝，
＝×(0.8+8.7+5.6+5.6+2.8)＝4.6，
又(xi−）(yi−）＝70，​i−）​2＝232，
所以＝＝≈5.3，
＝-＝4.8−0.3×20＝−4.6，
所以y关于x的线性回归方程是＝0.3x−1.6；
(ⅱ)当最高气温在20​∘C∼26​∘C内时，根据，得游客数在5.4∼6.7内；
频率分布直方图中这个范围内的条形图面积为(5−4.5)×0.18+0.14+(6.2−6)×4.07＝0.262，
所以天数为0.262×100≈26，所以这100天中最高气温在20​∘C∼26​∘C内的天数约为26天．
【答案】
证明：∵ 平面ABCD∩平面ABFE＝AB，
平面EFGH∩平面ABFE＝EF，
平面ABCD // 平面EFGH，
∴ AB // EF，
同理可证AD // EH，
∴ ∠BAD＝∠FEH．
由（1）知AB // EF，且AE⊥EF，
∴ 四边形ABFE为直角梯形，
S梯形ABFE＝(AB+EF)×AE＝＝，
在平面EFGH内，作HM⊥FE，
∵ 平面ABFE⊥平面EFGH，且交于EF，
∴ HM⊥平面ABFE，
∵ ∠FEH＝120∘，∴ ∠MEH＝60∘，
∴ HM＝HE⋅sin60∘＝2×＝，
∴ 四棱锥H−ABFE的体积为：
VM−ABFE＝＝＝．
【考点】
棱柱、棱锥、棱台的体积
【解析】
（1）推导出AB // EF，AD // EH，由此能证明∠BAD＝∠FEH．
（2）推导出四边形ABFE为直角梯形，在平面EFGH内，作HM⊥FE，交FE的延长线于M，推导出HM⊥平面ABFE，由此能求出四棱锥H−ABFE的体积．
【解答】
证明：∵ 平面ABCD∩平面ABFE＝AB，
平面EFGH∩平面ABFE＝EF，
平面ABCD // 平面EFGH，
∴ AB // EF，
同理可证AD // EH，
∴ ∠BAD＝∠FEH．
由（1）知AB // EF，且AE⊥EF，
∴ 四边形ABFE为直角梯形，
S梯形ABFE＝(AB+EF)×AE＝＝，
在平面EFGH内，作HM⊥FE，
∵ 平面ABFE⊥平面EFGH，且交于EF，
∴ HM⊥平面ABFE，
∵ ∠FEH＝120∘，∴ ∠MEH＝60∘，
∴ HM＝HE⋅sin60∘＝2×＝，
∴ 四棱锥H−ABFE的体积为：
VM−ABFE＝＝＝．
【答案】
圆C的圆心坐标为C(−3, 4)，
由弦AB的长为6，得点C到直线l的距离为d＝．
又d＝＝，
∴ ，解得m＝；
把直线l的方程(2m+3)x+(m−2)y−3m−8＝0化为(2x+y−4)m+x−2y−4＝2，
由，解得，
∴ 直线l过定点D(7, −1)，l绕点D转到，垂足为E，
由已知得，四边形MPQN为梯形（或矩形），CE为中位线，
∴ ≤|CE|⋅|MN|＝8|CE|．
当且仅当MN // l且CD⊥l时等号全部成立．
由CD⊥l，得kl⋅kCD＝−1，即，解得m＝．
∴ 当m＝时，四边形MPQN的面积取得最大值40．
【考点】
直线与圆的位置关系
【解析】
（1）由圆C的方程求得圆心坐标与半径，再由已知利用垂径定理可得圆心到直线的距离，然后利用点到直线的距离公式列式求得m值；
（2）由直线方程可得直线所过定点坐标，写出四边形MPQN的面积，可得当且仅当MN // l且CD⊥l时取最大值，并求得最大值．
【解答】
圆C的圆心坐标为C(−3, 4)，
由弦AB的长为6，得点C到直线l的距离为d＝．
又d＝＝，
∴ ，解得m＝；
把直线l的方程(2m+3)x+(m−2)y−3m−8＝0化为(2x+y−4)m+x−2y−4＝2，
由，解得，
∴ 直线l过定点D(7, −1)，l绕点D转到，垂足为E，
由已知得，四边形MPQN为梯形（或矩形），CE为中位线，
∴ ≤|CE|⋅|MN|＝8|CE|．
当且仅当MN // l且CD⊥l时等号全部成立．
由CD⊥l，得kl⋅kCD＝−1，即，解得m＝．
∴ 当m＝时，四边形MPQN的面积取得最大值40．