2021届四川省遂宁市高三零诊考试数学（理）试题

这是一份2021届四川省遂宁市高三零诊考试数学（理）试题，共12页。试卷主要包含了考试结束后，将答题卡收回， 若数列满足，且，则等内容，欢迎下载使用。

遂宁市高中2021届零诊考试
数学（理科）试题
本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分。总分150分。考试时间120分钟。
第Ⅰ卷（选择题，满分60分）
注意事项：
1．答题前，考生务必将自己的姓名、班级、考号用0.5毫米的黑色墨水签字笔填写在答题卡上。并检查条形码粘贴是否正确。
2．选择题使用2B铅笔填涂在答题卡对应题目标号的位置上，非选择题用0.5毫米黑色墨水签字笔书写在答题卡对应框内，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
3．考试结束后，将答题卡收回。

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每个小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的。
1．已知集合，, 那么等于
A． B．
C． D．
2．若复数是虚数单位为纯虚数，则实数的值为
A． B．
C． D．
3．已知，，则的值等于
A. B.
C. D.
4． 若数列满足，且，则
A. B.
C. D.
5．为了得到函数的图象，可将函数的图象上所有的点
A.纵坐标缩短到原来的，横坐标不变，再向右平移个单位长度
B.横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再向左平移个单位长度
C.横坐标伸长到原来的倍，纵坐标不变，再向左平移个单位长度
D.纵坐标伸长到原来的倍，横坐标不变，再向右平移个单位长度
6. 用数学归纳法证明等式时，从到等式左边需增添的项是
A．
B．
C．
D．
7. 已知正项等比数列满足，，又为数列 的前项和，则
A． 或 B．
C． D．
8.若函数存在垂直于轴的切线，又，且有，则的最小值为
A．1 B．
C． D．
9. 秦九韶，字道古，汉族，鲁郡（今河南范县）人，南宋著名数学家，精研星象、音律、算术、诗词、弓、剑、营造之学。1208年出生于普州安岳（今四川安岳），咸淳四年（1268）二月，在梅州辞世。 与李冶、杨辉、朱世杰并称宋元数学四大家。他在著作《数书九章》中创用了“三斜求积术”，即是已知三角形的三条边长，求三角形面积的方法.其求法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上，以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实.一为从隅，开平方得积.”若把以上这段文字写成公式，即为，若中有
，，且a A． B．
C． D．
10. 已知函数，则使得
成立的的取值范围是
A． B．
C． D．
11．在中，点为边上一点，，且，，，，则　
A． B．
C． D．
12．已知函数，，且,当时，恒成立, 则a的取值范围为
A． B．
C． D．


第Ⅱ卷（非选择题，满分90分）
注意事项：
1．请用蓝黑钢笔或圆珠笔在第Ⅱ卷答题卡上作答，不能答在此试卷上。
2．试卷中横线及框内注有“▲”的地方，是需要你在第Ⅱ卷答题卡上作答。

本卷包括必考题和选考题两部分。第13题至第21题为必考题，每个试题考生都作答；第22、23题为选考题，考生根据要求作答。


二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分。
13．计算：的值为 ▲ ．
14．已知向量，，若∥，则实数等于 ▲ ．
15. 已知均为实数，函数在时取得最小值，曲线在点处的切线与直线平行，则 ▲
16. 已知向量，，设函数，。则下列对函数和的描述正确的命题有 ▲ （请写出全部正确命题的序号）
①的最大值为3.
②在上是增函数
③的图象关于点对称
④在上存在唯一极小值点，且

三、解答题：本大题共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（本小题满分12分）
已知集合，集合
（1）若，求实数的取值集合；
（2）求函数的值域。（其中为（1）问中的集合，全集为实数集）。

▲
18．（本小题满分12分）
已知数列的前项和为，且点均在函数的图象上．
（1）求数列的通项公式；
（2）若，是数列的前项和。
求满足的最大正整数的值。

▲


19．（本小题满分12分）
已知函数，是偶函数．
（1）求函数的极值以及对应的极值点；
（2）若函数，且在上单调递增，求实数的取值范围。

▲

20．（本小题满分12分）
已知函数
（1）若关于的方程在上有解，求实数的取值范围；
（2）设的内角满足，若，求边上的高长的最大值。

▲


21．（本小题满分12分）
已知函数，
（1）若曲线在点处的切线与直线重合，求的值；
（2）若函数的最大值为，求实数的值；
（3）若，求实数的取值范围。

▲

请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。

22．（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程
在极坐标系中，直线：，圆：。以极点为原点，极轴为轴正半轴建立直角坐标系.
（1）求直线的直角坐标方程和圆的参数方程；
（2）已知点在圆上，点到直线和轴的距离分别为，，求的最大值。

▲
23．（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲
已知函数
（1）当时，求不等式的解集；
（2）若的最小值为，且，求的最小值。

▲
遂宁市高中2021届零诊考试
数学（理科）试题参考答案及评分意见

一、选择题
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
A
D
A
B
A
C
B
D
B
C
D
B
二、填空题
13. 14. 15. 5 16. ①②④
三、简答题
17. （本小题满分12分）
（1）因为集合， ………………2分
而，且，则， ………………3分
所以，解得，所以………………5分
（2）因为，又，即，所以； ………………8分
令，又， 所以此时，，即； ……11分
综上函数的值域为，
即函数的值域为 ………………12分
18. （本小题满分12分）
（1）点（）均在函数的图象上，
，即 ………………1分
当时， ………………3分
当时，，满足上式 ………………4分
数列的通项公式是 ………………5分
（2）由（1）得：， ………………6分
∴ ……………7分
………………8分
………………10分
令 ，解得： ………………11分
故满足条件的最大正整数的值为 ………………12分
19. （本小题满分12分）
（1）∵，∴，………………1分
∴，
为偶函数，∴，解得 ………………3分
∴，则，
∴
由，解得或；由，解得或；
∴在，单调递增；在，单调递减。
∴函数的一个极大值点为，对应的极大值为； ………5分
另一个极大值点为，对应的极大值为； ………………6分
函数极小值点为，对应的极小值为 ………………7分
（2）由（1）知，
∴，
∴，函数在上单调递增，
∴在上恒成立，即有，在恒成立
法一：， ………………10分
,
∴,
∴ ………………12分
法二、令，
∴，即，解得
∴实数的取值范围............................12分

20. （本小题满分12分）
(1)

， ………………4分
又，所以
，所以的值域为. ………………5分
而，所以，即. ………………6分
（2）由，即，解得或.由，即，所以，则 ………………8分
由余弦定理，得.………10分
由面积公式，知，
即.所以。
所以边上的高长的最大值为 ………………12分
21. （本小题满分12分）
（1）因为，所以，则，
点的坐标为，故切线方程为，
即，由于它与直线重合，所以，
解得，故。 ………………3分
（2）因为，所以，
由，解得，由，解得，
所以函数在单调递增，在单调递减，而，
所以，解得 ………………6分
（3）因为，即
即，令，即有。
①当时，，所以不合题意；
②当时，，
当时，，当时，
所以当时，取得最小值，最小值为，从而，符合题意；
③当时，（放缩）；又由②知，符合题意；
综上，实数的取值范围为。 ………………12分
22. （本小题满分10分）
（1）由：得，；
因为，代入有直线的直角坐标方程为：，
即为 ………………2分
由圆：得，，因为， ，
，所以圆直角坐标方程为：，
由得， ………………4分
圆的参数方程为（为参数）， ………………5分
（2）设点坐标为
则，
又
那么
当时，取得最大值 ………………10分
23. （本小题满分10分）
（1）当时，，又，则有或或；解得或或。即或。所以不等式的解集为或 ………………5分
（2）因为在处取得最小值，
所以，则，由柯西不等式

所以，当且仅当，即，时，等号成立。
故的最小值为。 ………………10分