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数学4 找因数教案设计
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这是一份数学4 找因数教案设计，共17页。教案主要包含了教师准备，学生准备，参考答案，基础巩固，提升培优，思维创新，练一练·38页等内容，欢迎下载使用。
本节课内容是找因数,是在学生学习了“因数与倍数”的基础上进行教学的,为了激发学生的学习兴趣,沟通知识间的联系,我们改变了以往教材单纯地从数字角度学习找因数,而是通过“用小正方形拼成长方形”的活动,体会找一个数的因数的方法。为此,教材设计了三个问题。其中,第一个问题是在拼图中体会一个数的因数与拼的长方形面积之间的关系;第二个问题是探索找一个数的因数的方法;第三个问题是进一步体会找因数的方法。
1.在用小正方形拼长方形的活动中,体会找一个数的因数的方法,培养有条理思考的习惯。
2.在1~100的自然数中,能找出某个自然数的所有因数。
【重点】 掌握找一个数的因数的方法。
【难点】 有序思考,找出某个自然数的所有因数。
【教师准备】 PPT课件;小正方形;与本课时内容有关的素材。
【学生准备】 小正方形;方格纸;彩笔。
1.口算。
45÷5= 8×3=
38×2= 42÷7=
2.说一说谁是谁的倍数,谁是谁的因数。
2×5=10 3×9=27 3×1=3
【参考答案】 1.9 24 76 6 2.10是5和2的倍数,2和5是10的因数;27是3和9的倍数,3和9是27的因数;3是3和1的倍数,3和1是3的因数。
方法一
课件导入。
师:同学们,老师想考考你们的眼力,一定要仔细看,作出正确的判断。
(PPT课件出示小正方形拼摆的图形)
师:一共有多少个小方格?
预设 生:8个小方格。
师:你能列出乘法算式表示吗?
预设 生:因为每行有4个,共有两行,列式为:4×2=8(个)。
师:观察这个算式,你能用我们这几天学过的知识说一句话吗?
预设 生1:8是2和4的倍数。
生2:2和4是8的因数。
师:同学们,那么这个图形里有几个小方格呢?
(PPT课件出示拼摆的图形)
预设 生:8个小方格。
师:怎样列式?
预设 生:列式为:8×1=8(个)。
师:观察这个算式,你能用我们这几天学过的知识说一句话吗?
预设 生1:8是1和8的倍数。
生2:1和8是8的因数。
师:下面同学们观察两个算式“4×2=8”“8×1=8”,你们发现了什么?
预设 生:2和4是8的因数,1和8是8的因数。
师:你们真棒,一个数的因数的个数,不一定是一个,也可能是多个,今天我们就来学习找一个数的因数。
(板书课题:找因数)
[设计意图] 从观察图形入手,创设情景,提出因数问题,一方面温习了前面学习的知识;另一方面使学生体会一个数的因数可能是1个或者多个,为探究新知做好了充分的准备。
方法二
情景导入。
师:同学们喜欢做拼图游戏吗?
预设 生:喜欢。
师:(请同学们拿出课前准备好的小正方形)在你们的小组里用你们准备的12个小正方形拼成长方形,看谁拼出的长方形种类多。也可以使用自己喜欢的方式拼摆或涂画的方式独立操作,边摆边在小方格纸上做好记录。
(学生动手实践、操作,完成拼摆)
师:同学们,完成得怎么样了?现在先不急于汇报,今天我们的学习之旅就从这里开始。
(板书课题:找因数)
[设计意图] 创设学生感兴趣的游戏导入新课,激发学生参与学习的热情,培养其动手操作能力。
一、用小正方形拼摆长方形的方法找一个数的因数。
1.(PPT课件出示问题一情景图)
用12个小正方形拼成一个长方形,有哪几种拼法?在下面的方格纸上画一画,并与同伴交流。
师:在方格纸上拼(画)长方形,我们首先要考虑哪两个量?
预设 生1:要考虑每行的个数和拼摆(画)的行数。
生2:乘积应该是12,即:每行的个数×行数=12。
2.学生拼(画)长方形。
(教师巡视,指导个别有问题的学生,搜集学生中出现的问题)
师:刚才老师在观察同学们的操作时,都有自己的拼法,下面把我们的学习成果交流一下,看看其他同学的成果,总结一下能拼出几种长方形。
3.引导学生在合作交流中总结出找一个数的因数的基本方法。
师:你是怎样拼的?
(指名学生汇报拼法,学生一边汇报,一边将所画的图在实物展台上进行演示)
学生展示。
预设 生1:横着画了12个小正方形。
生2:横着画6个,画了2排。
生3:横着画4个,画了3排。
生4:横着画3个,画了4排。
生5:竖着画12个。
生6:横着画2个,竖着画6个。
可能的拼法:
[设计意图] 让学生在操作、探索的基础上,组内交流想法,再在班内交流汇报,让学生的语言得到相互交流、碰撞,从而不断激发学生的思维火花。
师:同学们,你们有这么多的拼摆(画)法,那么,你能把这些拼摆(画)法用乘法算式写出来吗?
预设 生1:图①摆了1行12个,列乘法算式为:12×1=12。
生2:图②每行摆了6个,摆了2行,列乘法算式为:6×2=12。
生3:图③每行摆了4个,摆了3行,列乘法算式为:4×3=12。
生4:图④每行摆了3个,摆了4行,列乘法算式为:3×4=12。
生5:图⑤每行摆了1个,摆了12行,列乘法算式为:1×12=12。
生6:图⑥每行摆了2个,摆了6行,列乘法算式为:2×6=12。
依学生汇报,教师板书:
1×12=12 2×6=12 3×4=12
12×1=126×2=12 4×3=12
师:请同学们观察一下,哪两道算式的因数是一样的?
预设 生:1×12=12和12×1=12,2×6=12和6×2=12,4×3=12和3×4=12的因数是一样的。
师:针对这样的问题,你们还有没有其他的解决方案?
预设 生:我们根据拼摆的图例,可以看出图①和图⑤,图②和图⑥,图③和图④的摆法是一样的,只不过方向上不同。
师:那么这6个算式最少能用几种算式表示出来?
预设 生:(引导学生说出)用3种方法表示。
师:是哪三种方法?
预设 生:这三种方法是:1×12=12,2×6=12,3×4=12。(并指明算式一样时选择其中一种说出来)
结合学生的汇报,教师PPT课件演示三种方法。
(教师板书:12=1×12=2×6=3×4)
4.利用拼长方形的方法类推出找因数的方法。
师:同学们观察一下,12的全部因数有哪几个?
预设 生:12的因数有:1,2,3,4,6,12。
师:拼长方形与找因数有什么关系呢?
预设 生:通过拼长方形可以找出12的全部因数,找一个数的因数的方法和拼长方形的方法很相似,也就是想哪两个自然数相乘的积等于这个数,那两个数就是这个数的因数。
师:根据刚才的操作交流,请同学们说一说怎样找一个数的因数呢?(引导学生说出:用乘法思路想,看哪两个数相乘得12,然后一对一对找出来)
预设方法。
方法一:找一个数的因数的方法,就是哪两个自然数相乘的积是这个数,那两个数就是这个数的一对因数。
12=1×122×63×412的因数有1,12,2,6,3,4。
方法二:利用除法算式找因数,被除数不变,改变除数,除得的商是整数且没有余数,我们就说商和除数是被除数的因数。
12÷1=12,12÷2=6,12÷3=4,12÷4=3,12÷6=2,12÷12=112的因数有:1,2,3,4,6,12。
[设计意图] 让学生在自主探索、亲身实践、合作交流的氛围中通过拼一拼(或画一画)、说一说、找一找等直观手段获得感性认识,帮助理解抽象地找因数的方法,体会找一个数的因数的方法。
5.知识归纳。
找一个数的因数的方法:想这个数可以写成哪些乘法算式,算式中的乘数就是这个数的因数,或者利用除法算式找因数,被除数不变,改变除数,除得的商是整数且没有余数,我们就说商和除数是被除数的因数。
6.引导得出“有序思考”的方法。
师:通过拼长方形的方法,我们知道了寻找因数的方法。那么找一个数的因数怎样做到既不重复也不遗漏呢?
预设 生:我们根据乘法算式,思考时一般从自然数“1”开始,然后思考2,再思考3……依次有序地进行思考。
根据学生发言小结:找一个数的因数,要用“有序思考”的方法,即用乘法依次一对一对地找,这样有顺序的地给一个数找因数,好处就是不重复也不遗漏。
师:请同学们按顺序说出12的因数。(学生汇报)
(教师板书:12的所有因数有:1,2,3,4,6,12)
师:观察12的全部因数,一共有几个?
预设 生:有1,2,3,4,6,12,共6个。
[设计意图] 进一步激发学生的探究欲,让学生在交流的过程中,引导学生关注“有序思考”的方法,并逐步体会一个数的因数的个数是有限的。
二、找因数的方法的应用。
师:同学们,我们已经找到了12的所有因数,下面老师给大家一个数字,你能找出它的全部因数吗?
1.(PPT课件出示问题三情景图)
师:同学们用刚才学的方法,能否找出18的因数呢?(巡视指导,关注学生是否注意“有序思考”)
学生动手操作、演算、分析,得出结论。
预设 生:18的因数:1,2,3,6,9,18。
(教师板书:18的因数:1,2,3,6,9,18)
师:同学们,说一说你是怎样找到18的全部因数的?
预设方法。
方法一:利用乘法算式。
根据有序思考,我从自然数1开始思考,哪两个自然数相乘的积与18相等,然后列出算式,找出18的全部因数。
18=1×182×93×618的因数有:1,2,3,6,9,18。
方法二:利用除法算式。
固定被除数18不变,改变除数(从自然数1开始),商是整数且没有余数,这时,除数和商都是被除数的因数。
18÷1=1818÷2=918÷3=618的因数有:1,2,3,6,9,18。
2.明确一个数的因数的个数是有限的。
师:通过上面的学习我们已经知道了,12的因数有6个,分别是1,2,3,4,6,12。那么18的因数有几个呢?
预设 生:18的因数有:1,2,3,6,9,18,也有6个。
师:仔细观察,你们发现了什么?
预设 生:一个数的因数的个数是有限的。
(教师板书:一个数的因数的个数是有限的)
3.一个数的因数的表示方法。
师:一个数的因数我们应该怎样表示呢?
预设 生:和一个数的倍数的表示方法相同,我们也可以用列举法和集合法来表示。
(1)列举法:把18的因数分别按从小到大的顺序排列,每两个因数之间用逗号隔开,全部写完后用句号结束。表示方法如下:
18的因数:1,2,3,6,9,18。
(2)集合法:画一个椭圆,并写上“18的因数”。把18的因数按从小到大的顺序写在椭圆里。两个因数之间用逗号隔开。方法如下:
[设计意图] 通过找因数的应用,学生再次体验了找因数的方法,通过对12的因数的个数和18的因数的个数的观察比较,发现一个数的因数的个数是有限的,为后面的学习打下了良好的基础。
1.把下面各数分别填在适当的( )内。
1 2 3 4 5 6 9 12 15 18
12的因数:( )。
18的因数:( )。
既是12的因数,又是18的因数:( )。
2.找因数。
3的全部因数:( )。
8的全部因数:( )。
24的全部因数:( )。
10的全部因数:( )。
30的全部因数:( );
42的全部因数:( )。
我的发现:一个数因数的个数是( )的,最小的因数是( ),最大的因数是( )。1是所有自然数的( )。
【参考答案】 1.1,2,3,4,6,12 1,2,3,6,9,18 1,2,3,6 2.1,3 1,2,4,8 1,2,3,4,6,8,12,24 1,2,5,10 1,2,3,5,6,10,15,30 1,2,3,6,7,14,21,42 有限 1 本身 因数
师:这节课你们学了什么知识?有什么收获?
预设 生:找一个数的因数的方法:想这个数可以写成哪些乘法算式,算式中的乘数就是这个数的因数。
师:找因数时,怎样才可以做到不遗漏、不重复?
预设 生1:找一个数的因数,要用“有序思考”的方法,即用乘法依次一对一对地找,这样有顺序的地给一个数找因数,好处就是不重复也不遗漏。
生2:我们通过观察和分析,还知道了一个数的因数的个数是有限的。
师:我们采用什么样的方法来表示一个数的因数?
预设 生:我们可以采用列举法和集合法来表示一个数的因数。
[设计意图] 通过总结概括今天的收获,一方面锻炼了学生的语言表达能力,另一方面再一次体会求一个数的因数的方法,加深记忆。
作业1
教材第38页“练一练”的第3,4题。
作业2
【基础巩固】
1.(基础题)我会填。
(1)28=( )×( )=( )×( )=( )×( )。
28的全部因数有( )。
(2)30的因数中,最小的因数是( ),最大的因数是( )。
(3)一个数的最大因数是16,这个数是( )。
2.(重点题)找一找,填一填。
15 16 8 3
12 9 4
3.(易错题)我是小法官。
(1)一个数的倍数一定比这个数的所有因数都大。( )
(2)任何一个自然数,至少有两个因数。( )
(3)800的因数的个数比8的倍数的个数多。( )
【提升培优】
4.(变式题)15的所有因数的和是多少?
5.(重点题)一个数是24的因数,同时又是6的倍数,符合条件的数有哪些?
6.(探究题)把39个杯子放在盒子里,每个盒子装的同样多,有多少种装法?每种需要多少个盒子?(不能把所有杯子装在一个盒子里)
【思维创新】
7.(竞赛题)已知a,b,c是三个不同的自然数,并且a,b,c都不为0,如果A=a×b×c,那么A至少有( )个因数。
【参考答案】
作业1:3.15的全部因数:1,3,5,15 21的全部因数:1,3,7,21 既是15的因数,又是21的因数:1,3
4.48块月饼有10种装法,每个盒子装月饼数与所需盒子个数如下表所示。
因为47只有两个因数1和47,所以47块月饼,需要47个盒子,每个盒子里装1块月饼,或者1个盒子里面装47块月饼。
作业2:1.(1)1 28 2 14 4 7 1,2,4,7,14,28
(2)1 30 (3)16 2.15 3 9 16 8 3 12 4
3.(1)✕ (2)✕ (3)✕ 4.1+3+5+15=24 5.6,12,24 6.3种。每盒1个,39盒;每盒3个,13盒;每盒13个,3盒。 7.4
本节课的教学重点是找一个数的因数,在学生已掌握了因数、倍数的概念及两者之间的关系的基础上,对学生而言,怎样找一个数的因数,难度并不算大,因此教学例题“找出12的因数”时,我先让学生自己动手拼长方形,让学生们直观感知两个自然数的积等于12的几种情况,使他们在独立思考的过程中,自然而然地会结合自己对因数概念的理解,找到解决问题的方法(培养学生对已有知识的运用的意识),然后在交流中不难发现可用乘法或除法来求一个数的因数(列出积是12的乘法算式或列出被除数是12的除法算式)。在这个学习活动环节中,我留给学生较充分的思维活动的空间,有了自由活动的空间,才会有思维创造的火花,才能体现教育活动的终极目标。特别是用除法找因数的学生,正是因为他们意识到了因数与倍数之间的整除关系的本质,才会想到用除法来解决问题,我也不由得佩服这些孩子对知识的迁移能力。在这个环节的处理上,教材的本意是先由教师提出“想一想,几和几相乘得12”引导学生从因数的概念,用乘法来找因数,而我考虑到本班孩子的学情(绝大多数学生能够运用所学知识,找到求因数的方法),如教师一开始就引导学生:想几和几相乘,势必会造成先入为主,妨碍学生创造性的思维活动,用已有的经验自主建构新知是提高学生学习能力的有效途径,让学生独立思考、自主探索、促思(促进学生思维发展)、提能(提高学习能力)是我教学策略的主要内容。至于这两种方法孰重孰轻,的确难以定论。实际上,对于数字较小的数(口诀表内的),用乘法来求因数还比较容易,但是超出口诀表范围的数用除法则更能显示出它的优势。
学生的学习潜力是巨大的,教师是学生学习的引领者,因此教师的观念和行为决定了学生的学习方式和结果,所以我认为教师要钻研教材,充分利用教材,根据学生的实际情况,创造性地使用教材,为学生能力的发展提供素材和创造条件,真正实现学生学习的主体地位。
学生在找一个数的因数时最常犯的错误就是漏找,即找不全。学生怎样按一定顺序找全因数这也正是本课教学的难点。所以在学生交流汇报时,我结合学生所述思维过程,适时引导并形成有条理的板书,如:18÷1=18,18÷2=9,18÷3=6,18÷6=3,18÷9=2,18÷18=1。
这样的板书帮助学生有序的地思考,形成明晰的解题思路的作用是毋庸置疑的。这样既不容易写漏,而且学生们随着流程的进行,势必会感受到越往下找,区间越小,需要考虑的数也就越少。当找到两个相邻的自然数时,他们自然就不会再找下去了。书写格式这一细节的教学,既避免了教师啰嗦的讲解,又有效突破了教学难点,我相信像这样润物无声的细节,无论于学生、于课堂都是有利无弊的。
在找一个数的全部因数时,学生不想列算式导致因数找不全,所以我强调必须在草稿纸上先列出一个数的所有算式,再找因数,这样学生就不会出错了。
在以后教学中要严格要求学生,学习容不得半点偷懒。
【练一练·38页】
1.(1)有三种画法,如下图所示。
(2)16的全部因数:1,2,4,8,16。 2.24=1×24=2×12=3×8=4×6 24的全部因数:1,2,3,4,6,8,12,24 3.15的全部因数:1,3,5,15 21的全部因数:1,3,7,21 既是15的因数,又是21的因数:1,3
4.48块月饼有10种装法,每个盒子装月饼数与所需盒子个数如下表所示。
因为47只有两个因数1和47,所以47块月饼,需要47个盒子,每个盒子里装1块月饼,或者1个盒子里面装47块月饼。
把42个跳棋装在盒子里,每个盒子里装的同样多,共有几种装法?每种装法各需要几个盒子?如果有19个跳棋呢?(不能把所有跳棋装在一个盒子里)
[名师点拨] 因为42=1×42=2×21=3×14=6×7,所以42有8个因数,分别为1,2,3,6,7,14,
21,42,由题意可知至少应有2个盒子,所以共有7
种装法。由于19只有2个因数,分别为1,19,因此19个跳棋只有1种装法。
[解答] 42个跳棋共有7种装法,见下表。
如果有19个跳棋,那么只有1种装法,即每盒装1个,需要19个盒子。
因 数
在小学数学里,两个正整数相乘,那么这两个数都叫作积的因数,或称为约数。事实上因数一般定义在整数上:设A为整数,B为非零整数,若存在整数Q,使得A=Q×B,则称B是A的因数,记作B|A。但是也有的作者不要求B≠0。
例:2×6=12
2和6的积是12,因此2和6是12的因数。12是2的倍数,也是6的倍数。
3×(-9)=-27
3和-9都是-27的因数。-27是3和-9的倍数。
一般而言,整数A乘整数B得到整数C,整数A与整数B都称作整数C的因数,反之,整数C为整数A的倍数,也为整数B的倍数。
大战食数兽
一天,数学王国突然闯进一只三条腿怪兽,吓得数字公民纷纷逃走。怪兽张开血盆大口,一口吞下数24,接着又吞吃了数44,奇怪的是怪兽却没有吃数5。数学王国最高统治者零国王派数14首先迎战怪兽,可怪兽力大无比,数14被摔昏过去。数6和数35举起弓箭,连连发射,可是一点儿也伤不着怪兽。数100举枪冲向怪兽,怪兽张开大嘴,一口吃了数100,吓得数6、数35被扶起后赶紧逃窜。聪明的数1大臣想出了一个法子,派数60去迎战怪兽。数60见怪兽冲了过来便倒地一滚,变成了数2和数30,因为2×30=60,怪兽一见掉头跑了。数60连忙又变成数12和数5,因为12×5=60,怪兽见状掉转头又冲了过来,这时侦探数7回来报告说:“怪兽名叫食数兽,为了长出第4条腿,它专吃含因数4的数。”
零国王和数1大臣连夜商量对策。第二天,零国王亲自出马与怪兽大战起来。怪兽吞下零国王倒地就死了。不一会儿,零国王领着几个被吃掉的数字公民全走了出来。原来零国王钻进怪兽肚子里,和这几个数作了连乘,结果变成了0,怪兽就饿死了。众数听了,齐声称赞零国王既勇敢又聪明。每个盒子装月饼块数
48
24
16
12
8
6
4
3
2
1
需要盒子个数
1
2
3
4
6
8
12
16
24
48
找因数
1×12=12 2×6=12 3×4=12
12×1=12 6×2=12 4×3=12
12=1×12=2×6=3×4
12的因数:1,2,3,4,6,1218的因数:1,2,3,6,9,18一个数的因数的个数是有限的
每个盒子装月饼块数
48
24
16
12
8
6
4
3
2
1
需要盒子个数
1
2
3
4
6
8
12
16
24
48
每个盒子装
跳棋个数
1
2
3
6
7
14
21
需要盒子
个数
42
21
14
7
6
3
2
本节课内容是找因数,是在学生学习了“因数与倍数”的基础上进行教学的,为了激发学生的学习兴趣,沟通知识间的联系,我们改变了以往教材单纯地从数字角度学习找因数,而是通过“用小正方形拼成长方形”的活动,体会找一个数的因数的方法。为此,教材设计了三个问题。其中,第一个问题是在拼图中体会一个数的因数与拼的长方形面积之间的关系;第二个问题是探索找一个数的因数的方法;第三个问题是进一步体会找因数的方法。
1.在用小正方形拼长方形的活动中,体会找一个数的因数的方法,培养有条理思考的习惯。
2.在1~100的自然数中,能找出某个自然数的所有因数。
【重点】 掌握找一个数的因数的方法。
【难点】 有序思考,找出某个自然数的所有因数。
【教师准备】 PPT课件;小正方形;与本课时内容有关的素材。
【学生准备】 小正方形;方格纸;彩笔。
1.口算。
45÷5= 8×3=
38×2= 42÷7=
2.说一说谁是谁的倍数,谁是谁的因数。
2×5=10 3×9=27 3×1=3
【参考答案】 1.9 24 76 6 2.10是5和2的倍数,2和5是10的因数;27是3和9的倍数,3和9是27的因数;3是3和1的倍数,3和1是3的因数。
方法一
课件导入。
师:同学们,老师想考考你们的眼力,一定要仔细看,作出正确的判断。
(PPT课件出示小正方形拼摆的图形)
师:一共有多少个小方格?
预设 生:8个小方格。
师:你能列出乘法算式表示吗?
预设 生:因为每行有4个,共有两行,列式为:4×2=8(个)。
师:观察这个算式,你能用我们这几天学过的知识说一句话吗?
预设 生1:8是2和4的倍数。
生2:2和4是8的因数。
师:同学们,那么这个图形里有几个小方格呢?
(PPT课件出示拼摆的图形)
预设 生:8个小方格。
师:怎样列式?
预设 生:列式为:8×1=8(个)。
师:观察这个算式,你能用我们这几天学过的知识说一句话吗?
预设 生1:8是1和8的倍数。
生2:1和8是8的因数。
师:下面同学们观察两个算式“4×2=8”“8×1=8”,你们发现了什么?
预设 生:2和4是8的因数,1和8是8的因数。
师:你们真棒,一个数的因数的个数,不一定是一个,也可能是多个,今天我们就来学习找一个数的因数。
(板书课题:找因数)
[设计意图] 从观察图形入手,创设情景,提出因数问题,一方面温习了前面学习的知识;另一方面使学生体会一个数的因数可能是1个或者多个,为探究新知做好了充分的准备。
方法二
情景导入。
师:同学们喜欢做拼图游戏吗?
预设 生:喜欢。
师:(请同学们拿出课前准备好的小正方形)在你们的小组里用你们准备的12个小正方形拼成长方形,看谁拼出的长方形种类多。也可以使用自己喜欢的方式拼摆或涂画的方式独立操作,边摆边在小方格纸上做好记录。
(学生动手实践、操作,完成拼摆)
师:同学们,完成得怎么样了?现在先不急于汇报,今天我们的学习之旅就从这里开始。
(板书课题:找因数)
[设计意图] 创设学生感兴趣的游戏导入新课,激发学生参与学习的热情,培养其动手操作能力。
一、用小正方形拼摆长方形的方法找一个数的因数。
1.(PPT课件出示问题一情景图)
用12个小正方形拼成一个长方形,有哪几种拼法?在下面的方格纸上画一画,并与同伴交流。
师:在方格纸上拼(画)长方形,我们首先要考虑哪两个量?
预设 生1:要考虑每行的个数和拼摆(画)的行数。
生2:乘积应该是12,即:每行的个数×行数=12。
2.学生拼(画)长方形。
(教师巡视,指导个别有问题的学生,搜集学生中出现的问题)
师:刚才老师在观察同学们的操作时,都有自己的拼法,下面把我们的学习成果交流一下,看看其他同学的成果,总结一下能拼出几种长方形。
3.引导学生在合作交流中总结出找一个数的因数的基本方法。
师:你是怎样拼的?
(指名学生汇报拼法,学生一边汇报,一边将所画的图在实物展台上进行演示)
学生展示。
预设 生1:横着画了12个小正方形。
生2:横着画6个,画了2排。
生3:横着画4个,画了3排。
生4:横着画3个,画了4排。
生5:竖着画12个。
生6:横着画2个,竖着画6个。
可能的拼法:
[设计意图] 让学生在操作、探索的基础上,组内交流想法,再在班内交流汇报,让学生的语言得到相互交流、碰撞,从而不断激发学生的思维火花。
师:同学们,你们有这么多的拼摆(画)法,那么,你能把这些拼摆(画)法用乘法算式写出来吗?
预设 生1:图①摆了1行12个,列乘法算式为:12×1=12。
生2:图②每行摆了6个,摆了2行,列乘法算式为:6×2=12。
生3:图③每行摆了4个,摆了3行,列乘法算式为:4×3=12。
生4:图④每行摆了3个,摆了4行,列乘法算式为:3×4=12。
生5:图⑤每行摆了1个,摆了12行,列乘法算式为:1×12=12。
生6:图⑥每行摆了2个,摆了6行,列乘法算式为:2×6=12。
依学生汇报,教师板书:
1×12=12 2×6=12 3×4=12
12×1=126×2=12 4×3=12
师:请同学们观察一下,哪两道算式的因数是一样的?
预设 生:1×12=12和12×1=12,2×6=12和6×2=12,4×3=12和3×4=12的因数是一样的。
师:针对这样的问题,你们还有没有其他的解决方案?
预设 生:我们根据拼摆的图例,可以看出图①和图⑤,图②和图⑥,图③和图④的摆法是一样的,只不过方向上不同。
师:那么这6个算式最少能用几种算式表示出来?
预设 生:(引导学生说出)用3种方法表示。
师:是哪三种方法?
预设 生:这三种方法是:1×12=12,2×6=12,3×4=12。(并指明算式一样时选择其中一种说出来)
结合学生的汇报,教师PPT课件演示三种方法。
(教师板书:12=1×12=2×6=3×4)
4.利用拼长方形的方法类推出找因数的方法。
师:同学们观察一下,12的全部因数有哪几个?
预设 生:12的因数有:1,2,3,4,6,12。
师:拼长方形与找因数有什么关系呢?
预设 生:通过拼长方形可以找出12的全部因数,找一个数的因数的方法和拼长方形的方法很相似,也就是想哪两个自然数相乘的积等于这个数,那两个数就是这个数的因数。
师:根据刚才的操作交流,请同学们说一说怎样找一个数的因数呢?(引导学生说出:用乘法思路想,看哪两个数相乘得12,然后一对一对找出来)
预设方法。
方法一:找一个数的因数的方法,就是哪两个自然数相乘的积是这个数,那两个数就是这个数的一对因数。
12=1×122×63×412的因数有1,12,2,6,3,4。
方法二:利用除法算式找因数,被除数不变,改变除数,除得的商是整数且没有余数,我们就说商和除数是被除数的因数。
12÷1=12,12÷2=6,12÷3=4,12÷4=3,12÷6=2,12÷12=112的因数有:1,2,3,4,6,12。
[设计意图] 让学生在自主探索、亲身实践、合作交流的氛围中通过拼一拼(或画一画)、说一说、找一找等直观手段获得感性认识,帮助理解抽象地找因数的方法,体会找一个数的因数的方法。
5.知识归纳。
找一个数的因数的方法:想这个数可以写成哪些乘法算式,算式中的乘数就是这个数的因数,或者利用除法算式找因数,被除数不变,改变除数,除得的商是整数且没有余数,我们就说商和除数是被除数的因数。
6.引导得出“有序思考”的方法。
师:通过拼长方形的方法,我们知道了寻找因数的方法。那么找一个数的因数怎样做到既不重复也不遗漏呢?
预设 生:我们根据乘法算式,思考时一般从自然数“1”开始,然后思考2,再思考3……依次有序地进行思考。
根据学生发言小结:找一个数的因数,要用“有序思考”的方法,即用乘法依次一对一对地找,这样有顺序的地给一个数找因数,好处就是不重复也不遗漏。
师:请同学们按顺序说出12的因数。(学生汇报)
(教师板书:12的所有因数有:1,2,3,4,6,12)
师:观察12的全部因数,一共有几个?
预设 生:有1,2,3,4,6,12,共6个。
[设计意图] 进一步激发学生的探究欲,让学生在交流的过程中,引导学生关注“有序思考”的方法,并逐步体会一个数的因数的个数是有限的。
二、找因数的方法的应用。
师:同学们,我们已经找到了12的所有因数,下面老师给大家一个数字,你能找出它的全部因数吗?
1.(PPT课件出示问题三情景图)
师:同学们用刚才学的方法,能否找出18的因数呢?(巡视指导,关注学生是否注意“有序思考”)
学生动手操作、演算、分析,得出结论。
预设 生:18的因数:1,2,3,6,9,18。
(教师板书:18的因数:1,2,3,6,9,18)
师:同学们,说一说你是怎样找到18的全部因数的?
预设方法。
方法一:利用乘法算式。
根据有序思考,我从自然数1开始思考,哪两个自然数相乘的积与18相等,然后列出算式,找出18的全部因数。
18=1×182×93×618的因数有:1,2,3,6,9,18。
方法二:利用除法算式。
固定被除数18不变,改变除数(从自然数1开始),商是整数且没有余数,这时,除数和商都是被除数的因数。
18÷1=1818÷2=918÷3=618的因数有:1,2,3,6,9,18。
2.明确一个数的因数的个数是有限的。
师:通过上面的学习我们已经知道了,12的因数有6个,分别是1,2,3,4,6,12。那么18的因数有几个呢?
预设 生:18的因数有:1,2,3,6,9,18,也有6个。
师:仔细观察,你们发现了什么?
预设 生:一个数的因数的个数是有限的。
(教师板书:一个数的因数的个数是有限的)
3.一个数的因数的表示方法。
师:一个数的因数我们应该怎样表示呢?
预设 生:和一个数的倍数的表示方法相同,我们也可以用列举法和集合法来表示。
(1)列举法:把18的因数分别按从小到大的顺序排列,每两个因数之间用逗号隔开,全部写完后用句号结束。表示方法如下:
18的因数:1,2,3,6,9,18。
(2)集合法:画一个椭圆,并写上“18的因数”。把18的因数按从小到大的顺序写在椭圆里。两个因数之间用逗号隔开。方法如下:
[设计意图] 通过找因数的应用,学生再次体验了找因数的方法,通过对12的因数的个数和18的因数的个数的观察比较,发现一个数的因数的个数是有限的,为后面的学习打下了良好的基础。
1.把下面各数分别填在适当的( )内。
1 2 3 4 5 6 9 12 15 18
12的因数:( )。
18的因数:( )。
既是12的因数,又是18的因数:( )。
2.找因数。
3的全部因数:( )。
8的全部因数:( )。
24的全部因数:( )。
10的全部因数:( )。
30的全部因数:( );
42的全部因数:( )。
我的发现:一个数因数的个数是( )的,最小的因数是( ),最大的因数是( )。1是所有自然数的( )。
【参考答案】 1.1,2,3,4,6,12 1,2,3,6,9,18 1,2,3,6 2.1,3 1,2,4,8 1,2,3,4,6,8,12,24 1,2,5,10 1,2,3,5,6,10,15,30 1,2,3,6,7,14,21,42 有限 1 本身 因数
师:这节课你们学了什么知识?有什么收获?
预设 生:找一个数的因数的方法:想这个数可以写成哪些乘法算式,算式中的乘数就是这个数的因数。
师:找因数时,怎样才可以做到不遗漏、不重复?
预设 生1:找一个数的因数,要用“有序思考”的方法,即用乘法依次一对一对地找,这样有顺序的地给一个数找因数,好处就是不重复也不遗漏。
生2:我们通过观察和分析,还知道了一个数的因数的个数是有限的。
师:我们采用什么样的方法来表示一个数的因数?
预设 生:我们可以采用列举法和集合法来表示一个数的因数。
[设计意图] 通过总结概括今天的收获,一方面锻炼了学生的语言表达能力,另一方面再一次体会求一个数的因数的方法,加深记忆。
作业1
教材第38页“练一练”的第3,4题。
作业2
【基础巩固】
1.(基础题)我会填。
(1)28=( )×( )=( )×( )=( )×( )。
28的全部因数有( )。
(2)30的因数中,最小的因数是( ),最大的因数是( )。
(3)一个数的最大因数是16,这个数是( )。
2.(重点题)找一找,填一填。
15 16 8 3
12 9 4
3.(易错题)我是小法官。
(1)一个数的倍数一定比这个数的所有因数都大。( )
(2)任何一个自然数,至少有两个因数。( )
(3)800的因数的个数比8的倍数的个数多。( )
【提升培优】
4.(变式题)15的所有因数的和是多少?
5.(重点题)一个数是24的因数,同时又是6的倍数,符合条件的数有哪些?
6.(探究题)把39个杯子放在盒子里,每个盒子装的同样多,有多少种装法?每种需要多少个盒子?(不能把所有杯子装在一个盒子里)
【思维创新】
7.(竞赛题)已知a,b,c是三个不同的自然数,并且a,b,c都不为0,如果A=a×b×c,那么A至少有( )个因数。
【参考答案】
作业1:3.15的全部因数:1,3,5,15 21的全部因数:1,3,7,21 既是15的因数,又是21的因数:1,3
4.48块月饼有10种装法,每个盒子装月饼数与所需盒子个数如下表所示。
因为47只有两个因数1和47,所以47块月饼,需要47个盒子,每个盒子里装1块月饼,或者1个盒子里面装47块月饼。
作业2:1.(1)1 28 2 14 4 7 1,2,4,7,14,28
(2)1 30 (3)16 2.15 3 9 16 8 3 12 4
3.(1)✕ (2)✕ (3)✕ 4.1+3+5+15=24 5.6,12,24 6.3种。每盒1个,39盒;每盒3个,13盒;每盒13个,3盒。 7.4
本节课的教学重点是找一个数的因数,在学生已掌握了因数、倍数的概念及两者之间的关系的基础上,对学生而言,怎样找一个数的因数,难度并不算大,因此教学例题“找出12的因数”时,我先让学生自己动手拼长方形,让学生们直观感知两个自然数的积等于12的几种情况,使他们在独立思考的过程中,自然而然地会结合自己对因数概念的理解,找到解决问题的方法(培养学生对已有知识的运用的意识),然后在交流中不难发现可用乘法或除法来求一个数的因数(列出积是12的乘法算式或列出被除数是12的除法算式)。在这个学习活动环节中,我留给学生较充分的思维活动的空间,有了自由活动的空间,才会有思维创造的火花,才能体现教育活动的终极目标。特别是用除法找因数的学生,正是因为他们意识到了因数与倍数之间的整除关系的本质,才会想到用除法来解决问题,我也不由得佩服这些孩子对知识的迁移能力。在这个环节的处理上,教材的本意是先由教师提出“想一想,几和几相乘得12”引导学生从因数的概念,用乘法来找因数,而我考虑到本班孩子的学情(绝大多数学生能够运用所学知识,找到求因数的方法),如教师一开始就引导学生:想几和几相乘,势必会造成先入为主,妨碍学生创造性的思维活动,用已有的经验自主建构新知是提高学生学习能力的有效途径,让学生独立思考、自主探索、促思(促进学生思维发展)、提能(提高学习能力)是我教学策略的主要内容。至于这两种方法孰重孰轻,的确难以定论。实际上,对于数字较小的数(口诀表内的),用乘法来求因数还比较容易,但是超出口诀表范围的数用除法则更能显示出它的优势。
学生的学习潜力是巨大的,教师是学生学习的引领者,因此教师的观念和行为决定了学生的学习方式和结果,所以我认为教师要钻研教材,充分利用教材,根据学生的实际情况,创造性地使用教材,为学生能力的发展提供素材和创造条件,真正实现学生学习的主体地位。
学生在找一个数的因数时最常犯的错误就是漏找,即找不全。学生怎样按一定顺序找全因数这也正是本课教学的难点。所以在学生交流汇报时,我结合学生所述思维过程,适时引导并形成有条理的板书,如:18÷1=18,18÷2=9,18÷3=6,18÷6=3,18÷9=2,18÷18=1。
这样的板书帮助学生有序的地思考,形成明晰的解题思路的作用是毋庸置疑的。这样既不容易写漏,而且学生们随着流程的进行,势必会感受到越往下找,区间越小,需要考虑的数也就越少。当找到两个相邻的自然数时,他们自然就不会再找下去了。书写格式这一细节的教学,既避免了教师啰嗦的讲解,又有效突破了教学难点,我相信像这样润物无声的细节,无论于学生、于课堂都是有利无弊的。
在找一个数的全部因数时,学生不想列算式导致因数找不全,所以我强调必须在草稿纸上先列出一个数的所有算式,再找因数,这样学生就不会出错了。
在以后教学中要严格要求学生,学习容不得半点偷懒。
【练一练·38页】
1.(1)有三种画法,如下图所示。
(2)16的全部因数:1,2,4,8,16。 2.24=1×24=2×12=3×8=4×6 24的全部因数:1,2,3,4,6,8,12,24 3.15的全部因数:1,3,5,15 21的全部因数:1,3,7,21 既是15的因数,又是21的因数:1,3
4.48块月饼有10种装法,每个盒子装月饼数与所需盒子个数如下表所示。
因为47只有两个因数1和47,所以47块月饼,需要47个盒子,每个盒子里装1块月饼,或者1个盒子里面装47块月饼。
把42个跳棋装在盒子里,每个盒子里装的同样多,共有几种装法?每种装法各需要几个盒子?如果有19个跳棋呢?(不能把所有跳棋装在一个盒子里)
[名师点拨] 因为42=1×42=2×21=3×14=6×7,所以42有8个因数,分别为1,2,3,6,7,14,
21,42,由题意可知至少应有2个盒子,所以共有7
种装法。由于19只有2个因数,分别为1,19,因此19个跳棋只有1种装法。
[解答] 42个跳棋共有7种装法,见下表。
如果有19个跳棋,那么只有1种装法,即每盒装1个,需要19个盒子。
因 数
在小学数学里,两个正整数相乘,那么这两个数都叫作积的因数,或称为约数。事实上因数一般定义在整数上:设A为整数,B为非零整数,若存在整数Q,使得A=Q×B,则称B是A的因数,记作B|A。但是也有的作者不要求B≠0。
例:2×6=12
2和6的积是12,因此2和6是12的因数。12是2的倍数,也是6的倍数。
3×(-9)=-27
3和-9都是-27的因数。-27是3和-9的倍数。
一般而言,整数A乘整数B得到整数C,整数A与整数B都称作整数C的因数,反之,整数C为整数A的倍数,也为整数B的倍数。
大战食数兽
一天,数学王国突然闯进一只三条腿怪兽,吓得数字公民纷纷逃走。怪兽张开血盆大口,一口吞下数24,接着又吞吃了数44,奇怪的是怪兽却没有吃数5。数学王国最高统治者零国王派数14首先迎战怪兽,可怪兽力大无比,数14被摔昏过去。数6和数35举起弓箭,连连发射,可是一点儿也伤不着怪兽。数100举枪冲向怪兽,怪兽张开大嘴,一口吃了数100,吓得数6、数35被扶起后赶紧逃窜。聪明的数1大臣想出了一个法子,派数60去迎战怪兽。数60见怪兽冲了过来便倒地一滚,变成了数2和数30,因为2×30=60,怪兽一见掉头跑了。数60连忙又变成数12和数5,因为12×5=60,怪兽见状掉转头又冲了过来,这时侦探数7回来报告说:“怪兽名叫食数兽,为了长出第4条腿,它专吃含因数4的数。”
零国王和数1大臣连夜商量对策。第二天,零国王亲自出马与怪兽大战起来。怪兽吞下零国王倒地就死了。不一会儿,零国王领着几个被吃掉的数字公民全走了出来。原来零国王钻进怪兽肚子里,和这几个数作了连乘,结果变成了0,怪兽就饿死了。众数听了,齐声称赞零国王既勇敢又聪明。每个盒子装月饼块数
48
24
16
12
8
6
4
3
2
1
需要盒子个数
1
2
3
4
6
8
12
16
24
48
找因数
1×12=12 2×6=12 3×4=12
12×1=12 6×2=12 4×3=12
12=1×12=2×6=3×4
12的因数:1,2,3,4,6,1218的因数:1,2,3,6,9,18一个数的因数的个数是有限的
每个盒子装月饼块数
48
24
16
12
8
6
4
3
2
1
需要盒子个数
1
2
3
4
6
8
12
16
24
48
每个盒子装
跳棋个数
1
2
3
6
7
14
21
需要盒子
个数
42
21
14
7
6
3
2
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